Pues hoy vamos a ver el tema 3, que es optimización con restricciones de
desigualdad y las condiciones de contacto. Bueno, el problema se trata de
maximizar una función, en principio de n variables, sujeta a una serie de
restricciones, a m restricciones, pero de la forma de desigualdad. En el
tema anterior vimos optimización con restricciones de igualdad y hoy vamos
a ver optimización con restricciones de desigualdad. Las restricciones van
a ser desigualdades. Bien, el método que utilizaremos será el método de
Lagrange, que es igual que el del tema anterior, en el que escribimos la
lagrangiana, que se escribe de la misma manera, y escribimos la suma de la
función objetivo, que es la función a máximo. Es decir, optimizar más
una combinación lineal de las restricciones en las cuales hemos pasado al
primer miembro en el segundo término, multiplicados por unos coeficientes
indeterminados por unos lagras. Esto es lo que es la lagrangiana igual que
en el tema anterior. Y el procedimiento consiste, igualmente que en el tema
anterior, en derivar respecto a cada una de las variables. Función de
Lagrange e igual a 0, que eso sería una condición necesaria que tiene que
cumplir un punto para maximizar la función en este caso. Y luego una
novedad, podríamos decir, que es lo que caracteriza a las condiciones de
Kuntaker, que no estaba en el tema anterior, es lo que se llaman las
condiciones de holgura complementaria que existen que los lambda sub i o
lambda sub j sean menores o iguales que 0. Y, si son iguales a 0, si se
cumple la estricta desigualdad de las restricciones. Bueno, esa condición
se puede resumir de esta manera que es más práctico ponerlo en los
ejercicios, hacerlo de esta manera, es decir, exigir que lambda sub j sea
menor o igual que 0 y luego que el producto lambda sub j por la diferencia
g sub j de x menos g sub j sea igual. Es decir, da igual ponerlo de esta
manera aquí arriba o como está aquí abajo, que es como lo haremos en los
problemas. Y luego, en cuarto lugar, exigir que x satisfaga las
restricciones. Esto nos va a proporcionar lo que se llaman las condiciones
necesarias de Kuntaker, un sistema en el cual vamos a obtener los valores
de los puntos, de las x, podemos decir, de las incógnitas y de las
lambdas. Bueno, bien, ahora... Cuando hagamos ejercicios de esto, pues, en
fin, se verá un poco más claro. Es decir, que aquí, bueno, lo importante
es que se trata de maximizar. Fíjate tú que esto sería, pongamos, el
planteamiento estándar del problema, ¿no? Maximizar sujeto a unas
condiciones que están en forma de desigualdad pero siempre menor o igual.
Si cambia algo de esto, ahora veremos qué es lo que haremos. Porque a
veces hay problemas que en vez de maximizar se pide minimizar, ¿vale? O a
veces las desigualdades... Son menor o igual, son mayor o igual, ¿no?
También veremos qué es lo que hacemos, ¿no? Pero bueno, este es el
planteamiento estándar del problema, ¿no? Y bueno, la resolución, pues,
como está aquí dicho. Bien. Bueno, pues, lo que decíamos, es decir, que
aquí, por ejemplo, minimizar, ¿eh? Minimizar, si fuese minimizar una
función, eso equivaldría a maximizar la opuesta de la función. Es decir,
si una función en un punto toma un valor mínimo, pues su opuesta en ese
punto tomará el valor máximo. Por lo tanto, si el ejercicio fuese
minimizar f de x, pues después la lagrangiana nosotros la escribiríamos
cambiando el signo de f de x, ¿eh? Cuidado con eso, que pondríamos menos
f de x más la combinación de x. Ahora bien, en ese caso, si hacemos las
derivadas, las primeras, vamos, las condiciones de Punta Aker ya aparecen,
el signo menos aparece en las derivadas de la f, ¿no? Como eso sería...
Si cambiamos el signo de estas igualdades, pues lo que aparecería, se
aparecería de esta forma, ¿no? Con el signo menos delante de los lambdas,
¿no? Con lo cual, esto es equivalente a que la lagrangiana, pues sea de
esta forma, ¿eh? De que nosotros ya podemos escribir, por tanto, la
lagrangiana en el caso de que sea minimizar, la escribimos igual f de x,
¿no? O sea, no le cambiaremos el signo a la función, sino ponemos f de x,
pero luego pondremos unos lambdas con signo menos delante, ¿eh? Menos. Y
la combinación lineal, los lambdas llevarán el signo menos delante.
Bueno, en realidad, da igual hacerlo así o de la otra manera, cambiando el
signo de la f, pero bueno, se suele hacer así. Pero claro, en ese caso, en
ese caso, bueno, y aparte, aparte de eso, si alguna condición está
escrita en la forma g de x mayor o igual que c, puesto que para ponerlo en
la forma estándar todo con menor o igual, pues lo que hacemos es cambiar
el signo de la desigualdad y nos quedaría menos g de x menor o igual que
menos. O sea, que nosotros siempre vamos, por tanto, como digo, a escribir
el problema en la forma estándar de maximizar sujeto a desigualdades del
tipo menor o igual. Eso es lo que haremos. Bien. Otra cuestión también
previa, una nota previa, es que para que las condiciones de punta que sean
necesarias, ¿no? Condiciones necesarias. Se tiene que cumplir cierta
cualificación de las restricciones, ¿eh? Las restricciones tienen que
cumplir una condición. Bueno, esa condición tampoco se da, pero hay una
condición a su vez suficiente y es que los puntos de la región factible
tienen que ser regulares. Bueno, ¿y eso qué quiere decir? Pues un punto
regular si en él no se satura ninguna restricción, es decir, que nosotros
no se satura quiere decir que no es, es interior, es decir, que no cumple
la igualdad. Las desigualdades son menor o igual, ¿no? Entonces, si un
punto cumple menor. Pues está adentro, podríamos decir, es interior a la
región factible, ¿no? Y si cumple igual, pues está en la frontera, ¿eh?
Supongo que esto está claro, ¿no? Así que la acción factible. La
acción factible, pues puede ser de. Vamos que es de esta forma, ¿no?
Entonces, si un punto está en la frontera. Está bien. Si un punto está
en la frontera. Está en la frontera, se cumple, entonces se cumple alguna
igualdad de las restricciones. Y si es un punto interior, pues eso,
entonces se dice que el punto no satura ninguna de las restricciones, ¿eh?
Bueno, esto no pinta muy bien el tabaco de esto. Bueno, bien, pues para que
un punto sea regular, desde luego, si es interior ya es regular, ¿eh? Pero
bien, si es un punto de la frontera, es decir, que satura alguna de las
restricciones, los gradientes de las restricciones, ¿eh? Los gradientes de
las restricciones saturadas tienen que ser linealmente independientes.
Explico eso, lo que quiero decir. Por ejemplo, supongamos que tengo aquí
estas dos restricciones, que x al cuadrado más y al cuadrado es menor o
igual que uno y que x es mayor o igual que cero. Una restricción con menor
o igual, una con mayor o igual. Entonces vamos a ver, si un punto satura la
primera restricción, ¿qué quiere decir? Pues que ese punto x y
cumpliría que x al cuadrado más y al cuadrado es igual a uno, ¿eh? Eso
es lo que quiere decir que la satura. Bueno, pues el gradiente, ¿qué es
el gradiente? Es un vector formado por la derivada parcial de la
restricción respecto de x, coma la derivada parcial de la restricción. La
derivada parcial de la restricción respecto de y. En el caso del ejemplo,
pues x al cuadrado más y al cuadrado, la derivada parcial es 2x respecto
de x, la derivada parcial respecto de y que es 2y. Entonces, claro, este
vector 2x2y, si x e y es un punto que satura esta restricción, es decir,
que x al cuadrado más y al cuadrado es igual a uno, el 2x2y no puede ser
el vector nulo porque el punto cero cero no cumple que cero al cuadrado
más cero al cuadrado es igual a uno. Por tanto, es un vector que es
distinto, ¿eh? El vector 2x2y es un vector distinto del vector cero cero.
Por tanto, es un vector independiente, ¿eh? El solo, el solo es
independiente. El único vector que es dependiente es el cero cero, ¿eh?
Si no es un vector más nulo, es independiente. Se ha dado eso. Ahora, es
en el caso de que, por tanto, si un punto satura la primera restricción,
pues ese punto ya es regular porque el vector gradiente es independiente.
Ahora, si un punto satura solamente la segunda restricción, que era la x
mayor o igual que cero, entonces para que sature la segunda restricción,
la x tiene que ser cero. La y no, uno habla de la y, puede ser cualquiera,
o sea que cualquier punto con la x igual a cero satura la segunda
restricción. Entonces, ¿quién es el gradiente de la segunda
restricción? Pues la derivada respecto de x es menos uno, ¿no? Lo
ponemos, o sea, lo ponemos con menor o igual, ¿eh? Lo ponemos con menor o
igual. Bueno, aunque aquí daría lo mismo. Si lo dejas como está, sería
un uno la derivada. Pero bueno, si lo ponemos con menor o igual, aquí
cambia el signo, la derivada sería menos uno, y respecto de y, que sería
cero. Entonces, el gradiente es menos uno cero, sea el punto que sea, o
sea, que aquí no depende de x. Y como es un vector distinto de cero a
cero, pues también es independiente. Y luego, si un punto satura las dos
restricciones, pues hombre, las dos restricciones tienen que ser la x igual
a cero y la x cuadrada más y cuadrada igual a uno, resuelves el sistema, y
sale x es cero y la y cuadrada igual a cero. Y ahí vale uno o menos uno.
Luego hay dos soluciones, cero uno o cero menos uno, y en ese caso los
gradientes, puesto que para esos puntos son cero más menos dos, o menos
uno cero, y cualesquiera que sean, o sea, que cero dos menos uno cero son
independientes, y cero menos dos menos uno cero son independientes. Bueno,
pues, entonces claro, aquí lo que hemos probado, por lo tanto, es que
todos los puntos son regulares. Ya digo, los puntos del interior. Todos
son. Y los puntos de la frontera, pues tienen que cumplir esto de los
gradientes. Bueno, afortunadamente, estos problemas nosotros no vamos a
tener que hacerlo. Por ejemplo, ya en el texto se supone siempre que todos
los ejercicios se van a cumplir la hipótesis de cualificación de las
restricciones, y por lo tanto las condiciones de Kulltaker siempre son
necesarias, pero bueno, ya digo, no nos vamos a tener que hacer esto, que
siempre es un poco engorroso también hacerlo. Así que es una cosa que nos
vamos a ahorrar unos por los otros. Bien, una vez hemos hallado los puntos
que serían, podemos decir, candidatos a puntos óptimos o máximos, bueno,
pues en principio pueden ser máximos locales, son máximos locales. Pero
aquí hay unas condiciones suficientes para que ese punto sea óptimo
global, ¿no? Entonces si, bueno, supongamos que el punto X, como nos
decía X asterisco, lo decimos X, siempre hablamos de, pongamos del vector,
¿eh? O sea, que son entornos. Entonces, el punto X es un punto regular,
¿eh? Que satisface las condiciones de Kulltaker y siendo las funciones de
restricción G sub I diferenciables en ese caso. Que eso pues siempre va a
ser así. Entonces si el conjunto factible es convexo y la función F es
diferenciable y cóncava, si es cóncava, bueno, entonces el punto, en el
punto hay un máximo global. Si es cóncava. Y si es convexa, en el punto
hay un mínimo global, bueno. Y luego si F es estrictamente cóncava o
estrictamente convexa, entonces el punto será un máximo o un mínimo
global estricto, ¿no? Bueno, esto pues es, un poco lo vimos incluso en el
tema uno, ¿no?, había la optimización sin restricciones, es decir, que
si una función es cóncava, de esta forma pues evidentemente hay máximo y
si era convexa, perfecto. Bien. Y... Que también a veces pues es
interesante utilizarlo, o viene bien utilizado en el tema de los valores
extremos, ¿no? Que dice que si una función es continua sobre un conjunto
compacto, bueno, un conjunto compacto es un conjunto que sea cerrado y
acotado. Por ejemplo, en la recta real pues un intervalo cerrado es un
compacto, cerrado y acotado. O por ejemplo, pues en el plano, pues una
circunferencia, o sea, un círculo, un círculo con la circunferencia
incluida también es un cerrado y acotado. Bueno, pues entonces, si la
función f es continua sobre ese conjunto, existe al menos un mínimo d y
un máximo c, ¿eh?, en el que existe un punto d y un punto z tal que
cualquier valor de la función f está comprendido entre f , es un teorema
general que garantiza la existencia de máximo y de mínimo absoluto o
global en los conjuntos que sean compactos. Bien. Y otra cuestión, antes
de los ejemplos o los ejercicios, a veces aparece como condición y es
bastante frecuente en muchos problemas, como condiciones que x sea mayor o
igual que cero y que y sea mayor o igual que cero. El problema es, por
ejemplo, para valores positivos, en las aplicaciones mayormente pues ocurre
así, ¿no? Bien. Entonces nosotros en ese caso escribiríamos las
restricciones menos x y menos z. Menos x menor o igual que cero y menos y
menor o igual que cero, cambiamos el signo para ponerlas como menor o
igual. Claro, ¿qué ocurre? Que ahí me aparecerían dos multiplicadores
de Lagrange porque son dos desigualdades. Entonces, claro, el problema se
hace demasiado pesado con un demasiado multiplicador y hay una manera de
simplificarlo, que es lo que haremos, ya digo, esto es un problema bastante
corriente. Bueno, pues el problema sería maximizar f sujeto a estas
condiciones, ¿no?, g menor o igual que c. Vamos a hacerlo. Una sola
condición y luego estas dos, menos x menor o igual que cero menos y menor
o igual que cero. Bien. Entonces, ¿quién sería la Lagrangiana? Pues
sería f más lambda sub 1 por g , menos lambda sub 2 por x menos lambda
sub 3 por y. Yo utilizo tres multiplicadores, claro. Entonces las
condiciones de Kuhn-Tacker, bueno, pues aquí las tenemos. Salen muchas
porque, claro, aquí tenemos, pues eso, muchas desigualdades. Tres. Las
dos. Pues, ¿cuánto es la parcial de f respecto de x? Bueno, podemos
simplificar un poco, o sea que aquí la primera condición, ¿no?, la
parcial de f respecto de x más lambda sub 1, o parcial de g respecto de x
menos lambda sub 2 igual a cero, podemos pasar el lambda sub 2 al segundo
miembro, ¿no?, lo que queda, lo que tenemos aquí, ¿no? Lo mismo podemos
pasar el lambda sub 3 al segundo miembro, lo demás lo dejamos igual.
Claro. Observamos que parcial de f, o sea, lo que es igual a lambda sub 3
es igual a 2 por x. Esto es igual a lambda sub 2, esta expresión que es
igual a lambda sub 2, puesto que el lambda sub 2 le exigimos que sea menor
o igual que cero, pues vamos a poner que la parcial de f respecto de x más
lambda sub 1 por la parcial de g respecto de x, que es igual a lambda sub
2, y esta otra condición, que es lambda sub 2 por x igual a cero, las
podemos sustituir por esta, o sea, que todas condiciones las podemos
resumir en una, que sería, bueno, en realidad no es una, son dos, pero,
bueno, que escrita de otra manera, que sería parcial de f respecto de x
más lambda sub 1 por la parcial de g respecto de x menor o igual que cero,
porque eso era igual a lambda sub 2, que es menor o igual que cero, y
sería igual a cero si x es mayor que cero. Ahí estaría la segunda
condición, que es esta, ¿eh?, lambda sub 2 por x igual a cero estaría
expresado aquí, en esta parte, bueno, y análogamente esto otro, ¿eh?,
que lo cambiaríamos por esta otra condición, con lo cual, claro,
resumimos las condiciones de Kantá, que ya no hay tantas, ¿no? O sea, que
quedarían así. La parcial de f respecto de x. La parcial de f respecto de
x más lambda sub 1 por la parcial de g respecto de x menor o igual que
cero, o igual a cero si x es igual a cero, hemos eliminado lambda sub 2 y
el lambda sub 3. La parcial de f respecto de y más lambda sub 1 por la
parcial de g respecto de y menor o igual que cero, o igual a cero si la y
no es mayor que cero, y luego, pues, en donde el lambda sub 1, y que
desaparecen el lambda sub 2 y el lambda sub 3. Bueno, ya digo esto ahora
con los ejemplos como que, en fin, se te libera un poco más claro. Y ya
vamos entonces a ver algunos ejemplos o ejercicios, ¿no? Bueno, por aquí
tenemos maximizar el problema, ¿no?, típico, x menos y al cuadrado, esa
expresión. Bueno, otra cosa que conviene también, ¿no?, lo vamos a ver
aquí en algunos ejemplos, ¿no? Fijarse bien en las funciones, incluso si
podemos hacer una representación gráfica, eso nos puede ayudar, ¿eh?
Incluso en muchos casos la representación gráfica casi nos resuelve el
problema, ¿no? Pero bueno, eso también nos puede ayudar, ¿eh?, en ver el
tipo de función. Aquí, bueno, pues si es x menos y al cuadrado, bueno, la
función. Esto, para, si lo igualamos a una constante, son parábolas,
¿eh? x menos y al cuadrado igual a una constante, es una parábola, una
parábola de eje horizontal. Bueno, eso es interesante saberlo porque luego
podemos representarlo para interpretarlo. Con las restricciones menos y
menor o igual que cero. Y x al cuadrado más y al cuadrado menos uno menor
o igual que cero. O x al cuadrado menos y al cuadrado menor o igual que
uno, que sería, pongamos, el círculo de radio uno. Bueno, pues escribir
las condiciones necesarias de Kuhltaker y encontrar algún punto que las
verifique. Y estudiar si el punto es solución del problema. O sea, es el
ejercicio típico. Bien, escribimos la Lagrangiana, ¿eh?, que sería la
función objetivo, x menos y al cuadrado más. Lambda sub uno por la
primera condición, como es menos y, pues por menos y. O sea, menos lambda
sub uno por y. Y más lambda sub dos por la segunda condición. x al
cuadrado más y al cuadrado menos uno. El problema este estaba escrito en
la forma estándar, ¿eh? O sea, que es maximizar y las condiciones con
menor o igual. Bien, pues aquí derivamos, ¿no?, hacemos las parciales.
Deriva parcial respecto de x es uno más dos lambda sub dos x. La igualamos
a cero. La segunda, o sea, deriva parcial respecto de y, que sería menos
dos y menos lambda sub uno más dos lambda sub dos y. La igualamos a cero.
Y luego ya escribimos las condiciones de holgura complementarias estas que
son menos lambda sub uno por y igual a cero. Lambda sub dos por x al
cuadrado más y al cuadrado menos uno igual a cero. Y las desigualdades.
Todo este sistema, pues el que tenemos que resolver. Bueno, aquí, pues
esto hay que hacerlo, claro, esto puede ser laborioso, ¿eh? La resolución
de estos sistemas. Un procedimiento, bueno, que puede ser útil a veces, o
sea, no conviene cambiar tampoco. Pero bueno, es por ejemplo considerar que
los dos lambdas son cero. Lambda sub uno y lambda sub dos igual a cero. Ver
qué queda. Que... Que uno es cero y el otro no. O viceversa. O que ninguno
es cero, ¿eh? Los dos son negativos. Y entonces así paso a paso los
valores del sistema. Bueno, aquí la única solución con los lambdas
negativos es esta. X igual a uno e igual a cero, ¿eh? Por ejemplo,
podríamos... Aquí, bueno, aquí se ve en este sistema. Podemos empezar
con el lambda sub dos. Se ve fácilmente que lambda sub dos no puede ser
cero. Porque si lambda sub dos fuese cero. Pues fíjate tú, aquí en esta
primera ecuación me quedaría que uno es igual a cero. Por tanto, eso
está eliminado. Lambda sub dos no puede ser cero. Luego lambda sub dos
tiene que ser a la fuerza menor que cero. Luego si lambda sub dos es menor
que cero. De esta... De esta igualdad me queda que X al cuadrado más y
cuadrado tiene que ser uno. Es decir, que vamos analizando, vamos razonando
poquito a poquito de esa manera. Por tanto ya sé que lambda sub dos tiene
que ser menor que cero. Luego, por ejemplo, la Y. Si... Si la Y fuese cero.
La Y podría ser cero. Bueno. La Y podría ser cero. Podría ser cero.
Porque si la Y fuese cero, pues aquí me quedaría que lambda sub uno
sería cero. Pero si la Y fuese... Distinta de cero. Entonces el...
Podríamos... Vamos a ver. Si... Bueno, por ejemplo. Si lambda... Mira. Si
lambda sub uno fuese cero. De la segunda igualdad. Podríamos sacar factor
común. Y la Y fuese distinto de cero. Podríamos sacar el factor común. Y
me quedaría que lambda sub dos sería igual a uno. Lo cual es imposible. O
sea, que lambda sub uno no puede ser cero. Y la Y distinto de cero.
Etcétera. Es decir, que vamos haciendo un análisis. Y al final, bueno,
pues nos sale que la única solución es esta de aquí. Con lambda sub dos
menor o igual que... O sea, igual a menos un medio. Y lambda sub uno igual
a cero. Bien. Pues... Entonces ese sería un punto que sería cantado. Un
candidato a máximo. Pero resulta que la región factible es convexa. Es un
semicírculo. Es un semicírculo porque tiene la Y mayor o igual que cero.
O sea, la parte positiva del semicírculo. Que es un conjunto convexo. Y la
función objetivo es cóncava. Recordamos cómo se averiguaba si una
función era cóncava. Había que calcular el Hessiano. Claro, como aquí
tengo ya las primeras derivadas. Pues si saco las segundas derivadas.
Respecto de X y respecto de Y. Me sale esto de aquí. Que es semidefinido
negativo. Porque el primero es cero y el segundo... O sea, perdona. El
primer es cero y el segundo es cero también. Por lo tanto, es semidefinida
negativa. Luego el punto este, uno cero, es un máximo global. Bueno. Esto
pues practicarlo como todo. Es un ejercicio. Otro también. Maximizar.
Aquí tenemos, aquí por ejemplo. Tenemos un ejercicio con condiciones de
no negatividad de las variables. Es decir que tenemos la función es 2X
menos Y cuadrado. O sea, 2Y perdón. 2Y menos X al cuadrado. Y las
restricciones son la misma de antes. El círculo de radio uno. Y luego
menos X mayor o igual que cero. O sea, X mayor o igual que cero. Y mayor o
igual que cero. Bueno. Entonces aquí vamos a utilizar el procedimiento de
no negatividad de las variables que hemos visto antes. La granjiana, que
sería esta. 2Y menos X al cuadrado más lambda por X al cuadrado más Y
cuadrado menos uno. No ponemos las otras dos condiciones de X mayor o igual
que cero. Y mayor o igual que cero. O sea que solamente utilizaremos un
lambda. Y entonces las condiciones de puntaje pues van a quedar de la
siguiente manera. Las derivadas respecto de X. Menos 2X más 2 lambda X
menor o igual que cero. Menor o igual que cero. O igual a cero. O igual a
cero si X es mayor que cero. Esa era la condición. Luego respecto de Y que
sería 2Y. O sea, 2 perdón. Más 2 lambda Y menor o igual que cero. O
igual a cero si Y es mayor que cero. Y ya los productos son lambda por X al
cuadrado más Y cuadrado menos uno igual a cero. Y la condición, la
restricción. X al cuadrado menos Y cuadrado menor o igual que uno. Lambda
menor o igual que cero. Y las otras restricciones. Hay que ponerlas por
supuesto en el sistema. Bueno, aquí, en fin, aquí está más detallada la
solución desde luego. Si lambda es igual a cero. Empezamos dándole a
cero, a lambda el valor cero. Si lambda fuese cero. Pues aquí en la
primera, en la primera, en la primera, no, en la segunda, en la segunda
inequación. Aquí si lambda vale cero me quedaría dos. Menor o igual que
cero. Obviamente es imposible, por tanto, lambda no puede ser cero.
Entonces si lambda fuese menor que cero. Hay varias posibilidades y
empezamos con la X, ¿no? Por ejemplo, si X mayor que cero. Bueno, pues si
lambda es ya negativo y X es mayor que cero. La, de aquí, de aquí de esta
primera. De aquí de esta primera inequación. Que puesto que lambda, o
sea, puesto que X es mayor que cero. Se convertiría en ecuación. Porque
si X es mayor que cero. Esto se convierte en igualdad. Sacamos la X, factor
común. O sea, podemos eliminar la X y el dos. Y me queda que lambda vale
uno. Que lambda valdría uno. Claro, eso es imposible porque estamos
exigiendo que lambda sea negativo. O sea, menor o igual que cero. Por lo
tanto tendrá que ser forzosamente X igual a cero. Y en ese caso, si X es
igual a cero. Pues... Bueno, y puesto que lambda es menor que cero de
aquí, por ejemplo. Si lambda es menor que cero lo puedo simplificar. Y si
X es cero me queda Y cuadrado igual a uno. Luego hay dos posibilidades para
Y. Que Y vale uno. Y ya tengo, o sea, ya tengo. X igual a cero. Y igual a
uno. Y entonces despejo lambda. Por ejemplo de aquí de la primera... De la
primera ecuación. Lambda vale menos uno. O bien. Si X es igual a cero. Y
igual a menos uno. Entonces uno menos lambda. Menor o igual que cero. Igual
es imposible. O sea, me saldría que lambda es mayor o igual que uno. Pero
eso es imposible, claro. Porque estamos exigiendo la negatividad de lambda.
Bueno, por lo tanto. Hay una. Una única solución. Que es cero uno con el
lambda igual a menos uno. O sea, cumple las condiciones. Entonces puesto
que se trata de maximizar una función continua. Sobre un conjunto cerrado
y acotado. Cerrado y acotado que era el compacto. Hemos visto antes el
teorema de los valores extremos. Pues sabemos que el problema tiene
solución. Entonces el punto precisamente es el que hemos hallado. Entonces
se maximiza esta función. Y claro. El valor máximo es el que resulta
sustituir. Sustituimos aquí. La x por cero. Y la y por uno. Me sale dos. O
sea que esta función. El máximo valor que toma en este recinto. Pues.
Bien. Aquí tenemos. Por ejemplo. Un problema de minimizar. Tenemos que
minimizar un problema. Pues es una función. Uno menos x más y cuadrado.
Con la restricción que también es el círculo. Círculo unidad. Bien.
Puesto que se trata de minimizar. Pues haremos lo que hemos dicho antes.
Aquí colocaremos la lagrangiana con el lambda. Con signo menos delante.
Sería uno menos x más y cuadrado. Menos lambda. Y la restricción.
Entonces las condiciones de Kuhn-Tacker. Pues siempre. O sea derivamos
respecto de x. Menos uno. Menos dos lambda x igual a cero. Derivamos
respecto de y. O sea dos y. Menos dos lambda y igual a cero. Lambda por x
cuadrado más y cuadrado menos uno igual a cero. Lambda es menor o igual
que cero. Y la restricción. x cuadrado más y cuadrado menos uno igual a
cero. Empezamos como antes. Caso de que lambda sea igual a cero. Bueno pues
imposible. Porque la primera ecuación. Si lambda vale cero quedaría menos
uno igual a cero. Por tanto descartado que lambda sea cero. Caso de que
lambda sea menor que cero. En ese caso. Pues analizamos parecido a lo de
antes. Con la y. Si es igual a cero. ¿Qué ocurre? Bueno pues si la y vale
cero. De aquí sacaríamos que x al cuadrado. Es igual a uno. De aquí. De
aquí sacaríamos. Si lambda es menor que cero. La lambda la simplificamos.
Y me quedaría. Si la y vale cero. Que x al cuadrado es igual a uno. Hay
una opción. Que es que x sea uno. En ese caso. Si x vale uno. De la
primera. Igualdad. Sacaríamos que lambda vale menos un medio. Con lo cual
ya tenemos. Esto cumple las condiciones que tendría un punto. El punto uno
cero. Con lambda menos un medio. Y luego. Si la x era menos uno. El lambda
vale un medio. Pero como estamos exigiendo. Que el lambda sea negativo.
Pues esta la descartamos. Y después. Si la y fuese distinto de cero. De la
segunda ecuación. Pues sacarle que lambda es igual a uno. Pues también lo
tenemos. Por tanto. Pues eso. Solo tengo una solución. Posible punto
candidato. Y pues lo mismo que antes. ¿No? También se trata aquí. Se
trata de minimizar. Una función continua también. Uno menos x más un
cuadrado. Es una función continua. Es un polinomio. Sobre un conjunto. Un
conjunto cerrado y acotado. Desde el círculo. Y lo mismo. El mismo
teorema. Pero con los extremos. Que garantiza la solución al problema.
Esto que minimiza. Igual. Esto. Es. Para ejercitarse. Bien. Aquí tenemos
otro problema. Aquí por ejemplo. Habla de extremos. O sea que. Tanto es
maximizar. Como minimizar. ¿No? A veces también. Los problemas se
plantean. Optimizar. Bueno. Pues optimizar. También. Se puede referir. A
este punto. A. Máximo. Como a mínimo. Bueno. Pues nosotros aquí. Nos
vamos a hacer poner. A la gringiana. Con el lambda. Bueno. Hay una
restricción. Es lineal. ¿No? Entonces sería. E elevado al menos x. Más
e elevado al menos y. Más lambda por x. Más y. Menos cuatro. Y entonces
las condiciones de puntaje. Son estas de aquí. No hemos puesto. Eh. No
ponemos nada sobre el lambda. Depende. O sea. Si. Si exigimos que sea
negativo. Eso es. Para maximizar. Y si fuese positivo. Sería para
minimizar. Bueno. Pues. Hacemos las derivadas. ¿No? Derivada de. E elevado
al menos x. Es menos. E elevado al menos x. Más el lambda. Luego derivando
respecto de y. Menos. E elevado al menos y. Más lambda también. Lambda
por x. Más y. Menos cuatro. Igual a cero. Y. La. Restricción. X. Más y.
Menos cuatro. Menor o igual que cero. No. Hablamos. Por ejemplo. Si el
lambda no puede ser cero. ¿Por qué? Porque. Si el lambda puede ser cero.
Aquí me aparecería que. Menos. E elevado al menos x. Sería igual a cero.
Pero eso no puede ser. Porque. E elevado al menos x. Nunca puede ser cero.
E elevado al menos x. De hecho. Siempre es positivo. Por tanto. Lambda no
puede ser cero. Es que lambda. Va a ser distinto de cero. Por lo tanto. X
más y. Va a ser cuatro. Si. Si el lambda es distinto de cero. X más y. Va
a ser cuatro. La tercera. Y. Igualdad. Y. Puesto que. Bueno. Y de las dos
primeras igualdades. De las dos primeras igualdades. Si las. Restamos.
Desaparece lambda. Y me queda. Que. E elevado al menos x. Es igual que. E
elevado al menos y. Luego. X es igual a y. Si. E elevado al menos x. Es
igual a menos y. Los exponentes son iguales. X es igual a y. Así es que.
Si. X más y. Es cuatro. Y. X e y. Igual a menos y. Pues. X e y. Es igual
a. Y. Como es positivo. O sea que no nos a salido el lambda negativo. Como
es positivo. El. Punto hallado. Cumple la condición de salida para
mínimo. En caso mínimo. Nosotros. En la forma estándar de ponerlo
cambiamos el signo de lambda. Para que siguiera siendo negativo pero si no
lo cambia. Eso sale positivo. La condición de salida para mínimo.
Entonces puesto que. E elevado al menos x. x más e elevado a m es convexa
y el conjunto factible es un convexo, es lineal, entonces la solución es
un mínimo global del problema. El ejercicio, bueno, no son todos iguales
pero se parecen, por lo menos en el planteamiento. Bien, aquí tenemos otro
ejercicio que sería maximizar esta expresión, menos x menos 2 al cuadrado
menos y menos 3 al cuadrado, bueno en esta restricción, x menor o igual
que 1 y menor o igual que 1. Bueno, pues escribimos a la granjiana esto ya
es rutinario menos x menos x menos 2 al cuadrado, menos y menos 3 al
cuadrado, más lambda sub 1 por x menos 1, más lambda sub 2 por y menos 2
y luego pues hacer derivadas, ¿no? Entonces, derivando respecto de x menos
2 por x menos 2, más lambda sub 1 igual a 0 menos 2 por y menos 3, más
lambda sub 2 igual a 0, lambda sub 1 por x menos 1 igual a 0 lambda sub 2
por y menos 2 igual a 0, las condiciones de non para los lambdas, ¿no? Y
luego las restricciones. Bueno, aquí pues el razonamiento del análisis es
lo mismo, ¿no? Si lambda sub 1 igual a 0, ¿no? Igualamos lambda sub 1 a
0, pues en ese caso imposible porque entonces x valdría 2, ¿eh? Si lambda
sub 1 es 0 de la primera ecuación deducimos que x es igual a 2, que va en
contra de la primera restricción porque la x tiene que ser menor o igual
que 1, ¿eh? Por tanto, eso no puede ser. Lambda sub 1 no puede ser 0.
Luego lambda sub 1 tiene que ser menor que 0. Si lambda sub 1 es menor que
0, entonces de la tercera ecuación obtenemos que x tiene que ser un 1,
¿eh? Y si x vale 1 de la primera, ¿eh? De la primera ecuación
sustituimos la x por 1 y me queda que lambda sub 1 tiene que ser menos 2.
Entonces en ese caso tengo en el caso de que lambda sub 1 era menor que 0 y
que ya lo he calculado, eso vale menos 2, ¿no? En ese caso vamos a ver
qué pasa con la lambda sub 2, las opciones para la lambda sub 2. Si la
lambda sub 2 fuese 0, pues es imposible porque se deduciría que y vale 3,
¿eh? Si lambda sub 2 vale 0 de la segunda ecuación obtengo que y valdría
3, lo cual también va en contra de la segunda restricción. Así es que
lambda sub 2 tiene que ser menor que 0. Si lambda sub 2 es menor que 0 pues
entonces la y tiene que ser 2, ¿eh? De la cuarta de la cuarta condición
deduzco que la y tiene que ser 2. Luego entonces ya sustituyo en la segunda
ecuación y saco el valor de lambda sub 2. Bueno, esto, fin ahí. Para que
veas un poco cómo se resuelven estos sistemas, ya te he dicho, o sea que
trabajando con los lambdas, ¿no? Primero se anula uno, etcétera, se va a
relacionar pues de esta manera, ¿eh? Ya digo, va todo más o menos
encadenado y los hay pues eso un poco más, se resisten un poco más y
otros se resisten menos. Bueno, claro, que hemos obtenido una única
solución que es el punto 1, 2 con los valores de lambda también pues el
lambda sub 1 vale menos 2. Entonces la función objetivo es cóncava porque
la forma cuadrática asociada a sub 2 es definida negativa. Y como la
región factible es convexa porque está formada por funciones lineales,
entonces el punto 1, 2 es un máximo global. Bien. Bueno, este no sería
difícil de hacer un dibujito de él porque la función objetivo para
valores constantes, para valores que sean negativos fíjate tú que son una
res, podríamos decir que es una suma de dos términos que son negativos
porque el menos x menos 2 al cuadrado es negativo y menos y menos 3 al
cuadrado es negativo. Es decir, eso es negativo o cero. Entonces, claro, lo
único, el mínimo valor, o sea, bueno, el máximo el máximo valor que
podría tomar eso si no hubiera restricciones sería cero ¿eh? Porque es
un mínimo. Siempre menor o igual que cero, claro. Sería el cero y el cero
lo tomaría en el punto x igual a 2 y igual a 3. Pero claro, x igual a 2 e
igual a 3 son precisamente los que nos han salido antes al resolver el
sistema, pero es que no cumplen las restricciones. Bueno, con este ya digo,
sería difícil de dibujar. O bueno, o de interpretar. Bien, otro partido
también, ¿eh? Maximizar y menos x al cuadrado. Bueno, pues con estas. Con
estas restricciones, x al cuadrado es igual a 1 e igual a 3, ¿eh? Aquí
tenemos a la granjiana. Y bueno, y las condiciones de Kintaker, pues lo
mismo, ¿no? Las derivadas. Bueno, y aquí pues se hace una raíz similar,
¿no? Lambda sub 1. Debe ser lambda sub 1 porque si lambda sub 1 fuese cero
la segunda igualdad es imposible. Entonces sería 1 igual a cero. O x al
cuadrado más x al cuadrado vale 1. Si lambda 2 fuese cero, ¿eh? De la
primera igualdad. De la primera igualdad me quedaría, sacando la x, eh,
factor común, me quedaría que x vale cero. Porque lambda sub 1, lambda
sub 1, eh, no, lambda sub 1 no puede ser 1, ¿eh? Por lo tanto, 1 menos
menos 1 más lambda sub 1 es distinto de cero. Por eso de aquí deduco que
x es cero, ¿no? Bueno, y de aquí pues vamos sacando. Y igual a 1,
¿verdad? Como x al cuadrado más x al cuadrado es igual a 1, la y vale 1.
Lambda sub 1 menos 1. Medio, el punto 0, 1. Y luego, por lo tanto, es
imposible. Y si lambda sub 2 fuese negativo, x igual a cero, lo que
contradice la primera igualdad, pues se obtendría que lambda sub 2 fuese
cero. Bueno, pues ahora tenemos aquí el punto 0, 1. Por ejemplo, la
región factible es cerrada y acotada, es un semicírculo. El punto 0, 1 ha
surgido de problemas. Bueno, bueno. Este parecido es que vamos a ver.
Vamos, voy a... Estos como los tiene, ¿eh? Que los puede poner a Diego en
la carpeta. Puedes bajar el tema y está todo. Tienes que ir revisando,
¿no? Vamos a ver alguno con gráfica. Que tenga alguna... Aquí, por
ejemplo, este ejercicio, ¿no? Pues resuelve el problema de optimización.
Decide por maximizar, ¿eh? Menos x menos y cuadrado. Sujeto a estas dos
restricciones. Menos 2x más y cuadrado. Menor o igual que 4. Y luego estas
dos. x mayor o igual que 0 e y mayor o igual que 0. Entonces, fijándonos
un poquito. Que eso siempre, como he dicho antes, conviene hacerlo. Resulta
que... Bueno, aquí está el recinto dibujado, ¿eh? Porque la primera, o
sea, menos 2x más y cuadrado. Menor o igual que 4. Es esta parábola que
tenemos aquí, ¿no? Dibujada, esta parábola. x mayor... O sea, es una
parábola porque, fíjate, tú si despejas la x, ¿eh? Desde aquí, ¿eh? Y
despejamos la x. Me queda que es igual a y. O sea, poniéndolo...
Dividiendo la igualdad, ¿no? Poniendo un reducto en el igual, pongo un
igual. Y despejo la x, me queda que es igual. 2x, 2x sería igual a y
cuadrado menos 4. Dividiéndolo por 2, me quedaría que x al cuadrado es un
medio de y cuadrado menos 2. Eso es una parábola de eje horizontal. Bueno,
tenemos aquí dibujado. Y luego, x mayor o igual que 0, y mayor o igual que
0. De acuerdo, c positivo. O sea, que esta región, que está aquí pintada
de amarillo, sería la región factible. Y claro, ahí en esa zona... Donde
la x y la y, ambas son positivas. Resulta que la función objetivo, ¿eh?
Menos x menos y cuadrado, siempre es negativa. Porque menos x, si x es
positivo, pues menos x es negativo. Y menos y cuadrado siempre es negativo,
claro. O 0, o sea, podría ser 0 lo mínimo, ¿no? Entonces, como se trata
de maximizar una función que va a ser siempre menor o igual que 0, pues el
valor máximo que puede alcanzar dentro de esa región, que está pintada
de amarillo, es el 0. El valor máximo de una cantidad que es menor o igual
que 0 es 0. Y 0... ¿Qué tiene que valer x e y para que esto sea 0?
Pues... x igual a 0 e y igual a 0. Tienen que ser las dos mayores o iguales
que 0. La x y la y. La x y la y mayores o iguales que 0. Ya digo, si fuesen
mayores que 0, esto nunca sería 0. La función objetivo. Luego, para que
eso sea 0, la x y la y tienen que ser 0. O sea, que entonces, este
ejercicio, simplemente observando la función y en la región en la que se
encuentra, pues eso es trivial. Entonces, las soluciones lucen en 0. Bueno,
se podría, se puede, no sé, vamos a ver un examen. Se podría razonar de
esa manera. Es un razonamiento correcto. Bueno, y está resuelto el
problema, claro. Pero bueno, si lo podemos hacer formalmente, ¿no? Y,
bueno, informalmente, pues vuelva, se sale igual, claro. Sale 0, 0. O sea,
que hacemos todo. O sea, ponemos la laranjiana, condiciones de punta que
hacemos todo el sistema, lo resolvemos, ¿no? Caso por caso, etcétera. Y
al final, pues solamente nos va a dar la solución 0, 0. Bueno. O sea, que
en este ejercicio nos hemos basado un poco en la... Bueno, en la gráfica,
pero bueno, más que nada en la... Eso en la gráfica y eso en la forma de
la función objetivo, ¿no? Al ver que es menos x menos y cuadrado, y en la
zona esa que siempre es negativo, por nombre, maximizar una cantidad que es
menor o igual que 0, lo máximo es el resultado. Bueno, este es típico
también, maximizar esta función. Las condiciones de no negatividad, ¿eh?
De no negatividad. Por tanto, lo escribimos, ¿eh? Las condiciones de no
negatividad. Siempre cuando se resuelve esto, pues es cuestión de verlo,
si lo ves tranquilamente. Aquí tenemos otro que, bueno, también está la
representación gráfica que puede, bueno, ilustrar el problema, ¿no? Se
trata de maximizar x más y. Sí, es un ejemplo. Sujeto a pi menor o igual
que 4 o y mayor o igual que x al cuadrado. Esto es fácil de dibujar,
claro, precisamente. Pi menor o igual que 4... Y igual a 4 es la recta,
¿eh? Aquí la tenemos. La recta. La recta paralela al eje de las x, ¿eh?
Paso por el punto 0, 4. Esa es y igual a 4. Entonces, la zona y menor o
igual que 4, pues la parte de abajo, ¿no? Y mayor o igual que x al
cuadrado. La y igual a x al cuadrado sería la parábola, ¿no? Por tanto,
y mayor o igual que x al cuadrado, la parte interior de esa parábola. Así
que la región factible, pues es la zona esta que está pintada amarillo
entre la parábola y la recta. Entonces, x más y es una suma. La suma de x
y de y. O sea, la suma de las coordenadas de cada punto, claro. Que tomes.
Entonces, en esta región de color amarillo, bueno, x más y igual a una
constante es una recta, claro. Son rectas que son estas rectas de aquí,
¿no? Van en esta dirección, en esa dirección, ¿no? Todas, x más y
igual a cualquier constante, pues son rectas todas paralelas a esta
dirección, claro. Entonces, cuanto más arriba subimos, más grande es el
x más y igual a esa constante va aumentando según subimos hacia arriba,
¿no? Por tanto... Cuando se trata de maximizar, pues dentro de esta
región de color amarillo, la recta que mayor valor toma, ¿no? Es justo la
que toca ahí, porque a partir de ahí la que sigue subiendo ya se sale,
claro. Entonces, ese puntito que hay ahí, ¿no? Donde se corta la
parábola con la recta, ¿no? Para y igual a 4, la x vale 2, claro.
Sustituyes en la parábola, por ejemplo, sale si la y vale 4, la x vale 2,
¿eh? La parte positiva. Pues ahí tienes la solución. O sea, que sería
el punto 2, 4. El punto 2, 4 maximiza x más y. Y el valor máximo es 6. O
sea, que esto tiene una representación gráfica muy clara y sencilla.
Bueno, sabiendo ya lo que nos va a salir, podemos atacar el problema de
forma... Pues eso, x más y, lambda sub 1, lambda sub 2, etcétera. Bueno,
la solvemos, ¿no? Y tenemos eso. La única solución, que ya lo sabemos,
es x igual a 2, y igual a 4. Y los lambdas suben, y los lambdas, los
negativos, como tienen que ser. Bien. Bueno, este es otro ejercicio hecho
gráficamente. Aquí se trata de maximizar también una expresión lineal.
Por tanto, para distintos valores que vaya tomando 2x más y, son rectas,
¿eh? Para todos están bien. Sujeto a x cuadrado más y cuadrado más o
igual que 1, el círculo. Y x menos y cuadrado más o igual que 0, que es
la parábola, ¿eh? De esta horizontal también. Está aquí representado,
¿eh? Este color naranjita que hay aquí. Entonces, las rectas paralelas...
2x más y igual a constante. O sea, aquí, por ejemplo, tenemos esta que
sería 2x más y igual a 0. Y luego va aumentando hacia arriba, ¿no?
Entonces, claro, cuando deja ya de tocar el último punto, ¿eh? Donde toca
a la región factible, pues sería ese punto de ahí. Ese es el punto que
maximiza 2x más y. Bueno, aquí, pues está hecho, ya digo. De una manera
algebraica, algebraica de eso. Pongamos, bueno, pues deriva la
circunferencia, ¿no? Y se iguala la derivada a la pendiente de la recta,
que es menos 2. O sea, bueno, que... Exacto, porque aquí despejamos y más
2x igual a constante. Al despejar la y me sale menos 2x. La pendiente es
menos 2. Igualas la derivada a menos 2. Despejas la x. Sustituyes, despejas
la y y cerra el punto. Sabe este punto, ¿no? Sabe este punto, es el punto
de la solución. Bueno, y hecho formalmente, pues sale. Bueno, hay aquí
unos cuantos ejercicios más, ¿no? Son del mismo estilo y hay que, ¿eh?
Hay que hacérselos y es todo lo que ya digo. La gráfica, ¿eh? Alguna
cosa. Y bien, pues aquí lo dejamos, ¿no? Eso, tenga suerte. Con la
resolución de estos problemas. Venga.