Bien, pues vamos a ver el tema 7, que son ecuaciones en diferencias, ¿no?
Vamos a explicar este concepto. Bueno, una ecuación en diferencias de
orden n es una ecuación, pues bueno, como está aquí escrito, ¿no?, de
esta forma, donde aparece una función f de x y los valores de esa función
en el punto f de x más 1, f de x más 2, etc., hasta f de x más n. Y ahí
le viene el orden n, ¿no? Es decir, que son valores que toman a distancia
una unidad, dos unidades, tres unidades, ¿no? Números enteros siempre. Y
donde la función f es una función que toma valores en el conjunto, o sea,
que... A ver... La x, la x toma valores en el conjunto de los números
naturales y sus imágenes, sus valores, pues ya son en el conjunto de los
números reales. Es decir, es como una sucesión. Es decir, que la f de x
podríamos incluso escribirla como... Escribimos las sucesiones a sub n,
¿no? A sub n, el término general de una sucesión, donde n toma valores
enteros, pues lo mismo. Lo que pasa es que aquí, bueno, solemos utilizar
la x, pero se trata como... Ese f de x es como si fuese el término general
de una sucesión, ¿no? Donde la x sería la... La n, ¿no? Y, bueno, es
decir, por lo tanto, una ecuación en diferencias, pues es una ecuación en
la que aparece, podemos decir, el término general de la sucesión, que es
lo que tenemos que hallar, sería la incógnita, y el término general para
el x más 1, para el x más 2, etc. Muchas veces, generalmente, pues en vez
de escribir f de x, escribimos y sub x, ¿no? Bueno, el hecho de que se...
Cambien ecuaciones en diferencias, pues esto es por lo siguiente. Vamos a
ver. Si nosotros tenemos, o sea, una función, una función cualquiera, se
llama diferencia primera, o simplemente diferencia de esa función, al
valor que toma la función en el punto x más 1 menos el valor que tomaría
en el punto x, ¿eh? O sea que y sub x más 1 menos y sub x, a eso se le
llama diferencia... Primera o diferencia, simplemente, de una función.
Entonces, diferencia segunda de una función sería la diferencia de la
diferencia de esa función. Con lo cual, si aplicamos lo mismo que tenemos
aquí arriba hecho para una función y sub x, se lo aplicamos a la
diferencia primera, fíjate que la diferencia es el valor de la función en
el punto x más 1, sumarle 1 a la variable, menos el valor de la propia
función. Por lo tanto, la diferencia de la diferencia sería cogerla donde
está la diferencia primera, sumarle 1 a la x, con lo cual me quedaría y
sub x más 2 menos y sub x más 1, menos la propia diferencia primera, que
es y sub x más 1 menos y sub x. Claro, al restarla, me quedaría y sub x
más 2 menos y sub x más 1 menos y sub x más 1 más y sub x. Esto, pues
igual... Y sub x más 2 menos 2 y sub x más 1 más y sub x. Esta sería la
diferencia segunda. La diferencia tercera sería la diferencia de la
diferencia segunda. Es decir, que volvemos a aplicarle a la diferencia
segunda, calculamos la diferencia. Luego sería sumarle 1 otra vez a la x,
con lo cual me quedaría y sub x más 3 menos 2 y sub x más 2 más y sub x
más 1, menos restarle la diferencia segunda, que sería... Y sub x más 2,
estoy restando, sería más 2 y sub x más 1 y menos y sub x. Bueno, y
aquí agrupando los términos enajantes, pues me quedaría y sub x más 3
menos 3 veces y sub x más 2 más 3 veces y sub x más 1 menos y sub x.
Bueno, y así sucesivamente, ¿no? Observamos que al final esto se puede
generalizar y se obtiene una fórmula parecida a la fórmula del binomio de
Newton, ¿eh? Los coeficientes expresarían como números combinatorios.
Bien, por lo tanto, una ecuación en diferencias, si tiene hasta la
diferencia tercera, supongamos, se puede reducir a una ecuación en la que
aparece la función. Si es, por ejemplo, hasta la diferencia tercera, pues
aparecería la función y sub x más 3, y sub x más 2, y sub x más 1 e y
sub x, ¿no? O sea, que aparecería hasta y sub x más 3. Bueno, como
nosotros aquí en este tema solo vamos a tratar ecuaciones en diferencias
de primer orden, pues solamente nos va a quedar... Aparecerá y sub x más
1 e y sub x. Bien. Bueno, pues llamamos precisamente ecuación en
diferencias lineal de primer orden y autónoma a una ecuación de este
tipo, ¿eh? Es decir, donde es y sub x más 1 igual a a por y sub x más b.
Es una combinación lineal, ¿eh? De ahí que se llama ecuación en
diferencias lineal. Y es en diferencias lineal de primer orden. Solo
aparece... Bueno. Aparece y sub x más 1 e y sub x. El autónoma le viene
de que no depende de x, ¿eh? Es independiente de x. Que es simplemente la
función y sub x y la función en el punto x más 1. Y sub x es f de x. Y
sub x más 1 es f de x más 1. Bueno, o sea, que aquí yo tengo esta
expresión. Ya te digo, la podríamos ver como f de x más 1 igual a a por
f de x más b. Y ahí tengo que calcular lo que vale f de x. Bien. De
alguna manera, las ecuaciones en diferencias evidentemente no son igual que
las ecuaciones diferenciales. Pero bueno, de alguna manera tiene algo que
ver. Son ecuaciones en las que la incógnita es una función. Aquí no
aparecen derivadas, ¿no? Pero bueno, aparece la función y la función en
el punto x más 1. Estas funciones, evidentemente, o este tipo de
ecuaciones en economía, pues se utilizan más casi que las ecuaciones
diferenciales. Porque hay muchos procedimientos. Hay muchos procesos en los
que la variable, que generalmente suele ser el tiempo, varía por unidades
enteras. Por ejemplo, varía cada mes o cada trimestre o cada año,
etcétera, ¿no? Los productos, diferentes productos o ofertas, demandas,
etcétera, son funciones que varían de una manera discreta, ¿eh? No de
una manera continua. De ahí que las ecuaciones en diferencias, pues tengan
a veces, ya digo, más interés de aplicación casi que las ecuaciones
diferenciales. Bueno. Vamos entonces con esta ecuación. Vamos entonces con
esta ecuación de primer orden. Y si vamos dando valores a la x,
tendríamos que para x igual a 0, en esta ecuación sustituiríamos la x
por 0, luego nos daría y sub 1 igual a a por y sub 0 más b. Aquí está
escrito, ¿no? Si le damos a x el valor 1, pues nos aparecería y sub 2
igual a a por y sub 1 más b. Y sustituyendo el valor de la y sub 1 que
tenemos antes, pues nos daría a por y sub 1. ¿Qué es a por y sub 0? 0
más b más b. Y, en fin, quitando paréntesis, pues me quedaría a
cuadrado por y sub 0 más b. Luego voy a sacar factor común de a más 1.
Bueno, así sucesivamente, si x vale 2, pues tendríamos, ¿eh? Siempre
sustituyendo la ecuación. Si x vale 2, tendríamos y sub 3 igual a a por y
sub 2 más b. Y sustituyendo el y sub 2 con lo que hemos hallado, pues nos
quedaría esta expresión de aquí. Y, bueno, quitando corchefes y
paréntesis, etcétera. Y sacando la b, factor común, pues me quedaría al
cubo por y sub 0 más b por a cuadrado más a más 1. Para x igual a 3, lo
mismo. Al final se obtiene, ya se va viendo cómo aparece una expresión
que se puede ir generalizando, ¿no? O sea, que para x igual a 3 me
aparecería que y sub 4 es igual a a elevado a 4 por y sub 0 más b por a
elevado a 3 más a elevado a 2 más a más 1, etcétera. Y así
sucesivamente llegamos hasta darle a x el valor x menos 1. Y entonces, pues
me quedaría que y sub x, si pongo, porque ponga x, pongo x menos 1, pues
hasta y sub x más 1 se convierte en y sub x. Me quedaría esta expresión,
¿no? Pues, ya digo, generalizando esto que hemos ido obteniendo antes,
¿no? Me quedaría a elevado a x por y sub 0 más b por la suma de las
potencias de a, empezando con el a elevado a x menos 1. A elevado a x menos
1 más a elevado a... Bien. Esta sería la solución. De hecho. Y sub x,
claro, evidentemente depende de y sub 0. O sea, que aquí y sub 0, pues
podríamos decir que sería el valor de la función para x igual a 0.
Bueno, pues depende del valor que tome. O sea, que es como una constante,
¿eh? Es decir, que ocurre como en las ecuaciones diferenciales que la
solución tenía dada en función de constantes, ¿no? Bueno, pues aquí
igual, ¿no? En función de lo que vale y sub 0. Porque lo demás lo
conocemos. A está en la ecuación, es un coeficiente, y b está. Es la
ecuación, ¿eh? Por lo tanto, pues aparece esta expresión, ya digo, la
solución. Dependiendo de lo que valga a, bueno, se puede simplificar.
Entonces, si a es distinto de 1, pues entonces, esta expresión que tenemos
aquí de a, esta suma de potencias de a, es la suma de términos, de x
términos de una progresión geométrica de razón a. Entonces, pues
simplemente aplicamos la fórmula de la suma y nos quedaría esto de aquí.
Es decir, que el y sub x... Sería a elevado a x por y sub 0 más b por la
suma, ¿no? Es el último término menos el primero por la razón partido
por 1 menos la razón. Bueno, y aquí, pues lo que observamos, aquí estoy
en esta fracción, que tengo aquí es 1 menos a elevado a x partido por 1
menos a. Como está multiplicado por b, pues esto lo podríamos separar en
dos fracciones. Uno sería b partido por 1 menos a. Y luego la otra
fracción que sería b también. B partido por 1 menos a por a elevado a x.
Y como el y sub 0 también está multiplicado por a elevado a x, lo saco en
la elevada a x, factor común, me queda esta expresión de aquí. Bueno,
aquí tenemos, por tanto, la solución de la ecuación en diferencia. O
sea, que esto ya está resuelto en general, ¿no? Por tanto, cualquier otro
ejemplo, pues simplemente bastará aplicar esta fórmula. ¿Para por qué?
Para resolver cualquier cuestión ya numérica, vamos. O sea, que es b, que
sería el término independiente, fijémonos bien en el resultado. En la
ecuación, b era el término independiente, pues la solución es b partido
por 1 menos a. Esto se puede hacer precisamente porque estamos suponiendo
que a es distinto de 1, ¿eh? Por eso 1 menos a, pues no es 0, claro. Más
y sub 0 menos la misma expresión, b partido por 1 menos a, multiplicado
por a elevado a x. Recordemos, por tanto, esta formulita que es la
solución de la ecuación. Si, por ejemplo, el valor inicial, o sea, el y
sub 0, fuese precisamente b partido por 1 menos a, pues la expresión que
está aquí entre paréntesis, el y sub 0 menos b partido por 1 menos a,
sería 0. Con lo cual, nos quedaría que la solución es b partido por 1
menos a. O sea, que c de x es constante. Es b partido por 1 menos a. O sea,
que por tanto, para cualquier valor de x, siempre va a ser lo mismo. Es una
función constante, claro. Bien, ese valor, precisamente, pues se le llama
solución. Es una función estacionaria o de equilibrio. Es decir, la
función de ahí no se mueve, siempre va a ser lo mismo. De ahí que sea
estacionaria. Se llama así. Bien, eso es, por tanto, en el caso de que a
sea distinto de 1. Y si a es igual a 1, ya no podemos, entonces, aplicar la
fórmula de la suma de la progresión geométrica, porque va dividido por 1
menos a, claro. Bueno, pero entonces, simplemente, la solución, ¿eh? El
sub x, que era igual a a elevado a x. Si a vale 1. Entonces, sería y sub
0, simplemente, ¿eh? Sería y sub x igual a y sub 0 más b por la suma de
1 x veces, ¿eh? Está aquí ahí en la progresión geométrica hay x
sumandos. Por tanto, sería x por b, ¿eh? B por x. O sea, que la solución
sería y sub 0 más b por x. La ecuación de una recta. En el caso de que a
va. Bien, esto es, en realidad, prácticamente casi el tema, ¿no? O sea,
que es resolver. Esta ecuación, pues ya lo hemos hecho y vamos a ver
algún ejemplo, ¿no? Solución general de esta ecuación. Y sub x más 1
igual a un medio de y sub x más 3. Aquí tenemos que la b vale 3 y que la
a vale un medio. Por tanto, es distinto de 1. Así que tenemos la
solución, simplemente, particularizarla para estos valores. B partido por
1 menos a sería 3 partido por 1 menos un medio. 1 menos un medio es un
medio. O sea, que 3 partido por un medio son 6. Por eso, la solución y sub
x sería... Igual a 6 más y sub 0 menos 6 multiplicado por a, que es un
medio, elevado a x. O sea, que simplemente se coloca así. Aquí tenemos
una función, que es una función de tipo exponencial. Depende de y sub 0,
que es una constante. Pues tomar el valor, cualquier valor, claro. Y este
sería, por tanto, la solución de la ecuación en diferencias. Otro
ejemplo, solución general de esta ecuación. Y sub x más 1 igual a y sub
x menos 5. Aquí. A vale 1. Por tanto, aquí tenemos el otro caso, ¿no? La
solución general es simplemente y sub 0 más b por x. Como b vale menos 5,
pues y sub x sería igual a y sub 0 menos 5. Aquí llamamos trayectoria
temporal de la solución. Pues es una línea poligonal que obtenemos al
unir los puntos de coordenadas x y sub x. Es decir, la función.
Evidentemente, depende de x. Y si nosotros vamos dando valores a x a partir
del 0. Vamos para x igual a 0, para x igual a 1, para x igual a etcétera.
Para cada valor de la x, la función tomará un valor también. Numérico,
claro. Entonces, vamos a obtener una serie de puntos. Tipo x y sub x.
Simplemente unir. Unimos esos puntos en una línea poligonal. Y vamos
obteniendo una determinada línea quebrada, ¿no? Generalmente. Y eso es lo
que llamamos la trayectoria temporal de la solución. Bueno, vamos a ver
algunos casos, ¿no? Por ejemplo, en el caso de que a sea menor que menos
1. Que es lo que ocurre. O sea, que a es negativa, menor que menos 1.
Bueno, pues en ese caso recordemos siempre la solución. Fijémonos que en
la solución general, si a es menor que menos 1, evidentemente es distinta
de 1. Por tanto, la solución tenía el b partido por 1 menos a. Y luego
era y sub 0 menos b partido por 1 menos a. Por a elevado a x. Entonces, ese
a elevado a x, si a es menor que menos 1, elevado a x, es un número
negativo, elevado a x, pero es un número negativo en valor absoluto mayor
que 1. Luego, al elevarlo a x e ir aumentando x, esos resultados
exponenciales van aumentando en valor absoluto. Evidentemente, van
cambiando el signo. Cuando el exponente sea par, será positivo. Cuando el
exponente sea impar, será negativo. Van cambiando el signo. Pero, eh... En
términos absolutos va aumentando. En valor absoluto va aumentando. Bueno,
y... Bueno, vamos a ver concretamente un ejemplo, ¿no? O sea, que aquí
tengo esta ecuación. Y sub x más 1 igual a menos 6 quintos de y sub x
más 11. Aquí tenemos el a, que es menos 6 quintos. Que es menor que menos
1. Y el 11 que es el b. Y con el y sub 0 igual a 6. O sea, que aquí nos
dan el valor inicial. Bien. Por tanto, vamos a resolverla. Ya digo, la
solución sería b partido por 1 menos a. A ver, ¿quién es 1 menos a? 1
menos a sería 1 más 6 quintos. 1 más 6 quintos son 11 quintos. Entonces,
b, que son 11, partido por 11 quintos son 5. Así es que aquí tengo sub x
es b partido por 1 menos a, que son 5, más. Y sub 0 menos b, o sea, menos
b partido por 1 menos a, que son 6 menos 5, que es 1. ¿Por qué partido?
Por a. Por a, que sería menos 6 quintos elevado a x. Ya digo, esto es
recordar cuál es la solución. Bien, aquí tenemos este resultado, ¿no? Y
sub x igual a 5 más menos 6 quintos elevado a x. Esto, lo que hacemos es,
no representamos la función. Esto es una función exponencial. La podemos
representar como una función continua, pero no lo hacemos así. Sino que
lo que hacemos es representar de manera discreta los puntos. ¿Eh? Es
enteros para x, enteros 0, 1, 2, etc. Y, bueno, aquí tengo la tabla hecha,
¿no? Hemos hecho aquí una tabla. Y, bueno, para x igual a 0 vale 6. Eso
se observa. No hay más que sustituir para x igual a 0. O sea, x igual a 0
aquí me quedaría 5 más menos 6 quintos elevado a 0, que es 1, es 16. Y
además, claro, y sub 0, eso ya lo teníamos como dato, que es el valor
inicial. Para x igual a 1. Bueno, pues esto ya está hecho por el
ordenador. Están saliendo valores ya números decimales, claro. Y, bueno,
y observamos lo que ocurre, ¿eh? Observamos lo que ocurre. Observamos
cómo va oscilando. O sea, primero sale 6, después baja a 3,8, luego sube
a 6,44, luego baja a 3,7, luego sube a 7,7. Y eso es precisamente porque el
segundo sumando el menos 6 quintos elevado a x va cambiando el signo. La x
se apaga o impaga. De ahí que esto va oscilando, ¿eh? Subiendo y bajando,
subiendo y bajando. Y, pero además, pero además, cada vez, como si
diéramos, sube más y baja más. O sea, que se va expandiendo. O sea, que
todas las trayectorias temporales aquí divergen, divergen de la posición
de equilibrio de forma oscilante. Bueno, eso en el caso de que a sea menos
1. Bueno, vamos, esto es un análisis ya un poco más concreto de casos
particulares. Vámonos. En el caso de que a sea exactamente menos 1.
También, si a es menos 1, también tenemos aquí el mismo tipo de
solución, ¿eh? Es decir, que la solución cambiaba cuando a era igual a
1. Pero en el caso de que a es igual a menos 1, no hay problema. Entonces
vamos a ver qué es lo que ocurre. Por ejemplo, aquí tenemos una ecuación
y sub x más 1 igual a menos y sub x más 6. Especialmente, aquí el a, que
es el coeficiente de la y sub x, es menos 1. Y el b, que vale 6. Con y sub
0 igual a 4, ¿eh? Que también nos dan aquí. El valor inicial. Bien,
¿cuál es la solución general? Pues sería b, que son 6, partido por 1
menos a. 1 menos a serían 2, porque como a vale menos 1, 1 menos menos 1
son 2. Por lo tanto, 6 partido por 2 son 3. Aquí lo tenemos, igual a 3
más y sub 0 menos b partido por 1 menos a, que son 4 menos 3, que es 1,
por a, que es menos 1 elevado a x. Así es que aquí tenemos la solución.
Y sub x es igual a 3. Más menos 1 elevado a x. Bien, entonces, puesto que
menos 1 elevado a x, ¿qué valores toman? Los toma valores 1 y menos 1.
Cuando x sea par va a ser 1 y cuando x sea impar va a ser menos 1. Por
tanto, esto para x igual a 0 va a ser 4. Para x igual a 1 va a ser 3 menos
1, va a ser 2. Luego otra vez 4, luego otra vez 2, luego otra vez 4, luego
otra vez 2, etc. Y aquí ya tenemos. Las trayectorias temporales oscilando.
Antes, en torno a la posición de equilibrio. La posición de equilibrio es
el b partido por 1 menos a. Es el 3 en este caso. O sea, que el 3 está
aquí, está en el centro. O sea, que el 3 está aquí, ya se ve, en torno
a 3, es como oscila. Bien, otro caso. Caso ahora de que a esté entre menos
1 y más 1. Por tanto, de valor absoluto menor que 1. Claro, ahí lo que va
a ocurrir es que a elevado a x, x en valor absoluto va a ir disminuyendo
conforme aumente x. Porque es menor que menos 1, o sea, es menor que 1 en
valor absoluto. Por tanto, al aumentar el exponente va disminuyendo. Por
tanto, como si digamos, tiende a 0. Así es que, bueno, es lo que dice
aquí. O sea, que entonces el límite de y sub x va a ser precisamente, si
el segundo sumando va a tender a 0, pues va a ser al b partido por 1 menos
a. O sea, que es la solución de equilibrio. Es decir, que con el tiempo,
si la variable x fuese tiempo, con el tiempo, la función va a tender a su
posición de equilibrio, a su solución de equilibrio. Bien, vamos a ver el
ejemplo este, ¿no? Y sub x más 1 igual a menos tres cuartos y sub x más
7. Ahí tenemos un a menos tres cuartos que es en valor absoluto menor que
1. Está entre menos 1 y 1. Con el y sub 0 igual a 5. Bueno, pues nada,
resolvemos y tenemos que b partido por 1 menos a sería 7 partido por 1
más tres cuartos. 1 más tres cuartos son 7 cuartos. Por tanto, 7 partido
por 7 cuartos son 4. Así es que tendríamos que y sub x es igual a 4 más
5 menos 4, que es 1 también, por a, que es menos tres cuartos elevado a x.
O sea, aquí tenemos, pues, la solución. Bueno, solución particular ya
porque está particularizada para un valor inicial. Bueno, pues entonces
ya... No hay más que representar esto en otra tabla, ¿no? Aquí sí que
van cambiando, pero ocurre eso. Es decir, que conforme va aumentando x, el
término menos tres cuartos elevado a x va disminuyendo en valor absoluto
siempre y siempre la solución, o sea, por dicho, las trayectorias de estas
temporales se van oscilando alrededor de la solución de equilibrio y
tiende a la solución de equilibrio. Es decir, que cada vez la diferencia
es más pequeña. Ya, finalmente, en el caso de que a valga 1, claro,
entonces la solución y sub x, hemos dicho antes que era una línea recta y
entonces, pues, la trayectoria es esa. Es una línea recta independiente
de, por ejemplo, si la ecuación fuese y sub x más 1 igual a y sub x más
2 con el valor inicial y sub cero igual a 1, bueno, pues entonces ya,
puesto que b vale 2, la solución era... Ya tenemos el y sub cero más bx,
pues, en este caso será y sub x igual a 1 más 2x y es simplemente esa es
la línea recta, esa línea recta, ¿vale? Porque, claro, si vamos hallando
puntos, le damos valores, si damos valores a x, pues nos van a salir
valores de una línea recta. Si luego los unimos, o sea, por la poligonal,
lógicamente, pues sale la línea recta, ¿no? Bien. Y ya, en el caso de
que a valga, sea mayor que 1, claro, entonces el término a elevado a x,
eso extiende infinito, claro, porque aumenta x, ¿no? A aumenta x. Por
tanto, ya se adivina, pues que la trayectoria va a ser divergente, ¿no? Se
va a ir, se va a ir de tipo exponencial, ¿no? Por ejemplo, si la ecuación
es y sub x más 1 igual a 2 por y sub x más 1, ahí tenemos que a vale 2
con el valor inicial y sub cero igual a 0, entonces el b partido por 1
menos a sería menos 1. Y 1 menos a es igual a 2. Luego 1 partido por menos
1 es menos 1. Y luego más 0 menos menos 1 es 1 por 2 elevado a x, o sea,
que sale esta expresión de aquí. Menos 1 más 2 elevado a x, una
exponencial. Pero, en fin, lo que hacemos en las trayectorias temporales
siempre vamos haciendo, las unimos punto a punto, ¿eh? O sea, que para
valores enteros de x, los unimos los puntos y trazamos la poligonal, ¿eh?
O sea, que no hacemos la exponencial continua, podríamos decir, ¿no?
Bien. Bueno, vamos a ver el modelo de la telaraña, es muy interesante,
bueno, ejemplo, ¿no? Podríamos decir, es un ejemplo de aplicación. Y
concretamente lo vamos a aplicar a las funciones oferta y demanda de un
determinado producto que está sujeto a unos precios determinados que
oscilan, ¿no? Varían, de año en año varían los precios. Es decir, que
todo este, supongamos que p sub t y p sub t menos 1. Son, es el precio de
un determinado producto en un periodo t y en el periodo anterior. O si es
un año, pues este año, el precio que tengan, ¿no? Y el precio del año
anterior. Entonces, las ofertas, la oferta depende del precio, ¿eh? La
oferta de un determinado producto, una determinada mercancía y la demanda
también depende del precio, claro. Pero la, la, la oferta depende del
precio de la oferta. Hay que fabricar el producto y se, bueno, se... Se
oferta más o menos producto según el precio que tuvo en una temporada
anterior. Si fue bien, bueno, si, si era un precio alto, podríamos decir,
bueno, pues, pues podemos hacer una oferta, bueno, si el negocio va bien,
pues lo hacemos, lo ofrecemos más, ¿no? Tenemos expectativas, ¿eh? Y la
oferta, pues va a variar en función del precio, pero del, del periodo
anterior. Mientras que la demanda evidentemente depende del precio actual,
¿eh? La demanda, gente compra con el precio actual. Entonces, las
funciones oferta y demanda podemos, ¿eh? Escribirlas como funciones de
tipo lineal, rectas podríamos decir en función del precio porque tenía
este aspecto, ¿no? Donde A, B, C y D son constantes, positivas, o sea,
aquí por ejemplo la demanda, ¿eh? La podemos describir una A positiva,
una constante, menos B por P sub T, ahí el menos le ponemos signo
negativo, ¿eh? Coeficiente negativo al, al precio porque, ¿qué
significa?, que evidentemente si el precio aumenta, pues no va a ser
positivo. Si es más grande, la demanda será más pequeña, ¿eh? A mayor
precio, pues la demanda baja. Aumentas el precio, la demanda baja. Y en el
caso de la oferta, el coeficiente del precio de la temporada anterior, este
sí que es positivo. Es decir, que aquí al aumentar, si, si es más grande
el precio nosotros ofertamos más, porque el negocio no le ha ido bien,
pues ofertamos más. Si el precio de la temporada anterior, ¿eh? Bueno.
Este sería el aspecto que tendrían las funciones oferta y demanda.
Entonces, ¿cuál es la condición de equilibrio que, eh, bueno, qué
consideramos equilibrio, lo que, sería un poco lo que percibiríamos, pues
que cada temporada se equilibre la oferta y la demanda. Es decir, que la
demanda absorba toda la oferta, ¿eh? Vendamos todo. Eh, bien, eso es lo
que llamaríamos el equilibrio, ¿eh?, que se cumpla, que la demanda en, en
un periodo determinado T es igual que la oferta. Bueno. Pues entonces vamos
a averiguar cuál sería la evolución del precio para que el sistema se
encuentre cada periodo en equilibrio. Para ello, lo que tiene que ocurrir
es que igualamos la oferta a la demanda y pasamos P sub T, despejamos,
podríamos decir, P sub T, eh, bueno, y nos quedaría por eso dividiendo
por B, por menos B, mejor dicho, dividiendo por menos B y pasamos el A al
otro lado. Bueno. Pues nos quedaría esto, ¿no? Menos D partido por B. P
sub T menos 1 más A más C, que el A al dividirlo por menos B cambia, pasa
como positivo, ¿no? A más y el C al dividirlo por menos B, pues también,
coeficiente positivo, ¿no? A más C partido por B. Y aquí podemos esta
ecuación, ¿eh?, del P sub T igual a esta ecuación depende de P sub T
menos 1, podemos darle una unidad más a la T, podemos sumarle un 1, de
manera que nos quedaría. Escribir igual nos da, eh, poner P sub T, que P
sub T más 1, sumamos un 1 y al segundo número también. O sea, que la
ponemos en función de P sub T más 1, ¿eh? Es decir, que P sub T más 1
sería igual a menos D partido por B por P sub T más A más C partido por
B. Bien, aquí tenemos una ecuación en diferencias. Tenemos un coeficiente
A que es negativo, ¿eh?, puesto que hemos dicho que D y B son iguales, son
positivos, por lo tanto el A es negativo, por lo tanto no es 1. Y, bueno,
ahí tenemos luego el B que es A más C partido por B, ¿eh? Así es que
simplemente escribimos ya la solución. La solución sería lo que era
antes en la fórmula B partido por 1 menos A, que aquí sería A más C
partido por B partido por el 1 menos A, que era, que será 1 más D partido
por B, que sería B más D partido B. Luego, como tiene el mismo
denominador, se simplificaría y me quedaría así. Sería A más C partido
por B más D más P sub 0 menos A más C partido por B más D por el A,
¿eh?, menos D partido por B elevado a X. Bueno, aquí tenemos, por tanto,
la solución de esta ecuación en diferencias. Bueno, aquí la tengo, la he
vuelto a copiar, ¿no? Bien, entonces vamos a analizarla. Si el coeficiente
menos D partido por D, o sea lo que sería A, ¿eh?, el AM en la
nomenclatura anterior. ¿Es mayor que menos 1? Entonces el precio, o sea
que, es decir, que aquí, claro, si es mayor que menos 1, puesto que es
negativo, ¿no?, puesto que es negativo, es como decir que está entre
menos 1 y 0. Es mayor que menos 1, luego está entre menos 1 y 0. No puede
ser positivo, no es positivo, ¿eh?, de menos D partido por B. Por lo
tanto, es un número, pongamos, de valor de la nomenclatura anterior. Es un
número absoluto menor que 1. Luego, ¿qué ocurre? Que al elevarlo a un
exponente X y el exponente X ir aumentando, se tiende a 0. Por tanto, el
precio va a tender a estabilizarse con el tiempo, ¿eh?, o sea que aquí la
variable, bueno, aquí es que pone P sub T y luego pone una X, pero en
realidad eso es la X es la T. Un momentito. Sí, aquí se ha puesto X
también, pero bueno, la X es la T, en realidad, ¿eh?, es el tiempo. Aquí
debería poner T. Bueno. Bien. Esta X, ¿eh?, es un tiempo. Bueno, entonces
ya digo que con el tiempo, al ir aumentando el tiempo, eso tiende a 0.
Luego, ¿a qué tiende el P sub T? Tiende al sumando primero A más T
partido por D más D, que es el precio de equilibrio, ¿eh?, que le
llamaremos P asterisco, ¿eh? Nosotros al precio de equilibrio lo vamos a
llamar P asterisco. Entonces, vamos a hacer una representación gráfica un
poco de esta situación, un poco para, bueno, para comprender esto, bueno,
verlo gráficamente qué es lo que ocurre aquí. O sea, que en este caso yo
tengo aquí dibujado las dos rectas en esta gráfica, las dos rectas
oferta-demanda, que en unos ejes de coordenadas donde en el eje horizontal
representamos las cantidades, por tanto, ahí van representados tanto la
oferta como la demanda, son cantidades, y en el eje vertical va el precio,
así es que las ecuaciones de la oferta y la demanda son rectas, son
líneas rectas, claro, en estos ejes de coordenadas. Bien. Aquí tenemos la
oferta, ¿eh?, que era una función, que el precio, etc., lo vamos a,
¿eh?, la tenemos aquí, la oferta, está escrito la cantidad en función
del precio, entonces la oferta tiene una pendiente respecto del precio que
es positiva, ¿eh?, mientras que la demanda tiene una pendiente que es
negativa, ¿eh? Así es que de ahí que la demanda es una recta decreciente
y la oferta es una recta creciente. Bueno. Aquí presentamos, entonces, en
el caso de que el precio inicial sea P0, si seguimos aquí la línea de
puntos de P0 hasta llegar a la recta oferta, ahí el punto de abajo, la
pesquisa, esa sería O1, porque hemos dicho que la oferta depende del
precio anterior, o sea, con el precio P0 nosotros determinamos la oferta
O1. Si hay equilibrio, O1. O1 es igual a D sub 1, ¿eh?, la oferta en el
periodo 1 es igual a la demanda en el periodo 1. Pero la demanda en el
periodo 1 la tenemos arriba, o sea, que entonces sigo ahora, prolongo esto
hacia arriba, ¿eh?, hasta llegar a la recta de demanda, ¿no? Y ahí
tengo, entonces, me marca el precio, ¿eh?, aquí lo veo, veo aquí a la
izquierda, ¿eh?, estamos aquí ahora, veo entonces el precio del periodo
primero, el precio al cual se va a vender esa demanda, ¿no?, o sea, se
está vendiendo esa demanda. Bueno, si prolongo entonces el precio, llego
entonces hasta la oferta, pero claro, a esa oferta ahora que es del precio
P sub 1 sería la oferta D sub 2, que está aquí abajo, ¿eh? Por eso,
bueno, y luego si bajo hacia abajo sería la oferta O sub 2 y la demanda D
sub 2, ¿eh?, estamos en el periodo 2. Pero claro, pero la oferta depende
del periodo 1, entonces yo bajo para abajo, bajo hasta la demanda. Entonces
aquí, para estar aquí en la demanda, entonces tengo ahora el precio P sub
2. Bueno, en fin, y así sucesivamente observamos, de ahí, bueno, esto es
un poco el porqué el nombre de teledaño, ¿no? O sea, cómo estas
trayectorias van cerrándose, cerrándose, cerrándose hacia el precio de
equilibrio, ¿eh? Es decir, es un poco otra manera de ver, o sea, es lo
mismo que hemos dicho antes de la trayectoria temporal, la poligonal
aquella, pero bueno, aquí está hecho por la oferta y la demanda de otra
manera. De ahí que se llama el precio P sub 2. El modelo de teledaño,
¿no? O sea, que va cerrándose, cerrándose, cerrándose, converge a ese
punto donde se corta la oferta y la demanda, que sería el precio de
equilibrio, P asterisco, ¿eh?, ahí está donde se cortan, es A más C
partido por B más D, ¿eh? Bien. Ahora, en el caso de que el D, el menos D
partido por B sea menos 1, ¿eh?, que era la exponencial esta, ¿no?, la
base, sea exactamente igual. Menos 1. Bueno, pues en ese caso era el
oscilante, ¿eh?, el oscilante de forma constante, que el menos 1 elevado a
X era lo que oscilaba. Pero bueno, representado de esta manera con oferta y
demanda, pues entonces P sub T, bueno, aquí lo tenemos, oscilaría entre P
sub 0, ¿eh? Pues claro, cuando X sea par, esto será 1, luego entonces,
aquí en la solución, ¿eh?, ¿qué es lo que nos quedaría si X es par?
Pues si X es par me quedaría. El A más C partido por B más D más P sub
0 menos A más C partido por B más D, o sea, me queda P sub 0. Y cuando el
D, o sea, cuando la X sea impar, esto sería, entonces sería un menos 1,
pues entonces me quedaría el A más C partido por B más D más, ¿eh?, A
más C partido por B más D, o sea, dos veces lo que era el precio de
equilibrio, ¿eh?, dos veces el precio de equilibrio, menos, ¿eh?, porque
estoy motivado por menos 1, el precio inicial, o sea, quedaría este. Por
lo tanto, así oscilan, ¿eh?, así oscilan el precio, el P sub T oscila
entre ese precio, o sea, no tiende a estabilizarse como antes, ¿no? Poner
la situación gráficamente, pues la tenemos aquí, ¿no? O sea que aquí
para un precio P sub 0, pues tengo una oferta, una oferta que sería la O
sub 1 y una demanda, bueno, una oferta O sub 1, y subo para arriba y tengo
la demanda P sub 1, ¿eh?, igual que antes, pero bueno, aquí como son, se
mantienen constantes, y bueno, y luego sigo hacia la derecha, abajo y
abajo, o sea, que aquí, como si dijéramos, nos salimos de aquí, ¿eh?,
estamos aquí, o sea, no tiende como antes, la telaraña no se cierra. En
el caso ahora de que el menos D partido por B sea menor que menos 1, es
decir, que ahora ya nos vamos hacia valores en valor absoluto mayores que
1, claro, aquí ya sí, aquí el menos D partido por B elevado a X en valor
absoluto va tendiendo a infinito, entonces esto se va a ir abriendo, ¿eh?,
se va a ir abriendo. Entonces la telaraña, pues le va a pasar un poco lo
contrario que antes, es decir, se va a ir, ¿eh?, va a ir expandiéndose,
¿no? Es decir, aquí, bueno, aquí teníamos el, bueno, el dibujo, ¿no?,
o sea, aquí tenemos las dos líneas de oferta y demanda, entonces
empezaríamos en un P sub 0, por aquí el centro, ¿no?, y en fin, vamos
haciendo, pues esta, este. Esta especie de, bueno, espiral, ¿eh?, que va
cada vez abriéndose más, ¿eh?, cada vez abriéndose más, ¿eh?, cada
vez abriéndose más, cada vez, etcétera, ¿no? Bien. Bueno, vamos a ver
algunos, algún ejercicio, evidentemente de exámenes, ¿no?, o sea, que
esto, pues eso aparece en los exámenes, aquí precisamente tenemos uno del
tipo modelo este de la telaraña, ¿no? Bueno, pues con los datos que se
indican para el modelo de la telaraña, bueno, pues tenemos la trayectoria
temporal del precio, y se supone que lo que hay que hacer es resolver la
ecuación en diferencias y luego, pues, hacer un poquito el dibujito de la
oferta y la demanda y, bueno, un poquito la telaraña y según, claro,
según el tipo que sea, si es explosiva o inestabilidad a largo tiempo o,
bueno, como se entiende, ¿eh?, a la posición de equilibrio, depende,
¿no? Bueno, aquí tenemos las dos funciones, ¿eh?, van, función de X se
ha puesto aquí, o sea, que es la demanda, ¿eh?, de sub X igual a cuatro
menos dos P sub X y la oferta en el periodo X, ¿eh?, sub X igual a menos
cinco más tres por P sub X menos uno, ¿eh?, periodo anterior. Y aquí nos
dan un valor inicial T sub 0 igual a tres. Bueno, vamos a, igualamos,
oferte-demanda, despejamos el P sub X y ponemos, en fin, P sub X más uno,
bueno, en la forma normal, ¿no?, P sub X más uno igual a menos tres
medios P sub X más nueve. Aquí tenemos un caso en el que el A es menor
que menor, o sea, el A es menor que menos uno, luego va a estar en
explosiva, es decir, esta va a ir expandiéndose al ir aumentando la X.
Bueno, ya ponemos la solución, o sea, la solución sería nueve medios
partido por uno menos menos tres medios, ¿eh?, que serían cinco medios,
por tanto, uno de medios partido por cinco medios son nueve quintos, más P
sub cero menos nueve quintos, o sea, el tres menos nueve quintos por el A
menos tres medios elevado a X. O sea, menos cinco a nueve medios más seis
quintos por menos tres medios elevado a X. Y ya está, o sea, que
simplemente ahora, bueno, si hacemos una pequeña tabla, ¿eh?, pues vemos
precisamente, aquí tenemos los puntos, o sea, que tengo, voy dando los
valores a X para X igual a cero, sale tres, o sea, eso ya en la solución
lo podemos ir haciendo, ¿no? Para X igual a uno, para X igual a dos, para
X igual a tres, voy teniendo unos precios de P sub X y unos valores de
demanda y de, ¿eh?, demanda y oferta, ¿no? Entonces eso, bueno, lo puedo
representar aquí, ¿eh?, ya directamente en los ejes de coordenadas y voy,
si vamos uniendo estos puntos, o sea, el punto, por ejemplo, el punto cero
cuatro, luego el punto cuatro y medio menos cinco, etcétera, y vamos
obteniendo pues esta, ¿eh?, esta poligonal que va expandiéndose en una
trayectoria del tipo explosivo, ¿eh?, la trayectoria de precios es
explosiva y provoca inestabilidad, o sea, que los precios no, no tienden,
¿eh?, al precio de equilibrio, ¿eh?, sino que se alejan, ¿eh?, divergen
el precio de equilibrio. Bien, otro ejercicio, ¿no? La función de demanda
de un cierto producto agrícola viene dada por la ecuación, bueno, pues
esta de aquí y la de la oferta por esta, ¿eh? Bueno, la demanda es
quinientos menos tres P sub I y, y la oferta, aquí han puesto la misma
letra, pero bueno, nosotros, de hecho, como no nos vamos a olvidar de esto,
¿eh?, no vamos a usar esas letras, ya ni las usamos porque igualamos,
¿no?, pero bueno, doscientos más cuatro P sub I menos uno. Entonces se
pide determinar el punto de equilibrio, eso está claro, la trayectoria
temporal del precio también y la tendencia a largo plazo, pues eso
también lo vamos a ver, ¿no? Bueno, igualamos en la oferta y la demanda,
despejamos el P sub T y escribimos en la forma normal P sub T más uno, nos
queda P sub T más uno igual a menos cuatro tercios de P sub T más cien.
Ya aquí ya vemos, ¿eh?, vemos que como A vale menos cuatro tercios, que
es menor que menos uno, la trayectoria va a ser explosiva también, ¿eh?
Bueno, pues nada, la solución de equilibrio, que es el trescientos partido
por siete, es el B partido por uno menos A, o sea que aquí sería el cien,
que es el B, partido por uno más cuatro tercios, que son siete tercios.
Por tanto, cien, que son trescientos tercios, claro. Partido por siete
tercios son trescientos partido por siete, ahí está. Eso es el B partido
por uno menos A, que es la solución de equilibrio, ¿no? Y resuelta la
ecuación, bueno aquí la tenemos resuelta, ¿no?, o sea que sería
trescientos partido por siete, justo al final, ¿no?, más P sub cero menos
trescientos partido por siete, aquí no da el valor del P sub cero, ¿no?
Multiplicado por A, o sea el menos cuatro tercios elevado a T. Y
simplemente, ya digo, como el A es menor que menos uno, pues la trayectoria
es del tipo explosivo. Aquí no podemos hacer un dibujo, bueno,
esquemático, un esquema de lo que pasaría, no tenemos valor de P sub
cero, no podemos concretar los valores, pero bueno, esta sería la
situación, ¿eh?, que aquí representaba, ¿no? Una trayectoria que se va
alejando, ¿eh?, se va alejando de la posición de X. El equilibrio, bueno,
aquí se indica, ¿no? O sea que como menos cuatro tercios elevado a menos
uno, pues el P sub cero tiende a más o a menos infinito cuando T tiende a
infinito. La trayectoria es explosiva. Bien, y otro ejercicio también de
examen, o sea que este tema si aparece en los exámenes aparece siempre con
el modelo de la telaraña, ¿eh? Bien, aquí tenemos determinar la
evolución temporal del precio de un bien determinado en un modelo donde la
oferta y la demanda, expresada en millones de unidades, vienen dadas por
estas ecuaciones de aquí. Y el precio de cada periodo de tiempo es el
resultado de equilibrar la oferta y la demanda. Bien, considérese el
precio P sub cero igual a 0,6 euros por unidad. Bien, aquí nos damos el
valor inicial. Entonces, nada, vamos a, aquí lo que pide es eso, es
determinar la evolución temporal, la evolución temporal, que es en lo que
estamos. Bueno, resolvemos la ecuación en diferencias, igualamos oferta a
demanda, despejamos el P sub t, lo escribimos de la forma normal, P sub t
más uno, igual a menos cuatro quintos por P sub t más uno. Aquí resulta
que el A está entre menos uno y cero, en valor absoluto es menor que uno.
Esta sí que va a ir tendiendo al precio de equilibrio. Y bueno... Y ahí
ya ponemos la solución, ¿eh? O sea que sería, el precio por unidad
sería cinco novenos, ¿eh? Y luego cinco novenos menos, o sea P sub cero
sería 0,6 menos cinco novenos. Lo calculamos, ¿eh? Sería 0,4 novenos
multiplicado por A, que es menos cuatro quintos elevado a t. Bueno, puesto
que aquí está indicado, claro, puesto que menos uno es menor que menos
cuatro quintos, menor que cero, pues cuando t tiende a infinito, P sub t
tiende a cinco novenos, ¿eh? O sea que claro, aquí en la expresión de P
sub t se observa que el término exponencial tiende a cero, luego nos...
Ese P sub t, ¿a qué tiende P sub t? Tiende a cinco novenos, que es el
precio de equilibrio, P asterisco esto, ¿no? Bien, pues eso sería la... Y
aquí una representación gráfica, pues esto. Empezamos aquí, estaríamos
ahí, en este punto, y esto pues va cerrándose, va cerrándose. El precio
de equilibrio con el paso del tiempo. Bueno, pues este es el tema, ¿eh? Y
lo vamos a dejar.