Bien, vamos a comenzar con el tema 1, probabilidad. En primer lugar, vemos
qué se entiende por suceso. Bueno, antes pues llamaremos determinista a un
experimento de resultado predecible y aleatorio al de resultado
impredecible. Por ejemplo, presentarse a un examen y ver qué calificación
se obtiene, evidentemente es un hecho impredecible y por lo tanto es un
experimento aleatorio. O medir el espacio recorrido por un móvil y el
tiempo empleado y calcular la velocidad media. Bueno, este es un
experimento determinista, porque cada vez que se repita con los mismos
resultados pues da la misma velocidad media. Enviar una carta por correo y
ver el tiempo que trae. Enviar una carta en llegar al destino, pues
evidentemente es un experimento aleatorio. Lanzar una moneda o un dado al
aire y ver el resultado también es un experimento aleatorio. Una reacción
química con determinados ingredientes, pues siempre es un experimento
determinista en este determinado resultado. Y por ejemplo, el número de
clientes que compara una tienda cada lunes, pues también es un experimento
aleatorio. Bien, llamaremos suceso aleatorio a cualquier resultado. El
resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, para lanzar un dado,
obtener un 3, obtener un número par, obtener un número mayor que 4, etc.
Son sucesos aleatorios. Entonces, fijado un experimento aleatorio,
nombraremos en general a los sucesos con letras mayúsculas A, B, C, etc.
Bueno, vamos a ver algunas clases de sucesos. En primer lugar, llamamos
suceso seguro aquel que ocurre siempre. Siempre que se realice el
experimento, se representa por la letra E. Lo representaremos por la letra
E. Y también recibe el nombre de espacio muestra. Por ejemplo, al lanzar
una moneda, el suceso seguro sería obtener cara o cruz. Eso siempre,
evidentemente, siempre ocurre. Otro suceso es el llamado suceso imposible.
Es aquel que, como su nombre indica, no se verifica nunca. Es decir, a
pesar de ello, pues lo consideramos como un suceso. Lo representaremos por
el símbolo del conjunto vacío. Y, por ejemplo, al lanzar una moneda, no
obtener ni cara ni cruz es un suceso. Es imposible, claro. O, al
presentarse en un examen, obtener menos de tres y más de cinco. A ver,
claro, eso es imposible, etc. Bien, llamamos también suceso contrario a,
con una barrita encima, el suceso A. Pues aquel que se verifica cuando no
se verifica A. Y solo en ese caso. Es el que equivaldría al conjunto
complementario. Por ejemplo, el suceso contrario del suceso imposible es el
suceso seguro. Y, viceversa, el suceso contrario del suceso seguro es el
imposible. Bien, veamos la inclusión de sucesos. Bueno, decimos que un
suceso A está contenido en un suceso B. Y lo escribimos, pues, de esta
manera. A contenido en B o incluido en B. O B contiene A o incluía A. Si,
siempre que se verifique A, se verifica B. Por ejemplo, en el lanzamiento
del dado, los sucesos A obtener menos de cuatro. Y el suceso B obtener
menos de cinco. Verifican, obviamente, que A está contenido en B. Siempre
que se obtenga menos de cuatro, se obtiene menos de cinco. Bien, si es un
suceso seguro y A es un suceso cualquiera. Pues, claro, siempre se cumple
que A está contenido en B. Bueno, admitiremos que el suceso imposible
está contenido en cualquier suceso A. Bien, y llamamos suceso elemental a
aquel suceso no imposible que no contiene a ningún otro suceso distinto de
él. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, obtener el uno, obtener
dos, obtener tres, etcétera, son sucesos elementales. Entonces, los
sucesos elementales los representaremos con letras minúsculas. Y si A sub
1, A sub 2, etcétera, A sub n son los sucesos elementales de un suceso A,
pues escribiremos que A es igual. Escribimos entre dos llaves, pues A sub
1, coma, A sub 2, etcétera, hasta A sub n. Bueno, los sucesos los podemos
hacer una representación gráfica que muchas veces viene muy bien para
visualizar algunas propiedades, ¿no? Que son los diagramas de Venmo. Aquí
tenemos esta figura. Es decir, que aquí, por ejemplo, puede estar
representado lo que sería el espacio muestral o un determinado experimento
aleatorio, y un par de sucesos A y B. Cuales quiera los tenemos como
círculos o valores. Bien, vamos a ver qué operaciones podemos hacer con
los sucesos. En primer lugar, tenemos la unión. Representamos por el
símbolo de la unión, ¿no? A unión B de dos sucesos A y B. Es el suceso
que se edifica cuando se dedican... A o B, y solo en ese caso, y solo en
ese caso, ¿no? Aquí, por ejemplo, tendríamos representada la unión, que
serían las partes comunes A, E, A, B. O sea, las partes A y B, A o B. Otra
operación, la intersección, A intersección B de los sucesos, es el
suceso que se edifica cuando se verifican A y B, y solo en ese caso, A y B
simultáneamente. Aquí tenemos representada la intersección, es la parte
común, ¿eh? A los sucesos A y B. Y después, otra operación, también un
poco notables, pues la diferencia A menos B de los sucesos A y B es el
suceso A intersección del complementario de la parte común de A y que no
está en B. Por lo tanto, bueno, lo tenemos representado, ¿eh? Este sería
el suceso A menos B. Bien, estas operaciones tienen unas propiedades que
todas ellas se pueden representar mediante los diagramas de Deven y son
fáciles de comprobar. Por ejemplo, tanto para la unión como para la
intersección, por ejemplo, pues se cumple la propiedad asociativa, es
decir, que A, unión B, unión C, hay que hacer la unión de tres sucesos,
lo hacemos, pongamos de dos en dos, es decir, asociamos A con B, a unión
B, y a eso le asociamos C. Bueno, esa operación sería lo mismo. Lo mismo
que unir A con la unión de B y C. Bueno, esta propiedad nos permite
precisamente escribir la unión de tres sucesos, A, unión B, unión C, sin
paréntesis, ¿no? Puesto que no hay posibilidad de confusión, ya que
igual da asociar los dos primeros o los dos últimos. Lo mismo ocurre con
la intersección, es decir, también se cumple la propiedad asociativa de
la intersección. La propiedad conmutativa, bueno, pues es el que... El
orden no importa, ¿no? No resulta tanto en la unión como en la
intersección, o sea que A, unión B es igual a B, unión A, o A,
intersección B, igual a B, intersección A. También se cumple la
distributiva de la unión respecto de la intersección, que es aquí
escrita, o sea que sería A, unión B, intersección C, es A, unión B,
intersección A, unión C, y lo mismo ocurre con la distributiva de la
intersección respecto de la unión, sería A, intersección B,
intersección C, que sería A, intersección B, unión con A, intersección
C. Existe un elemento neutro en esta operación de la unión, que es el
suceso imposible, es decir, que A unido con el suceso imposible, pues
resulta A, no aporta nada. Y también existe un elemento neutro para la
intersección, pues el suceso seguro, es decir, que A, intersección con E,
es igual que A. Bien, también otra propiedad que se llama la propiedad de
la idempotencia, ¿no? ¿No? Si lo consigo mismo es el mismo, A unión A es
igual a A, o intersectado con el mismo, pues es el mismo también, ¿eh? A
intersección A es igual a A. Y, bueno, tenemos aquí las leyes de Morgan,
¿no? Para la unión, dice que el contrario o el complementario de la
unión, A unión B con la barra ántima, es la intersección de los
contrarios, o el, también para la intersección, el contrario de la
intersección es la unión de los contrarios. Bien, la propiedad
asociativa, como hemos comentado antes, nos permite hallar la unión de un
conjunto cualquiera de sucesos, ¿no? Sin necesidad de escribir
paréntesis, puesto que ya digo, se puede ir asociando dos en dos en
cualquier forma, ¿no? Así que escribiríamos, escribimos en general,
¿no? Que la unión de A1, unión de A2, etc., unión de An, pues
escribiremos simbólicamente de esta manera, ¿eh? Como un símbolo de la
unión, desde I igual a 1 hasta N de A sub i, y análogamente para la
intersección, ¿eh? A sub 1, intersección A sub 2, etc., intersección A
sub n, lo escribiremos simbólicamente, pues de esta manera, ¿no?
Intersección antes de I igual a 1 hasta N de A sub i. Bien, decimos que
dos sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. Y
en ese caso, pues obviamente, su intersección es el suceso. Es imposible,
si no se pueden verificar simultáneamente. Por ejemplo, al lanzar un dado,
los sucesos obtener menos de 3 y obtener un número mayor o igual a 4 son
incompatibles. Bien, pues el conjunto de todos los sucesos que resultan de
la unión, la intersección o la complementariedad del subconjunto de E se
representa por la letra omega. Entonces, al par E omega, o sea, que el
suceso de espacio muestra en toda la familia de sus sucesos, lo denominamos
espacio probabilizado. Bien, vamos entonces a ver qué es la probabilidad.
Iremos a, bueno, iremos a lo que es la axiomática de Kolmogorov. Sea E un
espacio muestral de un experimento aleatorio. Entonces, definimos la
probabilidad como una función que a cada suceso obtenido en ese espacio
muestral le hace correspondiente a la probabilidad. Vamos a responder un
número real P de A cumpliéndose las siguientes condiciones o axiomas,
¿eh? Con las siguientes condiciones. Bueno, pues primero, ese número P de
A tiene que ser mayor o igual que cero. En segunda axioma, la probabilidad
del espacio muestral, del suceso seguro, tiene que ser igual a 1. Y en
tercer lugar, sí, a sub 1, a sub 2, etcétera, a sub n, etcétera, ¿no?
Es una sucesión infinita. De sucesos incompatibles 2 a 2, entonces se
cumple que la probabilidad de la unión de todos esos sucesos es igual a la
suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Bien, pues siempre que una
aplicación P de este tipo cumpla estos tres axiomas, decimos que es una
probabilidad. Podemos definir, por tanto, la probabilidad de cualquier
manera siempre que respetemos estas tres axiomas. Bueno, unas consecuencias
de los axiomas serían que la probabilidad del suceso imposible es cero.
¿Por qué? Pues porque el suceso imposible es igual a la unión del suceso
imposible consigo mismo infinitas veces. Por tanto, la probabilidad del
suceso imposible es igual a la probabilidad de la unión y, pues porque el
suceso imposible es incompatible consigo mismo, la intersección es el
suceso imposible, y, por tanto, la probabilidad del suceso imposible La
probabilidad de la unión sería igual a la suma de las probabilidades.
Luego, aquí tenemos un número que vale lo mismo que la suma de él mismo
consigo mismo infinitas veces. Claro que es el número quien sea el cero,
por la cuenta. Bien, otra consecuencia es que para un conjunto finito de
sucesos, a sub 1, a sub 2, a sub n, incompatibles, se cumple también que
la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades. Para ello,
pues básicamente, vamos a aplicar el tercer axioma a la colección, a sub
1, a sub 2, etc., a sub n, y completamos hasta el infinito con sucesos
imposibles. Bien, la tercera consecuencia es que si A está contenido en B,
la probabilidad de A es menor o igual que la de B. Por ejemplo, si A...
Bueno, no por ejemplo, sino demostramos, ¿no? Es decir, que si A y B menos
A, los sucesos A y B, el suceso A y el suceso B menos A son incompatibles.
Claro que a B le quitamos la parte que tenga de A. Y puesto que B es igual
a A unión B menos A, tenemos que la probabilidad de B es la suma de las
probabilidades de los sucesos incompatibles. Por lo tanto, o sea, si P de B
es igual a P de A más P de B menos A, pues P de A es menor o igual que P
de B. P de B menos A lo mínimo que vale es cero, por lo tanto, P de A es
menor o igual que P de B. Bien, y una cuarta consecuencia es que la
probabilidad del suceso contrario, un suceso contrario es igual a uno menos
la probabilidad de ese suceso. Por lo tanto, en efecto, como A y el
contrario de A son incompatibles y además el suceso seguro es igual a E,
unión, o sea, A, unión, el contrario de A, pues entonces la probabilidad
de E, que es igual a uno, será igual a... La suma de las probabilidades,
esto que son incompatibles de A con el contrario de A. Y de aquí, claro,
si despejamos la probabilidad del contrario, tenemos uno menos P de E.
Bien, una quinta consecuencia. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, pues
se cumple esta fórmula de aquí, es decir, que la probabilidad de la
unión A, 1, B, es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B
menos la probabilidad de la intersección. Bueno, eso aquí en la figurita
lo vemos bien, aquí lo tenemos detallado. Es decir, que aquí tenemos el
suceso A, lo podemos descomponer en dos sucesos, en la unión de dos
sucesos incompatibles, que serían A menos B y A intersección B, y el
suceso B, a su vez, en dos sucesos incompatibles, que son A intersección B
y B menos A. Aquí lo tenemos escrito, ¿no? Por lo tanto, la probabilidad
de A unión B sería igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B
menos A, que es una suma de probabilidades de sucesos incompatibles. Y la
probabilidad de B es igual a la suma de la probabilidad de A intersección
B y la de B menos A, que son dos sucesos incompatibles. Entonces, si estas
dos igualdades las restamos miembro a miembro, pues nos queda que P de A
unión B menos P de B sería igual, bueno, y aquí podemos cancelar el P de
B menos A. Por lo tanto, al restar nos quedaría P de A menos P de A
intersección B. Y de aquí, pues, simplemente despejamos el P de A unión
B, pasamos el P de B al segundo miembro, y nos queda la fórmula que hemos
demostrado. Esto se puede generalizar si A, B y C son tres sucesos
cualesquiera, pues entonces se cumple que la probabilidad de la unión de
los tres sería la probabilidad de A más la probabilidad de B más la
probabilidad de C menos las... probabilidades, ¿no? La suma, menos la suma
de las probabilidades de las intersecciones dobles más la probabilidad de
la intersección triple. Y en general para N sucesos, pues tendríamos esta
fórmula, la probabilidad de la unión es de igual a 1 hasta N de A sub i,
sería la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos menos la
suma de las probabilidades de las intersecciones dobles más la suma de las
probabilidades de las intersecciones triples. Etcétera, hasta, dependiendo
de N, si es par o impar, pues por ejemplo si N fuese par, el último
término sería negativo, si N fuese impar el último sería positivo, y
sería la probabilidad de la intersección de los dos sucesos. Esto es
simplemente generalizar la fórmula para dos, ¿no? Se generaliza
prácticamente a N en sucesos. En un caso particular lo vamos a ver, es
para sucesos elementales equipropáticos. En muchos casos, en muchos
ejemplos es coherente con la experiencia considerar equiprobables los
sucesos elementales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzar una
moneda asignar 0,5 a cada uno de los dos sucesos elementales. Salvo que,
bueno, sepamos claramente que la moneda está desequilibrada, pero en
general se suele asignar la misma probabilidad a cada uno de los dos
sucesos elementales, RIP cara o RIP Q. O al lanzar un dado, pues salvo que
el dado esté también desequilibrado, pues también es normal asignar la
misma probabilidad, si los sucesos son equiprobables, los sucesos
elementales. Hay muchos ejemplos en que ocurre eso. En ese caso, por
ejemplo, si E igual a sub 1, a sub 2, y tras sub N es un espacio muestral
formado por N sucesos elementales equiprobables donde la probabilidad de
cada subir es igual a P, entonces se tendrá que el espacio muestral es la
unión de estos sucesos elementales considerados cada uno de ellos como
suceso, por lo que siempre llamo eso. Bien, puesto que la probabilidad de E
es igual a 1, supongamos que 1 es igual a P de E, y como los sucesos
elementales son equiprobables, esto será igual a la suma de las
probabilidades de todos ellos, y puesto que todas esas probabilidades son
iguales a P, esto será igual a NP, de donde podemos despejar P y
observamos que esa probabilidad tiene que ser igual a 1 partido por N. A es
un suceso cualquiera, está formado por R en sucesos elementales,
supongamos que son los R primeros, también lo podemos expresar de esta
manera, A sub 1, en A sub r, pero no en A sub r, entonces la probabilidad
de A sería la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales,
puesto que son R, pues sería R por P, pero como P vale 1 partido por N,
pues sería R partido por N. Entonces esta fórmula la solemos expresar,
como está aquí en el recuadro, puesto que R es el número de sucesos
elementales de A, podríamos decir que es el número de casos favorables al
suceso A, y N es el número de sucesos elementales que contiene el espacio
Rothschild, que es el número de casos posibles. Y esta es la fórmula que
se conoce como fórmula de Laplace. Por ejemplo, en una bolsa tenemos 5
bolas rojas y 3 bolas negras que tenemos en el dibujo, todas de idéntico
tamaño, extraemos simultáneamente 2 de ellas, entonces hallar la
probabilidad de que las dos sean rojas. Evidentemente, al extraer 2 bolas,
cualquier caso es equiprobable, son todas las bolas del mismo tamaño, lo
hacemos a ciegas, entonces podemos sacar 2 bolas cualesquiera de las 8
bolas que tenemos ahí. Por tanto, los casos posibles serán las
combinaciones de 8 elementos tomados de 2 en 2. Expresamos como número
combinatorio 8 sobre 2, que es 8 por 7 partido por 2, que son 28. Y para
que las dos sean rojas, los casos favorables de que las dos sean rojas,
puesto que tenemos 5 rojas, que las dos sean rojas son las parejas que
puedo formar con esas 5 bolas tomadas de 2 en 2, lo que serían las
combinaciones de orden 2, las 5 sobre 2, son 5 por 4 partido por 2, que son
10. Por lo tanto, la probabilidad de pedida sería 10 casos favorables
partido por 28 casos posibles igual a 0,36. Bien, entendemos por
probabilidad condicionada o condicional. Si hay un espacio muestral cuyos
sucesos elementales en número finito supondremos equiprobables. Entonces,
un suceso A con una probabilidad nula puede ser considerado a su vez como
espacio muestral de todos los sucesos que contiene. Entonces, si B es un
suceso cualquiera, el suceso A intersección B, que está contenido en A,
puede considerarse tanto perteneciente a E como a A en el caso de que
suponemos, o sea, consideramos A como si fuese un espacio muestral de todos
sus sucesos. Entonces, en este segundo caso llamaremos a A intersección B
considerado como suceso de A, le llamaremos suceso B condicionado por A. Y
lo escribiremos B condicionado por A en lugar de A intersección B. Tenemos
la representación, están A y B, y la intersección, A intersección B. A
intersección B, escrito de esa manera, pertenece al espacio muestral E, es
el suceso del espacio muestral E. Y como también pertenece al espacio
muestral A, pero para distinguirlo, en lugar de escribirlo como A
intersección B lo escribimos como B condicionado por A. Mire la parte de B
que está incluida, digamos, suceso B condicionado por A. Bien, supongamos
que N sea el número de sucesos elementales de E, llamaremos N sub A al
número de sucesos elementales de A, llamaremos N sub B al número de
sucesos elementales de B, y llamemos N sub A intersección B al número de
sucesos elementales de A intersección B. Entonces se tiene que la
probabilidad de B condicionado por A, es decir, que es la probabilidad de
esa intersección pero considerada dentro de A, ¿qué sería? Pues sería
aplicamos, hemos quedado que son sucesos equiprobables, aplicamos la
fórmula de Laplace, luego tendríamos N sub A intersección B, el número
de casos favorables a A intersección B, partido por el número de casos
posibles, en este caso que sería N sub A. Estamos suponiendo A
intersección B como suceso de A. Bien, en esta fracción si dividimos
numerador y denominador por N, nos queda N sub A B partido por N partido
por N sub A partido por N, ahí evidentemente el resultado, y ahora el
numerador N sub A B partido por N, ¿qué sería? Pues es el número de
sucesos elementales de A intersección B, o sea favorables a A
intersección B, dividido por N, que es el número de sucesos del espacio
mostrable, eso sería la probabilidad de A intersección B, del suceso A
intersección B, que es un suceso de E. Y N sub A partido por N es la
probabilidad de A. Bien, tanto hemos obtenido esta fórmula en este caso
particular de sucesos equiprobables. Bueno, pues esta fórmula la
adoptaremos como definición de probabilidad condicionada ya en espacios
muestrales cualesquiera. O sea que definimos la probabilidad de B
condicionado por A como la probabilidad de la intersección dividido por la
probabilidad de A. Exigimos claro que B A sea distinto de 0. Bueno, de esta
fórmula si despejamos la probabilidad de la intersección B pues obtenemos
esta otra fórmula de aquí, la probabilidad de la intersección es igual
al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B condicionado
por A. Bien, vamos a ver lo que entendemos por sucesos dependientes e
independientes. Decimos que los sucesos A y B con P distinto de 0 son
independientes si la probabilidad de B es igual que la probabilidad de B
condicionado por A. Es decir, que el condicionar A B por A o no
condicionarlo no modifica la probabilidad. En caso contrario nos llamaremos
a los sucesos dependientes. Bien, si A y B son independientes entonces la
fórmula que teníamos antes de la probabilidad de la intersección
obtenemos que la probabilidad de la intersección sería P de A por P de B,
puesto que P de B condicionado por A es igual que P de B. Por ejemplo,
extraemos sucesivamente y con reemplazamiento dos cartas de una baraja de
40. Extraemos una, la miramos, la devolvemos a la baraja y volvemos a
extraer otra. Extraer con reemplazamiento. Vamos a calcular la probabilidad
de que las dos sean figuras. Es decir, Sota, Caballo y Rey. Bueno, tenemos
de cada palo, de los cuatro palos tenemos tres figuras. Tenemos en total 12
figuras en la baraja. Bien, entonces como extraemos dos cartas, los sucesos
elementales son pares de cartas. Entonces llamaremos A al suceso. La
primera carta del par es figura y B la segunda carta del par es figura.
Entonces A y B son independientes porque P de B es igual a P de B
condicionado por A que es igual a 12 partido por 40. Es decir, que la
primera carta sea figura casos favorables partido por casos posibles, tengo
12 figuras y 40 cartas. Luego sería 12 partido por 40. Y P de B
condicionado por A sería probabilidad de que la segunda carta sea figura
habiéndonos sido la primera. Es decir, que entonces veremos que es igual a
12 partido por 40 también. Por lo tanto, P de A intersección B es igual a
P de A por P de B que sería 12 partido por 40 por 12 partido por 40 igual
a 0,01. Tengamos en cuenta que es que devolvemos la carta a la baraja. Por
lo tanto, cuando sacamos vamos a sacar la segunda carta tenemos la baraja
igual, o sea están las 40 cartas. Bien, veamos ahora el mismo ejemplo pero
haciendo la extracción sin reemplazamiento. Claro, en este caso ahora A y
B son dependientes, porque claro P de B sería igual a casos favorables
partido por casos posibles, que serían si vamos a sacar la segunda carta,
entonces la probabilidad de que la segunda carta sea par sería casos
favorables ¿eh? 12 cartas posibles por 39 o sea si tenemos una carta, o
sea que las parejas donde la segunda, parejas donde la segunda carta sea
figura la primera puede ser cualquiera cualquiera de las otras 39 puesto
que tengo 12 figuras pues tengo para cada figura colocada en segundo lugar
tengo 39 parejas, por lo tanto son 39 por 12, esos serían los casos
favorables y los casos posibles el número de parejas exacto, sin
reemplazamiento pues son 40 por 39 ¿eh? Por lo tanto simplificando sería
12 partido por 40 mientras que P de B condicionado por A, es decir la
probabilidad de que la segunda sea figura si lo ha sido la primera si la
primera ha sido figura para la segunda ya me quedan solamente 11 figuras y
39 cartas, luego los casos favorables serían 11 y los casos posibles 39,
por lo tanto son distintos P de B y P de B condicionado por A, por lo tanto
P de A intersección B que sería P de A por P de B condicionado por A
sería 12 partido por 40 por 11 partido por 39 Bien, esta fórmula de la
probabilidad de la intersección también la podemos generalizar a tres
sucesos y deduciríamos de la fórmula para dos sucesos deducimos esta
aplicando la asociativa y probabilidad de A intersección B intersección C
sería la probabilidad del primero por la probabilidad del segundo
condicionado por el primero, por la probabilidad del tercero condicionado
por la intersección de los dos anteriores Bueno, aquí tenemos hecha una
comprobación eh y también se puede generalizar a N sucesos a la
intersección de N sucesos y bueno, y quedaría esto de aquí, que la
probabilidad de la intersección de N sucesos es la probabilidad del
primero por la probabilidad del segundo condicionado por el anterior, por
la probabilidad del tercero condicionado por la intersección de los dos
anteriores ponería así ligeramente hasta el último la probabilidad del
último condicionado por la intersección de todos los anteriores Bien
vamos a ver un par de teoremas, primero el teorema de la probabilidad total
que consiste en lo siguiente supongamos que tenemos N sucesos a sub 1, a
sub 2, etc, a sub 3 a sub N que sean incompatibles dos a dos de forma que
su unión sea el espacio muestral aquí tenemos una representación yo
tengo aquí un espacio muestral y tengo representado con bandas los sucesos
a sub 1, a sub 2, etc hasta a sub N son incompatibles dos a dos y la unión
es el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera tenemos representado no
valor bueno, pues entonces se cumple esta fórmula de aquí es decir que la
probabilidad de ese suceso B es igual a la probabilidad de a sub 1 por la
probabilidad de B condicionado por a sub 1 más la probabilidad de a sub 2
por la probabilidad de B condicionado por a sub 2, etc más la probabilidad
de a sub N por la probabilidad de B condicionado por a sub N prueba muy
sencilla desde luego se observa que el suceso B es la unión de sucesos
incompatibles que son las intersecciones de B con cada uno de los a sub i B
es la unión de a sub 1 intersección B con a sub 2 intersección B, etc
con a sub N intersección B que son sucesos incompatibles luego la
probabilidad de B será la suma de esas probabilidades de las
intersecciones la probabilidad de B intersección aplicamos la fórmula
anterior la intersección de a sub 1 intersección B su probabilidad sería
la probabilidad de a sub 1 por la probabilidad de B condicionado por a sub
1 más la otra la probabilidad de a sub 2 por la probabilidad de B
condicionado por a sub 2, etc y hasta el final que es la fórmula de la
propiedad total bueno, por ejemplo en una urna tenemos 3 bolas rojas y 2
negras tenemos el dibujo entonces sacamos una bola de 1 y la pasamos a V y
luego he hecho este experimento sacamos una bola de V ¿cuál es la
probabilidad de que esta segunda bola sea roja? bueno, pues claro aquí
depende porque podemos haber pasado una bola roja o podemos haber pasado
una bola negra entonces si consideramos los sucesos que a sub 1 la bola
pasada de 1 a V es roja y a sub 2 la bola pasada de 1 a V es negra es
decir, evidentemente o ocurre a sub 1 o ocurre a sub 2 y ahora se ve la
bola extraída de V es roja que es la probabilidad que queremos calcular
claro, pues porque a sub 1 y a sub 2 claramente son incompatibles y además
a sub 1 unión a sub 2 es el suceso seguro o paso una bola roja o paso una
bola negra es decir el esquema es ese que vemos aquí es el mismo que
tenemos que identificar por tanto tenemos que aplicar el problema de la
probabilidad total sería la probabilidad de a sub 1 por la probabilidad de
V adquirida por a sub 1 más la probabilidad de a sub 2 por la de B
adquirida por a sub 2 que todas estas las conocemos la probabilidad de a
sub 1 que sería sacar bola roja o sea, pasar una bola roja por tanto,
tengo tres tengo, o sea, tres bolas rojas de cinco que hay, pues la
probabilidad de elegir bola roja sería tres quintos y luego la
probabilidad de sacar bola roja o sea, probabilidad de B, cuando diga bola
sub 1 la probabilidad de sacar bola roja de V habiendo pasado una bola roja
claro, si he pasado una bola roja ya tengo seis bolas rojas y en total
tengo diez, claro un total de diez por tanto, en este caso la probabilidad
de B cuando diga bola sub 1 sería seis partido por diez más la
probabilidad de A sub 2, que sería la probabilidad de pasar una bola
negra, que serían dos quintos, por la probabilidad de sacar bola roja si
he pasado bola negra claro, sí, sí si he pasado una bola negra, tengo
tengo diez bolas, pero ahora solo tengo cinco rojas, bueno, sería cinco
partido por diez es decir, que en calcular eso 0,56, el teorema de la
probabilidad total y una bueno, la consecuencia es lo que se conoce como la
fórmula de Bayer con las mismas hipótesis del teorema anterior pues se
tiene esta fórmula es decir, que si despejamos, bueno ahora lo veremos
como tenemos P de A sub B como cual condicionado por B es igual a P de A
sub I por P de B condicionado por A sub I y partido por la suma de la
probabilidad total, que esto aquí abajo el denominador este es la
probabilidad de B bueno, esto es indirecto, es decir, que P de A sub I
condicionado por B por definición, es P de A sub I intersección B partido
por P de B y P de A sub I intersección B es P de A sub I pues P de B
condicionado por A sub I y P de B obtenemos de la fórmula de la
probabilidad total y ya aquí obtenemos la fórmula de varios a P de A sub
I condicionado por B se le suele llamar la probabilidad a posteriori y P de
A sub I se llama la probabilidad a priori y P de B condicionado por A sub I
se le suele llamar la verosimilitud vamos a ver un ejemplo bueno, pues en
el ejemplo anterior supongamos que se ha extraído la bola de V y ha
resultado ser roja pero no hemos visto qué bola se pasó de U o sea, de la
U sino que solamente vemos el resultado final hemos visto que la bola ha
resultado ser roja entonces, ¿cuál sería la probabilidad de haber pasado
una bola roja de U a V? pues justamente este es lo que tenemos que calcular
es cuál es la probabilidad de haber pasado una bola de U a V viendo el
resultado que es que la bola extraída roja desde que aquí tenemos que
calcular la probabilidad de A sub I es pasar una bola roja de U a V a
condición de que la bola extraída es una bola roja que es B la bola
extraída es una bola roja por tanto, esta es la probabilidad que hay que
calcular P de A sub I condicionado por B bueno, P de A sub I condicionado
por B pues eso sería P de A sub I por P de B condicionado por A sub I que
es la probabilidad de la intersección de A sub I y de B partido por la
probabilidad de B que tenemos calculada por el tema del anterior ejemplo de
la probabilidad de un plano bueno, esto es todo bien, pues este es el tema
el contenido teórico del tema y entonces vamos a ver algunos ejercicios de
exámenes extraídos de exámenes un poco para ver el nivel de problemas en
el examen el examen consta de una serie de preguntas de tipo test con
cuatro respuestas de las cuales hay una posible y después hay unos
problemas entonces a veces aparecen bueno, siempre aparecen cuestiones de
probabilidad claro, y generalmente también aparecen algunos problemas
bien, vamos a ver este primer ejercicio un grupo de ocho compañeros de
trabajo formado por cuatro mujeres y cuatro hombres se divide en dos grupos
de cuatro personas ¿cuál es la probabilidad de que cada grupo tenga el
mismo número de hombres que de mujeres? bueno, este ejercicio lo vamos a
hacer puesto que elegir cuatro personas son todas cualquiera de ellas puede
salir con la misma probabilidad son sucesos equiprobables aquí vamos a
aplicar la fórmula de Laplace entonces vamos a ver cuántos casos posibles
tenemos y cuántos casos favorables puesto que se trata de formar un grupo
de cuatro personas de las ocho que tenemos tenemos cuatro mujeres y cuatro
hombres los casos posibles serán las combinaciones de ocho elementos de
orden cuatro o sea, ocho sobre cuatro lo que se calcula es igual a setenta
mientras que los casos favorables es de que haya en el grupo de cuatro
personas el mismo número de hombres que hay dos hombres y dos mujeres para
formar un grupo con dos hombres y dos mujeres, debo elegir dos hombres de
los cuatro que hay y dos mujeres de las cuatro que hay ¿de cuántas formas
puedo elegir dos hombres de los cuatro que hay? pues cuatro sobre dos ¿de
cuántas formas puedo elegir dos mujeres de las cuatro que hay? pues cuatro
sobre dos también entonces el total de casos favorables sería cuatro
sobre dos multiplicado por cuatro sobre dos se calcula y son treinta y seis
por tanto la probabilidad sería en treinta y seis partido por setenta que
ha calculado aproximadamente serían cero coma cincuenta y uno cuarenta y
tres y bueno, pues eh... en principio aquí no hay ninguna que coincida
porque claro, el cero coma cincuenta es muy muy demasiado aproximado aquí
es cincuenta y uno si nosotros lo creamos a dos cifras pues es cincuenta y
uno y quizás aquí ya sabrían que responder ninguna de las anteriores
bien, vamos a ver otro ejercicio dos votantes, Juana y Pedro pueden optar
entre las alternativas X o Y o bien votar en blanco o bien abstenerse cada
uno de ellos puede emitir cuatro cuatro tipos de votos o vota X o vota Y o
vota en blanco o se abstiene entonces, ¿cuál es la probabilidad de que se
produzca un empate? es decir, que las opiniones... que las... un empate es
decir, que las opciones X e Y tengan el mismo número de votos bueno, el
mismo número de votos... votan dos personas pues puede ser un voto o
ninguno entonces, vamos a ver ¿cuántos son los casos posibles? puesto que
elegimos dos vamos a suponer o sea, vamos a poner letras pongamos X, Y, A y
B las dos posibilidades votar X, votar Y votar abstenerse y votar en blanco
bueno, pues entonces puesto que son dos resultados porque hay dos personas
las que votan pues de esas cuatro letras tenemos que elegir dos que
evidentemente se pueden repetir puesto que pueden votar lo mismo ambos y
evidentemente son distintos según el orden no es lo mismo que Juana vote X
y Pedro vote Y que al revés por lo tanto el total de casos posibles
serían las variaciones con repetición de los cuatro letras que tenemos de
orden dos variaciones con repetición de cuatro de orden dos que son cuatro
cuadrados que son dieciséis mientras que los casos favorables es decir los
resultados de la votación en los cuales hay empate es decir, hay empate en
cuanto al número de votos pues serían X, Y cada partido va a obtener X,
Y, A y B en un voto o sea que digamos Juana vota X y Pedro vota Y ¿no? o
al revés Juana vota Y y Pedro vota X hay empate de votos los dos se
abstienen evidentemente los partidos empatan a votos no sacan ninguno claro
eh o bien los dos votan en blanco los partidos empatan claro no sacan
ningún voto o bien uno se abstiene y el otro vota en blanco o viceversa
estos serían los casos favorables a la pregunta que se nos hace ¿no? que
son seis por lo tanto la probabilidad sería seis partidos propici que son
tres octavos bueno y ese sí aquí lo tenemos eh sería el apartado C bien
vamos a ver otro otro ejemplo ¿no? dados los sucesos A y B tales que A sea
distinto de B y P de A menor que P de B bueno se verifica aquí hay tres
opciones o ninguna de las anteriores aquí tenemos que con esas hipótesis
P de A condicionado por B seguro que es mayor que P de A o P de A
condicionado por B es igual a P de A o P de A condicionado por B es
distinto de cero o ninguna de las anteriores bueno pues en fin aquí pues
he encontrado un ejemplo se trata de buscar eh pensar un poquito de
ejemplos ¿no? entonces si lanzamos un dado equilibrado vamos a suponer que
sea el suceso obtener uno y sea B el suceso obtener dos o tres entonces eh
la probabilidad de A condicionado por B que sería la probabilidad de A
intersección B partido por la probabilidad de B la probabilidad de B es
distinta de cero pues es cero porque la porque A y B son incompatibles por
lo tanto A intersección B es imposible B es cero y la probabilidad de A es
un sexto es obtener uno es un sexto el dado es equilibrado por tanto no se
cumple que PDA condicionado por B sea mayor que PDA puesto que PDA
condicionado por B es cero y PDA es un sexto no se cumple que PDA eh
condicionado por B sea igual a PDA uno vale cero y otro vale un sexto y no
se cumple que PDA condicionado por B sea distinto de cero es cero es decir
que hemos encontrado un ejemplo que no se cumple ni A ni B y C por tanto
pues la respuesta es D una de las anteriores bien eh veamos otro ejemplo se
toman al azar tres puntos en el intervalo cero uno la probabilidad de que
el el punto que caiga más lejos del origen esté a la derecha de cero coma
seis es bueno aquí tres resultados o ninguna de las anteriores bueno desde
luego si dividimos el intervalo unidad por punto cero coma seis tenemos dos
subintervalos uno que mide cero coma seis y el otro que mide cero coma
cuatro entonces la probabilidad de que los tres números eh que son sucesos
independientes yo elijo marco un número o marco un punto marco otro punto
y marco otro punto por lo tanto la probabilidad de que los tres sean
menores o iguales que cero coma seis la probabilidad de que uno eh de que
uno sea menor que cero coma seis menor o igual incluso que cero coma seis
es que caiga en el intervalo que mide cero coma seis y no en el que mide
cero coma cuatro luego la probabilidad de que caiga en el intervalo que
mide cero coma seis más grande claro pues será cero coma seis por tanto
la probabilidad de que por lo menos uno sea mayor que cero coma seis es que
por lo menos uno no caiga en ese intervalo del cero cero coma seis que
caiga fuera eso es el suceso contrario a que los tres eh sean menores que
cero coma seis por tanto la probabilidad de que por lo menos uno sea mayor
que cero coma seis sería uno menos cero coma seis del cubo que es cero
coma setenta y ocho cuatro lo podemos sumar a la probabilidad de que sea
mayor que cero coma seis de que el cero coma seis sea menor del cero coma
seis se mide cero coma seis es decir que cero coma seis va a ser el primer
autobús que pasa, ¿cuál es la probabilidad de que visite la empresa A?
Bueno, vamos a ver, o sea que, desde luego, de una hora, solamente si
llega, por ejemplo, tenemos a las 12, ¿no? Desde las 12 a las 12 y cuarto
es el único tiempo en el que puede coger el autobús A. El autobús A pasa
a las horas exactas más un cuarto de hora, pasa a las 12 y cuarto. Pero,
¿y el autobús B? O sea, perdón, perdón, el autobús A pasa a las horas
exactas, ¿no? Y el autobús B pasa a las horas exactas más un cuarto.
Entonces, claro, es mucho más probable que coja el autobús A, puesto que
tiene desde las 12 y cuarto hasta la 1, tiene tres cuartos de hora para
coger el autobús B. Pero si llega a las 12 y cuarto y un instante, el
autobús A ya se ha ido, ¿eh? Entonces, a ver, espérate que no me líe
yo. Es decir, que el autobús A es a las horas exactas, ¿cierto? Y el
autobús B a las horas y cuarto. Es decir, por lo tanto, si llega desde una
hora exacta hasta la hora y cuarto, ahí es cuando coge el autobús A. Y si
llega desde la hora y cuarto, ay, perdón, perdón, vamos a ver, si llega
el autobús A, llega a las 12. Y si no lo coge, se va. Entonces, si él
llega a las 12 y un segundo, no coge el autobús A. Luego tiene que
esperarse hasta las 12 y cuarto, que es el autobús B. O sea, que tiene un
cuarto de hora para coger el autobús B. Ahora, si llega a las 12 y cuarto
y un segundo, pues ya no coge el autobús B, se ha ido. Entonces, le toca
esperarse tres cuartos de hora hasta el autobús A. Por lo tanto, es mucho
más probable que coja el autobús, ¿eh? O sea, el autobús que pasa a las
horas en punto, ¿eh? Bien. Por lo tanto, son tres cuartos de hora la
probabilidad de... O sea, tres cuartos de hora frente a un cuarto de hora.
O sea, que serían 0.75 es la probabilidad de que coja el autobús A. Bien.
Otro ejercicio, ¿no? Dados los sucesos A y B, tal es que A sea distinto de
B, P de A mayor que un medio y P de B mayor que un medio, bueno, pues aquí
hay cuatro opciones, bueno, tres opciones y una de las anteriores. P de A
condicionado por B es igual a un medio, P de A condicionado por B es mayor
que un medio o P de A condicionado por B es menor que un medio o ninguna de
las anteriores. Bueno, aquí tenemos un ejemplo también que contradice, o
sea, no es ni A ni B ni C y es el siguiente, ¿no? Tenemos una...
extraemos. Una bola de una urna que contiene siete bolas idénticas
numeradas del 1 al 7. Entonces, considero el suceso A 1, 2, 3, 4. Entonces,
si B es 4, 5, 6, 7, la probabilidad de A condicionado por B... Es decir,
sí. ¿Cuál es la probabilidad de que salga A si ha salido B? Si ha salido
B, ha salido un 4, un 5, un 6, 7. El único elemento que pertenece a A es
el 4. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra A habiendo salido B... Es
un cuarto, porque el 4 es el único que puede... que es de A. Por lo tanto,
un cuarto es un cuarto que es menor que un medio. Ahora, si B fuese 3, 4, 5
y 6, en ese caso la probabilidad de A condicionado por B ya sería dos
cuartos, ¿no? Puesto que hay dos elementos de B que pertenecen a A. Por lo
tanto, la probabilidad de A con el valor de B sería un medio. O si B
sería 2, 3, 4 y 5, la probabilidad de A con el valor de B sería, en este
caso, tres cuartos, que es mayor que un medio. Claro, en estos tres
ejemplos, podríamos decir, hay versos distintos y ambos PBA es mayor que
un medio y PDA es mayor que un medio. En los tres ejemplos, ¿no? Entonces
se cumple el enunciado y desde luego ni el resultado es un medio, ni es
mayor que un medio, ni es mayor que un medio siempre, ¿no? Que puede ser,
depende del ejemplo, por lo tanto la respuesta es la B. Bien, vamos a ver
otro. Por ejemplo, otro ejercicio, ¿no? Dados los dos sucesos
independientes A y B, se verifica que la probabilidad de la unión es la
suma de las probabilidades. Habla de independientes, ¿eh? La probabilidad
de A menos B es PDA menos PDB. La probabilidad de la unión P de un B es P
de A, o sea, es P de A menos B por ninguna de las anteriores. Bueno, pues
también analizamos un ejemplo, ¿no? Si tenemos una bolsa con cuatro bolas
numeradas del 1 al 4, extraemos... Si extraemos una bola al azar, entonces
A, por ejemplo, obtener número par. Y sea B, obtener un número mayor que
2. Bueno, desde luego, ahí B son independientes. Es decir, que P de A
condicionado por B, si por ejemplo se ha ocurrido B, es decir, ahora se ha
obtenido un número mayor que 2, por tanto, han salido el 3 o el 4, ¿cuál
es la probabilidad de obtener un número par? Pues, pues como números
pares. Los números pares del 1 al 4 están en el 3 y el 4 y si el número
que se ha obtenido es mayor, bueno, es un número mayor que 2, por tanto,
el 3 o el 4, solamente hay una posibilidad, sería uno de dos. Por tanto,
sería un medio, ¿eh? Mientras que la probabilidad de A sin ninguna
condición, puesto que números pares hay dos, desde el 1 al 4 hay dos, dos
de cuatro, pues también sería un medio la probabilidad. Por tanto, A y B
son independientes. Entonces, son independientes, como indica el enunciado,
y sin embargo no se cumple ni A ni B ni C. Es decir, que la probabilidad de
la unión de A con B no es la suma de las probabilidades, eso se puede
comprobar, la probabilidad de A menos B no es P de A menos T de B, y la
probabilidad de la unión tampoco es P de A menos B. Bien, otro ejemplo,
entre todos los posibles números de siete cifras, formados con los
dígitos del 1 al 7, en los que cada dígito figura una única vez, y no se
repite ninguno, se elige un número a la zaga. La probabilidad de que sea
múltiplo de cuatro será... Bueno, vamos a ver, ¿cuántos números de
siete cifras podemos escribir con los dígitos del 1 al 7? Bueno, pues se
trata de escribirlos... En todos los órdenes posibles, sin repetir
ninguno, es decir, que serían siete factorial. Aquí tendríamos los casos
posibles, son siete factorial. Mientras que, vamos a ver, ¿cuántos
números de todos estos serían múltiplos de cuatro? Claro, para ser un
número, para ser un múltiplo de cuatro, tiene que terminar en... O sea,
sus dos últimas cifras tienen que formar un número múltiplo de cuatro.
Entonces, las dos últimas cifras, trabajando con números del 1 al 7, para
que sean múltiplo de cuatro, pues tiene que terminar en doce o dieciséis.
Por ejemplo, el siguiente múltiplo de cuatro sería veinte, pero claro,
veinte no puede estar porque cero no está, ¿no? Veinticuatro. Luego el
siguiente sería veintiocho, pero veintiocho no puede ser porque el ocho no
está. Luego sería treinta y dos, treinta y seis... Lo mismo que el
cuarenta tampoco puede estar. El cuarenta y cuatro tampoco porque no se
puede repetir. El cuarenta y ocho tampoco porque el ocho no está. Luego
pasaríamos a los cincuenta y dos, cincuenta y seis... Etcétera, sesenta y
cuatro... Setenta y dos, setenta y seis... Son estos... No es que son diez,
¿eh? Tenemos diez terminaciones de dos cifras que son múltiplos de
cuatro. Claro, si coloco, puesto que hay siete, si coloco un doce, por
ejemplo, una terminación doce, delante van cinco números, los cinco que
quedan, que van de todas las formas posibles. O sea, van cinco factorial.
Se pueden permutar de todas las formas posibles. Luego, diez multiplicado
por cinco factorial serían los casos favorables. Por tanto, dividimos,
¿no?, dividimos, o sea, la probabilidad sería diez por cinco factorial
partido por siete factorial. Simplificamos el cinco factorial y nos
quedaría diez partido por treinta y cinco, y simplificamos, ¿eh? A ver,
diez... Perdón, diez partido por cuarenta y dos y simplificamos y nos
quedaría cinco partido por veintiuno, ¿eh? Bien. Bueno, bien, aquí
tenemos un problema, ¿eh? Cuatro personas, Alicia, Blanca, Carlos y David,
¿no?, sacan sucesivamente, empezando por Alicia, una carta de una baraja,
devolviéndola después de ver de qué paro es. El primero que saque un oro
es el que gana. ¿Cuáles son las probabilidades de que cada uno de ellos
tiene de ganar la partida? Bueno, pues llamamos a B, C y D los sucesos
ganar a Alicia. Blanca, Carlos y David, efectivamente. Entonces, en la
primera ronda empieza, empezamos, ¿eh?, en ese orden, empieza por Alicia,
¿no? En la primera ronda puede ganar Alicia con probabilidad un cuarto,
puesto que hay cuatro palos, ¿no? Entonces, la probabilidad de sacar un
mal de oros es un cuarto, ¿no? Bien, en ese caso el juego termina si gana
Alicia, pero si no gana ninguno de los cuatro, Alicia puede ganar en la
segunda ronda. Claro, ¿cuál es la probabilidad entonces de que Alicia
gane en la segunda ronda? Pues, claro, todos han fallado, los cuatro han
fallado, ¿cuál es la probabilidad de que fallen los cuatro? Pues la
probabilidad de que falle Alicia serían tres cuartos, ¿eh?, o sea, que
saque otro palo que no sea oro, ¿no?, tres cuartos. Luego, de que falle
Blanca, de que falle Carlos y de que falle David, de que falle tres
cuartos, se devalúa cuatro, ¿eh?, es la probabilidad de que fallen los
cuatro, y luego acierta Alicia, por lo tanto, un cuarto, por lo tanto, esta
sería la probabilidad de que gane Alicia en la segunda ronda, ¿bueno?, y
así sucesivamente. Es decir, que la probabilidad de que gane Alicia, gana
o en la primera, o en la segunda, o en la tercera, claro, si van fallando
los demás, ¿no?, sería un cuarto más, ¿eh? Por si no gana en la
primera, o gana en la segunda, o gana en la tercera, etc., ¿no? Por eso
vamos sumando, ¿no?, como sería esto de aquí, es decir, hasta aquí, es
decir, que sería un cuarto más tres cuartos elevado a cuatro por un
cuarto, más tres cuartos elevado a ocho por un cuarto, más tres cuartos
elevado a doce, ¿eh?, por un cuarto, etc., hasta el infinito. De aquí
extraemos un cuarto, factor común, y lo que nos queda aquí entre
paréntesis es la suma de una serie geométrica, ¿eh?, que, de cuya razón
es tres cuartos elevado a cuatro, ¿no?, porque cada término se obtiene
multiplicando el anterior con tres cuartos, elevado a cuatro, por tanto,
aplicamos la fórmula de suma términos ilimitados de una progresión
geométrica de razón tres cuartos elevado a cuatro, que es menos que uno,
claro. Por tanto, esto sería un cuarto, uno partido por uno menos tres
cuartos elevado a cuatro, bueno, simplificamos y sale 64 partido por ciento
setenta y cinco. Bueno, de forma muy partida, pues se calculan las
probabilidades de B, o de C, o de B, ¿no?, por ejemplo, en el caso de B,
pues, claro, para que planteemos, por ejemplo, que el valor de B, aunque
acierte a la primera, tiene que haber fallado Alicia en la primera jugada,
¿no?, por tanto, sería tres cuartos por un cuarto. Y, bueno, vamos
obteniendo, en realidad, lo mismo que antes, pero todo multiplicado por
tres cuartos, todo multiplicado por tres cuartos, es decir, que sacamos de
tres cuartos por un cuarto el factor común, bueno, nos queda lo mismo de
antes, pero multiplicado por tres cuartos. En el caso de C, va a salir
también todo igual que antes, pero multiplicado por tres cuartos al
cuadrado. El resultado, pues, sería este. Y en el caso final, o sea, de
que gane David, pues sería todo multiplicado por tres cuartos al cubo. Y
este sería el resultado. Bien, este es un problema ya no era el tipo
cuestión, ¿eh?, con cuatro posibles respuestas. Bueno, y aquí tenemos el
último ejercicio. Los señores ahí ven, juegan alternativamente con un
par de dados perfectos e indistinguibles. Entonces, A gana si consigue seis
puntos antes de que B obtenga siete, ¿eh?, lanzando dos dados. Y B gana si
saca siete puntos antes de que A tenga seis. Bueno, si A comienza el juego,
¿cuál es su probabilidad de ganar? Bueno, pues vamos a ver los casos
posibles y los casos favorables también. O sea, que aquí al lanzar dos
dados, el número de casos posibles son treinta y seis. Y el número de
casos favorables de obtener seis puntos es cinco. Ponemos, o sea, que
sacamos de los dos lados para obtener un seis sería un cinco, un dos y un
cuatro, etc. Bueno, cortamos y son seis, o sea, cinco posibilidades. Luego,
entonces, la probabilidad de obtener seis puntos sería cinco treinta y
seis dados. Y la verdad, obtener seis puntos, claro, el suceso contrario
sería treinta y uno, treinta y seis. Entonces, el número de casos
favorables de obtener siete puntos es seis, ¿eh? Calculamos, o sea, un uno
y un seis, un dos y un cinco, etc. Y son seis posibilidades. Luego, la
probabilidad de obtener siete. Si obtener siete puntos es seis, porque por
treinta y seis que es un sexto. Y la de no obtener siete puntos, pues el
suceso contrario sería cinco sextos. Bien. Por lo tanto, tendríamos
probabilidad de que gane la primera vez que juega, pues cinco treinta y
seis dados. Probabilidad de que gane la segunda vez que juega, bueno, pues
tiene que haber fallado el señor A, el señor B, y luego acierta el señor
A. ¿Qué sería? Treinta y un treinta y seis, digamos, por cinco sextos,
por cinco. Treinta y seis ya. Probabilidad de que gane la tercera vez que
juega, pues otra vez hay que, o sea, sería treinta y un treinta y seis
dados, por cinco sextos, por treinta y un treinta y seis dados, por cinco
sextos y por cinco treinta y seis dados. Es decir, que es la tercera vez
que juega porque otra vez falla, ¿eh? Tiene que fallar. Y tiene que fallar
el A y tiene que fallar el B, ¿no? Por lo tanto, sería treinta y un
treinta y seis dados por cinco sextos al cuadrado multiplicado por cinco
treinta y seis dados. Bueno, y así sucesivamente. Entonces, la
probabilidad de que gane A la enésima vez que juega sería treinta y un
treinta y seis dados por cinco sextos elevado a N menos uno multiplicado
por cinco treinta y seis dados. Por tanto, la probabilidad de A sería la
suma, ¿eh? Desde el igual a uno hasta infinito de esta serie, que también
es una serie geométrica, ¿eh? Y tenemos... Sacamos el cinco treinta y
seis dados, saldría factor común, pues sería uno partido por uno menos
la razón. Es treinta y un treinta y seis dados por cinco sextos, bueno,
significamos treinta y sesenta y un avos. Bien, este sería el tema, ¿eh?
Hemos hecho una introducción teórica y hemos hecho diez ejemplos.