Buenas tardes. Comenzamos a ver una visión general, bueno, un primero
feliz año nuevo y os deseo lo mejor en las pruebas de final de mes y de
febrero. Comenzamos a ver el tema número 10, que es un poco largo y en
realidad el título es análisis descriptivo de las distribuciones de
probabilidad. La idea es simplemente, una vez visto prácticamente la
asignatura entera, analizar unas características numéricas de las
distribuciones de probabilidad, es decir, resumir la información
probabilística que da una distribución de probabilidad mediante una serie
de valores numéricos. Estos valores numéricos son los que se utilizan y
se suelen llamar características numéricas, indicadores, etcétera, de
muchas maneras distintas. En realidad hay como dos grandes grupos de
medidas o de características numéricas de las distribuciones. Están las
características centrales o de posición, que es la media, la esperanza,
que ya lo vimos en el tema número 9, y las características nuevas para
vosotros en el tema este, número 10, que son las medidas de dispersión.
Las medidas de dispersión son muy importantes a la hora de resumir la
información de una distribución de probabilidad, porque cualquier medida
de descentralización, por ejemplo la esperanza matemática, debe de venir
acompañada de una medida de dispersión, que es lo que vendría a decir
que cómo de disperso estén los valores observados de la distribución
respecto a ese valor que lo representa o que lo resume, que es la esperanza
matemática. Veamos a ver alguna... Primero, como siempre suelo hacer yo,
un pequeño resumen teórico para poder avergar con éxito los problemas
que os propongo. Partimos en el caso unidimensional de una distribución
discreta, conocida, y quiero resumir la información mediante algunas
características numéricas. Siempre que hablemos de unas series vamos a
suponer lógicamente que es convergente, es decir, que existe la esperanza
asociada. Hay un primer grupo, que son las características numéricas. El
primer momento ordinario que dará alguna información es el momento de
orden 1, que es la esperanza matemática. La media, como vimos en el tema
número 1. Una proposición importante es que si existe el momento
ordinario de orden K, entonces existen todos los momentos ordinarios de
orden inferior a K. Es decir, si existe el momento de orden 3, entonces
existen el de orden 2 y el de orden 1. Un segundo grupo son los momentos
centrales. Estos momentos centrales están referidos al momento ordinario
más elemental, el momento de orden 1, que existe, lógicamente. Por lo
tanto, el momento central de orden K sería la esperanza de la variable X
respecto de su media, todo elevado a K. Aquí falta un paréntesis. Aquí
uno y aquí otro. ¿De acuerdo? Pero vaya, no hace falta. Es decir, la suma
de todos los valores de la variable. X menos su media elevado a K por su
probabilidad asociada. El momento central que da alguna información, el
primero de todos, el más pequeño de todos, es el momento de segundo
orden. Porque el momento de orden 0 vale 1, el momento de primer orden vale
0, porque la media de las variables respecto de su media vale 0. Y el
primer momento central que da alguna información estadística. Es el
momento de orden 2, que es la varianza. Esta, por lo tanto, es una
característica no negativa. La varianza siempre es mayor o igual que 0. El
caso igual a 0 es cuando la variable es degenerada. Es decir, que toma un
solo valor con probabilidad 1. La raíz cuadrada positiva de la varianza es
la desviación típica. Eso viene en el libro, es una cosa elemental y no
tiene más trascendencia. Una relación importante, viene en la página 193
del texto, es que los momentos centrales es una función de los momentos
ordinarios. También se pueden poner al contrario. Y depende del momento de
orden K y todos los inferiores. Por lo tanto, si existe el momento de orden
K ordinario, existe el momento central de orden K según el teorema que
hemos visto. Y además, la varianza como momento central de segundo orden
se puede poner en base a la relación que existe entre mu, y M, como la
esperanza del momento de segundo orden, es decir, M sub 2 menos la media al
cuadrado. Una medida, estas ya son medidas, la varianza de posición,
perdón, de dispersión. Un momento, una variable, lo que pasa es que la
varianza tiene, la medida es la que sea al cuadrado, ya que es un momento
de segundo orden. Una medida de dispersión que no posee unidades es el
coeficiente de variabilidad. La variación, que es invariante por
homotecia, es decir, por cambio de unidades. Es igual al coeficiente de la
desviación típica partido por la esperanza en valor absoluto, se suele
poner. Resultado importante, pues el teorema de Cony. Si nosotros definimos
la función Q de A en donde es la dispersión de la variable X respecto de
A, siendo A una constante cualquiera al cuadrado, el valor mínimo se
alcanza cuando la constante A es la esperanza matemática. De ahí la
definición. De ahí la definición de varianza. Y otro resultado
importante es la acotación de Chebiché o desigualdad de Chebiché, que
para cualquier variable arbitraria con varianza finita, por lo tanto existe
la media, ya que la varianza es un momento de segundo orden, por lo tanto
existen todos los momentos de orden inferior, viene dado por el resultado
que aparece aquí señalado y que está demostrado en el libro de texto. Y
esta desigualdad o acotación de Chebiché se basa en un teorema, una
desigualdad más importante y más general, que es la acotación de Markov,
que la podéis ver en el libro, siempre y cuando la función F sea una
función no negativa y que exista la esperanza de la función f de X. Otras
medidas interesantes hasta cierto punto, pero bueno, un poco para que lo
tengáis en cuenta, son los coeficientes de asimetría, que es el momento
central de orden 3 partido por la desviación típica al cubo. El poner M
sub 3 partido por sin más. El cubo es para que no posea unidades. De igual
manera está el coeficiente de apuntamiento o custosio, sería si la curva
es más o menos aplastada que la famosa campana de Gauss, que sería el
paradigma de las distribuciones simétricas. Este coeficiente viene dado en
términos de momento de cuarto orden. Hay que restarle 3 porque este
cociente para la distribución normal vale exactamente 3. Por lo tanto...
Vale 0 si es como la normal, vale, es positiva o es negativa. Y de esa
manera se puede comparar con la normal. Ahora vamos a ver algo por el
estilo que hemos visto, pero para el caso de las distribuciones
bidimensionales. Son los momentos de una distribución conjunta. Por lo
tanto estarán los momentos ordinarios M conjunto, será la esperanza de X
elevado a R por, aunque no aparezca el por, por Y elevado a S con R y S
variando en 0 y 1. Y ahí puedo cambiar e intercambiarlo, de tal manera que
si hago S igual a 0, obtendría todos los momentos asociados a la variable
X y viceversa. Y después están los momentos centrales conjuntos, que
sería la esperanza de X menos su media elevado a R por Y menos su media
elevado a S. De nuevo con R y S variando para 0, 1, 2 y sucesivamente. De
estos momentos conjuntos, el más importante, el que da más información y
es el más pequeño, es el momento conjunto central de orden 1, 1, que se
llama la covarianza o variación conjunta. Es la esperanza de X menos su
media, su esperanza matemática, por Y menos su media, su esperanza
matemática. Observar por qué se llama covarianza, porque si la Y es igual
a X y la mu sub Y es igual a mu de X, entonces tendría la esperanza de X,
la esperanza de X menos su media, todo elevado al cuadrado, es decir, la
varianza de X. De ahí el nombre de covarianza. Haciendo operaciones de
manera elemental, esta covarianza o variación conjunta de las dos
variables se puede calcular de manera más fácil obteniéndola a través
de la esperanza del producto de las dos variables menos el producto de las
medias, de las esperanzas matemáticas. ¿Qué le pasa a la covarianza? Que
posee unidades. Y la covarianza, la covarianza puede ser positiva, negativa
o incluso cero. Para evitar esto, para ver esta relación, porque en
realidad la covarianza lo que me pide es una, lo que me da información
numérica es sobre la relación que hay entre las variables, se define el
coeficiente de correlación, que sería el cociente entre la covarianza y
el producto de las desviaciones típicas, siempre que sean distintas de
cero. Este coeficiente de correlación es un número abstracto, primero
varía entre menos uno y uno y me da una información muy buena sobre la
dependencia lineal que existe entre las variables X e Y. Una covarianza
cero implica una correlación cero y viceversa. Y eso significa que las
variables están incorreladas. Por otro lado, si las variables son
independientes, tema número 7 y 8 de BICY, entonces la covarianza vale
cero, ya que si las variables son independientes, la esperanza del
producto, el producto de la esperanza, la covarianza valdría cero y el
coeficiente de correlación valdría cero. Pero no necesariamente al
contrario, es decir, la independencia implica incorrelación. Pero el que
dos variables sean incorreladas no necesariamente implica independencia. El
coeficiente de correlación, para que veáis que en realidad era un
subterfugio para analizar la covarianza sin unidades, se puede calcular,
aquí viene para que lo demostréis, como la covarianza de las variables
tipificadas. Tipificar una variable es definir otra variable en donde a la
variable original se le resta su media y se le divide por su división
típica. Os lo dejo como ejercicio para que lo demostréis. Veamos
rápidamente dos ejemplos de los comentarios que acabo de decir. Primero,
la incorrelación no implica independencia. Aquí tenemos, por ejemplo, una
variable X que toma tres valores, el valor menos uno, el valor cero y el
valor uno, con probabilidades P, uno menos dos P y P respectivamente. Un
número comprendido entre cero y uno. Y definimos la variable Y igual valor
absoluto de X. Entonces, haciendo operaciones, lo dejo como ejercicio,
aunque aquí este hecho, observamos cómo la esperanza de X vale cero, la
esperanza de Y vale dos P, en fin, calculamos la media de X, la media de Y,
la varianza de X y la varianza de Y. Aquí tenéis los resultados. Y
después calculamos la distribución conjunta de la variable Y, el P menos
uno, uno, etcétera. De esta manera calculamos la esperanza de X por Y y
vale cero. Y la covarianza entonces vale cero, ya que la esperanza de X
vale cero. Por lo tanto, la covarianza es la esperanza del producto, que
vale cero, menos el producto de la esperanza, que es la esperanza de X cero
por la esperanza de Y, lo que va al lado. Por lo tanto, el coeficiente de
correlación vale cero, las variables son correladas. ¿Qué pasa? Pero, a
pesar de ser incorreladas, no son independientes. Es todo lo contrario.
Existe una relación funcional entre ellas, igual al valor absoluto de X.
Es decir, que existe una dependencia no estadística, sino una dependencia
funcional o matemática. El segundo ejemplo, para que lo hagáis, es ver
cómo cuando manejo dos variables discreta psicotómica, es decir, que
solamente toman dos valores, entonces la incorrelación sí implica
independencia en este caso. Observar, vamos a suponer que la variable X
tome el valor X1 y X2, y la variable Y, Y1, Y2. Y aquí dentro del cuadro
tenemos, por ejemplo, qué significa la probabilidad conjunta de que X tome
el valor X1 y de Y tome el valor Y1, y así sucesivamente. Aquí tenemos
los cuatro valores posibles, X1, Y1, X1, Y2, es decir, las sumas de estas
probabilidades P1, es decir, la variable X toma el valor X1 con
probabilidad P1, el valor X2 con probabilidad P1, la variable Y toma el
valor Y1 con probabilidad P2, y la variable Y toma el valor Y2 con
probabilidad Y2. ¿De acuerdo? Los cálculos los tenéis aquí, la
esperanza de X y la esperanza de X por Y, haciendo las operaciones
directamente en la definición, calculamos la covarianza. Para que la
covarianza valga cero, la esperanza del producto que la tenemos aquí tiene
que ser igual al producto de la esperanza. Es decir, obtenemos al final
estos valores. Y para que esto valga cero, la constante A tiene que ser
igual al producto de P1 por P2, ya que si X1 es igual a X2, la variable X
es degenerada, solamente toma un solo valor. Por lo tanto, si sustituyendo
ahora A por P1 y P2, es decir, A igual a P1 por P2, y obtenemos aquí, y
sustituyendo entonces de nuevo en el cuadro, demostramos que para cualquier
valor de Y y de J, P1 y P2, es decir, para X1 y para X2, la probabilidad
conjunta de XB y YJ es el producto de las probabilidades marginales. Como
esto es válido para todos los valores de Y y de J, eso implica la
independencia. Por lo tanto, en este caso, la incorrelación sí implica
independencia, para el caso, vuelvo a repetir, de variables marginales
dicotómicas. Para terminar, digamos, la parte de los conceptos teóricos,
tenemos la matriz de varianzas y covarianzas. Es una matriz semidefinida
positiva y simétrica, la demostración la tenéis en el libro de texto, y
viene dado por la diagonal principal, que son las varianzas, en este caso
para bidimensional, si fuese entre variables sería varianza de X, varianza
de Y, varianza de Z, y el resto son las covarianzas. La covarianza de X e Y
y la covarianza de Y de X que coincide con la de X e Y, en este caso. Por
lo tanto, no tiene mayor problema. Después viene la idea de rectas de
regresión. ¿Cuál es la idea? Como estamos trabajando con variables
bidimensionales, una idea importante es si el coeficiente de correlación
lo que me da es qué dependencia, la mayor o menor dependencia entre las
variables X e Y, lo que se pretende es buscar una recta que me dé una
estimación, por llamarla de alguna manera, de Y en función de Y. Se
utiliza el método de mínimos cuadrados y la idea es estimar, por los
datos del problema, A y B con la condición de que la esperanza de Y, estoy
hablando de una recta de Y en función de X, por lo tanto, lo que pretendo
es predecir Y en función de la variable X mediante la ecuación de una
recta igual a A más BX. Por lo tanto, Y menos A más BX elevado al
cuadrado, esto sea mínimo, calculamos las típicas derivadas, no hay mayor
problema y en el libro viene con todo detalle, tenemos la estimación de A
y la estimación de B. La pendiente de la recta que es el coeficiente de la
covarianza partido por la varianza de X. La varianza residual sería, en
términos de E es el error, el error que se comete al predecir Y en
función de X, la esperanza del error de la letra e pequeña va de cero, y
por lo tanto, la varianza viene dada de esta manera. Esta varianza del
error, Y sobra, el cuadrado sobra, es una errata, la varianza de la
variable E es Y menos su estimación al cuadrado, y por lo tanto, haciendo
operaciones, es igual a la varianza de Y por 1 menos el coeficiente de
correlación al cuadrado. Si Rho vale 1, es decir, tenemos una dependencia
perfecta, lineal entre los variables X, X e Y, o incluso menos 1, el signo
lo único que te dice si la recta es creciente o decreciente, entonces el
error o la varianza residual vale cero. Mientras que si las variables son
incorreladas, Rho vale cero y entonces la varianza del error es máxima,
coincide con la varianza de la variable que pretendo predecir, que es la
varianza de Y. De igual manera tenemos la regresión de X sobre Y, la recta
de regresión, lo único que tengo que hacer es intercambiar los papeles. Y
ahora retomo un poco lo que vimos en el tema número 9, cuando yo hablaba
de las esperanzas condicionadas. ¿Me acordáis? Pues bien, si ahora al
manejar dos variables calculo la esperanza de Y en función de X como tal
esperanza condicionada, por lo tanto tengo que calcular las distribuciones
condicionadas, tenemos lo que se llaman las curvas generales de regresión,
la curva de Y en función de X y la curva de X en función de Y. Si esta
esperanza condicional es una recta es decir, que es una función lineal que
depende solamente de X, esta recta coincide con la recta de regresión.
¿De acuerdo? Que es un poco lo que ocurre a veces. Podéis completar todo
esto en el libro. Y por último tenemos otras medidas de posición o
indicadores. Tenemos la moda, que es aquel valor de la variable en donde su
probabilidad es máxima. El año pasado me caí que cayó un problema de
examen en donde había que calcular la moda. Es aquel valor en donde,
digamos, la función de distribución de M es mayor o igual que Y y la
función complementaria de la función de distribución, pero si la
probabilidad de X menor o igual que M es mayor o igual que un medio y la
probabilidad de X mayor o igual que M es mayor o igual que un medio. Por lo
tanto ese valor M que cumpla esta condición o en términos de la función
de distribución por la izquierda y por la derecha tenemos la mediana. En
términos coloquiales la mediana sería aquel valor que ordenado los
valores en orden creciente acumule el 50% de los datos. Sería como un poco
una medida de posición o centralización. Es complementaria a la esperanza
matemática. Sin embargo, la mediana no necesariamente es única. Igual que
vimos el teorema de Cony en donde la variable X menos A al cuadrado es
mínimo cuando esa constante A es la esperanza de X, si ahora en lugar de
hablar de dispersión elevándola al cuadrado se eleva al cuadrado lo dije
antes porque si no considero el momento de segundo orden al poner el
momento de primer orden va a aparecer. Si ahora considero en lugar del
cuadrado el valor absoluto, el valor A que hace mínimo esta dispersión es
precisamente la mediana y este valor se llama la desviación mediana. Una
generalización de la medida de dispersión es los cuantiles. El cuantil de
orden P, cuando P es igual a un medio ese cuantil de orden medio es la
mediana. Veamos un poco esta medida, este ejemplo para completar un poco el
esquema teórico antes de entrar ya de lleno en los problemas. Lanzo dos
dados y observo su resultado. Obtener la desviación mediana, la meda, la
meda antes que estaba comentando, la meda es una medida que es la mediana
de las desviaciones respecto de la mediana. El rango de la variable que es
el máximo menos el mínimo de los dos resultados es fácil de demostrar
que es la diferencia de los valores en valor absoluto. De los 36 casos
posibles, entonces los posibles valores de X es X igual a 0 por ejemplo
cuando el primer valor y el segundo valor coinciden. Son 6 valores, X igual
a 1, X igual a 2, X igual a 5 por ejemplo. ¿Cuándo valdría X igual a 5?
Cuando un valor es 6 y el otro es 1 o viceversa. Por eso hay 2 sobre 36.
Como la probabilidad acumulada 6, 10, ordenando de menor a mayor X menor o
igual que 1 es 16 partido 36 que es menor o igual que un medio y X menor o
igual que 2 ya es 24 partido 36 que es mayor o igual que un medio la
mediana de la variable X rango es igual a 0. La esperanza matemática o su
media simplemente haciendo operaciones de manera trivial es 1,94 que es
menor estrictamente menor que la mediana. Para la desviación mediana
tenemos que calcular la variable Y que es la variable X menos la mediana
que vale 2. Calculamos y construimos esta nueva distribución de la
variable Y aquí tenéis los valores posibles ¿de acuerdo? Los valores de
la variable X 0-2, 0-1-2, etc. 3-2 en valor absoluto y aquí tenéis las
probabilidades correspondientes. ¿De acuerdo? La he puesto aquí
pedagógicamente sumando para que veáis los posibles valores. De nuevo,
como Y menor o igual que 0 no llega a un medio y Y menor o igual que 1
supera un medio la mediana de la variable Y vale 1 por lo tanto la meda
vale 1 porque acordáis era la mediana de las desviaciones respecto de la
media y la desviación mediana haciendo operaciones con la variable Y es
igual a 7 sextos que es mayor que la meda. Podéis un poco repasar por eso
yo siempre lo dejo cortado para que volváis a hacer todos los ejercicios.
En este ejemplo es para que trabajéis con la desviación respecto de la
esperanza matemática para el caso de una distribución geométrica. Aquí
tenéis los valores esto es la parte entera y en la distribución
geométrica con P y Q y Mu es la esperanza matemática. Lo tenéis aquí en
general para calcular la esperanza de la variable X menos media en valor
absoluto. Está un poco lento internet. Y aquí tenéis la relación entre
la curva general de regresión y la covarianza. Aquí tenéis la
distribución condicionada por ejemplo de Y dado X lo vimos en el tema
anterior y la esperanza condicionada que son los valores que toma la
variable Y condicionado al conocimiento de X por lo tanto en los valores de
Y y su J que lo llamo yo por la distribución condicionada y su J dado XY.
La esperanza de X por Y la podemos hacer operaciones lo tenéis aquí, lo
podéis repasar tranquilamente y la esperanza de X por Y se demuestra que
es igual a la esperanza de X por la esperanza de Y dado X y por lo tanto la
covarianza de X y de Y se puede calcular como la covarianza de X y la
esperanza de Y dado X. Esto facilita bastante las operaciones en casos
digamos un poco necesarios en que sea un poco complicado trabajar
directamente con la definición de la esperanza del producto porque tengo
que trabajar con un doble sumatorio como aparece aquí con X por Y y por la
distribución conjunta. Una idea interesante sería pasarse a la
condicionada trabajar con la esperanza condicionada y trabajar de esta
manera directamente. Bien pues ahora vamos un poco a reflexionar y a
resolver algunos problemas. Yo voy a hacer algunos, no todos pero como
queda colgado pues no habrá ninguna dificultad porque están todos
resueltos. Veamos el primero cogemos N veces una moneda con probabilidad P
de salir cara y según el número de caras obtenidas se lanza igual número
de veces la misma moneda. Sea Y la variable número de caras obtenidas en
este segundo experimento por lanzamiento. Tenemos que calcular la
distribución conjunta probar que la variable Y me parece que lo vimos en
el tema número 9 siga una distribución binomial calcular el número
esperado de caras en el segundo experimento es decir, la esperanza de Y
obtener la curva general de regresión de Y sobre X es decir, la esperanza
de Y condicionada a X el coeficiente de correlación de las dos variables y
obtener la distribución escondicionada en la otra la simétrica, la de X
dado Y y su esperanza. Por lo tanto, en este primer problema resumiríamos
un poco todo lo que hemos visto ¿Cuáles son los datos del problema? La
variable X es binomial NP y la variable Y condicionada al número X de
caras sigue una binomial X porque si salen 10 caras lanzo 10 veces la
moneda otra vez y como es la misma moneda XP ¿Qué es lo que ocurre? Que
hay una relación funcional entre X e Y la Y tiene que ser menor o igual
que X y la X menor o igual que N que es un dato del problema empiezo
lanzando n veces la moneda por lo tanto, la distribución conjunta será el
producto de la marginal por la condicionada como vimos en el tema número 6
la probabilidad de A intersección B la probabilidad de A por la
probabilidad de B condicionada que es el producto de dos binomiales y por
lo tanto acento operaciones tenemos esto vimos en el tema número 9 que la
distribución de la variable Y al marginalizar Y sumar en X desde Y igual 1
perdón, desde X igual Y hasta N que es lo que pasa aquí hay que sumar
desde X igual Y hasta N la conjunta para obtener la marginal de Y
obteníamos en el tema número 9 que obtenemos una distribución binomial
como es una distribución binomial de parámetros N y P al cuadrado la
esperanza de Y es la esperanza de la esperanza condicionada y lo podemos
calcular o como esperanza condicionada la de Y dado X es X por P y a su vez
la esperanza de P por X que es P por la esperanza de X que es N por P o
directamente la esperanza de la variable Y que vimos en el tema número 9
al ser una binomial N P al cuadrado pues es N por P al cuadrado esto un
poco para que veáis como puedo calcular la esperanza de la esperanza
condicionada que es la esperanza marginal que vimos eso en el tema número
9 que era lo que yo llamaba el teorema de la probabilidad total para
esperanzas condicionadas como la curva general de regresión en este caso
la esperanza condicionada es una recta es P por X entonces al ser la
esperanza de Y condicionada a X una recta P por X ¿qué es lo que ocurre?
pues la pendiente de esta recta es P y como habíamos visto la pendiente de
la recta de regresión de Y sobre X era la covarianza partido por la
varianza de X y aquí despejamos la covarianza perdón y entonces la
covarianza de X e Y es P por la varianza de X pero la varianza de X que es
la varianza de una binomial que es P por 1 menos P que yo lo llamo Q por N
por lo tanto la covarianza es P al cuadrado por Q y por N por lo tanto
tenemos la varianza de X que es una binomial y la varianza de Y que es la
varianza de otra binomial que es P al cuadrado por 1 menos P al cuadrado
por N por lo tanto el coeficiente de correlación cociente de covarianza
partido por deviaciones típicas y obtengo al final que solamente depende
de P no depende del coeficiente de correlación en la raíz cuadrada de P
partido por 1 más P aquí tenéis la distribución condicionada a la
inversa es decir, la de X dado Y vía teorema de Bayes haciendo operaciones
obtenemos de nuevo una binomial y obtenemos de nuevo que la esperanza de X
condicionada a Y es una recta ya que solamente depende de Y y no está
elevado al cuadrado ni es una función lineal de Y por lo tanto la curva
general de regresión de X sobre Y es una recta por lo tanto no hay que
calcular las rectas de regresión es una cosa interesante si nosotros
calculamos la esperanza condicionada y son funciones lineales de las
variables éstas coinciden con las rectas de regresión no habría que
calcular la recta de regresión que normalmente es un poco más complicado
de calcular veamos otro problema en esta lineal se tiene una urna con N
bolas numeradas del 1 a N se extraen dos bolas con reemplazamiento sea X el
máximo valor obtenido y Y el mínimo valor obtenido obtener la conjunta
las marginales, las medias las varianzas y el coeficiente de correlación y
obtener las dos rectas de regresión y las dos curvas generales de
regresión cuando hablo de curvas generales son las esperanzas
condicionadas lo digo porque se puede pedir en el examen calcular la
esperanza de Y condicionada a X y eso es lo que yo estoy llamando la curva
general de regresión lo primero a darse cuenta es primero vamos a llamar
X1 el primer resultado y X2 el segundo la variable máximo y la variable
mínimo no son independientes las marginales se pueden obtener directamente
como veremos en la siguiente diapositiva o a través de la conjunta que es
lo que vamos a hacer la función de distribución conjunta es que el
máximo sea menor o igual que X y el mínimo menor o igual que Y función
de distribución conjunta eso aplicando las propiedades elementales de las
probabilidades de los sucesos A y B si llamamos esto A complementario y
esto B complementario es la probabilidad, perdón A y B complementarios
esto es A menos la intersección de A con B en donde entonces el
complementario de Y menor o igual que Y es Y estrictamente mayor que Y
porque decir que el mínimo es menor o igual que Y no tiene mucha
información en cambio de decir que el mínimo es estrictamente mayor que Y
lo que estoy diciendo es que X1 es mayor que Y y que X2 es mayor que Y el
que el máximo sea menor o igual que X es obvio porque entonces significa
que X1 es menor o igual que X y que X2 es menor o igual que X que es lo que
aquí aparece como las dos variables están igualmente distribuidas porque
estoy trabajando con distribuciones y con tracciones con reemplazamiento
pues será X1 menor o igual que X por X2 menor o igual que X como las dos
distribuciones son las mismas será A al cuadrado y aquí exactamente lo
mismo aquí será X1 por un lado menor o igual que X y por otro lado
estrictamente mayor que Y para X1 y para X2 por lo tanto haciendo
operaciones y teniendo en cuenta que la función de distribución de la
variable X1 que es la misma que X2 vuelvo a repetir, extracción con
reemplazamiento es la suma desde Y igual 1 hasta X de 1 partido N caso
favorable partido caso posible no hay problema por lo tanto es X partido
por N en consecuencia tenemos como Y es el mínimo siempre menor o igual
que X y X menor o igual que N ocurre un poco como pasaba en el ejemplo
número 1 por lo tanto para el caso en que X sea estrictamente menor que Y
esto es suceso imposible vale cero, por lo tanto tengo X partido N por X
partido N es decir X partido N al cuadrado y en el segundo caso cuando X
sea mayor o igual que Y pues tenemos X cuadrado partido de N cuadrado menos
la diferencia X menos Y al cuadrado partido de N en operaciones tenemos
este resultado esta es la función de distribución conjunta si yo quiero
calcular la función de probabilidad tendré que coger la conjunta XI menos
la conjunta X-1Y menos la conjunta XI-1 y más la conjunta X-1Y-1 lo
podéis hacer en un cuadro en un dibujo en un diagrama de barras o en unos
ejes de coordenadas y observar como lo que queda es la probabilidad en el
punto de XI haciendo operaciones sin mayor dificultad aquí tenéis la
función de distribución conjunta tenemos estos valores 2 partido N al
cuadrado cuando Y es estrictamente menor que X lógicamente el mínimo y 1
partido N al cuadrado cuando el mínimo y el máximo coinciden y igual hay
si vosotros sumáis para todos los valores de XI veréis como vale ¿cómo
calculamos las marginales? pues por ejemplo vamos a hacerlo a través de la
conjunta por ejemplo la variable X el máximo, pues sumo la conjunta en Y
desde Y igual 1 hasta X menos 1 desde la conjunta y cuando Y es igual a X
es decir la PXX haciendo operaciones obtenemos este valor lo mismo para la
variable X este valor de la distribución conjunta perdón marginal de la
variable X del máximo se podría haber cogido perdón calculado de manera
directa teniendo en cuenta la idea de independencia de los temas 7 y 8 por
ejemplo que el máximo sea exactamente igual a X que esto es lo que estamos
calculando que la primera extracción sea igual a X y la segunda
estrictamente menor o que la primera sea estrictamente menor y la segunda
sea exactamente X o que, tercer caso que la primera sea exactamente igual a
X y la segunda sea también exactamente igual a X porque estamos hablando
con reemplazamiento sustituyendo y haciendo operaciones obtenemos
exactamente el mismo valor que teníamos aquí una vez que tengo los
resultados de la variable X e Y pues tenemos aquí calculada la esperanza
de X, definición la esperanza de Y, definición la varianza, para ello
calculamos la esperanza de X al cuadrado sin mayor problema hay que tener
hay que recordar la suma de los cubos y aquí la suma de los cuadrados y
obtenemos entonces la varianza de X y la varianza de Y en este caso
observar como la varianza de X y la varianza de Y coinciden pero no
necesariamente y lógicamente las esperanzas matemáticas para calcular la
covarianza y la correlación pues lo podemos hacer de varias maneras vamos
a calcularlo aquí de manera directa haciendo operaciones no tiene mayor
dificultad y en consecuencia la covarianza aparece este resultado y el
coeficiente de correlación dividiendo por las desviaciones típicas que
son iguales, barra raíz cuadrada de las varianzas obtenemos
definitivamente el coeficiente de correlación las curvas generales de
regresión para ello calculamos las distribuciones condicionadas la de Y
dado X y la de X dado Y y calculamos la esperanza condicionada que son
funciones no lineales por lo tanto las curvas no son rectas la esperanza de
Y dado X como un ejemplo de cómo calcular una esperanza condicionada por
lo tanto tenemos las dos esperanzas la de Y y la de X dado Y y las rectas
de regresión que aquí las podemos calcular aplicando la definición y
aquí ya tenemos Y predicción de Y en función de X lineal porque es por
definición la recta de regresión y la predicción lineal de X en función
de Y simplemente haciendo operaciones sin mayor dificultad este tercer
problema también es del mismo tipo le habla de las distribuciones
conjuntas os lo dejo para que vosotros le calculeis aquí la única
dificultad es calcular la constante K dificultad inicial el resto digamos
es exactamente lo mismo las marginales las condicionadas, las conjuntas,
las medias el coeficiente de regresión y la recta de regresión os lo dejo
un poco para que lo hagáis por vuestra cuenta no tiene mayor dificultad
bien veamos ahora algunas cosas generalizaciones variantes de exámenes
aquí tenéis una generalización del examen de febrero del 2016 tenemos
una variable bidimensional con una función de probabilidad conjunta X
igual a Y Y igual a J viene dado de esta manera en donde A es una constante
comprendida entre 0 y 1 perdón es un parámetro y C una constante positiva
a determinar hay que calcular la constante C y determinarla las funciones
de probabilidad marginales la de X y C de Y calcular la esperanza de X y la
esperanza de Y y como extra que yo os pongo probar que la covarianza
coincide con A con el parámetro A en el examen A era igual a 1 medio un
poco para que lo recordéis aquellos que tengáis digamos un poco archivado
exámenes de otro lado bien, ¿cómo calcular la constante C? pues lo
único que tengo que sumar es en Y y en cota para todos los valores X e Y
la conjunta ahora es un dato del problema por lo tanto sumo en Y los
valores posibles en J para la variable de Y la suma como A es un número
menor que 1 porque estamos frente a una suma geométrica de razón A que es
menor que la unidad y y como la Y es menor o igual que J cuando yo sumo en
J la J será desde I desde J igual a I hasta infinito no hay ningún
problema y ahora sumo un valor en I y la I varía desde 1 hasta infinito y
obtenemos que la constante C lo igualo a 1 y despejo C no tiene mayor
problema y tengo que la constante C es 1 menos A por elevado a menos A a
partir de la constante C entonces ya puedo calcular las marginales ¿cómo
marginalizo? pues calculando la conjunta para la variable X sumando en J
que es la variable I y sustituyendo el valor de C que lo acabo de calcular
y por lo tanto la distribución de la variable X marginal es una
distribución de Poisson de parámetro A un A comprendido entre 0 y 1
estrictamente y la distribución de I sumo ahora en X es decir, en I
pequeña desde I igual 0 hasta J la conjunta sustituyendo el valor de C
obtengo la distribución de la variable I que no es posible simplificarla a
no ser que se pueda poner en términos de la función gamma incompleta una
función del análisis matemático como la variable X es una distribución
de Poisson la esperanza de X entonces ya sabéis que es el parámetro de la
distribución de Poisson por lo tanto la esperanza de X es A por otro lado
para la conjunta para calcular la esperanza de la variable I vamos a
hacerlo a través de la condicionada, la esperanza de X condicionada a X
tenemos estos valores por lo tanto la esperanza de Y condicionado a X
serán los valores de I que lo estoy llamando J pequeña por su
probabilidad condicionada haciendo operaciones obtengo I menos 1 más 1
partido 1 menos A por lo tanto la esperanza de I es la esperanza de la
esperanza condicionada es decir la esperanza de la esperanza condicionada
de I dado X ahora X lo pongo como tal variable para poder calcular la
esperanza por lo tanto en lugar de I pequeña pongo X X menos 1 más 1
partido por A y aplicando las propiedades del operador esperanza acordáis
del tema del número 9 es la esperanza de X menos 1 más 1 partido 1 menos
A haciendo operaciones obtengo este valor que en el examen para A igual a
un medio salía la esperanza de I igual a 3 medios os lo dejo como
ejercicio que calculeis la covarianza de X e Y que vale exactamente A la
ayuda es que trabajéis con la esperanza de I dado X que es una recta y la
pendiente es una recta porque solamente depende de X de manera lineal y la
pendiente de X de esta recta es 1 y hagáis un poco el pequeño truco que
vimos en el ejemplo número 2 continuamos aquí tenéis también parte del
examen de febrero de 2015 que lo vimos en el tema número 6 si mal no
recuerdo y en el tema número 9 era la forma aleatoria de construir un
conjunto acordáis este conjunto el máximo número M se elegía mediante
un mecanismo de una distribución geométrica de parámetro P y después se
sorteaban los números para formar ese conjunto para los valores de K 1, 2,
M-1 siendo M el máximo valor con probabilidad P entraban y con
probabilidad Q no entraban en ese conjunto había que calcular la
probabilidad de que cualquier número estuviese incluido en ese conjunto lo
tenéis aquí lo calculamos en el tema número 9 en el tema número 6 aquí
tenéis la diapositiva para que volváis un poco a repasarlo el valor
esperado de la suma la distribución del número de elementos de A y la
media de el número de elementos de A en rojo aparece digamos un poco la
novedad de esta tarde la varianza del número de elementos de A de la
variable aleatoria al número de elementos de A y el coeficiente de
correlación entre el número de elementos de A la suma la podíais tomar
de esta manera acordáis N por la función indicadora o estaba o no estaba
si estaba toma el valor 1 y si no estaba toma el valor 0 esta esperanza
estaba aquí de esta manera y la distribución del número de elementos de
A era una distribución geométrica P y Q valía un medio en el examen esto
como recordatorio esta esperanza también la habíamos calculado que valía
3 medios y P vale 1 medio y teniendo en cuenta las expresiones de la suma
del número de elementos y el número de elementos de A podemos calcular la
conjunta aplicando el teorema de la probabilidad total la probabilidad de
que K y N estén en A fijaros esto vosotros lo vais sustituyendo yo lo he
puesto aquí con mucho detalle es la probabilidad de que pertenezcan dado
que el máximo coincide con N por la probabilidad de que el máximo
coincide con N o el caso de que el máximo sea mayor que N es decir que N
esté metido en A por la probabilidad de que M sea mayor que A para
trabajar con M hay que trabajar con la distribución geométrica que
aparece en el enunciado del problema aquí aparece la suma correspondiente
los valores y la de la probabilidad total y aquí tenéis para el caso K
menor que N para el caso K estrictamente mayor que N pues tenéis también
esta expresión por lo tanto la esperanza del producto es como si yo
estuviese calculando ahora la esperanza de X por Y pues tenemos N que lo
tenemos aquí N y aquí el producto de las dos funciones indicadoras por lo
tanto es N por la probabilidad de K y N perteneciente a que es justo lo que
hemos estado calculando ¿de acuerdo? es como si yo multiplicase N por 1 es
decir la esperanza de X por Y por lo tanto estamos calculando la covarianza
a través de la definición clásica calculando la esperanza del producto
es decir de X por Y en este caso de A valor absoluto por S que haciendo
operaciones tenemos según N sea menor que K por lo tanto sería desde N
igual 1 hasta K menos 1 para N igual a K y para N desde K más 1 hasta N es
decir para N mayor que K N estrictamente menor que K N estrictamente mayor
que K y N exactamente igual a K que son los tres sumando haciendo
operaciones y sustituyendo tenemos este valor si yo por lo tanto la
covarianza toma este valor como la varianza de la variable A que es una
geométrica lo tenemos aquí calculado entonces tenemos definitivamente y
la esperanza de S al cuadrado la podemos calcular de esta manera y por lo
tanto tenemos esta varianza obtenemos definitivamente el coeficiente de
correlación los saltos de operaciones menos saltos el coeficiente de
correlación que es la raíz cuadrada de 2 partido por 3 menos 2 que salía
en el examen para P igual a Q igual a 1 medio 2 raíz de 5 partido por 5 es
un poco laborioso pero bueno os lo dejo para que vosotros lo volváis a
repasar esto es muy parecido a lo que hemos visto hasta ahora y por lo
tanto me lo salto también un poco para que vosotros lo trabajéis con
tranquilidad vamos a ver la continuación del examen de febrero de 2014 lo
estuvimos viendo en el tema número 9 un jugador toma de una en una cartas
de una baraja española un total de 40 cartas perdón sea N mayúscula la
variable aleatoria el número de extracción en la que se ha obtenido el
cuarto A hay que calcular la función de probabilidad de N y hallar su moda
calcular la esperanza y calcular la varianza la novedad un poco en esta
parte del tema de hoy del tema número 10 es calcular la moda y calcular la
varianza sin mayor dificultad la función de probabilidad que ya la vimos
en el tema número 9 se puede calcular de varias maneras distintas sería
toma el valor N cuando de los cuatro aces he elegido 3 de las 36 cartas he
elegido N-4 por lo tanto esto es en la jugada N-1 de las 40 cartas he
elegido N-1 y en la jugada enésima cojo el cuarto A por lo tanto aquí
trabajando con la distribución hipergeométrica porque hay que trabajar
con la distribución hipergeométrica porque estoy hablando de extracciones
sin reemplazamiento voy sacando de una en una por lo tanto de las 40 cartas
he elegido N-1 de estas N-1 3 son aces y el resto N-4 no son aces y en la
jugada enésima si en la extracción enésima saco en las que queda casos
favorables 1 haciendo operaciones tenemos esta cociente de números
combinatorios observar como esta función p de N igual a N es una función
creciente para N mayor o igual que 4 que es por donde está definida y el
máximo se alcanza en N igual a 40 que es la moda de la distribución por
lo tanto la moda de la distribución es N pequeña igual a 40 que es la que
tiene máxima probabilidad y esta probabilidad es 1 partido por 10 para
calcular la esperanza matemática que ya la calculamos en el tema anterior
lo que hacemos es aplicar digamos las fórmulas que vimos en la página 510
que son las fórmulas de la combinatoria para el caso de la varianza lo que
hacemos es en lugar de calcular esto es un consejo que os doy cuando
tenemos variables que toman valores enteros y positivos de manera
continuada 1, 2, 3, etc. muchas veces en lugar de calcular la esperanza de
N al cuadrado de manera directa para calcular la varianza es decir, el
momento de segundo orden sino la media al cuadrado lo que hacemos es
calcular la esperanza de N por N más 1 con el objeto de meter N más 1 en
el número combinatorio correspondiente os acordaréis que aquí aparecía
N menos 1, N menos 2, etc. aquí ahora va a aparecer N menos 1, N menos 2,
N menos 3 N y N más 1 por lo tanto sustituyendo y operando obtenemos de
nuevo este valor después de haber aplicado las fórmulas correspondientes
y aquí tenemos la esperanza de N por N más 1 por lo tanto la varianza de
N en el momento de segundo orden menos la media al cuadrado haciendo
operaciones no tiene mayor dificultad aquí mucho cuidado que aquí una vez
que tengamos el valor 1148 lo que tenemos es la esperanza de N al cuadrado
más la esperanza de N y yo lo que tengo que despejar es la esperanza de N
al cuadrado la esperanza de N en la media que es 32.2 veamos ahora una
generalización del examen del año 2012 de febrero se dispone de una
moneda con probabilidad P de salir cara y de una urna que contiene A bolas
blancas y B bolas negras, se lanza una moneda hasta que aparezca cara
siendo T el número de lanzamiento realizado después se extraen con
reemplazamiento T bolas de la urna siendo N el número de bolas blancas hay
que calcular la media de la variable T y de la variable T al cuadrado lo de
T al cuadrado un poco está preparado para después calcular la varianza
para cada valor de T hay que calcular la esperanza condicionada y a partir
de esta esperanza condicionada como yo he dicho en el esquema teórico hay
que calcular la esperanza marginal de T y la covarianza y determinar la
función de probabilidad de N se da como idea esta identidad de números
combinatorios bien, primera idea la distribución de la variable T como es
un modelo de espera hasta que aparezca la cara estamos hablando de una
distribución geométrica de parámetro T por lo tanto aquí tenéis la
distribución la función de probabilidad de la variable T con P más Q
como siempre igual a 1 la esperanza de T es la inversión del parámetro 1
partido por P y la esperanza de T al cuadrado pues es simplemente calcular
esta serie aritmético geométrica sin mayor dificultad como por otro lado
fijado el valor de T la variable N, os acordáis es si una distribución
binomial al ser extracciones con reemplazamiento entonces si una
distribución binomial de parámetro T y P1 en donde P1 es A partido A más
B es decir la probabilidad de sacar bola blanca ¿de acuerdo? por lo tanto
la esperanza de N condicionado a T es esta binomial con P1 igual a A
partido A más B y la esperanza de N dado T pues la media de una binomial
es decir P1 por T por lo tanto la esperanza de N es la esperanza de la
esperanza condicional es decir la esperanza de P1 por T que es P1 por la
esperanza de T pero como la esperanza de T es 1 partido por P por ser la
geométrica ya tenemos la esperanza de la variable N para calcular la
covarianza calculamos la esperanza del producto T por N fijado el T que es
T fijado por la esperanza de N dado T y es la esperanza de P1 por T al
cuadrado por lo tanto la esperanza de T por N os acordáis también el
esquema teórico es la esperanza de T por la esperanza condicionada de N
dado T es P1 por la esperanza de T cuadrado que ya está calculada y por lo
tanto obtenemos la esperanza del producto por lo tanto la covarianza la
esperanza del producto es el producto de la esperanza y tenemos el valor en
función de P y P1 que es A partido A más B perdón para calcular las
marginales hay que distinguir el caso N igual a 0 puede ser que no haya
sacado ninguna cara en términos de la conjunta pero aquí la conjunta
está despieceada en la marginal y en la condicionada y que para el valor
de N igual a 1, 2, 3 sucesivamente en función de C que viene dado de esta
manera no tiene mayor dificultad y aquí os propongo que calculeis la otra
distribución condicionada si observáis casi todos los problemas son muy
parecidos esta es una variante del examen de 2016 que lo voy a dar un poco
rápido porque es interesante fijaros sea T de nuevo una distribución
geométrica es muy versátil para hacer problemas la geométrica y sea X
sub K una sujeción de variables independientes e independientes de T cada
una con una distribución uniforme o rectangular de una N es decir que toma
cualquier el valor constante 1 partido N pequeña cualquiera de los valores
y defino el mínimo de estas variables ¿cuál es la novedad? que es un
número aleatorio de variables es decir es X1, X2 pero no un valor X sub K
es X sub T mayúscula variable aleatoria por lo tanto el mínimo será un
mínimo aleatorio de variables aleatorias hay que calcular la función de
distribución de Z condicionado a T para cada valor de T y deducir a partir
la función de distribución de Z determinar la función de probabilidad de
T condicionada y la esperanza condicionada en el examen es exactamente lo
mismo pero era condicionado al máximo es decir la variable Z no es el
mínimo como yo he puesto sino que es el máximo pero no tiene mayor
dificultad para calcular la función de distribución de Z condicionada a T
calculo el complementario del máximo perdón del mínimo en lugar de que
el mínimo sea menor o igual que K todos los valores mínimos son mayor que
K por lo tanto X1 es mayor que K, X2 mayor que K y etc. fijado un T
mayúsculo igual a T pequeña ya es un valor determinístico y por lo tanto
es la probabilidad de X sub Y mayor que K fijado el T igual a T pequeña
como Z es menor o igual que K se aplica el teorema de la probabilidad total
y aplicando la fórmula de Bayes tenemos fijado un T pequeña en la
función de distribución y por lo tanto es 1 menos 1-K partido N elevado a
T pequeña entonces la función de distribución la tenemos aquí, por lo
tanto la, perdón que me ha entrado y por otro lado la función en donde
perdón, la probabilidad de T fijado Z mayor que K llega entonces a una
distribución geométrica y por lo tanto la esperanza es la media de la
geométrica y generada de esta manera. Bien, esto es muy parecido al
problema número 1 lo obvio este también como viene, lo único que hago es
generalizarlo, viene en la página 198 el enunciado y en la página 204 que
son ejemplos del libro también lo obvio para que vosotros lo trabajéis
aunque son, insisto suelo poner generalizaciones o variantes un poco la
idea de de las PEC esta es otra variante del examen también un poco para
que lo veáis no quiero alargarme llevo más de una hora y esta es un
examen de febrero de 2014 en donde supongamos que X es una distribución de
Poisson de parámetro lambda condicionado por el valor X sin una
distribución binomial de parámetro n y b se supone que cuando X igual a
cero la Y vale cero hay que calcular la distribución de probabilidad de Y
y la de X condicionada a Y dar la expresión de la variable la resta de
regresión calcular la covarianza el coeficiente de correlación y probar
que la variable Y y la variable X-Y son independientes los datos del
problema bueno, no me acuerdo si es 2014 o incluso de 2017 de este año
pero bueno, da igual datos del problema la función de probabilidad de la
distribución de Poisson Y condicionada la binomial pues la probabilidad de
Y condicionada a X una binomial como siempre M tiene que ser menor o igual
que Y como Y sigue una distribución de parámetro lambda P hay que
demostrarlo es simplemente lo de siempre calcular la conjunta es decir, X
por Y por lo tanto el producto de la binomial por la Poisson y sumar para
todos los valores de X en este caso para los valores de X es decir, desde N
igual a M hasta infinito demostrar entonces que Y sigue una distribución
de Poisson de parámetro lambda P y la otra condicionada la de X dado Y
sigue una distribución de Poisson de parámetro lambda 1-P O las restas de
regresión son lineales la covarianza la raíz cuadrada y esto para que
vosotros lo hagáis también bien, y con esto he terminado perdonar un poco
el acceso de todos pero aquí en Málaga ha nevado digamos me he enfriado
un poco ¿tenéis alguna duda? algún comentario que hacer bueno pues os
deseo lo mejor y estoy a vuestra disposición esta misma noche cuelgo el
tema para que lo podáis digamos volver a revisar a ver, etcétera,
etcétera sin mayor problema un saludo y os deseo un año bueno y que
tengáis sobre todo buenos exámenes ¿de acuerdo? buenas noches