Vale, no sé a qué botón le he dado y se me ha cortado la grabación.
Bueno, pues ya estoy grabando otra vez. Quería decir que, eso estaba
diciendo, que si te dan un movimiento armónico simple, como una función
matemática x de t, en el caso en que la amplitud que te dan, el número
para la amplitud y el número para el desfasaje, no se correspondan con una
posición x0 y v0 inicial, eso será una función matemática que no se
puede implementar en un laboratorio. ¿Se me entiende lo que quiero decir?
Es fundamental para que el movimiento armónico simple sea un problema
físico, que la amplitud y el desfasaje matemático tengan que ver con la
posición y la velocidad inicial, que son las medidas iniciales a partir de
las cuales el sistema físico se puede mover. Pensad en un péndulo. Si yo
cojo un péndulo y no le doy una posición inicial, aunque lo suelte con
velocidad inicial 0, si no le doy un ángulo inicial de giro, es imposible
que el péndulo oscile. ¿Se entiende lo que quiero decir? Y, desde un
punto de vista matemático, uno entiende que yo me puedo inventar todas las
funciones que me dé la gana de este tipo y como siempre, siempre hay más
soluciones matemáticas que soluciones físicas. ¿Vale? Pues ese es el
sentido de esta pregunta. Es el ejemplo puesto de más un ejemplo físico.
Derotinio dice que... Eso no está relacionado con la resolución de la
EDO. Sí, para resolver la ecuación diferencial yo necesito resolver una
ecuación diferencial si es de primer orden con una constante de
integración y si es de segundo orden con dos. Pero es algo más que la
ecuación diferencial, es que el movimiento yo no lo puedo implementar en
el laboratorio si no tengo unas condiciones iniciales. Que las condiciones
iniciales no son el resultado de la teoría de las ecuaciones
diferenciales, es al revés, a las constantes que obtenemos por
integración de las ecuaciones diferenciales se les asocia un sentido
físico que es la realización del experimento. Observación, ¿se entiende
lo que quiero decir? Pensar un péndulo, si tú no separas un cierto
ángulo, 20 agro, 15 grados, un cierto ángulo inicial el péndulo no se
mueva. Bueno, no sólo que x sub 0 y v sub 0 no sean complejas, eso no
serían soluciones, perfecto. Tienen que ser reales, pero además de ser
reales que la amplitud que pongas aquí y el delta que pongas aquí cumplan
estas ecuaciones. ¿Se entiende? Eso se traduce en que yo puedo ir al
laboratorio y doy una delta y un x0 y tendré una amplitud y un delta.
Matemáticamente esto no es muy importante, físicamente es muy importante.
Bien, entonces para hacer este problema, para contestar a esta pregunta,
pues lo que se me ha ocurrido hacer es coger estas ecuaciones y resolverlas
simbólicamente con matemática, usaríamos el solve con la letra
mayúscula. ¿Veis? estáis ahora con máxima, pues sería el solve y
paréntesis con letra minúscula, pues delta igual, igual, tangente del
argumento que me dan, coma, la amplitud, la función que me dan y digo que
las incógnitas son x0 y v0. Eso me da un conjunto de dos soluciones, un
conjunto de dos soluciones. Si ahora estas soluciones las reemplazo
matemáticamente por el pi sextos que me dan de fasaje pi sextos, amplitud
0.3, amplitud 0.3 para la frecuencia 2 radianes por segundo, veo que este
más solo será un más físico si x0 vale esto y v0 vale esto o x0 vale
esto y v0 vale esto. Y v0 vale esto. En cualquier otra situación,
cualquier otro valor que pongas de a y de delta, cualquier valor que pongas
de a y de delta que no sea alguna de estas dos soluciones, no sería una
solución física. A ver que dice Geklimen 13, pero hay soluciones que no
pueden existir físicamente. Correcto, Geklimen. Además de las soluciones
imaginarias, que sabemos que no pueden existir, hay otras soluciones reales
que no son realizables en el Masked Inventors con la función matemática
x. Justamente eso es lo que quería decir. Y este ejercicio te dice,
¿cómo te aseguras de eso? Pues viendo que se cumple esta propiedad, esta
solución. A ver, para amparar, ok, pues gente, podemos inventar varios
ejemplos, por ejemplo, que x0 fuera mayor que a, pues no, ¿de acuerdo? La
importancia de las condiciones iniciales y está muy bien la intervención
de un compañero, no recuerdo el nombre, porque muchas veces uno piensa que
las condiciones iniciales provienen de la resolución de las ecuaciones
diferenciales y no es así, las condiciones iniciales es la física del
problema, ¿de acuerdo? Pues seguimos, ¿alguna observación más? Muy
bien, pues el segundo problema trata de lo siguiente, nosotros, yo en estos
apuntes, el French usa otra anotación, he definido un más como a por
coseno de omega cero t más delta. Hay otros libros que en vez del coseno
ponen un seno y hay otros libros que ponen a coseno más b seno, una
combinación de coseno y seno. Entonces la idea es que cuando uses unos
apuntes... ...o un libro para estudiar el más, fíjate en la
normalización que se usa para definir al más, esto quiere decir la
normalización, en este caso la que yo he usado, y tienes que saber pasar
de tu normalización del más a cualquier otra expresión del más.
Entonces vamos a ver cómo se relaciona esta normalización con tres casos.
El primer caso es que tengas un coseno de coseno pero en vez de tener delta
tengas un desfasaje menos phi, en vez de mal delta menos phi. Otro tipo de
más podría ser, ya lo he dicho, f seno de omega cero t menos i. Y otros
más serían B coseno de omega cero t más C seno de omega cero t. En este
caso, en vez de tener como constantes a determinar la amplitud y el
desfasaje, tenemos dos amplitudes. Pues todos estos también son formas
matemáticas de expresar un más y vamos a ver cómo pasar de la
normalización que yo he dado en los apuntes míos a estas tres. Se
entiende que lo que vamos a observar son propiedades trigonométricas de
funciones. Muy bien, la primera es muy sencilla. X de t igual a D coseno de
omega cero t menos phi, pues si quiero pasar de aquí a aquí, pues
tendría que decir que D es igual a A y que menos phi es igual a delta.
Este caso sencillo no tiene problemas, ¿no? ¿Alguna observación o duda?
¿Vale? ¿Todo el mundo lo entiende? Perfecto, bien. Muy sencillo. El
siguiente caso es que me dan un más como un F seno de omega cero t menos
un desfasaje y quiero ver cómo se relaciona con mi normalización. A
coseno de omega cero t más delta. La clave está en la relación
trigonométrica para el coseno de un ángulo cualquiera, coseno de A es
seno de A más pi medio. Entonces si me das f seno de omega cero menos fi,
pues las amplitudes serán las mismas, f y a tienen que ser lo mismo y se
tiene que cumplir que seno de omega cero t menos i sea lo mismo que coseno
de omega cero t más delta. Eso implica que coseno de omega cero t más
delta lo pongo en función del seno y la solución es que el delta de la
normalización coseno es igual a menos el fi más pi medios. ¿Pregunta o
observación? ¿Alguna pregunta o observación? Muy bien, pues seguimos. El
tercer caso que es tener la superposición b coseno más c seno. Pues vamos
a pasar primero de... De esta a esta, porque de esta a esta ya sabemos
pasar, es la primera propiedad que he demostrado. Entonces de la relación
trigonométrica coseno de a menos b, coseno de a menos b igual a coseno de
a por coseno de b más seno de a por seno de b, se la vamos a aplicar a
esta definición del más. Entonces d por el coseno de omega cero t menos
fi será d por coseno coseno más seno seno. Y ahora exigimos que se
cumpla... Que se cumpla la identidad propuesta, o sea que esto, que es todo
esto, sea igual a esto e igualamos. Exigiendo que se cumpla la igualdad
propuesta, llegamos a esta relación, esta ecuación igualada a cero.
Bueno, pues si esta ecuación es igual a cero, en todo instante de tiempo,
lo será en particular en dos instantes de tiempo, en t igual a cero y t
igual a pi partido de 2 omega. La frecuencia en t igual a cero implica que
b es d coseno de fi y en t igual a 2 pi omega cero implica que c es igual a
d seno de fi. Luego, esta es la plantilla que nos pasa del seno coseno al
coseno. La amplitud d es la raíz cuadrada de la suma de amplitudes al
cuadrado y la tangente de fi es c partido por b. Un poquito de amplitud. Si
os da el algebrao, lo miráis con detalle, no tiene más dificultad que la
resolución de esta ecuación que se tiene que cumplir en todo instante de
tiempo. ¿Pregunta o observación? Vale, pues entonces nos quedaremos que
siempre que tenga yo, en algún libro, en algún ejercicio de problemas, un
movimiento armónico simple dado de esta manera, lo puedo pasar a la
normalización d coseno de esta manera. Y luego lo puedo pasar a la
normalización de coseno de esta manera. Y luego lo pasaré a mi
normalización, a la de los apuntes, si es lo que me interesa, haciendo que
d sea igual a a y menos fi igual a delta. A igual a delta valdrá esto,
delta igual a menos phi igual a menos tangente a la menos 1 de c partido
por 2. ¿Vale? Muy bien. Pues seguimos. Observar que en toda esta lección
va a ser muy importante, en todo este tema 1, en estas cuatro tutorías,
las relaciones trigonométricas. Pues en cualquier libro, relaciones
trigonométricas al canto y podéis usar para este tipo de trabajo, si
estáis con el ordenador y no queréis acercaros a buscar el libro. Pues
las relaciones de identidades trigonométricas de la Wikipedia, pues que
para estas cosas está muy bien. Aquí tal cual tomad la Wikipedia, aquí
la tenéis. Bien, pues podemos superponer en un mismo gráfico, aunque
aquí no se ve muy bien, pero en todos los libros está. La cinemática del
más, posición, velocidad y aceleración. Obtenemos estas tres curvas,
aquí en rojo para la posición, en azul para la velocidad y en verde para
la aceleración. Y se observa que las tres funciones, velocidad. Perdón,
posición, velocidad y aceleración cumplen esta relación y una relación
para los desfasajes y desfasajes de pi medios respecto, una respecto de
otra. Velocidad respecto a la posición pi medios, aceleración respecto a
la posición, perdona, respecto a la velocidad otros pi medios desfasados.
Vale. Hay una analogía muy importante entre la cinemática del MAS y la
dinámica del movimiento circular uniforme. Imaginaros que tenéis una
partícula M dando vueltas, voy a poner aquí, dando vueltas, la partícula
M da vueltas, ya voy a borrar porque me ha salido muy mal con este lápiz.
Bueno, pues aquí la tenéis, aquí está la partícula dando vueltas,
dando vueltas con velocidad constante. El ángulo de giro tecta de T será
velocidad angular W por el tiempo. De forma que si yo tomo las proyecciones
del vector que va de O a M, si tomo la proyección de este vector, la
proyección en el eje de las X es X de T y en el eje vertical será Y de T.
Aquí tengo que X de T es el OM, la proyección de OM que es R coseno de T.
Y aquí tengo que R coseno de T, que es el ángulo de tecta, donde el
ángulo tecta es omega T más delta. Pues entonces tendré R coseno de
omega T más delta, que es un movimiento armónico simple. Esto se llama
analogía entre la cinemática del MAS con el movimiento circular uniforme,
pero el movimiento circular uniforme nos da una representación geométrica
de la que haremos uso en la siguiente parte de la tutoría, que es que
observar que la X de T la puedo visualizar, un momento que he vuelto a
equivocarme de flecha, A ver si me permite coger la que yo quiero, un
segundo, a ver, ¿dónde estaba esto? Bueno, ahora no sé, la pinto aquí,
venga. Pues, que yo puedo visualizar x de t, el volante me está saliendo,
como una especie de vector con dos cabezas. A ver si puedo hacer el trazo
más fino, así, así, una x de t con un trazo, este trazo x de t, una
especie de fecha con, me voy a equivocar todas las veces del mundo, con dos
cabezas. Vale, que tonto que estoy, con mi izquierda y derecha, es este de
aquí. Bien, esta especie de vector con dos cabezas es la imagen
geométrica de una vibración, porque el x de t una vez está aquí, otra
vez está aquí. Una vez está aquí, otra vez está aquí. Lo mismo
podría hacer para el y de t. Entonces, una imagen clásica de una
vibración será un más x de t. donde la dirección del vector, esta
dirección va cambiando conforme cambia el periodo de la oscilación. Tener
en mente que esto es algo que se puede sacar de la analogía de la
cinemática del MAS con el movimiento circular uniforme. Bien, pues aquí
tenéis algunos paquetes en matemática que os podéis bajar donde un
sistema físico que es un muelle vertical hace la analogía con el
movimiento circular uniforme o un pistón en un fluido pues realiza un MAS,
analogía con un movimiento circular uniforme. Bien, pues vamos a entrar en
la representación de Fresnel y Fasores. La idea en la representación
llamada de Fresnel es asociar a este vector que va de O al punto P que
está dando vueltas que está aquí, que luego está aquí, que está dando
las vueltas, que está girando le vamos a dar una representación donde
quitamos la parte temporal porque la parte temporal siempre se repite como
los movimientos con velocidad angular constante se repite cada periodo. A
esa representación se le llama Fasores y consta de la amplitud del MAS y
del desfasaje. La representación de Fresnel o fasores es quedarte de todo
el vector giratorio que es función del tiempo, coordenadas x de t e y de
t, construyes un más que es el x de t o y de t y en el fasor no consideras
la evolución temporal y te quedas con la amplitud y el desfasaje. De forma
que simbólicamente podemos escribir el movimiento armónico simple como el
fasor por e elevado a i omega t. Aquí está la función exponencial
elevada a la variable compleja i por la frecuencia por el tiempo. Y a esto
alguien que ahora identificaremos en la siguiente transparencia, uno de los
físicos más notables de la segunda mitad del siglo XX, le llamó la
fórmula más importante en matemáticas. La fórmula más importante en
matemáticas aplicada a la física. Pues el... el físico que hizo ese
comentario, y aquí tenéis el comentario ampliado, fue Feynman en sus
famosas lecciones de física, tomo 1, en el capítulo 22. Pues aquí hace
un comentario, que os pongo, si tenéis a mano libre podéis echar un
vistazo, y en particular dice que esta relación, que es la relación de
Euler, es la fórmula más remarcable, más notable de todas las que pueda
haber en física, pues la fórmula más importante. Según él... De la
aplicación de las matemáticas en física. ¿Conocéis a Feynman? ¿Os
suena a Feynman? En el chat, Feynman. Y las lecciones de Feynman, vale.
Tenéis ahí la fuente si queréis consultarlo. Pues estamos viendo que
para poder construir los fasores en la representación de Fresnel, es
fundamental el uso de la relación ecuación débil. Bien, pues volvemos a
los fasores. En esta representación, e elevado a i0 es este fasor. E
elevado a ipi cuartos es este fasor. E elevado a ipi medios es este fasor.
Que además coincide con la representación del número complejo i. E
elevado a ipi es este fasor, que está en menos uno. Y elevado a i2pi
vuelve a ser uno. Y así sucesivamente. El tema de los fasores lo habéis
visto en alguna otra asignatura. A lo mejor no se os ha gustado. En primer
circuito si habéis visto algo de alterna. ¿Es la primera vez que hay
fasores? ¿Es la primera asignatura donde os hacéis el uso de fasores?
Vale, muy bien, no. Pues entonces, nos sirve de recordatorio. ¿De acuerdo?
Bien. Pues, tal como lo estamos viendo, vamos entonces a desarrollar la
idea de la trotrasparencia. Si yo tengo un vector a, con unas coordenadas x
e y. El vector a es el vector que empieza en o. y acaba en el punto P, es
el vector en coordenadas cartesianas, el punto que está dando vueltas es A
coseno seno, que es lo mismo que A coseno, el ángulo es omega t más el
desfasaje, omega t más el desfasaje. El más será la proyección en el
eje X o en las Y, consideramos la proyección en el eje de las X, este
será el más y en la representación del fasor de Fresnel, obviamos la
frecuencia y nos quedamos con un vector A que es la amplitud del más por
coseno de desfasaje, seno de desfasaje. De manera que en términos del
más, el fasor nos da X de cero. Y aplicando la relación de Euler, pues a
todo el vector lo puedo poner como A por elevado a Y tecta, que es módulo
de A por elevado a Y omega t más el... ...el desfasaje inicial, que es E
por Y elevado a omega t, factor común del módulo de A por E elevado a JE,
pero justamente esto es el fasor. Luego todo el vector rotatorio es el
fasor por la dependencia temporal en la frecuencia. De alguna manera, la
visualización entonces del más como un vector con dos cabezas, porque...
...en cierto periodo de tiempo cambia la dirección de la vibración. Ese
más lo escribimos así y se podría poner como la parte real de este
vector. La parte real de este vector, donde en este vector tiene una parte
que es el fasor, una parte que es la dependencia en la frecuencia y en el
tiempo, pues esa parte real es la que se identifica con el más. ¿Pregunta
o observación? Muy bien. Muy bien. Pues ahora es muy fácil entender que,
igual que estoy hablando de la representación de fasores, pues podemos
usar la representación en el plano de los números complejos y de las
funciones complejas. ¿Qué sentido físico tiene la parte imaginaria? En
principio ninguno. En principio la parte imaginaria no tiene, me pregunta
Totinio, la parte imaginaria no tiene significado físico, sino lo que
hacemos es trabajar con los números complejos y luego tomar partes reales,
para el problema de las vibraciones. Bien, pues si en vez de querer
trabajar con fasores queremos trabajar con funciones complejas, pues
podríamos hacer lo mismo, llamando z a la variable compleja y al trabajar
con funciones complejas, pues observar que para obtener la velocidad del
más hemos derivado el más respecto del tiempo. Si yo hiciera la derivada
de una función compleja, derivada de z respecto de t, siendo z esto,
obtendría esta expresión. Y usando que el número y en la unidad
imaginaria es elevado a y pi medios, pues la derivada de z respecto de t la
podría poner siempre de esta manera. Al ponerla de esta manera entiendo,
al hacer la derivada de x respecto de t, pues puedo asociar este signo
menos que me va a aparecer en la derivada de la posición respecto al
tiempo para obtener la velocidad del más con el valor de la exponencial
elevado a y pi medios. Y eso nos lleva a las siguientes reglas, que es que
si tenemos dos funciones complejas z1 y z2, z1, z2, dt, yo sé sumar y
restar esas funciones complejas, sé obtener la multiplicación de esas
funciones complejas en términos del siempre de la relación de Euler y sé
dividir esas funciones complejas. Pues el conocimiento que tenemos de
variable compleja se puede introducir en la representación de los
movimientos armónicos simples de la siguiente manera. Si tú tienes una
función compleja, escrita en términos de un fasor, daros cuenta que hasta
aquí es la función compleja. El fasor es quedarte con la parte de la
función compleja que no tiene la dependencia en el tiempo. Entonces, si yo
hago la derivada respecto del tiempo del fasor por la parte que depende del
tiempo, obtengo que esa operación de derivar la puedo visualizar en
términos algebraicos como que es multiplicar i veces por la frecuencia el
fasor por la dependencia en el tiempo. Y si en vez de derivar integro, si
integro diferencial de t del fasor por la parte de la exponencial que
depende del tiempo, en términos algebraicos integral es equivalente a
coger 1 partido Iw0 por el fasor por la función. Es decir, derivar
respectivamente. Respecto al tiempo, lo puedo ver en términos algebraicos
para funciones complejas como multiplicar por Iw0 la imagenaria e integrar
como multiplicar por la inversa de Iw0. Esto os debe de sonar que los
circuitos de alterna que hayáis visto en el primer cuatrimestre es lo que
se hacía, ¿no? Habéis resuelto circuitos de alterna en el primer
cuatrimestre en física o ahora en el segundo cuatrimestre. La parte de la
electricidad en magnetismo, no sé si en física 2 la tenéis ahora. Si no,
supongo que la veréis en bachillerato. ¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Seguimos?
¿No me contestáis? ¿Habéis usado fasores en circuitos? ¿En circuitos
de alterna? Algunos sí, otros no. Vale, pues uno podría pensar que toda
la representación de fasores con números complejos, la relación de
Euler, es algo como muy matemático y muy alejado de la realidad. En este
ejemplo intento visualizaros que no. Es un ejemplo que tiene que ver con la
corriente trifásica. La producción de corriente industrial se genera
mediante tres líneas, a eso se le llama línea trifásica, que en el
modelo más circuito de sencillo la podemos visualizar como tres
generadores independientes, V1, V2 y V3, donde cada uno aporta una
corriente, I1, I2 e I3. De donde se fabrica la luz sale la corriente, la
línea de transmisión trifásica. Pensad que hay una pequeña errata, veis
en el dibujo aquí pone I3 y debería llegar a una carga o resistencia, en
términos de ingeniería las resistencias se les llama cargas, aquí
debería de poner R3 y por donde va la 1 debería de poner I1. Cuando tenga
ese material, corregir la errata. ¿Por qué se le llama corriente
trifásica? Son generadores V1 y V2. están desfasados, entre ellos 120
grados. Por ejemplo, la primera fuente de voltaje es V0 coseno de omega T,
la segunda V2 igual a V0 coseno de omega T más 2 pi tercios y la tercera
coseno de omega T más 4 pi tercios, de forma que los voltajes están
desfasados 120 grados. Entonces, ¿cómo es la distribución de corrientes
I1, I2 y I3 que se genera? Pues aquí tenéis dibujados los fasores, el V1,
el V2 y el V3. Como hemos dibujado los fasores, se quita la dependencia en
el tiempo que para todos es la misma, la frecuencia de la red y la
dependencia en el tiempo. Entonces, si ahora aplicamos la ley de Ohm a este
punto, ¿qué pasa? Si ahora aplicamos la ley de Ohm a este circuito,
¿qué tendré? I1 es igual a V1 partido de R1, I2 es igual a V2 partido de
R2 e I3 es igual a V3 partido de R3. Para hacer el ejercicio mucho más
tremendamente sencillo, vamos a poner que las tres resistencias valgan lo
mismo. Entonces, I1 me queda esto, I2 me queda esto e I3 me queda esto.
Pero observad el circuito. Por aquí va la corriente I1, pasa por la carga
R1 y llega a este nudo. Por aquí va la 2, pasa por la carga 2 y llega a
este nudo. Por aquí va la 3, pasa por aquí y llega a este nudo. De forma
que las tres corrientes... A partir de este nudo se juntan en una sola I.
¿Qué ventaja tiene la trifásica en la producción industrial a esta
corriente I? Se le llama la corriente de retorno y es fundamental que su
valor sea próximo a cero porque significa ahorro en dinero, ahorro en
economía, ahorro en desgastes, toda la intensidad alimenta a las cargas, a
las resistencias que tiene que suministrar se desgastan en las resistencias
y la corriente de retorno que vuelve a la fábrica que sea cero o lo más
pequeña posible. ¿Se entiende el ejemplo y el concepto de corriente
trifásica? ¿Alguna pregunta o observación? Muy bien. Pues el siguiente
problema es el problema en la anotación para que nos salgaremos si tenéis
dudas en los foros, mis problemas, salvo error, sea problema, tutoría
virtual 1, problema 3. El PTV1-3 es el problema 1-1 propuesto en el French.
Dice, considerar un vector Z definido por la ecuación Z igual a Z1 por Z2
siendo Z1 el número complejo AB y Z2 el número complejo CD. A. Demostrar
que la longitud de Z es igual al producto de las longitudes Z1 y Z2. B.
Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z2, Z y X es la suma de
los ángulos que forman por separado Z1 y Z2 con X. Vamos allá. Z1 es el
número complejo de componentes AB, en términos cartesianos A más la
unidad imaginaria por B, pues Z2 es lo mismo. Si multiplico Z1 por Z2 es
multiplicar algebraicamente esto por esto y me da esta parte real y esta
parte imaginaria. Gráficamente, esto es Z1, esto es Z2 y Z1 por Z2 es este
vector con esta componente en el eje de las X y esta componente en el eje
de las Y. Si tengo que demostrar que la longitud de Z es igual al producto,
pues se trata de ver si el módulo de Z1 vale esto y el módulo de Z2 vale
esto. El módulo de Z1 por Z2, que es la raíz cuadrada de esta componente.
Más la raíz cuadrada de esta componente, ver qué relación hay. Pues
desarrollamos este módulo y me queda la raíz cuadrada de este término
por este término, que es justo lo que queríamos demostrar. Simplemente un
poco de manipulación de álgebra. ¿Alguna duda o problema? Se da ese
equilibrio cuando lo trabajéis. Observación. Bien, seguimos. Demostrar
que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la suma de los ángulos
que forman por separado C. Z1 y Z2 con X. Bien, el argumento de Z1 sería
Z1. El argumento de Z2... Sería tecta 2 y el argumento de z1 por z2 sería
z3. Pues si el módulo de z es el módulo de z1 por z2 y z es igual a z1
por z2, esto será z1 por elevado a i tecta 1 por z2 por i elevado a tecta
2. Agrupamos módulos y argumentos de la exponencial y esto nos queda z por
elevado a i tecta 3. De forma que tecta 3 es tecta 1 más tecta 2, que es
justo lo que queríamos demostrar. ¿Alguna pregunta o observación? Bien,
problema de la tutoría virtual 1.4 del French, a partir de la relación de
Euler, obtener la representación geométrica dadas en A, en B y en C.
Bien, pues la relación de Euler es una relación algebraica, elevado a i
tecta es coseno de tecta más i seno de tecta. Si ahora represento... Si
ahora represento geométricamente esta relación algebraica, me quedará
que elevado a i tecta es un vector de módulo 1 y de argumento con el eje
de las x, tecta. ¿Y quién es elevado a menos i tecta? Pues será el
coseno de menos tecta más i seno de menos tecta. Coseno de menos tecta es
coseno de tecta, seno de menos tecta es menos seno de tecta. Luego será...
Dado este vector, elevado a i tecta, este es el vector elevado a menos i
tecta porque tiene la parte coseno igual y el seno opuesto. ¿Preguntas?
Pues bien, si elevado a i tecta vale esto y elevado a menos i tecta vale
esto, sumando obtengo que el coseno de tecta es esta combinación lineal de
las exponenciales. Y si represento lo que he obtenido, pues aquí está
elevado a i tecta, aquí está elevado a menos i tecta y la suma de los
dos, la suma de este con este es este. Coseno de tecta como un medio de la
superposición. Bien, pues igual que he sumado para obtener el coseno,
puedo restar, con lo cual elimino el coseno y me queda seno de tecta igual
a 1 partido 2i por elevado a i tecta menos elevado a i tecta.
Geométricamente esto es elevado a i tecta, esto es elevado a menos i tecta
y menos elevado a menos i tecta es el vector opuesto de este. El vector
opuesto de este es este, con esta componente y con esta, pues la suma de
elevado a i tecta con elevado a menos i tecta, esa suma me da un vector en
el eje imaginario de los complejos o un vector en el eje j, cartesiano.
¿Preguntas? ¿Observaciones? Bien, el problema 1.5 de la tutoría que es
el problema 1 del French, 1.8, dice utilizando las representaciones
vectoriales de seno y coseno, comprobar estas identidades trigonométricas.
Pues vamos allá, la primera es que seno cuadrado detecta más coseno
cuadrado detecta es 1, pues seno cuadrado más coseno cuadrado es seno
detecta más y coseno por seno detecta menos y coseno. Seno a más b por a
menos b es a cuadrado más b cuadrado, pero ahora introducimos en el seno y
en el coseno las representaciones exponenciales y nos da igual a 1. Pues
para sacar b y c vamos a sacarlos al mismo tiempo usando esta relación, e
elevado a i tecta al cuadrado es e elevado a dos veces i tecta. Bien, si
eso es cierto. Lo vamos a tener en cuenta en el siguiente cálculo
algebraico. Coseno detecta más i seno detecta al cuadrado, sabemos que es
coseno de dos tecta más i seno de dos tecta. Y por otra parte, si yo este
cuadrado lo desarrollo me queda el cuadrado del primero menos el cuadrado
del segundo más dos veces el primero por el segundo. Y eso tiene que ser
igual a coseno de dos tecta más i seno de tecta, tiene que ser igual a
coseno de dos tecta más i seno de tecta. Pues ahora lo que hago es igualar
parte real con parte real. Y parte imaginaria con parte imaginaria. Eso me
da la resolución de las igualdades propuestas. ¿Alguna pregunta o
observación? ¿Pregunta o observación? Muy bien, pues seguimos. Problema
1.9 del FREZ modificado. ¿Estaría usted dispuesto a pagar 200 euros por
un objeto que ha sido valorado por un matemático con un valor de i elevado
y euros? Bueno, este problema es un problema un tanto curioso y me ha
motivado un par de transparencias o tres, quizás demasiadas, que ahora os
mostraré. Pensar que el FREZ es un libro publicado para los cursos del
Instituto Tecnológico de Massachusetts en los años 70, pues pensar que es
un problema propuesto en la física de 1970. Bien, para resolver el
problema, el problema de lo que se trata es que hay que ver i elevado a i
cuántos euros son. i elevado a i es i elevado a i, que i es elevado a i pi
medios, luego es e elevado a i pi medios, que a su vez está elevado a e
elevado a pi medios, que es multiplicar esto por esto. Por lo tanto, i
elevado a e elevado a pi medios es e elevado a menos pi medios, que es
0.21. Entonces el problema se trata, ¿De estaría usted dispuesto a pagar
200 euros por un objeto cuyo valor es de 0,2079 euros en los años 70? Pues
la contestación esperada es que no. ¿Quién va a pagar por algo que vale
200 euros? ¿Quién va a pagar 200 euros por algo que está valorado en
0,21 euros? Y digamos este tipo de preguntas caían fuera del marco de lo
que hoy en día sería la física. Pero hoy en día la física podría
contestar que un cierto colectivo de personas, subconjuntos de personas de
una sociedad serían capaces de pagar 200 euros por algo que valga 0,21 y
otro no. Esas ramas nuevas de la física capaz de contestar a ese tipo de
preguntas sobre elecciones digamos sociales de subconjuntos de la
población se llaman las preguntas de la sociedad. ¿Qué se llama
sociofísica y econofísica? ¿Habéis escuchado las palabras sociofísica
y econofísica? ¿Sociofísica y econofísica? Muy bien, algunos no y
alguien ha dicho que sí. Pues la sociofísica aquí tenéis por ejemplo
una copia del, creo que fue el primer congreso de sociofísica, primero el
segundo, ya ha corrido tiempo, el 26 y 21 de mayo de 2008, la sociofísica.
La sociofísica donde os define lo que es la sociofísica. Y la
econofísica, lo mismo pero para economía. Digamos que en los últimos 20
años se han generado unas nuevas ramas de la física que abordan a través
de modelos físicos problemas que antaño, antes del año 2000, estaban en
el ámbito de la sociología y la economía, sociofísica y econofísica.
Aquí tenéis, por ejemplo, algunas referencias. Un investigador y
posiblemente, digamos, uno de los fundadores, sino el fundador de la
sociofísica es Serge Galland, un físico francés. Aquí tenéis los que
creo que son los primeros proceedings de econofisis ante sociofísiques y
algunas de sus contribuciones. Y hay algo parecido, digamos que proviene de
la escuela alemana de física teórica, que es la sociodinámica, algo más
formal que la sociofísica. Bueno, pues no quiero perder más tiempo en
esto. Pero que sepáis que existe y que esa pregunta que nos ponía el
French de los años 70, pues hoy en día tendrían más de una
contestación posible. Asociado a la economía sociofísica, otra de las
grandes revoluciones que ha hecho introducirse a la física en problemas de
ámbitos que antes del año 2000 no eran físicos, es el concepto de redes
complejas, desarrollado por estos dos autores, Strogaz, que es matemático
aplicado en el contexto de las teorías dinámicas del caos. Gracias. un
libro suyo de referencia, Non-Real Dynamics and Chaos, y Duncan Bass que
hizo un grado de física y luego hizo el doctorado en sociología y al que
este señor, Esteban Estroga, le dirigió la tesis, el resultado de la
tesis la podéis consultar en este libro, Small World y la versión de
divulgación de la tesis, uno de los libros posiblemente más interesantes
escritos en lo que va del siglo XXI desde mi punto de vista, que es Sisi
Gris, dos libros a conocer, este en particular, pues si le echáis un
vistazo de lectura de verano no os arrepentiréis. Y comentar un libro
hermoso, a mí particularmente me ha gustado mucho, lo ha hecho este autor,
este señor que es doctor en matemáticas, perdón, doctor en físicas y en
filosofía, el libro en inglés se llamaba La física de Wall Street, en
español hay una traducción y se llama Cuando los físicos asaltaron los
mercados, y os describe la economía de la segunda mitad del siglo XX,
principio del siglo XXI, en términos de los modelos desarrollados en
física y aplicados por los economistas mediante ordenadores que calculan
en tiempo real sin tener ni puñetera idea de qué consistían esos modelos
y eso fue uno de los orígenes del primer crack de todos, que fue el
desordenado. El desordenado de 2008 en tiempos modernos. Además el libro
trae unas referencias inestimables sobre la aplicación de los sistemas
dinámicos no lineales y caos a otras ramas de la ciencia y en particular a
la economía. Un hermoso libro y en ese libro por ejemplo podéis aprender
que existe este señor que viene del MIT, su investigación original de las
formas características invariantes geométricos, una teoría algebraica
que se usa en teoría, en física de teoría de cuerda de la cual yo no sé
nada. Pero la característica de este señor es que cuando se jubiló del
MIT de profesor de física teórica fundó con otro compañero del MIT el
fondo que jamás ha perdido en inversiones en Estados Unidos y uno de sus
lemas de este fondo de inversiones es que no contrata doctorados en
economía y sus análisis financieros se mantienen alejados de cualquier
digamos implementación a alto nivel que provenga de la economía. El mundo
de la economía o del análisis financiero típico de la economía. En
palabras de este señor del Instituto Tecnológico de Massachusetts la
empresa Renaisman que es la empresa que crearon y que dirige estos fondos
es el mejor departamento de física y matemática del mundo. Bueno pues
como jóvenes físicos que estáis estudiando primer año y primer grado
que sepáis que las puertas se han abierto y que hoy en día pues la
física sabiendo y estudiando. Una especialización que tenga que ver con
otras cosas. Se ha abierto a otras fuentes, la física de inversiones, la
física, la econofísica y la sociofísica. Bueno, pues seguimos. Antes de
regresar a las situaciones, si os parece, hacemos cinco minutitos de
descanso, cierro la grabación y aparecerá una tercera grabación. ¿De
acuerdo? Me contestáis en el chat. Cinco minutos de descanso. ¿Ok? Muy
bien. Ponemos la sintonía para el descanso. Pues con vosotros la misma
sintonía, que es la canción del físico de partículas cantada por el
pueblo del CER. Podéis buscar el vídeo, os pondré el enlace desde el
centro de datos del CER. ¡Gracias!