Bien, vamos a ver el tema 9, convergencia de sucesiones de variables
aleatorias. Bien, vamos a distinguir cuatro tipos de convergencia de
sucesiones de variables aleatorias. En primer lugar, lo que llamamos
convergencia casi segura. Una sucesión, si sub n de variables aleatorias
converge casi seguro a la variable aleatoria sí, cuando se verifica que la
probabilidad de que el límite de si sub n sea igual a sí, cuando le tiene
infinito, es igual a 1. En tal caso, pues escribiremos psicólicamente si
sub n tiende, una flechita, arriba c s, tiende a sí. Bien, vamos a poner
un ejemplo de este tipo de convergencia para dar un poco más la cuestión.
Bien, supongamos una variable aleatoria sí sub n que toma los valores 1
con probabilidad 1 menos 1 partido por 2 elevado a n y toma el valor 3 con
probabilidad 1 partido por 2 elevado a n. Bien, vamos a considerar también
la variabilidad de referencia sí que toma el valor 1 con probabilidad...
1, que es la variabilidad de generar. Bien, entonces el límite cuando n
tiende a infinito de si sub n sería, entonces tomaría el valor 1 con
probabilidad, bueno, pues aquí en la tabla anterior sí, si sub n tiende a
infinito, la probabilidad de esta tendría a 1, así que tu probabilidad 1,
y 3 con probabilidad si sub n tiende a infinito, tu probabilidad tendría a
0. Y esta es otra cosa que la variabilidad de generar, sí, que tiene la
variabilidad de generar. Por lo tanto, podemos escribir que la probabilidad
de que el límite cuando n tiende a infinito de si sub n igual a sí, es
decir, este suceso tiene probabilidad 1. Por lo tanto, la sucesión si sub
n converge casi seguro a la variabilidad. Bien, otro tipo de convergencia
sería la convergencia en probabilidad. Entonces una sucesión si sub n de
variables aleatorias converge en probabilidad a la variable aleatoria sí,
cuando para todo épsilon mayor que 0, se verifica que el límite de la
probabilidad, la probabilidad de que la diferencia en lo absoluto de si sub
n menos sí sea mayor o igual que épsilon es igual a 0. O,
equivalentemente, el límite de la probabilidad de la diferencia en lo
absoluto de si sub n menos sí sea menor que épsilon es igual a 1. Y en
ese caso, pues escribimos de esta manera, ¿no? Que si sub n tiende a p
arriba, ¿no? A sí. Bien, podemos comprobar que el ejemplo anterior
también, se cumple la convergencia en probabilidad. De la sucesión
anterior también se cumple la convergencia en probabilidad a la variable
anterior del ejemplo. Bien, otro tipo de convergencia sería la
convergencia en distribución. Una sucesión si sub n de variables
aleatorias con funciones de distribución f sub n de x converge en
distribución a la variable aleatoria sí, y en función de distribuciones
f de x, si el límite de la f sub n de x cuando n tiende a infinito es
igual a f de x. En todos los puntos. En todos los puntos de continuidad de
f de x. Y en tal caso, bueno, pues escribimos así simbólicamente. Y
finalmente el cuarto modelo es la convergencia en media de orden r.
Convergencia de momento. Entonces una sucesión si sub n de variables
aleatorias converge en media de orden r a la variable aleatoria sí, cuando
se verifica que el límite cuando n tiende a infinito del valor esperado de
si sub n menos sí elevado a r es igual a cero. Siendo el valor esperado de
si sub n elevado a r y el valor esperado de si sub n fínita. En tal caso,
bueno, pues escribimos esta. Media en r, igual a la flechita. Entonces un
caso particular importante es cuando r igual a 2, cuya convergencia se
denomina en media cuadrática. En que escribimos esta. Bien. Bueno, hemos
hecho un resumen de los cuatro tipos de convergencia. En el texto se puede
ampliar. con la pista de propiedades, etc. Bueno, entre los cuatro tipos de
convergencia no se cumplen en estas relaciones. La convergencia casi segura
implica la convergencia en probabilidad que a su vez implica la
convergencia en distribución. No le pasa a la convergencia media
cuadrática que también implica la convergencia en probabilidad y esta en
la convergencia en distribución. Bien, vamos a ver la ley débil de los
grandes números. Conoce a si sub n una sucesión de variables aleatorias
de esperanza finita y llamemos eta sub n a esta expresión de aquí que es
el sumatorio desde igual a 1 hasta n de si sub i partido por n. Entonces se
dice que si sub n la sucesión cumple la ley débil de los grandes números
si existe una sucesión de constantes a sub n tal es que eta sub n converge
en probabilidad a a sub n lo cual significa que el límite cuando n viene
infinito de la probabilidad de eta sub n menos a sub n en valor absoluto
mayor o igual que 0 es igual a 0 para todo epsilon mayor que 0. Bien, esto
es la ley débil de los grandes números. Y el teorema de Kinchin que
podemos ver la demostración en el texto sea si sub n una sucesión de
variables aleatorias independientes con la misma probabilidad de que a sub
n una distribución y esperanza finita mu y sea eta sub n igual que antes
la suma desde igual a 1 hasta n de si sub i partido por n entonces eta sub
n converge en probabilidad a mu y el teorema de Bernoulli que dice lo
siguiente sea si una variable aleatoria binomial b, n, p y eta sub n sea
igual a 1 hasta n si partido por n su frecuencia relativa entonces eta sub
n converge en probabilidad a p es decir, el límite de la probabilidad de
la diferencia en valor absoluto de eta sub n menos p cuando n tiene
infinito que ese suceso sea mayor o igual que epsilon es igual a 0 para
todo epsilon mayor que 0. Bueno, este sí que lo vamos a demostrar entonces
de la desigualdad de Chebyshev que tenemos aquí escrita pues dice que la
probabilidad de que la diferencia en valor absoluto de eta sub n menos p es
menor o igual que sigma cuadrado partido por epsilon al cuadrado pero sigma
cuadrado para el caso de la proporción sería p por q partido por n por lo
tanto sustituimos y aquí tenemos p por q partido por n y por epsilon al
cuadrado y puesto que el producto p por q el valor máximo que toma es un
cuarto bueno, aquí en esta gráfica se puede observar está representado
precisamente el producto p por q y lo toma para el valor p igual a q igual
a un medio en ese caso el producto vale un cuarto es el máximo valor que
puede tomar el producto p por q por lo tanto p por q partido por n será
menor o igual que 1 partido por 4n epsilon al cuadrado y tomando límites
cuando n tiene infinito pues se deduce que el límite de la probabilidad de
esa diferencia eta sub n menos p sea mayor o igual que epsilon es igual a
cero bueno el teorema este claro demuestra solamente la estabilidad de las
frecuencias relativas pero no asegura la existencia del límite de tantas
frecuencias relativas y tenemos ahora la ley fuerte de los grandes números
sea si sub n una sucesión de variables aleatorias y pongamos gamma sub n
igual a la sub n de p igual a 1 hasta n de si sub n entonces decimos que la
sucesión de si sub n obedece a la ley fuerte de los grandes números si
existen dos sucesiones de números reales a sub n y b sub n b sub n mayor
que cero límite de b sub n igual a infinito cuando n tiene infinito tal es
que esta expresión gamma sub n entre a sub n partido por b sub n converge
casi seguro a c en particular si sub n cumpliría la ley de los grandes
números si gamma sub n partido por n menos el sumatorio desde igual a 1
hasta n de las esperanzas de si sub i y eso partido por n converge casi
seguro a cero y el teorema de Glibeco-Cantelli que es el teorema
fundamental de la estadística establece que dada una variable aleatoria
con función de distribución una variable de lo que sí con función de
distribución f de x sea si sub 1 si sub 2 si sub n una realización
muestrable de tamaño n o sea n valores de la variable aleatoria y sea f
asterisco sub n de x la frecuencia relativa acumulada de dicha radicación
mostrada o sea lo que es la función de distribución empírica entonces
esa función de distribución f asterisco sub n converge casi seguro a f de
x y el teorema central del límite dice lo siguiente sea si sub n una
sucesión de variables aleatorias y pongamos gamma sub n igual suma desde
igual a 1 hasta n de si sub i supongamos que la varianza de gamma sub n es
finita entonces decimos que si sub n verifica el teorema central del
límite si gamma sub n menos su valor esperado partido por la vez cuadrada
de su varianza converge en distribución a la normal 0 es decir que se
distribuye aproximadamente mejor cuanto mayor sea n como aproximadamente
como una normal 0 1 y el teorema del lindenberg levy una sucesión de
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con
esperanza de si sub n igual a mu y varianza de si sub n igual a sigma
cuadrado finita cumple el teorema central del límite es decir que gamma
sub n menos n mu partido por sigma raíz de n coper g en distribución al 0
1 entonces gamma sub n pues la suma de la si sub i podemos decir
equipotentemente que gamma sub n converge en distribución a la normal n mu
sigma raíz de n es decir si no tipificamos o también que gamma sub n
partido por n converge en distribución a la normal mu sigma partido por
raíz de n si aplicamos el teorema a n variables independientes de
Bernoulli entonces obtenemos el el teorema de mu a la plus es decir que la
variable aleatoria si sub n binomial n p converge en distribución a una
normal de parámetros n p raíz de n bueno y el teorema del Lindberg-Feller
que generaliza el teorema del Lindberg-Levy en el sentido de no exigir que
las variables sean idénticamente distribuidas y que así sea una sucesión
si sub n de variables aleatorias independientes con esperanza de si sub n
igual a mu sub n y varianza de si sub n igual a sigma a cuadrado sub n
infinita entonces bueno pues la suma del igual a más de n de si sub i
menos la suma del igual a más de n de las medias sub i partido por la
raíz cuadrada de la suma del igual a más de n de la sigma sub i al
cuadrado converge en distribución bajo ciertas condiciones a la normal c u
bueno vamos a ver unos cuantos ejercicios propuestos en exámenes de estas
cuestiones el primero si se define la variable si sub n que toma
parámetros menos dos elevado a n cero y dos elevado a n con probabilidades
dos elevado a menos dos n más uno dos elevado a menos dos n más uno y uno
menos dos elevado a menos dos n respectivamente las tenemos aquí las tres
probabilidades bien pues entonces analice si verifica el teorema central
del límite bueno pues luego dos variables cualesquiera x y sub p y x y sub
q son independientes por otra parte la esperanza de x y sub n sería bueno
pues es cuestión de multiplicar cada valor por su probabilidad sería dos
elevado a n por su probabilidad eh menos dos elevado a n de valor por dos
elevado a menos dos n más uno y después el tercero porque es cero ¿no?
por tanto eh es bueno y esto de aquí lo desarrollamos es cero claro es una
resta son los igual que sustraen ¿no? y por otra parte la esperanza de x y
sub n al cuadrado pues sería elevamos al cuadrado cada valor eh por tanto
sería dos elevado a dos n por su probabilidad más dos elevado a dos n por
su probabilidad cero tampoco lo ponemos claro y entonces bueno esto de
aquí pues es igual a uno esto es dos elevado a dos n más uno por dos
elevado a menos dos n más uno que por tanto es igual a uno entonces por
tanto la varianza de x y sub n es igual a uno así pues la sucesión
verifica que le van claro el límite que es varianza finita y son
independientes otro ejercicio una tienda de confección se sumó a la
campaña del sector para obtener rebaja en la comisión de las tarjetas
visa ofreciendo la modalidad de pago al contado con un descuento del cinco
por ciento entonces a los quince días comprobó que un veinte por ciento
de los artículos adquiridos habían sido con esa modalidad si en un
periodo determinado se vendieron mil artículos determínese la
probabilidad de que doscientos cincuenta o menos lo hayan sido al contado
bien bueno pues la variable si igual al número de artículos pagados al
contado es una binomial eh de parámetros mil y cero coma dos eh que
podríamos aproximar por una normal con parámetros n p sería doscientos y
raíz cuadrada de eh n p q sería doscientos y aproximadamente una normal
doscientos y doce coma sesenta y cinco luego entonces la probabilidad de
que si sea menor o igual que doscientos cincuenta pues eh vamos a tipificar
es decir que sería la probabilidad de z que damos z a la normal cero uno
menor o igual que doscientos cincuenta menos doscientos partido por doce
coma sesenta y cinco y eh esto es igual a la probabilidad de que z sea
menor o igual que tres coma noventa y cinco es prácticamente eh tenemos
esta probabilidad es prácticamente la unidad eh bien otro ejercicio del
teorema de linde-berlevi establece que dada eh xi sub n variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con esperanza igual
a muy y varianza igual a sigma cuadrada finitas y definidas gamma sub n
igual a entonces esta variable converge a una normal cero uno entonces
vamos se trata de ver de qué manera converge si converge en probabilidad
en distribución con convergencia casi segura o ninguna de las anteriores
cuando la respuesta es a b en distribución otra pregunta eh el teorema de
moab en la plaz es un caso particular de la ley débil de los grandes
números el teorema central del límite el teorema de kinchin o ninguna de
las anteriores bueno el caso particular del teorema central del límite
otro ejercicio dada la sucesión de variables aleatorias si suben
independientes entre sí tal es que para todo n existe la esperanza de
sigma sub n y la varianza de sigma sub n se puede aplicar el teorema de
linderer-levy porque eh a son independientes b existe la esperanza de si
suben para todo n y son independientes o ninguna de las anteriores bueno
aquí la respuesta tiene que ser d la ninguna de las anteriores porque para
aplicar el teorema del linderer-levy las variables deben estar igualmente
distribuidas y aquí pues no se hace acción otro ejercicio dada si suben
en sucesión de variables independientes e idénticamente distribuidas eh
definidas cada una de ellas por la función de probabilidad eh probabilidad
de que si suben sea igual a i es igual a uno partido por dos elevado a i
donde i es un número natural mayor o igual que uno entonces el teorema del
linderer-levy bueno pues hay cuatro respuestas se verifica porque si suben
es variable discreta o no se verifica o se verifica porque si suben es
variable positiva o ninguna de las anteriores bueno pues también aquí no
se cumple ninguna de las anteriores el teorema del linderer-levy se
verifica porque eh porque las variables son independientes idénticamente
distribuidas y la esperanza eh es igual a la suma desde i hasta i infinito
de uno partido por dos elevado a i la esperanza de si suben y la esperanza
del cuadrado es igual a la suma desde i hasta i infinito de uno de i al
cuadrado partido por dos elevado a i eh son series convergentes eh se puede
comprobar aplicando luego existen mu y sigma al cuadrado finitas eh es
decir que se verifica pero no se verifica por eh por las razones que pone
aquí eh de que sigma suben es o sea si suben es variable discreta no se
verifica por eso o de que si suben es variable positiva eh no se verifica
por eso otro ejercicio si una sucesión de variables aleatorias si suben
convergen en distribución a a una cierta variable sí se puede asegurar
que también se verifica la convergencia dicha variable en bueno a dicha
variable en convergencia casi segura por probabilidad o en media
cuadrática o ninguna de las anteriores bueno en este caso ninguna de las
anteriores eh podemos dar tablas de implicaciones que hemos visto antes
otro ejercicio va a la sucesión de variables aleatorias independientes si
suben idénticamente distribuidas y discretas entonces se puede aplicar el
teorema central del límite siempre o no porque son discretas o nunca o
ninguna de las anteriores bueno eh bien para poder aplicar tenemos que dar
la respuesta b eh porque para poder aplicar el teorema central del límite
deben tener además la misma media y la misma varianza finitas eh pues es
como se se indica otro ejercicio la ley de bill de los grandes números si
se cumplen las hipótesis que establece asegura convergencia casi segura en
distribución en probabilidad o ninguna de las anteriores bueno asegura
convergencia en probabilidad otra cuestión dada la sucesión de variables
aleatorias si suben independientes entre sí e idénticamente distribuidas
y con la esperanza de si suben igual a mu para todo n se puede aplicar el
teorema del límite Bernoulli porque bueno son independientes existe la
esperanza que es igual a mu para todo n existe la esperanza de si suben
igual a mu para todo n y son independientes entonces si suben el teorema
del límite Bernoulli hay que suponer que la varianza sea finita que aquí
pues tampoco se indica otro ejercicio dada una sucesión de variables
aleatorias si suben independientes entre sí e idénticamente distribuidas
con la probabilidad de que si suben igual a 1 partido por 2 elevado a i
siendo x sub i igual a 2 elevado a i menos 1 para todo i natural entonces
se puede aplicar el teorema del límite Bernoulli se cumple la ley fuerte
de los grandes números se cumple la ley débil de los grandes números con
ninguna de las anteriores aquí también la respuesta es d ya que si suben
la probabilidad carece de esperanza es decir que en efecto la esperanza de
si suben sería el sumatorio desde igual a 1 hasta infinito de 1 partido
por 2 elevado a i que es la probabilidad por su valor que es 2 elevado a i
menos 1 sería la suma desde n igual a 1 hasta infinito de 1 medio que es
infinito por tanto no carece del valor esperado bien el otro ejercicio el
teorema de Bernoulli es una formulación particular de la ley fuerte de los
grandes números de la ley débil de los grandes números del teorema
central del límite o de ninguna de las anteriores es una formulación
particular de la ley débil de los grandes números otro ejercicio la ley
débil de los grandes números se refiere a la convergencia en probabilidad
o casi segura o no establece convergencia o ninguna de las anteriores bueno
hablo de la convergencia en probabilidad otro ejercicio la tesis del
teorema de Ghibli y Cocantelli se refiere a la convergencia bueno en
probabilidad casi segura o no establece convergencia o ninguna de las
anteriores bueno tal vez se refiere a la convergencia casi segura otro
ejercicio el teorema de Kinchin asegura que dada una sucesión de variables
aleatorias sí sub n independientes e idénticamente distribuidas con
esperanza finita mu la sucesión eta sub n siendo eta sub n igual sumatorio
desde n igual a 1 hasta infinito de sí sub n el sumatorio desde i es decir
i igual a 1 es que aquí está el sumatorio desde i igual a 1 hasta n de
sí sub i ratio por n converge a la distribución de la población bueno
convergencia casi segura o en distribución o en probabilidad o ninguna de
las anteriores bueno pues la respuesta es d porque eta sub n converge en
probabilidad a mu no a la distribución de la población bueno otro
ejercicio si una sucesión de variables aleatorias converge en probabilidad
a una cierta variable sí se puede asegurar también que se verifica la
convergencia de dicha variable o casi segura o en media cuadrática o en
distribución o ninguna de las anteriores bueno pues es distribución y
finalmente el último ejercicio dada si sub n una sucesión de variables
aleatorias independientes idénticamente distribuidas con varianza de si
sub n igual a sigma cuadrada o finita entonces se puede aplicar el teorema
central del límite siempre o