En esta grabación vamos a tratar el tema de la dependencia e
independencia de vectores en los espacios vectoriales R2 y R3. Vamos a
estudiar cómo reconocer si un conjunto de vectores de estos espacios son
dependientes o son independientes. Lo primero que debemos de tener claro, y
vuelvo a recordar, es que estamos trabajando en los espacios vectoriales R2
y R3. Trabajaremos con vectores de R2 o con vectores de R3 solamente. Y
así, por ejemplo, en R2 una pregunta posible sería la siguiente ¿son
linealmente dependientes o independientes los vectores y ? ¿Cómo podemos
saber esto? En R3 el ejemplo sería parecido, pero ahora con los siguientes
vectores, por ejemplo, 316, 013,-2, 4,-1. ¿Son linealmente dependientes o
independientes estos vectores? ¿Cómo podemos responder a preguntas como
éstas de la forma más sencilla y manejable posible? Pues de eso vamos a
tratar a continuación. Algunas consideraciones importantes a tener en
cuenta antes de empezar con los ejemplos. Lo primero, si nos dan un solo
vector, siempre es independiente. Es poco probable que nos den un solo
vector, pero en el caso de que nos lo diesen, un solo vector siempre es
independiente. En R2, tres o más vectores siempre son dependientes. Así
que si en algún ejercicio os dicen son dependientes en R2 el siguiente
conjunto de vectores y os dan tres vectores o más de tres, no dudéis, no
hagáis ningún cálculo. Siempre son dependientes. De forma similar, en
R3, si os dan cuatro o más vectores, siempre son dependientes. En R3, un
conjunto de cuatro vectores o de más de cuatro vectores siempre son
dependientes. No hay que hacer ningún cálculo, no tenéis que tener
dudas. Bueno, recordad, un solo vector siempre es independiente. En R2,
tres o más vectores siempre son dependientes. En R3, cuatro o más
vectores siempre son dependientes. Nos vamos a centrar a continuación en
dos de los casos dudosos que nos quedan entonces. El primero, en R2, dos
vectores. Nos dan dos vectores en R2. ¿Cómo podemos saber si son
dependientes o independientes? Y a continuación, en R3, nos dan tres
vectores. ¿Cómo podemos saber si son dependientes o independientes? Pues
vamos a estudiar estos casos. Empezamos en el caso de que nos den dos
vectores en el espacio vectorial R2 y nos pregunten si son dependientes o
si son independientes. ¿Qué podemos hacer para averiguarlo? Bueno pues,
dos vectores en R2 son dependientes si uno es múltiplo del otro. Esto se
puede reconocer a simple vista, pero una forma más sencilla por si a
simple vista no sois capaces de verlo es calculando el determinante de la
matriz formada con los dos vectores. Dos vectores en R2. ¿Cómo sabemos si
son dependientes o independientes? Bueno, son dependientes si uno es
múltiplo de otro. ¿Cómo se averigua esto? Con el determinante. Calculo
el determinante de la matriz formada por los dos vectores. Si ese
determinante vale cero, los vectores son dependientes. En otro caso, o sea,
si no vale cero el determinante, los vectores serán independientes. Así
que cogéis los dos vectores que os dan, formáis la matriz con ellos.
Calculáis el determinante de esa matriz. Si vale cero los vectores son
dependientes. Si no vale cero los vectores son independientes. Ahora vamos
a ver ejemplos de este cálculo. ¿Qué pasa en R3 cuando nos dan tres
vectores? Pues algo parecido. Tres vectores son dependientes si alguno de
ellos es combinación lineal de los otros. Esto no es fácil de entender.
Se puede hacer el cálculo utilizando un sistema de ecuaciones, pero
tampoco es sencillo. Hay una forma mucho más breve, más sencilla de
calcular esto que averiguando si son combinación lineal o no, y es usando
determinantes también. La forma más sencilla de comprobar si tres
vectores de R3 son dependientes o independientes es calcular el
determinante de la matriz formada con los tres vectores. Calculáis ese
determinante. ¿Qué puede ocurrir? Pues que valga cero o que no valga
cero. Si vale cero, vuelvo para atrás, que me pasé. Si ese determinante
vale cero entonces los vectores, los tres vectores de R3 son dependientes.
Si ese determinante no vale cero entonces los vectores serán
independientes. Bueno planteémonos todo esto con un ejemplo. Nos preguntan
¿cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente
dependientes? Y nos dan cuatro conjuntos de vectores. Los vectores y , los
vectores , los vectores y los vectores y . ¿Cuáles de estos cuatro
conjuntos son vectores linealmente dependientes? Empecemos por el primer
conjunto de vectores, el formado por el y . Lo primero que tenéis que
tener claro es que son vectores en R2. Dos vectores en R2. Acabamos de
decir que para averiguar si dos vectores en R2 son dependientes hay que
calcular el determinante que se forma con los dos vectores. El determinante
2 menos 2 es 1, menos 3 es 0. ¿Cómo se calcula un determinante así? Pues
muy fácil, recordad. Hay que multiplicar los dos números de la diagonal
principal, el 2 y el 0. 2 por 0, que es 0. Y restar y ahora multiplicáis
los dos números de la otra diagonal, menos 3 por 1, que es menos 3. Restar
menos 3 es sumar 3. Así que el resultado 0 más 3 es 3. Como el
determinante formado por los dos vectores nos da de resultado 3, que no es
0, eso quiere decir que estos dos vectores son independientes. Por lo
tanto, este conjunto de vectores no es linealmente dependiente. Pasamos al
siguiente conjunto de vectores. Ahora son tres vectores en R2. Hay que
hacer lo mismo. Calcular el determinante formado por los tres vectores 1,
0, 3 menos 1 3, 5 y 0, 0, 1. El cálculo de un determinante así, un
determinante de orden 3, hay que hacerlo utilizando la regla de Sarrus. La
regla de Sarrus podéis consultarla en cualquier libro de texto o en
Internet, en Wikipedia. Tenéis una buena explicación de la regla de
Sarrus. La regla de Sarrus se basa en hacer con los números que aparecen
en este determinante seis productos. Uno por tres y por uno, que es tres.
Ahora cero por cinco y por cero, que es cero, ya no lo escribo. Menos uno
por cero y por tres, que es cero, ya no lo escribo. A continuación, menos
tres por tres y por cero, que es cero, ya no lo escribo. Menos cero por
menos uno y por uno, que es cero, tampoco lo escribo. Y por último, menos
cinco por cero y por uno, que también es cero y no lo escribo. Así que el
resultado de este determinante es tres, no cero. Por lo tanto, este
conjunto de vectores es independiente. Tampoco es la respuesta a la
pregunta. Estos tres vectores no son linealmente dependientes. Paso al
siguiente conjunto de vectores. Vuelven a ser dos vectores de R2, como en
el primer caso. Dos vectores en R2, para averiguar si son dependientes o
independientes, calculo el determinante formado con ellos. Menos tres dos,
menos seis, menos cuatro. Averiguo el determinante, multiplicando los dos
números de la diagonal principal, menos tres por menos cuatro, que es
doce, y restando el producto de los dos números de la otra diagonal, dos
por menos seis, que es menos doce. Como hay que restar menos doce, menos
menos doce es lo mismo que doce más doce, veinticuatro. Como no sale cero,
eso quiere decir que estos dos vectores tampoco son lineales. Linealmente
dependientes. Tampoco son, respuesta a la pregunta. Menos tres dos y menos
seis menos cuatro serían linealmente independientes. Y nos queda un
apartado de este ejercicio, formado ahora por tres vectores. Dos uno menos
tres, menos uno uno dos, y uno dos menos uno. Son tres vectores de R3. Para
averiguar si son dependientes o independientes hay que calcular el
determinante, por la regla de Saarhus. Los productos que tengo que hacer
ahora de esta regla serían dos por uno por menos uno, que es menos dos.
Uno por dos por uno, que es dos. Menos uno por dos por menos tres, que es
más seis. Vale, y ahora, menos los tres números de la diagonal secundaria
menos tres por uno por uno, que es menos tres con el menos de delante, más
tres. Menos, 1 por menos 1 por menos 1, que es más 1, con el menos de
delante, menos 1 Y por último, menos 2 por 2 por 2, que es 8, con el menos
de delante, menos 8 En total, menos 2 y más 2, que es 0, 6 y 3, que es 9,
menos 1, 8, menos 8, 0 El resultado del determinante es 0 Y como este
determinante es 0, eso quiere decir que los vectores son dependientes Esta
sería la respuesta a la pregunta del ejemplo 1, el apartado T Vale, veamos
otro ejemplo Parecido Ahora nos preguntan lo contrario ¿Cuáles de los
siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes? Y nos dan
4 conjuntos de vectores Vamos a ir también, uno por uno El primer conjunto
de vectores 2, 1 Menos 3, 0 Menos 1, 3 ¿Son linealmente independientes?
Son 3 vectores en R2 Recordad lo que dijimos al principio En R2 3 o más
vectores siempre son dependientes No hay que calcular nada Así que,
respuesta Este conjunto no está formado por vectores independientes No hay
que hacer ningún cálculo, no La segunda opción Los vectores 1, 0 3,
menos 1, 3, 5 0, 0, 1, 2, 1, 3 Son independientes Pues aquí tenemos 4
vectores en R3 Recordad de nuevo lo que dijimos al principio En R3 4 o más
vectores siempre son dependientes No calculéis nada Respuesta Este
conjunto de vectores no son linealmente independientes Pasamos a la tercera
opción Ahora tenemos los vectores Menos 3, 2 Menos 6, 4 Son dependientes o
independientes Pues aquí tenemos 2 vectores en R2 En este caso, sí que
hay que calcular El determinante formado por los dos vectores Multiplico
los dos números de la diagonal principal Menos 3 por 4 Menos 12 Menos Y
ahora multiplico los dos números de la diagonal secundaria 2 por menos 6
Que es menos 12 Con un menos de delante Más 12 Y menos 12 Y más 12 0 Como
el determinante vale 0 Eso quiere decir que los dos vectores son
dependientes No son la respuesta a lo que nos preguntan Pasamos Al tercer
conjunto de vectores 2, 1, 0 Menos 1, 0, 2 1, 2, 1 Son linealmente
independientes Pues son tres vectores En R3 Para averiguarlo hay que
calcular el determinante 2, 1, 0 Menos 1 0, 2 Y 1, 2, 1 Utilizando la regla
de Sarrus Calculo el determinante Los productos en este caso para hacerlo
son 2 por 0 por 1 Que es 0 No lo escribo 1 por 2 por 1 Que es 2 Menos 1 por
2 por 0 Que es 0 No lo escribo Menos 0 por 0 por 1 Que es 0 No lo escribo
Menos 1 por menos 1 por 1 Que es menos 1 Con el menos de delante Menos 1
por menos de delante Y por último Menos 2 Por 2 Y por 2 Que es 8 Con el
menos de delante Menos 8 2 más 1 Menos 8 Total Menos 5 Como no ha salido 0
Eso quiere decir que estos tres vectores Si son linealmente independientes
Esta sería la respuesta Al ejemplo segundo Los vectores 2, 1, 0 Menos 1,
0, 2 Y 1, 2, 1 Si son linealmente independientes Un último ejemplo Sean
los vectores 2, 1 Y A3 de R2 Donde A es un parámetro real Se verifica Y
nos dan cuatro opciones Y tenemos que decir cuál de las cuatro es cierta
La opción A Son independientes si A vale 6 La opción B Son dependientes
si A no vale 6 La opción C Son dependientes si A vale 6 Y la opción D
Ninguna de las anteriores es cierta Bueno, para empezar ¿Qué significa
eso de que A es un parámetro real? Pues que A es un número Pero no
sabemos cuál Nos dan dos vectores de R2 A es un número Que puede ser
cualquiera Y tenemos que decir cuál de las cuatro frases Que vienen a
continuación es verdadera La primera nos dice que Los dos vectores son
independientes si A es 6 Bueno, son dos vectores de R2 Pues... Calculemos
el determinante formado por ellos Y diréis Pero si aparece una letra
¿Cómo calculo un determinante? Bueno, pues como siempre Multiplicando 2
por 3 Que es 6 Y menos A por 1 Que es A Y eso es lo que vale el
determinante en este caso 6 menos A Si supiese lo que vale A Ya sabría el
resultado Como no lo sé Lo dejo así ¿Cuál es la primera frase que me
dan? Son independientes si A vale 6 Aquí ya me dicen lo que vale A 6
Pues... En el resultado del determinante Quito la A y pongo un 6 ¿Qué me
queda en este caso? Si quito la A y pongo un 6 Me queda 6 menos 6 Que es 0
Recordad que si el determinante valía 0 Los vectores eran dependientes
Así que la frase es falsa No son independientes si A vale 6 Al contrario
Si A vale 6 Los vectores son dependientes Esta frase es falsa Bueno
Recordando lo que nos ha salido en el determinante Acordaros que en el
determinante salía 6 menos A Vamos a la segunda frase La segunda frase
dice Que son dependientes Si A no es 6 ¿Esto será cierto o falso? ¿Qué
significa que Si A no es 6 Pues que A puede valer cualquier número Con tal
de que no valga 6 Por ejemplo A vale 5 El determinante valía 6 menos A
Pero si estoy diciendo entonces Que la A puede ser un 5 El determinante me
quedaría 6 menos 5 Que es 1 Como no sale 0 Eso quiere decir Que los
vectores serían independientes Por lo tanto La frase es falsa No son
dependientes Si A es distinto de 6 Acabamos de ver Que en el caso de que A
sea 5 Serían independientes Esta frase es falsa Paso a la tercera opción
que me dan Son dependientes si A es 6 Acordaros que el determinante valía
Lo vuelvo a escribir 6 menos A ¿Qué pasa si A es 6? Si A es 6 Quito la A
Y pongo un 6 Y me queda 6 menos 6 Es 0 Dependientes Así que esta frase es
cierta Si es cierto Son dependientes Si A es 6 Porque si A es 6 El
determinante vale 0 Y como esta frase es cierta La última opción que nos
daban Ninguna de las anteriores es cierta Es falsa Porque la anterior sí
que era cierta Así que esta opción sería falsa Bueno Y con esto
terminamos esta grabación Recordad Muy importante Un vector Siempre es
independiente En R2 3 o más vectores Siempre son dependientes En R3 4 o
más vectores Siempre son dependientes En R2 Para saber si 2 vectores Son
dependientes o independientes Calculáis el determinante formado con ellos
Si sale 0 Son dependientes Si no sale 0 Son independientes Y en R3 3
vectores Para averiguar si son dependientes o independientes Calculáis el
determinante formado con ellos Si sale 0 Son dependientes Si no sale 0 Son
independientes