Bien, vamos a ver hoy el tema 5, ecuaciones diferenciales lineales de
orden superior. Bien, en el tema anterior ya vimos una ecuación
diferencial lineal de primer orden. En ese tema pues vamos a generalizar
ese tipo de ecuaciones y bueno, vamos a ver ya ecuaciones diferenciales
lineales de cualquier orden. Una ecuación diferencial lineal de orden n
pues es esta forma, esta forma de aquí, donde aparece una combinación
lineal con coeficientes que son funciones de x, de las funciones y de sus
sucesivas derivadas hasta el orden n. Es decir, a sub n de x es una
función de x por... la derivada enésima de y, más a sub n-1 de x por la
derivada de orden n-1 de y, etc. más a sub 2 de x por la segunda derivada
de y, más a sub 1 de x por y' más a sub 0 de x por y, que es nuestra
función incógnita, igual a la otra función b de x. Eso sería una
ecuación lineal porque la función y y sus derivadas no están elevadas a
ningún exponente, bueno, están elevadas a la unidad. infinito, es un
espacio vectorial precisamente de dimensión n, que es el orden de la
derivada de mayor orden. Entonces, bueno, ¿qué es lo que tendremos que
hacer pues para hallar la solución general, la solución general de una
ecuación de este tipo? Pues simplemente puesto que el conjunto de todas
las soluciones es un espacio vectorial, nos bastará con encontrar una base
de ese espacio vectorial, es decir, n soluciones que sean linealmente
independientes, ya que el espacio vectorial es de dimensión n. N
soluciones linealmente independientes formarán una base. Entonces
cualquier solución será combinación lineal de las funciones que
constituyan esa base. Por tanto, si i sub 1, i sub 2, etc., i sub n son n
soluciones linealmente independientes, entonces la solución general de una
ecuación de la base tendrá esta forma, es una combinación lineal de las
funciones de la base. Bien, también se puede comprobar que una función de
la forma e elevado a lambda x es solución de este tipo de ecuaciones
diferenciales lineales si se cumple esta condición que hay aquí, es
decir, si lambda... Es precisamente raíz de este polinomio, el polinomio
que ponemos con los coeficientes de la ecuación diferencial, a sub n por t
elevado a n, más a sub n menos 1 por t elevado a n menos 1, etc., más a
sub 2 por t al cuadrado, más a sub 1 por t, más a sub 0, es un polinomio.
Entonces si lambda, el lambda es una raíz de este polinomio, es decir, lo
anula, sustituyendo la t por lambda da cero, en ese caso e elevado a lambda
x es solución. Bueno, es que si e elevado a lambda x es solución es muy
simple de comprobar, basta con sustituir e elevado a lambda x en la
ecuación diferencial. Entonces, al hallar las derivadas, por ejemplo, la
derivada enésima de e elevado a lambda x es lambda elevado a n por e
elevado a lambda x. La derivada de orden n menos 1 sería lambda elevado a
n menos 1 por e elevado a lambda x, etc., ¿no? Y la primera derivada
sería lambda por e elevado a lambda x. Entonces, al sustituirlos e elevado
a lambda x, factor común y como es distinto de cero, pues lo podemos
cancelar y entonces nos queda precisamente la ecuación que tenemos aquí,
¿eh? La sub n por lambda elevado a n, etc., ¿no? Bien, ya digo, eso es la
demostración, por tanto, es muy simple, ¿no? Así es que nosotros para
hallar las soluciones, o sea, para hallar un conjunto de soluciones de la
ecuación diferencial, lo que tendremos que hacer será resolver o hallar
las raíces de este polinomio que hemos dicho aquí, ¿no? Y entonces se
pueden presentar los siguientes casos según el tipo de raíces que tenga
ese polinomio. En primer lugar, si lambda sub 1 y lambda sub 2 son dos
raíces reales, simples y distintas, entonces las funciones e elevado a
lambda sub 1 x y e elevado a lambda sub 2 x son soluciones linealmente
independientes. Por tanto, ya tenemos una manera de obtener la solución
linealmente independiente siempre que las raíces del polinomio
característico sean reales y distintas. Por ejemplo, aquí tenemos una
ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea, y segunda, menos
i prima, menos 6i igual a cero. Su polinomio característico es t al
cuadrado menos t menos 6. Calculamos sus raíces. Es decir, resolvemos la
ecuación que resulta de igual a cero y obtenemos los dos números reales
menos 2 y 3, que son raíces simples y distintas. Por tanto, la solución
de la ecuación es simplemente, ya se coloca, es esta de aquí, es una
combinación lineal de las dos soluciones linealmente independientes que
serían e elevado a menos 2x y e elevado a 3x. La sola solución sería i
igual a c sub 1 por elevado a menos 2x más c sub 2 por e elevado a menos
2x. Otro caso que se nos puede presentar es que lambda sea raíz múltiple
de grado r. En ese caso, también se puede comprobar, fácilmente además,
que las r funciones e elevado a lambda x, x por e elevado a lambda x, x
cuadrado por e elevado a lambda x, etcétera, x elevado a r menos 1 por e
elevado a lambda x, son soluciones linealmente independientes. Vamos a
verlo. Tenemos la ecuación y segunda, menos 10i prima más 25i igual a 0.
Su polinomio característico es t al cuadrado menos 10t más 25. Hallamos
sus raíces y observamos que tenemos una raíz del 5, tenemos solamente la
raíz del 5 que es doble de una raíz del 5. Por lo tanto, las dos
soluciones linealmente independientes que constituirán una base, por lo
tanto, serían x por e elevado a 5x y x por e elevado a 5x. Es que la
solución general de la ecuación sería igual a c sub 1 por e elevado a 5x
más c sub 2 por x por e elevado a 5x. Otro caso que se nos puede presentar
es que a más menos bi sean un par de raíces complejas conjugadas simples.
Las raíces complejas, si aparecen, siempre van por parejas. Aparece una
raíz compleja y su conjuga. Entonces, prueba que e elevado a ax por el
coseno de bx y e elevado a ax por el seno de bx son soluciones linealmente
independientes. Bien, vamos a ver un ejemplo. Aquí tenemos la ecuación y
segunda menos 2i prima más 2i igual a 0. Su polinomio característico es t
al cuadrado menos 2t más 2. Calculamos sus raíces, es decir, resolvemos
la ecuación al igualarlo a 0 y obtenemos, nos salen 1 más menos i. Ahí
tenemos las dos soluciones complejas conjugadas. Bien, por lo tanto,
simplemente hay que escribir las dos soluciones linealmente independientes
que serían e elevado a x por el coseno de x, puesto que la i tiene un
dividiente 1 y el a es 1 también. Y la otra sería e elevado a x por el
seno de x. Por lo tanto, la solución general sería igual a e elevado a x,
lo podemos sacar factor común, de c sub 1 coseno de x más c sub 2 por el
seno de x. Bien, en el libro se puede ver la demostración de por qué
cuando las raíces complejas son del tipo a más menos de i, pues
precisamente las funciones finalmente independientes son e elevado a x
coseno de bx. Bien, si otro caso, si a más menos de i son un par de
raíces complejas conjugadas, en este caso ya son múltiples, de grado de
r, bueno, pues entonces también se demuestra que e elevado a x coseno de
bx elevado a x seno de bx, x por e elevado a x coseno de bx, x por e
elevado a x seno de bx, etcétera, hasta x elevado a r menos 1 por e
elevado a x seno de bx, ahí tenemos r soluciones linealmente
independientes. Por ejemplo, aquí tenemos una ecuación que es i cuarta
más 2 i segunda más i igual a 0, su polinomio característico es t4 más
2t2 más 1, al igualarlo a 0 tenemos una ecuación bicuadrada. Aquí
tenemos, y nos aparecen las raíces más menos i pero dobles. Bien,
entonces simplemente hay que aplicar lo que indica aquí arriba, la
solución general sería i igual a c sub 1 por el coseno de x más c sub 2
por el seno de x, teniendo en cuenta que aquí como la a es 0, la parte
real de la solución es 0, el e elevado a x es 1. Por eso no aparece aquí,
sería, repito, i igual a c sub 1 por seno de x más c sub 2 seno de x más
c sub 3 por x por coseno de x y más c sub 4 por x por el seno de x. Bien,
bueno, pues ya tenemos todos los casos posibles que se nos pueden presentar
en una ecuación como gt. Ahora vamos a resolver la ecuación completa, es
decir, cuando el término independiente ya no es 0, es una función.
Entonces, se demuestra también que si i sub h es la solución general de
la ecuación homogénea, que esa ya la sabemos obtener, y sub c es una
solución particular en la ecuación completa, que ahora veremos cómo la
podemos calcular, entonces la suma i sub h más i sub c es precisamente la
solución general de la ecuación completa. Por lo tanto, bueno, pues ya
sabemos. La solución general de la ecuación homogénea, vamos a ver las
distintas posibilidades para obtener la solución particular de la
ecuación completa. Eso depende entonces de la forma del término
independiente de b de x. Por ejemplo, si la forma de b de x, el término
independiente es un polinomio, p sub n de x es un polinomio de grado n,
entonces si ese polinomio tiene un término independiente distinto de 0. Es
decir, que el 0 no es raíz, no se puede sacar la x, factor común. Pues en
ese caso, o sea, si el 0 no es raíz, en ese caso nosotros colocaríamos
como solución particular de la ecuación completa un polinomio del mismo
grado, que aquí le llamamos p asterisco sub n de x, un polinomio del mismo
grado que el término independiente, pero con coeficientes indeterminados,
que vamos a tener que calcular. Los calcularemos sustituyendo ese p
asterisco sub n de x en la ecuación, pues lo que estamos suponiendo que se
trata de una solución, y entonces hacemos las derivadas sucesivas que
correspondan, se va sustituyendo y se obtiene generalmente un sistema donde
calcularíamos los coeficientes indeterminados y ya tenemos la solución
particular. Buscado. Bien, en el caso de que 0 sí que sea raíz del
término independiente, del p sub n de x, con orden de multiplicidad s, es
decir, se puede sacar x elevado a s, factor común del término
independiente. Bueno, pues en ese caso nosotros lo que haríamos sería
colocar un polinomio a coeficientes indeterminados de grado n, o sea, el p
asterisco sub n de x, pero multiplicado por x elevado a s. Y actuaríamos.
Y actuaríamos de la misma forma. Hay que ir luego obteniendo las derivadas
sucesivas, sustituyendo la ecuación, etcétera, ¿no? Para calcular los
coeficientes. Bien. Si el término independiente, el p de x, es algo de la
forma polinomio multiplicado por exponencial, de la forma e elevado a x,
entonces tenemos también dos casos, ¿no? Si a no es una raíz del
polinomio característico, es decir, que el e elevado a x es una raíz de
la forma e elevado a x, no aparecía como una solución, de la ecuación
homogénea, bueno, pues en ese caso ensayaremos una expresión de la
manera, de la forma e elevado a x por p asterisco sub n de x, donde p
asterisco sub n de x es el polinomio de grado n y coeficientes
interminables. Ahora bien, si a sí que fuese raíz del... O sea, de la
ecuación del polinomio característico con orden de multiplicidad s,
bueno, pues entonces el polinomio, o sea, la función que tendríamos que
ensayar sería de la forma x elevado a s por e elevado a a x y por p
asterisco sub n de x, ¿eh? Que es el polinomio con coeficientes
interminables. Bien, ahora, si el término independiente, el p de x, fuese
de la forma p sub n de x, por el seno de beta x, más q sub m de x por el
coseno de beta x, es decir, p sub n y q sub m, dos funciones, dos
polinomios, mejor dicho, perdón, dos polinomios, por seno y por el coseno,
efectivamente, con el mismo ángulo beta de x. Bueno, pues entonces
también tenemos dos casos, si más menos i beta no son raíces del
polinomio característico, pues entonces lo que ensayaremos será... una
expresión de la misma forma del término independiente, ¿eh? p asterisco
sub k de x por el seno de beta x más q asterisco sub k de x por el coseno
de beta x, donde k es el máximo valor de m o de n, ¿eh? Porque aquí
hemos puesto p sub m, polinomio de grado n, y q sub m, polinomio de grado
m, porque que sea mayor, esa sería la k, ¿no? Y ahora si más menos i
beta son raíces con orden de multiplicidad s, bueno, pues lo mismo que
hemos hecho hasta ahora es multiplicar entonces lo mismo. De antes, pero
por x elevado a s. Y, bueno, finalmente, si el término independiente es ya
del tipo, igual que el caso anterior, pero multiplicado por e elevado a x,
pues tenemos, que sería el caso general, ¿no? Raíces complejas, ¿no?
Bueno, pues si alfa o a más menos i beta no son raíces, pues entonces
ensayaremos una expresión de la misma forma, ¿eh? Que tomaremos el
polinomio de grado k, siendo k el valor mayor de entre n y m, y si a más
menos i beta son raíces con multiplicidad s, pues lo mismo que hemos hecho
en los casos anteriores, lo mismo pero multiplicando por x elevado a s.
Bien. Bueno, pues vamos entonces a ver algunos ejemplos, ¿no? Vamos a ver
ejercicios propuestos en exámenes y ya podríamos decir que ya hemos visto
ya todas las posibilidades, ¿no? Entonces, bueno, primer ejercicio, pues
resolver esta ecuación diferencial y prima igual a x más i. Bueno, esta
evidentemente es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Esta la
podríamos hacer como la resolvíamos en el tema anterior, ¿eh? Hacíamos
el cambio de variable i igual a 1 por v, pero bueno, aquí lo vamos a hacer
con este procedimiento que hemos visto, ¿no? Su polinomio característico,
bueno, la escribimos, pasamos la i al primer miembro, dejamos la x en el
segundo miembro. El término independiente es el b de x, ¿no? Entonces, el
polinomio característico sería t menos 1, de primer grado, claro.
Entonces, t menos 1, la raíz que tiene es el 1, ¿eh? Por lo tanto, la
solución de la ecuación homogénea sería i sub 1 igual a g por e elevado
a x, ¿no? Ahora, pues porque esta ecuación es completa, ¿eh? Porque
tiene un término independiente que no es 0. Una solución particular. Una
solución particular de la ecuación completa será de la forma, bueno, el
término independiente ¿de qué forma es? Es un polinomio ¿de qué grado?
De primer grado, ¿no? Pues nosotros lo que hacemos es colocar un polinomio
a coeficientes indeterminados de primer grado también. Por supuesto,
tenemos que poner un término independiente y si tiene que ser 0 ya nos
saldrá, ¿no? Bien, pues llamaremos i sub 2 igual a x más b. Entonces,
¿qué haremos? Pues derivamos. Entonces, i prima sub 2 sale a y
sustituimos en la ecuación. i prima, por lo tanto sería a igual a, o sea,
a menos, menos i que sería menos a por x menos b igual a x, ¿no?
Entonces, resolviendo, tenemos una igualdad de polinomios. Entonces,
identificando los coeficientes, ¿eh? Coeficiente de primer grado igual a
coeficiente de primer grado y coeficiente, término independiente igual a
término independiente, bueno, pues despejamos a y b y ocurre que sale en
el mismo valor a igual a b igual a menos 1. Por tanto, la solución general
de la ecuación propuesta es simplemente sumar la solución general de la
homogénea más la particular de la completa y sería c por elevado de x
menos x menos 1. Bueno, otro... Otro ejemplo, ¿no? Aquí tenemos una
ecuación. Esta es lineal de segundo orden y esta es homogénea, ¿no?
Segunda menos 3i prima más 2i igual a 0. Bueno, el polinomio
característico es t cuadrado menos 3t más 2. Calculamos sus raíces,
¿eh? Entonces, vemos la ecuación de segundo grado y obtenemos que son el
1 y el 2. Son raíces distintas, reales. Por tanto... La solución general
de la ecuación ya es directa, ¿no? Es igual a t sub 1 por e elevado a x
más t sub 2 por e elevado a 2x. Otro ejercicio. Aquí tenemos una
ecuación que esta ya no es homogénea y segunda más i prima menos 2i
igual a 3 por e elevado a x. Bueno, pues esto ya vamos haciendo simplemente
el polinomio característico. T cuadrado más t menos 2. Calculamos sus
raíces, que son 1 y menos 2i. Son reales y distintas. Por tanto, ya
tenemos la solución general de la ecuación homogénea que es del tipo c
sub 1 por e elevado a x más t sub 2 por e elevado a menos 2x. Claro,
puesto que e elevado a x es una de las soluciones independientemente
independientes que hemos obtenido para formar la solución general de la
homogénea y el término independiente contiene precisamente el e elevado a
x. Es 3 por e elevado a x. Pues entonces, como solución particular de la
ecuación completa, tenemos que multiplicar por x. O sea, no podemos poner
una función del mismo tipo que el término independiente puesto que el e
elevado a x era una solución de la ecuación. O sea, el 1 era la solución
de la ecuación característica. Por tanto, la solución que tenemos que
ensayar es que multiplicar por x sería del tipo a por x por e elevado a x.
Entonces, ¿qué es lo que se puede hacer? Y lo que haremos es derivar esto
y prima y segunda. Y entonces, bueno, hacemos las sustituciones,
identificamos coeficientes. O sea, aquí tenemos que como esto que es una
ecuación es una igualdad, al sustituir la y y sus derivadas en el primer
miembro, bueno, nos va a salir una expresión con e elevado a x que vamos a
simplificar con el e elevado a x del segundo miembro. Y entonces nos va a
quedar una identidad en el primer miembro igualada. Entonces, lo que
tenemos que hacer es identificar coeficientes. Por ejemplo, si nos sale el
coeficiente de primer grado, pues con el segundo miembro hay un 3 que no
hay primer grado, sería igual a 0. Y coeficiente y término independiente
sería igual a 3. Entonces, de ahí, bueno, en este caso solamente tenemos
una incógnita que es a igual a 1. Y entonces la solución de la ecuación
sería c sub 1 por e elevado a x más c sub 2 por e elevado a menos 2x más
x por e elevado a x. Bueno, bien, veamos otra ecuación. Esta es homogénea
y tercera más 2i segunda más i igual a 0. Bueno, aquí el polinomio
característico es t al cubo más 2t cuadrado más 1. Bien, aquí, claro,
este ejercicio intentamos resolverlo. En realidad, bueno, no suelen
aparecer ejercicios de este tipo. Pues creo que... Bueno, suelen estar
preparados y suelen tener raíces. En este caso es que no admite raíces
racionales. Nosotros probamos, o sea, en este polinomio, t al cubo más 2t
cuadrado más 1, puesto que el coeficiente de t al cubo es 1, las raíces
racionales que pudiera tener tienen que ser enteras, ¿no? Y enteras tienen
que ser divisores del término independiente, que es un 1. O sea, que
entonces las únicas soluciones racionales que le cabría... que es el
posible de tener serían el 1 y el menos 1, y ninguna es, ¿eh? Es decir,
que no es ninguno y el menos 1. Si por ejemplo aquí en vez de ser más 1
fuese menos 1, eso sería muy diferente, ¿no? Pero bueno, tal y como
está, no admite raíces racionales, entonces yo, vamos, creo, este es un
ejercicio que propuesto en un examen, bueno, no sé, probablemente
querrían poner el menos 1 en vez del más 1, pero bueno, ahí está
puesto, ¿no? Entonces... Entonces, claro, lo que sí que tiene es una
raíz real, eso es seguro, ¿eh? Y racional en el intervalo de menos 3
menos 2. Bueno, esto, si sustituimos t igual a menos 3 y sustituimos t
igual a menos 2, da de distinto signo, puesto que se trata de una función
continua, quiere decir que ahí hay más raíz. Es decir, que en ese
intervalo hay más raíz. Pero bueno, esto, ya digo, esto se sale un poco
de lo que es, bueno, es un contratiempo que nos encontramos con esta
ecuación, tanto ya digo. Y seguramente es que... Pero bueno, nosotros por
la cerda y no, ¿eh? Ya que es de un examen, pues bueno, se mete uno en
ella. Entonces ahí, ya digo, estamos seguros que hay una raíz real, no
sabemos cuál es, llamémosle alfa, ¿eh? No tenemos procedimientos para
calcularla, ¿eh? No tenemos procedimientos. Y luego las otras dos son
raíces complejas conjugadas porque es que no hay más raíces reales,
¿eh? Porque esta función es ya creciente, en rotona creciente, y por lo
tanto... Tiene... No vuelve a cortar al eje, ¿eh? Por lo tanto no tiene
más que esa raíz alfa que no podemos calcular. Así que tiene dos raíces
complejas conjugadas, que serían del tipo a más menos bi. Bueno, aquí
explica un poco por qué, o sea, que si hacemos la representación o
analizamos la representación gráfica, bueno, vemos que no vuelve, ¿eh?
No vuelve a cortar al eje más que entre el menos tres y el menos cuatro.
Bueno, ya digo, esto se sale un poco de lo que es, ¿eh? Quizás... Quizás
por eso. Simplemente por haber cambiado este más por un menos, estaba...
Era algo más sencillo, en plan... O sea que la solución general, en este
caso, pues tendrá esta forma. Pero claro, ni podemos hallar el a, ni
podemos hallarse hallar el b, ¿eh? Bueno, esto lo he hecho porque...
Bueno, porque salió en un examen, ¿eh? Sin embargo... Bien, tenemos otro
ejercicio, ¿no? Aquí tenemos... Nos dan dos valores iniciales. Los
valores de la función incógnita en el punto cero nos dicen lo que vale,
lo cual nos va a permitir calcular las constantes, ¿no? Y entonces la
ecuación es homogénea y es esta i segunda más dos raio de dos i prima
más dos i igual a cero. Entonces la ecuación característica t cuadrado
más dos raio de dos t más dos igual a cero. Resolvemos la ecuación y nos
aparece la solución menos raio de dos doble. Por tanto, la solución
general de la ecuación sería i igual a c sub uno por elevado a menos raio
de dos x más c sub dos x por elevado a menos raio de dos x. Bien. Bueno,
pues ahora vamos a sustituir el valor de las condiciones iniciales para
calcular las dos constantes. Entonces simplemente derivamos y tenemos,
bueno, la derivada de esta... La solución sería menos raio de dos por c
sub uno por elevado a menos raio de dos x más c sub dos. Y aquí tenemos
un producto, ¿no? Derivamos primero la x por el segundo sin derivar, o
sea, c sub dos por e elevado a menos raio de dos x y luego derivamos el
segundo, o sea, menos raio de dos c sub dos x por e elevado a menos raio de
dos x y para x igual a cero, es decir, que i prima de cero vale tres, de
acuerdo con los datos, ¿no? Para x igual a cero, pues aquí sustituimos,
¿eh? x igual a cero nos aparece menos raio de dos c sub uno más c sub dos
que será igual a tres y también la función, el valor de la función,
sustituimos la x por cero y nos aparece c sub uno, ¿eh? Sustituir el c sub
dos por x y por e elevado a menos raio de dos x nos da cero, claro. Con lo
cual tenemos este sistema de aquí y de ahí tenemos el c sub uno y el c
sub dos. Raio de dos y el c sub dos sale cinco. Por lo tanto, la solución
particular tenida, pues es esta de aquí, ¿eh? Sustituir las constantes.
Bien, otro ejercicio. Obtener la solución general de la ecuación
diferencial. Bueno, esta es una no homogénea. Tenemos i segunda menos i
prima menos dos i igual a cuatro x al cuadrado. Primeramente vamos a
resolverlo homogéneo, el polinomio característico lambda cuadrado menos
lambda menos dos que son dos i menos uno. Entonces la solución general de
la homogénea sería c sub uno por e elevado a dos x más c sub dos por e
elevado a menos x y una solución particular de la ecuación completa
puesto que el término independiente es un polinomio de segundo grado pues
la solución particular de la completa será del mismo tipo, será un
polinomio de segundo grado con coeficientes indeterminados, igual a x al
cuadrado más bx más c. Bien, pues entonces derivamos, hay que obtener
hasta la segunda derivada, la primera derivada sería dos ax más b y la
segunda derivada que sería dos a. Sustituimos en la ecuación y obtenemos
pues esta expresión que es igual a cuatro x al cuadrado y aquí ya digo
identificando coeficientes, esto se hace identificando el primer término
de esta ecuación es un polinomio de segundo grado que el coeficiente de la
x al cuadrado en el primer membro es menos dos a o menos dos a quiere ser
cuatro, el coeficiente de primer grado que sería menos dos a menos dos b
tiene que ser cero puesto que en el segundo membro no hay término de
primer grado y el término independiente que sería dos a menos b menos dos
c que tiene que ser cero porque en el segundo miembro no hay término
independiente. Bueno, se resuelve este sistema y entonces se obtiene esta
solución por lo tanto la solución es esta. Bien. Bueno, en realidad
están resueltos anteriormente todos los ejercicios de ecuaciones lineales
que se han aparecido en los exámenes. Bueno, pues por poner unos cuantos
ejemplos hay aquí unos cuantos ejercicios resueltos son también de este
estilo como están resueltos y se pueden bajar de la carpeta esta ya los
dejo para que se vayan practicando. Bien, y ya los vamos a dejar aquí.