Vamos a ver el tema 8, ecuaciones en diferencias de orden superior. Si
recordamos el tema anterior, eran ecuaciones en diferencias de primer orden
y aquí ya vamos a generalizar este concepto, aunque solamente veremos
ecuaciones en diferencias finitas lineales. Este tipo de ecuaciones las
podemos escribir de esta forma, ¿no? i sub x más n más a sub 1 por i sub
x más n menos 1, etcétera, más a sub n menos 1 por i sub x más 1 más a
sub n por i sub x igual a b de x. Recordemos que la incógnita es la
función i sub x, que es una sucesión, toma valores en el conjunto de los
números naturales, la x. Bien, entonces, en primer lugar vamos a resolver
la ecuación normal. En la ecuación homogénea, en la que el término
independiente, el b de x es igual a 0. Ya tenemos, sería esta la
ecuación. Entonces, bueno, este tipo de ecuaciones puede demostrarse que
el conjunto de sus soluciones es un espacio vectorial de dimensión n. Esto
pues se parece similar a las ecuaciones diferenciales lineales, en las que
también el conjunto de las soluciones da un espacio vectorial de
dimensión n. Bien, esto significa que para calcular el conjunto de
soluciones, que evidentemente es infinito, bastará con encontrar una base
de este espacio vectorial. Así es que si i sub 1, i sub 2, etcétera, y
sub n son soluciones linealmente independientes, pues ya constituye una
base, puesto que el espacio vectorial es de dimensión n y en ese caso la
solución general, por tanto, será una combinación lineal de los
elementos de la base y será de la forma c sub 1 por i sub 1 más c sub 2
por i sub 2, etcétera, más c sub n por i sub n, con c sub i constantes
indeterminados. Bien, se puede demostrar, es casi obvio, que una función
exponencial de la forma lambda elevado a x es solución si se cumple que
lambda elevado a n más a sub 1 por lambda elevado a n menos 1, etcétera,
más a sub n menos 2 por lambda al cuadrado, más a sub n menos 1 por
lambda más a sub n es igual a 0. Esto evidentemente, esta condición se
obtiene en el caso de la solución lineal. Se obtiene simplemente
sustituyendo lambda elevado a x en la ecuación y se obtiene esta igualdad.
De forma que, según sean las raíces de este polinomio, el polinomio que
escribiremos con la letra t, t elevado a n más a sub 1 por t elevado a n
menos 1, más, etcétera, a sub n menos 2 por t al cuadrado, más a sub n
menos 1 por t más a sub n, pues entonces se pueden presentar los
siguientes casos que vamos a ver. En primer lugar, si lambda sub 1 y lambda
sub 2 son dos raíces reales, simples y distintas, entonces las funciones
lambda sub 1 elevado a x y lambda sub 2 elevado a x son soluciones
linealmente independientes. En segundo caso, si lambda es una raíz
múltiple, real, múltiple de grado r, entonces las r funciones lambda
elevado a x, x por lambda elevado a x, x cuadrado por lambda elevado a x,
etcétera, x elevado a r menos 1 por lambda elevado a x, son soluciones
linealmente independientes. Son r soluciones linealmente independientes.
Otro caso, si tenemos ya soluciones complejas conjugadas, las vamos a poner
aquí en forma polar, y si r sub z, donde r sería el módulo y z el
argumento, es un número complejo escrito en forma polar que es solución
compleja simple, entonces r elevado a x coseno de z, y r elevado a x seno
de z, son soluciones linealmente independientes también. Y finalmente, si
r sub z es una solución compleja, pero ahora múltiple de grado s, pues
entonces r elevado a x coseno de z, r elevado a x seno de z, x por r
elevado a x coseno de z, x por r elevado a x seno de z, etcétera, hasta x
elevado a s menos 1 por r elevado a x coseno de z, x por r elevado a x seno
de z, etcétera, y x elevado a s menos 1 por r elevado a x seno de z, x
serían soluciones linealmente independientes. Bien, ahora a ver entonces
cómo resolver la ecuación completa. Tendremos que si y sub x super h es
la solución general de la ecuación homogénea, y sub x super c es una
solución particular de la ecuación completa, entonces la suma, y sub x
super h más y sub x super c, sería solución general de la ecuación
completa. Esto ocurre exactamente lo mismo que pasaba con las ecuaciones
diferenciales, donde también ocurría que la suma de una solución general
de la homogénea y una solución particular de la completa era la solución
general de la completa. Bien, vamos entonces a ver cómo se obtiene una
solución particular de la ecuación completa. Eso dependerá de la forma
del término independiente b de x. Si este término independiente es un
polivirtuo, un polinomio de grado n, entonces si el número uno no es raíz
de la ecuación característica, de la ecuación homogénea, entonces
nosotros colocaremos un polinomio de grado n también a coeficientes
indeterminados como posible solución particular de la ecuación completa.
Y determinaríamos los coeficientes indeterminados sustituyendo en la
ecuación. Ahora bien, si uno es una raíz de multiplicidad, o sea una
raíz con multiplicidad s, bien, pues entonces ensayaríamos un polinomio
de grado n, coeficientes indeterminados, pero multiplicado por x elevado a
s. Esto, ya digo, también es similar a lo que hacíamos con las ecuaciones
diferenciales. En caso de que la forma del término independiente sea un
polinomio de grado n multiplicado por una exponencial, a elevado a x por p
sub n de x, en ese caso si a no es raíz de la ecuación o el polinomio
característico, pues nosotros ensayaremos una expresión de la forma a
elevado a x por p asterisco sub n de x, sería el polinomio a coeficientes
indeterminados de grado n. Ahora bien, si a es raíz con multiplicidad s
del polinomio característico de la homogénea, pues en ese caso
pondríamos x. x elevado a s por a elevado a x por p asterisco sub n de x
para ensayar la solución de la complejidad. Y finalmente, si el término
independiente es el producto de una exponencial por una expresión del tipo
p sub n de x, que sería un polinomio, grado n por el seno de beta x más q
sub m de x, el polinomio de este grado m, por el coseno de beta x, entonces
si el número complejo de forma polar, a sub n de x, es el número complejo
de forma polar, no es raíz del polinomio característico, entonces
ensayaremos una expresión de la misma forma que he dicho término
independiente, con los polinomios p asterisco sub k y q asterisco sub k
donde k sería el mayor número de n o de x. Y en el caso de que el número
complejo a sub beta sea raíz con multiplicidad s, pues haremos lo mismo
que hemos hecho en los casos anteriores multiplicando por x, elevado a s,
la expresión está anterior. Bien, en el caso de que b de x sea
combinación lineal de algunos de estos términos que hemos visto aquí, de
estos modelos, pues la solución particular también sería combinación
lineal del mismo tipo. Bien, vamos entonces a ver algunos ejercicios, los
propuestos en exámenes. Bueno, aquí tenemos un primer ejercicio, la
demanda en el mercado de un bien sigue una relación de esta forma, aquí
tenemos una aplicación concreta, es decir que la demanda que sería en un
instante determinado, en un periodo determinado, por ejemplo años, pues d
sub t en el año siguiente sería d sub t más uno y en el año siguiente
sería d sub t más dos, bueno aquí tenemos la relación entre esos tres
valores, d sub t más dos igual a tres medios de d sub t más uno menos un
medio de d sub t. Bien, pues estudiar bajo qué condiciones iniciales la
demanda d sub t se estabiliza a largo plazo. Bien, nosotros aquí lo que
tenemos que hacer es calcular d sub t y para ello pues resolver lo que es
una ecuación en diferencias, puesto que la demanda, puesto que varía por
años, pues es una sucesión y por tanto esto es una ecuación en
diferencias de segundo. Su polinomio característico sería t. Cuadrado
menos tres medios de t más un medio, lo igualamos a cero, resolvemos la
ecuación de segundo grado y obtenemos las raíces uno y un medio. Por
tanto, la solución general de esta ecuación sería d sub t igual a c sub
uno más c sub dos con un medio elevado a t. Bien, aquí observamos que a
largo plazo, es decir, si t tiende a infinito, pues el término un medio
elevado a t tiende a cero. Por lo tanto, la demanda tendería a c sub uno.
Dice, d sub t tiende a c sub uno y por lo tanto, a largo plazo, la demanda
se estabiliza y toma el valor de esa constante, sea evidentemente cuáles
sean las condiciones iniciales. Bien, vamos a ver otro segundo ejercicio.
Resolver la ecuación en diferencias y sub x más dos menos dos por y sub x
igual a x al cubo más x al cuadrado menos tres. Bueno, aquí tenemos una
ecuación. El término independiente es un polinomio de tercera edad.
Bueno, resolvemos primero la ecuación homogénea. Para eso, el polinomio
característico de t cuadrado menos dos igualamos a cero. Resolvemos la
ecuación. Tiene dos raíces reales más menos raíz de dos. Por tanto, la
solución general de la ecuación homogénea sería c sub uno con raíz de
dos elevado a x más c sub dos por menos raíz de dos elevado a x. Y como
solución particular de la ecuación completa, puesto que el uno no era
raíz del polinomio característico, pues ensayamos un polinomio también
de tercer grado y a coeficientes indeterminados a x cubo más b x al
cuadrado más c x más d. Sustituimos este polinomio en la ecuación y
entonces aparece esta expresión de aquí que sería a por x más dos
elevado al cubo más b por x más dos al cuadrado más c por x más dos.
Luego menos dos por y sub x que sería menos dos por a por x al cubo menos
dos por b por x al cuadrado menos dos por c por x menos dos d y lo
igualamos al término independiente x al cubo más x al cuadrado menos
tres. Desarrollamos el primer miembro, elevamos al cubo el x más dos o
cuadrado, etc. Y desarrollamos, agrupamos términos semejantes y vamos
identificando coeficientes, el coeficiente de tercer grado del primer
miembro igual al coeficiente de tercer grado del segundo. Bueno, ahí nos
aparece este sistema y que ha resuelto, es un sistema compatible
determinado y resuelto proporcionando esta solución. a es igual a menos
uno, b igual a menos siete, c igual a menos cuarenta, d igual a menos
ciento trece. Por lo tanto, la solución general de la ecuación propuesta
pues aquí la tenemos, sumamos la ecuación general obtenida de la
homogénea más esta solución particular. Bien. Otro ejercicio. Pues
resolver esta ecuación en diferencias y ahora el segundo miembro, el
término independiente pues es del tipo exponencial, cuatro elevado a x.
Bien, el polinomio característico de la homogénea, t cuadrado menos tres
c más dos, igualamos a cero, resolvemos la ecuación, tiene las raíces
uno y dos, raíces reales simples. Por tanto, la solución general de la
ecuación homogénea sería c sub uno más c sub dos por dos elevado a x.
Puesto que el cuatro elevado a x no aparece, una de las soluciones de la
ecuación homogénea, pues para comprobar, para probar una solución
particular de la competencia, hallaremos una función del mismo tipo, a,
una constante indeterminada por cuatro elevado a x. Entonces, sustituyendo
en la ecuación, pues debería de cumplirse que a por cuatro elevado a x
más dos menos tres por a por cuatro elevado a x más uno. Más dos a por
cuatro elevado a x igual a cuatro elevado a x. Si en el primer miembro
sacamos cuatro elevado a x, factor común, pues ya simplificamos con el
cuatro elevado a x del segundo miembro y el coeficiente que nos había
quedado aquí en el primer miembro será igual a uno y bueno, ya despejamos
a a, eso tiene que valer un sexto. Por tanto, pues la solución general,
pues esto es la suma de la solución general de la homogénea más la
particular que hemos importado. Bien, otro ejercicio, obtener la solución
general de la ecuación esta. Aquí observamos que el segundo miembro es
una exponencial más uno, una constante. Bien, el polinomio característico
de la ecuación homogénea sería en este caso un polinomio de tercer grado
para calcular sus raíces, bueno igualamos a cero y vamos tanteando entre
los divisores de cuatro. Probamos el uno. Vemos que no es, probamos el
menos uno y ya sí que es solución y entonces por el algoritmo Ruffini no
hace falta seguir probando. Podríamos seguir probando pero bueno, no hace
falta, se puede reducir a un polinomio de segundo grado y ya resolveríamos
una ecuación de segundo grado y nos aparece la solución menos dos doble.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea sería c sub
uno por menos uno elevado a x más c sub dos por menos dos elevado a x más
c sub tres por x. Bien, puesto que el menos dos elevado a x sí que aparece
como solución particular de la homogénea, como solución de la
homogénea, pues para ensayar una solución particular de la ecuación
completa deberemos multiplicar, bueno y como ha puesto que aparece el dos
elevado a x aparece como el menos dos la doble, aparece menos dos elevado a
x y x por menos dos elevado a x. Por lo tanto, para ensayar una solución
de la completa tenemos que multiplicar por x al cuadrado, así es que el
menos dos elevado a x. Luego entonces la solución que ensayaremos será a
por x al cuadrado por menos dos elevado a x más una constante b para que
tenga la misma forma que el término independiente de la ecuación
propuesta. Bien, pues este y sub x lo sustituimos en la ecuación y bueno,
identificando luego los coeficientes tenemos dos constantes que son la a y
la b. Por lo tanto, la solución general de la ecuación propuesta sería
la suma de las dos soluciones, la general de la homogénea y la partícula.
Otro ejercicio, tenemos aquí una ecuación de tercer grado, el término
independiente es también del tipo exponencial. Entonces el polinomio
característico de la homogénea es igual que antes, al ser de tercer grado
vamos a multiplicar por x al cuadrado. Vamos a, para encontrar las raíces
ensayamos divisores de seis y bueno, el uno no es, el menos uno sí que es
y hacemos lo mismo, reducimos por un cine a uno de segundo grado,
resolvemos la ecuación de segundo grado y nos aparecen estas tres, estas
tres raíces reales independientes. Por tanto, la solución general de la
homogénea pues es esta de aquí, c sub uno por menos uno elevado a x más
c sub dos por menos uno elevado a x más c sub tres por tres elevado a x.
Entonces como solución particular de la ecuación completa, simplemente,
puesto que la ecuación completa era una constante multiplicada por un
cinco elevado a x, pues del mismo tipo, ¿no? O sea, ponemos a, la
constante indeterminada, por cinco elevado a x. Sustituimos entonces en la
ecuación propuesta y despejamos la a, que sería la única icónica que
tendríamos, nos aparece a igual a cinco treinta y seis avos, por lo tanto
ya podemos escribir la solución general de la completa. Bien, otro
ejercicio. Bueno, como vemos esto al final pues es bastante rutinario,
¿eh? O sea que son todos muy parecidos, ¿no? En la confeccional vamos a
resolverlo. Bien, aquí tenemos una ecuación de segundo orden, ¿no? Con
un término independiente que es un polinomio de primer grado. Entonces el
polinomio característico de la ecuación homogénea de cuadrado menos tres
t más dos, resolvemos, igualamos a cero, resolvemos la ecuación. Y
aparecen las raíces uno y dos. Por lo tanto, la ecuación homogénea tiene
la solución c sub uno más c sub dos por dos elevado a x. Bien, puesto que
el uno es solución del polinomio característico, a la hora de poner un
polinomio de primer grado como solución particular de la completa tenemos
que multiplicar por x, ¿eh? Por lo tanto, lo que vamos a comprobar será a
él. A elevado a x más b, o sea, perdón, a por x más b por x al
cuadrado. Y sustituyendo la ecuación, vamos identificando los términos
del mismo grado, pues despejamos a y b, nos aparece que a vale menos tres
medios y b vale menos un medio. Por tanto, la solución general de la
ecuación propuesta, pues es esa. Bien. Otro ejercicio. Bien, aquí el
término independiente vemos que es una constante. Entonces, bueno, el
polinomio característico de la homogénea c cuadrado menos tres c más dos
tiene las raíces uno y dos. Por tanto, la solución general de la
ecuación homogénea es c sub uno más c sub dos por dos elevado a x.
Puesto que el uno es la raíz del polinomio característico y el segundo
miembro es una constante, pues tendremos que multiplicarlo por x, ¿eh?
Para hallar tenemos que, o sea, del mismo tipo pero multiplicado por x. O
sea, que ensayaríamos a por x. Bien. Y sustituyendo en la ecuación, pues
despejando esa única incógnita, la a, pues obtendríamos que a vale menos
diez, con lo cual ya podemos describir la solución general. Esto, ya digo,
resulta al final, pues, sutil, ¿eh? Bien. Otra ecuación. I sub x más dos
más i sub x más uno menos dos por i sub x. Aquí el término
independiente es del tipo producto de exponencial por x. Por un polinomio
de primer grado y por una constante, ¿no? Bien. Polinomio característico
t cuadrado más t menos dos. Tiene las raíces uno y menos dos. Así es que
ya podemos describir la solución general del a homogénea. Y observemos
que nos ha salido un uno, ¿eh? Entonces hay que tenerlo en cuenta para
poner la solución particular de la completa que, puesto que es un
polinomio de primer grado, pero lo que ocurre es que como en este caso va
multiplicado por una exponencial. Bueno, pues no es un polinomio nada más.
Si fuese un polinomio tendríamos que multiplicar por x. En este caso, como
va multiplicado por tres elevado a x, pues vamos a ensayar una expresión
del tipo tres elevado a x por ax más b. La constante, el dos que está en
el término independiente, no hace falta poner una constante puesto que ya
iría englobado en la a y en la b. Bueno, pues entonces esta expresión la
sustituimos en la ecuación y despejamos a y b. Nos aparece que a vale un
quinto y que b vale menos once cincuentavos y ya pues esto nos permite
escribir la ecuación general. Bien, otra ecuación. Esta es de segundo
orden. El término independiente es también de tipo exponencial. Bueno, la
ecuación característica t cuadrado menos cuatro t más cuatro igual a
cero. Resolvemos y nos aparece t igual a dos doble. Por lo tanto, la
ecuación homogénea tiene la solución c sub uno por dos elevado a x más
c sub dos por x por dos elevado a x. Puesto que el cinco elevado a x no
aparece como solución aquí en la homogénea, pues una solución
particular de la competencia será simplemente el mismo tipo con una
constante a por cinco elevado a x. Entonces sustituimos ya en la ecuación,
despejamos a y obtenemos que a vale un tercio así que pues ya escribimos
la solución general. Bien, otra ecuación también es parecida. Esta
sería de tercer orden. El término independiente es una exponencial. Y
bueno, resolvemos la ecuación t al cubo más tres t cuadrado más tres t
más uno igual a cero. Si recordamos, bueno, damos cuenta, ¿no? Pues esto
de t al cubo más tres t cuadrado más tres t más uno es el desarrollo de
t más uno elevado al cubo. Por lo tanto, la ecuación es t más uno
elevado a c. t más uno al cubo igual a cero. Y por tanto, tenemos la
solución t igual a menos uno que es triple. Así que la solución general
de la ecuación homogénea pues sería c sub uno por menos un elevado a x
más c sub dos por x por menos un elevado a x más c sub tres por x al
cuadrado por menos uno elevado a x y una solución particular de la
ecuación completa que será de la forma a por seis elevado a x. La
sustituimos en la ecuación. Y bueno, aquí está desarrollado. Nos
quedaría a por seis elevado a x más tres más tres a por seis elevado a x
más dos más tres a por seis elevado a x más uno más a por seis elevado
a x igual a seis elevado a x. Sacamos del seis elevado a x factor común
del primer miembro, lo simplificamos con el del segundo miembro y bueno,
nos quedaría trescientos cuarenta y tres a igual a uno luego de a uno
partido por trescientos cuarenta y tres y ya pues escribimos la solución
general. Bien, y finalmente, el último ejercicio pues sería este de
aquí. Es una ecuación también del tercer orden y el término
independiente que es menos uno elevado a x. Bueno, el polinomio
característico probamos como antes los divisores del cuatro el uno no es,
sí que lo es el menos uno por reducir y reducimos y resolvemos la
ecuación de segundo grado y bueno, aparece el menos uno y el menos dos
doble. Por tanto, la solución general de la obra homogénea pues sería c
sub uno por menos uno elevado a x más c sub dos por menos dos elevado a x
más c sub tres por x por menos dos elevado a x y una solución particular
de la ecuación completa puesto que el menos uno elevado a x ha aparecido
como solución en la homogénea pues sería, hay que multiplicar por x por
lo tanto sería a por x por menos uno elevado a x. Esta expresión la
sustituimos en la ecuación y despejamos la a, sería la única incógnita
que es igual a menos uno y bueno, ya podemos escribir la solución de la
obra. Bien, pues este era el tema. Aquí lo dejamos.