Hola, buenas tardes. Soy Javier Navarro, tutor intercampus de la materia.
A lo largo de estas semanas voy a grabar unas dos sesiones centradas en las
unidades 3 y 6 de nuestro temario, las que hacen referencia a la geometría
de masas, que es la que me conciende ahora mismo, y una segunda grabación
centrada en problemas y tópicos sobre gravitación, que corresponde a la
unidad 6. El temario de vuestra asignatura corresponde a este que estoy
mostrando a continuación. Es un tema que no establece grandes problemas de
la física, pero sí que instrumenta la tecnología de la humanidad.
Fundamentalmente y conceptualmente introduce un concepto esencial dentro
del tratamiento de las masas en los problemas en los que intervengan giros.
En particular, el concepto de tensor de inercia, momento de inercia, en
particular establece la importancia que tiene la distribución de las masas
alrededor de los ejes de sinergia y que es un tema que se ha desarrollado
en la historia de la humanidad. ¿Cómo influye esta distribución en los
comportamientos de giro? Es fundamental y esencial por lo menos tener las
herramientas adecuadas para que en un problema determinado podáis resolver
en función del eje o del plano que os dan y en función de la forma,
volumen, geometría en particular de la masa que os dan o de las masas que
os dan, definir el tensor de inercia que con una caja de nueve números, da
información suficiente de cómo se distribuyen las masas en toda la
dirección del espacio y planos y cómo influye esta distribución en la
rotación del sistema. Me voy a centrar en particular, vamos a desarrollar
aprovechando que os voy a presentar una serie de cuestiones, una serie de
problemas, pues apuntillar aspectos... y detalles que no tenéis que dejar
pasar a la hora de resolver un momento de inercia o a la hora de utilizar.
Así que os remito al manual de teoría del equipo docente para fijar y
sobre todo para subrayaros claramente todo el catálogo, por decirlo de
alguna manera, todo el catálogo de teoremas que son susceptibles de ser
utilizados a la hora de obtener momentos de inercia. A partir de otros ya
conocidos y establecidos claramente en tablas. Pero sin necesidad de
aplicar siempre la expresión o la definición de momento de inercia para
el cálculo directo. Bien, pues a título de introducción, el tema se
centra primero en el concepto del centro de masas. El centro de masas es un
punto abstracto del cuerpo que puede estar en el interior o en el exterior
del mismo, en el cual, en realidad, como veis en la definición de esta
pizarra, es una media ponderada en donde se establece un punto del espacio
en el que se puede considerar que ahí es donde colocaríamos el punto de
aplicación del peso del cuerpo, que es el centro de masas. Es una
definición y es la ética. Y como tal, si la analicéis un momentito, es
simplemente una media ponderada de todas las posiciones de todas las masas
que constituyen este cuerpo. Si es un conjunto disfriado de masas, pues
cada masa tiene su posición y habría que establecer la suma vectorial
establecida en el numerador dividida por la suma de todas las masas. Si es
una masa continua, aquí estaríamos hablando de una integración en el que
las abstancias son iguales. Nuestra acción sería de establecer, de fijar
la posición de un determinado diferencial de masa y hacer la integración
para toda la masa. Ahí nos aparecería un integral de volumen y un
integral de superficie. La corresponde. Consecuencias de la definición o
de la aplicación que, por supuesto, el centro de masas no puede depender
de la observación del cuerpo. Es independiente del sistema de referencia
utilizado para describir posiciones de las masas. ¿De acuerdo? Otras
consecuencias. Que siempre que localicemos un plano de simetría de este
cuerpo, ese centro de masas, que es un punto, estará incluido en ese
centro de masas. Si tiene más de un plano, si tiene dos, pues seguramente
estará en el eje que intersectan ambos planos. Y si hay un centro de
simetría, seguro que el centro de masas es ese centro de simetría. Todos
estos teoremas, que en parte, la verdad, estaréis de acuerdo conmigo que
es de sentido común, permiten simplificar los cálculos de los centros de
masas, sobre todo cuando estamos hablando de geometrías regulares. Estamos
hablando de láminas, cilindros, esferas, cuerpos de geometría conocida.
Algunos ejemplos de cálculos del centro de masas. Bueno, aquí os propongo
algunos. Distribuciones todas continuas. El caso más sencillo es de una
varilla, donde la masa no está distribuida homogéneamente. Aquí se
concentra, conforme nos alejamos de uno de los extremos, en este caso el
marcado por O, pues se va concentrando más masa. De forma lineal.
Aplicando la definición continua del centro de masas, está claro que, por
las características de la varilla, el centro de masas se encontrará en el
eje X. De ahí que ya hemos descartado que sea un problema en dos
dimensiones. Simplemente hay que sustituir y establecer los límites de
integración entre los extremos de la varilla, teniendo en cuenta que el
origen de nuestro sistema de coordenadas lo hemos establecido en uno de los
extremos. No debe cambiar el problema, si nuestro sistema de referencia
posee el centro de la varilla. Cambiar los límites de integración
correspondientes entre menos y más la mitad de la longitud total de la
varilla y nos tendría que dar exactamente eso. Aquí, la complicación de
este ejercicio viene simple y sencillamente que nos han puesto una
variación lineal de la densidad lineal de masa. Si hubiese sido una
variación lineal, nos daría exactamente el centro. Cada vez les traigo
que noten que su posición no coincida con el centro. Coincidiría con el
centro en el momento en que la K fuese cero. Si la K es cero, significa que
no tiene ninguna dependencia lineal. Los segundos términos de tanto
número de denominador se anularían y me quedarían tres sextos de L un
mes, la mitad. Que es lo que todo el mundo hemos adivinado en la situación
planteada. Otro ejemplo, aparentemente más complicado. Aquí las
situaciones nos las complican las geometrías de los cuerpos. Es un
semielipsoide solamente aparece el hemisferio norte y me pide que calcule
el centro de masas. Bien, pues el centro de masas aquí partimos de un
elemento diferencial de masa que es una muestra cúbica bueno, en este caso
no es cúbica, es un cuadradito de lados diferencial de X, diferencial de Y
tan pequeños como el usuario se puede imaginar. Estamos en un diferencial.
Y su posición viene determinada por el vector por el vector que son la
posición de esa muestra que está asombreada en el dibujo. ¿De acuerdo?
Pues bien, su posición está aquí ocurre parecido con el caso anterior
pero un punto más complejo. Este cuerpo claramente tiene una simetría
tiene un eje de simetría que es el eje Y pues no voy a establecer no voy a
calcular las dos coordenadas X, Y del centro de masas. Me voy directamente
a la única coordenada que sé que no es nula que es la Y porque tengo un
eje simetría y por lo tanto el centro de masas ha de ser algún punto de
ese eje. De ahí que ya empiece directamente estableciendo la Y del centro
de masas con su definición. Aquí va a ser una integral de superficie. Una
integral de superficie no obstante que es sencilla en cuanto que tengo la
dependencia funcional de la Y la dependencia funcional de la X que es la
ecuación de la elipse con los semiejes A y B que nos van como datos y 0 y
Z todos los puntos tienen su coordenada Z nula porque estoy en un plano.
¿De acuerdo? La integral es sencilla la integral que me sale a
continuación de una flecha va a ser la integral de raíz parada donde me
sale que la coordenada es la mitad pi veces A por B. Que es el valor de la
coordenada. Es el centro de masas. No es complicado. No es todavía el
tensor de inercia ni el movimiento de inercia que es lo que viene a
continuación. Primero la definición me la ha sacado de vuestro manual la
definición es perfecta es de una distribución de materia de masa que
puede ser una distribución continua o una distribución discreta con
respecto a algo con respecto a un punto a un eje en un plano. Aquí es
importante con respecto a qué punto del espacio o a qué eje del espacio o
a qué plano que puede ese plano puede cortar el cuerpo puede ser externo
al cuerpo el eje le puede ocurrir lo mismo y el punto le puede ocurrir
exactamente lo mismo pero siempre con respecto a alguna posición o eje o
plano del espacio teniendo en cuenta esto siempre se define como la suma de
una serie de productos. Si hacemos la abstracción total de que aunque sea
un cuerpo continuo yo pudiera ver todos los diferenciales de masa de forma
discreta pues el movimiento de inercia sería simplemente un sumatorio de
productos y cada uno de los productos vendría dado por el producto de esa
masa diferencial m sub i o diferencial de m sub i por su distancia a dicho
punto o a dicho eje o a dicho plano. Tal y como se ha definido esto me
define una distribución espacial de todas las prácticas Tiene sus
parecidos con la definición del centro del centro de gravedad el centro de
masas El centro de masas es un punto en donde el peso va a estar colocado
en ese punto mientras que el movimiento de inercia mira cómo afecta la
distribución de mis masas respecto a un punto o un eje o un plano cuando
giro con respecto a ese punto o a ese eje o a ese plano De ahí la
importancia del movimiento de inercia con respecto aquí Aquí tienen la
expresión discreta y la expresión continua Los cuerpos extensos en el
espacio definen un tensor de inercia de nueve términos Cada uno de esos
términos dan información sobre la distribución de masas o bien en un eje
o bien con respecto a algún eje o que es respecto a algún plano puede ser
plano de simetría, eje de simetría por lo menos son los tres ejes
respecto a los cuales estoy observando esa masa o esa distribución
continua o discreta Los tensores de inercia tienen nueve términos Es una
matriz que por la definición que hemos dado de momentos de inercia es
necesariamente simétrica Los momentos de inercia respecto a los tres ejes
estamos en un espacio en tres dimensiones siempre puedo definir tres ejes
perpendiculares pues respecto a esos tres ejes son los elementos de la
diagonal definidos tal y como aparecen en la pizarra que los tenéis Estos
son distancias a ejes de una determinada masa o diferencial de masa de la
distribución Los elementos que están fuera de las diagonales son los
productos de inercia Aquí mi intención ha sido en esta parte aquí
impresionada al lado de la definición indicaros la expresión de cada
producto de inercia y he colocado cada producto en la posición relativa
que le corresponde al tensor de inercia Los términos son productos de
coordenadas yx, zx y zy que como podéis observar por la propia definición
de estos términos son simétricos Es decir, el producto de inercia xy es
igual al producto de inercia yx, el zx igual que el xz y el zy igual que el
yz ¿De acuerdo? Y después están los con estos elementos ya completamos
los nueve números del tensor de inercia Pero hay más momentos de inercia
Tenemos cuatro momentos de inercia más referidos a ese cuerpo habiendo
fijado previamente todos los tres ejes y planos sobre los cuales estoy
construyendo este tensor Pero ya los nuevos números son estos Los momentos
de inercia de los ejes que son los de las diagonales y los productos de
inercia que son los que se salen de la diagonal y que la matriz sea
simétrica A esto añadimos el momento de inercia respecto al origen de
coordenadas definido por estos tres ejes del estudio que todavía no hablo
de ejes principales los tres ejes que en ese momento estemos considerando y
los momentos de inercia respecto a los tres planos definidos en este
sistema de referencia que fijaros bien en la anotación los subíndices no
son los mismos cuando aparece, cuando se duplica la x, se duplica la y se
duplica la z son los axiales y en ese sumatorio aparecen siempre las
coordenadas que no están en el subíndice es una forma de identificarlos
son los momentos de inercia axiales respecto a ejes mientras que los
momentos de inercia planarios los subíndices no duplican la letra x y z no
la duplican y sí que coinciden en el sumatorio la coordenada que aparece
en el subíndice es para que luego no hayas, sobre todo al inicio del
estudio puede haber dudas sobre si es la x y z, bueno aquí no se puede
fallar y es una forma de fijarlos son los planarios respecto a los planos
definidos en el problema y después está el polar es el momento de inercia
respecto a un punto singular, que es el punto cero de mi sistema de
referencia respecto al cual estoy estudiando el giro o la rotación de ese
cuerpo respecto al origen de coordenadas y su índice es por convenio el
cero haciendo referencia al origen de coordenadas y es un sumatorio del
producto de la masa respecto a la suma de las coordenadas al cuadrado x,y y
z este no está en el tensor no aparece en el tensor de inercia de la misma
manera que no aparecen tampoco los momentos de inercia planarios bueno pues
entre todos estos términos los seis términos diferentes del tensor de
inercia más los tres términos de los planarios más el término polar, en
total son seis, diez términos o sea diez números que me definen
claramente cómo influye la distribución de masas en los giros hay
relaciones matemáticas que definen unos teoremas unos teoremas cuya
aplicabilidad me simplifica bastante la resolución de los momentos de
inercia en determinadas circunstancias y problemas conociendo momentos de
inercia más sencillos a partir de este momento os voy a presentar algunos
teoremas en vuestro manual vienen enunciados todos los teoremas yo creo que
un modo muy eficaz de fijarlos es abordando cuestiones donde se tengan que
aplicar necesariamente y veis como simplifica si no se utilizan estos
teoremas básicamente hay que calcular directamente todos estos términos
utilizando sus definiciones que son las que veis aquí en esta pizarra muy
bien voy a borrar estos grabados antes de continuar muy bien pues pasamos
de pizarra y ya vamos a resolver problemas o cuestiones bueno esto es lo
que os he comentado antes, claro mirad el momento de inercia tal y como lo
hemos definido en principio son seis números diferentes aunque si cogemos
el problema que nos plantean son tres ejes cualesquiera pues los seis
números noten porque es especialmente sencillos pero sí que es cierto que
siempre podremos encontrar una terna de ejes los cuales simplifiquen lo
más posible el tensor de inercia de forma que haga nulo todos los
elementos todos los productos de inercia es decir, que haga nulo todos los
elementos fuera de la diagonal siempre que se encuentren estos ejes que
anulan los términos fuera de la diagonal estamos ante los ejes principales
de inercia de ese cuerpo que tiene una determinada distribución de masa
matemáticamente hablamos diagonalizando la matriz de inercia que nos han
dado esto viene muy bien explicado muy bien desarrollado en vuestro manual,
en la unidad 3 en particular entre las páginas 136 a 142 con ejemplos de
esta manera yo os remito a cómo se diagonaliza una matriz de nueve
términos obtiendo los autovoladores propios y de ahí los doctores
asociados a cada uno a esos autovectores asociados a cada uno de sus
valores propios cada uno de esos vectores tres, definen una dirección
especial que hablando en términos físicos en términos de geometría de
masas de tensor de inercia son los tres ejes principales de inercia que
simplifican todo lo posible nuestro tensor de inercia muy bien no se ve
bien esta pizarra pero aquí os he presentado de forma resumida algunos
teoremas donde conectan relacionan todos los nueve términos del momento de
inercia que os he presentado dos pizarras más atrás son los teoremas
principales de los momentos de inercia es decir, hay una relación aquí no
se aprecia bien pero esto es un signo más yo espero que si lo descargáis
esta presentación eso corresponde a un signo más ¿de acuerdo? pues la
suma de los tres términos de momentos de inercia axiales x y z voy para
atrás por si acaso los x y z planarios, perdón son los que tienen
solamente un índice que tienen los planos pues la suma de los tres
momentos de inercia planarios ha de coincidir siempre con el momento de
inercia respecto al origen es muy fácil la demostración si es que por
propia definición sale esto no simplifica el problema porque es una forma
de obtener si ya sabemos a priori los momentos de inercia planarios su suma
es respecto al centro de coronales y la suma de los tres momentos de
inercia axiales también está relacionada con el momento de inercia
respecto al origen, pero es el otro da dos veces ese momento de inercia y
de ahí podemos obtener muchas relaciones en base a estas dos expresiones
ya podemos encontrar otras relaciones subsidiarias a este la suma de dos
planarios me da un axial es decir, la suma de dos momentos planarios me da
el axial de la coordenada que no aparece en la suma aquí lo veis la suma
de dos momentos de inercia planarios siempre me da el momento de inercia
axial de la componente que no aparece específicamente en la suma es una
forma de verbalizar estos tres son de mucha aplicabilidad estas tres
últimas expresiones que veis aquí es decir, la suma del momento de
inercia planario y más el z me da el axial x o los planarios x y o los
planarios zx me da el axial y ¿de acuerdo? y el dibujito que os he puesto
en la parte inferior es para que nos hagamos un esquema mental, geométrico
es decir, si yo tengo una lámina y conozco los dos momentos de inercia
respecto planarios en el x y es muy fácil el axial z correspondiente ¿de
acuerdo? si yo conozco los planarios x y ¿de acuerdo? yo puedo controlar
el resultado del eje podría haber puesto este dibujo tres veces para hacer
el ejemplo correspondiente, pero bueno creo que se entiende más teoremas
el teorema Steiner si conoces el momento de inercia se aplica tanto para
momentos planarios como axiales el mismo es idéntico si conozco el momento
de inercia respecto a un plano cualquiera también conozco el momento de
inercia respecto a planos paralelos al primero ¿de acuerdo? añadiendole
una cantidad que es el punto de la masa o la distancia entre los planos al
cuadrado el enunciado respecto a los axiales es el mismo cambiando plano
por axial exactamente lo mismo ¿de acuerdo? la expresión del producto
matricial que tenéis en la parte inferior es una forma de indicaros que si
conocéis el momento de inercia respecto de un eje también conocéis el
momento de inercia respecto a un eje conocido el ángulo respecto al eje
inicial ¿de acuerdo? eso es aplicar la matriz de giro como estáis viendo
vale pues a partir de aquí vamos a ir resolviendo problemas de diferentes
dificultades que han aparecido en algunas pruebas otros problemas que me
parecen relevantes en cuanto a aplicación de teoremas partiendo del
momento de inercia sencillos aquí respecto a presentaciones de otros años
se han añadido unos cuantos problemas más para que tengáis más material
el primero es de aplicación directa aquí es un problema de cuatro masas
puntuales se pueden contar, es un problema discreto me dan sus posiciones
respecto a un sistema de referencia me piden que calcule el tensor la
matriz de inercia el tensor de inercia y los ejes principales de inercia es
decir es muy fácil calcular aplicando las definiciones es más, me sale
diagonal directamente me sale diagonal con lo cual no hay que hacer nada si
no me hubiera salido diagonal yo lo hubiera diagonalizado teniendo los tres
rotovoladores y los ejes principales de inercia no tiene ninguna
complicación este es un problema algebraico que sirve sobre todo para
fijar conceptos en las expresiones de los planarios y los axiales me dice
que vea qué relaciones cumplen aquellos tensores de inercia que tienen
esta estructura claro, daros cuenta que los ceros que se han hecho y al
tener en cuenta que si es un tensor de inercia es una matriz simétrica
pues automáticamente los términos 1,3 el término 3,1 el término 2,3 el
término 3,2 todos son cero es decir el término 1,2 coincide con el 2,1 el
término 1,1 el término 2,2 veis que al sumarlos es decir que es válida
esa estructura ¿de acuerdo? y esto es un tensor de inercia de una placa de
masa homogénea porque aquí las m son todas iguales no la hemos modificado
ni variado que está asentada en el plano x,y ¿de acuerdo? muy bien ya
está esto no presento ninguna dificultad cálculos de inercia donde la
masa ya tiene una variación continua un ente de inercia de una lámina
cuadrada respecto a un eje normal es el dibujo de abajo es el que se ve el
de arriba ahora os comentaré para qué un eje perpendicular a ella y que
pasa por su centro el eje z yo para calcularlo me voy a valer un resultado
previo más sencillo que es el de una varilla longitudinal ¿de acuerdo?
sobre un eje que pasa por su centro una varilla que es esta de aquí ¿de
acuerdo? como es el eje que pasa por su centro pues de densidad homogénea
lambda hago la integral y 5 sobre 3 esos límites de integral me da la
doceava parte del producto de masa por a ¿de acuerdo? muy bien ahora bien,
yo una lámina la placa, la lámina cuadrada que tengo en la parte inferior
voy a suponer que la he obtenido sumando varillas de espesor diferencial de
x y masa la parte proporcional de masa que le corresponde por ser una
varilla, que es homogénea la parte proporcional con una sencilla
proporcional a la regla de 3 se ve que es una fracción diferencial de x
sobre a de toda la masa de la lámina ¿de acuerdo? yo ya he calculado el
momento de inercia de una varilla que es este de aquí que es la masa por
este de aquí que es la masa diferencial de x de a sobre a por m por su
distancia al cuadrado sobre doce claro, ¿de acuerdo? ahora simplemente ese
término que aparece en x cuadrado que está ahora en factor común es por
aplicación del teorema de Stein mmm claro, y ahora hago la integral la
integral es muy sencilla en cuanto la integral es muy sencilla en cuanto ya
estoy integrando el movimiento de toda una varilla desde los límites de la
variación de a ¿de acuerdo? en el caso en que las dos varillas tuviesen
la misma longitud pasaría a ser a cuadrado más a cuadrado y sobre 6 pero
esto es no he aplicado ningún teorema de los que he comentado
anteriormente pero si me valido del momento de inercia de un cuerpo que
tiene una dimensión menos que al barrerlo por encima al barrerlo en una de
las dimensiones cubro o obtengo el cuerpo problema y objeto de estudio de
este, de esta cuestión ¿de acuerdo? muy bien espero que no no tengan
ninguna complicación vamos a cambiar el cuerpo ahora aquí el cuerpo es un
disco de masa m mayúscula en el que aquí ponen minúscula pero yo
después lo coloco en la mayúscula radio conocido, r minúscula mayúscula
respecto a un eje perpendicular que pasa por su me piden el movimiento de
inercia respecto a un eje contenido en el plano del disco y tangente al
mismo ¿de acuerdo? yo parto de un movimiento de inercia conocido que es
este que es el que viene en el primer dibujo movimiento de inercia de un
disco que gira respecto a un eje que pasa por su frente no me piden ese
evidentemente me piden en el segundo dibujo sería respecto al eje x es un
eje que está inscrito dentro del disco y hago girar el eje y el disco va
dando vueltas de esta manera aquí si que utilizo uno de los de los
teoremas, es fácil de encontrar y después aplico steina porque en
realidad no me piden exactamente no me piden respecto a este eje que pasa
por el centro sino un eje que a ver si lo consigo pintar sino con respecto
a un eje que es tangente al disco pero bueno ya aplicando steiner
produciendo este sería simplemente sumarle la masa por la distancia al
cuadrado que existe entre esos dos ejes que es r medios r medios que ese
medios pasa al 4 al sacarlo del cuadrado eso es lo que acabo de pintar lo
último que acabo de pintar es por steina ¿de acuerdo? muy bien es muy
sencillo ¿de acuerdo? no tiene ninguna complicación de una línea hemos
pasado a un plano ahora vamos a pasar a un volumen un cilindro homogéneo
compacto respecto a un sistema de referencia cuyo origen está en el centro
de masas y tiene su eje theta a lo largo del eje, es decir este eje que
sube aquí me piden la diferencia respecto de ese eje es homogéneo, es
decir que el cociente de masa por volumen es el mismo que el cociente
diferencial de m entre el diferencial de volumen no importa que coja toda
la masa o una muestra de masa la densidad es la misma ¿de acuerdo? y bien
aquí es el cálculo literal a partir de la definición del momento de
inercia el de masa que estoy cogiendo pues es una construcción geométrica
en realidad lo que hago es cojo un anillo de longitud 2 pi r diferencial de
r es el grosor ¿de acuerdo? y ¿qué masa tiene eso? pues la parte
proporcional que es la parte proporcional y eso se repite para toda la
longitud del cilindro ¿de acuerdo? ese es el diferencial de masa para toda
la longitud del cilindro es como si tuviese un cilindro un cilindro, un
hueco de un espesor diferencial de r después lo integraré para todo el
radio de 0 a r pero aquí el juego está en que el diferencial de masa no
es el diferencial de masa puntual del cilindro sino que mi diferencial es
de eso que está punteado en el dibujo es la masa contenida en este anillo
en este anillo de acá y en todos los anillos que están entre estos dos
anillos la suma de todos ellos eso sigue siendo un diferencial de m y ahora
en el momento de inercia tengo que sumar la contribución de todos esos
diferenciales de masa donde cada uno ya está a una r diferente eso sí se
coloca dentro de la expresión en general este diferencial de masa que
hemos encontrado ¿de acuerdo? y le entre a la cuarta sobre 4 y se hace la
operación y me da en momento de inercia que aparece en todos los libros el
cálculo ¿de acuerdo? y es nada muy complicado bien más casos ahora mismo
la situación en la que nos planteamos mi idea es que vaya de menos a más
disculpadme un momentito primero vamos a ver si el dibujo no es muy
afortunado 4 masas discretas engarzadas con varillas rígidas sin masa me
piden momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro donde el
eje está en el plano en el plano de las 4 masas ¿de acuerdo? pero es el
primer sistema de ejes por ejemplo, podríamos decir sobre este eje y
después sobre este eje cualquiera de los dos es válido tal y como lo
planteé en la inicial podría ser cualquiera de los dos voy a procurar
respecto a estos 2 ejes el apartado b me piden hacer lo mismo pero cuando
he trasladado los ejes una cierta cantidad ¿de acuerdo? y la tercera
situación calcula el momento de inercia respecto a un eje que es
perpendicular al plano de los 4 y que pasa por una de las 4 masas la que
queramos sabemos pues bien son masas puntuales no hay problema en obtener
que la yx y la y es masa por la distancia al cuadrado que es 2b al cuadrado
4b al cuadrado y 4a al cuadrado porque unas están a 2b y otras están a 2a
cada una respecto a cada una el yx el ix y el i sub i los ejes que están
trasladados pues aplicando Steiner obtengo sus valores y el eje
perpendicular es muy fácil calcularlo directamente yo tomo por referencia
que el eje z pase a través de esta masa por ejemplo ese ya no tiene
momento de inercia es el primer cero que tenéis en la expresión y las
otras 3 masas ahí tenéis el desarrollo 2a 2b y 2b subiendo en esta escala
encontramos un momento de inercia en volumen con un orificio los orificios
se tratan como masas negativas o se restan momentos de inercia se pueden
restar es un dibujo que nos da el ejercicio que es este de aquí donde es
una esfera compacta donde hemos hecho un vaciado de valor r cuartos y el
centro de este vaciado está en r medios del centro de la primera esfera se
calculan los dos momentos de inercia respetando las posiciones relativas de
la segunda masa negativa después se suman cada una con su sin ese es el
procedimiento la primera es muy sencilla porque respecto al centro lo he
cogido directamente de la definición de la expresión el de la segunda
masa que es el mismo si fuese sobre su centro está desplazado respecto a
steiner un valor r medios que es lo que aplico aquí m2 en principio todo
positivo me da su valor en función de la densidad en realidad he puesto
sigma pero tenía que haber puesto r luego me ha tenido que corregir el
error tipográfico y después se restan los dos momentos de inercia se
restan el segundo es negativo porque es un vaciado y así ya lo podría
dejar lo único es poner r en función de la masa qué masa se pone aquí
hay que tener cuidado toda la masa de la placa la que sea eso se pone
encima de un peso y tiene su masa pero no me sale exacto la superficie hay
que hacer un vaciado hay que quitarle directamente la cantidad de masa que
corresponde al hueco ya hemos seguido desarrollándolo pero bueno todo lo
que esconde esta flecha se sustituye por su valor y seguimos vamos a ver
aquí no sé si lo llegamos a ver todo bien voy a ponerlo al cien por cien
espero que se llegue bien momento de inercia respecto a su eje de simetría
lo vamos a encontrar automáticamente de una esfera homogénea de un
cilindro hueco de un cilindro homogéneo hueco con un cierto espesor y
después una vez calculados esos test utilizar algunos de ellos para
obtener el momento de inercia de un sistema compuesto por dos esferas y una
barra cilíndrica una pesa aquí con una salvedad no son las esferas
perfectas que han sido pegadas sobre la barra hemos tenido que cortar una
de esas esferas para dejar una sección plana que pueda pegarse
perfectamente con cada una de las tapas del cilindro esa es la
complicación del ejercicio nos implica un poco la integridad bien en el
caso de una esfera homogénea no hay nada que decir respecto a su eje de
simetría todos los ejes planarios coinciden los ejes de simetría son muy
sencillos tienen el hueco y lo he calculado en el problema anterior no
quería tachar este apartado del problema pero con referencia al problema
anterior el cilindro de paredes delgadas es muy parecido al problema que
hemos hecho antes por principio de superposición hay que restar los
valores que luego al suscribir el valor de la densidad por masa partido por
su superficie en este caso superficie nos queda una resta de dos términos
a la cuarta y abajo al parado que aplicando las prioridades de los
productos notables nos va a dificultar en ver esta expresión y me quiero
centrar en la última parte que es la de las pesas son tres cuerpos el
momento de inercia de los tres cuerpos un cilindro y dos esferas respecto a
su eje de simetría no es un eje perpendicular sino el eje que atraviesa el
cilindro por toda su longitud y atraviesa las dos esferas por sus centros
lo de las esferas aquí la dificultad está en que por esta parte las
esferas están cortadas tiene una sección que se ha cortado y se ha
eliminado bien, pues creo que el dibujo espero que se entienda en las
lonchas es decir, cada uno de los discos que forman esta esfera se
encuentra en una distancia variable z y su radio también es z sin embargo,
si me fijo en una de las lonchas que es la que está dibujada en el
ejercicio pues la relación que hay entre z y r y el radio total pues sale
por pitágoras y despejando r que va a ser la variable de integración me
queda pues esta que es la distancia a la que se encuentra la distancia la
distancia es z pero es la distancia a la que se encuentra cada rodaja
respecto al eje. Es una esfera homogénea, su elemento diferencial de masa
es rho pi r cuadrado diferencial de z, hay una línea para ver su masa con
lo cual el momento de inercia de cada una de las lonchas es una placa con
respecto a un eje que pasa por su centro la única diferencia que hay aquí
es como veremos en el siguiente es los elementos de integración a la hora
de integrar integra desde un valor mínimo de z y un valor máximo de z
tengo que integrar desde este valor mínimo hasta un valor máximo que es
2r el valor mínimo que es esta distancia de aquí esta distancia de aquí
la obtengo por pitágoras porque es el cateto más largo de ese triángulo
que se forma en el dibujo que es raíz de 3 sobre r ¿de acuerdo? Pues ya
desarrollando el binomio y haciendo una integral me queda una expresión
que luego se la sumo el doble de esa cantidad se la sumo a la del cilindro
Espero que estas pizarras os aclaren un poco sobre todo los desarrollos y
la aplicación de los teoremas voy a alojar también la tutorial de alguna
serie de ejemplos en otro powerpoint ejemplos de aplicación de los
teoremas de los diferentes teoremas que aparecen en el manual que conectan
los momentos de energía axiales, planarios y respecto del origen Bueno
pues muchas gracias por la atención y espero que sea de utilidad esta
grabación