Bien, vamos a ver el tema 9, sistemas de ecuaciones en diferencias finitas
lineales de primer orden. Bueno, tales sistemas son de la forma y sub 1, x
más 1 igual a una combinación lineal de n funciones, que son y sub 1 de
x, y sub 2 de x, etc., y sub n de x, que son las funciones incógnitas, que
la x toma valores en el conjunto de los números naturales, y son
sucesiones, más un g sub 1 de x, que sería un término independiente.
Luego, la segunda función, punto x más 1, es otra combinación lineal de
las n funciones incógnitas, más otro término independiente, g sub 2 de
x, etc., hasta la última función, y sub n en el punto x más 1, que es
otra combinación lineal de las n funciones incógnitas, más otro término
independiente. Bien, pues este sistema lo podemos escribir de forma
matricial, pues de esta manera, donde y sub x sería una matriz columna
formada por las n funciones incógnitas, y a sería la matriz de los
coeficientes, es una matriz cuadrada, n por n, real, y g sub x, que sería
la matriz columna formada por las funciones términos independientes. En el
caso de que g sub x sea igual a la matriz nula, y que todos sus elementos
sean cero, pues dentro del sistema diremos que es homogéneo. Bien, estos
son los sistemas y vamos a ver cómo se pueden encontrar las soluciones. En
primer lugar, vamos a resolver el sistema homogéneo, por tanto, que sería
de la forma y sub x más 1 igual a a por y sub x. Bien, vamos a observar
que... Bueno, que y sub x, sustituyendo la propia ecuación, el x por x
menos 1, obtendríamos que y sub x es igual a a por y sub x menos 1. Y,
análogamente, sustituyendo ahora el x por x menos 2 en la ecuación
inicial, pues el y sub x menos 1 sería a por y sub x menos 2, por lo
tanto, aquí me quedaría a cuadrado por y sub x menos 2. Sería a por y
sub x menos 3, o me quedaría al cubo por y sub x menos 3, bueno, etc.,
hasta a elevado a x por y sub cero. Por tanto, esta es una manera de
expresar las soluciones, y aquí ya tenemos que y sub x es igual a a
elevado a x por y sub cero, y hemos resuelto el sistema, que y sub x es la
matriz columna de todas las funciones incógnitas. Pero claro, todo está
en... en calcular a elevado a x. Bien, vamos a ver un ejemplo. Calcular la
solución particular, el siguiente problema de valores iniciales. Y sub x
más 1 es 2, la matriz 2, 1, 0, 2 multiplicado por y sub x, y la condición
inicial es que y sub cero sea igual a 1, 2. En el caso de que no existiesen
condiciones iniciales, y sub cero puede ser igual a 1, 2. Puede ser
cualquier matriz formada por dos constantes. Sería la solución general
del sistema. Bueno, pues entonces es directo, o sea que la solución ya
sería y sub x, según hemos visto, sería la matriz a elevado a x, o sea
2, 1, 0, 2 elevado a x por y sub cero. Bueno, vamos entonces a calcular
esta potencia de esta matriz. Entonces lo vamos a hacer un poco por
inducción. Que empezamos primeramente al cuadrado, ¿eh? 2. 1, 0, 2, 2 al
cuadrado pues sería 2, 1, 0, 2 por 2, 1, 0, 2, hacemos la operación
procuramos dejar las operaciones indicadas algunas de, vamos, las que se
vea claramente que cuando va a ser luego se van a ir repitiendo ¿no? y
aparecería esto ¿no? o sea que sería 2 por 2, 4 más 1 por 0 es 0, pues
dejamos el 2 al cuadrado, después sería 2 por 1 más 1 por 2 son 4, vamos
con principio, lo dejamos, lo expresamos el resultado ¿no? y luego la
segunda fila por la primera columna queda 0 y la segunda fila por la
segunda columna que vuelve a dar 2 al cuadrado bien continuamos, o sea 2, 1
0, 2 elevado al cubo, pues sería el resultado que hemos obtenido
multiplicado otra vez por 2, 1, 0, 2 y vemos que nos sale, primera fila por
primera columna nos sale 2 al cubo primera fila por segunda columna, aquí
calculamos el resultado nos saldría 2 al cuadrado 4 por 1, 4, 4 por 2, 8
total 12, aquí y la segunda fila por la primera columna que va a dar 0 y
la segunda fila por la segunda columna que va a dar 2 al cubo, bien aquí
este 12 bueno es 3 por 4, lo podemos descomponer de esa manera y en el
anterior cuando estaba elevado al cuadrado el resultado nos daba un 4 esta
posición que lo podemos poner 2 por 2 así que ya poco vamos viendo vamos
viendo lo que va a ocurrir, o sea que aquí ha salido 2 por 2, 3 por 2 al
cuadrado vamos a seguir un poco comprobando a ver si nos pasaría una pauta
que reconozcamos bueno 2, 1, 0, 2 elevado a 4 sería el resultado obtenido
para el cubo multiplicado otra vez por 2, 1, 0, 2 hacemos la operación y
nos sale ya 2 elevado a 4 aquí en la diagonal principal y un 32 y claro 32
es 4 por 8 lo podemos poner también como 4 por 2 al cubo y entonces ya
observamos que en el término a sub 1, 2 de la matriz resultado pues ya
más o menos vemos también la pauta que sigue, o sea que primero es 2 por
2 elevado al cuadrado luego elevado al cubo era 3 por 2 al cuadrado,
elevado a 4 es 4 por 2 al cubo van aumentando las potencias de 2 y el
coeficiente el coeficiente es el 1, el 2, el 3, el 4, etc coincide con el
exponente bueno, por lo tanto ya podemos poner un poco la fórmula de la
potencia, o sea que 2, 1, 0, 2 elevado a x pues sería 2 elevado a x en la
primera fila y luego x por 2 elevado a x menos 1 y la segunda fila que es 0
y 2 elevado a x por lo tanto, bueno, ya tenemos suelto el sistema, ya
podríamos poner que y sub x es esa matriz, a elevado a x por 1, 2 que
sería el y sub 0 en este caso nos da el valor y bueno, se multiplica y
sale la matriz columna sus elementos son las dos funciones incógnitas
bien, vamos a continuar claro si esto lo pudiera hacer siempre con una
matriz A pero no siempre es relativamente fácil el calcular las potencias
de la matriz ahora bien, en el caso de que la matriz fuese diagonalizable
es decir, que existe una base de vectores propios con valores propios
respectivos estos de aquí, ¿no? entonces, en ese caso podemos descomponer
la matriz A como un producto de p por j por p a la menos 1, donde p es la
matriz formada por los vectores propios es decir, hay n vectores propios,
cada uno de ellos tiene n componentes, entonces forman una matriz cuadrada
escribimos las componentes de los vectores en vertical, es decir, el vector
u sub 1 sus componentes en vertical, el vector u sub 2 sus componentes en
vertical, etcétera tenemos una matriz cuadrada, n por n es la matriz p j
es una matriz diagonal donde la diagonal principal está formada por los
valores propios y p a la menos 1 que es la matriz inversa de p bueno, ahora
el ejemplo siguiente, desarrollaremos esto un poco con detalle para verlo
aunque sea un ejemplo bueno, pues vamos a mostrar que precisamente la
matriz A se puede descomponer de esa manera por tanto, hecha esta
descomposición ahora sí que va a ser más fácil calcular el a elevado a
x lo vamos a comprobar, o sea, que aquí tendríamos que a elevado a x
sería p por j por p a la menos 1 elevado a x y esto vamos poniendo p por j
por p a la menos 1 p por j por p a la menos 1, etcétera p por j por p a la
menos 1 x veces aquí y el p a la menos 1 en cada uno de estos factores que
están juntos pues el p a la menos 1 con el p se cancelaría este p a la
menos 1 se cancelaría con este p de aquí este p a la menos 1 se cancela
con este p, etcétera y de manera que nos queda el primer p y el último p
a la menos 1 y el j ahí lo multiplicamos multiplicando j por j por j,
etcétera el resultado final sería p por j por p a la menos 1 claro,
teniendo en cuenta que j es una matriz diagonal j elevado a x sí que es
fácil de hacer claro de hecho, j elevado a x es simplemente la matriz
diagonal que resulta de elevar a x la matriz j en la matriz cada uno de los
elementos de la matriz j bien, por lo tanto la solución sería y sub x
igual a p por j elevado a x por p a la menos 1 por i sub c claro puesto que
i sub 0 al principio es una matriz cualquiera puede ser cualquier matriz
formada por constantes, ¿no? arbitrarias, ¿no? entonces p elevado a menos
1 por i sub 0 también sería una matriz de constantes arbitrarias por lo
tanto si al producto este p a la menos 1 por i sub 0 le ponemos c donde c
eso es una matriz columna con constantes determinadas pues entonces la
solución la podemos ya expresar de esta manera i sub x es igual a p por j
elevado a x y por c donde c es una matriz de constantes bien pues vamos a
darle un ejemplo concreto el caso es este, ¿no? de que hacemos la la
matriz A sea diagonal aquí tenemos que calcular la solución particular
del siguiente problema tenemos aquí esta ecuación esta matriz si
intentamos elevarla a x o sea, buscar una pauta como en el ejemplo anterior
vamos a ver que es prácticamente imposible no se ve claramente con una
pauta por tanto pues vamos directamente a hacerla a ver si es diagonal bien
bueno esto lo vamos a hacer con un poquito de detalle para ver un poco la
descomposición anterior que hemos dicho antes ¿no? a hacerlo con este
ejemplo vale vamos a ver ¿estamos de acuerdo? entonces la diagonalización
es lo que proponemos bueno pues para ello nosotros lo que hacemos en primer
lugar es calcular los valores propios para eso escribimos el determinante
tres menos lambda cero cinco dos menos lambda igual a cero y resolvemos esa
ecuación que es una ecuación de segundo grado que si no hallamos un
determinante nos quedaría lambda entre cero que es el valor cuadrado menos
cinco lambda menos cinco lambda y más seis esto igual a cero bueno aquí
hay dos soluciones que son dos y tres ponemos aquí lambda igual a dos
cuatro tres entonces si lambda vale o sea que serían los valores propios
entonces si lambda vale dos vamos a calcular los vectores propios asociados
a ese valor propio y para ello lo que hacemos es que en el data if restamos
el lambda igual a dos entonces ahora viene la principal nos quedaría uno
cero cinco cero esto lo multiplicamos por un vector y si uno y si dos
tenemos que hallar y lo igualamos entonces vemos el sistema puesto que el
determinante de esta matriz es cero precisamente vemos esta lambda que es
lo que hace la raíz de la ecuación entonces las dos ecuaciones son una
proporcionada a la otra y como una ecuación no suena sale una ecuación x
uno igual a cero entonces ahí tenemos efectores propios asociados a un
valor propio si son infinitos son todos proporcionales si uno de ellos
entonces por uno de sobra ya vamos a calcular un punto de ellos entonces
vale cero pues el vector sería cero x uno y x uno es cualquiera tanto
cualquier número como una constante cualquiera podemos poner uno que
sería un vector el vector propio asociado al valor uno de ellos otro
cualquier otro vector propio sería de la forma una constante x sub 2 igual
a 0, es decir, que la x sub 2 es igual a 5 y la x sub 1 es igual a 4, por
lo que un vector cumple esa condición, pues x sub 1 vale 1, entonces x sub
2 vale 5. Y ya tenemos los dos vectores propios. Entonces, la matriz P, por
lo tanto, sería la matriz formada por esos dos vectores propios que son 0,
1, ponemos en el orden que estaban los vectores propios, 0, 1, que es el
vector propio asociado a 2 y 1, 5, que es el vector propio asociado a 3.
Entonces, la matriz P a la menos 1, por lo tanto, P a la menos 1 sería
igual a cuánto es el determinante de P que es igual a menos 1, pues eso
sería menos 1, o sea, menos y ahora la adjunta de la traspuesta. Bueno, el
adjunto del efecto 5, el adjunto del 5 es 0, y luego el adjunto de este 1,
que es este 1 de aquí, bueno, es menos 1, claro de aquí, y el adjunto del
otro menos 1 que también es menos 1, lo cual, bueno, esto sería menos 5,
1, 1, 0 y esta es la matriz inversa, ¿eh? Lo podemos comprobar, si
multiplicamos P por esta P a la menos 1, por lo tanto, P debe implementar
la matriz igual, ¿eh?, que aquí el 1, luego la primera fila por la
segunda columna es 0, la segunda fila por la primera columna es 0, y la
segunda fila por la segunda columna es 1. Bien, por tanto, lo único que
nos queda es comprobar que efectivamente la matriz dada en la matriz 3, 0,
102 es igual al trámite de P por la matriz J, que sería la matriz
diagonal formada por, o sea, con la diagonal principal por los valores
propios, y por P a la menos 1, es decir lo que tengo que comprobar ahora es
que 0, 1, 1, 5 es P multiplicado por la matriz J, que sería 2, 0, 0, 3,
este es la matriz diagonal, ¿eh?, donde están los valores propios, y por
la matriz inversa, que es menos 5, 1, 1, 0, pues vamos a calcular esto.
Bien, las dos primeras serían la primera fila por la primera columna va a
dar 0, la primera fila por la segunda columna va a dar 3, la segunda fila
por la primera columna va a dar 2, y la segunda fila por la segunda columna
va a dar 15, y eso multiplicado por menos 5, 1, 0, y el resultado este
sería, bueno, que sería la primera fila por la primera columna va a dar
3, primera fila por la segunda columna va a dar 0, segunda fila por la
primera columna va a dar menos 10 más 15, eso es 5, y segunda fila por la
segunda columna va a dar 2. Últimamente, hemos tenido la matriz terrestre
de 0, 5, 2. Bien, volvamos entonces al ejercicio. Bien, entonces aquí
estamos viendo la solución, tenemos los valores propios lo que hemos
hecho, ¿no?, los vectores propios, en fin, aquí bueno, los vectores
propios, y ya colocamos la solución general, es decir, que el p a la menos
1 multiplicado por el i sub 0 nosotros eso lo sustituíamos por unas
constantes, ¿no?, por lo tanto aquí solamente tenemos que poner, es
decir, que nosotros no tenemos al resolver el problema, no tenemos que
calcular el p a la menos 1, esto lo he ponido solo para hacer la
comprobación de la descomposición de la matriz en el producto este,
¿no?, en el p por j por k a la menos 1. Las matrices, o sea, las matrices
A y J se dicen semejantes, o sea, que lo que hemos encontrado, por eso
decimos que A es diagonalizable, ¿eh?, porque hemos encontrado una matriz
semejante a A que es diagonal. Bien, bueno, pues entonces la solución por
lo tanto sería esta y sub x igual a la matriz P 0, 1, 1, 5 que es de
columnas, ¿eh?, 0, 1, 1, 5, que es la matriz formada por los vectores
propios, luego la matriz de los vectores de los valores propios, la matriz
diagonal elevada a x, por lo tanto solamente elevamos la diagonal, claro, 2
elevado a x, ¿eh?, y 3 elevado a x y después un 2 constante. Esta sería
la solución general del sistema. Ahora bien, como nos dan un valor
inicial, ¿eh?, un valor de y sub 0, pues eso nos permite calcular las
constantes y es lo que vamos a hacer. Para eso en la solución que tenemos
hacemos x igual a 0 y entonces nos quedaría que el valor que obtengamos va
a ser y sub 0 que si hacemos x igual a 0 lo que resulte de esta solución
va a ser y sub 0, por lo tanto sustituyendo para x igual a 0 nos quedaría
la matriz diagonal esta que tenemos aquí para x igual a 0, que es la
matriz dividida por lo tanto nos quedaría 0, 1, 1, 5 multiplicado por c
sub 1 c sub 2, el resultado, igual a y sub 0, el y sub 0 dado en el
ejercicio. Bueno, pues esto es un sistema vamos, aquí directamente ya
vemos que c sub 2 va a ser igual a 2, la primera pila por la columna, por
la única columna es c sub 2, va a ser igual a 2, y luego c sub 1 más 5 c
sub 2 va a ser igual a 4, pues aquí de aquí sacamos que c sub 1 vale
menos 6 c sub 2 vale 2, y ya. Podemos escribir por tanto la solución
particular que se tiene. Observamos también que una matriz diagonal
multiplicada por una matriz columna, es una matriz columna y donde aparecen
cada una de las dos constantes están multiplicadas, la primera c sub 1 por
2 elevado a x, y la segunda c sub 2 por el 3 elevado a x. Se puede
presentar de esta manera ya multiplicada. Bien, en el caso de que los
valores propios sean complejos que es lo que va a ocurrir, los escritos en
forma trigonométrica, nosotros los vamos a hallar en forma dinómica pero
bueno, pasaríamos la forma trigonométrica, necesitamos pasarlo de la
forma trigonométrica, necesitamos el módulo y el argumento entonces, en
el caso de que haya dos valores propios complejos conjugados, en esta
forma, r que sería el módulo por seno de z más menos i por seno de z y
calculamos los vectores propios respectivos que van a ser también
conjugados, por lo cual, con hallar un vector propio por sobra, es decir,
hallamos para uno de los dos valores propios hallamos un vector propio y el
otro pues sería conjugado. Bueno, en ese caso se demuestra que la
solución general pues tiene esta forma, es decir, que i sub x sería el
módulo r elevado a x y es pues multiplicado por la expresión c sub 1,
constantes, arbitraria, es c sub 1 con seno de z x más c sub 2 seno de z x
multiplicado por el vector a de los vectores propios, el a más c sub 2 con
seno de z x menos c sub 1 seno de z x multiplicado por el vector b del
vector, la parte imaginaria del vector b pues aquí en esta solución
evidentemente ya no hay. Bueno, esto pues se parece algo un poco a las
expresiones también de la solución general en los sistemas de ecuaciones
diferenciales, cuando aparecían valores propios complejos Bueno, vamos a
ver entonces un ejemplo veamos el sistema i sub x más 1 igual a 0,1 menos
2,2 por i sub x. Bueno, pues aquí lo que hacemos es escribir la ecuación
general la ecuación característica, aquí restamos lambda a la diagonal
principal igualamos a 0, nos quedaría este determinante menos lambda 1
menos 2,2 menos lambda igual a 0 desarrollamos, nos queda esta ecuación y
aparecen las soluciones 1 más menos i que bueno, el número complejo de 1
más i tiene módulo raíz de 2 y argumento pi cuartos, por lo tanto,
bueno, escritas en forma trigonométrica por otra, aquí es raíz de 2 y
por seno de pi cuartos más menos i por el seno de pi cuartos entonces el
vector propio asociado a 1 más i se obtiene el sistema, o sea que en la
matriz restamos a la diagonal principal el 1 más i y nos quedaría menos 1
menos i, 1 menos 2 y 1 menos i estando el 1 más i multiplicado por x sub 1
y x sub 2 igual a 0,0 bueno, y aquí ya digo, como este determinante de
esta matriz es 0, pues con una ecuación nos sobraría resolveríamos la
ecuación, sería la primera ecuación, primera fila columna, o sea que
sería menos 1 menos i multiplicado por x sub 1 más x sub 2, eso es igual
a 0, o sea que x sub 2 es igual a x sub 1 multiplicado por 1 más i, por
tanto pues eso, simplemente escribimos 1 de las soluciones sería 1, el
vector arriba 1 y ahí en la segunda componente 1 más i, ahora bien, eso
lo podemos expresar de esta manera, o sea, separamos, separamos en dos
vectores y la unidad imaginaria la quitamos también del vector, es decir,
para ver cuál es el vector pongamos la parte real y la parte imaginaria,
entonces el vector propio y aquí tenemos el a y el b, entonces bueno, ya
digo el otro vector propio sería el conjugador de este, con más con menos
aquí los tendremos por tanto los dos, así pues ya está la solución
general pues ya es simplemente ponerla, o sea que sería el módulo de 1
más i que es raíz de 2, elevado a x y luego c sub 1 coseno de, el zx
aquí es pi cuartos por x más c sub 2 por el seno de pi cuartos por x por
el 1 1 que es la parte real del vector propio, el 1 1, más c sub 2 coseno
de pi cuartos por x menos c sub 1 seno de pi cuartos por x por la parte
imaginaria que sería el vector cero bien, pues ahora vamos a ver cómo
resolveríamos el sistema no homogéneo, es decir, un sistema donde hay una
matriz g sub x que no sea la matriz bueno, pues aquí también ocurre como
pasaba en los sistemas de funciones diferenciales o incluso en el cuadro
como vimos en los temas anteriores que si i sub x super h es la solución
general del sistema homogéneo e i sub x super p es una solución
particular del sistema completo, cuyos sumandos de la i sub x super p sean
independientes por la solución del sistema homogéneo bueno, pues entonces
la solución general se tiene sumando una solución general del sistema
homogéneo más una solución particular del sistema completo entonces para
buscar la solución particular lo haremos por el método de los corrientes
indeterminados, esto es igual que hacíamos en los sistemas de ecuaciones
diferenciales, entonces elegiremos para ello una solución del mismo tipo
que el término independiente si el término independiente por ejemplo son
constantes, pues pondremos los constantes siempre que en la solución del
sistema homogéneo no hayan aparecido bien, pues vamos entonces a ver un
ejemplo de resolver este sistema completo, i sub x más uno igual a dos
cinco dos menos uno con i sub x más una matriz columna de menos doce y
menos cuatro bueno, pues aquí obtenemos primeramente los valores propios
de la matriz son cuatro y menos tres, bueno ya de hecho ni nos molestamos,
bueno podríamos intentarlo pero bueno aquí vemos que no va a ser muy
fácil el calcular a elevado a x directamente, por eso vamos ya
directamente a los valores propios, bueno los calculamos son cuatro y menos
tres y los factores propios respectivos cinco dos y uno menos uno bien,
entonces bueno, vemos que no hay ninguna solución de la solución general
del sistema homogéneo que sea constantes, porque nos van a aparecer los
valores propios que son el cuatro y el menos tres elevado a x, cuatro
elevado a x y menos tres elevado a x, bueno entonces una solución
particular pues va a tener la misma forma que tiene el término
independiente que son dos constantes, pues vamos a poner dos constantes a y
b entonces como vamos a calcular a y b vamos a sustituir en el sistema dado
y sub x por a b, puesto que si es constante y sub x más uno también
sería a b, por lo tanto nos va a quedar esta igualdad a b es igual a dos
cinco dos menos uno por a b más menos doce menos cuatro, bueno esto nos
proporciona este sistema de aquí desarrollando pasamos las incógnitas que
serían a y b las pasamos todas al primer membro, nos queda este sistema y
lo resolvemos entonces en este caso pues se obtiene que a vale once tercios
y b vale cinco tercios y ya está la solución pues es cuestión de sumarle
a la solución general del homogéneo la particular que acabamos de obtener
y pues digamos que sería cinco uno dos menos uno que sería la matriz p
por la matriz diagonal de los valores propios elevados a x y multiplicado
por unas constantes c sub uno y c sub dos arbitrarias y luego sumado la
solución particular de la homogénea bueno esto se puede escribir un poco
más simple, es decir si multiplicamos precisamente la matriz diagonal por
la matriz de las constantes pues nos aparecería c sub uno multiplicado por
cuatro elevado a x y c sub dos multiplicado por menos tres elevado a x y
eso multiplicado por la primera matriz lo podemos escribir como parece o
sea que sería c sub uno por cuatro elevado a x por la primera columna de
la matriz de la matriz p más c sub dos por menos tres elevado a x por la
segunda columna de la matriz p más el terminador la solución particular
bien pues vamos entonces a ver algunos ejercicios de los propuestos o sea
exámenes de este tema bien aquí tenemos un sistema este es de orden tres
y tiene aquí es tres por tres resolver este sistema de ecuación siempre
vamos generalmente nos lo van a dar en forma matricial bueno vamos
directamente a por valores propios claro o sea que escribimos la ecuación
característica o el polinomio característico desarrollamos el
determinante y nos aparece un polinomio de segundo grado ya sabemos tenemos
que encontrar una raíz por cateo entre los divisores independientes nos
aparece el menos uno y rebajamos el grado por ruffini y resolvemos la
ecuación del segundo grado ya nos aparecen por lo tanto las tres raíces
que serían el menos uno el menos dos y el tres tengo tres valores propios
y vamos a ir calculando los respectivos vectores propios para el menos uno
es simplemente la matriz menos uno el menos uno nos queda esta matriz aquí
cero uno cero uno tres uno cero tres cero multiplicado por x uno x dos x
tres incógnita y igual a cero cero cero este sistema determinante de la
matriz es cero con dos ecuaciones nos sobraría podemos coger la primera y
la segunda y la tercera observamos que son proporcionales cogemos la
primera y la segunda y bueno de ahí ya nos sale estamos viendo que x sub
dos va a ser cero la primera ecuación es x sub dos igual a cero y luego
pues en la segunda ecuación nos va a quedar x sub uno más x sub tres
igual a cero el x sub dos como es cero no aparecerá por lo tanto si x sub
uno más x sub tres da cero pues ponemos un uno y un menos uno y a la x sub
dos que va a ser cero pues un cero esta sería la solución la solución
bien análogamente pues calculamos los otros vectores propios se obtiene
para c sub dos igual a menos dos este vector menos uno uno menos tres y
para el valor tres se obtiene uno ya está escribimos la solución x sub x
esta sería la solución es la matriz p que es la matriz formada por los
vectores propios escritos en columna entonces después la matriz diagonal
de los valores propios elevados a x y una matriz de constantes y esto es lo
que podemos ya digo simplificar un poco escribir de una manera más
simplificada de esta manera bien otro ejercicio bueno aquí resolver el
sistema de ecuaciones en diferencias este de aquí que también nos dan el
ejercicio nos proporciona los valores propios bueno pues ya algo que nos
ahorramos por tanto vamos directamente a los autovectores o vectores
propios el primer sistema restaríamos el uno a la diagonal principal y nos
quedaría cero menos uno cuatro tres uno menos uno dos uno menos dos
multiplicado por x sub uno igual a cero cero cero y como igual que antes
como el determinante es cero siempre este determinante va a ser cero claro
pues con dos ecuaciones nos sobra cogemos la primera y la segunda sería
menos x sub dos más cuatro x sub tres igual a cero y bueno perdón y
cogemos la última dos x sub uno más x sub dos menos dos x sub tres igual
a cero se resuelve este sistema una solución sobrada estos sistemas
evidentemente es compatible indeterminado tiene infinitas soluciones pero
bueno una sobra claro bueno aquí de hecho están todas en parámetros
lambda por menos uno cuatro uno es el vector que vamos a coger
análogamente para el alto valor menos dos el sistema que sostiene es este
y la solución aquí igual y el otro están ya hechos en caso de que sale
así un hexágono hay que hacerlo claro esto tiene su trabajo hay que
hacerse todos los sistemas pero bueno sistemas lineales y relativamente
sencillos ya tenemos entonces los tres vectores propios y ya por tanto
directamente la solución la matriz de los vectores la matriz diagonal de
los valores propios elevados a x y la matriz de las constantes y esto por
si como simplificar un poquito así queda bien vamos a ver otro ejercicio
bueno aquí tenemos un otro sistema y nos da la valor inicial el valor de y
sub cero bueno aquí por ejemplo característico lo calculamos osea tres
bueno lo hemos puesto con la letra t bueno pues sale t menos dos por t
menos tres y las soluciones son el dos y el tres las raíces entonces el
valor propio dos calculamos el sistema necesitamos el dos cero cinco cero
igual a cero cero aquí nos aparece que x uno es igual a cero es cero uno y
este de hecho nos ha salido antes esta matriz bien en el caso de para el
valor propio tres sale este sistema y tenemos el otro vector propio el de
uno cinco por tanto bueno por eso ya directamente la solución general
aquí ya hemos puesto incluso multiplicada la matriz diagonal por la matriz
de las constantes sería esta cero uno uno cinco por c sub uno por dos
elevado a x y c sub dos por tres elevado a x puesto que aquí nos dan un
valor inicial el uno dos pues hay que calcular los valores de esas
constantes entonces hacemos x igual a cero y nos quedaría que cero uno uno
cinco multiplicado por c sub uno c sub dos sustituyendo a x igual a cero
sería igual a uno dos y bueno aquí ya tenemos que perfectamente pues eso
c sub dos va a ser un uno y c sub uno más cinco c sub dos va a ser dos c
sub uno vale menos tres y por lo tanto pues ya cogimos la solución
particular hasta aquí bien, otro ejercicio aquí tenemos también otro
este sistema tiene un término independiente hacemos primeramente la
ecuación homogénea para ello pues hallamos los valores propios obtenemos
un tres y un menos uno y a continuación obtenemos los respectivos vectores
propios ya que resultan ser estos doce así es que ya podemos escribir la
solución general bien, aquí lo tenemos ya también incluso desarrollado c
sub uno por el primer valor propio elevado a x por el primer vector propio
más c sub dos por el segundo valor propio elevado a x por el otro
correspondiente vector propio bueno entonces ahora escrito de esta manera
es más cómodo para precisamente para calcular el valor de las constantes
que bueno perdón para calcular la solución particular de la ecuación del
sistema completo entonces puesto que no nos ha salido ninguna solución
constante las soluciones del sistema homogéneo pues entonces para calcular
una solución particular del sistema completo pondremos un v que serán
constantes así es que sustituimos en el sistema nos daría que uv y sub x
más uno será uv también claro la matriz uno uno cuatro uno por uv más
tres miembros entonces aquí bueno desarrollamos multiplicamos esto de
aquí, bueno en realidad lo que hacemos es restarle la matriz unidad si
pasáramos el primer el vector v al segundo miembro restando iría
multiplicado por la matriz unidad sacamos del v el factor común por eso
nos sale por eso nos sale esta matriz cero menos uno menos cuatro cero por
v igual a tres menos dos bueno el caso es que cuando resolvemos el sistema
y aquí nos quedan estos dos valores uv igual a un medio y uv igual a menos
tres y por tanto ya ponemos la solución otro ejercicio bueno parece que es
algo un poquito distinto aquí tenemos la evolución temporal de los
resultados contables de dos empresas que están relacionados entre sí
mediante este sistema de ecuaciones en diferencias entonces teniendo en
cuenta que los resultados iniciales son nulos determinar los resultados
comparativos de cada una de ellas en los primeros cinco años de su
actividad económica expresados en millones de euros bueno vamos a en
realidad aquí pues no hace falta casi ni porque se trata de los cinco
primeros años no hace falta resolver el sistema hacer una resolución
general podemos ir dando valores o sea por ejemplo para x igual a cero nos
quedaría que y sub uno sería uno dos dos uno por y sub cero más uno
menos uno pero puesto que y sub cero los valores iniciales son nulos de
acuerdo con el enunciado pues sustituimos por cero cero y nos queda claro
nos quedaría el uno menos uno o sea que y sub uno será uno menos uno
después lo que significa es que las dos funciones para x igual a uno son
la primera es un uno y la segunda función es un menos uno el valor que
toman para x igual a uno para x igual a uno ahora en el sistema sustituimos
ahora en el sistema x igual a uno ya tenemos y sub dos igual a uno dos dos
uno por y sub uno más uno menos uno y como ya tenemos el y sub uno pero
hemos dado antes pues lo sustituimos aquí y calculamos y nos sale cero
cero es decir que y sub dos vuelve a ser igual que y sub cero con lo cual
el y sub tres va a ser igual que el y sub uno porque al calcular el y sub
tres sustituiríamos el y sub dos por su valor repetir lo que hemos hecho
en el cálculo del y sub uno así es que observamos que si x es impar y sub
x va a valer uno menos uno y si x es par pues va a valer cero cero así es
que pues esto para los cinco primeros años pues ya lo tenemos hecho o sea
que aquí tenemos en esta tabla recogemos los valores de la primera
función y de la segunda función el y sub uno y el y sub dos en los cinco
años para x igual a uno vale uno menos uno para x igual a dos vale cero
cero para x igual a tres uno menos uno para x igual a cuatro cero cero etc
este ejercicio no ha hecho falta resolver el sistema y en otro similar o
sea que la evolución temporal de los resultados contables de dos empresas
está relacionado a cintas inmediatas el siguiente sistema de ecuaciones en
diferencias entonces teniendo en cuenta también que los resultados
iniciales son nudos determinar los resultados de cada una de ellas en el
cuarto año de su actividad económica expresado son millones de euros lo
vamos a hacer también por incursión no de valores podríamos resolverlo
pero bueno hasta cuatro no es tanto dando valores aquí tenemos el primer
caso para x igual a cero nos quedaría y sub uno igual a dos uno cero cero
cero y lo mismo que antes como el y sub cero es cero cero pues esto sale
tres ahora para y sub dos nos va a quedar dos uno cero dos por y sub uno
más tres cero sustituimos ahora el valor obtenido de y sub uno que es tres
cero y cuando hacemos operaciones nos quedará más de cero el y sub tres
que será dos uno cero dos por y sub dos más tres cero sustituimos el
valor que hemos obtenido antes y calculamos nos da veintiuno cero y ya
finalmente el y sub cuatro hacemos lo mismo sustituimos el valor anterior y
nos da cuarenta y cinco es decir que el y sub uno de cuatro vale cuarenta y
cinco y el y sub dos de cuatro vale cero los resultados de cada una de
ellas el resultado contable en el cuarto año de cada una de las
operaciones bien otro ejercicio bueno pues ya los anteriores aquí tenemos
un sistema hallamos los valores propios que resultan ser menos dos y menos
cinco hallamos los correspondientes vectores propios uno dos y menos uno
uno ya tenemos por lo tanto resuelta la proporción homogénea esta manera
también simplificada y ahora lo que tenemos que calcular el valor de las
constantes ahora lo que tenemos que calcular es la solución completa que
que también es una solución formada por dos constantes bueno pues
entonces eso hacemos la sustitución como hemos dicho antes que sería pq
igual a menos cuatro uno dos menos tres por pq más doce seis resolvemos el
sistema los valores y ya pues escribimos la solución general bien otro
ejercicio también del mismo estilo aquí calculamos los valores propios
que en este caso resultan ser complejos nos sale un medio más menos un
medio de i escrito en forma trigonométrica el modulo sería uno partido
por raíz de dos y el argumento que es también pi cuartos esto sería uno
partido por raíz de dos por seno de pi cuartos más o menos pi cuartos
entonces calcularíamos el valor propio de uno más un medio de i sobraría
con eso y ya nos aparecen los dos vectores propios son conjugados uno menos
tres décimos más menos cero un décimo por i así es que ya podemos
escribir la solución general del sistema homogéneo puesto que o sea que
sería uno partido por raíz de dos que es el módulo elevado a x y bueno
aquí está escrito sacando el c sub uno puesto que uno partido por raíz
de dos elevado a x multiplica los dos sumandos y luego pues hemos sacado el
c sub uno y el c sub dos está expresado de esta otra manera o sea que
aquí estaría el uno tres menos tres partido por diez que sería la parte
real del vector propio por el coseno de pi cuartos de x menos la parte
imaginaria por el seno de pi cuartos de x y luego pues el c sub dos uno
partido por raíz de dos de x por la parte imaginaria del vector propio
multiplicado por el coseno de pi x por i por cuatro más la parte real por
el seno de pi x por i por cuatro bueno entonces observamos que en la
solución general del homogéneo no aparece ninguna solución de la forma
pq el término independiente está formado por dos constantes elegimos un
vector pq de este tipo y lo sustituiríamos en el sistema dado
calcularíamos de manera sencilla el valor de pi y el valor de q que nos
salen dieciocho y menos cuatro con lo cual simplemente hay que sumárselo a
la solución general que teníamos antes del sistema y bien aquí tenemos
un último ejercicio tenemos este sistema i sub x más uno esto es
homogéneo cero uno menos dos dos por i sub x los valores propios resultan
ser complejos o sea que sale el uno más i que hemos observado antes
también otro ejemplo tienen audio de raíz de dos y argumento pi cuartos
tanto, aquí tenemos los dos valores propios calculamos los vectores
propios y resulta ser uno uno más menos cero uno por i y ya pues
directamente escribimos la solución general bien aquí hemos visto yo creo
que todos los ejercicios que han salido hasta ahora en exámenes de este
tema y bien pues también como todos estos ejercicios pues siempre resultan
bastante rutinarios muy parecidos