En esta conferencia vamos a ver el tema 8, regresión y correlación.
Vamos a dar una variable aleatoria bidimensional, xi eta. Supongamos que
las variables xi y eta no sean independientes, es decir, que exista cierta
relación entre ellas. Entonces en este tema nos vamos a plantear dos
objetivos básicos. Primero, vamos a determinar la función eta igual a h
sub 1 de xi o xi igual a h sub 2 de eta que exprese dicha relación y que
llamaremos función de regresión. Y además también vamos a medir la
intensidad de esa relación a la cual llamaremos la correlación entre xi y
eta. Primeramente vamos a ver qué entendemos por esperanza condicionada.
Consideremos una variable aleatoria bidimensional. Entonces para
distribuciones de tipo discreto llamamos esperanza condicionada la variable
xi condicionada porque eta sea igual a i al sumatorio del producto de x sub
i por la probabilidad de que xi sea igual a x sub i condicionado porque eta
sea igual a i. Y eso para todos los valores de la x sub i. Que son los
valores que toma la variable xi. Por ejemplo, vamos a ver un ejemplo. Aquí
tenemos una tabla de correlación, una distribución bidimensional
discreta. Los valores de xi que son el 1, el 2 y el 3. Y los valores de eta
que toma eta que son el 1 y el 2. Y tenemos aquí las probabilidades. Por
ejemplo, la probabilidad de que el par xi eta valga 1, 1. Si vale 1, eta
vale 1. Es 0,13. La probabilidad de que xi sea 1 y eta sea... 2, es 0,25,
etc. También en la tabla esta se han sumado, hemos sumado por filas las
probabilidades, por ejemplo, de que xi sea igual a 1, que nos dan las
probabilidades marginales de la variable xi y también hemos sumado por
columnas y tenemos las probabilidades marginales de la variable eta.
Podemos observar que ambas, la última columna y la última fila, ambas
suman 1. Bien, pues entonces se tiene que el valor esperado de xi
condicionado porque eta sea igual a 2 será, bueno, tenemos que multiplicar
cada uno de los valores de xi, que son el 1, 2 y el 3, por la probabilidad
de que ese valor esté condicionado porque eta sea igual, en este caso, a
2. Entonces la probabilidad de que eta sea igual a 2 era, será 0,2. 0,25,
que es la probabilidad condicionada de que xi sea igual a 1 y eta sea igual
a 2, será 0,25, que es la probabilidad conjunta, partido por la
probabilidad de que eta sea igual a 2, que es 0,52, la probabilidad
marginal. Esto sería 0,25 partido por 0,52. Eso va multiplicado por 1, que
es el valor de la x. Ahora, ahora, lo que... El otro valor de la variable
xi, que es 2, multiplicado por la probabilidad condicional de que xi sea
igual a 2 condicionado de que eta sea igual a 2, es decir, que sería 0,15
partido por 0,52, aquí lo tenemos, ¿no? Y más 3 multiplicado por la
probabilidad de que xi sea rescondicionado porque eta sea 2, es decir, que
sería 0,12 partido por 0,52. Aquí lo tenemos. Vamos a los cálculos y eso
será 1,75. Es el valor esperado de la variable xi condicionada porque eta
sea igual a 2. Bien, en distribuciones del tipo continuo se define el valor
esperado de que xy esté condicionado, el valor esperado de xy condicionado
porque eta sea igual a y, como la integral del campo de variación de xy y
de que eta sea igual a y, o sea, del par xy eta igual a y. Bueno, pues
sería la integral en ese campo de variación del producto de x por la
función de densidad condicionada f de x condicionada por y. El recinto
sería cero menor o igual que x menos o igual que dos y cero menos o igual
que y más o igual que tres, o bien cero en el resto. Bueno, pues
necesitamos para hallar la función de densidad condicionada de x
condicionado por y, necesitamos la función de densidad marginal f sub 2 de
y. Entonces la vamos a calcular. F sub 2 de y sería la integral para todo
el recorrido de la x que va desde cero hasta dos. De la función de
densidad 2x más y partido por 21 diferencial de x. Eso evidentemente es
una función de y, es la función de densidad marginal de la y. Bueno,
resolvemos esta integral y nos queda 4 más 2y partido por 21. Entonces, ya
escribimos el valor esperado de xi condicionado porque ta sea menor o igual
que 2 va a ser la integral en el recinto de los valores de x y de los
valores de xi menor o igual que 2. Por tanto, sería la integral desde 0
hasta 2 diferencial de x y la integral desde 0 hasta 2 respecto de la y del
producto de x por la función de densidad que sería 2x al cuadrado más xy
partido por 21. Y eso va partido por la función f2d que acabamos de
calcular que es 4 más 2y partido por 21. El 21 del numerador. Y el 21 del
denominador se cancela y sería esta la fracción que nos queda aquí.
Bueno, esta integral, bueno, hay que hacerla con cierto detenimiento. Es
una integral racional. Primeramente la integramos respecto de y. O sea, y
aquí primeramente lo que tendríamos que hacer sería dividir y bueno,
vamos a verla. Está hecha aquí. Vamos a verla. Es decir, que se trata de
hacer la integral. Desde 0 hasta 2 diferencial de x integral desde 0 hasta
2 de 2x al cuadrado más xy partido por 4 más 2y diferencial de y. Hacemos
primeramente la división. X lo escribimos en ordenado en función de la y
puesto que la integral es respecto de y. Entonces pondríamos xy más 2x al
cuadrado dividido por 2y más 4. Y bueno, cabe a x partido por 2. x partido
por 2 multiplicado por 2y es xy. Para gastar. Ponemos menos xy y luego x
partido por 2 por 4 que sería 2x para restar 2x. Hacemos la suma esta y
nos quedaría 2x al cuadrado menos 2x. Ya está hecha la división. por lo
tanto la integral quedaría integral desde 0 hasta 2 diferencial de x y
después integral desde 0 hasta 2 de cociente x partido por 2 más el
resto, es 2x al cuadrado de 9x partido por el divisor que es 2y más 4 y
diferencial de y bueno esta integral ya si que la hacemos es inmediata,
pues sería igual a integral de 0 a 2 diferencial de x y la segunda
integral que sería integral de x partido por 2 le estamos integrando
respecto de y, pues sería xy partido por 2 más y luego la integral de
esta fracción es el numerador 2x al cuadrado menos 2x bueno claro, por el
logaritmo neperiano de 2y más 4 y por un medio el logaritmo de esa
derivada sería un 2, bueno entonces le quitamos el 2, 2x al cuadrado menos
2x, luego nos quedaría x al cuadrado menos x por el logaritmo neperiano
del denominador de 2y más 4 y eso entre 0 y 2, entonces sustituimos el 2 y
sustituimos el 0 en la fórmula de barro y entonces nos quedaría la
integral desde 0 hasta 2 bueno, queda aquí dentro sustituir el 2, la y por
2 nos quedaría una x más bueno, aquí quedaría x al cuadrado menos x por
el logaritmo de 8 sustituir la x por 2 y luego menos sustituir la y por 0 x
y partido por 2 no aparece y nos aparecería x al cuadrado menos x por el
logaritmo de 4 de aquí podemos sacar factor común el x al cuadrado menos
x del logaritmo de 8 menos logaritmo de 4 que es logaritmo de 8 partido por
4 que son todos luego finalmente pues nos queda la integral de esta
expresión Y, que es inmediata, sería la integral de x respecto de x, x al
cuadrado partido por 2, y menos la integral, que es una constante, por lo
tanto sería la integral de x al cuadrado, que es el cubo partido por 3,
menos la integral de x, que es x al cuadrado partido por 2, y todo eso
desde 0 hasta 2. Y, bueno, simplemente sustituimos, para x igual a 2 sería
4 partido por 2, que son 2, más 8 tercios menos 4 partido por 2, que son
2, por el logaritmo de 2, y luego para x igual a 0, pues queda 0. Y bien, y
que 8 tercios menos 2, que son 2 tercios, luego este sería el resultado.
Bien, bueno, por aquí tenemos el resultado del ejercicio. Bueno, vamos a
ver ahora qué entendemos por regresión. Entre dos variables aleatorias, y
hay dos tipos de este concepto de regresión. En primer lugar vamos a ver
la regresión, que llamamos regresión 1. Entonces consideremos la variable
aleatoria bidimensional, si eta, y llamamos función de regresión 1 de eta
sobre xi, y que escribiremos m sub 1 de x, a el valor esperado de eta
condicionado por xi igual a x. Y análogamente llamamos función de...
...de regresión 1 de xi sobre eta, al valor esperado de xi condicionado
porque eta es igual a y, que escribiremos m sub 2 de y. Vamos a ver un
ejemplo. Aquí tenemos esta tabla de correlación. Bueno, la misma de
antes, ¿no? Y vamos a calcular m sub 1 de x. Por lo tanto, tenemos
esperanza de eta condicionado porque xi sea igual a 1. Bueno, será el
producto de multiplicar todos los valores de eta que son el nivel 2 por la
probabilidad condicionada de que en el primer caso de que eta sea igual a 1
y si sea igual a 1 y en el segundo caso de que eta sea igual a 2 y si sea
igual a 1. Por tanto, en el primer caso tendremos valor de eta 1 por 0,13
partido por 0,38. 0,38 es la probabilidad de que sí sea igual a 1. Es la
probabilidad marginal de que sí sea igual a 1. Y después tendremos más
2, que es el otro valor de eta, multiplicado por 0,25 partido por 0,38.
Bueno, eso en las operaciones sería 60. 60 y 3 partido por 38. Y vamos a
hallar la esperanza ahora de eta condicionado porque sí sea igual a 2. Y
actuamos de la misma forma, o sea que tendríamos el primer valor de eta,
que es 1, multiplicado por la probabilidad de que eta valga 1 y si valga 2.
La probabilidad condicionada de que eta valga 1, condicionado a que sí
valga 2, que sería 0,17. 0,17 partido por 0,32. Bueno, aquí vemos a la
tabla que 0,32 es la probabilidad de que sí sea igual a 2. Y más 2 por
0,15 partido por 0,32. Bueno, aquí hacemos las operaciones y sale 47
partido por 32. Y finalmente, la esperanza de que eta condicionado porque
sí sea igual a 3 sería 1 por... A ver, ¿quién es la probabilidad
condicionada? Condicionada de que eta sea igual a 1 y si sea igual a 3,
pues sería 0,18. partido por 0,30, que es la probabilidad de que sí sea
igual a 3, más 2 por la probabilidad condicionada de que eta sea 2 y sí
sea 3, que sería 0,12 partido por 0,30. Bueno, eso hace con las
operaciones y se obtiene 7 quintos. Bueno, entonces, la función de
regresión, bueno, pues aquí la tenemos, tenemos, tiene por tabla de
valores, es discreta, la hemos obtenido, tenemos, de hecho, la tabla de
valores de esa, de la función de regresión. O sea que para xi igual a 1,
vale 63,38 agos, para xi igual a 2, 47,32 agos y para xi igual a 3, 7
quintos y, bueno, aquí la tenemos representada y que observamos, claro,
puesto que hemos calculado, es el valor esperado de cada valor de eta
condicionado por cada valor de xi. Entonces, pues nos sale un punto, claro,
¿está ahí? Un punto intermedio, ¿eh? Entre los puntos, entre los dos
puntos para, por ejemplo, para eta igual a 1 y para eta igual a 2, pues
salían estos dos puntos por el medio, nos sale este punto, ahí están las
coordenadas, ¿no? Nos sale aquí este otro punto, ¿eh? Y nos sale aquí
este otro punto para cada uno de los valores de xi, ¿eh? O sea, para xi
igual a 1, para xi igual a 2, para xi igual a 3 y nos ha salido, claro, un
punto intermedio, podríamos decir, entre los dos puntos que teníamos,
¿eh? De la nube de puntos. Bien, esa sería la regresión. Vamos a ver
ahora otro ejemplo, ¿eh? De variable de densidad continua. Vamos a usar
la, bueno, la variable del ejemplo anterior, ¿no? Que teníamos ya la
función de densidad anterior. Entonces, ¿eh? Aquí tenemos que calcular
también las funciones marginales. Entonces tenemos f sub 1 de x, que
sería la integral para todo el recorrido de la y, integramos ahora
respecto de y desde 0 hasta 3, de la función de densidad. Bueno, aquí se
hace esta, así que es inmediata, nos queda esta expresión de aquí. Por
lo tanto, m sub 1 de x, la función de regresión, sería esperanza de eta,
condicionado porque x sea igual a x, será la integral desde 0 hasta 3, de
la función de densidad multiplicada por y, multiplicada por y, que es el
valor esperado de eta, sería 2xy más y cuadrado, partido por 21, y eso
partido por f sub 1 de x, pues lo que estamos condicionando porque sí sea
igual a x, que es 6x más 9 medios partido por 21. El 21 pues también
desaparece, se simplifica, y bueno, nos queda esta integral. Bueno, esta
integral pues se resuelve y este es el resultado. Y análogamente, m sub 2
de y, pues lo que ya teníamos calculada, la f sub 2 de y, pues sería el
valor esperado, xy condicionado porque eta sea igual a y, entonces sería
la integral desde 0 hasta 2, para todo el recorrido de la x, de la función
de densidad f de xy multiplicada por x, sería 2x al cuadrado más xy,
partido por 21, y partido por la función f sub 2 de y, que es la que
teníamos antes, que era 4 más 2y, partido por 21. El 21 también se
simplifica, y bueno, solo con la integral nos queda este resultado. bien y
vamos a ver ahora lo que entendemos por regresión 2 mínimo cuadrática
ideal de eta respecto de xi bueno por aquí la regresión mínimo
cuadrática en general lo que se pretende es encontrar una función eta
asterisco que dependa de xi eta asterisco de xi de un tipo previamente
fijado por ejemplo puede ser polinómica o exponencial etcétera y que haga
mínima el valor esperado de xi menos xi asterisco elevado al cuadrado y
buscamos una función de xi que restara la variable eta y elevada al
cuadrado el valor esperado esa variable aleatoria sea mínimo bien vamos
entonces a ver vamos a ver el caso de que eta asterisco sea lineal vamos a
ver exclusivamente ese caso es decir que por lo tanto eta asterisco va a
ser una función del tipo que es beta sub cero más beta sub uno xi donde
beta sub cero y beta sub uno vamos a determinarlos y lo vamos a determinar
con esa condición para que sea mínima la varianza o sea para que sea
mínima perdón la media cuadrática de las diferencias de las diferencias
eta menos eta asterisco que sería beta sub cero más beta sub uno xi
elevado al cuadrado para que sea mínima el valor esperado de del error que
es una diferencia entre el valor de eta y el valor estimado podríamos
decir bueno, entonces escribimos que la esperanza del error al cuadrado
sería esperanza de eta menos veamos, ¿no? beta sub cero más beta sub uno
sí eso elevado al cuadrado y para hallar el valor que hace que esta
expresión sea mínima lo que vamos a hacer es igualar a cero las derivadas
parciales de esta expresión, de la esperanza de cuadrado respecto de beta
sub cero y de beta sub uno que son nuestras tómicas, ¿no? bueno,
primeramente la derivada de la esperanza de cuadrado respecto de beta sub
cero pues es, bueno aquí la tenemos derivamos aquí en el valor esperado
este si derivamos respecto de beta sub cero observamos que la derivada de
esto que hay aquí dentro sale menos uno por lo tanto, puesto que está al
cuadrado la derivada sería dos por el valor esperado eta menos beta sub
cero más beta sub uno sí así elevado al cuadrado por menos uno, por lo
tanto ese dos por menos uno lo sacamos factor del valor esperado y nos
queda menos dos por la esperanza de eta menos beta sub cero menos beta sub
uno sí esto lo igualamos a cero simplificamos el menos dos y entonces nos
queda que la esperanza de sí será igual pasamos al segundo miembro, el
resto no y será igual a la esperanza de beta sub cero que es beta sub
cero, que es una constante más la esperanza de beta sub uno sí, que es
beta sub uno por la esperanza de sí y esto recordamos que la esperanza de
eta la representamos en las distribuciones bidimensionales en la
distribución bidimensional de una variable si-eta la esperanza de eta era
alfa sub cero uno en el momento de primer orden respecto de la variable eta
por lo escribimos así alfa sub cero uno, lo que hemos obtenido será igual
a beta sub cero más beta sub uno por la esperanza de xi, que es alfa sub
uno cero o sea, vamos a obtener una relación de beta sub cero y beta sub
uno en función de los momentos relacionados con los momentos de primer
orden, la variable bidimensional. Bien, análogamente hacemos la derivada
ahora respecto de beta sub 1, entonces, otra vez derivando aquí en la
esperanza que teníamos de la e cuadrado, pues la derivada del eta menos
beta sub 0 menos beta sub 1, sí, respecto de beta sub 1 sería menos 2,
sí, el menos 2 lo podemos sacar afuera del valor esperado y nos quedaría
entonces menos 2 por la esperanza de eta menos beta sub 0 menos beta sub 1,
sí, multiplicado por sí, eso es igual a cero. Entonces, bueno, aquí el
menos 2 también lo simplificamos y nos quedaría que la esperanza de xi
eta, multiplicamos ya por sí, pasamos al segundo miembro el resto de lo
que nos queda y sería igual. Es igual a beta sub 0, o la esperanza de beta
sub 0, sí, el beta sub 0 lo podemos sacar afuera, pues sería beta sub 0
por esperanza de xi, más beta sub 1, la esperanza de beta sub 1 por xi
cuadrado, luego el beta sub 1 lo sacamos delante también y nos quedaría
beta sub 1 por la esperanza de xi cuadrado. Esta expresión también la
podemos poner en función de los momentos y tenemos la esperanza del
producto, que sería alfa sub 1,1, es igual a beta sub 0 por la esperanza
de xi, que es alfa sub 1,1, cero, más beta sub 1 por la esperanza de xi
cuadrado, que es el momento de segundo orden, alfa sub 2,0. Bien, aquí
tenemos un sistema y lo que vamos a resolverlo por reducción, vamos a
eliminar beta sub 0 entre las dos ecuaciones y para eso multiplicaremos la
primera ecuación por alfa sub 1,1,0 y restaremos, restaremos a la segunda,
con lo cual nos quedaría alfa sub 1,1, menos alfa sub 1,0 por alfa sub
0,1, estamos multiplicando la primera ecuación por alfa sub 1,0, Y igual,
el beta sub cero por a sub uno cero se cancelaría con el beta sub cero por
a sub uno cero, claro. Y luego nos quedaría beta sub uno, que lo sacamos
factor común, de a sub dos cero menos alfa sub uno cero por alfa sub cero,
o sea, alfa sub uno cero al cuadrado también. Bueno, nos quedaría esta
expresión. Bien, y esto pues también reconocemos, tenemos que reconocer
aquí que la expresión alfa sub uno uno menos alfa sub uno cero por alfa
sub cero uno, la media de la esperanza del producto menos el producto de
los valores esperados, eso era la covarianza de la variable bidimensional
eta xi. Y en el segundo miembro tenemos alfa sub dos cero menos alfa sub
uno cero al cuadrado, que no es otra cosa que la varianza de la variable
xi, sigma cuadrado sub xi. Claro, lo escribimos aquí, ¿no? De aquí ya
podemos despejar beta sub uno y nos agrega eso. Beta sub uno sería la
covarianza partido por la varianza de la xi, que también lo podemos poner
con la nomenclatura que utilizábamos de los momentos respecto de las
medias, ¿no? Que la covarianza era mu sub uno uno y la varianza de la
variable xi que era mu sub dos cero. Tanto eso es beta sub uno. Bien,
entonces ya de la primera ecuación podemos despejar beta sub cero.
Entonces beta sub cero pues sería alfa sub cero uno menos beta sub uno. Lo
hemos calculado por alfa sub dos cero, con lo cual pues ya tenemos los dos
valores. Bien, entonces estos valores maximizan o no, maximizan, ¿no? Se
trata, bueno, maximizan o minimizan, ¿eh? Lo que... lo que queríamos era
que minimizara, pero entonces tenemos que comprobarlo entonces vamos a
calcular el gesiano de la esperanza de cuadrado que lo vamos a hacer
haciendo las segundas derivadas entonces la segunda derivada de la
esperanza de cuadrado respecto de beta sub cero sería dos, bueno lo
tenemos aquí arriba lo podemos comprobar porque la derivada respecto de
beta sub cero que hay dentro del operador de esperanza sería menos uno
entonces la esperanza de menos uno es menos uno multiplicado por el menos
dos sería dos, vale o sea que sería la derivada segunda respecto de beta
sub cero y la derivada segunda respecto de o sea, respecto de, sí, de beta
sub cero y la derivada segunda sería respecto de de beta sub cero, o sea,
perdón ahora de beta sub uno, perdón la derivada segunda de la esperanza
de cuadrado respecto de beta sub cero y respecto de beta sub uno eso sería
menos, menos, sí multiplicado por el menos dos sería la esperanza, sería
dos por la esperanza de sí, lo tenemos y en la segunda fila del gesiano
pues ponemos ahora las derivadas segundas de la derivada de la esperanza de
cuadrado respecto de beta sub uno entonces primeramente respecto de beta
sub cero puesto que sería sería menos uno por sí o sea, sería, por
tanto sería la esperanza de menos sí como está multiplicado por menos
dos pues sería la esperanza, dos por la esperanza de sí y después
derivando ahora respecto respecto de beta sub 1, pues la derivada respecto
de beta sub 1 es xi cuadrado, menos xi cuadrado, por tanto sería 2 por
esperanza de xi cuadrado. Bueno, esto lo calculamos en determinante y
sería 4 por esperanza de xi cuadrado menos la esperanza de xi al cuadrado
que nos pregunta que la varianza de xi, luego esto es 4 multiplicado por la
varianza de xi, que esto es mayor que 0, por lo tanto lo que hemos obtenido
era un mínimo, minimizaba al valor esperado de cuadrado. Bien, así pues
la recta de regresión la podemos escribir en la forma punto pendiente
puesto que sabemos que un punto, un punto de la recta de regresión es el
punto de coordenadas alfa sub 0, 1, o sea alfa, perdón, alfa sub 1, 0 alfa
sub 0, 1, para la xi es alfa sub 1, 0, para la eta es alfa sub 0, 1
entonces pasa por ese punto ahí y su pendiente es mu sub 1, 1 partido por
mu sub 1, 0, luego aquí simplemente es colocar la ecuación de la recta
punto pendiente con ese punto y esa pendiente, entonces aquí tenemos la
recta de regresión 2 de eta sobre xi y anualmente la recta de regresión 2
de xi sobre eta sería así asterisco menos alfa sub 1, 0 igual a mu sub 1,
1, esto simplemente mirando la anterior y en vez de poner, por ejemplo,
bueno, alfa sub 0, 1 podríamos alfa sub 1, 0, en vez de poner sigma sub 2,
0 podríamos sigma sub 0, 2 y en vez de alfa sub 1, 0 pues alfa sub 0, 1.
Claro, si la curva de regresión 1 es lineal, la que hemos hallado
anteriormente es lineal, en ese caso coincide con la recta de regresión 2
mínimo cuadrática. Bien, y vamos a ver qué entendemos por correlación.
Pues denominamos correlación al grado de asociación que existe entre las
variables sí y en esa regresión que hemos calculado, pues esa asociación
que existe entre las dos variables, ¿en qué grado? ¿Cómo lo podemos
medir? Bueno, nosotros en el caso particular de la correlación lineal,
interviene la variable eta que queremos explicar, se usa esa expresión,
queremos explicar mediante la regresión. Lo que queremos es una variable
eta asterisco que de alguna manera explique las variaciones que experimenta
la variable eta, pero que dependerá del valor que existan. Entonces, por
eso llamamos a eta asterisco, le damos variable explicada. Entonces, lo que
llamamos el error es la diferencia entre ambas variables, la variable eta y
la variable explicada. La variable explicada es la recta, en el caso de la
recta de regresión, pues es la que hemos dado antes. Entonces, por una
parte, tenemos que la varianza de la variable explicada, la varianza de eta
asterisco, será la varianza de beta sub cero más beta sub uno sí, que es
la recta de regresión, bueno, pues la varianza de esta suma es una
constante más, beta sub uno por sí, la varianza de una constante es cero,
por tanto, aquí aparecería la varianza de beta sub uno sí, y la varianza
de beta sub uno sí, el beta sub uno sale fuera, elevado al cuadrado, pues
sería beta sub uno cuadrado, varianza de xi, que es beta sub uno cuadrado
por mu sub dos cero. Como el beta sub 1 ya lo conocemos, ¿no? Era 1 sub 1
partido por 1 sub 2 0, pues como está al cuadrado, pues 1 sub 1 al
cuadrado partido por 1 sub 2 0 al cuadrado y multiplicado por 1 sub 2 0,
simplificamos y este sería el valor de la varianza, de la variable
explicada. Bueno, y, bueno, por otra parte la esperanza, la esperanza de la
variable explicada que sería el valor esperado de beta sub 0 más beta sub
1 sí, que sería beta sub 0 más beta sub 1 por la esperanza de sí.
Bueno, que sería, sustituimos los valores que tenemos de beta sub 0,
bueno, beta sub 0 que sería alfa sub 0 1 menos beta sub 1 por al cuadrado.
Beta sub 1 0 más beta sub 1 por el valor esperado de sí, que es alfa sub
1 0. Y claro, aquí se nos cancela esto y por lo tanto nos queda que es
igual a alfa sub 0 1. Por lo tanto, o sea que la esperanza, hemos dicho que
la esperanza de la variable explicada es alfa sub 0 1, es decir, la misma
que la variable, sí, que la variable eta. Bueno, entonces la esperanza de
E, que es el... Residuo, ¿no? La esperanza de residuo, la esperanza del
error, que es esperanza de eta menos eta asterisco, pues sería la
esperanza de eta menos la esperanza de eta asterisco y la esperanza de eta,
pues ya la hemos calculado, ¿eh? Y, o sea, la esperanza de eta, perdón,
es alfa sub 0 1 y la esperanza de eta asterisco, que acabamos de calcular,
que es lo mismo, por lo tanto sería cero. El valor esperado de E sería
cero. así que la varianza de E que es lo que queremos calcular sería por
tanto la esperanza de E cuadrado sería la esperanza de E cuadrado menos la
esperanza de E al cuadrado pero la esperanza de E es cero, por tanto sería
solo la esperanza de E cuadrado que es la esperanza de Eta menos eta
asterisco al cuadrado y eso simplemente tenemos que ponerlo Eta menos la
recta de regresión Eta menos alfa sub 0,1 menos mu sub 1,1 para que
pongamos un 2,0 por si menos la sub 1,0 y eso elevado al cuadrado entonces
aquí desarrollamos este cuadrado consideramos esto como primer término es
como una resta, este sería el diminuendo y el resto el sustraendo entonces
elevado al cuadrado sería la esperanza de Eta menos alfa sub 0,1 al
cuadrado más la esperanza del segundo cuadrado mu sub 1,1 al cuadrado para
que pongamos mu sub 2,0 al cuadrado sale factor común y pues sería
esperanza de Si menos la sub 1,0 al cuadrado luego menos el doble del
producto bueno la esperanza doble del producto el menos 2 y la constante mu
sub 1,1 para que pongamos un 0 sale fuera y nos quedaría la esperanza del
Eta menos la sub 1,0 por si menos la sub 0,1 entonces, aquí tenemos que la
esperanza de Eta menos a sub 0,1 elevado al cuadrado al cuadrado, eso no es
otra cosa que la varianza de eta, que es el mu sub cero dos, lo ponemos. La
esperanza de xi menos sub uno cero al cuadrado, no es otra cosa que la
varianza de xi. O sea, es el mu sub dos cero. Puesto que va multiplicado
por mu sub uno uno al cuadrado partido por mu sub dos cero al cuadrado,
simplificamos el mu sub dos cero al cuadrado del denominador o nos
quedaría mu sub uno uno al cuadrado partido por mu sub dos cero. Y el
valor esperado, este que tenemos aquí, el valor esperado del producto eta
menos alfa sub cero uno por siete menos la sub uno cero, nosotros sabemos
que la covarianza es mu sub uno uno. Por tanto, aquí nos quedaría menos,
a ver, bien, nos quedaría menos dos veces mu sub uno uno al cuadrado
partido por mu sub dos cero. Puesto que lo teníamos, o sea, que tenemos
aquí más mu sub uno uno al cuadrado partido por mu sub dos cero menos dos
veces mu sub uno uno al cuadrado partido por mu sub dos cero, pues lo
restamos y finalmente nos queda mu sub dos cero menos mu sub uno uno al
cuadrado partido por mu sub dos cero, que eso es la varianza de eta menos
la varianza de eta asterisco, que es la que habíamos calculado antes. Por
lo tanto, tenemos esta relación. Es decir, tenemos que aquí desplazamos
la varianza de eta, resulta que la varianza de eta es la suma. De la
varianza de eta asterisco más la varianza de la variable residual, el
error, ¿no? Es decir, la varianza de la variable explicada, o sea,
perdón, la varianza de la variable i es igual que la varianza de la
variable explicada más la varianza residual, que llamamos así. Entonces,
en esta igualdad dividimos por la varianza de eta, nos quedaría que uno es
igual a la varianza explicada partido por la varianza de la variable eta
más la varianza residual partido por... ...por la varianza de la variable
eta. Bueno, esta reducción, pues conviene recordarla. Entonces,
precisamente, llamamos coeficiente de determinación rao cuadrado a la
fracción de la varianza total que está explicada por la regresión. Es
decir, al sumando, ¿eh?, de la relación anterior, al sumando varianza de
eta asterisco partido por varianza de eta. El valor de esa fracción la
llamamos coeficiente de determinación. Lo podemos describir, por lo tanto,
de esta manera. La varianza de eta hasta x, que era mu sub 1, 1 cuadrado
partido por mu sub 2, 0. Y la varianza de eta, que es mu sub 0, 2.
Entonces, tendría esta expresión de aquí. Y, claro, se cumple 0 menor o
igual que r cuadrado menor o igual que 1, porque era uno de los dos
sumandos en que se descomponía la unidad que hemos visto antes. Entonces,
y llamamos coeficiente de correlación lineal a la expresión mu sub 1, 1
partido por la raíz cuadrada de mu sub 2, 0, mu sub 0, 2. El cuadrado de
este error sería el coeficiente de determinación. Claro, se cumple que
este cociente ya puede ser negativo, evidentemente. El coeficiente de
determinación no lo es, claro. Estaba todo elevado al cuadrado, por eso va
entre 0 y 1. Pero este sí, este sí, el mu sub 1, 1. Puede ser negativo,
por lo tanto. Pero bueno, el valor absoluto no pasa de 1, claro, va entre 0
y 1. El rho, ¿no? Por lo tanto, se cumple que el rho está compuesto entre
menos 1 y 1. Bueno, si el rho toma cualquiera de estos dos valores, más o
menos 1, entonces, lógicamente, el rho cuadrado es igual a 1. Y en ese
caso, la varianza residual es 0. Toda la suma de las dos varianzas es igual
a 1. Si una de ellas ya es 1, pues la otra es 0, claro. Entonces, en ese
caso... En ese caso, los valores de eta coinciden con los de eta asterisco.
Y entonces decimos que hay una correlación perfecta. La variable explicada
explica, podemos decir al 100%, a la variable. Y en el caso de que rho sea
igual a 0, pues entonces no existe correlación. Y entonces las variables,
pues están incorreladas linealmente. Bien, vamos ahora a ver un ejercicio.
Tenemos aquí una variable bidimensional, si eta, cuya función de
densidad, bueno pues aquí la tenemos, es 2 por x más y en el recinto
determinado por 0 menor o igual que y, menor o igual que x, menor o igual
que 1 y 0 en el resto. Bueno, el recinto lo tenemos aquí coloreado en este
dibujo. Entonces vamos a ver las regresiones 1 y 2 y el coeficiente de
correlación. Bueno, pues entonces vamos a empezar con la regresión 1. La
regresión 1, para eso necesitamos calcular las funciones marginales, de
densidad marginales. Entonces f sub 1 de x, pues integramos para todos los
valores de x, la x va desde, perdón, para todos los valores de y, perdón,
para todos los valores de y, la y va desde 0 hasta x. Lo tenemos, por tanto
sería integral desde 0 hasta x de la función de densidad. Que es 2 por x
más y diferencial de y. Y, bueno, resolvamos este integral, es inmediata,
¿no? Y sale 3 por x elevado al cuadrado. Porque, bueno, el integral sería
2xy más y cuadrado. Sería 2xy más y cuadrado y eso desde 0 hasta x
sustituimos, nos queda 3x al cuadrado. Y la x está entre 0 y 1. ¿Eh? Y la
x está entre 0 y 1. Y la f sub 2 de y, en la función de densidad marginal
de la y, que sería, sumamos para todos los valores de la x, que la x va
desde y hasta 1. Luego sería la integral desde y hasta 1 de la función de
densidad, 2 por x más y diferencial de x. Bueno, resolvemos esta integral
y nos queda 1 más 2y menos 3y cuadrado y ahora la y va desde 0 hasta 1.
Bien, por lo tanto... f de y, condicionado por x, sería f de xy, la
función de densidad conjunta, 2 por x más y, partido por la función f
sub 1 de x, sería 2 por x más y, partido por 3x al cuadrado, y puesto que
está condicionado por x, el recorrido sería 0 menos igual que y, esto es
como una función de y, es una función de y condicionada por x, luego
sería 0 menos igual que y, menos igual que x, y f de x condicionado por y,
sería la función de densidad conjunta, f de xy, partido por la f sub 2 de
y, bueno, aquí lo tenemos, y es una función de x condicionada por y,
luego el recorrido sería, la x va desde y hasta 1, lo que valga y está
condicionado. El recorrido de la x va desde y hasta 1. Por tanto, las
curvas de regresión 1 serían esperanza de eta condicionado por xi, es
sumar para todo el recorrido de la y, y multiplicar, o sea, f, la función
de densidad conjunta, perdón, sería la función de densidad de eta
condicionado por y, o sea, sería multiplicar, y por la función de eta
condicionado por y. Bueno, lo hemos llamado de y condicionado por x, lo
tenemos aquí, ¿no? O sea, sería el 2 por x más y, partido por 3y al
cuadrado, eso multiplicado por y, ¿eh? Aquí lo tenemos, sería 2 por y
por x más y, partido por 3y al cuadrado, diferencial de y, bueno,
resolvemos esa integral y queda 5 no menos dx, y, abrogamente, la recta de
regresión 1, ahora, esperanza de xi condicionado por eta. ¿Qué sería?
Multiplicar x por la función de densidad de x condicionado por y. El
factor sería 2x por x más y, para que por 1 más 2y menos 3y cuadrado,
diferencial de x, resolvemos bien terálico, porque queda esta expresión.
Bueno, tenemos los propósitos esperados. Observemos que la recta de
regresión de eta sobre xi ha salido lineal, y ha salido 5 novenos de x, no
ha ocurrido así lo mismo con la otra. Y ahora vamos a hacer la regresión
2. ¿Qué? Vamos a hacer la regresión 2 lineal. Entonces, bueno,
calculamos los momentos, ya tenemos hecho simplemente, vamos a colocar las
rectas de regresión, para eso necesitamos saber todos los momentos, ¿no?
Alfa sub 1, 0, la esperanza de xi, bueno, pues sería 3, por la integral
desde 0 hasta 1, la integramos ahora para todo el recorrido de la x, o sea,
vamos a utilizarla. Función de densidad, la f sub 1 de x, ¿eh? Que
teníamos antes, pues aquí la tenemos, la f sub 1 de x, que era 3x al
cuadrado. Bueno, pues entonces, hacemos la integral de 3x al cuadrado
multiplicada por x, que sería 3x al cubo desde 0 hasta 1. Bueno, eso
sería esta integral, ¿no? Bueno, eso es inmediata y son tres cuartos.
Bueno, ahora solamente calculamos alfa sub 0, 1, que sería la esperanza de
eta, con su función de densidad, con su f sub 2y, ¿eh? Expresión
multiplicada por y, ¿eh? Y bueno, ahora resolvemos y dan 5 doceavos.
Calculamos alfa sub 2, 0, que sería la esperanza de xi al cuadrado, para
eso vamos a utilizar la función de densidad marginal de la x, ¿no? De la
xi. Multiplicamos por x al cuadrado, que sería 3 por la integral de 0
hasta 1, que es 4, diferencial de x, bueno, eso da 3 quintos. Análogamente
hacemos alfa sub 0,2, que es la esperanza de eta al cuadrado. Bueno, aquí
tenemos la integral, que es 7 partido por 30. Y alfa sub 1,1, que es la
esperanza del producto, que tenemos que multiplicar xy por la función de
densidad conjunta, que era 2 por x más y. Y, bueno, aquí hacemos la
integral doble en todo el recinto. La función de densidad conjunta, bueno,
aquí nos queda un tercio. Hacemos eso de la integral, queda un tercio.
Entonces, de aquí ya podemos sacar los momentos respecto de las medias.
Entonces tenemos en primer lugar que el mu sub 2,0, que sería alfa sub 2,0
menos alfa sub 1,0 al cuadrado, ya tenemos todos los momentos respecto del
origen. Pues vamos poniendo y nos quedaría 3 partido por 80. El mu sub
2,0. El mu sub 2,0, la varianza de la eta, que sería esta expresión. Lo
tenemos ya simplemente sustituir. Y el mu sub 1,1, la covarianza, pues esto
es lo que vale. Lo sustituimos y nos queda al final 1 partido por 48. Luego
entonces tendremos que la recta de regresión de eta sobre xy sería eta
asterisco menos alfa sub 0,1, que son 5 doceavos, igual a mu sub 1,2. 1
partido por 48, partió por el mu sub 2,0 por xy menos tres cuartos. Y
bueno, esto lo simplificamos y nos queda que eta asterisco es 5,1 menos
3xy, que coincide con la regreso de eta. Claro, es lineal, este es lineal.
Con la regresión 1 de eta partido por xy, claro, por aquí ya da la
lineal. Y la regresión de sí sobre eta, pues simplemente sustituir, o sea
que sería sí asterisco menos la alfa sub 1 cero, que son tres cuartos,
igual a la covarianza, 1 partido por 48, por mu sub 0.2, que lo tenemos
aquí, que son 43 partido por 320, utilizado por eta menos media, alfa sub
0.1, que son 5 doceavos, que igual a esto lo significamos y queda pues esta
otra ecuación lineal también. Entonces finalmente el coeficiente de
correlación, que es mu sub 1,1 partido por la raíz cuadrada de mu sub 2
cero mu sub 0.2, bueno, sustituimos, nos queda esta expresión, y
aproximadamente 0,4402. Bien, bueno, vamos a ver ahora, aquí entendemos
por reversión, o sea, que es la distribución normal bidimensional. Y,
variables, ¿no? Sería x menos su, menos la media, o sea, mu sub, menos el
valor medio de la variable xi, mu sub xi, partido por sigma, por su
desviación típica elevada al cuadrado, menos dos rho por x menos mu sub
xi, partido por sigma, sub xi, por y menos mu sub eta, partido por xi. O
sea, que es como si tuviesen las variables tipificadas, ¿eh? O sea, que
restamos la media y dividimos por la desviación típica. Recordemos que
eso era lo que iba en el exponente, precisamente, de la variable normal
bidimensional, ¿no? Bueno, aquí tenemos esto, y luego más y menos mu sub
eta, porque sigma es beta, al cuadrado. Esta es la función de densidad de
la normal bidimensional. Bien, entonces sabemos... Bueno, esta sería la
representación gráfica. Es una superficie, claro, bidimensional. Sabemos
que si dos variables son independientes, su coeficiente de correlación
lineal es cero. Y que en general el recíproco no es cierto, pero ahora
bien, en el caso de la distribución normal bivariante, sí que se cumple
el recíproco. En efecto, si rho es cero, bueno, si rho es cero, eso
sustituimos en la fórmula anterior, sustituimos la rho por el valor cero.
Entonces nos queda, pues... Esta expresión de aquí. Uno partido por dos
pi, sigma sub si, sigma sub eta, y elevado, pues esta expresión, ¿no?
Menos un medio por x menos mu sub si, porque por sigma al cuadrado, más, y
menos mu sub eta, porque por sigma sub eta, al cuadrado. Claro, ha
desaparecido. Esta expresión, lo que tenía el rho, claro, ha
desaparecido, y donde pone rho, pues ponemos cero, y queda esta expresión
de aquí. No, esta expresión que tenemos ahora la podemos separar en dos
factores. Uno sería uno partido por sigma sub si. Raíz de dos pi, ¿eh?
Raíz de dos pi, ponemos. Raíz de dos pi, separamos. por e elevado a menos
un medio por x menos mu sub si partido por sigma sub si al cuadrado esto no
es otra cosa que la función de densidad la normal de la variable si con su
media, su si y su barra definición típica sigma sub si y luego el otro
factor que es uno partido por sigma sub eta por e elevado a menos un medio
y menos mu sub eta partido por sigma sub eta al cuadrado que no es otra
cosa que la función de densidad la normal de la variable eta con
parámetro mu sub eta sigma sub eta bien, por tanto las variables
efectivamente son independientes, si el valor es cero las variables son
independientes porque la función de densidad conjunta se descompone en el
producto de las funciones de densidad de las funciones de densidad
marginales bien, vamos a ver algunos ejercicios propuestos en los exámenes
en primer lugar el coeficiente de correlación lineal toma valores, es una
cuestión teórica bueno, primero entre cero y uno b entre menos uno y uno
y c entre menos uno y cero ninguna de las anteriores, bueno, está claro es
trivial, la solución es b otro ejercicio tenemos aquí una pugna que
contiene cinco bolas rojas y cuatro negras Entonces se realizan dos
extracciones sin reemplazamiento y llevamos si y eta a los resultados
obtenidos aleatoriamente de la primera y de la segunda extracción.
Entonces primero se pide la covarianza de la variable dimensional si eta y
segundo el coeficiente de correlación. Bueno, entonces vamos a ver, vamos
a precisar un poco las dos variables si eta. Entonces vamos a definir si
como el número de bolas rojas en la primera extracción. Bueno, podríamos
hacerlo análogamente por el número de bolas negras. Pero bueno, yo cuando
hago una extracción saco una bola, la primera extracción es roja o negra.
Voy a llamar si al número de bolas negras, el del bolo rojo, perdón. Si
sale roja, si vale uno y si sale negra, si vale cero. Por lo tanto los
valores de si son uno y cero. Aquí lo tenemos. Y eta va a ser el número
de bolas rojas en la segunda extracción. Pues hacemos dos extracciones sin
reemplazamiento. Sacamos una primera bola. Y luego la segunda. Entonces eta
es el resultado de la segunda extracción. El número de bolas rojas en la
segunda extracción. Puede ser también uno o cero. Bien, entonces
completamos la tabla. O sea, aquí tendríamos la tabla conjunta. Por
ejemplo, probabilidad de que si sea igual a uno y eta sea igual a uno. Que
aquí pone cinco dieciochavos. ¿Por qué? Porque la probabilidad de que si
sea igual a uno sería cinco novenos. La probabilidad de que la primera sea
roja, cinco novenos. Por la probabilidad de que la segunda sea roja
también. Eta vale uno. Por tanto, si la primera es roja, la segunda... O
sea, porque la probabilidad de que ocurran ambas situaciones... La
probabilidad de que la primera sea roja y la probabilidad de que la segunda
lo sea, a condición de que no haya sido la primera, claro. Será cuatro
octavos. Cuatro octavos es un medio, lo crea. Cinco novenos multiplicado
por un medio son cinco dieciocho altos. Bueno, de forma análoga se calcula
esto. Es sencillo, se van calculando las probabilidades de cada par, si
eta. Entonces, salen estos valores de aquí, estas probabilidades.
Comprobamos, suman un número más. Y aquí construimos las probabilidades
marginales sumando por filas y sumando por columnas. Tenemos las
probabilidades marginales de la variable sí y de la variable eta. Y para
hallar los valores esperados, multiplicamos cada valor de sí por la
probabilidad marginal. O sea, que sería uno por diez dieciocho avos,
sería diez dieciocho avos. O cero por ocho dieciocho avos, que sería
cero, claro. Eso lo sumamos y se suma diez dieciocho avos. Análogamente,
en columna, o sea, para cada valor de la eta, uno por su probabilidad
marginal, sería diez dieciocho avos, o cero por su probabilidad marginal,
sería cero. Sumamos y da diez dieciocho avos. Bueno. Y también calculamos
el producto de cada valor de la variable por la otra y por una probabilidad
conjunta. O sea, variamos uno por uno por cinco dieciocho avos. Que son
cinco dieciocho avos. Uno por cero por cinco dieciocho avos, que es cero.
Cero por uno por cinco dieciocho avos, que también es cero. Y cero por
cero, por tres dieciocho avos, que es cero. Esto de aquí lo sumamos y...
Bueno, está, lógicamente, cinco dieciocho avos. Entonces tenemos que el
valor esperado de xi será diez dieciocho avos, que teníamos aquí sumado.
El valor esperado de eta será diez dieciocho avos, que no lo teníamos
aquí sumado. Y el valor esperado del producto, que será cinco dieciocho
avos, que sería la suma de estos cuatro números que hay aquí. Por lo
tanto, bueno, ya tenemos, podemos decir, los momentos respecto del origen.
Luego, entonces, la covarianza, que sería la esperanza del producto menos
el producto de las esperanzas, ¿no? Porque sería 5 y 18 agos menos el
producto, 10 y 18 agos por 10 y 18 agos, esto se calcula y da menos 2,5
partido por 80. Bien, y ahora vamos con el coeficiente de correlación.
Bien, observemos que la esperanza de sí cuadrado es igual que la esperanza
de sí, que al elevar al cuadrado el 1 y el 0 se obtienen los mismos
valores, como la esperanza de sí cuadrado es la esperanza de sí y,
análogamente, la esperanza de eta cuadrado es la esperanza de eta. Por lo
tanto, las varianzas, además, van a ser iguales, van a ser igual a la
esperanza de sí, que es la esperanza de sí al cuadrado, por lo tanto, que
es 10 y 18 agos, menos la esperanza de sí elevada al cuadrado. Por lo
tanto, bueno, quedaría esto, 20 partido por 81. Ambas varianzas son
iguales, ¿no? Las desviaciones típicas. Son la raíz cuadrada, sería 2,5
partido por 9. Por lo tanto, el coeficiente de correlación sería la
covarianza, menos 2,5 partido por 81, partido por el producto de las
desviaciones típicas, que sería 20, el producto sería 20 partido por 81.
Bueno, pues todo. Ese resultado es decimal, es menos 0,135. Bien. Bueno,
tenemos aquí otro ejercicio, ¿no? Dadas sí y eta, variables letras.
Ambas con varianza sigma al cuadrado y coeficiente de correlación entre
ellas, rho. ¿Cuál será la varianza de la media aritmética de dichas
variables? Y eta, bueno, aquí hay varios resultados. Bueno, tenemos que
rho es la covarianza partido por sigma al cuadrado, puesto que, o sea, las
desviaciones típicas, puesto que ambas tienen varianza sigma al cuadrado,
pues también sus desviaciones típicas son iguales. Por lo tanto, aquí el
denominador aparecería sigma por sigma, sigma al cuadrado. De aquí
desplegamos la covarianza, por tanto será Rho por sigma cuadrado. Luego la
varianza de sigma zeta partido por 2, que será la varianza de sigma zeta
partido por 4. Sacamos el 4 afuera. Ahora la varianza de sigma zeta es la
varianza de sigma, la varianza de eta más dos veces la covarianza. Por
tanto esto sería sigma cuadrado más sigma cuadrado más dos veces la
covarianza, que es 2 sigma cuadrado por Rho. Y bueno, esto lo calculamos,
sacamos factor común sigma cuadrado y simplificamos. Nos quedaría sigma
cuadrado por 1 más pi partido por 2, que es el resultado del apartado.
Bien, vamos a ver otro ejercicio. Tratas dos variables aleatorias, si eta
tal es que existen sus esperanzas y son positivas, se puede asegurar que
existe el coeficiente de correlación si eta y es positivo. O existe ese
coeficiente de correlación y es negativo. O existe ese coeficiente de
correlación y es cero. O ninguna de las anteriores. Bueno, aquí lo que...
Bueno, no sé, hay, existen ejemplos, aquí tenemos tres ejemplos, donde...
Bueno, en este primer caso los valores de la variable son 1 y 2 en cada
caso, ¿no? Pero había las probabilidades, por ejemplo, un primer ejemplo
donde las probabilidades son todas iguales a un cuarto. En ese caso el
valor esperado de si es 3 medios, el valor esperado de eta es 3 medios
también. Y si calculamos... Si el coeficiente de correlación es cero. Si
las probabilidades, pues en las de aquí, el segundo ejemplo, ¿no? Que
serían... De que si eta sea igual a 1 es un medio, si igual a 1 es igual a
2 es cero, o si igual a 2 y eta igual a 1 es cero, o si igual a 2 y eta
igual a 2 es un medio. En ese caso, también, los valores esperados son
igual a 3 medios, y en ese caso el rho es igual a 1. Bien. O bien, tercer
ejemplo, donde estas son las probabilidades que vemos aquí. Bueno, en ese
caso también los valores esperados son los mismos, tres medios, pero en
ese caso el fluyente de correlación es menos uno. ¿Qué quiere decir eso?
Pues que no se cumple ni A ni B, puede ocurrir cualquiera de las tres
cosas. Por lo tanto, la respuesta sería de ninguna de las anteriores. Y
bien, pues hasta aquí, aquí ya dejamos el tema.