Bien, vamos a ver hoy el tema 6, sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales. Bien, solamente vamos a ver una clase de este tipo de sistemas,
que son aquellos con ecuaciones lineales de primer orden y coeficientes
constantes, que en su forma normal pues expresaremos de esta manera. La
primera ecuación, y' sub 1 es igual a una combinación lineal de las n
funciones incógnitas, desde la y sub 1 hasta la y sub n, más un término
independiente b sub 1 de x. La segunda ecuación pues sería y' sub 2 igual
a otra combinación lineal de las n funciones incógnitas más otro
término independiente, etc., hasta la última ecuación que sería y' sub
n. Y' sub 2 igual a otra combinación lineal de las n funciones incógnitas
más un término independiente. Este sistema, este tipo de sistema lo
podemos escribir matricialmente pues de esta manera. Colocamos como una
matriz columna todas las derivadas, las derivadas de las funciones
incógnitas. Después, el resto del sistema lo podemos escribir en segundo
miembro como un producto de matrices, la matriz de los coeficientes, nos da
sub i multiplicado por una matriz columna de las incógnitas más otra
columna de los términos independientes. Y esto de manera simbólica pues
lo podríamos escribir de esta forma, y prima mayúscula de x igual a a por
i de x más b de x, donde cualquier expresión de esta sala pues es una
matriz. Bien, en el caso de que los términos independientes en las
funciones b sub i de x sean igual a cero, pues diremos que el sistema es
homogéneo. Y valor propio, vamos a recordarlo aquí, pero el propio lo
necesitaré. Si tenemos una matriz real, coeficientes reales, cuadrada, n
por m, entonces decimos que un vector que escribimos como una matriz
columna, u igual a x sub 1, x sub 2, x sub n, que sea distinto del vector
nulo, es un vector propio de esa matriz. Si hay un número real o complejo,
un número real o complejo lambda, al cual llamaremos valor propio tal que
si multiplicamos la matriz por el vector a por u, pues nos da lo mismo que
lambda por u. Es decir, esto el significado que tiene es que una matriz,
esta matriz cuadrada, aplicada a un vector, es decir, multiplicada por un
vector, representa una aplicación lineal. Entonces, claro, la imagen de un
vector con una aplicación lineal es un vector. Cuando ese vector, su
imagen sea proporcional a él, lo que aparece aquí, o sea, que a por u sea
igual a lambda por u, tiene un múltiplo, un múltiplo de u, un coeficiente
que es real o complejo, entonces es cuando decimos que u es un vector
propio. Bueno, si u es un vector propio, desde luego cualquier otro
múltiplo de u, el resultado de multiplicar u por cualquier otra constante
sigue siendo. Es decir, también vector propio. Por tanto, el vector
propio, pues hay infinitos siempre. Para cada vector propio hay infinitos.
Todos sus múltiplos lo son también. Bueno, pues si a por u es igual a
lambda por u, pasándolo todo al primer miembro, podemos describirlo como a
menos lambda por i, y es la matriz de unidad multiplicada por u. Y es la
matriz de unidad de orden n. Por supuesto, es una matriz cuadrada, n por n,
con la diagonal. La principal de unos y todo lo demás, cero, es la matriz.
Bien, y entonces esta expresión, o sea, a menos lambda por i por u,
representa un sistema, así se desarrolla esto, se obtiene un sistema
homogéneo y puesto que, bueno, puesto que u no es el vector nulo, para que
este sistema homogéneo tenga solución, que la tiene pues porque es el
vector u, y solución que sea distinta de la idénticamente nula, pues el
determinante de los coeficientes, que sería el determinante de a menos
lambda por i, tiene que ser nulo, tiene que ser cero. Pues claro, esto si
lo desarrollamos es un polinomio, se llama por cierto polinomio
característico, y las soluciones de este polinomio respecto de lambda, es
un polinomio en lambda, pues serán precisamente los valores propios
asociados a la matriz, que es ya lo que estaría. Bien, vamos a ver un
ejemplo. Tenemos esta matriz cuadrada de orden 2, entonces sus valores
propios, escribimos ya directamente la matriz, o sea, el determinante, a
menos lambda por i, que sería esto, o sea, que lambda por i, lambda por i
es una matriz diagonal, con la diagonal principal, pues todos los elementos
son lambda y todo el más cero, entonces al restarle a menos lambda por i,
solamente le restamos lambda a la diagonal principal. Lo demás queda
igual, o sea, que me quedaría el determinante, 8 menos lambda menos 2, 15
y menos 3 menos lambda. Bueno, se desarrolla, sale un polinomio de segundo
grado, que aquí está escrito ya. Y, al igualarlo a cero, resuelvemos la
ecuación y, bueno, tiene dos soluciones en este caso, que son lambda sub
uno igual a dos y lambda sub dos igual a tres. Entonces, para cada valor
propio vamos a buscar entonces el correspondiente vector propio. Entonces,
dado, por ejemplo, el valor propio lambda sub uno igual a dos, ¿qué es lo
que tiene que cumplirse? Pues que seis menos dos, es decir, que aquí le
resto ahora, cojo la matriz y le resto dos a la diagonal principal, lo que
me daría la matriz seis menos dos, quince menos cinco, eso multiplicado
por el vector que estoy buscando, tiene que ser cero. Es decir, esto sería
lo de aquí arriba, el a menos lambda. Lambda por y, por u, igual a cero.
Bueno, esto es un sistema, en realidad, el sistema lo que pasa es que es
equivalente a una ecuación, porque este sistema tiene dos ecuaciones, pero
como el determinante es cero, precisamente porque lo hemos igualado a cero
antes, ¿no?, para guiar el lambda, como el determinante es cero, de las
dos ecuaciones, una es combinación de la otra. Por tanto, solamente con
una ecuación nos sobra, ¿no? Y aquí tenemos esto, sería la primera fila
por la primera columna, igual a cero. Y de esta ecuación, que
evidentemente tiene dos soluciones, bueno, despejamos una en función de la
otra, es decir, es compatible pero es indeterminado, claro, esta ecuación
tiene infinitas soluciones. Bueno, despejamos x sub 2, x sub 2 es igual a 3
por x sub 1, por tanto, una solución sería esta, que la x sub 2 es un 3 y
la x sub 1 es un 1, cumple esa condición. Evidentemente hay infinitas, son
los infinitos vectores, todos ellos, todos ellos, múltiplos, o sea, una
constante, claro, que son vectores propios ligados al valor propio 2.
Entonces, bueno, vamos a ver cómo se puede comprobar, o sea, aquí cogemos
la matriz dada y la multiplicamos por ese vector obtenido, por 1, 3, y
obtenemos entonces el vector 2, 6. Y el vector 2, 6 es precisamente 2 por
el vector 1, 3, luego efectivamente es un vector propio, y al aplicarle la
matriz a ese vector nos aparece un múltiplo de ese vector. Bien, y además
un múltiplo con ese valor propio. Bueno, esto, bueno, creo yo que está,
es claro, ¿no? Bien, pues entonces vamos a ver cómo resolveremos el
sistema homogéneo. El sistema homogéneo, los b sub i son 0, por lo tanto,
matricialmente, pues lo podríamos escribir así, ¿no? La columna de las
derivadas y luego el producto de la matriz de los coeficientes por la
matriz de las funciones, que es incógnita. Bien, bueno, pues puede
demostrarse, es más difícil de hacerlo, que el conjunto de soluciones, o
sea, una solución, una solución de este sistema son n funciones. O sea,
que una solución no es una función. Una solución es, aquí está escrito
matricialmente, es esa matriz columna, i sub 1, i sub 2, etc., hasta i sub
n. Eso es una solución. Bueno, pues estos sistemas tienen infinitas
soluciones. El conjunto de las infinitas soluciones se puede demostrar que
es un espacio vectorial de dimensión n. Y además, si lambda es un valor
propio asociado con un vector propio, o sea, asociado a esa matriz, con un
vector propio, x sub 1, x sub 2, x sub n, entonces e elevado a lambda x,
multiplicado por ese vector, es una solución del sistema. Eso se puede
demostrar simplemente sustituyendo. Bueno, aquí lo vamos a comprobar. O
sea, yo ponemos en el segundo miembro del sistema, sustituiré la columna
de las funciones por esta solución de aquí. Bueno, pues vamos a demostrar
que es una solución. Así es que pongo e elevado a lambda x, que lo
ponemos delante como factor, por la matriz y por el vector, x sub 1, x sub
2, x sub n. bueno, claro, si ese vector es un vector propio de esta matriz
pues al multiplicar la matriz por el vector el resultado sería lambda por
ese vector, tanto esto será el resultado, lambda por el e elevado a x que
está delante como coeficiente por el vector, y que precisamente,
precisamente esta expresión, lambda por e elevado a x por ese vector, es
la derivada de e elevado a lambda x por el vector derivamos, claro aquí el
vector son unas componentes son unas constantes y la x está solamente en
el exponente de la e elevado a esta expresión, evidentemente aparecerían,
son n derivadas, claro pero bueno todas multiplicadas por las constantes
del vector derivamos, o sea, esto sería lambda por e elevado a lambda x y
por el vector, bien así es que si tengo n vectores propios si tengo n
vectores propios que sean linealmente independientes con valores propios
respectivos, lambda sub 1 lambda sub 2, lambda sub n pues ya tengo una base
del conjunto de las soluciones y por lo tanto la solución general del
sistema será una combinación lineal es decir, la puedo escribir la
solución general como una combinación lineal porque cualquier solución
es combinación lineal de la base. O sea, que sería, por lo tanto, de esta
manera, de esta forma. C sub 1 por e elevado a lambda sub 1 x por el vector
u sub 1 más c sub 2 por e elevado a lambda sub 2 x por el vector u sub 2,
etc. Y los c sub i son constantes a la entrada. Bien, evidentemente, no
siempre se encuentra una base de vectores propios para un espacio
vectorial. Pero bien, nosotros aquí solamente tendremos ese caso. En el
caso de que tengamos una base de vectores propios, pues facilitará la
resolución del problema. En el caso de que los vectores propios no sean
reales, sean números complejos, bueno, pues entonces, si alfa van a ir, o
sea, puesto que el polinomio característico es un polinomio de
coeficientes reales, la matriz era de coeficientes reales, entonces las
soluciones complejas van a ser conjugadas. Si hay una solución compleja,
alfa más i por beta, pues habrá... la conjugada alfa menos i por beta.
Bueno, entonces, si estos son dos valores propios conjugados y a más ib es
un vector propio asociado al número complejo alfa más i beta, entonces
vamos a ver que subconjugado, el conjugado del vector, sería a menos ib, o
sea, que aquí ahora a y b están resaltados en la mitad, son vectores, son
vectores columnas, Bueno, pues vamos a ver que A menos IB es un vector
propio asociado al valor propio conjugado alfa menos IB. Bueno, pues en
efecto vamos a comprobarlo. Desde luego, A multiplicado por A más IB, por
el vector A más IB, puesto que A más IB es el vector propio de alfa más
IB, pues será alfa más IB multiplicado por A más IB. Ahora, puesto que A
es una matriz real, pues tenemos aquí la siguiente expresión. Si
multiplico A por el vector A menos IB, bueno, esto lo puedo escribir así,
A por el conjugado. Esta barrita que hemos puesto arriba indica el
conjugado, como complejo. El conjugado de A menos IB es A más IB. Y,
puesto que A es un número real, puedo extender el conjugado al producto.
A. A por A más IB, si multiplico por números reales, el conjugado no
varía. Así que aquí lo que tengo ahora es el conjugado del producto.
Aquí tenemos el conjugado del producto. Bien. Y el conjugado del producto
es el producto de los conjugados. Luego entonces sería... Bueno, perdón,
antes del conjugado del producto, el producto de los conjugados, el
producto, precisamente A por A más IB, sería su valor propio, alfa más
IB, por A más IB, pues aquí alfa más IB es el valor propio de A más IB.
Y ahora sí, ahora ya tengo aquí el conjugado del producto y el conjugado
del producto pues es el producto de los conjugados por tanto sería alfa
menos IB por A menos IB. Luego lo que hemos demostrado aquí es que si
multiplico la matriz A por el vector A menos IB me da alfa menos IB por A
menos IB, luego eso demuestra que alfa menos IB era un valor propio
asociado al vector, o sea, al vector propio su vector propio asociado es lo
conjugado. Bien, en ese caso en ese caso, si tenemos entonces dos valores
propios conjugados y sus vectores propios conjugados respectivos, se puede
demostrar que dos soluciones lignamente independientes pues son estas dos
que están aquí escritas, ¿no? Bueno, serían E elevado a alfa X, que
sería la parte real del número complejo, del valor propio complejo, ¿no?
E elevado a alfa X va al factor común de coseno de beta X por A, A es el
vector y menos seno de beta X por B. Y la otra solución lignamente
independiente sería E elevado a X por el seno de beta X por A más el
coseno de beta X por B. Bueno, esto, la demostración se puede ver en el
libro de texto, hay que desarrollarla, no tiene tampoco gran complicación,
pero bueno, aquí lo que conviene, evidentemente, es recortarlo porque si
nos encontramos con algún problema, pues tendremos que ponerlo, tenemos
que poner esta solución, evidentemente, a un problema que tenga valores
propios complejos, ¿eh? Para no tener que utilizar esta fórmula, ¿eh? O
sea, que ambas llevan el e elevado a alfa x como factor común y son,
están apareciendo el coseno de beta x y el seno de beta x aparecen en las
dos, en la primera es una resta, ¿eh? Coseno de beta x por a y seno de
beta x por b. Y en la segunda es el seno de beta x por a y el coseno de
beta x por b, o sea, que cambian, podríamos decir, y además suman. Bueno,
esto se memoriza, pero es necesario. Recordad, para los problemas. El
sistema no es mujer. Entonces, se trata, por tanto, de cómo buscamos
soluciones particulares del sistema no homogéneo. Entonces, esto es lo que
parece muchísimo al tema anterior y prácticamente se resuelve el mismo
tipo de tabla que vamos a ver a continuación. Entonces, aquí los
términos independientes, los b, sub i, pues o bien son constantes, que va
a ser el caso más frecuente que nos encontremos en los problemas, o bien
son polinomios, o bien son funciones exponenciales, o bien son senos y
cosenos, o bien son sumas y productos finitos de estas funciones, que
pueden ser submixtos. Entonces, cada componente de la solución particular
que vamos a buscar, que vamos a poner, será una combinación con
coeficientes indeterminados, de los tipos de funciones que aparecen en la
matriz b, en la matriz b de x. Y irán multiplicados por x elevado a s, si
la expresión en cuestión ya aparece con ese grado de multiplicidad en la
solución del sistema homogéneo. Por ejemplo, en el sistema homogéneo
aparecía un e elevado a 2x, y el e elevado a 2x está en la b, es una de
las b sub i, Pues entonces ahí tendremos que multiplicar por x, si aparece
e elevado a 2x una sola vez, pues tendremos que multiplicar por x, por e
elevado a 2x. Bueno, y aquí ya digo, puede servir de guía la tabla de la
solución particular de las ecuaciones lineales del tema anterior, que en
realidad es la misma tabla. Y ya digo, ahora vamos a ver ejemplos, y según
la forma, aquí sería el ddx, sería la matriz, pues según la forma de la
matriz, son polinomios, son polinomios con exponenciales, etc. Bueno, pues
el término, o sea, la solución particular tiene siempre la misma forma,
la misma forma que tenga el ddx. Bueno, vamos a ver ejemplos en ejercicio.
Bien, aquí tenemos un... Un sistema... Estos ejemplos están extraídos,
como siempre, de exámenes. Bien, pues un sistema está dado de forma
matricial. Aparece y' de t, que sería la columna, con y' sub 1, y' sub 2,
y' sub 3, las tres funciones incógnitas ya derivadas. Y de t es y' sub 1,
y' sub 2, y' sub 3, una columna de las funciones incógnitas. Y este, pues,
es la matriz de los... De los coeficientes. Bueno, aquí tenemos el
sistema, este es homogéneo, ¿eh? No tiene términos independientes. Y nos
dan una condición inicial, bueno, eso nos permitirá calcular las
constantes para que se produzca esta situación de que y de 0, para x igual
a 0, aparezca el vector 1,1. Bien, bueno, pues entonces calculamos los
autovectores asociados a los autovalores que ya no nos han dado en el
enunciado, ni siquiera, bueno, nos ahorramos el calcularlos, que son el 1 y
el 3. Por lo tanto, para el 1 simplemente cogemos la matriz, le restamos 1
a la diagonal principal, aquí tenemos, queda esta matriz, 1,0,1, 0,2,0 y
1,0,1, multiplicamos por un vector incógnita, que es el vector que está
buscando, el vector propio asociado al 1, x sub 1, x sub 2, x sub 3, lo
igualamos a 0,0, este es el sistema homogéneo, como hemos visto antes. Y
bueno, aquí tenemos un sistema, claro. Puesto que el determinante, el
determinante de esta matriz, de esta matriz es 0, pues, y bueno, este rango
2, aquí observamos, por ejemplo, que hay dos filas, la primera y la
segunda fila son independientes, entonces el sistema tendrá solo dos
ecuaciones. La primera ecuación es x sub 1 más x sub 3 igual a 0, y la
segunda ecuación es 2x sub 2 igual a 0, ese sistema, si 2x sub 2 igual a
0, x sub 2 vale 0, ya tengo una solución. Y luego, si x sub 1 más x sub 3
era 0, pues x sub 3 es igual a menos x sub 1. Por tanto, si x sub 3 vale 1,
por ejemplo, x sub 1 vale menos 1 y x sub 2 vale 0. Aquí tengo, por lo
tanto, un vector propio, asociado al 1. Ya digo, cualquier múltiplo,
podríamos coger en vez de menos 1, 0, 1, cualquier múltiplo. Menos 2, 0,
2, etc. Bueno, uno solo. Ahora, para el 3, pues de forma análoga, restamos
3 a la diagonal principal, que me caería, o sea, vamos a ver. A ver aquí,
así, o sea, restamos 3 y esto sería 2 menos 3, menos 1, 0, 1, etc. 0, 0,
0 y 1, 0, menos 1. Ponemos el vector incógnita, x sub 1, x sub 2, x sub 3,
igual a 0, 0, 0. Tenemos, por lo tanto, el sistema homogéneo. Y, bueno, lo
mismo aquí se ve claramente que el determinante es 0, tiene una fila de
ceros, ¿no? La primera y la última filas son dependientes, son opuestas,
precisamente. Con lo cual, este sistema es equivalente solo a una
ecuación. Tiene una ecuación que es, bueno, podemos cogerla con la
última fila, x sub 1 menos x sub 3 igual a 0. O sea que x sub 1 igual a x
sub 3. Y x sub 2. Puede ser cualquier número. por lo tanto, pues elegimos
claro, ahí hay dos soluciones digamos, linealmente independientes que
cumplen esa condición que son el x sub 1 igual a x sub 3 igual a 1 y el x
sub 2 igual a 0 o bien, el x sub 1 y el x sub 3 igual a 0 y el x sub 2
igual a 1 estos dos vectores son linealmente independientes y forman una
base de conjunto de vectores propios asociados a la parte bien, por lo
tanto, ya tengo tres vectores propios y aquí los hemos puesto nos pongo
aquí una columna el primer vector es el menos 1, 0, 1 y luego los otros
dos, el 1, 0, 1 y el 0, 1, 0 estos vectores propios cada uno de ellos
multiplicado por c por e elevado a lambda t en este caso, usamos la t
bueno, usamos la t porque es la que aparece en el enunciado es que lo
podemos escribir matricialmente de esta manera o sea, que esto es lo mismo
que escribir c sub 1 por e elevado a t por el vector menos 1, 0, 1 más c
sub 2 por e elevado a 3t por el vector 1, 0, 1 más c sub 3 por e elevado a
3t por el vector c, 1, 0 eso, ya digo, se puede escribir matricialmente de
esta manera que se desarrolla ahí sale esto y esa es la solución bien
observamos que son infinitas depende de las constantes entonces aquí para
un valor concreto de las constantes aparecerá una solución una solución
que serán tres funciones bueno, concretamente en el caso de t igual a cero
puesto que para t igual a cero, el i de cero que decían en el enunciado es
1, 1, 1 pues entonces igualamos 1, 1, 1 igual a la solución que tenemos
aquí escrita, pero sustituyendo t por cero, en fin sale esta matriz c sub
1 más c sub 2, c sub 3 y c sub 1 más c sub 2 y resolvemos este sistema
entonces pues aquí se ve que c sub 1 vale cero que c sub 2 y c sub 3 son
iguales ambas al 1, por tanto la solución particular pedida, pues no hay
más que sustituir en la solución general los valores de c que hemos
encontrado y nos aparece e elevado a 3c, e elevado a 3c y e elevado a 3c,
son tres funciones son iguales en este caso, pero bueno, son tres funciones
forman una solución del sistema bien, vamos a ver otro ejercicio resolver
el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, bueno pues también es
homogéneo aquí no hay condición inicial y bien, aquí tenemos que
calcular los valores propios, escribimos el sistema por lo tanto, o sea
mejor dicho la ecuación característica, restando lambda a la diagonal
principal, sería 2 menos lambda, 2, 2, 2, 1 menos lambda, 2, 1, 0, menos 1
menos lambda, desarrollamos, esto es un polinomio, siempre sale un
polinomio en función de lambda, el polinomio de desarrollo se hace y se
obtiene esto, menos lambda al cubo, más 2 lambda al cuadrado, más 7
lambda, más 4, se iguala a 0 y se resuelve la ecuación, es una ecuación
de tercer grado, por lo tanto tenemos que empezar por hallar una solución
por tanteo y las soluciones enteras, ya sabemos que posibles, si existe
alguna solución entera, siempre será divisor del término independiente,
en este caso, porque el coeficiente de lambda al cubo es menos 1, es decir,
realmente son divisores de 4, que son el 1 menos 1, 2 menos 2 y el 4 menos
4, bueno, empezamos aprobando, por ejemplo, podemos hacer por Ducini y
bueno, observamos que el menos 1 ya nos sale y luego pues ya nos queda un
polinomio de segundo grado, lo reducimos y podemos resolver la ecuación de
segundo grado, en el caso es que, ya digo, se resuelve y obtenemos las 3
raíces, que son el 4 y el menos 1, que es 2, Entonces pues tenemos que
hallar los valores propios asociados, empezamos con el 4 y aquí planteamos
el sistema, o sea que aquí restamos 4 a la diagonal principal de la matriz
de los coeficientes, lo que sería menos 2, 2, 2, 2, menos 3, 2 y 1, 0,
menos 5 por la matriz incógnita igual a 0, 0, 0, resolvemos el sistema y
bueno aquí está puesta la solución. Y se obtiene un vector de los
infinitos que habrá. Aquí estos sistemas, ya digo, como su determinante
es 0, este sistema, una ecuación se puede eliminar, de hecho aquí nos
quedan dos ecuaciones, porque aquí observamos que hay dos filas que son
independientes y lo resolvemos solo esas dos ecuaciones, siempre será un
sistema compatible indeterminado que tiene infinita solución. Bueno,
tenemos una, ponemos una. Bien, ahora vectores propios. Asociados al valor
propio menos 1, pues de manera similar, restamos menos 1 a la diagonal
principal de la matriz de los coeficientes, lo que sería 3, 2, 2, 2, 2, 2,
1, 0, 1, 0, 0, por la matriz incógnita igual a 0, 0, 0, se resuelve y
aquí, bueno, pues aquí observamos que nos sale una solución, o sea dos
soluciones, perdón, ligamente independientes. Parecido al ejercicio
anterior, son 0, 1, menos 1 y 0, menos 1, 1. Luego la solución del
sistema, simplemente colocar los vectores propios que hemos hallado, 5, 4,
1, 0, 1, menos 1 y 0, menos 1, 1 y multiplicado por las constantes
multiplicadas por e elevado a esos coeficientes. Esto hay que ponerlo
siempre en el orden en que se ponen los vectores propios. O sea, que si
pongo primero el 5, 4, 1 que hemos puesto aquí, pues arriba en la columna
de las e's, pues pongo el e elevado a 4x, que es su valor propio, etc.
Bueno, y así podemos expresar la solución. Se puede dejar, evidentemente,
se puede dejar en forma de matriz. O se puede desarrollar si uno quiere y
obtienes ya las tres. Las tres funciones de la solución. Bien, bueno, pues
otro ejercicio. Aquí tenemos otro parecido al primero, con un valor
inicial. Aquí nos dicen también que uno de los autovalores es igual a 1.
Bueno, por lo tanto, pues ya nos ahorramos de andar buscando, ¿no?
Calculamos el polinomio característico, que es el de tercer grado. Bueno,
ya se obtiene este, ¿no? Este 3, menos 4, T2, menos T, menos 4. Una de las
raíces que tiene es el 1, que nos lo han dicho antes. Entonces,
simplemente por el algoritmo Ruffini reducimos el polinomio a uno de
segundo grado, resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos los
otros dos, ¿eh? Salen menos 1 y 4. Estos son los tres, son diferentes.
Diferentes, bueno, pues nada, pues aquí para el... Y vamos hallando los
vectores propios, ¿no? Como ya hemos dicho anteriormente. En el caso del
1, pues restamos 1 a la diagonal principal. Bueno, aparece aquí el
sistema, ¿no? Y se obtiene este vector propio, 3, 2, 1. Bueno, y
análogamente, de forma análoga, para el menos 1 se obtiene este vector y
para el 4 se obtiene este vector. Esto ya resulta, pues, repetitivo. Por
tanto, la solución, bien, pero aquí está escrita de esta manera
desarrollada, ¿no? O sea, que sería c sub 1 por e elevado a t, para el
valor propio 1, por su vector propio, 3, 2, 1, más c sub 2 por e elevado a
menos t, por su vector propio, 5, menos 2, 1, y más c sub 3 por e elevado
a 4p, por su vector propio, 0, 1, 2. Y esto matricialmente, como lo hemos
puesto antes, pues es de esta manera, ¿eh? Se puede escribir. Bueno,
entonces, para la secuencia. La condición nada que era i de 0, ¿eh? igual
a 0, 2, 4, porque hacemos eso, igualamos 0, 2, 4, lo igualamos a la
solución que hemos obtenido sustituyendo la t por el 0 y claro, si
sustituyera c por el 0 la solución queda c sub 1, c sub 2 y c sub 3 bueno,
y aquí pues hay que desarrollar desarrollamos esto, es un sistema con las
tres incógnitas c sub 1, c sub 2, c sub 3 se desarrolla, se resuelve,
bueno, sale esto de aquí 0, 0 y 2 y por lo tanto se sustituye en la
solución general y ya se obtiene la solución particular querida, bien
bueno, otro ejercicio aquí nos dan otro sistema y uno de los autovalores
es igual a 5, también nos ahorramos entonces buscarlo, bueno, el polinomio
característico es este, se desarrolla sale un polinomio del tercer grado y
entonces una raíz es 5 ya la tenemos y luego admite la raíz 2 doble o
sea, ya digo, lo hacemos por definir reducimos, resolvimos la ecuación de
segundo grado y nos sale el 2 doble hallamos los vectores propios asociados
esto pues ya resulta ya repetitivo siempre lo mismo, resulta una rutina
entonces para el 5, pues es cuestión de restar 5 la diagonal principal y
entonces bueno, pues tiene este sistema homogéneo y resolviéndola bueno,
vamos a ver aquí aquí, bueno, se ha restado 5 en realidad, lo que hemos
hecho ha sido bueno, hemos restado 5, efectivamente pero está luego todo
cambiado de signo si te fijas, aquí aparece 2 menos 1, 1, que claro es, si
en la matriz de los coeficientes restamos 5 me quedaría un menos 2,
entonces un 2 pero bueno, luego se ha cambiado el es decir, que lo que se
ha hecho ha sido en vez de poner A menos lambda I se ha puesto lambda I
menos A evidentemente, la condición es la misma el determinante tiene que
ser, ese determinante tiene que ser 0, bueno es como cambiar el signo en
todas las ecuaciones se resuelve el sistema y se obtiene por esta solución
de aquí, bueno lo mismo se hace con el 2 que es doble y entonces este nos
da dos dos vectores independientes y ya está, y se escribe la solución
simplemente parece que ya se está hecho el ejercicio bueno, otro ejercicio
bueno, pues aquí tenemos otro sistema esto ya digo, pues es bastante
rutinario y nada aquí no nos dan ningún valor propio pues lo buscamos
ponemos polinomio característico este es de tercer grado como todos
siempre Bueno, siempre nos ponen de tercer 3x3. Si consideramos que es 2x2,
pues viene de segundo grado, claro. Bueno, lo resolvemos, hallamos sus
raíces y aquí nos sale una. Siempre, claro, si es de tercer grado, como
hemos dicho antes, siempre hay que buscar una por tanteo. Entre los
divisores del término independiente, siempre que el coeficiente sea uno o
menos, el coeficiente de mayor grado. Entre los divisores, en este caso, de
5. Entonces, bueno, el 5 y el menos 1, evidentemente, son divisores de 5 y
ambos son. Bueno, pues entonces los vectores propios para el 5, pues aquí
planteamos el sistema, se resuelve y se obtiene este vector. Y para el
menos 1, se resuelve y me aparecen dos vectores. Efectivamente, se coloca
la solución con los vectores propios y los Cs, pues no sé, se le va a la
banda. Bueno, aquí tenemos uno. Uno, orden 2. Entonces, bueno, pues
tenemos esto es y' de x, es la matriz de 2 por 2 y luego este no es
homogéneo. Bien, entonces, cogemos la matriz, 2, 5, menos 1 medio, menos
1. Hallamos sus valores propios y en este caso resultan ser números
complejos. Hasta aquí les va a llegar que, bueno, sale eso, ¿no? le digo
aquí habría que restar lambda a la diagonal principal, resolver la
ecuación una ecuación de segundo grado y salen dos soluciones complejas
complejas conjugadas, claro un medio más menos un medio de y entonces
hallamos para cada uno de ellos, hallamos los correspondientes vectores
propios, y de qué manera restamos cogemos la matriz de los coincidentes y
cogemos el primer valor propio el un medio más un medio de y se lo
restamos a la diagonal principal ponemos la matriz x sub 1, x sub 2 de las
incógnitas, igualamos a 0, 0 y resolvemos el sistema que como es un
sistema con números complejos, las soluciones van a ser complejas,
entonces bueno, aparece ya una solución 10 menos 3 más 0, 1 por y nos
aparecerá y luego para el otro valor propio, es el conjugado no hace falta
hacer el sistema puesto que la solución del vector propio será también
el conjugado de antes, según hemos demostrado por lo tanto obtenido un
vector propio el otro ya está obtenido así que aquí tenemos los dos
vectores propios 10 menos 3 más menos 0, 1 por y así es que ya podemos
describir la solución general de la ecuación homogénea y recortamos la
formulita de antes O sea, que aquí tenemos, esta sería la solución
general, que es e elevado a un medio por x, que es la a, o sea, la a de la
solución, el alfa, ¿eh? El alfa de los valores propios es un medio, que
es la parte real. Por tanto, e elevado a un medio por x, ¿eh? E elevado a
x partido por 2. Y luego ya tenemos las dos partes, ¿no? Una que va c sub
1. Entonces iba el b, el b que es la parte compleja, la parte compleja del
vector, ¿eh? Entonces, c sub 2 iría, sería el a, vector a, ¿eh? Por el
coseno de beta x menos el vector b, o sea, la parte b del vector complejo
por el seno de alfa. Bueno, esto simplemente pues se escribe y ya está.
Entonces, una solución partícula, ahora, bueno, está el sistema
homogéneo, ahora tenemos que buscar una solución partícula. Puesto que,
¿particular? Puesto que el término independiente, ¿eh? Es 2 menos 5, que
son constantes. pues la solución particular va a tener la forma PQ donde
PQ son constantes o sea que elegimos una solución de la misma forma que el
término independiente del mismo tipo, así es que voy a considerar que PQ
es solución con lo cual ¿qué tengo que hacer? sustituir PQ en el sistema
entonces en primer lugar al derivar P y Q son constantes la derivada sale 0
y 0 por lo tanto me quedaría 0,0 igual y bueno ponemos sustituimos el IDX
por PQ estamos en la ecuación del sistema más 2 menos 5 desarrollamos eso
y se obtiene simplemente es un sistema lineal y se obtiene PQ igual en este
caso pues salen menos 46 y 18 o sea que simplemente sustituir en el sistema
¿vale? y ya está, con lo cual ahora ya la solución general de la
ecuación dada es sumar la solución particular del homogéneo más esta
solución que hemos obtenido de la completa la solución particular de la
completa y la solución general bien, otro ejercicio también es un sistema
completo y también de orden 2 ¿no? de dos ecuaciones bueno, esto si lo
escribimos en forma matricial, claro, tenemos que pasarlo así, no nos lo
dan como aquí, que no está en forma matricial, hay que pasarlo a forma
matricial porque necesitamos analizar los valores propios y los vectores
propios bueno, pues escribimos y' de x, la matriz de los coeficientes,
aquí observamos que sería 2, 0 porque en la primera ecuación no está el
y2, por lo tanto sería 2 es mi sub 1 y 0, el coeficiente de mi sub 2 y en
la segunda ecuación son 1 y 3 eso multiplicado por y' de x y' de x que
sería mi sub 1 y mi sub 2 claro, y luego hay un término independiente y
hay una parte que es un entero un número, un número real y una parte que
es una exponencial entonces, bueno, lo ponemos de esta forma como dos
vectores, es simple vectorial, claro, estamos haciendo en forma vectorial o
sea, 2, 0 sería, pongamos un vector entero, de números enteros y luego el
vector exponencial podríamos decir que es 0, 1 en la primera ecuación no
hay exponencial 0, 1 bien, aquí tenemos entonces el sistema escrito en
forma matricial bueno, pues estudiamos la matriz de los coeficientes, 2, 0,
1, 3 entonces bueno, se analiza se resta 2 menos lambda, 0, 1, 3 menos
lambda igual a 0 se resuelve el sistema y resulta ser 2 y 3 valores propios
y calculamos sus correspondientes vectores propios que resultan ser uno
menos uno y cero. Eso hay que, en fin, se hace. Entonces ya tengo la
solución general del sistema homogéneo, de la ecuación matricial del
sistema homogéneo, que sería y sub x igual a c sub uno por elevado a dos
x, dos es el valor propio dos, por el vector propio uno menos uno más c
sub dos por elevado a tres x el otro valor propio, por el vector propio
asociado a c sub uno. Bueno, esto ya lo tenemos. Ahora, hay que buscar una
solución particular de la ecuación completa. Entonces, ¿de qué forma
tenía el vector b de x? El vector término independiente. Pues era la suma
de una matriz, un vector de números reales, dos cero, y luego era otra
matriz de exponenciales con e elevado a x, con exponente e elevado a x.
Bueno, pues nosotros precisamente ensayamos de esa manera una solución de
esa forma. Esto sería ab que serán dos números reales y luego cd por e
elevado a x. Así es que esto es lo que tenemos que sustituir ahora en el
sistema. Considerar que es una solución y sustituir en el sistema. Bueno,
pues entonces nada. Ahora, primero que derivamos, ¿no? para poner el prima
sub 1 y el prima sub 2 y bueno después sustituimos al segundo miembro
resolvemos el sistema con el A y de la B y del C y de la D y nos aparece ya
aquí está resuelto que el vector AB sería menos 1 un tercio y el vector
CD sería 0 y menos 1 con lo cual pues esto ya simplemente escribimos la
solución sumando a la solución obtenida del sistema homogéneo la
solución particular de la completa que hemos obtenido o bien se pone aquí
pues está desarrollado, está escrita las dos las dos funciones solución
general separadas bien, vamos a ver otro también del mismo estilo 2 por 2
y también con un término independiente bueno aquí los valores propios
nos saldría un problema de segundo grado resulta ser 5 y menos 3 y
calculamos los correspondientes vectores propios, serían 7, 1 y 1 menos 1,
empezando en números reales entonces la solución general de la ecuación
homogénea o del sistema homogéneo pues sería esta de aquí eeeeh Y ahora
buscamos una solución particular. ¿Qué forma tiene el término
independiente? Números reales, ¿eh? Pues dos constantes. Bueno, pues
entonces nosotros hacemos lo mismo. Buscamos dos constantes, p y q,
indeterminadas. Sustituimos en el sistema, derivando, etcétera.
Sustituimos y al final calculamos el p y q, menos 6 menos 1. Simplemente se
coloca. Bueno, esto resulta, pues eso, bastante ya repetitivo. Y bueno,
pues aquí tenemos otro, el último. Este, pues, es también de este
estilo, ¿no? El 2 por 2. Aquí resulta que los valores propios resultan
ser números complejos. El i y el menos i. Observemos aquí que la parte
real es 0. Calculamos los vectores propios. Bueno, pues salen estos dos. O
sea, este y su conjugado. Ya digo, con calcular uno sobra. El otro siempre
se ha conjugado. Calcular el de i nos sobrará. Así es que la solución
general sería esta, ¿eh? Aquí el e. E elevado a x sería e elevado a 0x,
por eso no aparece aquí. Y, bueno, una solución particular de la completa
es del tipo pq, porque el término independiente es del tipo de constantes,
¿no? Por tanto, lo sustituimos en el sistema, ¿no? Y obtenemos que pq es
14, 11. Y ya está, simplemente la solución general, pues, sube. Bueno,
pues este es el tema y aquí con los ejercicios para practicar aquí.
Bueno, pues nada.