El polinomio de Taylor tiene numerosas aplicaciones, una de ellas puede
ser, por ejemplo, para que veamos cómo demostrar de una manera un cambio
informal la condición suficiente de extremo relativo. Bueno, que la
conocemos ya también de secundaria, si tenemos efe y buscamos sus máximos
y sus mínimos, lo primero que buscamos son los puntos críticos, es decir,
aquellos puntos que adornan la derivada, f'A, y después, para ver el
carácter, si es mínimo o máximo, estudiamos la segunda derivada. Si la
segunda derivada es negativa, entonces sabríamos que f tenía un máximo
relativo a A, y si la derivada es positiva, lo que tiene es un mínimo
relativo a A. De hecho, es un mínimo relativo a A. Bueno, podemos ver un
esquema de demostración muy sencillo usando el teorema de Taylor. Si
tenemos la función f y consideramos su desarrollo de Taylor de orden 1
como término del error considerando el término del error, como hemos
visto en vídeos anteriores, esto sería la tangente menos más que el
orden de Taylor de peso 1. Bueno, como estamos suponiendo que A es un punto
crítico, este término se nos va, y lo que nos queda es que f de x es
igual a f de A más la derivada segunda de f, evaluada en un punto,
recordemos, entre x y A, o A y x, dependiendo de si está en una u otra, y
el valor de x. Bueno, entonces, si despejamos, tenemos que f de x menos f
de a es igual a la derivada segunda partido de 2 factorial por x menos a al
cuadrado. Bien, este valor de la derivada si suponemos que x es
suficientemente cercano a lo podemos tomar del mismo signo que el valor de
la derivada en a Y si suponemos el caso 1 en el que la derivada es
estrictamente positiva, como esto está elevado al cuadrado, es
estrictamente negativa y, por tanto, f de x menos f de a es estrictamente
negativa, lo que implica que f de x es menor que f de a. Y eso es para un x
suficientemente cercano a a, y lo que nos quiere decir es que f de A, que
vamos a poner aquí, es que A es un máximo relativo y en este caso
podríamos decir también estricto porque será con desigualdad esta.
Bueno, esta idea, que es una idea informal, pues nos diría que si f de dos
prima de C es, contrariamente. Si f2'efe es contrariamente positiva, es
decir, si estamos suponiendo que la fórmula sería 2, pues tendríamos que
fdx debe ser menos el signo, y tenemos que fdx es más grande que fda y que
a sería el mismo signo. También podríamos ver otra condición
suficientemente extremo-relativa y un poco más complicada. Si consideramos
que una función que tiene las continuas hasta la orden m duras y el orden
m tiene el distinto orden, en este caso tendríamos esta expresión porque
aplicando el teorema de Friedel, todos los términos hasta el mínimo,
hasta el menos uno, son básicos. que se irían anulando. Entonces, estos
dos nos irían nudos y nos quedarían solamente estas dos. Bueno, pues si
la derivada de n-1, la primera derivada que nos anuda, es negativa,
entonces A es un máximo negativo, siguiendo el mismo criterio, y Fn, si la
primera derivada que nos anuda es positiva, pues A sería un mínimo otra.
O sea, sería otro tipo más elaborado, de condición suficiente, que
también se ve cuando estudiamos los mínimos máximos relativos. Bien,
vamos a ver un ejemplo. Y vamos a ver una cosa que es muy importante, que,
en el fondo, estudiar los extremos relativos de la función cuando tenemos
buenas propiedades sobre las realidades, es decir, que existen y son
funciones continuas, Es equivalente a estudiar los mínimos de un polinomio
de segundo grado, que es una expresión sencilla de calcular los mínimos.
Bueno, tenemos una función f de x. Si derivamos, tenemos la función de x
al cubo, que es 2x al cuadrado más x. Si derivamos, tenemos 2x al cuadrado
menos 4x más 1. Y si volvemos a evaluar, tenemos la función de 6x menos
4. Igualando la primera derivada, tenemos una expresión desmemorada,
tendríamos dos posibles puntos críticos. Si al primer punto crítico le
aplicamos el problema de Taylor, tendríamos esta expresión. y calculamos
esas derivadas y veremos que f de x-f de y-1 es equivalente a f2' de 1 de
2. f2' de 1 es 2, aquí de 2 es 1, entonces nos sería x-1 al cuadrado. Es
decir, f de x menos 1 es positivo, porque esto siempre es positivo, y por
tanto tendríamos que f de x es mayor que f de 1 y que, por tanto, 1 es
mínimo local de f. Del mismo modo, en el caso del otro punto crítico, que
era un tercio, tenemos que esto se puede expresar de esta manera, f de x
menos f de y es equivalente a f dos prima en el punto un tercio, que f dos
prima un tercio entre dos es menos uno, y por tanto, en este caso, la
derivada segunda es negativa, y tenemos que f de x menos f de un tercio es
menor que f de cero lo que nos dice que x de un tercio es un máximo real.
Bien. Esto, si lo representamos gráficamente, lo que nos viene a decir es
que el comportamiento en los grupos críticos en este caso, caso claramente
de una partícula de fórmula del 3, va a estar ahí. Los mínimos y
máximos de los puntos críticos en un entorno de un punto crítico vienen
dados por los máximos y mínimos de los correspondientes polinomios de
fórmula. Por tanto, analizar la función en un entorno de un punto
crítico en términos de búsqueda de estímulos relativos, es equivalente
a anotar su polinomio, pero en dicho punto relativo. Lo que es una ventaja,
porque realmente un polinomio desintegrado es más fácil determinar cuál
es su máximo suministro.