Vamos a ver el tema 8, las muestras estadísticas, teorías y cifras.
Bien, bueno, evidentemente la gran cantidad de datos que se manejarían en
una investigación sociológica de grandes colectivos, por lo mejor toda la
población de un país o números muy grandes, pues haría imposible su
tratamiento de una forma ágil. Entonces en la práctica, ya se ha
comentado en el curso, la investigación sociológica se realiza mediante
la adaptación de muestras. Mediante la adaptación de muestras y ese
procedimiento requiere algunas operaciones que hay que hacer. Entonces la
primera es definir el universo, es decir, el conjunto o la población a la
que nos referimos. Hay que estar bien claro sobre qué población se va a
realizar el estudio. Hay que definir el universo. Después delimitar el
nivel de representatividad de la muestra, especificando criterios de error
y de confianza, que eso lo veremos en este tema. ¿A qué se refiere? Que
evidentemente al elegir una muestra vamos a cometer errores y hay que
delimitar también el nivel de la muestra, que la muestra sea más o menos
representativa. Después determinar un método para seleccionar la muestra.
Hay varios. A determinar un método, pues ¿a por qué método lo haremos?
Y finalmente, lo más importante, una vez obtenidos los resultados de la
muestra tenemos que traspasar, lo que iba a decir, generalizarlos a la
población e inferir, eso es la inferencia estadística, inferir los
resultados para el universo. Bien, ¿qué es el error estadístico? Pues
procede del hecho de utilizar observaciones muestrales y puede ser
conocido, pero obviamente si yo calculo la media de una muestra no va a
coincidir con la media de la población, ahí habrá un error, pues ese
error puede ser conocido Bien, hay también errores no estadísticos que
proceden de los instrumentos de medida o, bueno, muchas encuestas, la
mayoría quizás se hacen a través de encuestas o de, o sea, muchas
muestras se hacen a través de encuestas, pues claro, hay condiciones de la
entrevista, pues hay muchísimas, son muchas las entrevistas que no se
encuentran etcétera, hay muchos errores que proceden por eso, errores en
la transmisión de los datos etcétera, que ya no son errores estadísticos
y hay también lo que se llama el sesgo, que se produce al obtener muestras
no representativas de la población, ahí pues si una muestra no representa
bien a la población, porque no ha sido bien elegida, pues luego los datos
van a producir unos errores, un sesgo Bien, ¿qué llamaremos muestreo
aleatorio? Pues es la extracción de una muestra utilizando procedimientos
probabilísticos nosotros actualmente nos referimos al caso en que la
probabilidad de aumento de la población es la misma, consideramos que
todos los elementos de la población son igualmente probables de aparecer
en una muestra, claro. Bien nosotros llamamos parámetro a una medida
referida a la población y es una constante por ejemplo, un parámetro es
la media, en la media que la representamos por la media de la población o
la varianza de la población, etcétera, son parámetros y generalmente se
desconocen, generalmente los desconocemos Es precisamente, pueden ser
precisamente el objeto de nuestro estudio, el conocer el valor de esos
parámetros. Por ejemplo, ¿cuál es la media de los alumnos matriculados
en la UNED este año? Bueno, pues eso lo podríamos hacer a través de una
muestra. Eso lo desconocemos. Entonces, ya digo, lo podríamos hacer a
través de una muestra y eso es lo que se pretende, conocer esos
parámetros. ¿Y qué es un estadístico? Pues un estadístico es una
medida, pero referida a la muestra, como por ejemplo media muestral o
varianza muestral, etcétera, que son variables. Pues claro, la media
muestral depende, su valor depende de la muestra que hayamos cogido. Yo
puedo coger una muestra de 100 individuos, ¿vale? Cojo una muestra de 100
individuos, pero puede ser esta, o esta otra, o esta otra, o esta otra. En
una población, pongamos, de 100.000 individuos, puedo coger muchísimas
muestras de 100. Cada una tendrá... Cada una tendrá su media. Por tanto,
la media muestral, en general, es una variable. Eso se refiere a eso. Un
estadístico, por lo tanto, es una variable, pero es que un parámetro es
una constante. Bien, vamos a ver un ejercicio sencillo sobre esta
cuestión. Tenemos una población, la población completa es de 80.000, es
una población bastante pequeñita, ¿no? Y aquí tenemos los valores de
esa población, ¿eh? Puede ser por lo que sea, ¿no? Números, tipo que
sea. Bien, entonces... Calcular la media de la población. Bueno, eso,
evidentemente, lo vamos a hacer fácilmente, claro. Y después, construir
la distribución muestral de medias para el igualador. Lo vamos a hacer
también. Y representarla gráficamente. Bueno, vamos entonces al primer
apartado, ¿no? Y la media de la población, pues, simplemente, pues, que
hay 8. Sumamos sus valores, los dividimos por 8 y obtenemos un resultado de
11. Bueno, pues ya está. Ahora, vamos al apartado B. Vamos a construir la
distribución muestral de... De medias. Entonces, para el igualador, o sea,
tamaño 2. Por tanto, ¿cuántas muestras de tamaño 2 hay en esa
población de 8 individuos? Bueno, pues eso es por combinatoria, es 8 sobre
2, combinaciones de 8 elementos, de 8 sobre 2, que lo calculamos y se dan
28 muestras. El tamaño 2 dentro de ahí, tomamos 28 parejas, ¿no? Y vamos
a escribirlas. Empezamos por orden, ¿no? El 4 con el 6, el 4 con el 8, el
4 con el 10, bueno, etcétera. Aquí están escritas, ¿eh? Las 28. No se
nos escapa ninguna, ¿eh? Las vamos haciendo por orden, bueno, y ahí
están escritas, ¿eh? 28 parejitas. Y calculamos sus medias. Luego tenemos
28 medias y aquí están. O sea, por ejemplo, el 4 y el 6, la media es 10.
El 4 y el 8, pues la media es 6. El 4 y el 10, la media es 10. La media es
7, etcétera. Y las tenemos aquí escritas, ¿no? Observamos que algunas de
ellas, claro, se repiten. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, luego 7, 8, 9, 10, 11,
luego 12, 9, 10, 11, etcétera. Vemos que algunas coinciden con la media de
la población, ¿eh? El 11 concretamente, pues aparece varias veces, otras
no coinciden y tal. O sea, que una media muestral, por supuesto, no tiene
por qué coincidir con la media de la población. Bueno, y aquí la tenemos
representada. Hemos escrito nuestras muestras, ¿no? Eso en total son 28.
Lo que ocurre es que esto es una distribución de frecuencias, ¿no? Bueno,
y escribimos los valores que hemos obtenido de esas medias y el número de
veces que se presentan las frecuencias. Algunas se presentan solo una vez,
pues frecuencia 1, el 6, el 5 frecuencia 1, el 6 frecuencia 1, el 7
frecuencia 2, el 8 frecuencia 2, bueno, etcétera, ¿no? Y para calcular la
media, la media de las medias muestrales, pues lo que hacemos aquí
simplemente multiplicamos cada una de las medias por su frecuencia, lo que
hacíamos para hacer las tablas de frecuencia, y aquí tenemos esto de esta
columna, productos de la variable por su frecuencia, nos da 308. Entonces
308 dividido entre 28 es la media y es 11. Coincide, la media de las medias
muestrales coincide con la media de la población, eso siempre va a
ocurrir. Y aquí ya tenemos representado, en el que vemos el 5 y el 6,
etcétera, que solamente se repetía una vez, luego este más, etcétera, y
el 11 en el que más se repite, x, y, b, es la moda. Bien, entonces en la
práctica, claro, generalmente desconocemos. Desconocemos los valores de
los individuos de la población y trabajamos solamente con una muestra,
solamente con una muestra, o sea que no podemos calcular todas las
muestras. Aparte, si pudiéramos calcular todas las muestras sería absurdo
hacerlo porque entonces si podemos calcular todas las muestras lo tenemos
más fácil haciendo los cálculos con la población. Claro, no hace falta
irse a calcular con todas las muestras. Pero claro, o sea que en la
práctica trabajamos sólo con una muestra, sólo con una muestra, entonces
claro, ahí es donde ya sí que tenemos que ir al futuro. Afino con el tema
de los valores, etcétera. Entonces, en el ejemplo anterior observamos que
hay cuatro muestras de las 28 posibles cuya media coincide con la
población. Es decir, que al elegir una muestra de las 28 que hay, tenemos
una probabilidad de 4 entre 28. Cuatro casos favorables de 28 posibles, 4
partido por 28, que sería 0,1429. Es decir, el 14,21% de acertar con la
media poblacional. Elegimos una muestra aleatoriamente y podría ser una de
las que tenga media 11 o no, pero tenemos esa probabilidad, 14,21.
Entonces, a esa probabilidad de acertar es la que llamamos nivel de
confianza. Bien, si admitimos un error en la estimación de la media, es
decir, si no pretendemos que la muestra que obtenemos tenga exactamente la
media que buscamos, sino que nos conformamos con que la media haya un error
de más o menos uno, es decir, uno arriba, uno abajo, puede ser nueve, diez
o nueve, o sea, diez, once o doce. Entonces, ya ampliamos, hay más
muestras, hay más muestras ahí, concretamente hay diez muestras cuya
media muestra es diez, once o doce. Entonces, claro, el nivel de confianza
aumenta si admitimos un error, si admitimos un error aumentamos el nivel de
confianza, entonces sería diez partido por veintiocho, y el típico por
cien sería, pues, un porcentaje. Un treinta y cinco coma setenta y uno de
nivel de confianza. Si el error fuese más o menos dos, pues todavía más,
¿eh? El nivel de confianza, entonces, bueno, aquí hay un error, son diez,
¿no? Son más, ¿no? Bueno, podríamos contar, pero bueno, aquí está el
resultado, el resultado sí que está correcto, sería cincuenta y siete
coma catorce por ciento, etcétera. Si en el ejemplo anterior hubiésemos
tomado las cincuenta... cincuenta y cuatro muestras de tamaño tres,
serían ocho sobre tres, cincuenta y cuatro. Entonces, claro, ahí nos
encontraríamos veinticuatro muestras con una media en el intervalo diez,
doce. Claro, o sea, es decir, si tomamos las muestras más grandes, con el
mismo error, el nivel de confianza es mayor, que antes teníamos un nivel
de confianza menor que el que tenemos ahora, ¿no? Para muestras de tamaño
dos, claro, con muestras de tamaño tres aumentamos el nivel de confianza
para el mismo nivel de error. Y encontraríamos 34 muestras con una media
en el intervalo que va desde 9.33 a 12.67, es decir, con un error de más o
menos 2 y con ese nivel de confianza del 60,71%. Es decir, observamos que
por lo tanto para un mismo error al aumentar el tamaño muestral, cosa que
por otra parte es bastante lógica, pues aumenta el nivel de confianza.
Bien. Bueno, un teorema fundamental e importantísimo en este tema, ¿no?
Es lo que se conoce como teorema central del límite y dice lo siguiente,
que en una población con media mu y desviación típica, sí, la media mu
y la desviación típica de la población, por tanto parámetros. Entonces
si aumentamos el tamaño de una muestra, al aumentar el tamaño de una
muestra, la media muestral... ...va variando, tiende a distribuirse de
forma aproximadamente normal con media mu y desviación típica sigma
partido por raíz de n. Bueno, vamos, vamos. O sea, esto, de hecho, antes,
cuando hemos hecho la representación gráfica, el ejercicio este de antes,
observamos que la gráfica, el perfil que tiene, es un perfil simétrico
que recuerda a la normal. Aunque esta era discreta, pero bueno, recuerda a
la normal. Es decir, pues eso precisamente porque es una representación de
las medias muestrales. Desde luego, la distribución dada, el conjunto de
números, estos ocho números, no se distribuyen normal, ni por asomo, ni
parecido. No tienen por qué distribuirse de forma normal. Pero sus medias
siempre, ¿eh? Siempre. Eso es lo que dice el teorema, ¿no? El teorema...
Y desde luego... Entonces, cada vez que, o sea, cuanto mayor sea n, más
aproximada a la normal está la distribución de las medias muestrales.
Claro, esto es muy interesante porque nos va a permitir trabajar con medias
conociendo su distribución. Y ya sabemos que si conocemos su
distribución, podemos calcular probabilidades. Sobre todo si es normal,
podemos ya calcular probabilidades. Entonces, para una población infinita,
nosotros aquí, pues infinito va a ser mayor que 100.000. Al pasar de
100.000 ya consideramos que es infinito, ¿no? Y valores grandes del
tamaño muestral n, si tomamos muestras grandes, lo más grande que
podamos, también sabemos que tomar muestras grandes, cuanto más grandes,
pues también es más dificultoso el cálculo de los parámetros, de los
estadísticos, ¿no?, que necesitamos. Bueno, pues entonces se cumplirá,
ya digo, para poblaciones infinitas y muestras grandes, que de acuerdo con
la tabla normal 0-1, que la media muestral de 0-mu partido por signo, o
sea, mu y sigma, son los parámetros de la población, ¿eh? Por tanto, la
media muestral se distribuye con esa media, con esa misma media mu, y con
desviación típica signo partido raíz de n, por tanto. Si la tipificamos,
si tipificamos la media muestral, si atravesamos su media y dividimos por
su desviación típica, entonces nos quedaría media menos mu partido por
signo. Si la tipificamos y multiplicamos por raíz de n, esa variable que
será normal 0-1, es una variable normal tipificada, se encuentra entre
menos 1,96 y 1,96 con probabilidad 0,95. Recordamos que, bueno, de acuerdo
con las tablas, desde menos 1,96, la probabilidad de que una normal 0-1
esté entre menos 1,96 y más 1,96 es 0,95. Bueno, por tanto, esta variable
normal 0-1 se encontraría ahí con esa probabilidad. Y de aquí podemos
despejar mu. Es decir, de alguna manera multiplicamos, multiplicamos por
sigma los tres miembros, le restamos a los tres miembros la media muestral
y cambiamos de signo todas las desigualdades y lo que hemos hecho es
colocar un 0. Así que nos quedaría un intervalo que va desde la media
muestral menos 1,96 sigma partido raíz de n hasta la media muestral más
1,96 sigma partido raíz de n. Entonces ahí en ese intervalo se
encontraría un con probabilidad 0,95 que sería el nivel de confianza. O
bien, o bien, o bien, también recortando, alejando las tablas, entre,
ahora en vez de menos 1,96 ampliamos, ampliamos el intervalo de menos 2 a
2. Entonces hay que no simplificar poniéndola muy en el centro, sería
media muestral menos 2 sigma partido raíz. O bien, menor que 1, menor que
media muestral más 2 sigma partido raíz de n con probabilidad 0,9545,
esto lo proporcionan las tablas, etc. Así pues, si x minúscula con barra
es una media muestral concreta, concreta, o sea que aquí antes estábamos
representando x mayúscula que significaba la variable media muestral, la
variable media muestral. Pero bueno, si ya cogemos una muestra concreta,
entonces... Entonces hay una probabilidad 0,95 de que la media se encuentre
en el intervalo concreto de esa media muestral menos 1,96 sigma partido
raíz de n y media muestral más 1,96 sigma partido raíz de n. Claro,
puede ocurrir, puede ocurrir que la media no esté en ese intervalo o puede
ocurrir que sí. Y claro, puede ocurrir que sí con esa probabilidad 0,95.
Puesto que sabemos que es la... eso, que ese intervalo es la probabilidad
de que la media poblacional esté. Bien, en ese intervalo pues es de 0,95.
Entonces decimos que este intervalo va desde la media menos 1,26 sigma
partido de BDN a la media más 1,26 sigma partido de BDN es un intervalo de
confianza con nivel 0, 95%. Bueno, claramente media muestral menos 2 sigma
partido de BDN y media muestral más 2 sigma partido de BDN es un intervalo
del 95,45% de confianza, etc. Entonces, en general, el intervalo de
confianza adoptará esta fórmula que tenemos aquí, que sería siempre
media muestral menos zeta sigma partido de BDN y media muestral más zeta
sigma partido de BDN. El zeta será el valor, la cisa concreta entre la que
limitamos la probabilidad, bueno, lo que sea, lo que consideremos. Bien,
esta tablita que hay aquí es precisamente donde, bueno, aparecen los...
niveles de confianza y los valores, las cisas quizás más importantes, que
más se manejan, ¿no? Y que, bueno, si conviene recordarlo, concretamente
el 95%, ya lo hemos estado manejando, es más menos 1,96, o sea, eso aquí
está representado y es lo que significa, ¿no? Es decir, que entre menos
1,96 y más 1,96 está el 95% de probabilidad de la normal, 0,1, ¿eh? Ahí
está. Sí. Sombreado esto, ¿no? Entre el más menos 2, o sea, entre el 2
y el menos 2, se encuentra el 95,45 de probabilidad. Entre el más menos 2,
58, se encuentra el 99%, ya prácticamente. Bueno, y entre el más menos 3,
pues el 99,7%, que eso es prácticamente decir que está toda la
probabilidad ahí. Bien, entonces, de las desigualdades anteriores, pues
también podemos obtener, en vez de despejarse... ...de despejarse mu,
despejamos x menos mu, pues nos quedarían precisamente los extremos, ¿eh?
O sea, bueno, el menos 1,96 sigma partido por raíz de n y el 1,96 sigma
partido por raíz de n. Claro, o sea, eso sería la diferencia entre la
media muestra al menos mu. O, si lo ponemos en valor absoluto, significa
que la diferencia, o la distancia, la distancia entre la media amostral y
la media poblacional será menor que 1,96 y otra que podría ser, pongamos,
el radio del intervalo. Bueno, eso, para el 1,96 será con probabilidad
0,95, o sea que depende, por lo tanto, el valor que pongamos según la
tabla anterior. Ahora bien, ¿quién es la media menos mu? Pues es el error
de estimación, claro. Es el error que cometemos si tomamos la media
amostral en lugar de la media poblacional, que no la conocemos, que es la
que queremos averiguar, claro. O sea que, al tomar la media amostral,
cometemos un error de estimación, que se llama el máximo valor del error,
es precisamente el radio del intervalo, que es 1,96 sigma. Partido por
raíz de n, el radio de ese intervalo. 1,96 sigma partido por raíz de n
para la probabilidad 0,95. Estamos trabajando siempre con ese ejemplo
concreto. Desde luego, por ejemplo, 2 sigma partido por raíz de n para una
probabilidad 0,9545, etc. O sea que eso sería el error máximo a cometer,
¿no? El error típico de la muestra. Entonces, si se desea conocer el
tamaño de la muestra para un error. Y un nivel de confianza prefijado.
Claro, si tenemos el nivel de confianza prefijado, tenemos el valor de z,
¿eh? Eso lo tenemos aquí, ¿eh? El nivel de confianza prefijado nos
determina el valor de z. Y si tenemos el error prefijado, pues entonces
tenemos el tamaño del intervalo. Tenemos el tamaño del intervalo.
Entonces, de ahí, de la fórmula, o sea que sería el error de esta
fórmula, de esta fórmula que hay aquí, ¿eh? En general, pues tenemos e
igual a z. Sigma partido por raíz de n. De ahí despejamos n como elevado
al cuadrado. Y lo pasamos al primer miembro y el error al cuadrado pasaría
al denominador cuando quedaría esta expresión de aquí. O sea que n igual
z cuadrado, sigma cuadrado, ecuativo por el cuadrado será el tamaño de la
muestra que tenemos que elegir con un error y un nivel de confianza
prefijados. Recordemos el ejemplo anterior, con el nivel de confianza que
nos conformamos y el error con el que nos conformamos. Evidentemente nos
interesa que el nivel de confianza sea lo máximo posible y el error lo
mínimo posible, lógicamente. Bien, vamos a ver un ejemplo, voy a hacer un
caso particular de estimación de la proporción. Entonces, ¿cómo
estimamos la proporción? Una proporción poblacional, tenemos una
determinada población y sea P la proporción poblacional y Q igual o menos
P, la ponemos con mayúsculas, ¿no? Son constantes que desconocemos, yo
desconozco P, que es la proporción de la población. Bien, entonces, el
número X de veces que aparezca dicho valor en una muestra del tamaño n,
esto ya lo hemos visto también en otros temas, se distribuye como una
binomial BNP y con una definición típica raíz cuadrada BNP. Esto lo
conocemos desde el estudio de la distribución binomial. Luego, la
proporción en una muestra, que será X partido por n, el número X de
veces que aparece el valor, número de éxitos podríamos decir, partido
por n, el tamaño de la muestra es la proporción, eso es P minúscula,
claro. Es una variable, claro, que tendrá como desviación típica. Bueno,
la varianza de esta P minúscula sería la varianza de X partido por n
cuadrado. La varianza de X es NPQ partido por n cuadrado. Luego, la
desviación típica sería, simplificando, sería NP partido por, o sea, PQ
partido por n, es cuadrada, porque otra vez son PQ. Partido por L. Eso
sería la desviación típica de la P minúscula, que depende de la P
mayúscula, claro. La Q es 1 menos P. Claro, P y Q se desconocen. Claro, si
se conocieran no hay que hacer ninguna estimación ni ninguna muestra. Si
ya conozco la proporción poblacional, pues no tengo que hacer nada para
calcularlo, claro. Y estamos suponiendo que eso se desconoce y estamos
ingeniándonos para investigar, para estimar, para hacer una estimación de
ese parámetro. Ahora bien, en ocasiones se puede tener cierta información
de su valor, o bien por estimaciones anteriores, eso ocurre, por ejemplo,
cuando se van haciendo encuestas que se hacen cada año y siempre se pueden
utilizar datos del año anterior. Hay estimaciones anteriores que se pueden
utilizar. Y, pero si no tenemos ningún dato, nos podemos poner en el caso
más desfavorable de varianza máxima. Es decir, que P sea igual a Q igual
a 0,5. Por ejemplo, para estimar una proporción, bueno, porque si P y Q
son 0,5, el producto es lo máximo posible. El producto de P por Q es lo
máximo posible en el caso de que sean 0,5 al más. Ya digo a ti. Claro, si
nos ponemos en el caso de máxima desviación típica, bueno, pues por lo
menos procuramos no pisarnos los dedos con los errores, porque nos ponemos
en el peor de los casos. Entonces, por ejemplo, para estimar una
proporción con un error del 3%, es decir, un error del 0,03, y un nivel de
confianza del 95%, el tamaño muestrado, ya sabemos, es Z cuadrado por PQ.
¿Por qué por cuadrado? Porque aquí la... O sea, la desviación típica
sería raíz cuadrada de PQ partido por N. Entonces elevamos al cuadrado, o
sea, que eso era la sigma. La sigma, luego aquí el PQ partido por N será
la sigma al cuadrado. Bueno, despejamos N de esa expresión y lo mismo que
antes. Tenemos lo mismo que antes. Nos quedaría que n es z cuadrado por tq
partido por e al cuadrado y, puesto que nosotros hemos elegido el nivel de
confianza y el error, pues ponemos 1,96 al cuadrado por 0,25. Aquí es
donde nos estamos colocando en el caso más desfavorable. O sea, que tq no
los conocemos pero seguro que su producto es menor que 0,25. Menor como
mucho puede ser 0,25. No hay un par de números, o sea, el tipo p por 1
menos p que su producto dé más de 0,25. Si p está entre 0 y 1,
lógicamente. Bueno, pues entonces esto sería 1,96 al cuadrado por 0,25
partido por 0,03 al cuadrado. Lo calculamos y da esta cantidad. O sea,
1067,11 que aproximaremos a 1068. Bueno, son un poco más de 1067. Bien, y
estamos tomando muestras, pues, aunque sea, redondearse puede alrededor de
1067, pero bueno, estamos tomando muestras. A ver, más de 1067, pues, más
de 1067, pues, 1068. Bien, pues de esa manera calcularíamos para estimar
una proporción. Bien, vamos a ver un ejercicio del texto, ¿no? El
ejercicio 3, de calcular el tamaño muestral necesario para estimar con un
error del 5% el porcentaje. El porcentaje de votantes que apoyan el sí en
un referéndum nacional para un nivel de confianza del 95%. Entonces,
claro, dejémonos que aquí carecemos de datos. No tengo ningún dato. De
hecho, los únicos datos que hay los hemos puesto nosotros, porque queremos
estimar con un error del 5% y con un nivel de confianza que lo ponemos
nosotros también. entonces, bueno, pues eso ya sabemos que para el 95% el
valor de z es 1,96 y la, bueno, la misma fórmula de antes, claro, o sea
que n es igual a z al cuadrado por pq partido por el cuadrado, como no
conocemos, no tenemos ninguna información acerca de pq, de pi de q, nos
ponemos en el caso desfavorable del 0,25 y, bueno, esto sería lo
calculamos y lo da 384 con 16 y tomaremos el tamaño mostral 385 385 para
hacer ese estudio y con ese tamaño, pues ya digo, tenemos garantizado ese
error y ese nivel de confianza bien, otro ejercicio del texto calcular el
tamaño mostral necesario para estimar con un valor del 5% el porcentaje
anterior para un nivel de confianza del 99%, bueno pues aquí en la tabla
anterior, pues ya la abscisa ya no es 1,96, ahora es 2,58, lo demás hace
igual, sería 2,58 al cuadrado por 0,25 partido por 0,02 y en fin, eso nos
da 4.160 individuos, claro, aquí como hemos aumentado el nivel de
confianza, ha aumentado el tamaño mostral y eso, pues son bastantes más,
¿eh? son bastantes más bien bueno, pues aquí tenemos un cuadro resumen
de errores típicos y fórmula del tamaño mostral para los estadísticos
de la media y de la proporción el parámetro mu en el caso de la media o
sea, la media poblacional y entonces el error estándar que sería sigma
partido raíz de n sigma partido raíz de n es la desviación típica, el
error mostral o sea, la desviación típica mostral entonces la
distribución puede considerarse normal cuando n es mayor que 30, o sea,
nosotros hemos visto en el teorema central del límite que cuando n
aumenta, cuanto mayor sea n más se parece a la normal, o sea, podemos
considerar que el normal 100 ya es mayor que 30 Y, claro, esto normalmente
va a ocurrir, porque nosotros las muestras, pues eso no las tomaremos más
de 30, pero son muestras de cientos o incluso de mil, o individuos. Pasar
de 30 es fácil, quiero decir, por tanto, generalmente será menor. Siempre
aplicaremos el teorema central del límite, claro. Bueno, y el valor del
tamaño muestral lo tenemos aquí, en z cuadrado por sigma cuadrado partido
por el error al cuadrado. En el caso de la media, y en el caso de la
proporción, pues ya hemos visto ejemplos, ¿no? La desviación típica
muestra, que sería raíz cuadrada de pq partido por n, p y q mayúsculas,
o sea, que son las poblacionales. Lo mismo si n es mayor que 30, pues ya se
puede considerar normal, y el tamaño muestral, pues hemos hecho ya
ejemplos de eso. Bueno, y también, bueno, hay teorema y se puede utilizar,
si n es menor que 30, podemos utilizar las fórmulas anteriores, pero en
vez de con la normal 0, 1, con la T de Studen. La T de Studen se puede
utilizar cuando no se pueda aplicar el teorema central del límite. Y
también hay un ajuste que hacer en estas fórmulas en el caso de que las
poblaciones sean finitas. Estábamos hablando del caso de poblaciones
infinitas. En el caso de poblaciones que sean finitas, o sea, que no sean
un número muy grande de elementos, ¿no? Menor que 100.000, o sea,
poblaciones de algunos ricos. Pocos miles se pueden usar finitas. Claro que
significa que la probabilidad de extraer elementos, un elemento, otro
elemento, de forma consecutiva, sin reemplazamiento, va variando. Varía
también aunque la población sea infinita, pero lo que pasa es que no se
aprecia. Es inapreciable. Pero aquí sí que se puede apreciar, claro, si
el número de elementos es menor. Bien, de ahí que las fórmulas hay que
corregirlas y ponerles un factor de corrección, que es este numerito de
aquí, n mayúscula menos n minúscula de mayúscula de la población y n
minúscula del tamaño de la muestra. n menos 1, pues la población menos
1. Y todo el cuadro anterior queda de esta manera. O sea, si tenemos que
estimar la media poblacional, el error típico ahora es sigma partido r de
n igual que antes, pero ahora va multiplicado por este factor de
corrección, que es la raíz cuadrada de n menos n partido por n menos 1. Y
el valor de la n, pues también se modifica de acuerdo a esta, cambia, en
la fórmula sería esta. Y en el caso de la proporción lo mismo, teníamos
el error estándar, el error típico, que era raíz de pq partido por n y
aquí ahora hay que multiplicarlo por la raíz de n menos n partido por n
menos 1. Y lo mismo. Con el error, o sea, con el valor del tamaño de la
muestra. Bueno, otro ejercicio, otro ejercicio del texto, ¿no? En una
ciudad de 100.000 habitantes queremos conocer la proporción de habitantes
que tienen licencia para conducir automóviles, ¿de acuerdo? Entonces,
bueno, desconocemos. Eso es un dato que se desconoce, ¿no? Queremos
hacerlo a través de una muestra, ¿eh? No vamos a preguntar a los 100.000,
claro. Bueno, pues entonces, eh... Para un error del 5.000, ¿no? Y un
nivel de confianza del 95, ¿cuál es el típico? Calcular. El tamaño
muestral, suponiendo que la población es finita, estamos en el límite,
¿no? Y el tamaño muestral suponiendo que es infinita, estamos ahí en el
límite, podemos considerarlo de una forma o de otra. Bueno, en el caso de
que sea finita, ahora simplemente es aplicar la fórmula anterior de la n,
¿no? O sea, que n sería z cuadrado npq partido por e cuadrado por n menos
1 más z cuadrado por pq cuadrado. Entonces, vamos a ver. Como no tenemos
datos anteriores acerca de la proporción que queremos averiguar, es cuando
nos ponemos en el caso desfavorable, o sea, PQ 0.25. Por lo tanto, aquí el
Z al cuadrado lo conocemos porque depende de nuestro nivel de confianza, o
sea, 95.45 lo correspondía a una abscisa de 2, por lo tanto sería 2 al
cuadrado por 100.000 por 0.25, si ya simplemente sustituir en la fórmula,
partido por el error al cuadrado, que es 0.05 al cuadrado, por n-1, que
será 99.999, más el Z al cuadrado, que sería 0 al cuadrado, por PQ 0.25.
Bueno, todo eso se calcula y nos da 398. 441, que tomaremos 399. Mientras
que si supusiéramos que es infinita, las fórmulas son más sencillas,
¿no? Entonces, n es Z al cuadrado PQ partido por el cuadrado. Estamos
igual que antes, nos colocamos en el caso desfavorable, PQ es 0.25, pues
sería 2 al cuadrado por 0.25 partido por 0.05, eso es 400, o sea,
prácticamente es igual, prácticamente es el tamaño muestral de una forma
o de otra. Bien, veamos otro. Paro de ejercicio en una determinada
comunidad autónoma, queremos estimar la proporción de parados con un
error del 2.5% y un nivel de confianza del 95%. Bien. Sabemos que en el
trimestre anterior, aquí tenemos datos, el paro era un 12% de la
población activa. Calcule el tamaño muestral necesario. Bien, pues aquí
vamos a utilizar ese dato anterior. Es decir, por lo menos es una
aproximación. Es una aproximación, no sabemos si seguirá siendo ese
dato, pero bueno, es una aproximación que podemos usar y ya no necesitamos
poner el P por Q igual a 0.25, que era el caso desfavorable. Bueno, pues el
tamaño muestral sería Z al cuadrado por PQ partido por el cuadrado y
ahora ponemos 0.12 por 0.88 en el P por 1 menos P. Y el 1,96 por el nivel
de confianza del 95%, claro. Y el error, pues era un 2,5%, pues 0,025 al
cuadrado. Bueno, entonces sale 640,08, pues tomaremos 650. Otro ejercicio,
en una determinada comunidad autónoma estamos interesados en conocer el
tiempo medio en el que los parados encuentran empleo. Entonces el error
está establecido en 3 meses y el nivel de confianza el 95,45%. Entonces
antes de hacer el estudio realizamos 90 entrevistas aleatorias y obtenemos
una definición típica del tiempo de espera de 4 meses. Bueno, entonces
calcular el tamaño muestral supuesta la proporción infinita. Bueno, pues
vamos a ver aquí. Y puesto que el nivel de confianza es 95,45%, el valor
de Z sería de 2. Entonces sí, aquí tenemos datos, tenemos datos
anteriores, podríamos decir. Entonces la desviación típica que vamos a
utilizar es de 4 meses, es de un resultado anterior. Por lo tanto lo vamos
a utilizar, ¿no? Podríamos, sigma al cuadrado serían 16. Y el error...
Son 3 meses, ¿no? Pues el error 3 meses, ¿no? Aquí estamos... O sea que
eso, estamos manejando la sigma, por ejemplo, el tiempo de espera, la
desviación típica también la estamos manejando en meses, ¿no? Por
tanto, eso pues aquí abajo también. El error 3 meses, 3 al cuadrado,
bueno, será 7,1 aproximadamente 8. Bien. Bueno, vamos a ver... Continuar
entonces, pero ahora una segunda parte del tema que es el diseño de
muestras. Habíamos hablado de cómo se calcula el tamaño muestral y ahora
vamos a ver cómo se diseña una muestra. Pero luego lo primero que hay que
tener en cuenta es lo que se llama el marco. El marco es el registro
físico de los elementos de la población. Por ejemplo, todos los
habitantes de una determinada ciudad, la lista de esos habitantes sería el
marco. Por eso tener el marco es muy también complicado. Es de obtención
generalmente difícil. Claro, lo que implica a su vez es dificultad para
obtener la muestra. Si no tenemos el marco, ¿cómo vamos a obtener la
muestra? Si no tengo la lista de la población, ¿cómo voy a obtener la
muestra? Bueno, son dificultades. Entonces en la práctica, para soltar
este problema, se utilizan unos procedimientos de muestreo. Que son
procedimiento estratificado. O sea, procedimiento por conglomerados o
procedimiento por cuotas. Vamos a revisarlos un poquito, ¿no? He explicado
un poco. Vamos entonces a ver el procedimiento de muestreo estratificado.
Bueno, se llama estratificado porque llamamos estratos a subconjuntos del
universo, de la población, de forma que todos los elementos pertenecen a
un solo estrato. Por ejemplo, estratos son provincias de una comunidad
autónoma. El individuo pertenece... El individuo pertenece a una sola
provincia. O campus de una universidad, o departamentos de una empresa.
Cada individuo está en un departamento. Bien. Bueno, aquí esta gráfica,
pues si tenemos el universo, esta sería la población diversa, ¿no?
Universo, pues podemos... Aquí está una descomposición esquemática en
estratos. O sea, que aquí por acá todos los circulitos formarían un
estrato. Todos los triangulitos formarían otro estrato. Todos...
Estrellitas formarían... Bueno, otro estrato, etc. Entonces, el número de
estratos lo denominaremos N mayúscula, por hacer una fórmula. Llamaremos
N mayúscula sub i a la población del estrato iésimo. Si hay varios
estratos los numeramos, cualquiera de ellos, N sub i. Entonces la suma de
los N sub i será N, que será la población. La suma de las poblaciones de
cada estrato es la población total. Llamaremos N mayúscula sub i a la
proporción de la población en el estrato i o el peso del estrato i. O
sea, que VL sub i va a ser N sub i partido por N. Esa es la proporción de
la población de cada estrato. N sub i partido por N va a ser un número
menor que 1. Es la proporción. Si multiplicamos por 100 nos dará el tanto
por ciento. N minúscula sub i va a ser... Va a ser el tamaño de la
muestra en el estrato i. Pensemos que lo que vamos es a definir cómo
obtener una muestra en una población estratificada. Eso es lo que estamos
haciendo. Entonces vamos a llamar N minúscula sub i al tamaño de la
muestra en el estrato i. Entonces el tamaño de la muestra es N minúscula.
Luego, si cada estrato es N sub i, la suma de los N sub i va a ser N. Y VL
sub i vamos a llamar a la proporción de la muestra en el estrato i. O sea,
que VL sub i va a ser N sub i. Es decir, el número de elementos de la
muestra. Y ese estrato partido por el número de elementos de la muestra.
Bien. Vamos con estos datos. Resulta que las poblaciones si están
estratificadas, si están estratificadas, se reduce la varianza. Si
nosotros estratificamos una población para elegir la muestra, elegimos por
estratos, elegimos de cada estrato unos cuantos individuos, la varianza se
reduce, lo que permite obtener muestras más pequeñas. Muestras más
pequeñas. Veamos una ejemplo. Supongamos una provincia en la que podemos
diferenciar tres comarcas, la zona norte con importantes centros mineros y
pequeña industria asociada a la explotación minera, la zona litoral muy
vinculada al turismo y la capital, donde residen los centros
administrativos. Bueno, entonces los resultados para el partido de
izquierdas en las últimas elecciones fueron lo que tenemos en la comarca
minera, que tiene una población de 150.000 individuos, el número de
votantes para el partido de izquierdas fueron 97.500, la proporción de
votos para el partido de izquierdas son 0,65, ¿de dónde lo hemos
obtenido? Pues la proporción de votos es 97.500 dividido por 150.000. Eso
sería 0,65. Y P sub i por Q sub i por N sub i, o sea, P sub i por Q sub i
multiplicado por N sub i, que sería la desviación típica, o sea, sería
la varianza, P sub i por Q sub i es la varianza, multiplicado por N sub i,
que es el total de la población. Bueno, pues claro, P sub i es 0,65 por Q
sub i, que es 1 menos 0,65, y eso multiplicado. Multiplicado por N sub i
nos daría 341.000, o sea, perdón, 34.125. Bueno, eso lo hacemos tanto
para la zona minera como para la capital como para la zona turística. Y
nos da aquí tres valores, ¿eh? Y los sumamos y nos da 139.875. Entonces,
en la población no estratificada, el producto de P por Q sería la
varianza. Bien, claro, en la población no estratificada, ¿eh? O sea, que
ya prescindimos de los estratos, luego tenemos que manejar, o sea, el total
de votos de la izquierda sería 262.500 dividido por la población,
650.000. Eso sería P. Y la proporción, ¿no? Y después, 1 menos P, que
sería Q. Eso lo calculamos a este valor de aquí, que da este resultado.
0,241. Ahora, en la correlación estratificada, si lo hacemos por estratos,
entonces tenemos P sub i por Q sub i, lo multiplicamos por su E sub i, es
decir, lo que teníamos aquí ya calculado en esta columna, ¿no? Lo
sumamos, ¿eh? Lo sumamos, lo hemos sumado ya, el 139.895 y dividimos por
el total de la población. Y entonces obtenemos otro valor, 0,215,
sensiblemente más pequeño. Sensiblemente más pequeño. Entonces, por
ejemplo, para un error del 5% y un nivel de confianza del 95,45, el tamaño
muestral sería, recordad lo anterior, sería Z cuadrado PQ, partido por
E4. Z cuadrado, entonces sería, puesto que a este nivel de confianza, en
el 95,45, por lo tanto una abscisa de 2, sería 2 al cuadrado, por 0,241.
Eso en el caso de que, por muestreo aleatorio simple, sin estratos, ¿no?
Partió por 0,05 al cuadrado y nos sale 386 individuos. Mientras que, hecho
por el muestreo estratificado, la varianza estratificada sería 0,215.
Sensiblemente, más pequeña, claro. Por tanto, el tamaño de la muestra
sale más pequeño, sale 344, que es una reducción de algo más de un 10%.
Bien. Entonces, el reparto de los elementos de la muestra entre los
distintos estratos se denomina fijación. Y hay tres procedimientos.
¿Cómo elegimos de cada estrato el número de elementos para construir?
Para construir la muestra, ¿eh? ¿Cómo elegimos de cada estrato el
número de elementos correspondientes para construir la muestra, la
fijación? Entonces, hay varios, bueno, hay tres modelos que vamos a
estudiar. Afijación uniforme, todos iguales. Es decir, que n sub i va a
ser n partido por l. L era el número de estratos, entonces, de cada
estrato vamos a extraer el mismo número de elementos. Entonces, la muestra
es sumar ese número de elementos de cada estrato. O bien, proporcional al
tamaño. Bueno, resulta que cada estrato tiene un determinado tamaño. Lo
hemos visto antes en el ejemplo, ¿no? No son todos los estratos del mismo
número de población, del mismo número de individuos. Por tanto, podemos
hacer una elección de cada estrato distinta. De forma que sea proporcional
a su tamaño. O sea, que el número de entrevistas se reparte respetando el
peso que tiene el estrato de la población. O bien, hay otro procedimiento
que es lo que se llama de mínima varianza, o de Neyman. Que es hacerlo
proporcional a la varianza de cada estrato. O sea, que sería n sub i por
la raíz de p sub i q sub i partido por la suma de todas las varianzas. Y
multiplicado por n. O sea, esto sería una proporción. O sea, este
cociente de aquí sería una proporción. Multiplicado por n, que es el
tamaño de la muestra. Eso nos va a dar el tamaño de la muestra. En el
estrato. Bien. Bueno, pues vamos entonces a ver con los datos del ejemplo
anterior. Cómo sería, que nos salía una muestra de 340, el tamaño de la
muestra nos salía 344. En el caso de que hiciéramos la fijación uniforme
de cada estrato, que había tres estratos. La comarca minera, la población
y la turística. Tenemos la fijación uniforme. De cada estrato, 344
partido por 3 son 114,7. O sea, que tendremos 115 individuos de cada
estrato. Si hubiéramos hecho, o sea, si hiciéramos una fijación
proporcional al tamaño, entonces, el peso del estrato lo hemos calculado
antes de la comarca minera, teníamos un 0,2308, o sea, el 23% de
individuos pertenecen a la comarca minera. El 46,15% de individuos
pertenecían a la capital y el 30,77% pertenecían a la zona turística.
Lógicamente, estas proporciones suman uno, ¿no? Entonces, lo que hacemos
es multiplicar el 344 por estas dos proporciones respectivamente. Entonces,
si multiplicamos 344 por 0,2308 nos da 79,4, si lo multiplicamos por 0,415
nos da 158,8, etc. Y claro, estos numeritos también suman 344 y aquí
tenemos un reparto que no es uniforme, ¿de acuerdo? Entonces, este es
reparto proporcional. Proporcional al tamaño del estrato. Y luego,
finalmente, el de la fijación de Neyman, bueno, pues, tenemos aquí la
población de cada uno de los estratos, el P sub i por Q sub i, aquí ya
están calculados los productos P sub i por Q sub i, calculamos ahora aquí
la raíz de P sub i por Q sub i por la población del estrato y calculamos
el cociente este que teníamos antes, ¿no? Que sería dividir, bueno, la
suma la tenemos aquí, los 300.000 estos y pico, sería la suma de los
productos N sub i por la raíz de P sub i, y ahora para cada estrato, pues,
por ejemplo, este primer, este numerito, ¿de dónde sale? De dividir
71.545,4401 por 300.000, por el total este, ¿no? Nos da estas proporciones
que también sumarán uno, lógicamente. Luego, entonces, el tamaño de
cada estrato, ¿cuál será? Pues basta multiplicar N, los 4, los 344,
multiplicarlos por cada uno, pues cada uno su fijador, la fijadora de
Neyman correspondiente. Luego, entonces, aquí en el primero sería 81,8, o
148,5, o 13,7, suma lo mismo, claro. Bueno, evidentemente, también es
diferente al caso anterior, al caso de la opinación proporcional, pero
aunque se parecen algo, se parecen algo. Bueno, y aquí sería un poco el
resumen, ¿no? Es decir, que en el caso de uniforme, los 3 igual, entonces
sería 115 cada uno. En el caso de proporcional, claro, hay que redondear,
¿eh? Sería 80 o 101, tiene que ser 106. O en el caso de Neyman, pues
sería esta otra la fijación. Bien, vamos entonces a ver un ejemplo, o
algunos ejemplos del diseño estratificado uniforme. Vamos a ver un
ejemplo, vamos a discutir un poquito más, ¿no? Bueno, pues por lo
general, cuando se utiliza la fijación, el tamaño muestral lo calculamos
no a partir del conjunto de la muestra, sino fijándonos en la situación
de los estratos cuya varianza sea mayor, ¿eh? Vamos a ver, vamos a ver un
ejemplo. Bien, estamos, hacemos estratificación uniforme. O sea que todos
los estratos, la muestra en cada estatus va a tener el mismo tamaño.
Bueno, entonces en una investigación sobre las condiciones de trabajo
femenino en la comunidad de Castilla-La Mancha, se quieren tener datos
detallados para cada una de las provincias. Entonces, el nivel de confianza
se establece en el 95% y el error en el 3%. Bien. Entonces, como
aproximación a la varianza, se... Se deciden datos de la actividad
femenina del último censo de población. Aquí tenemos, o sea que de cada
una de las provincias, la proporción de mujeres activas, ¿no? Bien. Pues
es esta que tenemos aquí, ¿no? Bien. La situación de mayor varianza se
encuentra en Guadalajara. Porque, claro, ya sabemos el valor de estas
proporciones, estas proporciones que hay aquí, el valor más cercano a
0,5. Recordemos que, bueno, aquí está representado lo que hemos comentado
antes, ¿no? Que 0,5 por 0,5 es el 0,25, ¿no? El máximo valor del p por
q. Bueno, entonces aquí el máximo valor, que concretamente es el de
Guadalajara, que es 0,347, pues la situación de mayor varianza se
encuentra en Guadalajara. Porque proporciona el producto p por q mayor,
¿no? Así es que utilizando los datos de dicha provincia, calcularemos el
tamaño muestral, que será z cuadrado por pq partido por e cuadrado. Y
desde aquí podemos utilizar datos... Los datos anteriores, ya digo, si nos
hubiéramos puesto en el caso desfavorable, como usábamos en los
ejercicios anteriores de poner pq igual a 0,25, todavía la muestra
saldría más grande, ¿no? Bueno, aquí podemos usar un valor que sale
algo más pequeño. 0,347 por 1 menos ese valor, que sería 0,653, pues
sale menos que 0,25. Bueno, pues es 1,96 al cuadrado, que da el 25%, y
0,03, bueno, eso sale... ...esto de aquí, y sale 967,19, entonces la
muestra sería 968. La muestra del total de Castilla-La Mancha que vamos a
utilizar. Y como vamos a hacerlo uniformemente y tenemos 5 provincias, pues
simplemente dividiremos esto entre 5, bueno, perdón, perdón... perdón,
multiplicaremos por 5 porque estamos diciendo solamente de la provincia de
Guadalajara, solamente para la provincia de Guadalajara, entonces lo hemos
puesto en el caso más desfavorable de los datos que teníamos que era la
provincia de Guadalajara entonces para esa provincia nos saldría 968 como
queremos hacer para toda la comunidad de Castilla-La Mancha, pues
multiplicamos por 5, pues se trata de una estratificación uniforme de cada
provincia vamos a sacar 968 individuos, en total, la muestra el tamaño de
la muestra sería 4840 bueno, aquí se puede hacer una corrección una vez
hecho el estudio se puede hacer a la hora de presentar los datos, ya digo,
una vez hecho el estudio el muestreo, se hace muestreo uniforme se puede
hacer una corrección de una ponderación que vamos a explicar entonces en
un diseño no proporcional al tamaño del estrato en el diseño uniforme
claro, en el que estamos conviene introducir unos coeficientes de
ponderación para corregir el resultado obtenido por el conjunto total,
entonces vamos a ver un ejemplo supongamos que la comunidad autónoma vasca
se encuentra haciendo una encuesta electoral y utilizamos en cada una de
las tres provincias una muestra de 800 entrevistas, el mismo tamaño en
cada estrato dado que nos interesa tener resultados concretos para cada una
de las provincias entonces la población de cada provincia y los resultados
de la encuesta han sido los siguientes a la vacía en esta población hemos
realizado 800 entrevistas en cada una de las provincias y los entrevistados
que votan al partido TETA y X, pues en cada una de las provincias aquí
tenemos los resultados y tenemos también la proporción de votantes es
decir, que este 0,481 que es 385 partido por 800 de los entrevistados de
esa provincia los que han votado a ese partido es la proporción de
votantes de cada uno de la muestra Bueno, aquí tenemos la población
total, el total de la muestra, el total de los entrevistados que votaron al
partido ZX y aquí también, si sumamos, aquí lo que hemos hecho no es que
hemos sumado estas proporciones, sino que lo que tenemos es globalmente la
proporción en las tres provincias. O sea, que sería 675, pues vamos a
votar al partido ZX, partió por el total de la muestra, el tamaño de la
muestra, los 1.400, entonces nos da esa proporción de votantes total.
Bueno, entonces vamos a construir un coeficiente de ponderación para cada
estrato, que lo hacemos de la siguiente manera. Cogemos y dividimos la
población de cada estrato por la población total. O sea, que aquí 309 en
el caso de Alba, ¿no? 309.635 dividido por el total, por 2.157.112, eso
nos da 0, todo esto de aquí, ¿no? 143, 5, 4, 1, 1, 4, 6, vale. Hacemos lo
mismo para Gepuzkoa, hacemos lo mismo para Vizcaya. Claro, puesto que hemos
dividido por N cada uno de ellos y sumamos, nos da un 1, lógicamente. Cada
una de estas tres proporciones en total sumamos. Ahora, dividimos el
tamaño del estrato por el tamaño de la muestra. O sea, perdón, el
tamaño de la muestra en cada estrato por el tamaño de la muestra. Claro,
puesto que todos los tamaños son iguales en cada estrato, pues nos queda
800. 800 partido por 1.400 es un tercio, claro. Pues sería 0,3 periódico
igual a 1. Obviamente también suma 1. Y construimos un coeficiente de
ponderación para cada estrato. ¿De qué manera? Pues la proporción de
individuos que teníamos la dividimos por la proporción de votantes, que
lógicamente es la misma. Claro, como es dividido... Sí, por un tercio
equivale a multiplicar por 3. O sea, si cada una de las proporciones de la
población de cada estrato la multiplicamos por 3, nos saldrán estos
numeritos de aquí. Son coeficientes de ponderación para cada estrato que
vamos a utilizar, le llamamos UCI. O sea, que son la proporción de la
población dividida por la proporción del estrato, del tamaño del
estrato. Bien. Entonces, desde luego, se cumple que si el U sub i es menor
que 1, entonces el estrato es que está sobre representado aquí, sí. Si
el coeficiente, donde lo llevamos a volver, ¿no? Aquí, por ejemplo, este
coeficiente U sub i es menor que 1, es 0,43, es el menor que 1, ¿no?
Entonces, ¿eso qué significa? Que álava, pues es la que menos, tiene
más pequeño el coeficiente de ponderación, por lo tanto está sobre
representado porque nosotros hemos elegido todas las muestras del mismo
tamaño. Luego, si álava sale ese coeficiente más pequeño, claro,
lógicamente este coeficiente es más pequeño porque el W sub i es más
pequeño, porque tenía la población menor, claro, también, ¿no? Y la
proporción de población menor. Luego, entonces está sobre representado.
Por ejemplo, hemos elegido las mismas, el mismo número de encuestas en
álava que en mizcayá. Por lo tanto, álava está sobre representado. Si
es igual a 1, si el U sub i es más igual, el estrato está correctamente
representado y si U sub i es mayor que 1, el estrato estará
infrarrepresentado. Entonces, bueno, apliquemos todos los coeficientes de
ponderación al ejemplo. Bueno, pues tenemos eso, las 800 entrevistas, los
que han votado el partido en cada entrevista, el tamaño de la muestra
ponderado, o sea que aquí ahora lo que hacemos es que multiplicamos los
800 por cada coeficiente, por cada, el U sub i, por cada U sub i de los que
hemos leído. Entonces multiplicamos por los coeficientes U sub i y nos
aparece esto. Lógicamente, lógicamente eso tiene que ser el tamaño, el
tamaño de la muestra total, puesto que los U sub i suman 1, suman 1, por
lo tanto si multiplicamos 800 por cada uno de los UY sumamos, sumará los
2.000, perdón, los UY suman 3, porque lo hemos multiplicado por, dividido
por un tercio, luego nos saldrá 800 multiplicado por 3, claro que aquí
tenemos el resultado, son los 2.400, pero es el tamaño de la muestra.
Entonces, el número de votantes al partido de Davis ponderado, pues, o sea
que ahora aquí multiplicamos el coeficiente de ponderación, los
coeficientes de ponderación por los P subidos, ahora lo multiplicamos por
los P subidos, luego nos dará, bueno, pues esto de aquí, entonces nos
dará, pues eso, 563 suma, suma son 563,1255. Entonces, entonces, la
proporción de votantes ahora, si de cada, o sea, cada U subi P subi lo
dividimos por U subi N subi, que era el tamaño de la muestra ponderado,
entonces nos dará, o sea, que aquí sería 165 y pico dividido por el 344,
esto de aquí nos da 0,481, ¿no? En el segundo caso, para mi cúzculo,
0,131 y para Vizcaya, 0,231. Entonces, si sumamos, ¿eh?, hacemos la suma
de esos 3, bueno, no la suma de estos 3, perdón, sino si dividimos la
suma, o sea, el 563, ¿eh?, la suma de U subi P subi, lo dividimos por el
2400, que era la suma de U subi N subi, nos dará 0,235. Entonces, ¿vale?
Observemos que el total de votantes al partido será el 23,5%, que aunque
es una cifra diferente a la anterior 28,1%, sin embargo, la ponderación no
afecta al resultado de cada estrato, únicamente al total, que ahora sería
el correcto. Es decir, que antes, claro, antes es que estaba sin corregir.
Entonces, de esta manera, pues lo corregimos. Este sería el resultado
corregido. Bien, vamos a ver un ejercicio del texto. Teniendo en cuenta que
la población femenina mayor de 10 años de Castilla-La Mancha es la
siguiente, aquí la tenemos, y que los resultados de una encuesta realizada
de fijación uniforme han ofrecido los siguientes resultados. Resultados,
bueno, aquí tenemos, este sería el resultado de activas, de inactivas y
el total, claro, tiene que sumar 968, puesto que se trata de una fijación
uniforme, de una encuesta realizada de fijación uniforme. Entonces,
calcule los coeficientes de ponderación para cada estrato y la proporción
total de activas en Castilla-La Mancha. Bien, pues eso sería aplicarlo,
como he dicho antes, a este caso. Entonces, aquí tenemos la ficha. La
población de cada estrato, el tamaño de la muestra, la proporción de
activas, todo eso lo sacamos de la tabla anterior. Y ahora, proporciones de
la población. Bueno, pues tenemos, dividimos, aquí tenemos el total de la
población. Dividimos la población de cada estrato por el total de la
población. Después, dividimos el tamaño de la muestra en cada estrato
por el total de la muestra. Claro, puesto que hay cinco provincias, pues es
un quinto todo, ¿no? 0,2, claro. Ahora, ¿cuáles son los coeficientes de
ponderación de cada estrato? Pues el W sub i mayúscula partido por el W
sub i minúscula. Esto es lo mismo que antes, ¿no? O sea, que sería
multiplicar por 5. Multiplicamos cada W sub i de esto y multiplicamos por
5, claro. Es dividir por 0,2. Aquí tendríamos estos coeficientes de
ponderación. Entonces, el tamaño de la muestra ponderado, que sería U
sub i partido por N sub i, este que acabamos de obtener aquí ahora, estos
coeficientes de ponderación. Dividimos los U sub i. por los n sub i,
entonces nos va dando estos numeritos nuestros resultados, que en total
suma el tamaño de la muestra y el número total de activas ponderado que
da 1 sub i por p sub i, es lo mismo que antes que nos da este resultado.
Entonces la proporción total de activas sería dividir esto de aquí,
dividido por esto otro y que nos da 0,45. Bueno, vamos a dejarlo aquí
aunque queda un poquito, continuamos el próximo día. Gracias.