Bueno, hoy vamos a ver el tema 4, que es introducción a las ecuaciones
diferenciales. Bien, en primer lugar vamos a ver qué es una ecuación
diferencial ordinaria de orden n. Bueno, pues se trata de una relación, es
una ecuación, como dice la denunciada, en donde aparece la variable x, la
función y, que depende de x, y las sucesivas derivadas de esta, que
podemos escribir en general, pasamos todo al primer miembro, una función
donde aparece la x, la y, la y', la y' etc., hasta la derivada enésima,
igualada a cero. Y ahí le viene el nombre de ordinaria de grado n, que es
el orden de la última derivada que aparece en la ecuación. Entonces, una
solución de esta ecuación, es una función igual a f de x que, sustituida
en la ecuación, pues la verifica. En ocasiones, como veremos, la derivada,
lo que es la expresión y', se sustituye por diferencial de y partido por
diferencial de x o viceversa. Bien, pues vamos a ver en primer lugar
ecuaciones diferenciales de primero. Y el primer tipo de ecuaciones es lo
que llamamos ecuaciones, de variables separadas, que son aquellas en las
que podemos separar la x en un primer miembro y la y en un segundo miembro.
Que aparecerían de la forma f sub 1 de x por diferencial de x igual a f
sub 2 de y por diferencial de y. Entonces, para hallar la función y es
suficiente hacer la integral, puesto que si estas dos expresiones son
iguales, pues sus integrales también serán iguales, salvo una constante,
por lo tanto, la resolución de la ecuación es simplemente hacer la
integral de cada miembro. Por ejemplo, vamos a ver un ejemplo. Aquí
tenemos una ecuación diferencial, que es x 4x menos x al cuadrado por
diferencial de x menos y por diferencial de y igual a cero. Evidentemente,
es de variables separadas, puesto que si pasamos al segundo miembro y
diferencial de y, pues nos queda como la expresión anterior. Entonces,
simplemente, y. Si integramos, esto sería la integral de 4x menos x al
cuadrado por diferencial de x menos la integral de y por diferencial de y,
pues será igual a una constante. Y bueno, estas integrales son inmediatas.
La integral de 4x es 2x al cuadrado, menos la integral de x al cuadrado,
que sería x al cubo partido por 3, menos la integral de y, que es y
cuadrado partido por 2, igual a una constante y esto es lo que se llama la
solución de la ecuación. Evidentemente, la función y, en este caso, no
está, podríamos decir, despejada, pero bueno, aparece implícita. No es
necesario, por ejemplo, en este caso la podríamos despejar, pero siempre
aparecería el más menos y que no se trata de una función, está
implícita. Esta sería la solución. Vamos a ver otro tipo de ecuaciones
diferenciales, las que llamamos ecuaciones de variables separables.
Entonces, bueno, estas pues tienen la forma que vemos aquí, f sub 1 de x
por g sub 2 de y, diferencial de x, igual a g sub 1 de x por g sub 2 de y,
diferencial de y. Claro, aquí no están separadas las variables, pero las
podemos convertir en una ecuación de variables separadas simplemente
dividiendo por el producto f sub 2 de y por g sub 1 de x. En este caso,
pues pasamos al primer miembro, pasaríamos todas las x y al segundo
miembro pasaríamos todas las x. Bien, y en este caso, pues ya digo, como
en el apartado anterior, pues ya se ve sólo como podrían ser separadas.
Por ejemplo, y por 1 más e elevado a x diferencial de y menos y cuadrado
más 1 por e elevado a x diferencial de x, bueno, pues es del tipo este,
¿no? Entonces dividimos por 1 más e elevado a x por y cuadrado más 1 y
entonces, pues nos aparece en el primer miembro, o en el segundo miembro,
el primer momento de esta resta, ¿no? Aparecería y partido por y cuadrado
más 1, el 1 más e elevado a x se simplifica, menos, y en el segundo
sustraendo, pues aparecería e elevado a x, el 1, el y cuadrado más 1
desaparece y partido por 1 más e elevado a x igual a c. Entonces esta,
pues ya es esta ecuación, es ya de variables separadas y entonces
simplemente integramos y nos quedaría ambas son inmediatas, las dos
integrales de estas son inmediatas. La integral de y partido por y cuadrado
más 1 es logaritmo neperiano de y cuadrado más 1 partido por 2 y la
integral de e elevado a x partido por 1 más e elevado a x que es logaritmo
neperiano de 1 más e elevado a x y luego igual que ya estaría resulta la
ecuación. Bien. Otro tipo de ecuación es la que llamamos ecuación lineal
Estas ecuaciones pues tienen esta forma que vemos aquí, es decir que
aparece y prima, la primera derivada de la función más una expresión que
depende de x multiplicada por y, o sea el p de x que sería un coeficiente,
coeficiente de la y igual a q de x. Este tipo de ecuaciones evidentemente
aquí ya no se pueden separar las variables, o sea esta no es ni variable
separada ni es de variables separables y se llama ecuación lineal. Es
lineal porque es lineal en y y en y prima. La función y y su derivada no
están elevadas a la unidad, no tienen otro exponente por eso se dice
lineal de primero. Bien. Entonces ¿cómo resolvemos esta ecuación? Pues
hallaremos dos funciones u y v, son funciones de x que su producto sea la
función y. Es decir que de alguna manera descomponemos y, que es la
incógnita claro, la desconocemos en un producto de dos funciones que en
este momento también desconocemos u y v. Entonces si aquí derivamos en
esta igualdad y igual a u por v vamos a hallar u y v derivando y
sustituyendo la ecuación bueno si la derivada de y igual a u por v pues
sería y prima igual a teniendo en cuenta que v son funciones de x pues
sería la derivada del primero u prima por segundo sin derivar con v más
el primero sin derivar u por la derivada del segundo v prima. Entonces esto
lo sustituimos en la ecuación entonces nos aparecería y prima que lo
tenemos aquí que es u prima v más u v prima más p de x por y que sería
p de x por v igual a q de x. Entonces aquí lo que hacemos es sacar v
factor común observamos que v es factor común de u prima más p de x por
u entre corchetes multiplicado por v y el resto lo que quede sería u por v
prima igual a q de x. Entonces puesto que nosotros lo que queremos es hacer
la descomposición de y en ese producto u por v pues lo vamos a elegir un
poco a nuestra conveniencia tenemos ciertos márgenes y entonces vamos a
elegir la función u de manera que u prima más p de x por u lo que está
aquí entre el corchete sea igual a cero. O sea que lo igualamos a cero u
prima más p de x por u entonces de aquí si dividimos por u nos queda que
u prima partido por u es igual a menos p de x y aquí ya esto vamos, esta
ecuación es de variables separadas ya entonces la integramos entonces la
integral de u prima partido por u sería logaritmo neperiano de u igual a
la integral de p de x sin la menos que está bien, por lo tanto ya podemos
despejar u o sea que u de aquí sería e elevado a esa integral, a menos la
integral de p de x diferencial de u bueno, ya tenemos u y entonces
sustituimos entonces en la ecuación uno que tenemos aquí arriba y
entonces nos quedaría puesto que u prima más p de x por u como esta u la
hemos elegido para que u prima más p de x por u sea cero aparecería,
luego me quedaría el u por v prima que tengo aquí, o sea aquí está el u
que es e elevado a menos la integral de p de x diferencial de x por v prima
igual a q de x entonces esta ecuación que tenemos aquí ahora podemos
decir que también es de variables separables o sea puesto que lo que hago
es que paso el e elevado a menos la integral de p de x diferencial de x, lo
pasamos al segundo miembro por lo tanto aquí me quedaría v prima es igual
a q de x sustituido por e elevado a la integral, ya pierde el signo menos
porque ha pasado al segundo miembro integral de p de x diferencial de x y
aquí pues ya simplemente integramos, o sea que si v prima era igual a eso,
pues v será la integral de esta ecuación lo hemos dicho aquí en general
entonces bueno, ya tenemos u y tenemos v por tanto ya tenemos i que es
nuestra incógnita por tanto la función i que es lo que buscamos, ya
tenemos integrada la ecuación, pues sería el producto de esa v y de esa u
que hemos hallado bien, vamos a ver un ejemplo vamos a ver un ejemplo de
ecuación lineal de primer orden, bueno aquí tenemos esta ecuación que es
i prima más 2x i igual a 4x, responde al modelo que tenemos ahí arriba o
sea que es i prima más una función de x que es 2x dividida por i igual a
otra función de x igual a 4x bueno, pues entonces nada, actuamos tal y
como está aquí expresado hacemos el cambio i igual a u por v de donde i
prima es u prima v más u por v prima, sustituimos en la ecuación,
entonces me queda u prima v más u por v prima más 2x i que sería 2x por
v igual a 4x entonces sacamos factor común v, esto es cuestión de, vamos,
repetir el procedimiento, sacamos el v, factor común de u prima más 2x u
y el resto que me queda, más u por v prima igual a 4x hacemos cero lo que
está entre paréntesis el u prima más 2x u lo hacemos igual a cero y
entonces dividiendo por u u prima partido por u esta ecuación u prima más
2x u ya es de variables separables dividimos por u y me queda u prima
partido por u igual a menos 2x y entonces integramos la integral de u prima
partido por u que sería logaritmo neperiano de u pues sería igual a la
integral de menos 2x que es menos x al cuadrado fíjate, aquí no ponemos
constantes porque en realidad la descomposición de i igual a u por v tiene
infinitas soluciones y bueno pues yo voy a las constantes se las pondremos
luego a la v así que en principio u es una función cualquiera de las
infinitas que cumplen esa igualdad por eso aquí ya lo integramos sin poner
constantes entonces bueno si logaritmo neperiano de u es menos x al
cuadrado u es e elevado a menos x al cuadrado, ya tengo la u entonces
sustituyo ahora en la ecuación puesto que lo que hay entre paréntesis es
cero no lo ponemos evidentemente entonces me queda que u por v prima o sea
tenemos aquí u por v prima igual a 4x y despejo v prima esto paso el e
elevado a menos x al cuadrado lo paso al segundo miembro sería 4x por e
elevado a x al cuadrado y esto pues ya lo integramos entonces bueno esta es
inmediata puesto que la derivada de e elevado a x al cuadrado es e elevado
a x al cuadrado por 2x puesto que aquí tengo 4x por e elevado a x al
cuadrado pues simplemente falta un 2 o sea que v ya digo que es inmediata
esta integral v es igual a 2 por e elevado a x al cuadrado más c bien
bueno aquí hay que decir que conviene repasar las primitivas el cálculo
integral en realidad no son muy complicadas las integrales que vamos a
necesitar aquí pues son casi todas van a ser inmediatas con mucho alguna
por partes pero bueno conviene repasarlo bien ya tenemos v, aquí a v si
que le hemos puesto ya la constante entonces ya está ya tenemos la
función simplemente multiplicamos u por v y esa sería la i y bueno aquí
se puede significar e elevado a menos x al cuadrado multiplicado por 2 e
elevado a x al cuadrado y luego más c por e elevado a menos x al cuadrado
esa sería la solución otro tipo de ecuación diferencial son las que se
llaman ecuaciones diferenciales homogéneas bueno pues primeramente veremos
lo que es una función una función homogénea de grado n es aquella que si
sustituimos la x y la i por tx y por pi entonces la t podemos sacar la
factor común con un exponente entonces ese exponente en este caso sería t
elevado a n por xy en ese caso digo decimos que la función es homogénea
de grado n siempre que eso se pueda hacer bueno una ecuación diferencial
de la forma p de xy diferencial de x más q de xy diferencial de i igual a
cero es homogénea si p y q son funciones homogéneas y del mismo grado
bueno entonces estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio i igual a u
por x aquí esto es todo muy mecánico una vez nosotros clasifiquemos la
ecuación veamos qué clase es aplicamos el cambio y salen bien entonces si
hacemos ese cambio i igual a u por x es decir que buscamos una función u
multiplicada por x sea igual a i la i es nuestra incógnita hacemos esa
descomposición bueno entonces derivando o mejor dicho diferenciando la i
diferencial de i es igual a la primera sin diferencial por la segunda más
la diferencial de la primera por la segunda sin diferencial la misma regla
que para derivar diferencial de i es igual a diferencial de x más x por
diferencial de i entonces al sustituir pues ya se transforma en una de
variables separables por lo tanto pues ya nada las variables separables ya
sabemos cómo primero las separamos y ya la integramos vamos a ver un
ejemplo aquí tenemos esta ecuación que bueno nosotros por supuesto ante
una ecuación diferencial es primero ver si es de variables separadas si
están separadas si no ver si son separables después pues ver si es
homogénea ver si es lineal o sea perdona ver si es lineal y sino pues ver
ya si es homogénea que es en lo que estamos o sea que nosotros ya podemos
decir que hemos agotado los casos anteriores no es de ninguno de los casos
anteriores bien en este caso pues efectivamente esta ecuación x al cubo
diferencial de x menos 3x y cuadrado por diferencial de i no se puede
separar no es separable no es lineal esta no es lineal bueno no es lineal
porque de momento la i está elevada al cubo en una de las expresiones y en
la otra está elevada al cuadrado por lo tanto no es una ecuación lineal
bien y observamos que es homogénea de grado 3 porque x al cubo más i al
cubo si sustituimos la x y la i por tx y por ti entonces t al cubo que
aparece lo puedo sacar factor común y en el segundo sustraendo si
sustituyo la x y la i por tx y por ti también me queda t al cubo que lo
puedo sacar factor común o sea podemos sacar ese t al cubo factor común
de toda la ecuación por lo tanto es culpa de la condición para ser
homogénea de grado 3 bien pues eso una vez comprobado que es homogénea de
grado 3 pues ya no hay más que hacer el cambio al ecuador entonces el
cambio ya digo x y sustituyendo el diferencial de i por lo que hemos dicho
aquí por u diferencial de x más x diferencial de u y organizando la
ecuación queda esto x al cubo más la i que sería u por x que sería u al
cubo por x al cubo diferencial de x menos 3x y cuadrado que sería u
cuadrado por x al cuadrado y por diferencial de i que es u diferencial de x
más x diferencial de u aquí si dividimos todo por x al cubo dividimos
todo por x al cubo observamos que lo tenemos en todos los términos entre
los dos en el minuendo y en el sustraendo se podría sacar el x al cubo
factor común cual se puede simplificar me quedaría 1 más u al cubo
diferencial de x en el minuendo y después en el sustraendo me quedaría
menos 3 u cuadrado aquí el x por x al cuadrado es el x al cubo que se
simplifica por u diferencial de x más x diferencial de u y entonces aquí
lo que vamos a hacer es pasar desarrollando esto agrupando todo lo que
lleva diferencial de x y por otro todo lo que lleva diferencial de u
precisamente vamos a separar las variables entonces lo que lleva
diferencial de x sería 1 más u al cubo menos 3 u al cubo del sustraendo
la parte de menos 3 u al cubo por lo tanto sería 1 menos 2 u al cubo eso
va por diferencial de x y luego todo lo que lleve diferencial de u que
sería simplemente el 3x u al cuadrado diferencial de u y ahora pues
dividimos por x y por 1 menos 2 u al cubo y de esa manera separamos vamos a
separar las variables dividiendo por 1 menos 2 u al cubo y por x entonces
bueno aquí ya nos quedaría diferencial de x partido por x le hemos
quitado el 1 menos 2 al cubo que pasa al segundo miembro menos 3 la x ya ha
desaparecido está dividiendo al diferencial de x u cuadrado partido por 1
menos 2 u al cubo diferencial de u igual a 0 y esta ya es de variables
separadas bien entonces aquí pues no hay más que integrar y observamos
que las dos son inmediatas porque diferencial de x partido por x es la
integral es el logaritmo neperiano de x y luego la integral de 3 u cuadrado
partido por 1 menos 2 u al cubo puesto que la derivada del denominador la
derivada del denominador es menos 6 u cuadrado y como arriba tengo 3 u
cuadrado pues ponemos un medio y tengo el menos también por lo tanto
sería más un medio logaritmo neperiano de 1 menos 2 u al cubo y eso es
igual a como era igual a 0 la integral sería una constante le ponemos yo
le pongo logaritmo de c bueno por dejarlo luego un poquito más elegante el
resultado final porque como está todo en logaritmos pues de esta manera
vamos a poder quitar los logaritmos y al final va a quedar una constante da
igual poner aquí c que logaritmo de c al fin y al cabo es una constante
bien entonces esto es equivalente a esta expresión de aquí lo que he
hecho es multiplicar por 2 logaritmo neperiano de x más logaritmo
neperiano de 1 menos 2 u al cubo igual a logaritmo neperiano de k fíjate
que ahora la constante ha cambiado he multiplicado por 2 esta k en realidad
sería la c cuadrado pero bueno aquí yo voy poniendo una constante
cualquiera y esto a su vez pues ya es equivalente lo que hago es que voy a
quitar los logaritmos como la suma de logaritmos sería el logaritmo de un
producto igual al logaritmo de k entonces quito los logaritmos claro por
tanto me daría x al cuadrado porque 2 logaritmo de x es logaritmo de x al
cuadrado por 1 menos 2 u al cubo igual a k bueno para lo que me queda es
deshacer el cambio hemos hecho el cambio de i igual a u por x sustituyo la
u por su valor que es i partido por x y ya pues me queda finalmente x al
cubo menos 2 i al cubo igual a k por x aquí al sustituir la u lo que he
hecho ha sido multiplicar por x para que aparezca ese denominador bueno hay
que quitar los denominadores pero bueno ya podéis presentarlo de esta
manera bueno este sería un ejemplo de ecuación diferencial homogénea
bien vamos a ver otro tipo ecuaciones diferenciales exactas bueno pues
cuando nosotros tenemos la ecuación diferencial la dan por ejemplo en este
caso se presentan de esta manera a veces las ecuaciones como hemos dicho al
principio pueden presentarse con i prima en vez de con diferencial de x y
diferencial de y se pueden presentar con i prima si nosotros bueno agotamos
vemos que no es de ninguno de los procedimientos que hemos visto hasta
ahora podemos ponerlo de esa manera separar la i prima poner la diferencial
de i partido por diferencial de x ponerla de esta forma y bueno intentar
ver si es lo que vamos a ver con diferencial exacta cuando ya hemos agotado
los casos anteriores bueno pues una ecuación de esta forma p de x y
diferencial de x más q de x y diferencial de y igual a c es diferencial
exacta si hay una función f de x y igual a c que es la que vamos a tener
que hallar f de x y igual a constante ya digo esa será la solución cuya
diferencial es la ecuación es decir que si yo diferencio la diferencial de
f de x y igual a constante que aparece pues aparece la parcial la
diferencial de f de x sería la parcial de f respecto de x por diferencial
de x más la parcial de f respecto de i por diferencial de i igual a cero
es decir que tiene un aspecto como una ecuación que nos han presentado por
tanto estoy buscando, busco esa función cuya parcial de f con respecto a x
sea p y cuya parcial de f con respecto a i sea q diferencial sea la
ecuación esa sería la solución entonces claro si se supone va a ocurrir
en todos los ejemplos o ejercicios que haremos las primeras derivadas
parciales de la función f son continuas en ese caso se cumple que la
parcial de p la p si es diferencial exacta la p sería la parcial de f con
respecto a x entonces y la q sería la parcial de f con respecto a i bueno,
pues en el caso de que las derivadas parciales de estas sean continuas la
parcial de p con respecto de i eso que sería sería la derivada segunda la
parcial segunda de f con respecto a x y con respecto a y pues es lo mismo
que la derivada segunda de f con respecto a y y con respecto a x si
cambiamos el orden de la derivación nos sale lo mismo en el caso de
continuidad de las derivadas parciales de f lo que tenemos aquí, o sea,
que la parcial de P con respecto a Y sea lo mismo que la parcial de Q con
respecto a X. Así es que esa va a ser la condición que se cumpliría para
ser diferencial exacta. Por tanto, nosotros ante una ecuación que nos
propongan que tenga este aspecto, si ya digo si no cumple ninguno de los
tipos anteriores ensayamos a ver si es diferencial exacta de esa manera
cogemos la derivada parcial de el coeficiente primero que es el de
diferencial de X, la P respecto de Y y calculamos también la derivada
parcial de Q con respecto a X y miramos a ver si son iguales. Bueno, esto
siempre tiene que estar puesto en la forma, en la ecuación, puesto de esa
manera claro, a veces aparece un distinto miembro de la igualdad, hay que
pasarlo todo al primer miembro etcétera, ojo con los signos, etcétera,
esto hay que llevar cuidado siempre, esto tal y como se está presentando
aquí. Bueno, pues entonces, si una vez se comprueba que es diferencial
exacta ya tenemos que hallar esa función F, ¿no? Entonces como la
derivada parcial de F con respecto a X es P y P la conocemos claro, está
en la ecuación, hacemos simplemente una integral, o sea que hacemos la
integral de P, pero tengamos en cuenta que P es una función de dos
variables, ¿eh? Hacemos la integral de P respecto de X entonces aquí la Y
aparecerá como una constante bueno, hacemos la integral y una vez hecha,
que ya se supone que ya está hecha, más la constante correspondiente,
pero no, esa constante en principio depende de Y nuestra Y aquí actúa
como constante ¿no? Bien por lo tanto, bueno, aquí está hecha ya la
integral, digo, donde C de Y pues una constante arbitraria pero que depende
de Y ahora ya si, en esta una vez hecha la integral si derivamos ahora
respecto de Y, la derivada de F la parcial de F respecto de Y es Q, pues si
yo derivo respecto de Y tendré que Q es igual a la derivada de esta
integral, ¿eh? la integral de P de X diferencial de X respecto de Y más
la derivada de C de Y respecto de Y, que le hemos puesto C prima de Y
entonces de aquí despejo C prima de Y despejo C prima de Y y la calculo o
sea, la calculo, la integro, ¿no? la integro respecto de Y, C prima de Y
es una función de Y entonces todo lo que tengo aquí en el segundo
miembro, Q menos esta derivada parcial de la integral de P respecto de Y
aquí, bueno, aparecerá eso la función entonces la integro, la integro
respecto de Y y entonces una vez la tenga ya tengo la integral, o sea, ya
tengo el valor de C de Y, una vez lo tenga simplemente lo sustituyo aquí
en la expresión 2 esto que tenemos aquí en la F hemos integrado, hemos
calculado la F que era la integral de P diferencial de X más C de Y,
ponemos ahí C de Y y ya tenemos hecha la ecuación bien, ya tenemos hecha
resulta la ecuación bueno, vamos a ver un ejemplo esta ecuación
diferencial exacta bueno, aquí tenemos una ecuación que, bueno, tiene el
aspecto este, ¿no? pero hay que comprobar si es diferencial exacta para
eso, pues lo que hacemos es la derivada parcial de P respecto de Y o sea,
que sería esta expresión, esto que hay aquí entonces derivamos respecto
de Y entonces sería 12 por X al cubo por Y al cuadrado, menos 2X hemos
derivado respecto de Y y luego derivamos la Q que la tenemos aquí la
derivamos respecto de X sería 12 X al cubo y cuadrado menos 2X entonces
ambas expresiones observamos que son iguales por lo tanto tenemos una
función F que es la que tenemos que calcular tal que esa ecuación que hay
ahí es la diferencial así es que lo que hacemos ahora es integrar con
respecto a X el la P 4X al cubo y al cubo menos 2XY este lo integramos con
respecto a X aquí lo tenemos escrito, integral de 4 X al cubo y al cubo
menos 2XY diferencial de X entonces, bueno ya digo, la Y es aquí como
constante por tanto es inmediata esta integral, o sea que sería X elevado
a 4 por Y al cubo menos X al cuadrado por Y más una constante que depende
de Y y ahora esta expresión lo que tengo que hacer con ella es derivarla
la derivo con respecto a Y y aquí la tenemos entonces esto si lo derivamos
con respecto a Y pues sería 3X4Y cuadrado menos X al cuadrado y eso eso es
que la derivada de F con respecto a Y es Q, lo igualamos a Q el Q está en
la ecuación es el 3X4Y cuadrado menos X al cuadrado entonces observa más
bueno, más C prima de Y es decir que aquí, bueno, aquí está puesto o
sea, el Q sería este y es este y esto de aquí es precisamente la derivada
de la integral esta que hemos hecho bueno, entonces observamos que C prima
de Y es 0 se despeja de aquí ¿sabe qué es C prima de Y? es 0 luego el C
de Y es una constante por lo tanto, pues ya está ya hemos terminado ahora
volvemos donde teníamos la primera integral la primera integral que hemos
hecho tenemos aquí o sea, el X4Y cubo menos X cuadrado de Y más C de Y
sustituimos C de Y por su valor que es igual a una constante bueno, la
podemos poner en el primer miembro o en el segundo miembro y aquí pues eso
está puesta en el segundo miembro sería X4Y cubo menos X cuadrado de Y
igual a una constante bueno, esta es una ecuación bueno, este es el modelo
este de ecuaciones diferenciales exactas bien, ocurre en ocasiones que una
ecuación no es diferencial exacta pero si se la multiplica por un cierto
factor resulta serlo estos son bueno, este factor se llama el factor
integrante es decir, es un factor que como se multiplica por un cierto
factor que convierte a la ecuación en una integral exacta una ecuación
diferencial exacta entonces, bueno, es lo que vamos a ver ahora o sea,
supongamos que la ecuación P diferencial de X más Q diferencial de Y
igual a cero no es diferencial exacta pero ¿qué podemos encontrar? una
función el principio de las variables tal que al multiplicar por ella mu
por P diferencial de X más mu por Q diferencial de Y sí que lo sea les
decimos que en este caso que mu pues es un factor integrante por tanto si
al multiplicar por mu convertimos la ecuación en exacta sé que pasará
porque se cumplirá la condición para que sea diferencial exacta es decir,
que la derivada del primer miembro respecto de Y es igual a la derivada del
segundo sumando con respecto de Y claro, como aquí ya mu por P es un
producto de funciones pues lo hay que derivar como tal por tanto sería,
derivamos derivamos ahora mu por P de X este de aquí lo vamos a
diferenciar o sea, por P mu por P, perdón lo vamos a derivar con respecto
a X entonces sería la parcial de mu con respecto a Y por P sin derivar
más mu por la parcial de P con respecto a Y y eso lo vamos a igualar a la
derivada de mu por Q que será con respecto a X que sería la derivada de
mu con respecto a X por Q sin derivar más mu por la parcial de Q con
respecto a X bueno, eso estamos suponiendo que existe ese factor integrante
luego esa ecuación ya será diferencial exacta o ya se cumplirá este
bueno, claro el cálculo de ese factor integrante pues puede ser muy
complicado entonces en un caso, en algunos casos particulares, sencillitos
como por ejemplo si mu solo fuese función de X entonces la expresión 3,
esta expresión 3 anterior ¿cómo quedaría? pues si mu solo depende de X,
la parcial de mu con respecto a Y es 0 sumando la parecería y entonces
pues aparecería solamente mu por la parcial de P con respecto a Y más la
parcial de mu con respecto a X le pongo mu prima si depende solo de X
podemos poner mu prima por Q más la parcial de Q con respecto a X entonces
aquí lo que hago es que paso el mu lo saco factor común y lo paso
dividiendo al mu prima o sea que yo dejo mu prima lo dejo aquí en el
segundo miembro mu prima por Q el mu por parcial de Q respecto a X lo paso
al primer miembro que pasaría restando saco el mu factor común y lo paso
dividiendo al segundo miembro me queda este pongo mu prima partido por mu
igual a 1 partido por Q que es el factor que tiene mu prima y por la
parcial de P respecto de Y menos la parcial de Q respecto de X que es lo
que multiplicaba al mu bien y entonces de aquí de aquí integrando pues mu
prima partido por mu la integral sería logaritmo neperiano de mu pues ya
puedo o sea que puedo integrar y puedo despejar mu si ya tengo el logaritmo
neperiano de mu igual a una integral de la expresión esa que hay ahí pues
el mu es E elevado a esa integral entonces ya tengo mu aquí para obtener
mu evidentemente tampoco hace falta porque en realidad hay infinitos
factores integrales solo necesito mu bien y en el caso particular de que mu
sea solo dependiente de Y pues algo similar la expresión 3 entonces
quedaría aquí lo que aparece en la derivada de mu con respecto a X sería
0 y entonces me quedaría una expresión parecida mu prima P más mu por la
parcial de P respecto de Y igual a mu por la parcial de Q respecto de X e
igual que antes ¿eh? hacemos el mu primero mu prima partido por mu y me
queda una expresión parecida y aquí podemos obtener mu de la misma forma
que antes bueno, vamos a ver un ejemplo hallar un factor integrante
dependiente de X para la ecuación diferencial esta de aquí bueno, vamos
¿cómo sabemos si existe o no? bueno, nosotros sabemos si existe o no si
al calcularlo en la expresión mu prima partido por mu si la expresión mu
prima partido por mu o sea que es el 1 partido por Q en el caso de la
expresión 1 partido por Q por la parcial de P respecto de Y menos la
parcial de Q respecto de X y si esa expresión depende solo de X pues
tenemos el mu depende solo de X claro si al hacer esa expresión nos
saliese que depende de X y de Y evidentemente la mu no dependería solo de
X ¿eh? por lo tanto es decir que nos vamos a dar cuenta enseguida si
existe un término un factor integrante que depende solo de X si esta
expresión esta expresión de X 1 partido por Q depende solo de X bueno
pues en este caso en este caso del ejemplo puesto que el Q aquí lo tenemos
en la ecuación el Q es menos 2 ojo con el menos ya digo nosotros la
ecuación siempre la escribimos con más en general se pone un más si
tiene un menos hay que poner solo el menos 2XY claro entonces el Q es menos
2XY por tanto 1 partido por Q sería 1 partido por menos 2XY y parcial de P
respecto de Y que sería 2Y menos parcial de Q respecto de X que sería
menos 2Y por lo tanto poniéndolo aquí arriba sería 2Y menos menos 2Y
partido por menos 2XY bueno esto sería 4Y partido por menos 2XY ahí se
simplifica y 2 también me queda menos 2 partido por X efectivamente solo
depende de X por lo tanto de aquí podemos despejar mu tengo que cumplir
una parte por mu es menos 2 espacio por X simplemente integrando me queda
que el logaritmo neperiano de mu es integral del segundo número que es
menos 2 logaritmo neperiano de X el menos 2 lo puedo poner como exponente a
la X y despejar o sea que de aquí bueno es logaritmo de mu es logaritmo de
X elevado a menos 2 donde mu es 1 partido o X elevado a menos 2 es 1
partido por X al cuadrado y hacemos el factor integrante entonces bueno
¿qué es lo que haríamos? pues eso utilizarlo multiplicar por él la
ecuación y se convierte en una diferencial exacta y entonces hay que
resolverla claro esto laborioso pero bueno pero como si dijéramos resuelve
la ecuación que es lo que nos interesa encontrar un camino seguro que no
resuelva la ecuación bueno y tenemos otro tipo de ecuaciones que se llaman
ecuaciones de Bernoulli cuando hemos agotado como hemos dicho hasta ahora
como hemos agotado todos los procedimientos anteriores no es ninguna de
ellas pues tenemos lo que llamamos una ecuación de Bernoulli que son de
esta forma y prima más P de X por Y hasta aquí parece del tipo lineal
pero en el segundo miembro tenemos Q de X si solo tuviera Q de X esta
sería una lineal pero tengo Q de X por Y elevado a N en este caso pues ya
no es una ecuación lineal bueno pues este tipo de ecuaciones que son tan
parecidas a las lineales pero que tienen en el segundo miembro una Y
elevado a N pues son lo que se llaman ecuaciones de Bernoulli entonces
estas se convierten a hacer un cambio que precisamente las van a convertir
en lineal son tan parecidas que no va a ser muy difícil convertirla en
lineal bien entonces ¿cómo lo haremos? pues dividimos la ecuación por Y
elevado a N precisamente dividimos por Y elevado a N y entonces aquí nos
quedaría Y prima por Y elevado a menos N y entonces más P de X por Y y
por Y elevado a menos N por lo tanto me quedaría por Y elevado a 1 menos N
igual a Q de X ya la Y elevada a N pues ya no está aquí entonces una vez
descrita o sea simplificada o escrita de esa manera hacemos el cambio Y
elevado a 1 menos N igual a Z y si aquí derivamos pues me quedaría 1
menos N por Y elevado a 1 menos N menos N menos 1 o sea menos N y por Y
prima tengamos en cuenta que la Y es una función entonces estamos
derivando una función de función igual a la derivada al segundo miembro
que sería Z prima entonces bien pues con esto simplemente sustituyo la
ecuación y aquí teníamos como teníamos Y prima por Y elevado a menos N
y tengo aquí que 1 menos N por Y prima por Y elevado a menos N es Z prima
pues eso por Y elevado a menos N es 1 partido por 1 menos N por Z prima
más P de X por Z estoy sustituyendo igual a Q de X entonces me ha quedado
me ha quedado esta ecuación de aquí y esta ecuación que es lineal es
lineal en la variable Z aquí ha desaparecido la variable Y claro he hecho
un cambio y la variable Y desaparece aparece la variable Z y aquí lo que
tengo es la constante 1 partido por 1 menos N por Z prima más o sea esa
constante de hecho la podríamos pasar quitársela de ahí multiplicar todo
por 1 menos N y me quedaría eso la forma que hemos escrito antes de una
ecuación lineal bien y entonces pues ya eso se resuelve como hemos dicho
antes o sea que la lineal recordemos el cambio que había que hacer U por V
etc. se va resolviendo se llega o sea que hemos encontrado el camino para
resolver la ecuación bien vamos a ver un ejemplo de esta ecuación que
tenemos aquí Y prima más 1 partido por X más 1 por Y igual a menos 1
medio por X más 1 al cuadrado por Y cuadrado bueno pero aquí tenemos una
típica ecuación de Bernoulli porque es el primer miembro Y prima más 1
partido por X por Y hasta ahí es como las lineales y el segundo miembro es
menos 1 medio por X más 1 al cuadrado pero por Y cuadrado por tanto esta
es de Bernoulli y eso hacemos lo que hemos dicho dividimos nos queda esta
expresión de aquí hacemos el cambio Y a la menos 1 Y elevado a menos 1
igual a Z y derivamos entonces aquí me quedaría la derivada de Y elevado
a menos 1 es menos Y elevado a menos 1 menos 1 o sea menos 2 por Y prima
igualita prima sustituimos en la ecuación y bueno pues ya nos quedaría Y
cuadrado que va a ser menos Z prima y 1 partido por X más 1 por por Y
prima que es Z Y igual a menos 1 medio de X más 1 al cuadrado y esta ya es
lineal y entonces por eso ahora solo estaríamos haciendo el cambio Z igual
a U por V Z no hay nada que no sube pero podría bien bueno pues este es el
tema es decir que todas las ecuaciones diferenciales bueno que aparecen en
el temario nuestro en los ejercicios y los problemas etcétera que puedan
proponernos son están ahí entonces bueno con esto pues hay que
ejercitarlo mucho practicarlo y hacerlo repasarlo y hacerlo bien siempre
por supuesto claro venga vamos a ver algunos ejercicios propuestos en el
examen bueno aquí tenemos una primera ecuación X al cuadrado más Y al
cuadrado igual a C bueno esto no es la ecuación sino que esta es la
solución es la es la solución de la ecuación esta de hecho bueno dice
comprobarlo efectivamente bueno lo vamos a comprobar claro y aquí como si
dijéramos eso es más sencillo que lo hayan ya hecho cómo se puede
comprobar si una función aquí es una función implícita fijémonos que
el Y al cuadrado está sin despejar la Y está sin despejar entonces
comprobar que X al cuadrado más Y al cuadrado igual a C la constante es la
solución general de esta ecuación diferencial bueno entonces lo que
hacemos es nuestros el X al cuadrado más Y al cuadrado igual a C
simplemente lo derivamos entonces al derivarlo con respecto a X claro
sería 2X más 2Y por Y prima igual a 0 la Y es una función de X por eso
cuando yo derivo derivo con respecto a X y aquí simplemente despejamos Y
prima y me queda que Y prima es igual a menos X partido por Y que es la
ecuación nos han dado entonces ahora como si dijéramos si volvemos hacia
atrás si integramos en vez de derivar y integramos pues llegaríamos a la
solución por tanto bueno una comprobación bien vamos a hacer otro
ejercicio aquí tenemos denotemos por Y el ingreso en euros que se tiene al
vender X unidades de un producto claro Y es una función vendida Y es una
función de X si la tasa a la que varía el ingreso respecto al número de
unidades vendidas viene dada por la ecuación diferencial esta de aquí
bueno eso la tasa es la diferencial de Y partido por la diferencial de X la
derivada de Y respecto de X es el Y prima por eso bueno está expresado de
esa manera cuando digan el problema donde aparece donde la tasa se refiere
a la Y prima entonces dice si la tasa a la que varía el ingreso respecto
al número de unidades vendidas viene dada por esta ecuación diferencial Y
prima más X al cuadrado partido por 1 menos Y al cuadrado igual a 0
obtener Y en función de X bueno aquí obtener Y en función de X lo que
significa es resolver la ecuación diferencial ya digo que la Y a veces
bueno aparece en forma implícita no necesariamente tiene que estar
despejada así como se puede claro de una unidad del producto producir un
ingreso de 1 euro bueno esto lo que se llaman condiciones iniciales que nos
van a permitir particularizar la solución porque la solución viene dada
en función de constante una constante entonces bueno vamos con ese dato lo
que vamos a hacer es hallar la constante bueno para el caso que nos
interesa que es eso la función y sabiendo que la venta de una unidad del
producto produce el ingreso de 1 euro de esa manera llegaremos a una
solución particular bueno pues aquí tenemos la ecuación diferencial esta
tenemos que identificarla tenemos que identificarla con alguno de los
métodos de los casos de los tipos anteriores entonces bueno pues si la
escribimos de la forma esta de aquí aquí ponemos la i prima como
diferencial de i para que por diferencial de x y multiplicamos por 1 menos
i al cuadrado o por i al cuadrado menos 1 si lo hago por i al cuadrado
menos 1 pues el segundo la x al cuadrado cambiará de signo la paso al
segundo miembro y aparece positiva o sea me queda esto de aquí i al
cuadrado menos 1 por diferencial de i igual a x al cuadrado por diferencial
de x entonces aquí directamente integramos la integral de i al cuadrado
menos 1 respecto de i que sería la cubo partido por 3 menos i más una
constante claro y luego igual al segundo miembro la integral de x al
cuadrado que es x al cubo partido por 3 no hace falta poner aquí otra
constante evidentemente porque ya estaría englobada en el primer miembro y
aquí pues eso simplemente multiplicamos por 3 lo ordenamos y esta sería
la solución general de la ecuación con su constante y ahora es cuando
aplicamos las condiciones estas iniciales de que si la x vale 1 la i vale 1
entonces simplemente sustituimos x e i por 1 y entonces aquí quedaría que
3c es igual a 3 sustituyendo por lo tanto la c vale 1 y entonces
simplemente se puede reescribir y obtenemos la solución particular fíjate
que aquí la i no está despejada ni se puede despejar en la ecuación
cúbica de la i y bueno se deja así aunque el problema diga haya la i en
función de x bueno aquí está implícita bueno vamos a ver otra vez
resolver la ecuación diferencial i' igual a i menos logaritmo neperiano de
x más 1 partido por x bueno esta evidentemente si intentamos ver si es
variable separada observamos que no aquí sí ponemos i' como diferencial
no sale no es de variables separadas ni separables y bueno ahí vamos
mirando procedimientos y observamos que es una ecuación lineal o sea que
aquí si ponemos pasamos al primer miembro la i pues me quedaría i' menos
i igual al logaritmo al menos logaritmo de x más 1 partido por x este es
el modelo de la lineal de primer orden entonces nada lo que dice en la
teoría o sea que aplica i igual a u por v donde i' es u'v más u por v'
sustituimos la ecuación me quedaría u'v más u por v' igual a u por v que
es la i menos logaritmo de x más 1 partido por x sacamos la v factor
común esto ya es rutinario sacamos la v factor común de u' menos u y lo
demás lo dejamos fuera más u por v' igual a menos logaritmo de x más 1
partido por x hacemos u' menos u igual a 0 ya digo rutinario y de aquí
sacamos si u' menos u es igual a 0 o sea que u' es igual a u o sea que u es
e elevado a x ya digo aquí sólo tenemos que sólo tenemos que hallar una
solución con lo que sustituimos entonces en la ecuación el u' menos u va
a ser 0 no hace falta ponerlo luego me quedaría u por v' que sería e
elevado a x por v' igual a menos logaritmo de x más y me quedaría que v'
es igual a menos e elevado a menos x logaritmo neperiano de x más e
elevado a menos x partido por x bien aquí sí aquí hay que integrar y en
esta pues hay que integrar por partes no es inmediata e elevado a menos x
logaritmo neperiano de x bueno lo hacemos por partes es ya digo
generalmente son inmediatas pero bueno en un caso por partes aquí tenemos
uno y ya reintegramos y aparece esto v igual a e elevado a menos x
logaritmo de x más c que bueno podemos comprobarlo la comprobación es
claro simplemente si derivamos aquí pues la derivada del primero es menos
e elevado a menos x logaritmo de x y más el primero sin derivar por la
derivada del segundo que es e elevado a menos x por uno porque por x que es
lo que tengo por tanto v es esto que tenemos aquí por lo tanto ya digo
solamente hay que poner a poner la y es u por v la u que hemos hallado
antes multiplicado por v y bueno multiplicamos simplificáis más c por e
elevado bueno como ve son rutinarias las ecuaciones diferenciales es
clasificarla y hacerla bueno otro ejemplo sea ahí el coste de producir x
unidades de un libro la tasa a la que varía el coste respecto a los libros
otra vez tenemos aquí la tasa diferencial de y partido por diferencial de
x igual aquí tenemos esta expresión x cuadrado y más y cubo partido por
x al cubo bueno ahí es el coste en función del número de libros
producidos y también tenemos condiciones iniciales sabiendo que si se
producen cinco unidades el coste es de diez euros bueno eso nos sirve para
luego dar una solución particular bueno aquí observamos que es homogénea
aquí tenemos que el numerador y el denominador son funciones homogéneas
de grado tres por tanto pues vamos directamente a ello ¿no? hacemos el
cambio y igual a u por x bueno y etcétera ¿no? o sea que hacemos la
sustitución etcétera se convierte en homogénea una vez hecha homogénea
bueno pues ya a ver aquí ya sale aquí aquí ya tenemos ya le tenemos
variables separables o sea que esta por ejemplo aparece directamente el
diferencial de u partido por un cubo igual a diferencial de x partido por x
lo hemos separado y me quedaría menos uno partido por dos un cuadrado
igual al logaritmo de aquí más c sub esto es la u ¿no? sustituyo aquí y
me queda esta ecuación y eso ya está o sea que aquí bueno despejamos la
i he despejado la i bueno vamos a ver aquí la i está al cuadrado entonces
claro si la despejara que es lo que hago tendría que aparecer más menos
ojo con eso ahora bien ¿qué pasa? que este problema en forma concreta
donde la x y la i pues eso la x son unidades de un libro es un número
positivo y y la i es el coste es un número positivo la x y la i no pueden
tener valores negativos por lo tanto aquí no ponemos más o menos o sea
que el resultado de despejar de aquí la i es una solución nada más ¿no?
es la raíz cuadrada de esta bien esta sería la solución de la ecuación
entonces ahora ponemos para los valores iniciales ¿no? para x igual a 5 el
coste sería 10 igualamos ¿no? cuando sale una cosa constante ¿no? y
entonces la ponemos en la ecuación en la solución general y ya nos queda
la solución particular bueno bien ahí bueno pues esto es aquí hay más
ejemplos ¿no? esta por ejemplo es lineal ya digo todos los ejercicios los
tenemos aquí en la carpeta el 6 que es una ecuación esta es esta es de de
factor integrante que depende de x los resultados son sencillos dentro de
lo que de los tipos no podemos decir que sean excesivamente complicados ya
digo las integrales son todas inmediatas y es clasificar el procedimiento y
este tema no debe tener problemas esta por ejemplo pues es otro hay otro
factor integrante entonces ya digo si es factor integrante dependiendo de x
o dependiendo de solamente ya digo hay otros infinidades de factor
integrante pero aquí solo vemos esos dos tipos esta por ejemplo que es
dada la ecuación diferencial esta por ejemplo se podría hacer de otra
manera es una ecuación que es lineal esta es lineal si dividimos por 2x es
lineal pero o incluso bueno si esta es lineal ¿no? se puede hacer como
lineal pero tal y como lo expresa en el problema ¿no? dice obtenga la
solución necesariamente un factor integrante por tanto pues lo hacemos
como tal lo hacemos en esta forma y eso lo averiguamos y tiene un factor
integrante que depende de y y lo hacemos como factor integrante
evidentemente es mucho más vamos más largo de hacer que si lo hiciéramos
como lineal pero bueno dice así el problema ¿no? bueno esto son ya digo
problemas de los exámenes para hacerse una idea aquí pues otra ecuación
¿no? esta bueno esta ecuación diferencial el número de unidades
fabricadas y el coste de producción otra vez ¿no? aquí tenemos esta
ecuación diferencial también nos dan unas condiciones iniciales bueno si
la escribimos de esta forma observamos que bueno que no es diferencial
exacta o sea que solo observamos una vez descartados todos los
procedimientos llegamos a diferencial exacta no es diferencial exacta
entonces hay que ir al factor integrante entonces bueno hay que tener en
cuenta que siempre tiene que tener solución claro evidentemente si no pues
si ninguno de los procedimientos que sabemos ¿no? que tenemos se puede
hacer pues ya está pero pero bueno siempre va a haber solución bueno esta
expresión depende solo de x luego existe un factor integrante que depende
solo de x y etcétera etcétera vamos haciendo aquí tenemos otra esta es
homogénea ¿eh? esta sería homogénea de estas ya hemos visto antes otra
parecida ¿eh? esta es homogénea eh esta es de Bernoulli esta es de
Bernoulli ¿eh? en principio i' menos i partido por 2x parecería lineal
pero en el segundo miembro hay una i elevado a 5 ¿eh? y por tanto esta es
de Bernoulli ¿eh? entonces aquí era la que convertimos la convertimos en
lineal ¿eh? dividimos por i elevado a 5 etcétera ¿no? ya se convierte en
lineal y entonces es una b lineal pues lineal de z hacemos un z igual a uv
etcétera y bueno y está pues que es otra de Bernoulli ¿eh? o sea que
está eso es el estilo de i' menos i igual a x por i cuadrado es una otra
de Bernoulli y ya está es solo igual bueno estas son las muestras de
ejercicios que hemos propuesto de los exámenes ¿no? y bueno pues este
este sería el tema ¿eh? de aquí nos vamos