Hola, un saludo a todos. Soy David Castilla y soy tutor del Centro
Asociado de la UNED en Huelva, donde desempeño mi actividad como tutor en
asignaturas del área de Métodos Cuantitativos para la Economía y la
Empresa. Concretamente, entre las asignaturas que he tutorizado se
encuentran Introducción a la Estadística del Grado de Economía,
Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales del Grado de Sociología o
Inferencia Estadística, que es la asignatura en la que estáis vosotros
matriculados. Como tutor intercampus de la Asignatura de Inferencia
Estadística, me corresponde a mí impartir las dos sesiones
correspondientes a contrastes de tipo paramétrico. Los objetivos
pedagógicos perseguidos por esta primera sesión son los siguientes.
Conocer el concepto de hipótesis paramétrica, comprender el concepto de
contraste de significación y en concreto los contrastes de razón de
verosimilitud y aprender a realizar distintos tipos de contrastes sobre la
media de una población. Sobre la población normal con varianza conocida y
desconocida, sobre la varianza de una población normal con esperanza
matemática conocida y desconocida o sobre la proporción de una población
de Benuigi de tamaño grande. A lo largo de esta sesión y la siguiente,
los alumnos tutorizados pueden contactar conmigo utilizando el chat de
webconferencia o bien pidiendo su turno para intervenir en la
presentación. Por otra parte, los alumnos que visualicen esta conferencia
online podrán plantear todas las dudas que tengan. Los alumnos que les
surjan utilizando el foro del grupo de tutoría 5. La bibliografía básica
de esta sesión y la siguiente es la recomendada en la guía docente de
esta asignatura. Concretamente, el manual de Casas y Gutiérrez 2011,
Estadística 2, Inferencia Estadística. No obstante, cualquier manual de
estadística que aborde la inferencia es apropiado para los fines de esta
sesión, tales como Novales 1997 o Ruiz Maya y Martín Pliego 1999. Como se
vio antes, en el tema 1, la inferencia estadística utiliza datos
muestrales para llevar a cabo estimaciones, tomar decisiones, realizar
predicciones, comprobar hipótesis o hacer otro tipo de generalizaciones
acerca de un conjunto de datos más grande, denominado población. A modo
de ejemplo, en el control estadístico de calidad, se suele recurrir a
muestras más pequeñas que toda la población al objeto de comprobar la
calidad total del conjunto. En el caso de un secadero de jamones, sería
absurdo ver jamón por jamón, ciertas especificaciones de calidad. De tal
modo que lo que se suele hacer es muestrear los jamones y ver la calidad de
un conjunto representativo de la totalidad y de esta manera hacer
inferencias acerca de la calidad total de la producción total de jamones.
Los principales procedimientos de la inferencia estadística son la
estimación y la contrastación de hipótesis estadísticas. En lo que se
refiere a los contrastes de hipótesis estadísticas, abordados desde el
punto de vista teórico en el tema 5, se distingue entre contrastes de tipo
paramétrico, los cuales contrastan hipótesis sobre el valor que toman los
parámetros de distribuciones poblacionales conocidas. Estos serán
abordados en el tema 6. Un ejemplo sería contrastar hipótesis sobre el
valor que toma mu o sigma de una familia de distribuciones normal. El otro
tipo de contrastes son los contrastes no paramétricos. Estos contrastan
hipótesis sobre otras características de la distribución, distintas de
los parámetros, tales como la forma, la localización, la aleatoriedad, y
serán abordadas en el tema 7. Por otra parte, los alumnos deben recordar,
tal y como se vio en el tema 5, que es deseable encontrar el contraste de
hipótesis que para un nivel de significación dado ofrece la máxima
potencia. Por ello se introdujo en el tema 5 el lema de Neyman-Pearson que
permitía construir contrastes de hipótesis simples de máxima potencia.
También se observó para el caso de hipótesis compuestas que era posible
obtener contrastes uniformes, uniformemente más potentes, en este caso
concreto. Desgraciadamente, no siempre es posible obtener contrastes
uniformemente más potentes, de tal modo que será necesario recurrir en
otras ocasiones a procedimientos alternativos. Concretamente, los
contrastes de significación ofrecen una alternativa que para la toma de
decisiones acerca de la aceptación o rechazo de la hipótesis nula se
basan en el tamaño de la discrepancia existente entre el valor del
parámetro formulado bajo la hipótesis nula y el valor que le
correspondería según la información que proporciona la muestra. Su
procedimiento de resolución sigue en general las fases de realización de
un contraste establecidas en el tema 5, de tal modo que si consideramos el
ejemplo de un contraste de hipótesis sobre la media de una población
normal con varianza conocida, las fases serían las siguientes. En un
primer lugar, sería necesario formular las hipótesis del contraste. En
este caso concreto, la hipótesis nula sería que el valor de mu fuera
menor o igual que 4, mientras que la hipótesis alternativa sería que el
valor de mu sea mayor que 4. A continuación, será necesario obtener un
estadístico de prueba aprobiado cuya distribución sea conocida. En este
caso concreto, un estadístico que mide apropiadamente la discrepancia
entre el valor media muestral y media poblacional sería el que se nos
muestra en la pantalla, el cual ha sido escalado por la desviación típica
del estadístico media muestral. El tercer paso consistirá en que el valor
de mu sea mayor que 4, y el tercer paso consistirá en seleccionar el nivel
de significación, que en este caso vamos a asumir que es alfa igual a
0,05. Después, habrá que determinar la región crítica, que en el
supuesto de que el tamaño de la muestra sea igual a 20, y dado que x media
menos mu partido s partido raíz de n se distribuye como una t de Schienen
con n menos un grado de libertad, se cumple bajo el supuesto de la
hipótesis nula que la probabilidad de que el estadístico de contraste sea
superior al valor crítico es igual a 0,05. Sabiendo que el estadístico de
contraste se distribuye como una t de Schienen con n menos un grado de
libertad, es fácil obtener el valor crítico, sabiendo que sería aquel
valor de la variable que deja a la derecha una probabilidad igual a 0,05.
Finalmente, sería necesario seleccionar una muestra aleatoria y calcular
el estadístico de prueba. Mediante la comparación en el último paso del
estadístico de discrepancia y el valor crítico calculado en el cuarto
paso, Podremos obtener la conclusión de contraste, que en este caso, dado
que la discrepancia experimental o el estadístico de prueba es menor que
el valor crítico, concluiremos que es necesario aceptar la hipótesis nula
para un nivel de significación de alfa igual a 0,05. Como se observa en el
gráfico, el valor del estadístico de contraste cae fuera de la región
crítica, sombreada en azul. En el caso en el que ese estadístico de
contraste fuera superior al valor crítico y por tanto cayera dentro de la
zona sombreada, rechazaríamos la hipótesis nula. Los contrastes de razón
de verosimilitud son un caso particular de los contrastes de
significación, que miden la discrepancia mediante la ratio de distintas
verosimilitudes. Estos contrastes presentan buenas propiedades cuando el
tamaño muestral es grande y serán los que emplearemos a lo largo de este
curso. Veamos un ejemplo. Sea x1 hasta xn una muestra aleatoria de una
población normal con esperanza matemática más alta, o sea, una mu y
varianza sigma sub cero conocida. Y deseamos contrastar las siguientes
hipótesis. La hipótesis nula de que mu sea igual a mu sub cero y la
hipótesis alternativa de que mu sea distinto de mu sub cero. Para llevar a
cabo un contraste de razón de verosimilitud, lo primero que tendremos que
hacer es obtener la función de verosimilitud de la muestra extraída. Y a
partir de ahí, obtener el estadístico lambda x que se define como el
cociente de dos valores concretos de esa función de verosimilitud. El
numerador L sub cero asterisco no es más que el máximo de la función de
verosimilitud en el subespacio paramétrico de la hipótesis nula. Mientras
que el denominador L asterisco es el máximo de la función de
verosimilitud en todo el espacio paramétrico. En el caso concreto del
contraste que se está ejemplificando, esta sería la función de
verosimilitud. Por otra parte, L sub cero asterisco se podría obtener
fácilmente sustituyendo en la función de verosimilitud el valor mu
paramétrico por mu sub cero, dado que es el único valor que toma el
parámetro en el subespacio paramétrico de la hipótesis nula. Mientras
que L asterisco se podría obtener fácilmente sabiendo que la media
muestrada es el estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional.
De tal modo que simplemente habría que sustituir el parámetro mu en la
función de verosimilitud por x media. De este modo, y después de
simplificar, obtenemos el estadístico lambda x que se presenta en la
función de verosimilitud. A continuación, tendríamos que determinar la
región crítica. Para ello, simplemente tenemos que tener en cuenta que la
probabilidad de que el estadístico de prueba sea menor que el valor
crítico debe ser igual a alfa. En esta expresión, en la que el
estadístico de prueba es lambda x y ese valor crítico se denota
teóricamente por lambda sub cero, para poder determinar el valor crítico
tendremos que conseguir que la expresión que se encuentra en el lado
izquierdo de la desigualdad sea una función del parámetro mu. Y tenga una
familia de distribuciones conocida. Mientras que a la derecha de esa
desigualdad debe haber una constante. Después de operar, podemos concluir
que la probabilidad de que la media muestral menos el parámetro mu sub
cero partido por sigma sub cero partido por la raíz de n sea menor que
lambda prima sub cero donde lambda prima sub cero es menos dos por
logaritmo neperiano de lambda sub cero es igual a alfa. De esta manera,
sabiendo que x media menos mu sub cero partido sigma sub cero partido raíz
de n se distribuye como una distribución normal, es fácil obtener el
valor crítico. Concretamente en este caso, y dado que estamos hablando de
una región crítica bilateral, los valores críticos serán los valores de
una normal estándar que deja a la derecha una probabilidad de alfa medio
con signo positivo y negativo. En definitiva, hemos de tener en cuenta que
el esquema de aplicación del contraste de máxima verosimilitud presentado
en las dispositivas anteriores, se puede repetir de forma análoga para
otros casos, como pueden comprobar en el manual al que me remito. Los
resultados de la aplicación de este esquema para los distintos contrastes
abordados en el tema 6 se encuentran resumidos en el cuadro resumen
disponible en las páginas 294-299 que utilizaremos a la hora de llevar a
cabo nuestros ejercicios. Vamos a ver a continuación algunos ejemplos de
aplicación de este procedimiento a los efectos de contrastar la media, la
varianza y la proporcionalidad. Supongamos que queramos realizar un
contraste en el que la hipótesis nula sea que la media sea igual a 3 y la
alternativa que la media sea distinta de 3 para una distribución normal y
utilizando un nivel de significación de alfa igual a 0,01. Para ello
tendríamos que obtener una muestra aleatoria en este caso es de tamaño 18
cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla. Dado que no se nos
indica el valor de la varianza poblacional tendremos que suponer que éste
es desconocido y estimarlo a través de la muestra extraída. En adelante,
y cada vez que resolvamos un ejercicio de este tipo tendremos que seguir
los siguientes pasos. En un primer lugar, formularemos las hipótesis del
contraste que son las que ya hemos mencionado. A continuación elegiremos
el estadístico de prueba apropiado y calcularemos su valor con los
elementos de la muestra. En este caso, y dado que es un contraste de
hipótesis sobre la media de una población normal con varianza desconocida
el estadístico de contraste apropiado será x media menos mu sub cero
partido s partido raíz de n donde s es la cuasi-desviación típica
muestral. Sustituyendo los valores en este estadístico obtenemos que su
valor es 18,247. A continuación, determinaremos la región crítica que en
este caso concreto será el valor que deja a la derecha una probabilidad de
alfa medio una telestuden de n menos un grado de libertad esto es, 17
grados de libertad con signos positivo y negativo dado que el contraste es
de tipo bilateral. Finalmente, adoptaremos una decisión respecto a la
aceptación o rechazo de la hipótesis nula. En este caso concreto, dado
que t experimental es igual a 18,247 y por lo tanto mayor que el valor
crítico 2,898 rechazaremos la hipótesis nula con un nivel de
significación de alfa igual a 0,01 Veamos ahora un ejemplo de contraste de
hipótesis acerca de la varianza. Supongamos que la hipótesis nula es que
la varianza es mayor o igual que 6 mientras que la alternativa es que la
varianza es menor que 6 y que la población sobre la que se quiere realizar
el contraste es normal con esperanza matemática mu y desviación típica
sigma. Consideremos un nivel de significación alfa igual a 0,1 El
resultado de obtener una muestra aleatoria de tamaño 7 se muestra a
continuación. De nuevo seguiremos los mismos pasos que en el ejemplo
anterior. En un primer lugar formularemos las hipótesis del contraste que
son las que ya se han indicado. En segundo lugar elegiremos un estadístico
de prueba apropiado y calcularemos su valor con los datos de la muestra. En
tercer lugar determinaremos la región crítica que será el valor que deja
a la izquierda una probabilidad igual a alfa en un h cuadrado de 6 grados
de libertad concretamente en este caso el valor de ese h cuadrado sería
2,204 Finalmente adoptaremos una decisión. Dado que el valor del h
cuadrado experimental es mayor que el valor crítico concluiremos que
aceptamos la hipótesis nula con un nivel de significación de alfa igual a
0,1 Gráficamente podemos comprobar que el valor del estadístico de
contraste 5,8533 cae fuera de la región crítica sombreada en azul en el
gráfico que podéis observar en la diapositiva. Finalmente veamos un
ejemplo en el que se contrasta una hipótesis sobre la proporción Pernuigi
de tamaño grande En un proceso de fabricación se detecta que el 17% de
las piezas son defectuosas Mediante una puesta a punto se espera que esta
cifra haya bajado Contrastar esta hipótesis con un nivel de significación
de 0,001 en una muestra aleatoria simple de tamaño 100 en la que se han
obtenido 6 piezas defectuosas Otra vez seguiremos los pasos que hemos
recomendado En primer lugar formularemos las hipótesis del contraste que
en este caso serán la hipótesis nula de que la proporción sea mayor o
igual que 0,17 y la hipótesis alternativa de que la proporción sea menor
que 0,17 En segundo lugar elegiremos un estadístico de prueba apropiado y
calcularemos el valor del estadístico de prueba con los datos de la
muestra El valor de ese estadístico de prueba es, en este caso concreto
menos 2,9284 En tercer lugar determinaremos la región crítica que sería
el valor de una normal estándar que deja a la izquierda una probabilidad
alfa Ese valor es 3,08 Finalmente adoptaremos una decisión dado que el
valor crítico es menor que el estadístico de prueba aceptaremos la
hipótesis nula bajo un nivel de significación de alfa igual a 0,001 En
resumen se han introducido los contrastes paramétricos en el marco de la
inferencia estadística como procedimiento para corroborar el cumplimiento
de hipótesis estadísticas sobre los parámetros de distribuciones
conocidas en contraposición con los contrastes no paramétricos Se han
introducido los contrastes de significación como aquellos que se basan a
los efectos de aceptar o rechazar la hipótesis nula en la discrepancia
entre el valor del parámetro formulado bajo la hipótesis nula y el valor
que le correspondería según la información que proporciona la muestra Se
han desarrollado los contrastes de razón de verosimilitud como aquellos
contrastes de significación que miden la discrepancia por medio de la
comparación de funciones de verosimilitud Y finalmente se han
ejemplificado algunos problemas de resolución de contrastes de hipótesis
paramétricos sobre la media la varianza y la proporción