Vamos a ver la segunda parte del tema 7 de Fundamentos de la Física 3,
Relatividad Especial. En esta segunda parte vamos a ver los apartados 4, 5
y 6, es decir, sincronización entre relojes y simultaneidad,
transformación de velocidades y, por último, momento lineal relativista.
A ver, las otras dos preguntas que quedan, las 7 y la 8, las dejaremos para
la tercera parte y las preguntas 1, 2 y 3, que están marcadas en azul, las
hemos visto en la primera parte, en la primera grabación, o sea, en la
primera de las tres. Os recuerdo que este tema lo estoy haciendo, lo voy a
grabar en tres partes para que no resulte excesivamente largo. La primera
parte abarca los tres puntos. ¿Marcados? Sí. La segunda parte, que es la
que estamos en ahora mismo, abarca los puntos marcados en verde y la
última parte marcará los puntos en rojo. La primera parte ya está
grabada, son casi 27 minutos lo que dura la grabación y esta segunda,
pues, calculo yo que va a tardar unos 20 minutos aproximadamente. Son 18
transparencias que os las podéis bajar, puesto que el documento está en
el lado de abajo. En el aula que he creado. Bueno, decimos que dos relojes,
este, que están sincronizados en un sistema de referencia, puede que en
general en otro sistema de referencia no lo estén, si uno se mueve
respecto del otro. Eso quiere decir que dos sucesos que son simultáneos en
un sistema de referencia, generalmente no lo son en otro sistema de
referencia que se mueve. Si estuvieran los dos quietos, sí, pero si uno se
está moviendo respecto del otro, el concepto de simultaneidad lo tenemos
que volver a... a revisar de acuerdo con los postulados de la Relatividad
Especial de Aristóteles. Es decir, la simultaneidad no es una relación
absoluta. Es solo una creencia intuitiva y errónea, es muy difícil de
erradicar, pero tenemos que intentar hacerlo. Es como la creencia
aristotélica de que las fuerzas originan movimientos. Las fuerzas no
originan movimientos, las fuerzas originan cambios de movimiento. Pues
aquí igual, la simultaneidad es un concepto que debemos volver a... a
revisar. Aquí tenemos un tren, que se está moviendo por un andén y hay
unos rayos que simultáneamente caen los puntos... en dos puntos del tren y
un observador que está en el centro los observa. Vamos a ver esto más
detalladamente. Dos sucesos en un sistema de referencia son simultáneos si
la señal luminosa procedente de estos sucesos alcanza en el mismo instante
a un observador situado a mitad de camino entre ellos. El segmento AB es la
longitud del tren medida desde el andén, que es menor que su longitud
propia. El dibujo tiene un error, en vez de LP debe ser LP andén. En la
sexta edición del Tipler-Mosca está corregida. Yo como he cogido esta
imagen de la quinta edición pues tiene ese pequeño error. En este par de
referencias del tren S' el andén se mueve y la longitud propia del tren es
mayor que la longitud del andén. El segmento AB del andén, como se
muestra en la figura de la izquierda. El primer rayo cae en la parte
delantera cuando A coincide con A'. El segundo rayo cae en la parte trasera
del tren cuando B y B' coinciden. Es decir, los dos sucesos no son
simultáneos. Lo que era simultáneo en el andén deja de ser simultáneo
en el tren. Y viceversa, también ocurriría. Los relojes rezagados se
adelantan. Es decir, marcan tiempos posteriores, como tengo puesto ahí en
rojo, en la transparencia. Es decir, los relojes rezagados, los que van
detrás. En el ejemplo que tenemos, el ejemplo 3.6, se observa que el reloj
de la derecha, el rezagado, este de aquí, adelanta en 32 minutos al que
está a la izquierda. Voy a marcarlo con el lápiz. Este reloj, como veis,
adelanta 32 minutos respecto del que está a la derecha. Aquí pasa
exactamente lo mismo. El reloj que va rezagado, que es este, retrasa 32
minutos respecto del otro. Retrasa no, marca 32 minutos posteriores. Es
decir, los relojes rezagados adelantan. Todo ello está visto en el sistema
de referencia de la nave que se desplaza con una velocidad de 0.80 Cs. Si
cruzamos los dos relojes, el sistema de referencia en el que están en
reposo se ALP la distancia propia entre los relojes. Entonces, si los dos
relojes se mueven a lo largo de la línea que los une, el reloj situado
detrás adelanta. Marca un tiempo posterior. Una cantidad que viene dada
por la siguiente expresión. Incremento de T sub S igual ALP V partido por
C cuadrado. LP es la longitud propia, V es la velocidad con la que se
mueven los sistemas de referencia y C cuadrado, pues no hace falta que os
diga lo que es. Evidentemente, si V es igual a 0, los dos sistemas están
en reposo o se mueven con la misma velocidad los dos, pues el incremento de
T sub S es igual a 0. Es decir, el lapso de tiempo que hay entre los dos
relojes es nulo. Debemos sacar, por tanto, como conclusión de esta
diapositiva lo voy a intentar marcar aquí en azul en el ordenador. Es un
poquito más difícil que si hiciera una pizarra que los relojes rezagados
marcan tiempos posteriores. La ecuación que nos permite calcular ese
tiempo de retraso viene dada por esta expresión. Vamos a ver, relacionado
con todo esto, la palabra de los gemelos. Tenemos dos gemelos, uno es
Homero, que se queda en la Tierra y el otro es Ulises, el cual va y viene
con su cohete y vamos a hacer unos ejemplos numéricos. Vamos a suponer que
Ulises viaja hasta una distancia Lp que son 8 años luz con una velocidad
de 0.8c 0.8c hace que gamma valga 5 tercios factor de Lorentz, gamma vale 5
tercios. Desde el punto de vista de Homero, es decir, del que se queda en
la Tierra desde el punto de vista de Homero, Ulises viaja 10 años 80... 8
partido por 0.8 8 que es años luz partido por 0.8 que es 0.8 hasta planeta
P planeta P, aquí lo tenéis, planeta P y otros 10 años para volver. Por
tanto su viaje dura 20 años. Es decir, Homero tiene 20 años más cuando
Ulises regresa a la Tierra. Se han transcurrido 20 años, por tanto Homero
tendrá una edad que sean 20 años a la que tenía cuando Ulises empezó el
viaje. Es decir, han transcurrido 20 años. Desde el punto de vista de
Ulises el tiempo transcurrido debe ser menor porque es un tiempo propio.
Por tanto, lo calculamos. Incremento de T' al tiempo propio es incremento
de T partido por gamma. Recordad la dilatación del tiempo. Por tanto, como
es un tiempo propio es menor que el anterior y luego 20 partido por 5
tercios queda 12 años. Por tanto, Ulises regresa a la Tierra cuando han
transcurrido 12 años. Retrocedo a la diapositiva anterior para Homero
habían transcurrido 20 años. Para Ulises han transcurrido 12 años. Por
tanto, Ulises es 8 años más joven que Homero. Para Homero habían
transcurrido 20 años. Para Ulises 12 años. Por tanto, Ulises es 8 años
más joven que Homero. Sorprendente. Pero esa no es la paradoja. La
paradoja es la que viene a continuación. La paradoja es lo que aparece en
esta diapositiva. Realmente esta es la paradoja. Consideramos ahora que hoy
es Homero y Ulises está en reposo. Podemos interpretar que desde el punto
de vista del sistema Ramsey de Ulises él está en reposo y el otro viaja.
El tiempo propio de Ulises es 12 años por lo que el reloj de Homero
atrasará y marcará sólo 3 quintos de 12, es decir 7.2 años. Homero
debería haber envejecido sólo los 7.2 años y no los 20 que él cree que
ha envejecido. Esta es la paradoja. En vez de 20 deberían ser 7.2 ¿Qué
quedamos? 20, 8, 7.2... Es complicado. El concepto de simultaneidad conduce
en la teoría de la rotulidad especial a estos fenómenos. La dificultad en
la paradoja de los gemelos es que Ulises no pertenece a un sistema de
referencia inercial único. Hay trapos en los que acelera y otros en los
que frena. Tras emitir unos impulsos luminosos ambos hermanos gemelos
acuerdan que cuando se reúnan el que ha sufrido las celebraciones será
más joven que el que ha permanecido en casa. Utilizando partículas solo
atómicas que se pueden acelerar hasta velocidades muy cercanas a c para
que gamma sea mucho mayor que 1 la paradoja de los gemelos ha sido
comprobada muchas veces. En la anterior grabación vimos la transformación
galileana de velocidades. Vamos a ver la transformación reactivista de
velocidades. Se obtienen, derivando respecto del tiempo las ecuaciones de
la transformación de Lorentz y se obtienen estas ecuaciones que tenemos
aquí puestas u sub x, u sub y y u sub z en función de u'x u'y y u'z Veis
que aquí ya no aparece el tiempo estamos hablando de velocidades el tiempo
nos aparecería en la anterior transformada de Lorentz y vemos que es una
expresión relativamente complicada sobre todo la que no se iba a decir que
es más complicada la x que la y que la z pero la verdad es que son todas
complicadas los denominadores son muy parecidos unas van contraídas con
gamma y esta no va contraída con gamma pero lleva la velocidad sumando se
obtiene simplemente derivando las transformaciones de Lorentz para las
coordenadas espaciales y la temporal que en este caso no las consideramos
La transformación inversa es la que aparece aquí despejando u'x, u'y y
u'z en función de u sub x, u sub y y u sub z Mi texto es difícil de
memorizar la única solución es tener las fórmulas presentes y en algún
momento hay que hacer un problema con ellas yo tampoco me lo sé de memoria
vamos a ver otro apartado nuevo la definición de la cantidad de movimiento
p los postulados de Einstein requieren que también modifiquemos nuestro
concepto sobre la masa el momento lineal y la energía p debe tener las
siguientes propiedades se debe conservar en las colisiones y cuando u
partido por c sea pequeño o sea, tiende a cero el vector cantidad de
movimiento p debe tender a la masa por la velocidad y ahora me aparece
aquí una cosa en negro en la presentación que no sé a qué es debido y
es la fórmula de la cantidad de movimiento que es el vector p es igual en
el numerador debe aparecer mu y en el denominador la raíz cuadrada de 1
menos u2 partido por c2 es decir gamma mu o lo que es lo mismo la masa
relativista por u la m que aparece en las expresiones es la masa en reposo
hay que recordarlo porque otros libros utilizan otra nomenclatura de la
masa relativista que depende de la velocidad aquí lo vemos más claro la
masa de un objeto aumenta con la velocidad tendiendo asintóticamente a
infinito cuando la velocidad se aproxima a la de la luz y esto lo estamos
viendo en esta gráfica que tenemos aquí a la izquierda de la masa en
función de la velocidad y cuando la velocidad se acerca a c que debe ser
minúscula pues vemos que tiende asintóticamente a infinito la masa es
prácticamente constante a velocidades bajas en lo que nosotros observamos
experimentalmente pero cuando la partícula se aproxima a la velocidad de
la luz pues vemos que tiende asintóticamente a infinito aquí lo que
aparece a la derecha es gamma en función de la velocidad el comportamiento
asintótico es el mismo la diferencia entre m rel y gamma es simplemente la
masa en reposo es un factor cuando una partícula está en reposo en un
sistema de referencia inercial la denominaremos masa en reposo y la
representamos simplemente por m en otros libros se representa por mc la
relación entre ellas es m rel igual a gamma m gamma siempre es mayor o
igual que 1 por tanto la masa relativista siempre es mayor o igual que la
masa en reposo lo estamos viendo aquí en esta gráfica en rojo la masa
relativista siempre es mayor que la masa en reposo bueno, os he puesto una
señal positiva en este comentario sobre los cuadrivectores aunque
realmente no va incluido en el temario pero creo que me pareció
interesante comentarlo si consideramos diferentes observadores en
diferentes sistemas de referencia surge el problema de relacionar los
valores de las medidas realizadas por ambos para ello en vez de manejar
vectores tridimensionales se considera que existirán ya lo veremos en
cursos posteriores cuadrivectores es decir, vectores de cuatro dimensiones
que incluyen tres coordenadas espaciales como es habitual y la cuarta
componente es la temporal es decir los cuadrivectores son vectores en un
espacio de cuatro dimensiones tres son dimensiones espaciales y una
dimensión temporal posteriormente habrá que definir una métrica para
ellos ahora es el momento de no seguir por este terreno y callarnos bueno,
pues con esto acabamos la segunda parte de relatividad la grabación de
relatividad os he puesto aquí unas fotos de Einstein y como en la anterior
grabación os he añadido dos frases para que penséis sobre ellas si os
parece bien nunca pienses en el futuro éste llega lo suficientemente
rápido eso cuando tengáis cierta edad si no la tenéis ya eso ya lo
habréis experimentado alguna vez y la segunda frase es la ciencia no es
más que un refinamiento del pensamiento cotidiano yo estoy pensando ahora
que veo el más la ciencia no es nada más que un refinamiento del
pensamiento cotidiano pero a veces el refinamiento ha exigido mucho
esfuerzo fijaros en el concepto de simultaneidad si no fuera por Einstein
pero probablemente algún otro físico lo hubiera descubierto pues lo
complicado que es sobre el concepto de simultaneidad os aconsejo por favor
que uséis el capítulo 39 del Tipler lo miráis con detalle allí está
cómo se definen los conceptos de simultaneidad los rayos, el tiempo que
tarda en llegar cuando simultáneo, cuando no simultáneo todo eso en la
diapositiva no lo puedo comentar exige un trabajo individual es un poco
laborioso y complicado Einstein lo hizo él por su cuenta lo hizo él sin
ayuda de nadie y no como nosotros que hemos necesitado estudiarnos lo que
él estuvo pensando durante años en el oficio aquel que tenía comentan en
la fábrica de patentes bueno, pues con este comentario acabo la segunda
parte de la grabación