Hola, buenas tardes a todo el mundo. Vamos a comenzar la videoconferencia
correspondiente al tema 5 de la asignatura de Lenguaje Matemático,
Conjuntos y Números. En esta primera videoconferencia vamos a tratar los
dos primeros puntos, que son los números naturales y luego otro punto que
hay sobre los conjuntos, conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Bueno, en
esta charla lo que vamos a hacer es un pequeño resumen de lo que ocurre,
de lo que se cuenta en el tema. No entraremos en profundidad en algunas de
las cosas, por ejemplo en la mayoría de las demostraciones, porque no
tendríamos tiempo para ello. Entonces, casi todo lo que voy a decir lo he
dejado escrito en las transparencias que se ven en la pantalla, para que
así luego sea más fácil revisar los contenidos. Bueno, pues empezamos.
La primera parte es los números naturales. Y bueno, este tema, esta
primera parte de números naturales, al principio puede que nos sea un
poquito difícil de abordar, porque pensemos que aparecen muchas cosas que
no son necesarias de mostrarlas. Aparecen cosas, por ejemplo, pues, ¿por
qué hay que andar sumando y viendo que la suma es conmutativa? Parece que
luego además nos empeñamos en que eso hay que demostrarlo. Parece una
cosa obvia, porque lo hemos hecho desde siempre. Bien, pues, resulta que
sí. ¿Por qué hay que hacer esto? Bueno, pues, en primer lugar nos
tenemos que olvidar de conocimientos que ya tenemos. Porque, si no, puede
que unas personas vean algo como obvio y otras personas que no. No estamos
seguros de qué es lo que estamos diciendo. En matemáticas todo lo
necesitamos tener muy, muy bien fundamentado. Entonces, ¿qué es lo que se
pretende aquí en este tema? Pues, partiendo desde un principio, vamos a
fijar unos axiomas. Por ejemplo, en este caso se han fijado los de peano. Y
a partir de ahí se quiere reconstruir todo lo que ya conocemos de los
números naturales. No se trata de dar algo nuevo. Se trata de justificarlo
todo, de poner unos pilares sobre los que nos vamos a basar. Entonces,
pues, ponemos esos axiomas que nos van a parecer, eso sí que nos van a
parecer que son evidentes. Y a partir de ahí nos aseguramos que... Eso es
suficiente para tener toda la estructura que tenemos. Toda la estructura
que hemos manejado. Por ejemplo, lo que he comentado hace un momento, de
que la suma es conmutativa. Entonces, bueno, esto además de que así nos
aseguramos de que todo funciona bien, y que sabemos cómo van las cosas,
pues nos vamos a familiarizar con algunas técnicas de demostración y
vamos a estar seguros de lo que hacemos. Además, demostramos cosas que
para nosotros tienen que ser, pues nos resultaría más fácil. La técnica
de demostración principal es la inducción. Esta es la principal técnica
que vamos a demostrar, que vamos a utilizar. ¿Y por qué la inducción?
Bueno, pues eso se ve ahora al utilizar los axiomas de Peano. Esos axiomas
que son los que necesitamos. Bien, pues estos axiomas de Peano para
construir los números naturales los vemos después. Pero primero vamos a
hablar de por qué los números naturales hay que darle una cierta
definición. ¿Cómo? En principio, para nosotros los números naturales,
pues son... El 0, 1, 2, 3, 4, 5, los que se utilizan para contar. Bueno, y
a veces, según el autor que tomemos, no se incluye el 0. El 0 es un
número que a veces no se considera como un número natural, porque es que
no es lo que se utiliza para contar, el 0 no se cuenta, en fin. Eso depende
de la versión del autor. Nosotros en el libro sí incluimos el 0, y lo que
hacemos es la distinción entre n y n estrella. Lo que los americanos
llaman whole numbers y natural numbers. Natural numbers sería con el 0 y
whole numbers sin el 0. Bueno. Es simplemente una distinción que a veces
viene bien hacerla, para estar seguros de qué estamos hablando. Bueno,
pero dicho así, los números como 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., pues no tenemos
ninguna propiedad. En principio no tenemos suma. ¿La suma por qué? La
suma es algo que viene después. Además, 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y después del
5, ¿qué ocurre? Alguien tendría que venir a decirnos, bueno, pues viene
el 6 y el 7. En fin, necesitamos que nos den los números. Pensemos de
cuando hablamos lo de los números a un niño pequeño, siempre nos cuenta,
¿y ahora qué? Y hay que enseñarle a contar. Bueno, pues esto sería algo
parecido. Nos damos cuenta que necesitamos siempre hablar del siguiente.
Eso es algo importante a la hora de introducir los aseos más de peano.
Entonces, en vez de andar así y luego intentar definir la suma de alguna
forma, pensamos como nos lo hacían en el colegio, nos decían directamente
cómo se sumaba o con conjuntos, lo mejor es dar una definición bien
rigurosa en la que se den unos cuantos aseos más, un conjunto finito de
aseomas que se cumplen y a partir de ahí ya demostramos todo. Entonces,
para hacerlo de una manera estructurada y rigurosa. Bueno, pues entonces
nosotros, eso, la forma que hemos elegido aquí, se ha elegido en este
tema, ha sido darlo con los aseos más de peano. Entonces, estos son unos
cuantos de aseos más que eso sí nos lo creemos, lo vemos como obvio,
además que cuando los leemos pensamos si efectivamente esto es lo que
tienen que cumplir los números y a partir de ahí recuperar todo.
¿Cuáles son los aseos más de peano? Bueno, pues como vemos aquí, el
primer aseo más es que el cero es un número natural, bien, tenemos un
primer número natural, a partir de ahí ya veremos si se pueden construir
los demás. Después, lo que acabamos de comentar, que después de cada
número, pues viene otro, siempre se puede contar otro, eso lo damos como
aseo más. Por ejemplo, después del cero, pues habrá otro número que
nosotros le vamos a llamar uno, después del uno vendrá otro número que
se nos va a llamar dos, son cosas muy sencillas. Luego, otro aseo más que
tenemos que hacer es que, lo que tenemos también es que, bien, esto va a
poder dar un número detrás de otro, pero no va a ser una cosa circular,
es decir, el cero, por ejemplo, no va a ser el sucesor de nadie. Y además,
que si dos sucesores son iguales, es porque los números eran iguales. Esto
nos viene asegurando, pues más o menos, que ahora lo comentaremos, nos
viene asegurando que los números no son una cosa circular, nos vamos
contando dentro de un círculo. Bueno, y luego una propiedad, que es la
propiedad más importante que vamos a utilizar, es el principio de
inducción, en la que nos utilizaremos nosotros para hacer demostraciones
por inducción. Es sencillamente que, si tenemos el primer elemento de los
naturales, que en este caso es el cero, y una propiedad se verifica para el
primer elemento, y para todos los siguientes, o sea, para el suficiente al
siguiente de cada número, entonces resulta que esa propiedad o ese
conjunto de números, lo que sea, se tiene para todos los números
naturales. Entonces, con esta propiedad del principio de inducción, pues
podemos ir recorriendo los números naturales. Esta propiedad de la
inducción, pues la vamos a utilizar a lo largo del tema muchísimo. Bueno,
pues, tal y como tengo puesto aquí, pues, estos dos números naturales de
siempre cumplen esas propiedades. Entonces, lo que se tratará de ver es
que estas propiedades son una cosa característica. Las caracterizan a los
números naturales en el sentido de que ahora ya obtenemos toda la
estructura que conocemos. Entonces, la suma, la multiplicación y demás.
Bueno, pues, los asombrados estos lo que hacen es pensar en los números
naturales a través de la característica que tienen, que nos sirven para
contar. Dado un número, pues tenemos el siguiente. Hay otras
construcciones, que también se ven en el libro de texto, en la que, se ven
en el apéndice final de este tema, en la que los números naturales se
ven, pues, mediante la otra interpretación, ¿qué es? Para ver si dos
conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. Para nosotros nos parece
que eso es lo mismo, pero realmente no es lo mismo. Uno es establecer una
sucesión de números y lo otro es comparar elementos. Digamos que miramos
con dos conjuntos y a ver si efectivamente tienen los mismos. Vamos
estableciendo una relación entre un conjunto y otro y a ver si tienen
igual. Entonces, cuando se estudian el origen de los números, pues,
siempre se ven esas dos visiones del origen de los números naturales, esas
dos posibilidades. Bueno, pues entonces, ¿qué conclusiones podemos
obtener de estos axiomas de Peano? Pues lo primero es que tenemos definida
una aplicación, que es la aplicación siguiente. Dado un número, pues
tenemos el siguiente, un número natural. Tenemos el siguiente número
también natural. Que si nos fijamos en los axiomas, bueno, como tenemos el
sucesor, bueno, esta aplicación es una aplicación inyectiva, porque el
sucesor es un sucesor, único, ese es el axioma segundo. Además, todo
número es sucesor de algún otro, excepto el cero, eso nos lo dice el
axioma tres. Y el cero es el único elemento que no es sucesor de alguien.
Y eso, bueno, habría que hacer una pequeña demostración utilizando la
inducción, el axioma cinco. Entonces aquí es donde nos encontramos con
una primera demostracioncita en donde se empiezan a utilizar las
propiedades. Bueno. Y luego el axioma cuatro nos garantiza algo que es muy
necesario, y es simplemente que al calcular el siguiente, los números que
vamos obteniendo son distintos. Yo tengo el primer número, otro, otro y
otro, y que nunca vamos a repetir. Que es lo habitual, ¿no? Si lo vamos
contando, pues evidentemente si después llegamos hasta el cinco, pues
sabemos que luego viene el seis, que es distinto de cualquiera de los
anteriores, y así. Bueno. Nosotros vamos a utilizar la notación, como
hemos introducido la aplicación siguiente, como aplicación, vamos a
denotar, dado un número, n, pues, el siguiente como s de n. Como veremos
más adelante, pues el siguiente, una vez que se introduzca la suma, lo
podemos pensar como, dado n, pues n más 1. Es lo que queremos hacer. Dado
un número n, n más 1. Sólo que ahora todavía no lo podemos decir así,
en esta parte del libro. Bueno, pues entonces, ¿cómo se construyen como
conjunto los números naturales? Pues partimos del cero. Ahora, después de
dar el cero, consideramos el siguiente, que será el que llamaremos uno.
Siguiente número. Siguiente del cero. Luego, el siguiente del siguiente,
que es el que llamaremos dos. El siguiente del siguiente del siguiente,
etcétera. Con nuestro siguiente se puede construir todos los números como
conjunto. Evidentemente, no podemos dejar esto tal y como está señalado
con tanto siguiente de siguiente porque sería muy difícil de manejar.
Entonces por eso necesitamos escribirlo de otra forma. Y esa otra forma es
la sencilla que siempre hemos hecho de 0, 1, 2 y 3. Pero como bien sabemos,
esta escritura de 0, 1, 2 y 3 depende del sistema de numeración aunque
aquí en el tema no se ven los sistemas de numeración pero es algo que
conocemos por ejemplo en base 2 pues el número 3 que es el siguiente, el
siguiente, el siguiente de 0 se escribiría en vez de un 3 se escribe como
1,1 eso es algo que nosotros conocemos bien pues visto esto ya hemos
definido los números naturales los números naturales son un conjunto n y
además una aplicación que es importante de hecho para definir el propio
conjunto además estos dos conjuntos están relacionados ¿y qué es lo que
los relaciona? pues los asiemas de peón esas propiedades bueno pues ahora
entonces intentemos recuperar la estructura conocida eso significa que
queremos ver la suma, queremos ver el producto y el orden, son las cosas
que tenemos aparte de eso pues podríamos, por ejemplo, pensar en la resta
o la división ya sabemos que esas operaciones con los números naturales
plantean ciertos problemas entonces pues esto lo dejaremos para el tema
siguiente lo que es la resta y la división de números eso se dejará para
la parte siguiente del tema que son los números enteros que es donde se
puede hablar mejor de ello bueno, ahora llega el momento de definir suma,
producto y orden y demostrar las propiedades que tenemos que conocer
primero, antes de ponernos a demostrar sería bueno pensar qué vamos a
utilizar para hacer una demostración se trata de que nos aprendamos una
lista de demostraciones a ver cómo van si no, bueno, ¿qué es lo que
vamos a utilizar? bueno, si caemos en la cuenta hasta ahora no tenemos
prácticamente nada tenemos el propio conjunto de los números naturales y
las propiedades ¿cuáles son las principales? bueno, pues la aplicación
siguiente que nos permite calcular siguientes de cada número y el
principio de inducción no podemos dar nada por obvio entonces solamente
podemos... usar estas dos cosas con lo cual cada vez que vayamos a hacer
una demostración en este tema ya lo tenemos muy claro a ver si podemos
usar el principio de inducción vamos a hacer casi todas las demostraciones
por inducción y después dentro del cuerpo de la demostración pues
calcular el siguiente no nos quedan mucho más no nos quedan muchas más
opciones en alguna de las demostraciones sí que es verdad que hay que
comprobar pues a lo mejor que un número es cero en alguna multiplicación
para ver si es cero más adelante se ve bueno, pues entonces... podemos
utilizar la propiedad que caracteriza al cero esta vez que es el primer
elemento y no es el siguiente de nadie entonces un número que no es nulo
no es el siguiente de ningún otro entonces eso sí pues también es otra
propiedad a utilizar pero que básicamente nos viene bien para el cero esto
es lo que tenemos que llevar en mente a la hora de intentar recordar las
demostraciones o a la hora de intentar hacer esas demostraciones bueno,
pues entonces podemos pasar ya a definir la suma porque hay que definirla
hay que decir cómo se suman evidentemente nosotros siempre hemos sabido
sumar entonces vamos a intentar recoger ese conocimiento que ya tenemos
entonces si le preguntamos a alguien oye, ¿cómo se suma? pues nos van a
dar el algoritmo de la suma el que se enseñó en el colegio pero ¿qué
significa exactamente una suma? por ejemplo como conjunto que es una cosa
que es lo que más podemos llegar a hacer pues el número lo que tengo
puesto aquí el número tres más dos es unir un conjunto de tres elementos
y otro conjunto de de dos elementos y lo que salga ahí bien, pero es un
poco difícil de ver y luego ya si queremos las propiedades de la suma el
producto y demás eso sí que sería bastante difícil bien, entonces
nosotros recordando lo anterior queremos definir algo sólo tenemos los
aseomas de Peano pues los utilizamos en primer lugar si queremos definir la
suma tenemos que hacer una especie de inducción como hemos dicho que hay
que hacer las cosas pues bien, empecemos con sumar un número al sumarle el
primer elemento que es el cero pues todo el mundo sabe lo que tiene que
ocurrir para sumar al cero que es como el neutro de la suma debe salir cero
pues lo definimos así después queremos hacer una inducción entonces la
definición la hacemos por la inducción ¿cómo hacemos para sumar? por
ejemplo, el siguiente eso es lo que utilizaríamos en la inducción pues la
fórmula que tenemos puesta es que dado un número es que sumamos el
siguiente de otro es el siguiente de la suma que es un poco raro si lo
pensamos con que el siguiente va a ser ese sumar uno pues podríamos pensar
que m más una suma de s bueno, puesto s o s más uno o n más uno va a
haber una propiedad asociativa y pues sería el uno se puede sumar antes o
después y es lo que nos dice esta propiedad 2 de la definición segunda
parte de la definición eso debería ocurrir bueno, pues bien lo definimos
para que sea así bueno ahora lo que necesitamos es pues comprobar que
todas las cosas funcionen y eso es lo que vamos a hacer por comodidad
definiendo uno como el siguiente del cero esa notación nos va a venir muy
bien pues lo primero que se comprueba que tiene que ser por inducción es
que dado un número m le sumamos uno y efectivamente es el siguiente parece
una cosa obvia pero de nuevo hay que demostrarla porque aunque nos parezca
obvio no tiene por qué no tiene por qué ser obvio para todo el mundo y de
hecho la demostración implica hacer alguna cosilla pero por inducción
sale bastante bien como casi todas las demostraciones del tema bueno pues
ahora que ya tenemos esta definición pues fijémonos entonces que la
segunda propiedad de lo que ya he dicho antes es una especie de comienzo de
la socialidad que después hay que probarla y y bueno pues ¿para qué
tenemos esto? todas las propiedades ¿cuáles son las propiedades
importantes que tenemos en la suma? bueno, pues las que hemos utilizado
siempre que incluso en algún momento nos habrán hecho aprender el nombre
de estas propiedades pues hay que demostrar que éstas existen porque le
dan una estructura a los números naturales bien, no hace falta que
hablemos mucho de la estructura pues todavía se ha estudiado en temas
anteriores los tipos de estructuras posibles que tenemos entonces la suma
pues hay que verificar que efectivamente cumple lo conocido el elemento
neutro hemos definido ya una parte a través de la suma pero hay que ver
que sumar 0 por la izquierda o por la derecha digámoslo así pues siempre
es lo mismo el número queda igual al que le sumamos el 0 una propiedad
asociativa que nos permita sumar en cualquier orden que es una propiedad
importante además ya sabemos que conjuntos con operaciones de suma o mejor
dicho en este caso productos por ejemplo las matrices nos podrían dar
algún problema no en la asociativa pero sí en la conmutativa hay otros en
los que sí nos da problemas en la asociativa entonces esto hay que
asegurarse aunque con los números sabemos que es evidente la conmutativa
lo hemos dicho también que es donde nos hemos encontrado los principales
problemas a lo largo de nuestro estudio de los diversos conjuntos con
operaciones de grupos por ejemplo y demás nos encontramos los problemas
con las matrices que uno solo encuentra en bachillerato es donde llama la
atención que no exista la conmutatividad bueno y luego otra propiedad que
en principio no la vamos a utilizar no la vamos a necesitar en un futuro
porque tendremos otras herramientas pero ahora mismo sí que es muy
importante la propiedad cancelativa que estamos sumando el mismo número
una igualdad pues entonces podemos quitar ese número lo que siempre se ha
dicho como tachar en esta igualdad que tenemos remarcada pues que podemos
tachar la p bueno pues ya sabemos que estas propiedades nos aseguran que en
los números naturales con la suma tiene estructura de semigrupo
conmutativo con elemento neutro bien pues esto hay que demostrarlo como
hemos dicho la herramienta nuestra es la inducción bueno pues entonces
demostremos por la inducción por ejemplo para la primera lo del elemento
neutro que al sumar que es cero más un número sigue siendo ese número
eso no lo hemos visto la definición está justo al revés nos parece obvio
pero nos parecería obvio si tuviéramos por ejemplo la propiedad
conmutativa o alguna cosa tenemos que empezar por aquí bien pues entonces
eso hay que demostrarlo y se prueba por la inducción fácilmente como
todas es que no tenemos otra herramienta que no sea la inducción bueno y
para la segunda para la asociativa bueno pues entonces partimos de un
primer caso que por ejemplo sumar uno o calcular el siguiente y a partir de
ahí lo que se hace es inducción otra vez pues siempre va a ser así yo no
creo que me deje la pena entrar en los detalles de la inducción porque
realmente no es más que entender bueno que se hace para la conmutativa
pues igual se prueba con un caso por ejemplo el n igual a cero ya lo hemos
visto en el anterior precisamente para el elemento neutro m más cero igual
a cero más m y ahora ya a partir de ahí podemos empezar con la inducción
bien bueno respecto a algunas de las preguntas que están apareciendo en el
chat si por ahí había algún número que se podría haber llamado n en
vez de s y lo de que la suma está bien definida sí es una de las cosas
que se ven por la propia definición como se utiliza el operador siguiente
siempre valora dentro de n con lo cual para eso no habría problema en
tener una operación interna bien nos falta entonces comentar un poco la
cuarta propiedad la cancelativa que ya digo que en futuro cuando tengamos
la resta está bien definida pues ya está está bien tenerla pero se
podría haber visto de alguna otra forma bueno pues igual se hace otra vez
por inducción vamos fijamos el número m y ya empezamos con p igual a cero
eso es evidente porque ya lo conocemos de antes lo hemos probado y a partir
de ahí se puede establecer la inducción entonces con esto con este
pequeño resumen que he hecho de la demostración lo que quiero es que se
vea que realmente lo que tenemos que fijar es cómo podemos aplicar la
inducción siempre va a ser empezar con el cero seguramente o si no con el
uno y luego ya a partir de ahí utilizar el operador siguiente y aplicar la
inducción en todas las demostraciones bien entonces con esto pues ya se
tendrían las propiedades para la suma ahora pues ya vendría lo demás
vendría ya pues probar ir al producto que habrá que hacer una definición
parecida porque no nos queda otra una definición por recurrencia habrá
que ver qué ocurre con el primer elemento al multiplicar por cero después
ver qué ocurre al multiplicar por el siguiente y bueno con esto y por
inducción ya tenemos el producto con cualquier natural digamos un número
a ver qué pasa con un número al multiplicar por cero bueno a ver qué
pasa al multiplicar por el siguiente de cualquier otro número y ya está
por el principio de inducción ya está todo hecho cómo deberíamos dar
esa definición no hace falta memorizar nada realmente solamente el
producto de un número por cero como cero el producto de un número por el
siguiente cómo se definirá pues si queremos tener una propiedad
distributiva está claro que tiene que ser el producto pues el dado m por n
más uno m por n más m porque además queremos que multiplicar por uno
queda el número igual entonces no nos queda más remedio que definirlo
así bien entonces con esto ya se recoge todas las demás estructuras todas
las demás cosas que sabemos del producto únicamente salen de aquí de
estas dos primeras propiedades tan sencillas luego por supuesto las sumas
de Peano la definición que hemos hecho antes de suma todas las cosas
estamos viendo que todo cuadra bueno entonces de nuevo aunque estas
propiedades parezcan evidentes hay que hacer la demostración en este caso
lo que se hace para estas demostraciones en el libro es ver que
efectivamente al principio cero por m es igual a cero y se tiene que
comprobar por inducción porque es que no tenemos otra forma de comprobar
bien esto nos servirá de apoyo en las siguientes demostraciones entonces
esta es una de las pequeñas cosas que uno debe recordar cuando quiere
aprender a hacer luego las demostraciones por sí mismo después empezamos
con que m por uno es es igual es igual a uno vale hay que esto hay que
verlo bueno pues sale de la primera de la segunda definición pero luego
que uno por m es igual a m eso sí que probarlo con esto estamos empezando
a hacer una propiedad conmutativa del producto viendo que esto tiene que
ocurrir bueno y a partir de ahí pues ya podemos continuar con las
demostraciones entonces hay que conviene recordar para a la hora de hacer
demostraciones que hay cosas que sí que necesitamos recordar para
demostrarlo y otras cosas que sabemos que al ir haciendo la demostración
pues ya se nos irá no ocurriendo lo que tengo que hacerlo por inducción
bueno pues eso lo voy recordando un poquito menos los detalles concretos
pero sí algunos pasitos como lo de bueno es que tengo que recordar m por
uno y uno por m esas cosas hay que recordarlo bien pues entonces vamos con
con las con las propiedades las propiedades son las de siempre las las que
ya conocemos que dotan a n con la suma y con el producto estructura de
semianillo conmutativo y son esas todas las conocidas son prácticamente
las mismas que teníamos con la suma solo que bueno además hay una
distributiva entonces una cosa como acaban de preguntar ahora lo de
semianillo la diferencia es que es que los números naturales hay que tener
un poquito de cuidado porque como no tenemos los números negativos la suma
no nos permite hacer el opuesto yo tengo puedo sumar todo lo que quiera
pero no hay opuesto para la suma es decir yo tengo el tres y a ver qué le
sumo para que salga cero no le puedo sumar nada cuando tengamos los
números enteros pues sí puedo sumar el menos tres y tres menos tres cero
vale pero si no nada bien entonces seguimos con lo de las propiedades las
propiedades estas de de la multiplicación pues necesitamos que exista el
neutro del producto necesitamos una propiedad asociativa una propiedad
conmutativa y después una propiedad que relacione a la multiplicación del
producto que en este caso como sabemos es la propiedad distributiva de la
de la multiplicación y la suma que es lo que nos permite quitar
paréntesis y todo bueno es una propiedad de sobra para que me detenga a
comentarla bien y por último como no tenemos la división necesitaremos
una la propiedad cancelativa cuando podamos dividir pues entonces esta
propiedad pues se podría demostrar de alguna otra manera es que
simplemente si tenemos un producto de cosas en una igualdad un producto y
en los dos sitios aparece el mismo número pues bueno pues sí que se puede
quitar ese número siempre que sea no nulo y y bueno es lo que hemos
llamado pues tachar términos que es lo que se hace siempre pues desde
siempre que hemos aprendido a manejar ecuaciones e igualdad hay que
asegurarse que eso se puede hacer aunque también ya llega un momento en
que nos parece obvio de haberlo utilizado tanto pero nunca nadie a lo mejor
nos lo ha demostrado quién sabe bueno entonces ahora ya pasamos a querer
probar todas las cosas qué ocurre bueno pues igual que hemos hecho para la
suma tenemos que utilizar la inducción cómo hacemos las demostraciones
pues exactamente igual son similares por ejemplo que 1 por m es igual a m
ya lo hemos comentado antes eso por inducción en m empezamos con el 1 por
el 0 que es 0 y ya lo sabemos y luego a ver qué ocurre al combinar el
operador siguiente y la hipótesis de inducción entonces claro con estas
demostraciones puede llegar un momento en que alguien piense que es un lío
que esto no hace falta porque pero si nos vamos fijando en todas las
demostraciones a lo largo de este tema es que todas son iguales todas son
utilizar el operador siguiente y intentar buscar la hipótesis de
inducción para poderla aplicar una y otra vez entonces cogeremos altura en
esta técnica tan importante que es la inducción bueno entonces qué
debemos recordar para memorizarnos bien estas demostraciones o saber
hacerlas por nosotros mismos bueno pues que por ejemplo en la propiedad
distributiva en la propiedad asociativa fijamos los números m y n y ahora
hacemos la inducción en el número p esos son los pequeños detalles que
sí que hay que recordar porque si no a lo mejor no sabemos arrancar pero
una vez que sepamos eso con probar hacer la demostración uno mismo un par
de veces es fácil resulta fácil bueno las demás en las que no aparecen
tantísimo número pues como tengo aquí recogido se hacen por inducción
por inducción en n se hacen es suficiente con eso bueno pues entonces
continuamos con las consecuencias de esto es que algunas cosillas que hemos
probado de paso en la inducción que este semenillo es íntegro se llama
íntegro una cosa que nos ha venido muy bien a lo mejor en secundaria o en
bachillerato que es cuando multiplicamos dos cosas alguna es cero el
producto es cero pues alguna tiene que ser cero eso pues a partir de ahí
luego se utiliza muchísimo por ejemplo resolver ecuaciones en muchos
sitios bueno pues aquí es donde se empieza a demostrar y es lo que se
llama íntegro un producto que sea cero no quiere decir que los dos
números sean cero siempre en los números naturales sí pero hay otro tipo
de número hay otras estructuras en las que esto no tiene que ocurrir en
otras asignaturas se verán muy bien muchos ejemplos bueno entonces en este
caso como tenemos que probar que algo es cero como ya dije al principio
cuando empecé a hablar de todo esto de cómo se hacían las demostraciones
en este caso hay que demostrar que algo es cero pues entonces es cuando hay
que utilizar esa tercera cosa que dije aparte de la inducción que yo he
puesto aquí que bueno que es como un pequeño truco así que también hay
que recordarlo porque como no es lo que siempre estamos manejando pues no
se nos olvida entonces conviene recordar que ahí está ese pequeño truco
entonces en esas demostraciones hay que utilizar que si un número es no
nulo es el siguiente de algún número eso es lo que hay que utilizar eso
lo tenemos que recordar en el momento que queramos ver que algo es cero que
si no fuese cero entonces será el siguiente de algún número y a partir
de ahí todo se utiliza bien y como tengo también recogido es que es la
única herramienta que tenemos para caracterizar el cero o para probar que
algo es cero es que es el primer número natural entonces un número
especial para que sea así bueno pues bien ya tenemos entonces la suma
tenemos el producto lo siguiente es una vez que tenemos el producto muy
bien podemos hacer potencia ¿qué es la potencia? esto sí que se nos ha
decidido desde siempre que se ha empezado a manejar también las
propiedades se introducen a los alumnos cuando ya son un poquito más
mayores y bueno tampoco es que sea una definición muy complicada no es
más que multiplicar muchas veces ¿está bien? o sea sí que sería un
buen ejercicio el pensar antes de memorizarse la definición o verla bueno
¿y cómo haría yo eso? pues lo primero sería habrá que hacerlo por
inducción de manera recurrente porque es la herramienta que tenemos para
hacer cosas sobre todos los números naturales no tenemos una forma de
pensar en algo infinito de otra manera bien pues entonces si sabéis que
hacerlo por inducción pues empecemos con por ejemplo cero elevado a un
número no nulo tiene que ser cero son propiedades que ya conocemos alguien
podría pensar bueno ¿y qué pasa con cero elevado a cero? ya sabemos lo
que tiene que ocurrir sabemos que es un caso especial que hay que tratar no
vamos a ponernos a definirlo ahora si ya sabemos que es un caso especial
que según cual cosa pues notará más o menos problemas en fin eso ya se
ha visto que ocurre entonces recordemos que no queremos aquí aprender nada
nuevo ni ver nada nuevo salvo el hecho de saber demostrar cosas y tener
claro que lo ya conocido pues realmente funciona y por qué entonces cero
elevado algún número no nulo tiene que ser cero bien otra cosa que ya
conocíamos de antes que siempre se nos dice bueno pues por convenio para
que las cosas funcionen sí efectivamente lo necesitamos para que funcione
que cualquier que he dado un número como he dicho antes no sea cero nulo
lo elevamos a cero entonces sale uno sabemos que tiene que ser así y ahora
ya lo que siempre hemos sabido ¿no? multiplicar muchas veces una potencia
es multiplicar muchas veces cómo hacemos esto de manera recurrente para
poderlo definir bien bueno pues simplemente que al elevar al siguiente o
sea al elevar a n más uno pues es multiplicar n veces y luego multiplicar
una vez más a partir de ahí ya se con esto con estas tres cositas se
recoge todo todo lo que conocemos de las potencias entonces ya es
consecuencia prácticamente inmediata de esto pues primero el ver que
efectivamente sí elevar a n y multiplicar n veces parece casi evidente
pero eso había que definirlo de alguna manera luego ¿qué cosa
necesitaríamos ver? pues qué ocurre con el producto de potencias por
ejemplo cuando tienen la misma base cuando tienen los mismos exponentes y
qué ocurre con potencia de potencia bueno pues esto es fácil es fácil
verlo no plantea ningún problema en intentar ver que son las mismas
propiedades de siempre los productos de potencia de la misma base que se
suman los exponentes productos de potencia con los mismos exponentes en fin
propiedades de sobra que no son conocidas que no hace falta recordarlas y
que en fin ahora ya sí que se puede ver que funcionan y eso no plantea
ningún problema ni nada que haya que explicar en especial bueno pues ahora
que ya tenemos estas operaciones principales que nos dan de una buena
estructura nos falta el orden sabemos que existe un orden que tenemos en el
conjunto de los números naturales que por cierto no todos los conjuntos de
números tienen un orden así tan tan bueno ¿no? y tan esto pues también
se estudia en la asignatura pues ya la propiedad del orden se pierde bien
pues nosotros pensamos sí que el orden es una cosa evidente bueno evidente
pero luego cuando llegan por ejemplo lo que he dicho números complejos
anda si no era evidente que cualquier cosa tiene que estar ordenada pues
otra vez pensamos ¿cómo podríamos definir nosotros el orden? a lo mejor
nos cuesta porque lo vemos evidente bueno pues el orden si está antes pero
bien pues entonces lo que necesitamos definir únicamente es cuando un
número es menor o igual que otro un número m es menor o igual que otro
número n bueno pues una vez que lo leemos en el libro pues decimos ah pues
claro pues si es evidente el número m será más pequeño cuando se cuando
n es m más alguien más si n es m más alguien más pues así el número
es más grande es decir yo parto de m pues ahora que empiezo a sumarle
cualquier otra cosa obtengo números más grandes y así es como se
obtienen los números más grandes eso lo tenemos que tener claro bueno
aparte de eso pues hemos definido el menor o igual pues el menor estricto
pues también eh eso ya sí que no tendría ningún ningún problema que si
no le sumamos nadie a ese a ese número del que partimos pues entonces es
cuando nos quedamos igual y en cuanto sumemos algún número por ejemplo yo
tengo el tres como le sumé algo que no sea cero pues entonces como tenemos
un número más es una cosa evidente pero hay que caer en la cuenta de
cómo se hace esta definición digo a la hora de recordarlo o a la hora de
estudiarse esta parte del tema que es una cosa que hay que hacer un
esfuerzo por recordarlo que si no pensamos que como es tan fácil no hace
falta estudiarlo que me voy a acordar pero no es verdad eso es una
orientación a la hora de estudiarse esta parte bueno pues entonces ¿qué
hay que saberse del orden? bueno pues el orden tiene algunas propiedades
que estas propiedades incluso hay veces que no las tenemos muy claras
porque a lo mejor no se han manejado lo suficiente ¿cuáles son las
propiedades que necesitamos darle un orden? bueno pues en primer lugar el
orden tiene que ser total es decir siempre vamos a poder comparar dos
números no toda relación que definamos de orden tiene por qué ser total
es que el problema que ocurre con el orden es que lo vemos como que claro
que tiene que ser así bueno pues pues no por ejemplo yo tengo puesto ahí
con los gustos hay veces que no sabemos comparar dos cosas ¿qué cosa te
gusta más? pues no sé porque no es un orden total eso es para poner un
ejemplo así práctico luego hay también relaciones entre comillas de
orden en las que definimos un orden que no es total se pueden comparar
algunas cosas pero otras no también es interesante utilizarlas pero bueno
ahora no es el momento entonces esto no es evidente cualquier orden que
definamos va a ser total y ya es una cosa que hay que probar bueno otra
propiedad que tiene el orden bien pues la antisimétrica la propiedad
antisimétrica que si un número es menor o igual que otro y viceversa pues
entonces es porque son iguales una forma de comprobar una igualdad a
través del orden luego también que es transitiva una cosa que conocemos
pues que si situamos un número menor o igual que otro y ese a su vez es
menor o igual que un tercero pues entonces es que el primero era menor que
el tercero o sea que efectivamente vamos ordenando y luego aparte que el
orden se conserva en con la suma y con el producto que es compatible
cuidado que ya sabemos que esto no tiene por qué ser cierto siempre ya
hemos estudiado otros temas lo del orden y ya sabemos por ejemplo que para
productos enteros pues lo que ocurre es que la desigualdad cambia entonces
cuidado que a veces nos parece fácil o evidente y esto no es así y
siempre por ejemplo cuando se da en clase en secundaria pues hay que venir
advirtiéndolo cuidado con el orden porque es que si multiplicamos o
dividimos o lo que sea por un número negativo esto cambia entonces lo de
compartir y consumir productos aquí está muy bien en los números
naturales y recordar que es para los números naturales bien y las
demostraciones pues las demostraciones va a ser como siempre con esto de la
de la inducción y lo que tengo puesto aquí es que la parte más
complicada la parte más complicada es lo de ver que el orden es total
¿cómo habrá que hacerlo? pues igual que siempre fijamos m número m y
ahora ya por inducción en n y utilizando el operador siguiente he puesto
aquí que la es la parte más complicada para que eso lo recordemos a la
hora de querer pues saber reproducir todo esto todas estas propiedades
bueno los que preguntan ahí sobre qué la reflexión si también sería
bueno decirlo ¿no? que un número siempre es igual a sí mismo sí que sí
que es verdad que faltaría ahí por ponerlo lo que están preguntando en
el chat bueno pues respecto respecto a esto ¿qué consecuencias se
obtienen? pues se obtienen algunas consecuencias muy importantes como algo
que ya queríamos recoger desde antes es que n no está agotado un conjunto
infinito que no está agotado ningún número así que digamos este es el
mayor de todos vale es infinito aunque todavía no hemos hablado de los
conjuntos infinitos bueno luego otra propiedad que también se demuestra en
el libro es que no hay ningún natural entre un número y el siguiente es
una cosa que necesitamos ver y luego unas propiedades que son muy
interesantes como por ejemplo el principio del buen orden se conoce así
como que todo conjunto todos los conjuntos de n tienen un mínimo hay un
primer elemento siempre claro tiene que ser más o menos obvio ¿no? es una
cosa para nosotros obvia bueno pues por poner alguna demostración yo he
incluido hoy una un poquito diferente a la que se hace en el libro en el
fondo viene a ser la misma pero un poquito diferente por contradicción
pero que no hay mínimo bueno pues entonces el cero no puede estar en ese
conjunto y a partir de ahí ya se produce ya vamos ya producimos la
contradicción bien como el cero no está nada pues el complementario no es
no puede ser vacío el complementario es el cero y entonces a partir de eso
resulta que todos los naturales tienen que estar en ese complementario
¿cómo? bueno se preparará por inducción y demás pero esta ya es la es
la contradicción porque si todos los naturales están en ese
complementario A tendría que ser vacío y por hipótesis no era vacío
bueno entonces esa otra parte de que todos tienen que estar pues en el
complementario pues se ve por inducción porque el cero está lo hemos
visto al principio en la primera parte y ahora ya por inducción pues se
termina llegando a una contradicción entonces era por poner alguna
demostración bueno luego aparte a aparte de esto eh todo subconjunto no
vacío y acotado tiene máximo viene a ser un poco como la contraria de
esta de esta propiedad anterior tenemos mínimo y máximo las condiciones
en las que se suelen tener ¿no? este acotado tiene máximo un conjunto
acotado pues podemos llegar a calcular a decir cuál es el máximo esto no
siempre es cierto ¿no? a lo mejor un conjunto acotado por ejemplo en los
números en los números reales pues no tiene máximo ya conocemos los
números reales un intervalo abierto pues pues no hay máximo porque no
pertenece al intervalo abierto hay que tener un poco cuidado con lo que
significa el máximo vale se ha desaparecido de momento eh bien eh luego
las ¿cómo cómo probar entonces esta otra propiedad del máximo? bueno
pues tal y como se hace en el libro de aquí nos estamos saliendo un poco
de las herramientas habituales ¿no? bueno pues ¿quién debería ser el
máximo? y ahí vamos a centrarnos en la demostración pues tiene que ser
la menor de esas cotas pero claro si nos vamos al principio del buen orden
la propiedad anterior ese menor esa menor de esas cotas sí que la podemos
calcular que existe no sé qué en eso nos vamos a basar y con eso vamos a
hacer la demostración entonces se calcula esa cota esa menor cota superior
y ya solamente utilizar un procedimiento para ver que ese elemento tiene
que estar en nada y en este caso hay que buscar hacerlo por contradicción
bien esa es la explicación que hay que hacer en esta demostración que si
no puede costar un poquito hacerla porque se sale de las herramientas
habituales ya nos vamos saliendo un poco porque tenemos muchas cosas bueno
pues con eso se determina la parte del libro respecto a los números
naturales como para definirlo y pasamos a los conjuntos finitos después de
los conjuntos finitos vienen ya los conjuntos infinitos bueno pues entonces
nos planteamos que es un conjunto finito bueno pues la respuesta sería
cuando podemos cuando podemos contar los elementos y si no podemos vamos a
llamar infinitos se pueden contar 1, 2, 3, 4 hay n elementos hay 20 hay 30
hay un millón hay 100.000 millones de elementos eso es finito entonces
¿cuál es la definición que tenemos o que parece más lógica dar? bueno
pues cuando podemos establecer una biyección con algún intervalo de n ¿y
cuál es la biyección? bien bueno lo primero que habría que decir es que
ese número n que va a ser el cardinal o el número de elementos es único
bueno pues entonces eso hay que probarlo ¿cuál es la demostración? pues
como siempre va a ser la inducción y no hay nada en especial que
comentarais es una demostración más por inducción entonces que cuando
contamos el número de elementos al establecer una biyección con un
intervalo de n siempre es el mismo eso es lo primero que tenemos que probar
está claro nos parece obvio que tiene que ser así pero hay que probarlo
bueno ¿qué cosas entonces tenemos de los conjuntos finitos? hay que
estudiar algunas propiedades que nos parecen desde siempre intuitivas bueno
antes de nada tengo puesto aquí que las demostraciones van a ser por
inducción y cosas que ya conocemos de la teoría del conjunto es la
primera propiedad que sí que hay que demostrar que los conjuntos finitos
son los que tienen cota superior si no tienen cota superior pues sí
decimos que es infinito si no hay nadie que sea mayor que ellos como tengo
puesto ahí no tienen máximo hay que tener cuidado como he comentado antes
que a veces lo de la existencia del máximo dentro del conjunto eso no
siempre ocurre en R en los intervalos no ocurre y bueno en Z también hay
conjuntos infinitos que no tienen máximo bien al tener al tener un número
negativo y demás bueno sigamos los subconjuntos también ¿qué ocurre?
estamos hablando de conjuntos finitos pues tenemos cosas de subconjuntos
por ejemplo subconjunto evidentemente tiene que ser finito pero eso
también hay que demostrar la demostración es sencilla sí se hace por
inducción y demás pero eso hay que demostrar entonces lo de ser finito se
considera por subconjuntos y luego lo siguiente es que podemos contar
cuántos subconjuntos hay en un conjunto y entonces esa es una propiedad
que bueno no se ve en este momento del texto no se ve un poquito más
adelante pero es una propiedad más sobre los conjuntos que si nos ponemos
a contar en el cardinal del conjunto que tengamos esas son las principales
propiedades que tenemos aquí sobre los conjuntos los conjuntos finitos
estamos hablando de lo que es el finito bien luego aparte de eso tenemos
otras propiedades que nos vienen bien para interpretar los números
naturales como conjunto viene al final del tema como clases de equivalencia
de los conjuntos coordinables entonces para esa interpretación o lo mejor
dicho para ver que luego estas cosas son iguales la definición con las
sumas de Peano y la definición con clases de equivalencia pues tenemos
tenemos otras propiedades que dos conjuntos para dos conjuntos disjuntos
pues si los unimos obtenemos la suma con lo cual ya aparece la suma de
números naturales si no son disjuntos bueno pues entonces hay que hacer
algo hay que quitar lo que tienen en común para no contar dos veces el
producto cartesiano se corresponde con el producto de números naturales
cosas que ya sabemos y luego por ejemplo pues ya viene vendría la potencia
la potencia sería un poco más difícil de pensar como conjunto y lo que
vemos en el libro es que si calculamos el número de aplicaciones de un
conjunto en otro nos da la potencia entonces son propiedades que nos verán
bien después y luego respecto a las funciones también hay otro conjunto
de propiedades que se introducen aquí en conjunto finito cuando tenemos
una aplicación la imagen pues como mucho nos da menos elementos claro si
establecemos que a cada número se le da otro pues lo que más lo que puede
ocurrir es que reduzcamos el número de elementos bueno cuando todos los
elementos tengan la misma imagen pero no podemos obtener más y luego
cuando las aplicaciones sobreyectivas también comparar elementos son
propiedades que conocemos que simplemente lo bueno es recordad que bueno
que están ahí que hay que sabérselas pero no no hay mucho que comentar
sobre a la hora de demostrarlos o verlos bien bueno pues la siguiente la
siguiente parte es las aplicaciones que se ven de estos conjuntos finitos
hay una parte que se ve como bueno como resultados que son útiles en este
caso va a ser para las técnicas de recuento y por tanto pues hay que
hablar de los números combinatorios pues estos se pueden interpretar con
el cardinal o sea el número de elementos y con las funciones la primera
que ya se ha visto ha sido la potencia que es el número de funciones bien
por ejemplo si queremos hacer apuestas la quiniela 14 apuestas bueno pues
se pueden estableciendo una aplicación y con los resultados anteriores se
puede ver son aplicaciones que para cada una de las 14 apuestas de esa
quiniela se le asigna un valor el 1 la x o el 2 entonces son aplicaciones
de un conjunto de 14 elementos en otro vetri como ya hemos visto antes pues
esa potencia 3 elevado a 14 bien lo siguiente es que el número el
factorial se corresponde con las direcciones que hay entre entre dos
conjuntos bien ese así como se ve aquí serían dos conjuntos de n
elementos es el es el factorial que parece en vez de una m las direcciones
entre dos conjuntos que es un caso particular del siguiente el número de
aplicaciones inyectivas pues es las variaciones las variaciones ya sabemos
el número factorial si calculamos el número de aplicaciones inyectivas
pues resulta que es m por m menos 1 en fin una fórmula que conocemos para
las variaciones lo que es importante es entender esto porque ¿de dónde
sale? pues entonces lo que tenemos que pensar es cómo se definiría una
aplicación inyectiva entre dos conjuntos finitos infinitos elementos bueno
pues entonces lo que para construirla simplemente cojamos elemento a
elemento en a y vamos asignando la imagen como tiene que ser inyectiva pues
eso nos va a dar ciertas restricciones fijamos el primer elemento su imagen
bueno pues hay m posibilidades del segundo conjunto porque hay m hay m
elementos bueno pero ahora queremos el segundo claro como ya hemos fijado
el primero y la aplicación es inyectiva nos quedan nada más que m-1
después nos quedarán m-2 y así combinando esto tenemos que multiplicar m
posibilidades del primero para la imagen del primer elemento m-1 del
segundo m-2 del tercer elemento y así hasta los n elementos que hay en por
eso aparece ahí ese producto m por m-1 y demás que con los números
factoriales se expresa como se ve un poquito más arriba entonces
simplemente llevar en mente cómo se hace esto cómo se establecerían esas
aplicaciones inyectivas bueno luego se ven pues más aplicaciones por
ejemplo eh el un ejercicio estos que se suelen poner a los alumnos en el
bueno en el bachillerato tenemos una una competición en la que participan
8 alumnos y queremos configurar el podio primero segundo y tercero bueno
pues eso se puede interpretar como aplicaciones y entonces pues nos
permitirá calcular cuántas posibilidades hay qué aplicación será bueno
pues como es un podio hay que asignar el puesto primero segundo y tercero a
eso hay que asignarle pues el alumno número uno hasta alumno número ocho
pues los que tenemos realmente una función ¿qué función? pues la que a
número uno, dos y tres los puestos del podio le asigna la persona que ha
ganado que ha ganado en este caso ¿no? entonces pues son aplicaciones
inyectivas porque las personas no pueden eh una persona no las personas no
pueden llegar al primero a la vez y demás lo entendemos así y entonces
pues por eso ya sabemos ya sabríamos calcularla se hace el producto en
este caso lo que aparece aquí señalado a la pantalla y ya está entonces
bueno cuando empezamos el ejercicio de esto pues intentar asumirlo con
función también para pensar sobre la función bueno después eh el
número de subconjuntos de un conjunto eh se corresponde con los números
combinatorios ya los conocemos también eh oh estos se llaman eh
variaciones de m elementos tomados de de n bueno esto ¿cómo se
calcularía lo de los números de subconjuntos y ver cuántos hay que
efectivamente es el número combinatorio bueno pues también recurrimos a
las variaciones como antes solo que hay que hacer alguna cosilla porque es
un poquito tiene alguna pequeña complicación es igual que en el ejemplo
anterior partimos de las aplicaciones inyectivas eh 1, 2 en fin desde un
conjunto de 1, 2, n hasta m que a cada número le da el elemento que va a
ocupar pues el lugar número 1 el 2, n y demás si queremos un subconjunto
de n elementos pues decimos cuál es el primero el segundo, el tercero
hasta el n sin eso es lo que queremos bien entonces eh tenemos definida la
aplicación ya con esto saldrá todo bien bueno eh entonces igual que en el
ejemplo anterior lo que pasa es que en el ejemplo anterior es más fácil
porque con unos números concretos tendríamos que estar en esas
aplicaciones en el conjunto realmente no nos importa el que está primero o
el que está en el enésimo eso mmm está bien para construir el conjunto
pero luego nos da igual eso se puede cambiar entonces tenemos que hacer un
cociente recordemos que ya se ha visto la aplicación cociente por una
relación ¿qué relación? pues dos de estas aplicaciones van a ser
iguales si coinciden al permutar los lugares ¿no? si nos da igual el
primero con el que haya sido segundo tercero entonces como hay n factorial
posibles permutaciones de estos lugares ¿no? en el conjunto del elemento
que es primero segundo y demás pues hay que dividir entre n factorial mmm
digamos que hay n factorial aplicaciones que para nosotros van a ser
iguales ¿no? cambiando los el orden de los elementos del principio
entonces por eso sale el número combinatorio bueno eh lo siguiente pues
poner un ejemplo también aquí eh de cómo se aplicaría esto un ejemplo
concreto pues he puesto ahí un ejercicio una persona que tiene 10 amigos y
bueno nos va a invitar a su casa pero es que en su casa solamente hay sitio
para 6 comensales bueno ¿cuántos grupitos puede hacer diferente de 6
comensales? pues entonces esto lo tenemos que interpretar como los
subconjuntos o grupos de amigos subconjuntos que tengan exactamente 6
personas y entonces pues aplicando todo el razonamiento anterior o
directamente la fórmula es 10 sobre 6 el número de subconjuntos de 6
elementos cuando tenemos un conjunto total de 10 y se calcula pues
utilizando las fórmulas que aparecen ahí entonces son típicos ejercicios
que luego los podemos pensar como estos subconjuntos y demás que a lo
mejor no se nos ha ocurrido en su momento interpretarlo así con teoría de
conjuntos bien después ya pasamos a los conjuntos infinitos es curioso que
en esta sección del libro se habla se habla de varios tipos de infinitos
mmm de infinitos es la primera vez que lo vemos en bachillerato estaba nada
más con infinito que se utilizaba para los límites y demás y de repente
ahora aparece el infinito numerable y el infinito no numerable y encima del
infinito no numerable nos dicen que es muchísimo más grande entonces
parece una tontería a lo mejor ¿no? pero ¿por qué? bueno pues sí es
importante quizás no ahora mismo en el tema tal y como lo estamos
enfocando pero luego por ejemplo en teoría de computación y demás y en
otras teorías bien pues sí que es importante por ejemplo tengo puesto
aquí varios si vemos que la cantidad de números en los que podemos pensar
por ejemplo yo puedo pensar en la raíz de 2 en el número pi en el número
pi partido por 5 en fin cosas de esas en la raíz de cualquier número
pensar o incluso representarnos bueno pues si los que somos capaces de
hacerlo resulta que vemos que esto es un conjunto numerable infinito bien
vale pero numerable y que los números reales resulta que nos demuestran
que son todavía más porque son infinitos no numerables tenemos una cosa
curiosa que es que hay números que es que nunca jamás podremos acceder a
ellos porque es que no vamos a pensar en ellos no vamos a poder
representarlos no vamos a poder hacer nada con ellos pero sin embargo son
números reales son se obtienen cosas muy llamativas y luego encima si
comparamos infinitos no numerables con infinitos numerables es que los la
mayor parte de los números son de este tipo bueno y así tengo puesto
puesto aquí más ejemplos por ejemplo con los problemas ocurre lo mismo
que podremos resolver o incluso plantear pues resulta que es que los
problemas que existen son no numerables y los problemas que podremos llegar
a plantear son numerables entonces pues hay problemas que jamás vamos a
acceder a ellos es más que es lo que tengo puesto en el tercer ejemplo hay
problemas que vale encontraremos una solución pero comparando esto los
numerables y los no numerables los problemas que tienen solución pero que
desgraciadamente el calcular lo demasiado complejo porque nunca tendremos
recursos de almacenamiento tiempo y demás aunque tengamos un algoritmo
para dar la solución no tendremos recursos para calcularlas
explícitamente entonces empecemos por ejemplo en el juego del ajedrez
intentar cuál sería la partida mejor y demás bueno cosas de esas son a
lo mejor un poco inquietante para alguien bueno pues todo esto como tengo
puesto aquí se relaciona con máquinas de Turing automata programable
problemas NP completos y todo esto pues a mi me interesa es importante esas
distinciones bien como vemos estoy excediendo un poquillo en el tiempo
terminaré la parte de conjuntos infinitos luego tenía puesto algunos
ejemplos que si sobra tiempo lo dejamos para para el miércoles que viene
porque eso aún era resolver algunos ejercicios pero que ya habéis
comentado en el foro entonces voy a terminar la parte de conjuntos
infinitos aunque me queda un poquito del tiempo y lo otro lo dejaremos para
para la siguiente charla en la que hay menos contenido teórico bueno lo
primero es que ver esto de que los conjuntos infinitos para para verlo de
infinito es que hay mucha cantidad de conjuntos se demuestra en el libro
que un conjunto y sus subconjuntos no son equivalentes no tienen la misma
cantidad de elementos no importa que sea n o que sea en este caso números
reales aunque todavía no se han se han introducido da igual la
demostración es una demostración complicada porque no se parece a lo que
estamos acostumbrados entonces se hace por reducción al absurdo y claro la
suposición que hay que hacer es que efectivamente hay una habillación
entre A y su subconjunto entonces ahora si que viene un punto delicado
porque es una demostración que aún se tiene que ocurrir no está evidente
por inducción y es bueno esta suposición que tengo puesto aquí el
conjunto de puntos que nos cuesta pensar en ella el conjunto de puntos que
no están contenidos en su imagen claro es que la imagen de cada punto es
un subconjunto es bueno es un subconjunto del propio A pues podrá
contenerle como punto o no pues pensamos en ese conjunto y a partir de ahí
se hace la contradicción es notar que tengo puesto aquí bien como este la
contradicción ese subconjunto de puntos que no están contenidos en su
imagen pues debería ser la imagen de algún punto no es muy larga la
demostración pero hay que echarle un tiempo para ser capaz de entenderla
he puesto las líneas principales de la demostración bueno pues ahora ya
que sabemos esto definimos tiene sentido es normal preguntarse sobre los
conjuntos que tienen una visión con M o no ya sabemos que algunos no por
el teorema anterior entonces llamamos numerables a los que son como los
números naturales hay veces que la definición de numerables algunos
autores incluyen también a los conjuntos mínimos en este caso nosotros el
infinito tan infinito como M entonces resulta que conjuntos sencillos o
sencillos tengo puesto entre comillas como las aplicaciones de los números
naturales en 0 y 1 o sea que a cada número natural le demos 0 y 1
empecemos en me gusta o no me gusta o paro impar o alguna cosa así pues
ese conjunto de aplicaciones no son numerables luego por ahí hay un
ejercicio en el texto en el que se habla un poquito más sobre esto bien
pues estudiamos entonces ahora lo numerable y resulta que no es tan
sencillo salirse de lo numerable o sea que las operaciones que tenemos no
nos sacan de los conjuntos numerables salvo esto de números subconjuntos
que ya hemos visto que sí o potencias digamos que ponen de números
naturales entonces eso nos saca de los numerables pero lo demás no
entonces por ejemplo por subconjuntos no nos podemos salir de los
numerables una demostración sencilla por inducción dado subconjunto de un
numerable sigue siendo un numerable eso puede ser finito mediante productos
tanto finitos como productos bueno productos finitos no nos salimos tampoco
de los numerables en este caso el proceso que se hace para numerar
efectivamente es la diagonal de canto bueno mediante uniones tampoco nos
podemos salir de los con los subconjuntos numerables bueno parece que sí
unimos finitos conjuntos vale pues pues no nos salimos de los numerables
pero ¿y la unión numerable? bueno pues resulta que también es numerable
a veces esto de la unión numerables de numerables nos resulta una cosa
rara no hay más que pensar en que una cosa es unir dos conjuntos un
conjunto A y un conjunto B y otra cosa es unir un conjunto A uno o conjunto
A2 conjunto A3 conjunto A4 y así infinitas veces ve hacer una cosa
infinita más luego otra cosa infinita eso nos puede dar lugar a algo no
numerable quién sabe entonces hay que tener cuidado porque esto a veces
parece un poco capcioso ¿no? unión numerable de numerables pues sí eso
podría en principio sacarnos de lo numerable pienses en el ejemplo
anterior de que cero uno elevado a n ya no es numerable bueno es la
demostración de de la de la unión numerable es mmm ver esto como un
subconjunto de de un producto de un producto numerable de n por n se
establece una relación en entre entre esta unión mmm de conjuntos eh de
manera que acaban pues es es numerable así que podemos establecer el
número de conjuntos y luego dentro de ellos el número de elementos
entonces tenemos perfectamente identificado cualquier elemento de la unión
como el número de conjunto en el que está y número de elementos esto cae
dentro de n por n con lo cual eso es numerable subconjunto es numerable
numerable luego hay que hacer pues el la pequeña distinción de cuando los
conjuntos no son disjuntos bueno eso ya no es más que un detalle que
realmente la parte difícil o de caer en la cuenta era esto ¿no? el ser
capaz de enumerar esta unión como número de conjunto y dentro del
conjunto el elemento bueno pues entonces luego ya vendrían algunos
ejercicios de ejemplo mmm de los que vienen en en el en el libro y los que
hemos comentado en el foro concretamente yo quería comentar el ejercicio
número uno el ejercicio uno en el que se dio en el foro una demostración
alternativa Pedro Pablo Rivas puso una demostración que está que es muy
interesante de ver y luego algún ejercicio como el 17 sobre aplicaciones
inyectivas de números naturales que también es interesante de ver pero
bueno como ya nos hemos excedido del tiempo para el siguiente tutorial
online pues si nos da tiempo vemos también esos ejercicios y bueno
también veremos si alguien tiene alguna cosa en especial que quiera que
comente pues también lo puede comentar para la siguiente tutoría a lo
largo eh de lo que queda de esta semana para que me dé tiempo a mí a
prepararlo y ajustar un poquito el tiempo estos dos últimos ejercicios los
mmm los intenté meter cuando ya tenía todo preparado y creí que que
podría ir algo más rápido pero era mucho mucho la parte del tema bueno
eh preguntan sobre la documentación supongo que se refieren a eh estas
diapositivas que he puesto ¿no? eh creo que es verdad que no le he dado a
que esté disponible eh debería haberlo hecho entonces eh sí que es
verdad eh para la próxima eh bueno o lo cuelgo en el en el foro o si no
para la próxima incluyo esta también mmm en la del miércoles que viene
para que se puedan descargar esta y la siguiente que mmm sí que es verdad
que vendría bien tenerla eh es que ahora mismo me parece que no le puedo
dar a autorizar la descarga del documento directamente no no se puede no me
deja la opción entonces pues bueno la pongo en la próxima e incluso lo eh
si si lo admite lo lo cuelgo en el foro y así lo tienen disponible porque
bueno yo creo que es un resumen del tema y que viene bien tenerlo porque
incluso bueno me he esforzado en añadir las propiedades principales y lo
que hay que recordar más lo más difícil entonces así lo haré bueno
pues muchas gracias y muchas gracias también por la colaboración con las
cosas que han estado comentando en el chat y mmm muy amable a todo el mundo
y nos vemos entonces eh en el en la semana que viene y mientras tanto en el
en el foro yo estaré disponible y lo iré consultando para ver si alguien
tiene alguna sugerencia pues de nuevo muchas gracias y hasta la próxima