Bien, vamos a resolver un problema en esta tutoría, sobre todo para que
nos sirva de referencia. En particular, este primero de aquí. Se polariza
una esfera de radio A. Con una polarización que varía linealmente desde
el centro. P igual a K, R con el vector R unitario. Siendo K una constante.
Determina el potencial eléctrico estático en el centro de la esfera.
Bueno, pues vamos a plantearlo. Se polariza una esfera de radio A. Bueno,
tenemos una esfera de radio A con una polarización que varía linealmente
desde el centro. Bueno, pues la polarización es igual a K, que es una
constante, R, que es la distancia, por el vector unitario desde el centro.
Desde el centro de la esfera. Y donde K, en este caso, es una constante. No
varía con la distancia. Determina el potencial eléctrico estático en el
centro de la esfera. Potencial eléctrico estático cuando R es igual a K.
Bueno, pues veamos. Cuando estamos hablando de una distancia, R. mayor que
la esfera, o sea, estamos fuera de la esfera, el campo eléctrico tiene que
ser igual a 0. ¿Por qué? Porque las cargas, como esto está polarizado,
quiere decir que hay cargas positivas y negativas que se anulan. Fuera de
la esfera no tenemos cargas y, por tanto, el campo eléctrico será igual a
0. ¿Por qué? Porque la carga total de la esfera debe ser T. O sea, la
carga interna total, sumando positivos y negativos, es 0. En el caso de que
R sea menor que A, estamos dentro de la esfera. La densidad volumétrica de
carga de polarización equivalente, densidad volumétrica de carga de
polarización equivalente, es igual a menos el gradiente de la
polarización, porque son colombios metro cuadrados. La densidad de carga
ligada volumétrica a una distancia R del céntimo, la carga ligada será
igual a menos el gradiente del vector polarizante. En coordenadas
esféricas, que es con lo que tenemos que trabajar en este caso, en
coordenadas esféricas, los vectores son R, delta y filo. R, delta y filo.
De hecho, aquí tenemos X, Y y Z, y en este caso, pues, R sería X. Esto
caería hacia aquí. Y veamos, la fi sería esta de aquí y la teta sería
esta de aquí. Cada uno de ellos hace que el vector R unitario es el de
aquí, el teta unitario es el de aquí y el fi sería el equivalente al
unitario de aquí, pero puesto hacia arriba. ¿Vale? Cada uno
perpendicular. Ahora el radio que lo marca o que lo dirige. Pasamos al
otro. En coordenadas esféricas, si nos tenemos que ir al apéndice, la
divergencia de un vector, no confundir el gradiente, tenemos el gradiente
de un valor escalar y la divergencia de un vector. Son cosas distintas. En
función de las coordenadas que nos interese, lo que vamos a hacer es
elegir la fórmula que resuelve mejor o que se adapta mejor. En el anexo
del libro tenéis la divergencia en coordenadas esféricas. Y esto es igual
a 1 R al cuadrado. ¿Qué con respecto a D de R? R al cuadrado. A su R.
Esto sería esta de aquí. No. Vamos a ver esto de aquí. Sí, R al
cuadrado por A su R. En este caso A su R lo que estamos hablando es de
qué. Nosotros tenemos un vector A y el C. A su R por el vector unitario. A
su teta por el vector unitario. Más A su Q por el vector unitario. R al
cuadrado. A su R más 1R seno de teta derivada con respecto a teta. Copiar
teta por seno de teta. Más 1 partido por R seno de teta derivada de A su
fi con respecto a fi. Bueno, en el caso nuestro el vector A es efectivo por
la dirección. El vector unitario tiene la K y la R en esféricas. Es R
mayúscula y el vector unitario en esa dirección. Bueno, pues si os
fijáis esto es A su R para este caso. Porque lo que multiplica la teta es
un cero más lo que multiplica la fi es un cero. Entonces en este caso si
nos fijamos solamente aquí tenemos cero. Aquí es cero. Entonces el
tratamiento, digo la divergencia de A. O la divergencia del vector por la
dirección. Es igual a 1 partido por R al cuadrado. Y con respecto de BF.
El vector R al cuadrado. O sea R al cuadrado multiplicado por A su R que es
K por R. K por R. ¿Vale? Y esto nos da lo siguiente. ¿Qué le ha pasado a
K? La divergencia del vector por la dirección es igual a 1 R al cuadrado.
Y ahí con respecto a BF. Y ahora tenemos K por R al cuadrado. La K es la
constante, sale fuera. 1 R al cuadrado. La K sale fuera. Y la derivada de R
al cuadrado con respecto a R. Es igual a 3 por 3 menos 1 que será 2. 3 por
R al cuadrado. Esto se va con esto y me queda esto es igual a 3K. ¿Vale?
Por tanto. La densidad de carga ligada volumétrica. De K. A una distancia
R del centro de la mayúscula. Es igual a menos la diente del vector
polarización. Y esto es igual a. Menos 2K que acabo de encontrar ahí. Que
es una constante en toda la esfera. Constante en toda la esfera. Bueno pues
con esto vamos a calcular. El campo a una determinada distancia R del
centro. Campo. A una distancia. R del centro. Pero sin salirnos de la
esfera. Porque entonces si salimos de la esfera. Ya no hay una carga.
Aplicando el método de Gauss. Integrado de la superficie de lo que es el
campo eléctrico. Por la diferencia de superficie. Es igual a las cargas
internas. Partido por el dióxido de energía. ¿Vale? Si tomamos una
integral de superficie. De tal forma que. Campo eléctrico en todos los
puntos. Es paralelo a la diferencia de superficie. Y que además. Bueno
esto sería igual a. Integrar la superficie del vector interno de S. En
todas las superficies esféricas. O sea una distancia R. Y vemos que. El
producto escalar. Es de esta forma. Permanece constante el campo eléctrico
y sale fuera. Y la integral de superficie del diferencial de S. Es la
superficie de la esfera. Es 4R. En este caso. Como estamos mirando una R
minúscula. Voy a ocupar esto aquí. Bueno. Y es R cuadrado. Y por otra
parte tenemos la carga interna. ¿Cuál es la carga interna? Sabemos que
las cargas ligadas es de unos 3 por K. Y sabemos que la carga ligada. Es
igual a. Diferencial de Q. Partido por. Diferencial de V. Esa es la
densidad. Bueno pues. El diferencial de Q. Es igual a la densidad de carga
ligada. Dividida por. Diferencial de V. Entonces la carga interna. Cada una
de estas esferas. Será. Será la integral. A lo largo de todo el volumen.
Donde RL. Diferencial de V. Y RL es constante. Sale fuera. Multiplicado por
la integral. De volumen. Del diferencial de volumen. Que a fin de cuentas.
Esto de aquí. Es igual al volumen. Que es 4000. R cubo partido por 3. RL.
Es esta de aquí. Es menos 3 K. Y el volumen. Es 4000. R cubo partido por
3. Bueno el 3. Lo voy a dar con el 3. Y me queda que las cargas internas.
Cada una de estas. Estas esferas. Serán. O interna. Es igual a. Menos K.
Cuatro pi. R cubo. Y todo ello partido por. Eso lo sucede. Tenemos. Menos
K. Cuatro pi. R cubo. Partido por eso lo sucede. Bueno al hacer. Estas dos
cosas. Sean iguales. O sea. El. Cuatro pi. R cuadrado. Igual a menos K.
Cuatro pi. R cubo. Partido por eso lo sucede. Bueno pues. Cuatro pi. Se
lleva con cuatro pi. R cuadrado. Se lleva con este cubo. Y me queda que. Es
igual a. Menos K. R. Partido por. Eso lo sucede. Y. En la dirección del
vector. Es esto. El por. El vector unitario. En la dirección. En la
dirección saliente de la zona. Es igual a. Menos K. R. R no sucede. Esto
es el campo eléctrico. Una vez que sabemos ese campo eléctrico. O sea
dentro de la esfera. Tenemos el campo eléctrico. Es igual a menos. K. R.
Eso lo sucede. R no sucede. Coordinadas esféricas. Esto es. X. Y. Z.
Bueno. R. Z. Y. Aquí está. R mayúscula unitario. Aquí tenemos el zeta
unitario. Y aquí tenemos el cien unitario. Bueno pues. El potencial en el
círculo de la esfera. Menos el potencial en el infinito. Es igual a.
Tenemos la integral ¿no? entre infinito. Y el centro. El centro a fin de
cuentas es. R igual a cero. Es igual a. r igual a cero, de n por la
diferencia de r más i. Bueno, esta de aquí, lo lógico sería llamarle r
más i. Bueno pues, esta integral es igual a, bueno, si tenemos esta
integral, la integral de n por la diferencia de r entre infinito y cero, se
da la integral entre infinito y el radio de la esfera, b por la diferencia
de r más la integral entre a y el centro de la esfera, de n por la
diferencia de r. Está claro que como aquí el campo es igual a cero,
estamos fuera de la esfera, esto no es cero, lo de la esfera es solamente a
cero de n por la diferencia de r entre a y cero. Por tanto, esto es la
integral entre a y cero, esto es un menos, en la integral entre a y cero,
de n por la diferencia, bueno, y esto de aquí, vamos hasta aquí, seguimos
aquí, esto es igual a menos la integral entre a y el cero, el campo ético
que es menos k r mayúscula, el siluoso cero, r mayúscula comitario, y el
diferencial de longitud, es el, cogemos un radial, el radial de la esfera
con grados estériles será esto de aquí, la diferencia de r por el
resultado del producto escalar de este por este será uno. Y esto es igual
a menos, menos por menos es más, es igual a la integral entre a y cero de
k r el siluoso cero, diferencia de r mayúscula. Y esto es igual a k r
mayúscula, divido y con el c, haciendo la integral, r igual a a, y r igual
a c. Y esto me queda, es equals a, menos, k, a al cuadrado, dos el siluoso
cero. Paso una hoja más, para poner los resultados, me queda aquí, el
potencial, potenciar en el centro, que es cuando r es igual a r mayúscula
es igual a cero, menos el potencial en el infinito es igual a lo que acabo
de calcular, que es menos k por lado 2s o sub cero. Tomando como referencia
que el potencial en el infinito es igual a cero, prometiendo aquí el
potencial en el centro es igual al potencial cuando r es igual a cero, es
igual a lo que acaba de salir aquí, que es menos k, menos k a al cuadrado
2s y más sub cero. Fijaros que vuelvo a la página anterior. Bien. Esto de
aquí, en realidad teníamos entre r igual a cero, pero en realidad
teníamos entre r igual a cero, pero en realidad menos el valor en r igual
a a, que es este por aquí. Por eso nos aparece este signo menos a. Por
tanto, el resultado de esta cuestión es que el potencial electrostático
en el centro de la esfera es este valor de aquí, f, bueno, en r igual a
cero, efectivamente.