Bien, pues se trata del tema 7, distribuciones de probabilidad, que
consiste en ver unos ejemplos o modelos notables de variables, de
variables, lo que ahora vamos a definir como variable aleatoria, que son
modelos que se usan, modelos más notables que se usan en la práctica de
probabilidades. Entonces, bueno, en primer lugar vamos a ver el concepto de
función de probabilidad y de variable aleatoria. Es un concepto bastante
importante. Partimos del espacio muestral de un experimento aleatorio, y
aquí continuamos con la probabilidad, y en ese espacio muestral tenemos
una función de probabilidad, definida una probabilidad. Entonces vamos a
llamar X a una aplicación que a cada suceso le haga corresponder un
número. Y que nosotros ahora los distintos sucesos los vamos a reducir a
números, vamos a definir un número para cada suceso. De forma, ahora
pondremos así el plomo, de forma que las probabilidades de los distintos
sucesos se puedan expresar con ayuda de esta aplicación numérica. Por
ejemplo, podríamos pedir que X valga 3, pedir que X sea igual que 5, pedir
que X sea mayor que 1, etc. Entonces diríamos que esa aplicación que
convierte en números los sucesos, pues es una variable aleatoria. Bueno,
ahora vamos a ver, pero por ejemplo un ejemplo muy simple, si yo lanzo una
moneda, los sucesos que hasta ahora hemos llamado salir cara o salir cruz.
Cada uno tendrá su probabilidad. Pues a partir de ahora nosotros en vez de
llamarle salir cara, vamos a asignarle a cada resultado, por ejemplo, el
número de caras. Entonces claro, al lanzar la moneda, o le sale una cara o
ninguna cara. Eso sería la variable aleatoria, ¿no? O sea que la variable
aleatoria es la que hace corresponder a cada suceso un número, en este
caso el número de caras. O bien aquí tenemos otro ejemplo, ¿no? En una
urna hay tres bolas blancas y dos negras. Entonces extraemos una bola.
Vale, pues entonces nosotros hasta ahora en el tema anterior, por ejemplo,
preguntábamos cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca o cuál
es la probabilidad de que esa bola sea negra, etc. Aquí vamos a cambiar,
antes de hablar de probabilidad, pues vamos a llamarle a la variable x,
vamos a llamarle número de bolas blancas. De manera que sacar bola blanca
sería que x valga 1 y sacar bola negra sería que x valga 0. O sea, x es
el número de bolas blancas. Por lo tanto, ya digo, al hacer el experimento
me puede salir que x vale 1 o que x vale 0. Reducimos la probabilidad.
Fórmula de la probabilidad a una fórmula con la x, ¿no? Bueno, pues
entonces la función que a cada valor de la variable aleatoria asigna su
probabilidad se llama función de probabilidad y que en el caso del
ejemplo, este de las bolas, podemos expresar mediante la tabla en la que
aparezcan las probabilidades de los sucesos elementales que muestra la
distribución de probabilidad. Bueno, aquí tenemos la tabla, por ejemplo,
¿no? Es decir, aquí tengo X, ¿qué valores puede tomar 0 o 1? Es decir,
que yo al sacar una bola puede ser blanca o no. O sea, hay una blanca o
ninguna blanca al sacar la bola, ¿no? Por lo tanto, puede ser 0 o 1. Y
¿con qué probabilidades? Bueno, pues como teníamos, tenemos 5 bolas de
las cuales hay 2 negras y 3 blancas. Luego, ¿cuál es la probabilidad de
que haya 0 blancas al sacar una bola? Bueno, pues si he sacado, o sea, si
la probabilidad de que haya 0 blancas... ¿Cuál es la probabilidad de que
es negra, lógicamente? Luego, entonces, ¿cuál es la probabilidad? 2
quintos. ¿O cuál es la probabilidad de que X valga 1? Pues la
probabilidad de que X valga 1 será 3 quintos. Bueno, eso aquí lo tenemos
representado, ¿no? O sea, en el 0 una barrita de altura 2 quintos y en el
1 una barrita de altura 3 quintos. O sea, la función de probabilidad.
Bueno, las variables aleatorias, claro, pueden ser discretas, como por
ejemplo en estos ejemplos anteriores que hemos comentado, cuando sus
valores son el número finito o también infinito numerable. O continuas,
¿eh? Pues las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas,
cuando sus valores pueden ser cualesquiera de un intervalo de números
reales. Vamos a ver algunos ejemplos. Ejemplos de valores discretas, pues
número de hijos por familia. Familia, ¿eh? Tenemos un colectivo, un
espacio mostrado, ¿no? Tomado por los individuos, serían familias, ¿no?
Entonces, cada familia pues tiene un determinado número de hijos. Eso
obviamente es una variable aleatoria, ¿no? Número de trabajadores por
empresa, etcétera, ¿no? Número de accidentes en un tramo de carretera y
tal. Aquí, por ejemplo, número de hijos por familia, bueno, evidentemente
no es infinito, no puede ser infinito, claro. Pero bueno, vale, 0, 1, 2, 3,
4, no sé, podemos alargarlo, bueno, no sé, 10, 12, no sé, 15.
Evidentemente no es infinito, pero bueno, en algún momento se termina.
Pero bueno, siempre puedes encontrar una familia que tenga un hijo más. O
número de trabajadores por empresa, pues algo parecido. Número de
accidentes en un tramo de carretera, pues también algo parecido. Es decir,
tampoco, el número no se cierra, porque claro, ¿cuántos accidentes hay?
Puede haber, ¿cuántos puede haber? ¿Cuál sería el valor de X? Pues X
puede ser 0, 1, 2, 3, etc. Bueno, al principio está abierto, ¿no? O bien
ejemplos de variables continuas, ¿no? Por ejemplo, salarios de los
empleados de una empresa. Claro, el salario sí que es un número, los
salarios no van de uno en uno, ¿no? Como por ejemplo el número de hijos
por familia, o el número de trabajadores, o el número de accidentes, son
números enteros, ¿no? El salario ya no. El salario pues puede ser
cualquier valor, son números decimales, etc. O sea, entre dos salarios
cualesquiera, siempre cabe uno, ¿no? Seríamos que es continua, ¿no? O el
tiempo del... ...de determinado electrodoméstico, ¿eh? Hasta que se
fungue, ¿no? Entre termos, ¿no? Con tiempo, pues es también una variable
continua. Bueno, si una variable aleatoria es continua, entonces hay un
concepto muy importante que es lo que se llama función de densidad, f de
x, es una función no negativa tal que la probabilidad de que esa variable
esté comprendida entre dos valores a y b, o sea, tomen los valores de la x
que estén comprendidos entre a y b, pues eso lo mediremos o lo
visualizaremos con la ayuda de esa función de densidad como el área
comprendida entre esa función y el eje de abscisas y las rectas x igual a
a y x igual a lo que está aquí dibujado, este dibujo de aquí. Es decir,
que ese dibujo, la forma de ese color amarillo, sería la probabilidad de
que la variable aleatoria esté... entre a y b, el área debajo de la
función de densidad. O sea, esa función de densidad es una función que
se define para cada variable aleatoria continua que nos permite calcular
probabilidades. Bien, ¿a qué se llama el valor esperado en las muestras?
De una población. La población en realidad es el valor esperado de la
variable aleatoria. Bueno, pues si tenemos una variable aleatoria discreta
que toma los valores x sub i igual a 1, 2, n, hasta n. Hemos visto que la
variable aleatoria discreta toma valores con un número finito o infinito
numerable. En este caso toma n valores con probabilidades respectivas p sub
i. La probabilidad de que x sea x sub 1, sea p sub 1. La de que x sea x sub
2, sea p sub 2, etc. Entonces se denomina el valor esperado de x o también
la media de la variable aleatoria x a esta expresión de aquí. O sea,
esperanza, se llama esperanza, el valor esperado de esperanza de x es igual
a la suma de cada valor de la variable por su probabilidad. La suma de cada
valor de la variable por su probabilidad. En el caso de que la variable sea
continua, con función de densidad f de x, la definición cambia un poco y
entonces el valor esperado va a ser la integral. Aquí, bueno, no vamos a
tener prácticamente que utilizar cálculo integral, pero bueno, se define
de esa manera. El valor esperado, bueno, aquí ahora al verla observo que
falta una cosa, que es la x, aquí falta una x. Eso. Es decir, el valor
esperado de la variable aleatoria x sería x, aquí dentro de la integral
está x minúscula, x por f de x diferencial de x. La integral desde menos
infinito hasta más infinito de x por f de x diferencial de x. Es algo
parecido al caso de discreta, el caso de discreta que era la suma de cada
valor de la variable por su probabilidad, la suma. Bueno, pues en este
caso, sustituimos la suma por la integral. La integral, en realidad, lo que
representa es el área. Lo que teníamos antes, o sea, que esta zona de
color amarillo, esto sería la integral de la función de densidad, la
integral de f de x desde a hasta b. O sea, que una integral representa el
área que hay debajo de la función de densidad en este caso. Bueno, por
aquí es como si dijéramos, la integral de alguna manera es una
generalización del sumatorio, para una suma infinita. Bueno, pues eso es
lo que tenemos aquí. O sea, que la media, o sea, la esperanza, en el caso
de variable continua, sería la integral del producto de la variable x por
la función de densidad. Vale, eso. Ya digo eso, en realidad luego, pues
no, afortunadamente no vamos a tener que utilizar cálculo integral. Bueno,
aquí está la definición. Bueno, pues vamos entonces a ver unos ejemplos
concretos de variables aleatorias, de distribuciones concretas. Entonces un
primer ejemplo sería lo que se llama la distribución uniforme discreta.
Entonces, tal variable aleatoria, la variable aleatoria x, se llama. La
distribución uniforme discreta, si toma valores x sub i, desde igual a 1
hasta n. Pero todos con la misma probabilidad. La probabilidad de que la x
sea igual a x sub i es 1 partido por n. Eso para cualquier x sub i. Puesto
que hay n valores, x sub 1, x sub 2, etc. Esta x sub n, la probabilidad y
la probabilidad de cada uno de ellos es 1 partido por n. ¿Cuánto
sumarán? O sea, podríamos decir que estos son los sucesos elementales.
¿Cuánto sumarán las probabilidades de todos los sucesos elementales?
Pues puesto que hay n y cada uno vale 1 partido por n, lógicamente suma 1.
Como tiene que ser, claro. Bueno, esa variable aleatoria, ya digo, con esas
características se llama variable aleatoria uniforme discreta. Por
ejemplo, en un ejemplo concreto de una bolsa hay 5 bolas idénticas
numeradas del 1 al 5. Si extraemos una, bueno, pues ahí tenemos un ejemplo
de variable aleatoria discreta tipo uniforme. Si extraemos una, cada una
tiene la misma. La misma probabilidad es 0,2. O sea, 1 partido por 5. 1
partido por 5. 0,2 debe ser extraída. Bueno, pues entonces la
distribución de probabilidad y su representación gráfica sería la
siguiente. Aquí tenemos la distribución de probabilidad. Los valores que
toma la variable aleatoria, o sea, aquí yo puedo sacar la número 1, la
número 2, están numeradas, la número 1, la número 2, esos serían los
valores de la variable, y cada una tiene la misma probabilidad 0,2, por lo
tanto, bueno, aquí estaría la representación gráfica. Bien, para cada
número, 1, 2, 3, 4, 5, pues subimos una barrita de longitud 0,2. Esa
sería la distribución de probabilidad. Bien, otro ejemplo, ahora sería
la distribución, se llama uniforme continua. ¿Qué consiste? Bueno, pues
aquí, como es una variable aleatoria continua, tenemos que proporcionar la
función de densidad. Entonces, la función de densidad es esta que tenemos
aquí, es f de x, vale, 1 partido. 1 partido por b menos a, es ese
cociente, ese quebrado, 1 partido por b menos a, siempre que la x esté
entre a y b, o 0 en el resto. Bueno, aquí tenemos un dibujo, aquí tenemos
el intervalo ab, y tenemos la recta, ¿no?, este segmento, aquí arriba de
color rojo, que eso sería la representación gráfica de esta función. O
sea, que esta función f de x toma el valor constante 1 partido por b menos
a, que está aquí representado, de color rojo, entre A y B y cero en el
resto, en realidad, o sea que aquí también tendríamos que dibujar de
color rojo la gráfica antes de A y después de B, que es cero. O sea que
entonces la gráfica de la función de densidad sería viene valiendo cero
hasta que llegamos a A, cuando llegamos a A salta a 1 partido por B menos
A, que es una constante, el valor que sea y luego cuando llegamos a B
vuelve a seguir valiendo cero. Cero, ¿no? Bien, entonces, vamos a ver,
¿cuál sería entonces la probabilidad de que la variable aleatoria X
esté comprendida entre A y X? X es un valor cualquiera. Bueno, pues ahí
lo tenemos dibujado. Es decir, que es la parte que hay debajo de la
función de densidad. Es el área, esa área está aquí pintada de
amarillo, claro, pues sería ese rectángulo de ahí y claro ¿esa área
cuál es? Pues es base por altura. Entonces la base es X menos A hasta X,
la longitud es X menos A y la altura que es 1 partido por B menos A.
Entonces base por altura pues sería X menos A partido por B menos A. Esa
sería la probabilidad. Entonces esta sería la función de probabilidad de
la variable uniforme continua. Bien, en ocasiones una variable aleatoria
puede ser uniforme a trozos. Eso ocurre por ejemplo cuando hay intervalos
como vamos a ver aquí en este ejemplo. La población de Soria en el año
2001 se distribuía en grupos de edad como se indica en la siguiente tabla.
Aquí tenemos intervalos de edad de 0 a 20 años, de 20 a 35, etc. Y el
número de individuos en cada clase, este día total. Y las probabilidades
estas, bueno, ya no están hechas aquí pero las podríamos haber obtenido
nosotros simplemente dividiendo por ejemplo cuál es la probabilidad de
elegir un individuo que esté entre 0 y 20 años. Pues es dividir 15.375
por 90.727 en casos favorables o cualquier cosa posible y vamos obteniendo
estas probabilidades. Aquí ya están hechas. Entonces aquí tenemos la
representación gráfica. Pues, bueno, pues tenemos cada intervalo con su
probabilidad. Rectángulo, hemos hecho un rectángulo. que tiene la
probabilidad que tenemos aquí en la tabla. Entonces, la función de
densidad aquí, o sea, el área de cada uno de estos rectángulos es la
probabilidad entonces la función de densidad será uniforme pero en cada
subintervalo de 0 a 20, pues tenemos el área esta sería 0,1695 que es la
probabilidad entre 0 y 20, etc. Entonces, así por ejemplo este sería el
ejercicio 1 del texto dice la probabilidad de elegir un habitante soriano
que tenga una edad entre 35 y 45 bueno, pues claro, puesto que nosotros
aquí tenemos entre 35 y 50 pero entre 35 y 45 pues tenemos que partir
tenemos que partir el intervalo este entonces cuál sería el área o sea,
si el área es 0,2075 entre 35 y 50 pero entre 35 y 45 bueno, pues lo
podemos hacer es un reparto Miramos ahora la parte entre 35 y 45, claro que
sería como si hagamos el factor de proporción que tengo que multiplicar
el 0,2079, o como si hiciéramos el porcentaje que tenemos que calcular al
0,2079, y claro, el porcentaje tanto por 1, tanto por 1 lo calculamos, pues
eso, 45 menos 35 partido por 50 menos 35. 45 menos 35 sería este intervalo
de aquí, y luego 50 menos 35 que sería todo. Entonces claro, la
proporción que tenemos que utilizar del 0,2079 pues será ese cociente, 45
menos 35 partido por 50 menos 35, eso se multiplica por 0,2079, bueno, este
resultado sería la probabilidad esa. Bueno, se llama uniforme, uniforme
continuo a ese modelo. Bien, vamos a ver otro ejemplo. Es el ejercicio 2
del texto. La población española residente en viviendas familiares en
2011 se distribuye por edad según la siguiente tabla. Bueno, aquí tenemos
también por intervalos menos de 20, de 20 a 34, de 35 a 39. Bueno, aquí
recordemos que aquí tenemos intervalos que acaba de 20 a 34, en realidad
llega hasta el 35, pero intervalo abierto. Bueno, aquí está puesto de
otra manera, aquí abajo. Bueno, y aquí tenemos los totales, ¿no?, de
cada uno de esos intervalos. Y entonces, bueno, y aquí, bueno, aquí en la
tablita esta que hay aquí abajo, pues ya se han puesto las probabilidades
también, ¿eh?, de cada uno de los intervalos. Pues ya dividir el total de
cada intervalo por el total. Bueno, dice, ¿cuál es la distribución de
probabilidad de las edades de la población española en 2011? Bueno, eso
lo tenemos aquí en la tabla esta. Ahí está la distribución de
probabilidad. Es la probabilidad por cada intervalo. Y después dice,
¿cuál sería la probabilidad de encontrar en España alguien que tenga
entre 30 y 49 años? Bueno, entre 30 y 49 serían entre 30 y 50. Vamos a
considerarlo con intervalos iguales, entre 30 y 50. Por lo tanto, tendremos
que partir. O sea, el intervalo de 30 a 50 va entero, pero el de 20 a 35,
ahí tenemos que partirlo de 30. O sea, que entonces, bueno, algo parecido
a lo de antes, ¿no? Entonces, vamos a ver aquí, encontrar a alguien entre
30 y 49, ¿no? Equivale a que la persona esté en el intervalo 30-50. Pero,
claro, 30-50 es el 30... 30 y 59. Unido con el 35-50, ¿eh? Lo separamos
porque aquí en la tabla lo tienen separado. entonces sea X la edad de la
persona elegida entonces tenemos que la probabilidad de que X que la edad
esa pertenezca a 30, 35 es igual, lo hacemos por la proporción sería 35
menos 30 partido por 35 menos 20 y multiplicamos su probabilidad 0,1829 eso
lo tenemos aquí, 0,1829 bueno, eso sería 0,0610 los cálculos lo hacemos
por la calculadora y luego la probabilidad de que X esté entre 35 y 50 esa
sí, esa ya la teníamos en la tabla que es 0,2373 por lo tanto, la
probabilidad de que X esté entre 30 y 50 es la suma de estas dos
probabilidades que hemos hallado 0,2183 bueno, estos ejercicios están en
el texto estando ahí también la solución viene al final y aquí pues eso
también, lo hacemos para comentarlos bien, otro modelo este pues
podríamos decir uno de los más importantes cálculo de probabilidades que
se llama la distribución binomial Entonces, una variable aleatoria,
primeramente, decimos que es de Bernoulli, x es una variable de Bernoulli,
si solo toma el valor 0 con una probabilidad q o el valor 1 con una
probabilidad p. Podemos decir el caso de la moneda, el alzo de la moneda,
entonces número de caras, pues es 1 o 0. Ese sería un caso particular de
variable aleatoria de Bernoulli, se llama así. Entonces, si la
probabilidad de éxito, podríamos decir, o sea, de que x valga 1 es p,
pues decimos que la variable aleatoria de x es b de p, o sea, de Bernoulli,
la vez de Bernoulli, de parámetro p. Bueno, y en el ejemplo anterior, el
número de bolas blancas del ejemplo anterior, pues también era de
Bernoulli. ¿Cuál era la probabilidad de sacar bola blanca? Tres quintos.
¿Y cuál es la probabilidad de sacar bola negra? Pues lo contrario, dos
quintos. Entonces, era un ejemplo. Era un ejemplo de variable aleatoria de
Bernoulli, b de tres quintos. Bien, si una variable x es la suma de n
variables del Bernoulli de parámetro p, independientes, decimos que es
binomial y de parámetros b, n, p. O sea, n es el número de veces que
repetimos o que sumamos la variable del Bernoulli y p es la probabilidad de
éxito, podríamos decir. Aquí, por ejemplo concreto, pues la moneda en
vez de lanzarla una vez la lanzamos diez veces. Ahí tendríamos una
binomial porque lanzar diez veces una moneda es lanzarla una vez y otra vez
y otra vez. O sea, que son repetir la variable del Bernoulli y después
sumar el resultado. Porque cada vez que me salga cara, por ejemplo, yo
lanzo la moneda diez veces y miro a ver cuál es el número de caras. Esa
sería la variable de la teoría, el número de caras. Claro, el número de
caras voy sumando las caras cuando me vayan saliendo. Saliendo caras en las
de Bernoulli, claro. O sea, que la variable binomial es la suma de las de
Bernoulli. Bueno, por ejemplo, la probabilidad de que en cada nacimiento de
los que se producen en España encontremos una minia es p igual 0,48. Por
tanto, de que nazca un niño, pues es lo contrario, claro, si no es niña,
pues es niño, entonces sería 1 menos p, 1 menos 0,48 igual a 0,52. Bueno,
pues ¿cuál es la probabilidad de que nazcan tres niñas en cinco
nacimientos? Pues ahí tenemos, o sea, se trata de repetir cinco veces, hay
cinco nacimientos, repetir cinco veces un nacimiento. Un nacimiento
distinto cada vez, claro. Por tanto, sería repetir cinco veces una
variable aleatoria de Bernoulli de parámetro 0,48, que sería el éxito en
nuestro problema, ¿no? Porque queremos ahí la probabilidad de que nazcan
tres niñas y la probabilidad de que nazca una es 0,48. Por lo tanto, una
posibilidad sería, pues, 1, 1, 1, 0, 0. De las tres primeras niñas, o
sea, cada vez que sea un niño... 1, va a ser éxito, o sea, es una niña,
y luego 0, que es que no es niña, por lo tanto, niño, ¿no? Entonces, una
posibilidad es que en los cinco nacimientos, los tres primeros son niñas y
los dos últimos son niños. ¿Eso qué probabilidad tiene? Pues, a ver,
cada vez que nazca niña sería 0,48, pues se multiplicaría 0,48 por 0,48
por 0,48 y luego por 0,52 y por 0,52. Son cinco casos por el que lo
tendríamos, o sea, 0,48 elevado al cubo por 0,52 elevado al cuadrado.
Ahora, eso sería la probabilidad de este suceso, podríamos decirlo, ¿no?
3,1 y 2,0. 1,1,1,0,0 en ese orden. Pero podrían haber salido en otro
orden, o sea, podría haber sido niña, niño, niña, niño y niña, ¿no?
De manera que el orden cambia, es otro suceso diferente al anterior, pero
tiene la misma probabilidad, ¿eh? Tiene la misma probabilidad. Bueno,
etcétera. Entonces, siempre que el número de éxitos sea 3, la
probabilidad será la misma. Pero, claro, ¿de cuántas maneras entonces
podemos obtener tres éxitos? Bueno, pues eso ya lo hemos visto también
con la combinatoria, ¿no? Y aquí si tengo cinco lugares para rellenar con
3,1 y 2,0, ¿de cuántas formas lo puedo hacer? Pues serían 5 sobre 3,
combinaciones de 5 de orden 3, ¿no? Por tanto, el número de posibilidades
de que nazcan 3 niñas y 2 niños sería 5 sobre 3, que son 10. Y cada uno
de esos tiene la probabilidad que hemos escrito antes, ¿no? De 0,48 al
cubo por 0,52 al cuadrado. Por lo tanto, la probabilidad de que nazcan 3
niñas en 5 nacimientos será 5 sobre 3 por 0,48 elevado a 3 por 0,52
elevado a 2. Eso, pues, es 0,21 de 90. En general, vamos a obtener la
fórmula. En general, si X es una binomial NP, entonces se cumple que la
probabilidad de que haya R éxito sería N sobre R por P elevado a R y por
Q elevado a N menos R. Esta fórmula viene recordarla porque ya digo, es
bastante importante este modelo. Bien, y eso, Q es igual a 1 menos P igual.
Bien, ¿cuál es? Día el valor esperado de la distribución binomial, cual
sea la media, ¿eh? ¿Cuál es el valor esperado? de esta distribución.
Bueno, pues aquí tenemos bueno, en primer lugar vamos a ver la de
Bernoulli aquí tenemos la tabla de una Bernoulli la Bernoulli solamente
toma el valor 1 o 0 y el 1 con probabilidad p y el 0 con probabilidad q por
tanto el valor esperado era cada uno de los valores de la variable por su
probabilidad el valor esperado de la esperanza de x sería el 1
multiplicado por p más el 0 multiplicado por q y eso da p. Y la varianza
que sería la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media sería,
a ver, ¿cuál es la media de los cuadrados? Pues sería 1 al cuadrado por
p más 0 al cuadrado por q. La esperanza del cuadrado, 1 al cuadrado por p
más 0 al cuadrado por q. Menos la esperanza de la x que hemos hallado
antes que era p elevada al cuadrado. Es la varianza la varianza es la media
de los cuadrados menos el cuadrado de la media. Por tanto sería p cuadrado
menos p cuadrado. O sea, perdona, p de p o sea, p porque es 1 al cuadrado
es 1 por p, es p menos p cuadrado. Ahora, p menos p cuadrado, podemos sacar
la p factor común y nos queda p factor común de 1 menos p que es q. Luego
lo podremos escribir de esa manera. O sea que la varianza de la variable de
Bernoulli es p por q. Así es que si x es ahora una binomial, y como la
binomial es suma de variables de Bernoulli independientes, pues la
esperanza de la x será la suma de las esperanzas de Bernoulli, pues lo que
sumamos n veces, y como era p, pues n por p. Y la varianza será la suma de
las varianzas de las de Bernoulli, y como sumamos n veces, pues sería n
por p y por q. Así que aquí tenemos ya el valor esperado y la varianza de
la variable binomial en p. Vamos a ver un ejercicio que sería el ejemplo 3
del texto. Bien, un opositor es convocado. El mismo día para dos
oposiciones distintas. En la oposición A, de nivel medio, hay 5 plazas a
cubrir, y en la oposición B, de nivel superior, hay 9 plazas. El aspirante
no sabe bien a cuál presentarse, entonces observa las estadísticas de
convocatorias anteriores y aprecia que en la oposición A el porcentaje de
éxito está en torno al 25%. O sea, podríamos decir que la probabilidad
de aprobar sería 0,25. Mientras que la oposición B es más difícil y el
éxito solo alcanza el 15%, o sea que la probabilidad de aprobar la
oposición B sería 0,15. Entonces dice, con esta información, ¿cuál
será la elección más ventajosa? Bueno, vamos a ver. Entonces el número
de éxitos de la oposición A es una variable binomial 5, puesto que hay 5
plazas, pues entonces la oposición A sería una variable de la teoría
binomial 5, 0,25. Tengo la probabilidad 0,25. De tener un éxito, pero
tenemos 5 plazas. Y en la oposición B, puesto que hay nueve plazas, se
trataría de una binomial nueve con probabilidad de éxito 0,15. Entonces,
claro, los valores medios respectivos, o sea, el número medio de éxitos
sería, hemos quedado que la media es NP, que lo tenemos aquí arriba, pues
serían 5 por 0,25 en el caso de la oposición A, que es 1,25, y 9 por 0,15
en el caso de la oposición B, que es 1,35. Es decir, que a pesar de que la
oposición B sea más difícil, ¿no?, porque es más improbable, o sea, la
probabilidad de éxito es más pequeña, sin embargo, el valor esperado es
más grande. En el caso de la A, el valor esperado es 1,25, mientras que en
la B es 1,35. Luego, aquí se compensa, de alguna manera, el hecho de que
la probabilidad, pero el número de plazas es mayor, ¿no? Entonces, bueno,
aquí está hecho el cálculo preciso de cuál sería el valor esperado.
Entonces, bueno, en este caso, pues sería más ventajoso presentarse a la
oposición B. Bien, tenemos otro ejercicio. En el año 2012 las empresas
españolas se distribuían según el número de asalariados de la siguiente
en forma, ¿no? Bueno, por ejemplo, los intervalos, los inasalariados, de 1
a 9, de 10 a 49, etcétera, y aquí tenemos el número de personas por cada
uno de los intervalos y el total. Entonces, si tomamos una muestra
aleatoria de 20 empresas, ¿no? ¿En cuántas de ellas esperamos encontrar
100 asalariados? Bueno, bien, el total aquí se refiere a empresas, ¿eh?
Se refiere a empresas. O sea, empresas sin asalariado hay un millón y
trescientos mil y pico, etcétera, ¿no? Entonces, bien, tomamos una
muestra aleatoria de 20 empresas. Bueno, ¿y qué? ¿En cuántas de ellas
esperamos encontrar 100 asalariados? Bueno, pues, ¿cuál es la
probabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una empresa sin
asalariado? Por eso aquí tenemos casos favorables para ti, por casos
posibles. O sea, que sería esto de aquí, ¿eh? Un millón setecientos
sesenta y cuatro mil a setecientos sesenta y siete dividido por el total.
Eso sale 0,5516. Por lo tanto, si tomamos una muestra de 20 empresas, la
variable número de empresas sin asalariados en esas 20 es una variable
binomial donde n vale 20 y la probabilidad p vale 0,5516. Por lo tanto, el
resultado sería 20 multiplicado por 0, que sería el valor esperado, np.
Sería np, el valor esperado. Por lo tanto, sería 20 por 0,5516, que es
aproximadamente 11. Es decir, que ese es el número de empresas que
esperamos, que se esperan encontrar sin asalariados. Solo te digo, es el
valor esperado. La pregunta dice, esperamos encontrar. Bien, y una muestra.
Una muestra de 1.000 empresas, pues lo mismo, multiplicamos 1.000 por la
probabilidad, que sería 0,5516. Bien, y otra pregunta. ¿Se calcula la
probabilidad de que en una muestra de 15 empresas aparezcan dos que tengan
entre 10 y 49 asedariados? Bueno, aquí tenemos otra binomial, pero ahora
es n vale 15 y la probabilidad ahora es entre 10 y 49. Por tanto, serían
122.163 partido por los 3 millones estos de total, ¿no? Por tanto, la
probabilidad de encontrar una empresa entre esos asedariados sería 0,0382.
Puesto que cogemos 15 empresas y queremos encontrar dos, pues se trataría
de hallar la probabilidad de una binomial, ¿eh? 15, n igual a 15 y
probabilidad 0,0382, la probabilidad de que la variable sea igual a 2. Y
eso, bien, la fórmula sería 15 sobre 2 por 0,0382. 0,0382, que es el
éxito, ¿no? La probabilidad de éxito elevado a 2 por Q, que sería 1
menos, ¿eh? 1 menos 0,0382, que sería 0,9618 elevado a 13. tenemos 2 y
otros 13 en total hay 15, bueno pues eso se calcula y ya es el resultado
bien, otro apartado del mismo problema hay varios apartados vamos viendo
por separado dice el apartado D, calcule la probabilidad de que en una
muestra de 10 empresas aparezcan por lo menos 7 que tengan entre 1 y 9
asociados bueno pues lo mismo aquí volvemos a tener una binomial a la hora
de N vale 10 y entre 1 y 9 asociados en la tabla lo buscamos y esta sería
la probabilidad 1.288.390 porque por el total queda 0,4027 por lo tanto lo
que tenemos aquí es una binomial 10, 0,4027 de parámetros 10 0,4027 luego
la probabilidad de tener al menos 7 es que haya 7, 8 9 o 10 sacamos 10
empresas, claro lo máximo serían 10 entonces bueno pues aquí no hay
entre normas remedio que ir calculando y sumando, o sea en el caso de la
probabilidad de obtener 7 sería 10 sobre 7 por la probabilidad de éxito
elevado a 7 por la probabilidad de fracaso, 1 menos 1 menos ella, elevado a
3 Más 10 sobre 8, más 10 sobre 9, etc. O sea que vamos poniendo la
fórmula en cada caso para 7 éxitos, 8 o 9 o 10. Bueno, eso calculo
directamente lo que hemos calculado y el resultado está ahí. Otro
apartado es que calcule la probabilidad de que en una muestra de 10
empresas aparezcan al menos 6 con menos de 10 asalariados. Bien, pues vamos
a la tabla a ver la probabilidad de tener menos de 10 asalariados. Bueno,
entonces en la tabla menos de 10 es sin asalariados o de 1 a 9. Entonces
hay que sumar estas dos cantidades. Entonces, bueno, pues aquí lo tenemos,
¿no? Por lo tanto, esta sería la probabilidad de obtener una empresa de
menos de 10 asalariados, de hacer una extracción. Pero puesto que hacemos
la muestra de 10 empresas, pues volvemos a tener una binomial n igual a 10
Y probabilidad 0,9543. Por lo tanto, la probabilidad de tener... O sea, de
que aparezcan al menos 6, por lo menos 6, pues es parecido a lo de antes,
¿no? Es que salgan 6 o 7 o 8 o 9 o 10, ¿no? Entonces, bueno, pues tenemos
que haber separado cada uno de estos cálculos, ¿no? Y, bueno, pues eso
para que sean 6 empresas, o sea, 10 sobre 6, pues 0,9543 elevado a 6, pues
0,0457 elevado a 4, bueno, etcétera, ¿no? Sobre 7, 10 sobre 8, 10 sobre
9, 10 sobre 10. Bueno, y aquí fíjate el resultado, que sale
prácticamente 1, ¿eh? Prácticamente 1, 0,9999. Bien, otra pregunta,
¿no? Calcule la probabilidad de que en una muestra de 10, 10 empresas,
aparezcan 3 que tengan entre 1 y 49 asalariados. Bueno, pues lo mismo,
tenemos que contamos, a ver, las empresas con entre 1 y 49 asalariados,
hallamos la probabilidad, ¿eh?, de que una empresa pertenezca a ese
colectivo y entonces, puesto que también elegimos 10 empresas, estamos
ante una binomial de tamaño, o sea, n igual a 10, y queremos 3 éxitos,
pues sería, la probabilidad sería 10 sobre 3, 0,449 elevado a 3, y por
0,531 elevado a 7, bueno, eso es el resultado. Y, bueno, y finalmente
calcula la probabilidad de que una muestra de 7 empresas, como mucho 2,
tengan entre 1 y 49. Bueno, pues entonces, como tenemos ya la probabilidad
de entre 1 y 49, la tenemos de antes, ¿no? A ver, entre 1 y 49, que era 0,
a ver, aquí la teníamos 0,4409. Pues entonces, la probabilidad de que
entre 7 empresas, como mucho 2, pues como mucho 2 serían o 0, o 1, o 2.
Por tanto, tenemos que actuar la probabilidad de que haya 0 éxitos, o 1
éxito, o 2 éxitos, siempre usando la misma fórmula. Y, bueno, el
resultado sería este. Bien, y de esto, pues ya digo, es cuestión de,
aquí porque lo he repetido en este ejemplo varias veces, la formulita de
la binomia. Porque, bueno, es importante. Y tenemos aquí otra
distribución, que podríamos decir que todavía es cada vez más
importante que la binomial, por su utilidad, que es la distribución
normal. Es la distribución teórica más usada en estadística. Esta es
una distribución de tipo continuo. Bueno, es muy importante porque
cualquier distribución muestral de medias se aproxima a lo normal. Esto
quiere decir lo siguiente, si tenemos un colectivo de alumnos, por ejemplo,
que han hecho un examen, entonces tenemos, no sé, 200 alumnos y no sabemos
cuál es la nota media. Bueno, podríamos preguntar a los 200, pero
supongamos que es muy difícil. Bueno, no, es muy difícil. Bueno, si son
200, pues vamos muchos más, pongamos 100.000 alumnos. Bueno, pues entonces
lo que hacemos es extraemos muestras. Entonces yo cojo, por ejemplo, 10
alumnos y de 10 alumnos sí que es más cómodo sacar la media. Luego saco
otros 10, otros 10 diferentes, saco la media, otros 10 diferentes, saco la
media. Entonces las distintas medias que vayamos obteniendo, obviamente no
van a... van a ser la misma, claro, pero esas medias se van a distribuir,
se van a distribuir... Bueno, si las elegimos de manera aleatoria, pues
bueno, pueden ser parecidas, incluso si aumentamos el tamaño de la
muestra, pues más parecidas todavía, incluso parecidas a la muestra, o
sea, a la verdadera media del total de la población. Pero bueno, se van a
distribuir esas medias alrededor precisamente de la verdadera media de la
población, que no la conocemos, y se van a distribuir como indica esta
curva, que es la campana de Gauss, que es la función de densidad de esta
distribución normal. Es decir, que aquí tenemos la fórmula escrita, la
forma analítica, es 1 partido por sigma raíz de 2 pi, depende de dos
variables, de dos parámetros, ¿no? Es una fórmula. Es una función que
es 1 partido por sigma raíz de 2 pi, sigma es una constante, que bueno,
luego se ve que representa la desviación típica de la variable aleatoria,
¿no? Tanto es un número positivo. Esto es 1 partido por sigma raíz de 2
pi, 2 pi es el número pi. Y luego multiplicado por e elevado a menos x
menos mu elevado al cuadrado, partido por dos sigma al cuadrado. Aquí
tenemos la otra constante, el otro parámetro que es la mu, que luego se
comprueba que es la media, bueno además aquí está dicho, son la media y
la desviación típica de la variable aleatoria, aunque eso hay que
probarlo, pero bueno, se prueba. Y la x es la variable, o sea, aquí
tenemos f de x, es una función donde la x solamente está aquí en el
exponente, x menos mu elevado al cuadrado. Bueno, esta función tiene una
gráfica que está aquí dibujada, es lo que se llama la campana de Gauss,
pongamos el punto máximo está a la altura del valor de mu, y luego pues a
la derecha de mu, un intervalo. Un intervalo mu más sigma, y a la
izquierda de mu, mu menos sigma, precisamente llega hasta los puntos de
inflexión, donde la curva cambia de convexa a cóncava, ahí están los
puntos de inflexión, ahí es donde está el mu más sigma y el mu menos
sigma. por tanto esos parámetros mu y sigma pueden ser distintos el mu
puede ser positivo o negativo el sigma siempre positivo pero puede ser
mayor o menor entonces pongamos la campana de Gauss pues puede estar más
cerrada o más abierta bien bueno, el número E no lo comentaba, el número
E es una constante matemática también que su valor aproximado es de aquí
el número I pues es más conocido es el 3, 14 bueno, esta sería la
distribución normal recordemos como hemos dicho antes que la función de
densidad lo que pongamos determina por debajo de ella son las áreas
comprendidas entre ella y el eje de abscisa etc. Y bueno, y aquí pues eso,
de alguna manera es como indica la distribución de las probabilidades,
porque aquí observamos que donde más se acumulan los sucesos más
probables, los sucesos más probables estarán alrededor de mu, porque es
donde más arriba sube la función de densidad. O sea que aquí las áreas,
pongamos de intervalos, pongamos alrededor de mu, pues son mayores, estas
áreas de aquí, esta área de esta zona, es mucho mayor que las de zonas
más alejadas, más alejadas del mu. Bien, bueno, pues si x es normal, con
media muy descripción típica sigma, decimos abreviadamente que la x es,
lo escribimos así, una n coma, o sea, entre paréntesis. Paréntesis mu
sigma, normal mu sigma. Bien, ocurre que si nosotros a una variable x que
sea normal mu sigma le restamos su media y la dividimos por su desviación
típica, esa operación se llama tipificación de la variable. Entonces
esto la convierte, o sea, que si le restamos mu a todos los valores de la
variable, pues el valor cuando x valía mu ahora valdrá cero, es decir,
que pongamos el centro o la media de la distribución se nos va a ir al
cero. Y si dividimos por sigma, bueno, pues la desviación típica de la
nueva variable va a valer uno. Entonces se dice que la nueva variable, que
se suele representar por la letra z, se llama normal, o sea, es normal cero
uno. O sea que, bueno, nosotros podemos convertir una variable normal mu
sigma en una variable normal cero uno. Eso nos va a servir precisamente
para capturar probabilidades. Aquí las probabilidades basadas en la
distribución. Normal, que serían... Serían áreas debajo de lo normal,
bueno, como he dicho antes, se calcularían mediante cálculo integral,
pero claro, no vamos a tener que hacerlo porque existen tablas donde ya
están calculadas las raíces. Áreas, ¿no? Claveres. Bueno, aquí
tenemos, por ejemplo, cómo se calcularían las probabilidades en el caso
de la distribución normal. Bien, tengamos un x, supongamos que es una
variable normal mu sigma y supongamos que se desea calcular la probabilidad
de que a esté comprendido, o sea, sea menor o igual que x, menor o igual
que b. O sea, que la variable esté comprendida entre a y b en el intervalo
a. Entonces, la probabilidad de que a sea menor o igual que x, menor o
igual que b, la vamos a calcular restando, o sea, tipificando. Tipificamos
aquí cada uno de los tres elementos de estas dos desigualdades. O sea, que
le restamos a cada uno de los tres elementos, le restamos mu y dividimos
por sigma, con lo cual las desigualdades se siguen manteniendo. O sea, es
equivalente, lo mismo me da, es decir, a menor o igual que x, menor o igual
que b, que a menos mu partido sigma, menor o igual que zeta, o sea, donde
zeta es la variable x tipificada. Y menor o igual que d menos 1 partido por
sigma. Por lo tanto, reducimos el cálculo de probabilidades de la variable
x al cálculo de probabilidades de la variable z, que es la normal 0,1.
Así es que disponiendo de una tabla de la distribución normal 0,1 podemos
calcular probabilidades de cualquier otra variable. Bien, ahora veremos la
tabla y practicaremos un poco. Bueno, teniendo en cuenta la simetría de la
distribución normal, eso también es importante tenerlo, tener en cuenta
la simetría. Y consultando las tablas se obtiene que entre mu menos sigma
y mu más sigma, o sea que aquí tenemos este primer intervalo que va de mu
menos sigma a mu más sigma. Bueno, pues ahí se encuentra el 68,26% de la
población. La probabilidad de encontrar un individuo entre mu menos sigma.
Mu menos sigma y mu más sigma es 68,26%. Entre mu menos 2 sigma y mu más
2 sigma, que es un intervalo ya más grande, de mu menos 2 sigma a mu más
2 sigma sería este. Ahí ya hay mucha más probabilidad. De hecho, ahí
está el 95,44% de la población. Pero es que entre mu menos 3 sigma y mu
más 3 sigma, pues está ya prácticamente el total de la población. Está
al 99,74%. La probabilidad ya es muy grande. Bueno, por ejemplo, la edad de
fallecimiento en España se distribuía aproximadamente normal 86. Eso
quiere decir que la media es 80 años, ¿no? Y la desviación típica es de
6. Bueno, entonces la probabilidad de que una persona fallezca entre 80 y
85 años, bueno, pues vamos a calcularlo. Ponemos, escribimos lo que se
trata, ¿no? Se trata de calcular la probabilidad de que la X esté entre
80 y 85. En 80 menos igual que X, menos igual que 85. Entonces tipificamos,
puesto que la normal es 86, por tanto restamos 80 y dividimos por 6 a cada
uno de los tres números. Entonces 80 menos 80 partido por 6, menos igual.
Que Z, la X, tipificada de la variable, llamamos Z, menos igual que 85
menos 80 partido por 6. Bueno, 80 más 80 es 0, por tanto sería la
probabilidad de 0. Menos igual que Z, menos igual que 0,83. Y eso lo
buscamos en las tablas. Bueno, entonces esto vamos a verlo. Bueno, aquí
tenemos la tabla de la normal 0, 1. Entonces, puesto que era entre 0, entre
0, a ver, vamos a a ver, vamos a ver, aquí teníamos, o sea, queda entre 0
y 0,83, la probabilidad entre 0 y 0,83. Bueno, pues entonces vamos a ver
cómo utilizamos las tablas. Bueno, aquí eh... tenemos un dibujito arriba
donde está la campana de Gauss y una zona sombreada que empieza en 0 y
acaba en Z. Entonces, eso es lo que significa que es lo que nos proporciona
la tabla. La tabla nos proporciona esas áreas que hay sombreadas que van
de 0 a Z donde Z es el valor que está aquí en vertical aunque aquí en
vertical lo que nos aparece son la unidad y la décima y en horizontal nos
aparece la centésima. O sea que, por ejemplo el 0,83 el 0,83 lo puedo
buscar aquí con el 0,8 y luego aquí el 0,03 entonces 0,83 es 0,8 más
0,03 es la centésima. Entonces ¿qué número aparece en el cruce del 0,8
con el 0,03? Aparece este número 0,2967. ¿Qué es 0,2967? La probabilidad
de que la X esté entre 0 y 0,83 eso es lo que está aquí sombreado en el
dibujito de arriba. Que es justamente la que queremos calcular, ¿eh?
0,2967. A todo, bueno, volvemos, volvemos, bueno, de esa manera lo hemos
calculado. Es decir, que la probabilidad de que Z esté entre 0 y 0,83.
Entonces en las tablas, por eso ya directo, 0,2967. Ahora, probabilidad de
que fallezca entre 70 y 75 años, ¿eh? Otra pregunta. Pregunta, bueno,
pues entonces la probabilidad sería de 70 menos o igual que X menos o
igual que 75. Tipificamos, ¿eh? 70 menos 80 partido por 6 menos o igual
que Z menos o igual que 75 menos 80 partido por 6. Aquí nos aparece el
intervalo este, ¿no? Desde menos 1,67 a menos 0,83. Y precisamente por
simetría, aquí los valores son negativos, pero si los convirtiésemos en
positivos, el intervalo, o sea, nos daría la misma probabilidad, ¿eh? Por
simetría. Lo mismo ocurre a la izquierda del 0 que a la derecha del 0,
¿eh? La campana de Gauss es simétrica. Entonces por simetría esta
probabilidad sería la misma que la de que la Z esté entre 0,83 y 1,67.
Bueno, claro, el menos 1,67 es más pequeño que el menos 0,83, pero
cambiarlo de signo es al revés. El 0,83 es más pequeño que el 1,67.
Entonces, bueno, aquí vamos a las tablas. Entonces, claro, aquí tenemos
que buscar dos valores porque es la probabilidad entre el 0,83 y el 1,67.
Luego vamos a buscar primero el 0,83, bueno, que lo teníamos ya de antes,
que era el 0,2967. Y luego buscaremos el 1,67, que será más grande,
claro, esa probabilidad. Y lo que tenemos que hacer ahora es tablas, ¿no?
¿No? Entonces buscamos el 1,67 en las tablas. Bueno, aquí tenemos el 1,6
en la columna 7. Entonces, 1,6 en la columna 7. A ver, aparecería este de
aquí, ¿eh? 0,4525. Entonces, pues eso es, ¿eh? 0,4525 menos 0,2967 y eso
es el resultado. Bien, bueno, hoy... Vamos a dejarlo aquí, ¿eh? Y
entonces el próximo día continuaremos con ese tema, ¿eh? Que nos quedan
algunos ejercicios. Lo dejamos aquí. Gracias. Saludos.