Bien, vamos a ver el tema 6, teoría y cálculo de probabilidades.
Primeramente veremos unas técnicas de conteo, que son unos conceptos de
combinatoria que necesitaremos luego para el estudio de la probabilidad. En
primer lugar, pues vamos a ver el concepto de permutaciones. Veremos un
ejemplo. Supongamos los números, los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿De
cuántas formas los podríamos ordenar? Bien, pues una forma de ordenarlos
sería en orden natural, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. O bien, otra forma sería 4, 6,
5, 2, 1, 3, etc. ¿De cuántas maneras los podemos ordenar? Entonces vamos
a intentar contarlas y ver si... Por ejemplo, aquí tenemos 6 guiones, que
serían los lugares, las casillas donde colocar los dígitos. Entonces en
la primera casilla, en el primer lugar, podríamos colocar cualquiera de
ellos. Por lo tanto tendríamos 6 posibilidades para la primera casilla. Si
fijamos una de ellas, fijamos una cifra de ellas ahí en ese lugar, por
ejemplo ponemos el 1. Para la segunda casilla ya nos quedan solamente 5
posibilidades. Luego para cada una de las 6 posibilidades de la primera
casilla nos quedarían 5 de la segunda. Que en total serían 5 por 6, 30
posibilidades. Si ponemos un número en la primera casilla y un número en
la segunda casilla, para la tercera casilla entonces ya nos quedarán 4
posibilidades para cada una de las 30 anteriores. Por lo tanto, para la
tercera casilla tendríamos 6 por 5 por 4 posibilidades para las 3 primeras
casillas. Bueno y así sucesivamente hasta el final. Por lo tanto, el total
de posibilidades de ordenar los 6 dígitos sería 6 multiplicado por 5, por
4, por 3, por 2 y por 1. Bien, este número lo escribimos abreviadamente 6
con el símbolo de admiración que leemos 6 factorial. Entonces llamamos
precisamente permutaciones de n elementos distintos al número de
ordenadores. Es decir, ordenaciones que se pueden hacer con ellos. Entonces
su número lo representamos por p sub n y de acuerdo con lo anterior, el p
sub n, que sería el número de permutaciones de n elementos, es igual a n
factorial. Bien, vamos a ver otro concepto de combinatoria que sería el de
variaciones ordinarias. Entonces seguimos con el ejemplo anterior. De los 6
dígitos anteriores vamos a ordenar solamente 3 sin repetir ninguno. Es
decir, que sería elegir 3 de los 6 dígitos. Y ordenarlos de todas las
formas posibles. Entonces solamente tendremos 3 casillas, ¿no? En la
primera casilla, ¿cuántas posibilidades tenemos? Tenemos 6 posibilidades.
Fijada una de ellas, para la segunda casilla, ¿cuántas posibilidades
tendríamos? Pues 5, nos quedarían 5 números, ¿no? Total tendríamos 6
por 5, 30. Y para cada una de esas 30, en la tercera casilla, solamente
tendríamos 4 posibilidades. Luego, el total de ordenaciones con 3
elementos nada más. De los 6 que tenemos, podríamos hacer, serían 6 por
5 por 4 ordenaciones. Bien, este total, ¿no? Que sería en este caso 120.
A cada una de ellas, de estas 120 ordenaciones, le llamamos variación
ordinaria de los 6 dígitos de orden 3. Y su número lo escribiremos V sub
6 3. Leemos variaciones de 6 elementos de orden 3. Y cuyo total sería 6.
Multiplicado por 4, multiplicado por 5. En general, el total de variaciones
de n elementos de orden m, pues sería n por n-1, por n-2, etc. Hasta n-m
más 1. Fijémonos que aquí tenemos exactamente m factores. Empezando en n
y descendiendo hasta n-n más 1, hay m factores. Bien, otro concepto que
sería el de variaciones con repetición. Que ahora los 6 dígitos
anteriores, de los 6 dígitos vamos a ordenar 3, pero ahora vamos a poder
repetirlos. Es decir, que podemos elegir el 1 y luego volver a poner el 1 y
luego volver a poner el 1. Claro, de esta manera, ¿cuántas ordenaciones
podríamos hacer pudiéndolos repetir? Bueno, pues en la primera casilla
podríamos colocar 6. Hay cualquiera de los 6, ¿no? Hay 6 posibilidades,
¿no? Y para cada una de ellas, fijada una de ellas, entonces en la segunda
casilla, ¿cuántas posibilidades tenemos? Pues otras 6. No se pueden
repetir los números, ¿no? Por lo tanto, tendríamos 6 por 6. Y
finalmente, para la tercera casilla, fijada una en la primera casilla y
otra en la segunda casilla, para la tercera que tendríamos, pues otras 6.
Por lo tanto, el resultado, o sea, el total de ordenaciones pudiéndose
repetir serían 6 por 6 por 6, 6 al cubo. A cada una de estas posibles
ordenaciones se le llama variación con repetición de 6 elementos de orden
3. Y su número lo escribiremos VR sub 6 3, variaciones con repetición de
6 elementos de orden 3, que es igual a 6 elevado a 3 en este caso. Y en
general, las variaciones con repetición de n elementos de orden m, que
sería n elevado a n. Bien, y otro concepto de combinatoria sería el de
combinaciones ordinarias. En este caso, seguimos con el ejemplo de los 6
dígitos. Ahora lo que queremos hacer... Lo que queremos hacer es calcular
el total de subconjuntos, subconjuntos de 3 elementos. Claro, un
subconjunto, por ejemplo, el subconjunto formado por el 3, el 4 y el 6, no
importa el orden en que se presenten. Es el mismo subconjunto que 4, 6, 3.
Es decir, no importa, ya digo, el orden. Son los mismos elementos, ¿no?
Por lo tanto, ¿cuántos subconjuntos habrá? Bueno, aquí podemos, para
calcularlo, utilizar el concepto de variaciones. Lo que hemos visto antes,
¿no? Porque 3 elementos, por ejemplo, el 3, el 4 y el 6, ¿a cuántas
variaciones darían lugar de esos 3 elementos? Pues a sus propias
permutaciones. Es decir, que son 3 elementos, permutaciones de 3. Que es
igual a 6, 3 por 2 por 1, ¿no? Esas serían las distintas ordenaciones que
podemos hacer con el 3, el 4 y el 6. Es decir, que el total de
combinaciones, que es el que estamos buscando, queremos saber cuántas hay,
multiplicado por las permutaciones de 3, puesto que cada combinación de 3
elementos va a dar lugar a 6 variaciones. Es decir, que serían
combinaciones de 6 de orden 3 por las permutaciones de 3, que son las 6,
¿no? Eso sería el total de las variaciones de 6 elementos de orden 3. Por
lo tanto, de aquí despejamos lo que queríamos calcular, que es las
combinaciones de 6 elementos de orden 3. Por lo tanto, será igual a las
variaciones de 6 elementos de orden 3. De 6 elementos tomados de 3 en 3,
partido por las permutaciones de 3 en 3. Bien, en general, pues dados n
elementos, una combinación de esos n elementos de orden m es un
subconjunto de m elementos extraído de los n dados. Entonces el total de
posibles combinaciones, pues respondería a esta expresión de aquí.
Combinaciones de n elementos de orden m será igual a las variaciones de n
elementos de orden m dividido por las permutaciones de n elementos. Bueno,
esta fórmula la podemos escribir desarrollándola pues de esta manera. Las
variaciones de n elementos de orden m serían n por n-1, por n-2, por n-3,
etc. Hasta n-n-1 y las permutaciones de m que son m factorial. Ahora bien,
aquí en esta fracción, si multiplicamos numerador y denominador por n-m
factorial, en el numerador tendríamos entonces n por n-1, por n-2, etc.
hasta n-m-1. Y a continuación, el factor por el que hemos multiplicado que
sería n-m factorial, que es n-m por n-m-1, etc. hasta el 1. Claro, en
realidad lo que tenemos entonces en el numerador es desde el factorial de
n, porque empezamos con el n y vamos descendiendo, multiplicando por n-1,
por n-2, por n-3, etc. por n-m-1, por el siguiente hacia abajo que sería
n-m, etc. hasta llegar al 1. Luego, el numerador es n factorial. Y el
denominador lo que tendríamos era lo que había antes m factorial
multiplicado por n-m factorial y así lo escribiremos, ¿no? Por lo tanto,
el resultado sería ese, ¿no? n factorial partido por m factorial y por
n-m factorial. Esto sería otra manera de ver la fórmula de las
combinaciones. Esta última expresión también recibe el nombre de número
combinatorio y se escribe, abreviadamente, entre paréntesis, n la n arriba
y la n abajo se lee n sobre m el número combinatorio n sobre m. Bien,
puesto que el conjunto vacío que representamos por este símbolo es el
único conjunto o subconjunto que no posee elementos se tiene que n sobre
0, es decir, sería igual a 1 solamente hay 1, claro. Es decir, que el
número 1 sería igual a aplicamos la fórmula de n sobre 0 le aplicamos la
fórmula de los números combinatorios sería igual a n factorial partido
por 0 factorial y por n factorial. Y aquí simplificamos. Le aplicamos n
factorial y nos queda 1 partido por 0 factorial. Es decir, que 1 partido
por 0 factorial es igual a 1 de donde 0 factorial es igual a 1. Una
expresión que, claro, el factorial de un número es siempre descender
desde ese número hasta el 1 pero si ese número ya es del 0 que ya ha
pasado el 1 no se puede definir de esa manera y bueno, pues de esta otra
manera hemos calculado que su valor es 1 que luego aparece en ocasiones.
Saberlo, claro. Bien, vamos a ver un ejemplo. Está extraído del texto, es
el ejercicio 9. Supongamos que una asociación está formada por 15
personas y se necesita formar una comisión seleccionando al azar un
conjunto de asociados. Bien. ¿Cuántas muestras de... Primera pregunta.
¿Cuántas muestras de 6 socios podemos extraer? De las 15. Bueno, pues
aquí se trata de calcular cuántos subconjuntos de 6 elementos tiene el
conjunto formado por 15 personas, ¿no? Por lo tanto, directamente la
respuesta sería 15 sobre 6 que escrito aquí pues sería 15 por 14 por 13
por 12 por 11 por 10 Fijémonos que hay exactamente 6 factores bajamos
desde el 15 hasta el 10, hay 6 factores y dividido por 6 factorial. Bueno,
esto o bien se simplifica o bien directamente con la calculadora y da 5.500
¿eh? Siempre un número combinatorio nos va a dar un número entero. Es
decir, que aquí si lo vamos simplificando al final siempre nos va a
quedar, como digo, un número entero no quedará nunca una fracción que no
sea el número entero. Bien. La segunda pregunta dice ¿y de 3 socios?
Bueno, pues lo mismo. Ahora sería 15 sobre 3 que sería 15 por 14 por 13 y
partido por factorial de 3 que es 3 por 2 por 1 son 455. Bien. Vamos a ver
otro ejemplo, ¿no? El ejercicio 10 Supongamos que tenemos una población
formada por 100 personas ¿cuántas muestras de 10 personas distintas
resultarán si realizamos una selección aleatoria? Bueno, pues trata
también de lo mismo de ver cuántos subconjuntos de 10 personas podríamos
obtener entre las 100 que tenemos Claro, eso sería 100 sobre 10 Bueno, eso
lo calculamos y es un numerito bastante grande que son 17.310.309.456.440
Bueno, más que nada porque veamos que las combinaciones con números
relativamente pequeños pues aumenta, aumenta bastante su cantidad de
subconjuntos Bien, vamos a ver qué entendemos por experimentos y sucesos
aleatorios Bueno, pues existen fenómenos o experimentos que repetidos en
idénticas condiciones siempre proporcionan el mismo resultado y a eso les
llamaremos deterministas y otros que aún repetidos en las mismas
condiciones pueden proporcionar un resultado distinto y a los cuales
llamaremos aleatorios Por ejemplo, aquí hay varios ejemplos presentarse a
un examen y ver qué calificación se obtiene bueno, pues es ejercicio
podríamos decirlo es experimento repetido en idénticas condiciones puede
proporcionar cada vez un resultado distinto es un experimento aleatorio no
se puede predecir el resultado del examen abriendo a características ni
del alumno ni del examen no hay ninguna fórmula que nos dé antes de que
se produzca el examen cuál va a ser el resultado Bien, medir el espacio
recorrido por un móvil y el tiempo empleado y calcular la velocidad media
bien, ese cálculo de la velocidad media evidentemente siempre que el
espacio y el tiempo sean los mismos medidos anteriormente vuelve a dar el
mismo resultado ese es un experimento claramente determinista o por ejemplo
enviar una carta por correo y ver el tiempo que tarda en llegar a su
destino ese no hay fórmula es decir, ese es un experimento aleatorio se
puede repetir varias veces y cada vez puede dar un resultado distinto
lanzar una moneda o un dado al aire y ver el resultado claramente son
experimentos aleatorios el lanzado del dado varias veces en las mismas
condiciones el mismo dado pues puede dar resultados diferentes por supuesto
en una fábrica de pintura se mezclan en las proporciones adecuadas los
ingredientes para fabricar el color verde por ejemplo bueno, pues repetido
el experimento cuando hay más proporciones pues siempre se obtendrá el
mismo color es un experimento determinista o por ejemplo el número de
clientes que compran una tienda cada lunes bueno, pues este es un
experimento aleatorio no sé qué decir siempre van a entrar no cada lunes
aunque sea siempre el lunes miramos el lunes pero no siempre van a entrar
el mismo número de clientes no pueden entrar clientes de un número
diferente bien llamaremos entonces suceso aleatorio a cualquier resultado
de un experimento aleatorio por ejemplo lanzar un dado un suceso aleatorio
sería obtener un 3 eso es un suceso aleatorio es un resultado posible o
también otro resultado posible sería obtener un número par también yo
lanzo el dado sale un 4 y es un número par sale un 6 y es un número par
sale un 3 no es un número par o obtener un número mayor que 4 etcétera
es decir que de un dado hay muchos muchas variedades sucesos bueno estos
son sucesos aleatorios y en general los representaremos por letras
mayúsculas A B C etcétera y en lo que sigue al hablar de sucesos
supondremos que estamos hablando siempre del mismo experimento aleatorio
cuando yo hablo de los sucesos luego haremos operaciones incluso con ellos
y se referirán por supuesto a sucesos de un mismo experimento aleatorio
bien bueno vamos a ver entonces algunas clases de sucesos en primer lugar
lo que llamamos suceso seguro bueno suceso seguro es aquel que ocurre
siempre que se realice el experimento por ejemplo lanzar un dado pues que
salga 1 2 3 eso claramente es un suceso seguro el suceso seguro lo
representamos por la letra E y también recibe el nombre de espacio
muestral o universo otro suceso notable sería el suceso imposible que es
aquel que no se verifica nunca es decir que el suceso imposible existe
aunque no se verifique nunca pero nosotros lo consideramos un suceso le
damos a existencia y que normalmente la manera de definirlo es negando el
suceso seguro es decir al lanzar un dado ¿quién es el suceso imposible?
pues que no salga ni 1 ni 2 ni 3 ni 4 ni 5 ni 6 etc el suceso imposible
pues lo representamos por el símbolo del conjunto vacío este símbolo de
aquí otro suceso el que llamamos suceso contrario o complementario lo
escribimos a con barra de un suceso A sería el contrario o complementario
de un suceso A bueno pues es aquel que se verifica cuando no se verifica y
sólo en ese caso por ejemplo al lanzar un dado un suceso sería obtener
número par ¿no? y el suceso contrario de obtener número par sería no
obtener número par por tanto sería obtener número impar el suceso
contrario también se define negando el suceso dado ¿no? bueno por ejemplo
también ¿quién sería el contrario del suceso imposible? pues el suceso
seguro ¿y quién sería el contrario del suceso seguro? el suceso
imposible bien ¿qué entendemos por inclusión de sucesos? bueno pues un
suceso A está contenido en un suceso B que lo escribiremos así A con el
símbolo de la inclusión B contiene A si siempre que se verifique A se
verifica B por ejemplo en el lanzamiento del dado obtener menos de 4 es
suceso A ¿no? y el suceso B sería obtener menos de 5 claro si yo realizo
el suceso y ocurre A es decir he obtenido menos de 4 desde luego también
ha ocurrido B porque si es menos de 4 el número pues es menos de 5
lógicamente al revés no claro si obtengo menos de 5 puede que sea por
ejemplo 4 que es menos de 5 4 no es menos de 4 por lo tanto si ocurre B no
tiene por qué ocurrir A pero si ocurre A siempre ocurre B por lo tanto A
está contenido en B si E es el suceso seguro y A es un suceso cualquiera
obviamente siempre se cumple que A está contenido en E claro y también
admitiremos que el suceso imposible está incluido en cualquier suceso
forma parte de cualquier suceso cualquiera que sea claro bien y aquí
llamamos suceso elemental pues es aquel suceso no imposible que no contiene
a ningún otro suceso distinto de por ejemplo en el lanzamiento del dado
son sucesos elementales obtener 1 obtener 2 obtener 3 etcétera y los
representaremos por letras mínimas minúsculas bueno entonces si los si
por ejemplo a sub 1 a sub 2 a sub n minúsculas son los sucesos elementales
de un suceso A pues escribiremos A igual y entre llaves pondremos a dos
sucesos elementales a sub 1 a sub 2 etcétera bien vamos a ver un ejercicio
el número uno del texto supongamos que tenemos una población formada por
cinco personas que representaremos por las cinco letras A B C D E y
queremos conocer el espacio de sucesos es decir todos los posibles
subconjuntos que se pueden formar a partir de los elementos de esa
población bueno en primer lugar pues vamos a enumerarlos ¿no? bueno pues
nada entonces empezamos o sea que aquí vamos a ver el primer suceso pues
vamos a empezar por el suceso imposible hemos dicho que el suceso imposible
forma parte de cualquier espacio mostrado ¿no? después pondríamos los
sucesos elementales que serían A B C etcétera ¿no? los pongo entre
llaves ya son sucesos formados por un suceso elemental luego irían los
sucesos formados por dos sucesos elementales tenemos a B a C a D etcétera
luego los formados por tres sucesos elementales luego los formados por
cuatro sucesos elementales y luego finalmente formados por cinco sucesos
elementales que es el suceso dado que sería el suceso seguro bien y
entonces ¿cuántos sucesos forman finalmente este espacio? bueno como
precisamente ya tenemos la fórmula de las combinaciones que nos da
precisamente el número de subconjuntos pues entonces empezaríamos a ver
subconjuntos de cero elementos pues sería cinco sobre cero subconjuntos de
un elemento cinco sobre uno subconjuntos de dos elementos cinco sobre dos
subconjuntos de tres etcétera y etcétera bueno esto lo sumamos y al final
se obtiene treinta y dos que responde a la fórmula dos elevado a cinco
bien bueno los sucesos podemos representarlos gráficamente a veces nos
conviene para visualizar ciertas propiedades mediante estos diagramas de
venn que representaríamos el suceso seguro o espacio muestral por el
rectángulo y en su interior colocamos los sucesos representados por
óvalos o círculos y bueno pues aquí tenemos un ejemplo el suceso a el
suceso b pueden tener partes en común juntamente o pueden no tener partes
en común bien y con los sucesos podemos hacer distintas operaciones y
aquí vamos a poner los sucesos es otro suceso la unión de dos sucesos a y
b es el suceso que representaremos por a con el símbolo de la unión a
unión b leemos así que es el suceso que se verifica cuando se verifican a
o b cualquiera de los dos o los dos simultáneamente bueno aquí lo
tendríamos dibujado sombreado lo que sería la unión tenemos los dos
sucesos tienen aquí una parte en común pero bueno la unión sería pues
todo lo que hay ahí sombreado a que llamamos intersección de dos sucesos
que representaremos con el símbolo este de la intersección y leemos a
intersección b pues será el suceso que se verifica cuando se verifican a
y b simultáneamente claro y solo en ese caso aquí tenemos representada la
intersección que sería la parte común para los dos sucesos y otra
operación sería la diferencia de los dos de dos sucesos a y b que
representamos a menos b que es el suceso a intersección el contrario de b
es decir es la parte de a que está fuera de b bueno aquí la tenemos
representada es como si a le hemos quitado a le quitamos todo lo que tenga
de b tanto nos queda esta zona sombreada que es lo que llamamos a menos b
también llamamos sucesos incompatibles a aquellos que no pueden
verificarse simultáneamente y aquí los tenemos una representación o sea
el espacio muestral e y tenemos dos sucesos que no tienen parte común son
incompatibles ¿no? y que obviamente la intersección de dos sucesos
incompatibles es el suceso imposible claro no hay no hay elementos por
ejemplo al lanzar un dado los sucesos a obtener menos de tres y b obtener
un número mayor o igual a cuatro son incompatibles no pueden producirse a
la vez no pueden realizarse a la vez bueno pues vamos entonces ya a entrar
en lo que sería la probabilidad y comenzamos dando se entiende por
axiomática de Kolmogorov que son los axiomas ¿no? las reglas podemos
decir que hemos de seguir para definir una probabilidad son tres muy
sencillas ¿no? la probabilidad antes de eso pues se trata de una función
la probabilidad es una función que a cada suceso de un espacio muestral le
hace corresponder un número real la probabilidad de un suceso por lo tanto
es un número pero ese número tiene que cumplir estas condiciones o
axiomas primero ser siempre mayor o igual que cero puede ser cero o
positivo pero negativo nunca la probabilidad de A es mayor o igual que cero
segunda regla que tiene que cumplir la probabilidad del suceso seguro tiene
que ser igual a uno necesariamente y la tercera es que si A y B son dos
sucesos incompatibles entonces la probabilidad de su unión tiene que ser
la suma de sus probabilidades entonces nosotros con estas tres condiciones
podemos definir las propiedades o sea las probabilidades como nos apetezca
siempre que cumplamos estas condiciones por ejemplo yo al lanzar una moneda
podemos asignarle a la cara la probabilidad 0,4 y a la cruz por ejemplo 0,
vamos a ver si por ejemplo a la cruz le asignáramos 0,5 estaríamos
incumpliendo el tercer axioma porque bueno el tercer axioma puesto que cara
unión cruz es un suceso seguro cuya probabilidad es uno y como son
incompatibles la suma de las probabilidades tiene que dar uno pero si uno
vale 0,4 y el otro vale 0,5 no suman uno por lo tanto eso incumpliría los
axiomas el tercer axioma pero sí que podríamos asignarle al salir cara
por ejemplo 0,4 y al salir cruz 0,6 claro sí y eso cumple las tres
condiciones por lo tanto eso sería una probabilidad o al salir cara 0,3 y
al salir cruz 0,7 etc no tiene por qué ser 0,5 y 0,5 bueno normalmente las
monedas si están equilibradas solemos asignarle la misma probabilidad a
cada uno de los dos sucesos elementales de que consta pero no tiene por
qué puede que la moneda estuviera desequilibrada y lo mismo pasaría con
un lado no tienen tampoco por qué todas las caras tener la misma
probabilidad pero sí que tiene que cumplir estos axiomas bueno una de las
consecuencias de los axiomas es que el suceso imposible tiene probabilidad
0 porque claro la probabilidad del suceso imposible es igual al suceso
imposible unido consigo mismo y como es incompatible consigo mismo la
intersección del imposible con él mismo es imposible claro por lo tanto
la probabilidad del imposible sería igual a la probabilidad del imposible
y por el tercer axioma sería la suma de las probabilidades entonces
tenemos un número que es mayor o igual que 0 que es igual a él sumado
consigo mismo luego ese número tiene que ser 0 no hay otra opción bueno
una segunda propiedad es que la propiedad del suceso contrario es igual a 1
menos la probabilidad de A también lógicamente o sea que un suceso y su
contrario son incompatibles y su unión es el suceso seguro por lo tanto
como la propiedad del suceso seguro es 1 y la propiedad de la unión de A y
de A y del contrario de A es la suma de las probabilidades pues tenemos que
1 es igual a la suma de P de A más P del contrario de A luego de ahí
despejaríamos P de A o sea del contrario de A que es igual a 1 menos P de
A y otra tercera propiedad es que si A y B son dos sucesos cualesquiera
bueno pues se cumple esta fórmula de aquí es que la probabilidad de la
unión ahora A y B son cualesquiera no incompatibles no necesariamente
incompatibles entonces la probabilidad de la unión es la probabilidad de A
más la probabilidad de B menos la probabilidad de la intersección bueno
aquí en el dibujito este en el gráfico se puede ver de una manera
intuitiva un poco de A y de B pues sería por una parte la probabilidad de
A sumamos la probabilidad de A con la probabilidad de B pero fijémonos que
al sumar la probabilidad con la de B la parte común que es la de la
intersección la hemos sumado dos veces por lo tanto la tendríamos que
restar una vez entonces así más o menos se comprende de forma intuitiva
aquí hay una demostración formal hecha pero bueno de forma intuitiva pues
se comprende la fórmula bien vamos a continuar y ya vamos un poco a
aplicar esto último a un caso particular y es que los sucesos elementales
sean equiprobables por ejemplo el caso del dado que todas las caras tengan
la misma probabilidad o por ejemplo el caso de la moneda que los dos
sucesos elementales tengan la misma probabilidad bueno pues en ese caso
supongamos que el suceso el espacio muestral está formado por n sucesos
elementales todos ellos con la los sucesos elementales con la misma
probabilidad escribamos p de a sub i igual a p minúscula entonces puesto
que e es la unión de esos sucesos elementales y la probabilidad de e es 1
tendríamos que 1 es igual a la probabilidad de la unión de los sucesos
elementales pero como son incompatibles esa probabilidad de la unión
sería la suma de las probabilidades pero como todas esas probabilidades
son todas iguales a p pues aquí tendríamos p multiplicado por n n por 1
por lo tanto si de aquí despejamos p nos queda que p es igual a 1 partido
por n si ahora es un suceso cualquiera que está formado por r sucesos
elementales cualesquiera que representamos por a sub 1 a sub 2 hasta a sub
r que podemos escribir la forma de unión ¿no? entonces la probabilidad de
a sería la suma de las probabilidades de esos r sucesos elementales y como
todos ellos tienen la misma probabilidad que sería p 1 partido por n pues
la probabilidad de a sería r por p o r partido por n r por 1 partido por n
es r partido por n bueno esta fórmula normalmente la escribimos con el
número que componen a que llamaremos el número de casos favorables a a al
suceso a ¿y n quién es? pues n es el número de sucesos elementales que
componen el espacio muestral que es el número por tanto de casos posibles
o sea que escribiremos que la probabilidad de un suceso en el caso de que
los sucesos elementales sean equiprobables la probabilidad de un suceso
sería el número de casos favorables partido por el número de casos
posibles que esta es la fórmula de Laplace que será en general la que
más utilizaremos bien un ejemplo en una bolsa hay 5 bolas blancas y 3
rojas todas de idéntico tamaño aquí tenemos un dibujito extraemos
simultáneamente dos de ellas hallar las probabilidades de los sucesos a
que las dos sean blancas b que las dos sean rojas y c que una sea blanca y
la otra roja vamos en cualquiera de los tres casos puesto que extraemos dos
bolas de la caja los casos posibles van a ser los mismos claro y claro
cuantos casos posibles hay si extraigo dos bolas a la vez pues eso es un
subconjunto de dos elementos por lo tanto el total de posibilidades es
decir los casos posibles serán las combinaciones de 8 elementos de orden 2
es decir 8 sobre 2 que es 8 por 7 partido por 2 que son 28 esos serían los
casos posibles ahora vamos a ver el primer caso que las dos sean blancas
bueno casos favorables es decir a que las dos bolas sean blancas puesto que
tenemos 5 bolas blancas pues los casos favorables serán 5 sobre 2 o sea 5
por 4 1 por 2 que es igual a 10 así es que la probabilidad de que las dos
sean blancas será 10 partido por 28 que es 0.36 aproximadamente a ver en
el segundo caso que la probabilidad de que las dos sean rojas bueno para
que las dos sean rojas como tengo 3 rojas cuantos casos favorables a que
las dos sean rojas pues 3 sobre 2 combinaciones de 3 de orden 2 que sería
3 por 2 partido por 2 que es igual a 3 luego la probabilidad de que las dos
sean rojas sería 3 partido por 28 que es aproximadamente igual a 0.11 y en
el tercer caso cuál es la probabilidad de que una sea blanca y la otra sea
roja bueno en este caso ya no lo haremos a través de las combinaciones
sino que puesto que tengo 5 blancas y 3 rojas y tengo que hacer parejas de
una blanca y una roja pues para cada una de las blancas por ejemplo la
número 1 de las blancas la emparejaríamos con cada una de las rojas tengo
3 posibilidades para la número 2 de las blancas tengo otras 3
posibilidades etcétera o sea que tengo 5 blancas por 3 por tanto 15
serían los casos favorables así que la probabilidad pues sería 15
partido por 28 igual a 0 aproximadamente a 0,54 bien vamos a ver otro por
ejemplo ejercicio tenemos un ramo formado por 4 flores de distintos colores
roja blanca rosa y amarilla y queremos regalar únicamente 3 de ellas bueno
para ello pedimos a una mano docente que seleccione 3 flores al azar va
cuantos posibles ramilletes de 3 flores podrían formarse bueno pues
evidentemente se trata del número de subconjuntos de 3 elementos que
podemos extraer del conjunto de 4 que tenemos arriba por tanto 4 calculamos
ahora la segunda pregunta es cuál es la probabilidad de que el ramillete
contenga una flor amarilla bueno pues si tenemos 3 flores una de ellas
tiene que ser amarilla y las otras 2 tienen que ser o roja o blanca
extraídas entre roja blanca y rosa que son 3 por tanto de cuántas formas
puedo yo extraer 2 elementos de 3 que tengo pues serían 3 sobre 2 que son
3 por lo tanto serían los casos favorables así que la probabilidad sería
los 3 favorables por aquí por los 4 posibles que teníamos antes que son
0,75 bien vamos a ver otro ejercicio consideremos nuevamente la población
de 5 personas de antes ¿no? ABCDE si extraemos una muestra de 2 individuos
¿cuál es la probabilidad de que en la muestra seleccionada aparezca el
individuo A? bueno pues vamos a verlo es decir que al extraer 2 individuos
vamos a contar casos posibles como antes sería hay 5 y como extraemos 2
los casos posibles son 5 sobre 2 5 por 4 que es igual a 10 ahora los casos
favorables puesto que en la muestra tiene que aparecer el individuo A ya
sabemos que de los 2 individuos del par uno es el A y el otro tiene que ser
o el B o el C o el D o el E que son 4 por lo tanto los casos favorables son
4 así que la probabilidad sería 4 partido por 10 que es 0,4 ahora otra
pregunta en el apartado B dice ¿cuál es la probabilidad de que en la
muestra seleccionada aparezca por lo menos al menos un individuo con letra
alfabéticamente anterior a la C alfabéticamente anterior a la C son la A
o la B probabilidad de que en la muestra aparezca por lo menos A o B bueno
estos ejercicios que aparecen en la expresión al menos suelen generalmente
hacerse más fáciles si nos preguntamos por la probabilidad del suceso
contrario al menos aparezca un individuo con la letra alfabéticamente
anterior a la C pues lo contrario es que no aparezca un individuo ni con A
ni con B por lo tanto ¿cuántos letras no son ni A ni B tres así es que
los casos podríamos decir favorables al contrario serían 3 sobre 2 que
serían la probabilidad de que al sacar dos bolas no aparezca ni la A ni la
B que sería digo el suceso contrario sería 3 partido por 10 que es 0,3
así es que ¿cuál sería entonces la probabilidad del suceso que nos
pedían que sería el contrario de este bueno pues sabemos precisamente que
la probabilidad de un suceso es igual a 1 menos la probabilidad del
contrario así es que la probabilidad que nos pedían sería 1 menos 0,3
que será 0,7 bien otro ejercicio bueno pues seguimos con el ejemplo de las
poblaciones entonces aquí tenemos una población A donde está formado
cuatro individuos aquí bueno en las iniciales que se refieren a izquierda
y derecha entonces en la población A hay cuatro individuos dos de
izquierdas y dos de derechas que las letras son la misma pero los
individuos se supone que son diferentes claro y luego la población B que
tiene dos individuos de derechas y uno de izquierda si extraemos
aleatoriamente una muestra que contenga un individuo de A y un individuo de
B entonces bueno ¿cuál sería la probabilidad de que en la muestra
aparezca por lo menos un individuo de izquierdas? bueno entonces vamos a
ver entonces casos posibles y casos favorables bueno normalmente en estos
problemas siempre comenzamos contando los casos posibles nos da también
una pista luego para calcular los favorables bueno los casos posibles está
claro que tenemos que coger un individuo de A y un individuo de B y formar
parejas pues como tengo cuatro en A y tres en B pues sería cuatro por tres
doce hay doce casos posibles ahora vamos a hacerlo también por el suceso
contrario es decir que aparezca al menos un individuo de izquierda lo
contrario es que no aparezca ninguno de izquierda que los dos sean de
derechas entonces ¿cuántos casos favorables hay del suceso contrario?
bueno pues tendríamos tengo dos de derechas en el A y dos de derechas en
el B pues sería para cada uno de los de derechas del A tengo dos parejas
por lo tanto serían dos por dos o sea dos por dos cuatro esa sería la
probabilidad del suceso contrario sería cuatro partido por doce que es un
tercio por lo tanto la probabilidad de que al menos aparezca un individuo
de izquierda sería la contraria que sería uno menos un tercio que sería
dos tercios y luego la otra pregunta dice ¿cuál es la probabilidad de que
en la muestra aparezca al menos un individuo de derechas? bueno pues
también lo hacemos por el contrario lo contrario de que al menos aparezca
uno de derechas es que no aparezca ninguno de derechas los dos sean de
izquierdas entonces ¿cuántas parejas de izquierdas con dos de izquierdas
tenemos? pues hay dos en el conjunto A y uno en el conjunto B serían dos
parejas así es que esos serían los casos favorables al contrario que
estamos buscando con lo cual la probabilidad del contrario sería dos
partido por doce es un sexto así es que la probabilidad pedida de que al
menos uno sea de derechas sería uno menos un sexto que son cinco sextos en
otro ejercicio consideremos ahora únicamente la población A de antes
¿no? y si extraemos una muestra de dos individuos de esta población
¿cuál es la probabilidad de que los dos sean de derechas? bueno vamos a
ver a ver cuántos casos posibles hay ahora tenemos cuatro individuos
extraemos dos casos posibles cuatro sobre dos son cuatro por tres partido
por dos igual a seis y ahora ¿casos favorables? pues puesto que hay dos de
derechas solamente y la la probabilidad de que los dos sean de derechas los
casos favorables a que los dos sean de derechas sólo hay uno por lo tanto
la probabilidad sería un sexto y luego dice ¿y la probabilidad de que al
menos uno de ellos sea de izquierdas? vale pues hacemos por el contrario lo
contrario de que al menos uno de ellos sea de izquierdas es precisamente
que los dos sean de derechas que es el caso como resultó antes cuya
probabilidad era un sexto por lo tanto lo contrario sería uno menos un
sexto que son cinco sextos bien vamos a ver otro ejercicio teniendo en
cuenta los datos de la tabla tres sobre la población española distribuida
según su estado civil aquí tenemos la tabla ¿cuál es la probabilidad de
extraer del conjunto de la población española una persona que sea soltera
soltero soltera bueno pues vamos a ver aquí tenemos solteros o sea en la
tabla ya nos dan son 17.682.302 de un total de personas son 40.595.761 por
lo tanto los casos posibles precisamente es ese total de 40.595.761 y los
casos favorables son el número de solteros que hay por lo tanto la
probabilidad sería simplemente casos favorables y posibles fin de eso
aquí lo hemos sacado con cuatro decimales bueno podemos hacer una
aproximación a dos decimales pero bueno también cuatro decimales pues no
está mal y después dice ¿cuál es la probabilidad de que extraer una
persona que no sea soltero pues justo el suceso contrario de ser soltero
pues como ya tenemos la probabilidad de ser soltero pues la probabilidad de
que no lo sea es el suceso contrario por lo tanto su probabilidad es uno
menos lo que hemos obtenido antes que sería cero coma cinco vamos a ver
otro ejercicio aquí tenemos bueno una tabla con la población andaluza
distribuida por provincias Almería Cádiz Córdoba etcétera y el total de
la población entonces pregunta ¿cuál es la probabilidad de extraer una
persona cuya provincia tenga salida al mar Mediterráneo bueno las
provincias que tienen salida al mar Mediterráneo pues serían sería
Granada sería y sería Málaga por lo tanto esos serían los casos
favorables extraemos una persona de Andalucía y la probabilidad de que
pertenezca a una de las provincias esas entonces esos son los casos
favorables simplemente los sumamos aquí tenemos 688.736 etcétera aquí en
esta expresión dividido por el total de la población que serían los
casos posibles bueno eso pues se suma y se calcula o sea la probabilidad
también eh también se puede expresar en porcentaje simplemente
multiplicando por cien o sea que a veces esta por ejemplo sería 0,5316 o
podemos también expresarla como el 53,16% bien y después dice ¿cuál es
la probabilidad de extraer a una persona de una provincia de interior?
bueno pues bueno pues aquí claro aquí está hecho en directo pero
podríamos haber hecho como suceso contrario eh simplemente restando uno
menos la probabilidad anterior nos sale también este resultado pensemos
que son resultados aproximados o sea que aquí pues eso bien y y finalmente
dice ¿cuál es la probabilidad de extraer a una persona residente en una
provincia que limite con el mar? bueno pues las provincias que bueno
perdón o sea antes he dicho que era el suceso contrario pero no lo es
porque claro lo contrario de ser una persona de interior no eran las que
tenían solamente costa en el mar mediterráneo ahora sí ¿eh? ahora sí
cuál es la probabilidad de extraer a una persona residente en una
provincia que limite con el mar pues eh es precisamente uno menos la
probabilidad anterior que eran las personas de interior la probabilidad del
interior o sea uno menos 0,4063 y bueno eso el resultado bien y vamos a ver
un último ejercicio aquí tenemos eh la tabla 2 donde está la población
de Velilla de San Antonio distribuida según su edad bueno y después la
tabla 3 que tenemos la población de España según el estado civil que es
la misma tabla de antes entonces pregunta ¿cuál es la probabilidad de
extraer del conjunto de la población española un individuo residente en
Velilla de San Antonio? bueno pues aquí tenemos casos posibles tenemos los
40 millones y casos favorables tenemos 8202 que son las personas de Velilla
de San Antonio evidentemente están entre los 40 millones por lo tanto la
probabilidad casos favorables por ejemplo casos posibles vamos muy
pequeñitas muy pequeñas lógicamente eh y después considerando
únicamente la población de Velilla ¿cuál es la probabilidad de extraer
una persona entre los habitantes de esa localidad que tenga menos de 40
años vale pues aquí los casos posibles son 8202 y los casos favorables
pues tenemos que sumar todas aquellas personas que tienen menos de 40 años
por tanto aquí va desde aquí desde 30 a 31 con estos sumamos el 1354 más
1017 etc hasta el 2034 y bueno eso da este resultado y se bien bueno pues
aquí tenemos una primera parte del tema y bueno nos veremos la siguiente
en otra conferencia