Bien, pues continuamos con el tema 4. En la grabación anterior vimos la
primera parte de este tema, ¿no? Entonces allí estudiábamos
estadísticos de resumen, el más importante de todos que era la media
aritmética. Estudiábamos también medidas de dispersión, como por
ejemplo la desviación media, la varianza, que considerábamos la varianza
como una de las medidas de dispersión más importantes, su raíz cuadrada,
la desviación típica y el coeficiente de variación que consistía en el
cociente entre la desviación típica y la media. Dividir la desviación
típica por la media, que de alguna manera era lo que realmente nos decía
si la dispersión era muy grande o no. Pues lo que se comparaba con la
media. Después veíamos también otros estadísticos, como por ejemplo el
rango o recorrido de la variable, que de alguna manera es una medida
también de dispersión, claro. La moda y la mediana, que son dos medidas
también de posición central, igual que la media. Y los percentiles. Bien,
y vamos entonces a continuar a partir de ahí. En primer lugar, precisamos.
Precisamente vamos a hablar de la relación entre la media, la mediana y la
moda, que son las tres medidas de posición central, pues es más
importante. Muchas veces, a veces no es posible, por ejemplo, calcular la
media aritmética. Hay casos de variable agrupada en intervalos donde a
veces el primer intervalo y el último suelen ser del tipo, por ejemplo, si
son intervalos de edades, por ejemplo, a veces el último intervalo es 65,
65 y más. Claro, ese intervalo no termina, no tiene fin, ¿no? ¿Dónde le
ponemos el final? Con lo cual no podemos hallar la marca de clase para
hallar la media aritmética. Es decir, que a veces la media aritmética
presenta dificultades de cálculo, cosa que no le ocurre a la mediana.
Entonces, si es la mediana, sustituye a la media aritmética porque no hay
otra posibilidad. Bien. Bueno, si el polígono de frecuencias, ¿eh?
Representamos el polígono de frecuencias. Y, bueno, aquí tenemos unas
líneas de color rojo, ¿no? Que sería un poco el perfil de lo que sería
ese polígono de frecuencias, ¿no? Que el polígono sería una línea
poligonal, no sería una curva, ¿eh? Pero bueno, sería una línea
poligonal, pero bueno, aproximadamente aquí tenemos esta forma, ¿no? Si
el polígono resulta simétrico, ¿no? Como por ejemplo tenemos este primer
dibujo. En ese caso decimos que la distribución es simétrica, claro. Y en
ese caso los valores de la media. La mediana y la moda coinciden, ¿eh?
Estaría ahí el valor central. Sería la media aritmética y sería
incidiendo con la moda y con la mediana. La moda, en este caso, pues eso,
hay una sola, ¿eh? No siempre es una. Y en otro día puede haber más de
una. Pero bueno, en el caso de que la distribución sea simétrica, como
este dibujito que tenemos aquí, pues en ese caso es única y coincide con
la media y con la mediana. Y hay dos casos principales de asimilación.
Asimetría, en primer lugar, porque se llama una asimetría a la izquierda.
El perfil sería este que tenemos aquí. Es decir, como a la parte
izquierda, como que el polígono de frecuencia se alarga más. En ese caso,
la media aritmética queda a la izquierda. La mediana queda en el centro. Y
la moda queda más a la derecha. La moda, por ejemplo, es el valor que
tiene mayor frecuencia. Cuanto estaría en el máximo de la curva. O bien,
asimetría a la derecha. O sea, que es cuando se alarga, en el polígono de
frecuencias, se alarga hacia el lado derecho. Y en ese caso ocurre al
revés. O sea, que la moda sigue estando en el punto que proporciona el
valor máximo. La mediana, que quedaría en el centro. Y la media
aritmética, pues que queda a la derecha. Bien. Vamos a ver ahora el
concepto de tipificación de una variable. Bien. Variable cuantitativa, que
sea numérica. Cuya media, en la variable le llamamos x, ¿no? Cuya media
aritmética sea x con barra. Y cuya desviación típica, la llamamos S
mayúscula sub x. Tenemos esas dos parámetros ya calculados. Entonces se
llama variable tipificada a esta expresión que tenemos aquí. Es decir,
que consiste en restarle a la variable x, a cada valor de la variable x, le
restamos su media aritmética y dividimos por su desviación típica. Con
lo cual tenemos otra colección de valores. Es decir, si nosotros tenemos
la distribución de la variable x, tenemos una serie de valores de esa
variable y los convertimos en otra variable, que es la que llamamos zeta. Y
entonces lo que hemos hecho ha sido restarle a cada valor, le restamos la
media y dividimos por la desviación típica. Claro, ¿qué ocurrirá?
Aparecerán, puesto que la media es un valor, es un valor que es más
grande. La media aritmética está entre el más pequeño y el más grande
de los valores de la variable. Siempre, claro. Está por el centro.
Entonces al restarle a cada valor la media aritmética, habrá valores que
serán negativos y habrá valores que serán positivos. Y luego, al
dividir, dividir por la desviación típica, lo que hacemos es tomar como
si fuese la desviación típica la unidad. Dividir es, de alguna forma, es
medir, ¿no? Bueno, pues a esta variable se le llama la variable
tipificada. Es importante porque este concepto lo vamos a utilizar un poco
más adelante cuando hablemos de la distribución normal que se llama y
bueno, y es necesario, lo vamos a necesitar para tipificar a esa variable
para poder hacer cálculos. Ya lo veremos. Bueno, pues este es el concepto,
o sea que es una transformación, se llama tipificación a la
transformación, que consiste en restarle a cada valor, a la variable, a la
variable en cuestión, su media y dividir por su desviación típica. Bien,
y hay una desigualdad que se llama desigualdad de Chebyshev que consiste en
lo siguiente. Esta aquí escrita la voy a explicar. Lo que dice aquí,
bueno, es para una determinada variable su media aritmética, la vamos a
llamar mu, la representamos por la letra griega mu y su desviación
típica, que la representaremos por la letra griega sigma. Entonces, lo que
tenemos aquí es, dice esta desigualdad, es que la probabilidad de que x
menos mu en valor absoluto, ¿eso qué quiere decir? La distancia desde x,
desde un valor x cualquiera, a su media aritmética. Imaginémonos una
distribución, tenemos los valores y la media aritmética. Entonces, un
valor cualquiera estará a cierta distancia de la media aritmética. Puede
estar más lejos o más cerca. Bueno, pues la distancia de un valor
cualquiera a la media aritmética, eso es lo que quiere decir la resta en
valor absoluto. Claro, si yo resto dos números y el resultado lo pongo en
valor absoluto, si el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta
es negativa. Pero yo la pongo, por ejemplo, el 3, si a 3 le quito 8, me da
menos 5. Pero el valor absoluto son 5. ¿Qué es 5? La distancia que hay
desde el 3 hasta el 8. O sea, que la diferencia en valor absoluto es la
distancia. Bueno, pues dice la desigualdad de Chebyshev que la distancia de
un valor cualquiera a su media aritmética es si la probabilidad de que ese
valor sea mayor que k veces, la desviación típica, esa probabilidad es
menor o igual que 1 partido por k cuadrado. Bueno, vamos a ver esto. De
alguna manera lo que significa k veces la desviación típica, si k es muy
grande, 1 partido por k cuadrado será muy pequeño. Por ejemplo, si k es
10, 1 partido por k cuadrado es una centésima. Si k es mil, 1 partido por
k cuadrado es una millonésima. Eso, mil al cuadrado es un millón, ¿no?
Por lo tanto, 1 partido por mil al cuadrado sería una millonésima.
Entonces, ¿qué es lo que nos está diciendo esta desigualdad? Que la
probabilidad de encontrarse un valor lejos de la media, o sea, lejos a cuya
distancia sea muy grande, muy grande, si k es muy grande, la distancia es
mayor que k sigma, o sea, muy grande. Entonces, la probabilidad de
encontrarse un valor lejos de la media es muy pequeña. Es menor o igual
que 1 partido por k cuadrado. Bueno, de alguna forma es una manera
intuitiva de leer la desigualdad de ese diseño. Bien. Por ejemplo, en un
caso particular supongamos que k vale 2. Si k vale 2, entonces aquí está
escrita la probabilidad de que la variable, el valor de la variable esté a
una distancia, bueno, en este caso está expresada menos de dos
desviaciones típicas. Es decir, que dos desviaciones típicas serían x, o
sea, mu menos 2 sigma y mu más 2 sigma, el intervalo que va desde mu, la
media, le quito dos veces la desviación típica o le sumo dos veces la
desviación típica. Entonces ahí tengo un intervalo, pues la probabilidad
de que x esté ahí, claro, sería lo contrario de estar fuera. Lo
contrario de estar fuera. De estar fuera sería, por ejemplo, si k vale 2,
aquí sería menor o igual que un cuarto. Menor o igual que un cuarto es
0.25, o sea que la probabilidad de estar fuera es menor o igual que 0.25.
Luego la probabilidad de estar dentro es mayor o igual que 0.75. Es la
probabilidad de suceso contrario. De lo contrario de estar dentro, de estar
fuera. Y si la probabilidad de estar dentro, o sea, de estar fuera es 0.75,
la de estar dentro es 0.25, o al revés. Por ejemplo, si k vale 3, la
probabilidad de que x esté en el intervalo que va desde mu menos tres
sigma a mu más tres sigma sería uno menos, uno menos, en lo contrario,
uno menos un noveno. Uno menos un noveno que serían nueve, sería, a ver,
uno menos un noveno que serían, ocho novenos. Ocho novenos que son el 89%.
Y después, por ejemplo, si k vale 4, es decir, la probabilidad de que x
esté entre mu menos cuatro sigma y mu más cuatro sigma en ese intervalo
es una probabilidad que ronda ya el 94%. Es decir, que cuanto más grande
es el intervalo centrado en la media, por ejemplo tenemos, si el intervalo
es de radio, dos sigma o tres sigma o cuatro sigma, al signo más grande,
es más probable encontrar un valor cualquiera de la distribución. O sea
que llegamos, por ejemplo, hasta el 94%. Si yo tengo un intervalo centrado
en la media y a la derecha cuatro desviaciones típicas y a la izquierda
cuatro desviaciones típicas, es decir, es un intervalo que mide ocho
desviaciones típicas, pues ahí, según la desigualdad de Chebyshev, se
encontraría el 94% de la población. O sea que es la probabilidad de
encontrar un valor ahí es del 94%. Bueno, por ejemplo, un caso concreto,
¿no? En España, la edad media de las mujeres que dieron a luz en 2010 fue
de 31,4 años, la edad media, y una desviación típica de 5,39 años.
Entonces, entonces, por lo menos el 75%, o sea las tres cuartas partes de
las mujeres que dieron a luz, estaban entre ese valor de la media
multiplicado por 5,39, que es una desviación típica, 20,6 años y... A
ver, perdona. Aquí es que estoy viendo que esto no está bien escrito,
esto no está bien escrito. O sea que aquí se tendría que poner 31,42
más 5, eh, 31,42 más. O sea que este signo por... Bueno, más dos veces,
eh. O sea que aquí es que falta un más. No, perdona. Aquí es que está
mal porque... Esto es lo que está mal. O sea, es 31,4 exactamente. Aquí,
ahí falta 31,4 más... Bueno, menos 2 por 5,39, 31,4 menos 2,39, que son
20,6 años, y luego 31,4 más 2 por 5,39, que son 42,2. O sea que es el
intervalo, en el caso de que K valga 2, que es un intervalo que mide cuatro
desviaciones típicas centrado en la media. Bueno, pues ahí el 75% de las
mujeres que dieron a luz en ese año, ¿no?, pues estaba entre los 20,6
años y los 42,2 años. Bueno, esto es lo que significa la desigualdad esta
de Chebyshev. Bueno, aquí tenemos esto representado gráficamente. Es
decir, que aquí tenemos el intervalo que está centrado en la media, que
estaría aquí, la media aritmética. Le restamos a ese valor, le restamos
dos veces sigma o le sumamos dos veces sigma. Y entonces nos queda el
intervalo ese que va desde el 20,6 que estaría aquí, ¿no?, hasta el 42,2
que estaría aquí. O sea, todo este intervalo. Bien. Bueno, vamos a ver
algunos ejercicios. Estos son todos ejercicios obtenidos de los exámenes.
Bien, entonces aquí tenemos un primer ejercicio según el sondeo sobre
juventud realizado por el CIS en el año 2009. La distribución de los
jóvenes según tengan o no pareja es la siguiente. Bueno, aquí según las
edades tenemos jóvenes desde 15 hasta 29 años, ¿no? Entonces los hay que
tienen pareja. Bueno, pues aquí están las cantidades, y que no tienen
pareja porque aquí tenemos las cantidades. Entonces las preguntas que se
hacen son las siguientes, ¿no? Primero calcula el porcentaje total de
jóvenes que tienen entre 20 y 24 años. Bueno, vamos a ir haciéndolo.
Después otra pregunta es calcula el porcentaje de jóvenes entre 15 y 19
años que tienen pareja y calcula el porcentaje total de jóvenes que
tienen pareja. Bueno, pues en primer lugar vamos a ver el porcentaje total
de jóvenes que tienen entre 20 y 24 años. Bueno, pues aquí tenemos entre
20 y 24 años lo único que tenemos que hacer es sumar todos los jóvenes
aquí indistintamente tengan o no pareja. Así que... los sumamos y bueno,
nos salen 930, ¿no? 930 lo que tenemos que sumar pues eso, esto de aquí,
¿no? 21 más 187 más 35 más 146 más 41 más 131 más 50 más 114 más
66 más 139 lo sumamos. En fin, nos da un total de 930. ¿De cuántos
jóvenes hay? Bueno, pues los jóvenes los tenemos que calcular, hay que
sumar, ¿eh? Porque no aparece, en el enunciado no aparece, ¿no? Pues los
tenemos que sumar. Sumamos todos, las dos columnas, sumamos las dos
columnas da un total de 9000, o sea, perdón, de 2902 jóvenes que sería
el total de la población a la que se le hizo la encuesta, claro, la
muestra, ¿eh? El total de la muestra a la que se hizo la encuesta. Bueno,
pues entonces el porcentaje como lo calculamos pues divido en 930 entre
2902 y lo multiplico por 100. Entonces sale un 32,05% de cada día.
Después el apartado B es calcular el porcentaje de jóvenes entre 15 y 19
años que tienen pareja. Bueno, pues la edad aquí es lo mismo, ¿no?
Primeramente, ¿cuántos jóvenes hay entre 15 y 19 años que tengan
pareja? Pues entre 15 y 19 años nos sumamos y nos salen los que tienen
pareja. Pues sumamos esto de aquí, estos de aquí y salen 37. De
¿cuántos jóvenes tienen pareja? ¿Cuántos jóvenes tienen pareja?
Porque es el porcentaje de jóvenes entre esas edades que tienen pareja.
Pues eso hay que calcular los que tienen pareja. Por tanto, sumaremos toda
esta columna en los que tienen pareja que son 772. O sea que de los 772 que
tienen pareja, 37 están entre 15 y 19 años. Por lo tanto, ¿cuál es el
porcentaje? Pues dividimos 37 entre 772 y nos sale que el 4,79% de los
jóvenes que tienen pareja están entre 15 y 19. Y finalmente, calcular el
porcentaje total de jóvenes que tienen pareja. Bueno, pues de los 2,902
jóvenes 859 tienen pareja. A ver, un momento, un momento. Bueno, perdón,
perdón, perdón. Es que estoy ahora mirando, mirando porque el apartado B
dice calcular el porcentaje de jóvenes entre 15 y 19 años que tienen
pareja. O sea que entonces lo he explicado yo antes mal porque claro, entre
15 y 19 años el total de jóvenes sería sumar todos los jóvenes que hay
entre 15 y 19 años tengan o no tengan pareja. Esos son 772. Entonces,
claro, ¿cuáles son de entre esos jóvenes los que tienen pareja? Pues
tenemos que sumar eso entre 15 y 19 años los 37 que teníamos aquí antes.
Por tanto, son 37 eso el cálculo es el mismo, claro. O sea que 4,79% son
los jóvenes el porcentaje de jóvenes entre 15 y 19 años que tienen
pareja. Bien. Bueno, volvemos al apartado C. O sea, de los 2.902 jóvenes
859 tienen pareja. ¿Qué? Serían los que suman todos los jóvenes que
tienen pareja. Bien. Los 1.902 son todos tengan o no tengan pareja. Por
tanto, el porcentaje de esos 859 partido por 2.902 multiplicado por 100
queda un 29,60%. Bueno, es un ejercicio de porcentajes no tiene mayor.
Bien. Otro ejercicio es en la siguiente tabla figuran las personas menores
de 30 años del municipio de Belorado en la provincia de Burgos. Aquí
tenemos una distribución agrupada en intervalo ¿no? Una breve agrupada
entre 0 y 4 años. La marca de clase es 2,5. ¿Por qué la marca de clase
es 2,5? La marca de clase es siempre el punto medio de la clase pues porque
realmente el intervalo es entre 0 y 5 años. Esto ya lo explicamos
también. O sea, que de 0 a 4 años es un intervalo que no son 4 años sino
son 5 puesto que acaba en el instante antes que la persona cumple 5 años.
Por lo tanto el intervalo va de 0 a 5 o podríamos decir intervalo abierto
de 5. Claro, el punto medio entre el 0 y el 5 es el 2,5. Lo mismo pasa con
el segundo intervalo que va del 5 al 10 entonces el punto medio es el 7,5.
O sea, que aquí tengo las marcas de clase calculadas desde ese punto de
vista. Bueno, pues entonces tenemos hay varones hay estos que hay aquí
según los tramos de edad y mujeres pues hay estas que pone aquí también
según los tramos de edad y de ambos sexos bueno, aquí lo que está es
sumado las dos columnas anteriores. Bueno, ya tenemos separado y luego
calcula las desviaciones estándar también estándar es lo mismo que
desviación típica de la edad de los hombres y de las mujeres. Bueno, pues
entonces aquí tenemos ya que efectuar cálculos bueno, hay que utilizar
por supuesto la calculadora ven las edades nosotros utilizamos aquí vamos
a utilizar las marcas de clase para hacer los cálculos de la media y de la
desviación típica el valor de la variable cuando la variable está
agrupada en intervalos es la marca de clase entonces aquí tenemos las
marcas de clase las copiamos de arriba bueno, los varones hemos llamado h
sub i y a las mujeres le hemos llamado m sub i entonces o sea por tanto las
frecuencias de los hombres aquí aparece como n h sub i la frecuencia de
los varones y n m sub i sería la frecuencia de las mujeres está copiada
de antes está copiada de arriba aquí las tenemos luego construimos una
otra columna o sea que hasta aquí es simplemente copiar la tabla anterior
entonces ahora multiplicamos cada valor de la variable o sea cada marca de
clase por su frecuencia entonces tenemos en primer lugar 43 pues eso da
107,5 7,5 con 49 eso da 367,5 etcétera y lo mismo hacemos con la columna
de las mujeres es decir multiplicamos la variable por las frecuencias de
las mujeres 2,5 por 27 eso da 67,5 etcétera si sumamos le sumamos ambas
columnas o sea que el total de podemos decir que el total de edades de las
mujeres sería esta de aquí bueno entonces estos serían los años totales
de los varones por ejemplo pues como calculamos la media dividimos por lo
que suman los varones que suman 310 por tanto si dividimos 5090 dividido
por 310 eso sería la media de los varones que son 16 y pico y luego si
dividimos todas las edades que hemos sumado de las mujeres en que son
4922,5 lo dividimos por el total de mujeres que hay pues tendremos la edad
media de las mujeres eso sale 17,39 etcétera ahora como calculamos la
bueno para calcular desviación estándar tenemos que calcular la varianza
y luego tener la raíz cuadrada entonces para calcular la varianza
utilizaremos la fórmula abreviada que la varianza es igual a la media de
los cuadrados menos el cuadrado de la media la media ya la tenemos lo que
haremos será elevarla al cuadrado luego pero no tenemos la media de los
cuadrados que es lo que vamos a hacer ahora entonces la media de los
cuadrados como la calculamos elevamos la variable que sería la x sub i la
elevamos al cuadrado y calculamos la media de esa variable para eso vamos a
hacerlo también por separado hombres y mujeres o sea que tiene esta
columna que tenemos aquí lo que multiplicamos es cada valor de la marca de
clase elevada al cuadrado o sea sería coger 2,5 elevarlo al cuadrado y
multiplicarlo por 43 eso da 268,75 luego 7,5 lo elevamos a 49 eso da
2,756,25 bueno etcétera y de esa manera bueno al final sumamos esa columna
pues nos da 106,987,5 hacemos lo mismo con las mujeres es decir elevamos al
cuadrado las edades y las multiplicamos por la columna de las frecuencias
de las mujeres y tenemos entonces la columna esta de aquí que nos da
103,658,75 cada una de estos dos totales los dividimos por el total de su
población o sea que los 106,987,5 lo dividimos por 310 y eso nos da un
resultado que no está puesto aquí un resultado y después dividimos
103,618,75 lo dividimos por 283 también nos dará un resultado esos dos
resultados son las medias de los cuadrados a cada uno de esos resultados le
tenemos que restar el cuadrado de la media que hemos hallado antes que las
tenemos aquí escritas 16,4 y pico y el 17,3 etcétera elevamos eso al
cuadrado y se lo restamos a lo anterior cada uno al suyo y ya eso sí nos
dará estos dos numeritos que tenemos aquí el 75 y pico y el 63 y pico que
son las varianzas respectivas entonces simplemente de esos valores lo que
hacemos es sacar la raíz cuadrada y bueno no hace falta poner tantos
decimales aquí se ha puesto todo lo necesario la calculadora sabe todo lo
que suele dar pero no es necesario esto redondearlo a dos decimales es
suficiente ¿no? bien esas serían las desviaciones típicas o desviaciones
estándar bueno bien otro ejercicio en la siguiente tabla figuran las
personas menores de 30 años en el intervalos también de amplitud 5 aquí
tenemos ya hechas las marcas de clase también y esto es igual que el
anterior o parecido ¿no? pero tenemos aquí los hombres las mujeres y los
totales bueno pues esto es igual que antes calcula las edades medias de
hombres y mujeres y calcula las desviaciones típicas las edades propuestas
en exámenes diferentes es decir no es que han repetido la pregunta pero
prácticamente bien se hace igual que antes aquí tengo las marcas de clase
las frecuencias de los hombres las frecuencias de las mujeres y hacemos
todos los cálculos igual que antes multiplicamos cada valor de la
frecuencia o sea de la variable por su frecuencia y aquí los tenemos para
el caso de los hombres para el caso de las mujeres luego elevamos al
cuadrado las variables elevamos al cuadrado las variables y multiplicamos
por su frecuencia que aquí tenemos en todas las columnas para calcular las
medias de los cuales bueno aquí tenemos todos los totales que ya los vamos
a utilizar para efectuar los cálculos entonces aquí tendremos la media de
los hombres bueno pues escoge la suma de x sub i por n sub i es decir que
aquí tenemos 1497,591 que son 16,02 que sería la media de los hombres la
media de las mujeres se cogen esos dos totales también se hace la
operación desviación típica de los hombres bueno pues aquí tenemos esto
que sería la media de los cuadrados es decir que aquí en el cálculo
anterior en el caso de los hombres los cuadrados suman cuando sumamos los
cuadrados de las edades suman después de haber hecho los cálculos esto
suma 229,718,8 por eso dividido por 91 y lo tenemos 29,718,8 dividido por
91 eso es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media que es lo
que teníamos calculado antes como incluso sin calcular o indicar elevado
al cuadrado entonces se hace esta operación y ya se saca incluso la raíz
cuadrada y el resultado aproximadamente pues son 8,37 o sea ya es cálculo
de forma análoga se actúa con las mujeres se hace primeramente la media
de los cuadrados menos el cuadrado de la media y bueno solo por dar 7,81
son las desviaciones típicas bueno entonces el comentario claro aquí
observamos que la media de las mujeres es algo mayor la media de las
mujeres 16,29 pues algo mayor no mucho pero algo mayor que la de los
hombres que es 16,02 son unos tres meses claro también vemos que la
desviación típica de los hombres es mayor que la de las mujeres pero
tenemos que tener en cuenta también la media por eso el mejor parámetro
para calcular o sea para comparar la distorsión es el coeficiente de
variación entonces vamos a obtener los correspondientes coeficientes de
variación entonces para las mujeres sería lo que sería su desviación
típica 7,81 dividido por su media 16,29 que bueno da un resultado de
0,4796 que es desde luego menor que 1 lo cual significa que la media es
representativa decíamos que si pasaba de 1 era cuando ya a partir de 1,2
1,3 para valores a partir de 1 del coeficiente de variación la media ya no
era representativa en este caso es menor que 1 y en el caso de los hombres
se obtiene un coeficiente de variación algo mayor no mucho en la propiedad
pero bueno esto qué quiere decir que hay algo más de dispersión en el
caso de los hombres y que las mujeres pues están como algo más
concentradas alrededor de la media siempre alrededor de la media la
concentración o la dispersión es respecto de la media bueno ese sería un
poco el comentario del ejercicio bien otro ejercicio en el barómetro del
cis realizado en enero del 2013 El 0, 1, 2, 3 hasta el 10, ese es el valor
de la variable y el número de individuos que ha ido eligiendo esas
valoraciones, que aquí ya tenemos, es la frecuencia. O sea, por ejemplo,
con el 0 lo han valorado 614, con el 1 lo han valorado 142, etcétera, de
un total de 1.318 individuos, que es la suma. Bueno, estos son los datos.
Estos datos, entonces ahora lo que tenemos que calcular es la media y la
desviación típica de las valoraciones. Esto es ya la rutina, es decir,
construimos, ponemos los valores de la variable, del 0 al 10, ponemos las
frecuencias y entonces multiplicamos cada valor de la variable por su
frecuencia, 0 multiplicado por 614, eso es 0, 1 por 142, 142, etcétera, y
aquí tenemos los productos de cada valor de la variable. Por su
frecuencia, por lo cual aquí tenemos la suma total de las valoraciones,
suman 2.576. Pero claro, eso hay que dividirlo entre el número de
individuos que han expresado esas valoraciones, que son 1.318, por lo cual
aquí tenemos la división 2.576 dividido por 1.318, que nos da 1,95, que
sería la media, la valoración media, podríamos decir. ¿Vale? Para
calcular la varianza... Para calcular la varianza, pues hacemos lo que
hemos hecho antes también. Hacemos la media de los cuadrados, es decir,
para eso construimos esta columna, que es elevamos cada uno de los valores
al cuadrado y multiplicamos por su frecuencia, 0 al cuadrado por 614 es 0,
1 al cuadrado por 142 es 142, 2 al cuadrado por 108, 432, etcétera, ¿no?
Y al final obtenemos esta suma, que sería la suma de los cuadrados de la
variable. Para todos los casos que hay, claro. Que sale 12.784. Entonces,
para calcular la media de los cuadrados, simplemente dividimos, aquí la
tengo, 12.784 dividido por 1.318. Bueno, si a eso, que es la media del
cuadrado, le doy el resto, el cuadrado de la media, que ya habíamos
obtenido anteriormente, pues me queda 5,87, que es la varianza. La varianza
sale de esta resta, claro. Y ya la raíz cuadrada, pues eso es una
desviación típica. Sale 2,42. Entonces, como resulta que la desviación
típica es mayor que la media, porque la media era 1,95 y la desviación
típica no ha salido mayor, entonces el cotidiente de variación resulta de
ser 1,24. Entonces podemos considerar que la media, aunque evidentemente la
media es 1,95, eso no mueve a nadie, claro. Pero no es muy representativa
porque, porque hay mucha dispersión. Hay mucha dispersión, bueno, que
además, mirando un poco las frecuencias, pues eso, desde el 0 hasta el 10,
bueno, pues hay dispersión porque hay valores en todos. Evidentemente hay
unos con mucha mayor frecuencia que otros, pero bueno, está como muy
dispersa. Eso, ya digo, eso se aprecia cuando calculas el cotidiente de
variación, que aquí lo tenemos. O sea, que el cotidiente de variación
resulta mayor que, 1,2 incluso, 1,24. Bien. Bueno, el cálculo de la
varianza, por comentarlo, o sea, ya digo, en el libro no se hace así en
ningún caso, ¿eh? O sea, que ellos no utilizan esta fórmula de que la
varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media, ¿eh?
Pero yo, en fin, la recomiendo porque es más, aunque, bueno, hay que hacer
sus cálculos, eso no lo pita nadie, claro, pero es más cómoda,
podríamos decir, para efectuar los cálculos, fíjate que aquí hacemos
todos los cálculos, no aparecen números decimales, no tenemos que hacer
divisiones con decimales y redondeos hasta el final, hasta que no hacemos
la división final ya, o sea, que cuando en las tablas no aparece, es todo
números enteros. Sin embargo, si lo hiciéramos como en la definición,
que es restarle a cada valor de la variable, le restamos su media
aritmética, y eso de ahí lo elevamos al cuadrado, sumamos todo eso y
dividimos por el total. Bueno, ahí entonces, en cada vez que restemos a
cada valor de la variable la media aritmética, ya tenemos decimales.
Entonces tendríamos una columna llena de números decimales que los
tendríamos ya que ir redondeando, y luego elevar al cuadrado, y
cometeríamos más errores. De esa manera de calcular sería bastante más
arroba. Bien, vamos a ver otro ejercicio. En la siguiente tabla se ofrecen
los datos de censos de población y vivienda de 2011, referidos a la
población. Por ejemplo, la población residente en establecimientos
colectivos. En concreto, las personas que viven en residencias para
mayores. Bueno, pues, bien, aquí tenemos precisamente, como he comentado
ya antes, un ejemplo de intervalos donde están abiertos el primero y el
último. O sea, que aquí tenemos de edad de menos de 65 años. Pues, lo
que son para personas mayores. Menos de 65, también hay algunos, ¿no? Y
luego ya de 65 en adelante. 65-69, 70-74. O sea, que aquí 65-69 acaba en
70. O sea, que a la hora de hallar... Bueno, hay que tenerlo en cuenta si
hiciera falta. De 70-74, 75-79, etc. Aquí tenemos el último intervalo de
100 o más. Tenemos aquí las frecuencias totales y separados por hombre.
Hombres o mujeres, ¿eh? Ambos sumarían la columna esta de los totales.
Bien. Dice, construya una tabla con las frecuencias relativas de hombres y
mujeres para cada uno de los grupos de edad. Bien. Eso está claro porque
se piden las frecuencias relativas. Aquí lo que nos han dado son las
frecuencias absolutas, ¿eh? Primero eso. Bien. Dice, ¿cuál es el
porcentaje de mujeres entre los que tienen 100 o más años? Bueno, eso...
Tenemos un porcentaje de mujeres entre los que tienen 100 o más años. Y
luego, calcule las frecuencias relativas acumuladas para el total de
personas mayores en residencias y señale el intervalo que contiene la
mediana. Aquí en este ejercicio no se pide la mediana hipnética
precisamente porque es que no tenemos oportunidad de calcular las marcas de
clase. Pero sí que se pide la mediana. Precisamente la mediana sí que se
puede calcular porque la mediana es un valor que deja por la izquierda el
50% y por la derecha el 50%. Entonces, no nos importa que los dos
intervalos extremos estén sin cerrar para buscar el valor que ocupa la
posición central. Bueno, entonces vamos a ir haciendo... O sea, que el
apartado A para hallar las frecuencias relativas de hombres y mujeres para
cada uno de los grupos de edad. Entonces, ¿cómo calculamos la frecuencia
relativa? Dividiendo cada frecuencia absoluta por el total correspondiente.
En el caso de los hombres, la frecuencia absoluta de los hombres pues la
tenemos aquí. Hemos vuelto a copiarla, ¿no? Esta es la frecuencia
absoluta de los hombres y aquí tenemos el total. Entonces, la frecuencia
relativa es simplemente dividir, con la calculadora, claro, cada valor. O
sea, aquí sería 5.864 dividido por 84.964. Eso da... 0,0690. Y así
sucesivamente. Entonces tengo aquí todas las frecuencias relativas de los
hombres. Para las mujeres lo mismo, ¿eh? Tenemos las frecuencias
absolutas, dividimos cada frecuencia absoluta por el total y vamos
obteniendo las distintas frecuencias relativas. Bueno, eso nos tiene más
dificultad. Después, la segunda pregunta dice ¿cuál es el porcentaje de
mujeres entre los que tienen 100 o más años? O sea, que entonces tenemos
que calcular... Bueno, ¿cuántas personas tienen 100 o más años y de
ahí cuál es el porcentaje de mujeres? Bueno, pues entonces... Es decir,
que tenemos con 100 o más años los contamos, ¿eh? Hay 2.480 personas,
claro, que serían, pues eso, los 308 estos que hay aquí y los 2.172 que
hay aquí, que son todo, ¿eh? Son los 2.480 personas, de las cuales 2.172
son mujeres. Luego, ¿el porcentaje cuál sería? Pues dividimos 2.172 por
2.480, multiplicamos por 100 y, en fin, eso nos da un porcentaje bastante
alto. O sea que, bueno, ya se ve, se ve efectivamente que hay muchas más
mujeres que hombres mayores de 100 años. Y después había que calcular
las frecuencias relativas acumuladas para el total de personas, ¿no? Y
señalar el intervalo. El intervalo, o sea, que ni siquiera hay que
calcular la mediana, que podríamos hacerlo, pero... Basta con señalar el
intervalo, ¿eh? Que contiene la mediana. Bueno, pues entonces... Aquí lo
tenemos, ¿eh? Vamos a construir primeramente las frecuencias absolutas
acumuladas y luego dividiremos cada una de ellas por el total. Y de esa
manera obtenemos las frecuencias relativas acumuladas. Entonces tenemos
aquí los intervalos, tenemos los totales de cada intervalo y vamos
haciendo las frecuencias absolutas acumuladas, ¿eh? O sea, vamos sumando.
Menos de 65 tiene... 10.060. Luego de 65 a 69, ¿qué hay? 10.376. Los
sumamos y obtenemos 204.000... A ver, perdón. 20.000, perdón. Son 10.376.
Sumamos y nos da 20.436. Bueno, etcétera, ¿no? Vamos sumando. Hacemos la
columna de las frecuencias acumuladas. Evidentemente, la última frecuencia
acumulada tiene que coincidir con el total de la población. Y ahora lo que
hacemos es que cada uno de estos valores los dividimos precisamente por ese
total y vamos obteniendo las frecuencias relativas acumuladas.
Evidentemente, la última pues tiene que ser la unidad. Bien. Entonces,
¿en qué intervalo se encuentra la mediana? Bueno, observamos que,
fijándonos en la columna de las frecuencias relativas acumuladas, aquí
nos aparece, por ejemplo, este valor 0.2716. ¿Eso qué quiere decir? Que
hasta el intervalo de 75... 75 a 80, que sería, tenemos un 27% de
individuos, ¿no? Es decir, que son menos de la mitad, por supuesto. Pero
que el valor siguiente de la frecuencia relativa, que es 0.5017, ya
pasaría del 50%, ¿eh? Ya sabemos que la frecuencia relativa se multiplica
por 100 y es el porcentaje. O sea, ¿qué quiere decir este 0.5017? Pues
quiere decir que el 50,17% de los individuos... ...están... Está entre 80
y 85 años o menos, ¿no? Por lo tanto, ahí tenemos la mediana. En ese
intervalo, en el intervalo que va de 80 a 84 años, ¿eh? Tenemos la
mediana. Puesto que ahí estará el individuo que por debajo de su edad
está en el 50%, y por encima en el otro 50%. Bien. Pues eso simplemente es
observar de esa manera. Lo tenemos aquí, la mediana. El intervalo en donde
está la mediana sería ese intervalo. Bien. 80, 84. Bien. Otro ejercicio.
Bueno, a partir de la siguiente tabla, donde se presenta la población de
jóvenes de 18 o 30 años de la ciudad de Badalona, por sexo y edad,
realice los cálculos. Bueno, pues hay primeramente que calcular las
frecuencias relativas de edad para hombres y mujeres. También ejercicios
parecidos anteriores. Y calcule para el conjunto de hombres y mujeres la
mediana y los cuartos. Primero y tercero, ¿eh? De la distribución de las
edades. O sea, aquí tengo las edades. Van de 18 a 30 años. Es discreta.
Esta variable es discreta. No está agrupada en intervalos. Y aquí tenemos
los totales de hombres y los totales de mujeres. Bien. Entonces, bueno, en
primer lugar, vamos a hacer las frecuencias relativas para hombres y para
mujeres. Pues eso simplemente tendremos que calcular el total de hombres
que hay, el total de mujeres y cada valor por su total, ¿no? Aquí tenemos
hecho llevados cálculos. Total de hombres tenemos 17.086. De mujeres
tenemos 15.565. Y el total simplemente lo sumamos. Entonces la acumulada
sería esto de aquí. Hemos acumulado, ¿eh? Acumulamos los totales. El
último valor de la acumulada coincide con el total. Entonces, la
frecuencia relativa de los hombres. Bueno. Por la frecuencia relativa de
los hombres obtenemos dividiendo cada valor de... La frecuencia de los
hombres, ¿no? Por su... Por el total. O sea que aquí sería 10.000... O
sea, 1.021 dividido por 17.086. Eso da 0,0598, etcétera. Aquí tenemos las
frecuencias relativas de hombres y análogamente pues las frecuencias
relativas de mujeres, ¿eh? O sea, dividimos 972 por 15.565. Eso da 0,0624,
etcétera. O sea, la frecuencia relativa se da para hombres y mujeres.
Luego para el conjunto de hombres y mujeres la mediana y los cuartiles
primero y tercero. Vamos a verlo. Entonces, para el conjunto total, por eso
de aquí vamos a usar esta misma tabla, ¿no? Por eso hemos sumado, ¿eh?
Hemos sumado hombres y mujeres y hemos acumulado porque queremos hallar la
mediana. Bien. Entonces... Lo que tenemos que hacer ahora es buscar, puesto
que tenemos un número impar de valores, que son 32.651, pues el valor
central, ¿eh? Tenemos que buscar cuál es el valor central. ¿Qué edad
tiene, qué edad tiene el valor central? Si nosotros estos 32.651
individuos que tenemos en total, ¿no?, los ordenamos de menor a mayor.
Empezamos por los de 18 años, que son los más jóvenes, ¿no? Empezamos
por los de 18 años, que en total hay 1.993, ¿eh? Los colocamos, los... En
fin, la India, ¿no? A continuación colocamos los de 19 años, que son
2.155, etcétera, ¿no? Hasta que colocamos todos, ¿eh? Los 32.651.
¿Cuál está en el centro de la fila? Ese es el que tenemos que buscar. O
sea, ¿qué edad tiene? Esa sería la mediana, ¿no? Bueno, pues
entonces... ¿Qué edad tiene? Bueno, aquí vamos a hacer los cálculos. O
sea, tenemos que 32.651 dividido por 2, claro, es decimal porque no es un
número par, da 16.325,5. Por lo tanto, el que ocupa el lugar central es el
que tiene el lugar 16.326. Ese sería el lugar, el lugar que ocupa la
mediana. No la mediana, ¿eh? El lugar que ocupa la mediana. 16.326, porque
ese tendría, por debajo tendría 16.325 y por encima otros 16.325, que
sumados con él, suman en total los 17.000... A ver, perdona, los 32.651,
¿eh? Bien. Bueno, pues entonces, ¿qué hacemos? Nos vamos aquí a la
columna de las frecuencias acumuladas a buscar este número. 16.325.
16.326. Entonces, observamos que, bueno, aquí está el 15.581, pero aquí
ya pasamos al 18.000. Por lo tanto, ¿qué edad tiene el que ocuparía el
lugar 16.325? 25 años, ¿eh? Porque ahora, de los que tienen hasta 24
años o menos, hay 15.581. Y cuando le sumo los que tienen 25 años, ya me
paso del 16.326. Luego, el que ocupa ese lugar tiene 25 años, ¿no? Por lo
tanto, la mediana son 25. La mediana es el valor de la variable que ocupa
el lugar central. Ahora, de forma análoga, vamos a calcular los cuartiles.
El primer cuartil es aquel valor de la variable que tiene por debajo el 25%
y por encima el 75%. Entonces, lo que tengo, lo que voy a hacer es que cojo
el total de la variable, el total de la población, que son 32.651, lo
divido por 4 para hallar el 25%, ¿no?, para hallar la cuarta parte, y nos
da 8.162. Entonces, nos vamos a la tabla, a la frecuencia acumulada, y
aquí veo que tengo 6.322, y que el siguiente es 8.550. Ya me he pasado de
8.162. Por lo tanto, 21 años. Es la edad que tiene el que ocupa el primer
cuartil. 21 años sería. Y luego, el tercer cuartil, pues lo mismo. O sea,
que Locutáscaro multiplicaría 32.651 por tres cuartos, por 0.75, que es,
claro. Entonces, bueno, nos da este resultado, 24.488 con 25. Nos vamos
otra vez a la columna de las acumuladas. Y aquí... observamos este 23.560,
y el siguiente es 26.000. Ya nos hemos pasado. ¿Y a quién corresponde
26.000? A 28 años. Luego, 28 años es el tercer cuartil. Pues se hace de
esa manera, ¿no? Bien. Bueno, pues ahí ya está. Ya no tengo más
ejercicios, ¿no? Aquí están todos los ejercicios extraídos de exámenes
de este tema, ¿no? Bien, pues aquí lo dejamos, ¿no? Si tienes alguna...
alguna duda... Bueno. Sí, es densa. Bueno, es lo que tiene la
estadística, ¿eh? Tiene, pues eso, muchos cálculos y luego también lo
importante que son sus interpretaciones, ¿eh? Eso también es importante y
eso también se suele preguntar. Sí, claro, claro, claro. No confundir
conceptos. Eso sí, hay que tenerlo muy claro. Bueno, ya sabes que al
examen se puede llevar todo el material que quieras, ¿eh? Puedes llevarte
todo tipo de material, de libros... Pero, claro, yo también creo que
conviene no llevarse mucho, ¿eh? Porque se puede uno marear. O sea que
trabajar con... Si es con el libro de la asignatura, con el libro de texto,
trabajar con él, machacarlo bien porque ahí está todo en realidad, ¿eh?
En el libro está todo. Eh... O sea que... Eso. Pues sí. Llevarse eso, el
material quizá justo y la calculadora. Manejar la calculadora y
practicarla bastante antes del examen, claro. Bueno. Pues venga la García.
Hasta la semana que viene. Venga. Adiós.