Bien, hoy como última sesión antes de la primera semana de exámenes,
vamos a hacer a modo de repaso un examen, vamos a comentar concretamente el
examen de febrero del año pasado, 2017. Bien, pues aquí tenemos la
primera pregunta. La función de utilidad de un consumidor depende de la
adquisición que éste haga de tres bienes, X y Z, en los siguientes
términos. Bueno, aquí tenemos lo que sería la función de utilidad, U de
X y Z igual a 5 por el logaritmo neperiano de X más 3 logaritmo neperiano
de Y más 2 logaritmo neperiano de Z, donde X y Z son positivos. Bien, si
los precios unitarios de cada uno de los bienes son 8, 3, 5 unidades
monetarias respectivamente, pues determine qué cantidad de cada bien hará
máxima la utilidad del consumidor. Si éste agota su renta es de 500
unidades monetarias. Bueno, pues el problema se trata de una maximización
y lo vamos a plantear de esta manera. Se trata de maximizar la adquisición
U de X y Z y sujeta a la condición que 8X más 3Y más 5Z que es igual a
500, puesto que si las cantidades son X y Z y los precios de cada una de
ellas, 8, 3 y 5 respectivamente, y hemos de optar la renta, que son 500
unidades monetarias, pues hacemos igual a lo que vamos a consumir. De las
tres cantidades esto es igual a 500, sería la condición. Por tanto, se
trata de un problema de optimización con una restricción de igualdad.
Bien, pues entonces lo resolvemos por el método de Lagrange. Escribimos la
Lagrangiana, que sería la función objetivo, 5 logaritmo de X más 3
logaritmo de Y más 2 logaritmo de Z más lambda multiplicado por la
condición, he pasado todo al primer miembro, 8X más 3Y más 5Z menos 500.
Bien, entonces sabemos que para que exista un óptimo, en este caso
buscamos un punto que maximice la función de utilidad, igualamos las
derivadas parciales respecto de cada una de las tres variables a Z. Así
que aquí tendríamos, derivando respecto de X, pues sería 5 partido por X
más 8 lambda, igual a 0. Derivando respecto de Y, 3 partido por Y más 3
lambda, igual a 0. Y derivando respecto de Z, 2 partido por Z más 5
lambda, igual a 0. Y le añadimos, estas tres ecuaciones, le añadimos la
condición, 8X más 3Y más 5Z igual a 500. Y se trata entonces de resolver
este sistema. Bueno, es sencillo, evidentemente, entonces lo haremos
despejando las tres primeras ecuaciones, despejamos X, Y y Z, que
sustituimos, la última ecuación, y de ahí obtenemos esta ecuación con
lambda. Y de aquí pues despejamos lambda, y queremos que lambda lleve a la
menos 1 partido por 50. Como ya hemos despejado antes X y Z, va a ser
función de lambda, basta sustituir este valor de lambda y ya obtenemos los
valores de las cantidades desconocidas. Aquí está, X igual a 125 cuartos,
Y igual a 50, Z igual a 0. Bien, entonces, ahora vamos a comprobar si este
punto, pues es precisamente el punto que estábamos buscando que maximiza,
que maximiza la función objetivo. Para ello, pues vamos a recordar cuáles
eran las condiciones de, bueno, para que un punto, pues óptimo, las
condiciones suficientes, ¿no? Entonces, bueno, recordaremos el caso
general, ¿no? La condición suficiente de optimización para una función
objetivo con N variables independientes y con M restricciones. En nuestro
caso, tenemos una función objetivo con tres variables y una restricción.
Bueno, lo vemos en general, o sea que aquí el problema sería optimizar
esta función, una función con N variables, y sujeto a M condiciones que
están aquí expresadas. Bueno, entonces, lo que hacíamos era construir el
gesiano correlado que, bueno, este determinante que tenemos aquí, donde
hay una primera parte que sería, estaría formado por M filas, M filas y M
columnas, es decir, es un menor, ¿eh? Menor de orden M formado por ceros,
¿no? Y luego, en la parte derecha, superior derecha, tendríamos las
derivadas parciales de las distintas restricciones respecto a cada una de
las incógnitas, G'1 1, G'1 2, G'1 N, es decir, que esas serían las
derivadas de la primera condición respecto de la X1, respecto de la X2,
etcétera, hasta la Xn. La segunda fila, que sería la secundaria, serían
las derivadas parciales de la G2, etcétera, hasta las derivadas parciales
de la Gm. Y bueno, este determinante lo colocaríamos transpuesto aquí en
la parte inferior izquierda, es el mismo pero está ahora escrito por
columna, G'1 1, G'1 2, etcétera, hasta G'1 N, la primera columna,
etcétera. Y después, la parte que queda, la parte inferior derecha, es
también otro derivado. Por ejemplo, Gm, este sería de orden N por N y son
las derivadas segundas de la función, vamos a ver, de la Lagrangiana, de
la Lagrangiana, derivada segunda respecto de X y respecto de Xu y respecto
de Xujo. Bueno, aquí lo tenemos, L segunda sub 1 1, L segunda sub 1 2,
etcétera. Bueno, pues aquí L segunda sub 1 1, por ejemplo, sería la
derivada segunda respecto de X1 y respecto de X1. L segunda sub 1 2 sería
la derivada segunda respecto de X1 y respecto de X2, etcétera. Bueno, esto
es el Hessiano agradable. Y bueno, con este Hessiano podemos sacar unos
menores que llamaremos, en este caso, que tenemos uno de ellos, el H barra
sub i, que sería el menor hasta Gm a la D. que el último elemento de la
diagonal principal sea L segunda subi I. Es decir, que digamos, por
ejemplo, si seguimos aquí cogiendo este que tenemos de arriba, pues si
cogemos hasta L segunda sub 2 2, eso sería H sub 2. Bien. Bueno, pues
construido el gesiano a un lado, construido el gesiano a un lado se puede
demostrar lo siguiente, ¿no? Que si los últimos n menos m, o sea, n era
el número de incógnitas, m es el número de restricciones. Los últimos n
menos m menores principales o largos tienen el mismo signo que menos 1
partido por m, 1 elevado al número de restricciones, entonces en el punto
que hemos encontrado, ¿no?, existiría un mínimo relativo colocado. Es
decir, que en el caso de que m sea par, menos 1 elevado a m es un 1, claro.
Por tanto el signo sería positivo, o si m es impar, pues serían todos
negativos. En el caso de nuestro ejemplo, ahora lo veremos, m es solo 1, es
decir, igual a 1 es impar. Bien, y si los últimos n menos m menores
principales tienen el signo alternado, comenzando por menos 1 elevado a m
más 1, menos 1 elevado a m más 1, pues entonces en el punto que hayamos
encontrado, existirá un máximo relativo bien. Bueno, aquí por ejemplo,
vamos a ver nuestro caso, si n es igual a 3 y m es igual a 1, que sería el
caso del problema nuestro, entonces los n menos m serían 3 menos 1 igual a
2 menores principales, entonces serían h sub 3 y h, es decir, que los
últimos podríamos decir, ¿no? h sería, sería equivalente al h sub 4,
es decir, que tendrían 4 filas y 4 colores. Bien, bueno, pues en ese caso
tendríamos que si ambos son negativos, tendríamos un mínimo local, y si
h sub 3 es positivo, porque menos 1 elevado a 1 más 1, pues 2 positivo, si
h sub 3 es positivo y h es 0, pues entonces tendríamos un máximo local.
Bien. Vamos al problema, entonces aquí tendremos, calculamos h, ¿no?
nuestro menor poblado, o sea, fijémonos que tiene que tener un solo 0, por
eso que nada más que tiene una restricción, o sea, un solo 0 el elemento
a sub 1, 1, o la primera fila, 8, 3 y 5, que serían las derivadas de las
tres restricciones respectivamente, de la restricción respectivamente
respecto de las tres variables, o sea que sería 8x más 3y más 5z menos
500, esto lo, bueno, vamos respecto de x y sale 8, claro, derivado al
respecto de y es 3 y derivado al respecto de z es 5, y ahí que tenemos la
fila es 8, 3 y 5 parece. Y luego en la primera columna pues ponemos lo
mismo, es decir, luego menor, peor en 3 que queda, está formado por las
derivadas segundas y bueno, vamos a volver aquí tendríamos la grafiana si
hacemos la derivada segunda bueno, como ya tengo, como tenemos aquí en el
sistema las derivadas primeras pues simplemente aquí basta hacer la
derivada otra vez de cada una de ellas o sea, por ejemplo, en la primera 5
partido por x más 8 lambda, hacemos la derivada respecto de x y nos
quedaría menos 5 partido por 3 al cuadrado respecto de y es 0 y respecto
de z pues sale menos 5 partido por x al cuadrado 0 y 0, anualmente en la
segunda pues lo mismo, nos saldría 0 respecto de x menos 3 partido por i
al cuadrado respecto de y y 0 respecto de z y la última 0 respecto de x 0
respecto de y menos 2 partido de z al cuadrado respecto de z entonces,
bueno, lo que hemos ya razonado antes, aquí tenemos que analizar los dos
orlados el h y el h sub 3 el h sub 3 es hasta llegar hasta aquí o sea,
sería el menor de 1 en 3 este menor de aquí y entonces los vamos a
calcular entonces el h como tiene varios ceros pues por ejemplo, cogemos y
hacemos por la última columna o por la última fila, podemos hacer
desarrollos juntos y bueno, nos queda, hay que calcular estos dos
determinantes de 1 en 3 pero como tiene bastantes ceros se puede hacer
rápidamente y además como tampoco necesitamos desarrollarlo, podemos
dejar indicado porque no nos interesa su valor sino solamente nos interesa
su signo bueno, pues esto sería menos 5 por 75 partido por x al cuadrado y
cuadrado menos 2 partido de z al cuadrado por esta suma de fracciones 45
partido por x al cuadrado más 192 partido por i al cuadrado observamos que
esto valga esto siempre es negativo bien y el h sub 3 también lo
calculamos directamente por la regla de sarmus 45 partido por x al cuadrado
más 192 partido por i al cuadrado que esto siempre es positivo el contacto
de juego con los valores anteriormente obtenidos maximizan la utilidad bien
vamos a ver el segundo problema, el segundo ejercicio en este caso se trata
de optimizar una función elevado a menos x más e elevado a menos y sujeto
a estas condiciones que son ya de desigualdad puesto que entre ellas están
las condiciones de no negatividad de las variables, vamos a utilizar las
condiciones de Kuntakel para el caso de no negatividad de las variables
bueno, puesto que se trata también de optimizar vamos a llegar en primer
lugar al valor máximo que es el valor que hace máxima esa función y por
lo tanto lo planteamos, sería maximizar e elevado a menos x más e elevado
a menos y sujeto a estas condiciones escribimos la Lagrangiana y las
condiciones de Kuntakel en el caso de que se da las condiciones de no
negatividad de las variables pues las escribimos de esta manera, o sea que
sería menos, primero derivando respecto de x en la Lagrangiana menos e
elevado a menos x más dos lambda x menor o igual que cero o igual a cero
si x es mayor que cero derivando respecto de y elevado a menos y o sea,
menos e elevado a menos y más dos lambda y menor o igual que cero o igual
a cero si y es mayor que cero y después ya lambda por x al cuadrado más y
al cuadrado menos cuatro tiene que ser igual a cero y ya las condiciones
las desigualdades, o sea x al cuadrado más y al cuadrado menor o igual que
cuatro y lambda menor o igual que cero bueno, pues aquí en este sistema
observamos que si fuese x mayor que cero entonces, bueno, pues serían las
desigualdades de las dos primeras bueno, la primera desigualdad se
convierte en igualdad y en ese caso tendríamos esto que menos e elevado a
menos x más dos lambda x igual a cero y aquí si despejamos lambda aparece
que es un número positivo lo cual es imposible porque exigimos que lambda
sea menor o igual que cero por tanto x no puede ser mayor que cero, así
que x tendrá que ser igual a cero de manera análoga se comprueba que la y
tiene que ser también igual a cero, así es que bueno, pues si la x y la y
son ceros, pues en la tercera ecuación tenemos que lambda por menos cuatro
es igual a cero, luego lambda tiene que ser cero, así pues tenemos un
punto que cumple las restricciones del ataque, pero cero cero que
maximizaría a la función bien, ahora pues hallaremos el valor mínimo de
este déficit que se trataba de optimizar entonces para ello plantearemos
un problema pues de la siguiente manera, también maximizar que es la forma
estándar de plantear el problema de optimización con restricciones de
desigualdad era maximizar por tanto lo que hacemos es que cambiamos el
signo, o sea minimizar una función es maximizar su respuesta, por tanto
bueno, pues escribíamos esto maximizar menos f de x y que sería menos
elevado a menos x menos elevado a menos y y sujeto a las mismas
restricciones ya, escribimos entonces la lagrangiana y las condiciones
limitantes bien en este caso si fuese x igual a cero de la primera si fuese
x igual a cero a ver sería de la primera desigualdad simplemente
sustituyendo x por cero nos aparecería que uno elevado a cero sería menor
o igual que cero uno menor o igual que cero, claro, es absurdo por lo tanto
x no puede ser cero luego x tiene que ser mayor que cero de forma análoga
se comprueba que y también tiene que ser mayor que cero bueno, por otra
parte si fuese lambda igual a cero entonces puesto que bueno, x tiene que
ser mayor de cero, por lo tanto las dos primeras desigualdades del sistema
son igualdades entonces si fuese lambda igual a cero nos quedaría que e
elevado a menos x sería igual a cero lo cual es absurdo, por lo tanto
lambda no puede ser cero, tiene que ser menor que cero por lo tanto el
sistema quedaría así y entonces ya la ecuación e elevado a menos x más
2 lambda x igual a cero sólo admite una solución puesto que la función e
elevado a menos x más 2 lambda x es una función continua y es
estrictamente decreciente porque su derivada es menos e elevado a menos x
más 2 lambda que es negativo, claro, menos e elevado a menos x siempre es
negativo y 2 lambda que lambda es menor que cero también por lo tanto es
estrictamente decreciente y que solamente corta el eje de las x en un punto
tiene una única solución luego lo mismo le ocurre la segunda ecuación e
elevado a menos y más 2 lambda y es la misma en realidad que la primera es
la misma ecuación, tiene la misma solución la primera para la x la
segunda para la y o sea que x es igual a y y por tanto de la tercera
ecuación si x es igual a y x al cuadrado más x al cuadrado x al cuadrado
igual a 4 x al cuadrado igual a 2 es igual a raíz de 2 no podemos llevar
solución positiva claro, porque hay que ir mayor que cero y no la y así
pues tenemos entonces sustituyendo que podemos despejar el valor de lambda
efectivamente es un número negativo y de así pues tenemos una solución
que es raíz de 2 raíz de 2 que minimizaría vamos a ver el tercer
ejercicio se trata en este caso de resolver una ecuación de equivalencia
bueno pues dada la ecuación diferencial, aquí la tenemos y prima más 2
por y elevado a 4x más 3x al cuadrado partido por 4y al cubo x al cuadrado
igual a cero bueno pregunta si es necesario hallar un factor integrante de
la misma y resolver esa ecuación diferencial en todo caso bueno lo que
hacemos es escribimos el denominador multiplicamos por toda la ecuación
por 4y al cubo x al cuadrado y también ponemos y prima por diferencial de
y multiplicamos por diferencial de x bueno lo escribimos de esta manera y
quedaría 2y4x más 3x al cuadrado por diferencial de x más 4y cubo x al
cuadrado por diferencial de y bueno y aquí pues eso, si hacemos la
derivada parcial del factor del diferencial de x respecto de y pues nos
quedaría 8y cubo x y si hacemos la derivada parcial del factor del
diferencial de y respecto de x que nos queda también 8y cubo x por lo
tanto es diferencial exacta así es que no es necesario hallar entonces la
resolvemos calculamos la integral de 2y4x más 3x al cuadrado por
diferencial de x bueno esta integral es inmediata aquí estamos encargados
respecto de x luego sería y4 por x al cuadrado más una constante que
depende de y y ahora este resultado lo derivamos respecto de y y nos
quedaría que es 4y cubo x al cuadrado más c prima de y y esto lo
igualamos al segundo sumando el segundo sumando de la ecuación que es 4y
cubo x al cuadrado y de aquí bueno pues eso dejamos c prima de y que es
igual a cero luego c prima de y es igual a una constante bueno la ponemos
negativa dejar la presentación pues de esta manera con la solución pues
era y elevado a 4x al cuadrado cubo igual a c bien vamos a ver el siguiente
ejercicio sería resolver una ecuación en diferencias finitas ya tenemos y
sub x más 2 menos 4 por y sub x más 1 más 4 por y sub x igual a x bueno
recordamos que aquí tenemos que calcular las raíces del polinomio
característico que sería en este caso lambda al cuadrado menos 4 lambda
más 4 resolvemos la ecuación bueno y nos sale que es lambda igual a 2
doble la única solución por tanto la solución general de la ecuación
homogénea sería c sub 1 por 2 elevado a x más c sub 2x por 2 elevado a x
todo puesto que precisamente el término independiente es 2 elevado a x
para hallar una solución particular de la ecuación completa pues ya no
podemos poner una constante por 2 elevado a x puesto que está estimando la
solución general de la homogénea y tampoco x una constante por x por 2
elevado a x puesto que también está en la solución de la homogénea por
tanto tendremos que poner una constante por x al cuadrado y por 2 elevado a
x para ensayar como solución particular de la completa bueno pues entonces
esto sustituimos en la ecuación es decir que aquí sería a por x más 2
al cuadrado por 2 elevado a x más 2 menos 4 por a por x más 1 al cuadrado
por 2 elevado a x más 1 más 4 por a por x cuadrado por 2 elevado a x y
eso es igual a 2 elevado a x bueno aquí lo que hacemos es que
simplificamos el 2 elevado a x porque podemos sacar factor común del
miembro y luego pues ya nos quedaría una identidad que sería 4 4a por x
más 2 al cuadrado menos 8a por x más 1 al cuadrado más 4a por x al
cuadrado igual a 1 2 elevado a x y si desarrollamos el primer miembro y
vamos identificando suficiente bueno pues dejamos sólo tenemos una
incógnita y vemos que a es igual a 1 octavo por tanto ya podemos escribir
la solución siguiente ejercicio este se trata de un sistema también de
ecuaciones en diferencias bueno entonces lo que pide es encontrar la
solución particular del sistema, sabemos que los sistemas la solución
general del sistema se obtiene sumando a la solución general del
homogéneo una solución particular del sistema completo bueno la solución
particular del sistema completo tenemos que buscar la misma forma que es el
término independiente salvo que ya las filas del término independiente
que son el x más 1 al cuadrado que son polinomios de primer grado salvo
que aparezcan polinomios de primer grado en las funciones soluciones de la
homogénea bueno por eso tenemos que comprobar a ver qué tipo de solución
es la homogénea entonces para eso calculamos los valores propios y
tendríamos un determinante tres menos lambda, menos uno, uno y menos dos
menos lambda desarrollamos igualado a cero, aparece esta ecuación lambda
al cuadrado menos lambda menos cinco igual a cero y de aquí pues
despejamos lambda y sale más o menos 21 partido por dos por tanto claro la
solución de las funciones la solución de la homogénea aparecerán estos
valores estos valores de lambda elevados a x por tanto no aparecen
polinomios de primer grado así es que ya la solución particular del
sistema pues tendrá la forma ax más b, cx más d una matriz, columna los
polinomios de primer grado tenemos que hallar las constantes ab, ci bueno
para eso lo que hacemos es sustituir en el sistema y sub x más uno es
donde ponga x pondremos x más uno, pues quedaría a por x más uno más b
por x más uno más d igual y bueno el segundo miembro sería tres menos
uno uno dos y luego el sub x que sería ax más b, cx más d más el
término independiente y lo que tenemos es sustituirlo en la ecuación
bueno si desarrollamos el segundo miembro multiplicamos las matrices y
sumamos y nos aparece esta matriz, columna entonces lo que tenemos que
hacer es igualar estos en las dos matrices, la primera y la última y
tenemos un sistema lo pasamos todo al primer miembro en cada una de las
ecuaciones y tenemos este sistema y tiene cuatro incógnitas a, b, c, d los
desarrollamos, los resolvemos y nos queda esta solución c igual a cero, d
igual a menos cuatro quintos c igual a uno, d igual a menos tres quintos y
ya tenemos por tanto la solución particular del sistema propuesto que es
lo que es bien pues el examen modelo y esta que le damos