Buenas tardes. Bueno, aquí estamos, tal como se anunció en su momento,
supongo que todos vosotros lo tenéis, en la webconferencia de ecuaciones
diferenciales correspondiente a la asignatura Matemáticas Avanzadas para
la Economía. Se corresponde, porque vamos a desarrollar, se corresponde
con el tema 10 del libro básico, libro recomendado. El libro de la
asignatura, el manual. Quisiera saber, en primer lugar, si me oís todos
bien, los que estáis conectados. ¿Me oís bien? Bueno. No recibo en estos
momentos ninguna respuesta de vosotros. Perfecto, sí, sí, sí, estupendo,
muy bien. Muchas gracias. Y vamos a empezar. Que sepáis también que esta
asignatura de Matemáticas Avanzadas para la Economía se corresponde con
el grado en Economía, curso segundo semestral. Aquí tenéis en pantalla,
la primera diapositiva del PowerPoint, tenéis exactamente la referencia
académica de la asignatura con su código, etc. Que sepáis, no obstante,
que también es válida la matemática que hoy vamos a desarrollar para los
alumnos de Matemáticas III del grado de Empresariales. Aunque, en
principio, va a ser efectivamente a los alumnos de... ¿De acuerdo? Que
sepáis también que, bien, como he dicho antes, se corresponde... Se
corresponde con el tema 10, de ecuaciones diferenciales, ecuaciones
ordinarias del primer orden. Y hay otras materias u otras temáticas
relacionadas con las ecuaciones diferenciales que se refieren a las
ecuaciones diferenciales lineales de orden M y a los sistemas de ecuaciones
diferenciales. Serían los temas 10, 11 y 12. Lo que vamos a desarrollar
hoy, día 11 de enero, se refiere a la primera parte del tema 10, de
ecuaciones diferenciales ordinarias del primer orden. Pero el próximo
día, que será el miércoles que viene, día 18, y el otro miércoles, que
será ya la última semana antes de exámenes, día 25, seguiremos
desarrollando ecuaciones diferenciales también del tema 10. Porque, fijaos
que es un tema bastante extenso y que, en fin, hay que ir despacio, porque
se vamos muy rápido. Si pasamos ya a otras ecuaciones diferenciales y a
los sistemas y tal, necesitaríamos en esa semana del día 25. Después ya
vienen los exámenes, las primeras pruebas presenciales correspondientes a
este curso académico. Bien. Hecha ya esta introducción a lo que vamos a
ver, aquí tenéis el índice, en esta segunda diapositiva, donde vamos a
empezar con las definiciones básicas. Y, a continuación, vamos a ver hoy,
exclusivamente, las ecuaciones diferenciales. Las definiciones
diferenciales ordinarias de primer orden, de variables separables y las
ecuaciones homogéneas. Y, al mismo tiempo, vamos a desarrollar algunos
ejercicios para que lo tengáis claro, a medida de lo posible. ¿De
acuerdo? Muy bien. Pues nada, visto el índice, vamos a continuar ya
entrando en materia. Las definiciones básicas. Ese es un tema interesante.
Es una cuestión importante. Saber qué es una ecuación diferencial, ¿no?
Una ecuación diferencial... Nosotros hemos visto antes otras ecuaciones.
En el bachillerato, en el curso de acceso, los que me hice el curso de
acceso, resolvíamos muchas ecuaciones diferenciales. Perdón, muchas
ecuaciones en general, no precisamente ecuaciones diferenciales. Pues bien,
una ecuación diferencial, que tiene grandes aplicaciones en economía,
como también comentaremos, es toda aquella ecuación que contiene
derivadas o diferenciales. Fijaos que hasta ahora las ecuaciones que
estábamos acostumbrados a resolver, fuera del grado que fueran, del
segundo grado, del tercer grado, del cuarto grado, pues no contenían
derivadas ni diferenciales. Tenían simplemente una variable, la x
normalmente, ¿no? La ecuación diferencial contiene además derivadas o
diferenciales. Existen otro tipo de ecuaciones, que son las integrales, que
son aquellas que además contienen integrales y en su integrando aparece la
función incógnita. Pero estad tranquilos que justamente estas no las
veremos. Son más complicadas, ¿no? Bien. Las ecuaciones diferenciales son
básicamente de dos grandes tipos. Ahí está la gran división de las
ecuaciones diferenciales. Las ordinarias, que son las de una variable, que
son justamente las que veremos este curso. Y las ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales, que son de varias variables. Varias variables
independientes. Acordaos que en sesiones y cursos anteriores hemos
estudiado las funciones de varias variables y cuando las derivábamos, esas
funciones de varias variables, las derivábamos parcialmente. Porque las
derivábamos en relación a una variable, preparación de las otras
constantes, etcétera, etcétera, ¿no? No vamos a entrar ahora en esa
materia. Se desarrollaba también toda una teoría, no solamente de eso,
sino de extremos, de funciones de varias variables, etcétera, etcétera.
Bien. Pues en el tema de ecuaciones diferenciales pasa lo mismo. Las hay
ordinarias de una variable, que son las que veremos este curso, y las hay
en derivadas parciales, que son varias variables que no las veremos, ¿no?
O sea, que estar tranquilos en este sentido. Un tema importante cuando se
empieza con una ecuación diferencial es saber cuál es el orden de una
ecuación diferencial. El orden de una ecuación diferencial es el orden de
la derivada de mayor orden que en ella figura. O sea, que si tenemos una
ecuación diferencial, pues tenemos algunas, y aparecen derivadas de primer
orden, o sea, primeras derivadas, segundas derivadas, terceras derivadas,
pues bueno, en ese caso, si una ecuación diferencial tiene derivadas
primeras, derivadas segundas y derivadas terceras, veíamos que es una
derivada, es una ecuación diferencial de tercer orden, puesto que la
derivada de mayor orden es de orden tres. Nosotros, en esta primera parte,
veremos exclusivamente ecuaciones lineales, o sea, de una sola... de un
solo orden. Hay que diferenciar lo que es el orden y lo que es el grado.
Puesto que el orden ya hemos visto lo que es, es el orden de la derivada de
mayor orden, y el grado es otra cosa. Es el exponente o la potencia
justamente de la derivada de mayor orden. O sea, que nos hemos de fijar en
esa derivada de mayor orden y ver si está elevada alguna potencia, si
está elevada la potencia uno... En el caso anterior hablábamos de una
diferencial que tenía hasta derivadas de orden tres, decíamos que este
tres es una ecuación diferencial de tercer orden, y si esta derivada se
haya elevada a la potencia uno, pues sería de primer grado, de tercer
orden y de primer grado. Si estuviera elevada a la potencia dos, sería de
segundo grado y tercer orden, y así sucesivamente. Bien, la expresión
general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, genéricamente,
mediante una función implícita, es ésta que tenéis aquí en la
diapositiva. Esta sería expresada en forma implícita. Si la queréis
expresar en forma explícita, pues despejaríamos i sub n, que sería igual
a h de x y tal, tal, tal, hasta i menos uno. En definitiva, ¿cuál es el
problema de una ecuación diferencial? O sea, cuando nosotros tenemos una
ecuación cualquiera, las ecuaciones de segundo grado, de tercer grado, de
cuarto grado, que no son diferenciales, el problema residía en averiguar
cuáles eran los valores o los diferentes valores de la x, las raíces de
esa ecuación. En el caso de una ecuación diferencial, ¿qué se trata de
hacer? Pues lo que se trata de hacer es determinar, aquí os lo explica, la
función i que dio origen a la ecuación diferencial. O sea, la ecuación
diferencial, como veis aquí, está compuesta de la i, de la i prima, de la
i segunda, etc., hasta la i elevada a n. Bueno, la derivada de orden n y de
la variable independiente x. Entonces, ¿qué trata de resolverse con las
ecuaciones diferenciales? Pues justamente se trata de despejar la i en la
medida de lo posible. O sea, hallar la función que da origen a la
ecuación diferencial. Y verificando esta ecuación, contiene en general n
constantes arbitrarias. n sería el orden de la ecuación diferencial. Una
ecuación diferencial de orden 3 tendría 3 constantes arbitrarias, la
solución general de esta ecuación diferencial. Por cierto, que esta la
solución de una ecuación diferencial se le puede llamar solución general
o bien integral general. Digo esto porque os encontraréis en algunos
libros de problemas o libros de teoría, etc., os encontraréis a veces una
expresión u otra. Es exactamente lo mismo hablar de solución general que
de integral general. Clásicamente, lo que se hacía es dar el nombre de
integral general a la solución de una ecuación diferencial. En cambio, en
las ecuaciones recurrentes o en diferencias finitas se hablaba más bien de
solución general. En cualquier caso, si en una integral general se dan
valores determinados a las constantes que contiene, entonces se obtiene una
integral particular. Ya no es una integral general, ya no es un haz de
curvas, sino que ya es una curva concreta. Eso ya lo veremos también en
alguno de los problemas que vamos a resolver. Y por último hay otro tipo
de soluciones, además de las generales y de las particulares, que son las
singulares. Se le llama a veces solución singular o integral singular. Es
el caso de ciertas ecuaciones diferenciales como las de Clerot, que por
cierto tampoco las veremos en este curso. Que sepáis por último, que las
ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en muchas ramas de la ciencia y
de la ingeniería, sobre todo las que tratan los fenómenos físicos. Y en
economía, que es en definitiva el campo que estamos estudiando y es lo que
nos preocupa, pues también se están utilizando mucho, diferenciales, por
eso precisamente de ahí el interés de que las veamos en este curso de
matemáticas. Bien, vamos a entrar ya, digamos, en materia más concreta y
empezaremos por las más sencillas de todas, por las que parecen al
principio más sencillas de todas, que son las ecuaciones diferenciales de
variables separables o separadas, se pueden llamar de alguna manera. A mí
me gusta más llamarlas separables, porque al principio no están
separadas, se separan después. Mirad, hay muchas ecuaciones diferenciales
que se presentan que parecen muy complicadas y en realidad no lo son tanto,
porque si se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables
separadas entonces su resolución es muy fácil, como veremos a
continuación. Si a nosotros nos dan una ecuación diferencial y esta
ecuación diferencial se puede escribir de esta manera, colocando todas las
x a un lado, la función diferencial de x a un lado igual a la función
diferencial de y en el otro lado, entonces decimos que es una ecuación
diferencial de variables separables, porque las podemos separar en un lado,
en el primer miembro de esta igualdad tenemos las x o las funciones de x y
en el segundo miembro de la igualdad tenemos la y o las funciones de y.
Bien, entonces ¿cómo se resuelven estas ecuaciones? Pues lo que se llama
mediante una cuadratura, que es la obtención de una primitiva, o sea, se
trata de tomar integrales indefinidas en ambos miembros de esta igualdad.
Aquí os tengo esta expresión, tomo integrales a un lado, tomo integrales
al otro, pues entonces resuelvo y aquí se acaba el asunto. Aquí obtengo
las primitivas, o sea, las primitivas son las soluciones de las integrales
definidas, indefinidas, perdón, como recordaréis. Recordaréis también
que cuando resolvíamos una integral indefinida obteníamos una constante
de integración, que es esta de aquí. En realidad, deberíamos obtener una
constante de integración al primer miembro al resolver el primer miembro y
una constante de integración al segundo miembro al resolver el segundo
miembro. La suma o la diferencia de esas constantes de integración nos
daría, digamos, esta otra constante de integración. Todos son constantes
en definitiva. Por eso se pone así para simplificar. Pero bueno, esto de
aquí ya sería prácticamente la solución de la ecuación diferencial. O
sea, que una ecuación diferencial de variables separables simplemente
consiste en separarlas en un lado y en otro si es que se pueden separar, no
todas las ecuaciones diferenciales se pueden separar. Y una vez hecho esto,
se integra y se resuelve la ecuación. Fijaos que antes hemos hablado de
las soluciones generales o bien integrales generales, pero hemos hablado
también de las soluciones particulares de una ecuación diferencial. Vamos
a poner aquí un ejemplo de lo que es una diferenciación entre la
solución general y la solución particular. Eso lo vais a ver ahora en la
diapositiva siguiente. Bien, ahí tenéis un ejemplo un ejemplo que está
sacado de unos problemas libre de problemas, que por cierto no sé si lo
tenéis. Y aquí tenemos una ecuación que en principio parece que sea una
ecuación diferencial de variables separadas. ¿Cómo lo sabemos esto? Pues
bueno, vamos a intentar colocar las x a un lado y las y en el otro, tal
como hemos dicho antes. Yo recomiendo para esto sustituir, si nos lo dan de
este modo y', que sabéis que es la derivada de y en relación a x o
diferencial de y partido por diferencial de x, sustituir el y' insisto por
diferencial de y partido por diferencial de x, el y'. Y entonces a partir
de ahí intentáis separar las x a un lado y las x a otro, en esta
expresión, y obtenéis esto de aquí. Ya veis que no tiene la cosa mayor
dificultad. En todo caso, como os quedaréis haciendo el powerpoint, os
quedáis la grabación, que será oportunamente pendiente, pues en fin, lo
veréis claro y lo podéis meditar. Digo esto porque habrá algunos pasos
intermedios en los que no nos podemos entretener demasiado, porque si no
seguramente la cosa sería muy larga y muy aburrida. Bien, ya tenemos aquí
separadas las variables, las x en un lado y las x en el otro. Y ahora lo
que se trata es de hacer una cuadratura, o sea, hay que tomar integrales en
ambos miembros de esta expresión. Si tomamos integrales, integral en el
primer miembro, la integral de diferencial de y partido por y, como sabéis
todos, es el logaritmo neperiano de y. Aquí es muy recomendable, y
permitidme que antes de meteros en ecuaciones diferenciales, repaséis un
poco el tema de integración, los diferentes métodos de integración.
Integración indefinida, me refiero. Ya sabéis que hay muchos métodos,
integración por partes, por sustitución, etcétera. Los diferentes
métodos que hay de integración, puesto que, es decir, nos vamos a
encontrar en la resolución de las ecuaciones diferenciales, nos vamos a
encontrar siempre con que al final, de una manera u otra, tenemos que
integrar. Normalmente no serán integrales muy complicadas, se montan las
cosas para que no sean integrales complicadas. Eso se supone que lo
sabéis, o lo habéis visto en cursos anteriores. Pero sí que hay que
tener una idea, ¿no? Hay que saber integrar, como veremos. Porque si no se
sabe integrar, llegará un momento que no podréis... Bien, en este caso
aquí tenéis cuál es la integral de diferencial de y partido por y, cuál
es su primitiva, el logaritmo neperiano de y, puesto que la derivada del
logaritmo neperiano de y es y' partido por y, que sería esta expresión de
aquí. Aquí, si queréis, nos hace falta sumar la constante de
integración. Pero bueno, esto lo podemos dejar, luego veremos por qué.
Con el miembro de la derecha, el de las x, vamos a hacer lo mismo. Tomamos
la integral del miembro de la derecha, y esta integral se puede descomponer
en la diferencia de estas dos integrales. ¿Por qué? Porque esta
expresión, la expresión uno partido por x cuadrado menos x, que es esta
de aquí, también, a su vez, se puede representar así. Es igual a uno
partido por x menos uno, o sea que en definitiva este es, digamos, el
artilugio que hemos hecho, porque de este modo la integral correspondiente
no sale muy fácil. ¿Cuál es la primitiva de diferencial de x partido por
x menos uno? Pues como sabéis, logaritmo neperiano de x menos uno. ¿Y
cuál es la primitiva de diferencial de x partido por x? Pues logaritmo
neperiano de x, más logaritmo neperiano de c. ¿Por qué lo pongo? ¿Por
qué pongo logaritmo neperiano de c y no pongo la c? Como normalmente
ponemos, ¿no?, cuando resolvemos. Porque de esta manera toda esa
expresión la puedo simplificar así. Puedo poner que todo esto de aquí,
esta expresión, este miembro, es igual a este otro miembro. Como sabéis
el logaritmo neperiano de un cociente es el logaritmo neperiano del
numerador menos el logaritmo neperiano del denominador. Y a su vez el
logaritmo neperiano del producto es el logaritmo neperiano del
multiplicador más el logaritmo neperiano del multiplicador. Con lo cual,
pues... Entonces, ¿qué pasa? Pues nos ha pasado que al tomar integrales
en el primer miembro, este de aquí, al hacer la cuadratura y tomar la
integral, nos ha salido logaritmo neperiano de y. Y en el segundo miembro,
que es este de aquí, nos ha salido logaritmo neperiano de c que multiplica
x menos uno partido por x. Con lo cual, en realidad y es igual a c que
multiplica x menos uno partido por x. Esta sería la integral general. O
sea que ahí ya hemos despejado la y. Es justamente lo que andábamos
buscando. Antes decíamos, al final ¿qué resuelve una ecuación
diferencial? ¿Cómo se acaba la resolución de una ecuación diferencial?
Pues se acaba despejando y. Y hemos obtenido que es igual a c, a una cierta
constante, lo que sea, que multiplica x menos uno partido por x. Esta
sería la integral general o solución. Esta es una integral general, que
tiene una constante. Y fijaos que se trata de una ecuación diferencial de
orden uno y de grado uno, puesto que solamente tiene una derivada, que es
una derivada primera, y además que está elevada a uno, no está elevada
al cuadrado ni al cubo ni nada de eso. O sea que es del primer orden y del
primer grado. Muy bien. Y tiene una constante. Si queremos ahora saber, en
ese mismo problema, qué es una integral particular, bien, entonces lo que
tendríamos que hacer es que nos hubieran dado, o que nosotros nos
diéramos, una cierta condición. Y es que la curva integral pasara por un
punto determinado. Me explicaré. La solución general normalmente es una
de curvas. Ahora aquí no lo hemos dibujado, pero es una de curvas. Si
vosotros os molestáis en dibujar esta función, en un plano de coordenadas
cartesianas rectangulares, lo podéis hacer perfectamente en casa, pues
bueno, haremos lo de siempre, ¿no? Iremos dando diferentes valores a la X
y de ahí nos saldrán los diferentes valores de la Y. Y ahí obtendréis
una de curvas. Obtendréis muchas curvas, que son precisamente los
diferentes valores de C, cada uno de ellos. Si C vale 1, pues obtendréis
unas curvas determinadas. Si C vale 2, obtendréis tal, ¿no? Bien.
Entonces, una vez tengáis las condiciones por las cuales debe pasar la
curva integral, por ejemplo, que se os diga, la curva integral debe pasar
por el punto de coordenadas . O sea, que X vale 2 y que Y vale 1. Cogéis
la integral general, sustituís los valores de Y y de X, entonces sabéis
que C es igual a 2. O sea, que de toda aquel haz de curvas que representaba
la solución general de la ecuación diferencial, la integral particular es
aquella en la cual C es igual a 2. Y entonces, ¿cuál sería la solución
particular o la integral particular? Ya hemos encontrado que C vale 2 para
el caso concreto de pasar por el punto , y entonces, claro, pasando por el
punto , cuando C vale 2, la integral particular sería esta de aquí. O
sea, sería la curva del haz que satisface la ecuación dada pasando por el
punto . Bien. Algunas veces nos encontraremos con ciertos problemas a los
cuales nos piden soluciones particulares. Más o menos, la sistemática que
se sigue viene a ser esta. Vamos a ver ahora otro tipo de ecuaciones
diferenciales que son las ecuaciones homogéneas. Hemos visto ahora las
ecuaciones de variables separadas y separables. Ya hemos visto cómo se
resuelven. Hemos visto un ejemplo también en el libro, en el manual
básico de la asignatura, que es el Análisis Matemático para la Economía
II de Balbás, Gutiérrez y Schill. Encontraréis ahí varios ejemplos, y
en otros muchos libros de matemáticas, tanto de teoría como de problemas.
Encontraréis ejercicios de ecuaciones de variables separables y también
de las que vamos a ver a continuación. Concretamente, vamos a ver ahora
las ecuaciones homogéneas. Las ecuaciones homogéneas, como os dice el
texto, que son aquellas que puedan expresarse de la forma y' igual a f . O
sea que cuando tengáis una ecuación que os den y la podáis poner de ese
modo, podéis expresar la y' en función del cociente y partido por x,
estáis, en principio, en presencia de una ecuación homogénea. Estas
ecuaciones homogéneas se pueden también escribir de esta forma. Digo eso
porque hay muchos manuales en los cuales se emplea esta notación. O sea,
hay una función x y multiplicada por diferencial de x más otra función
de x y multiplicada por diferencial de y y esto es igual a cero. Y se dice
que esta ecuación es homogénea si las funciones m y n son homogéneas y
del mismo grado. Aquí cabe hacer un recordatorio de cuestiones que habéis
visto en cursos anteriores sobre funciones de varias variables. Os
acordáis que hablábamos de un tema que era de las ecuaciones homogéneas
y el teorema de Euler, etc. Pues bien, una función homogénea, os lo
recuerdo, es aquella función en la cual m, o sea, una función m , sería
homogénea si al sustituir x por tx, vamos a ponerlo así, la y por ti, el
resultado que nos da puede ser este de aquí, t elevado a n por m , o sea,
la función que estamos investigando multiplicada por esa variable t que
hemos introducido o parámetro elevado a n. Y ese n, justamente, ese n que
está elevando al parámetro t es el grado de homogeneidad de esa
ecuación. Eso ya lo habéis estudiado, y os recomiendo que os lo paséis.
Pues bien, es necesario que para que una ecuación diferencial sea
homogénea se pueda expresar de este modo que además las funciones m y n
sean homogéneas ambas y del mismo grado, porque podían ser homogéneas y
de distinto grado. Esta sería el grado n, este por ejemplo que fuera el
grado n-1, cuyo caso ya no tendríamos, ya no estaríamos en presencia de
una ecuación diferencial homogénea. Pues bien, si se cumplen estas
condiciones, ahí, para resolverlas, lo que hay que hacer es un cambio de
variable. Ese cambio de variable, que podemos representarlo por i igual a t
por x, u por x, como queráis, cada manual. Si hacemos ese cambio de
variable y la i la sustituimos por tx, pues bueno, en definitiva, derivamos
y obtendremos esta expresión. Y entonces la ecuación anterior, que es
esta ecuación de aquí, se convierte en esta otra de aquí. Y si a partir
de aquí simplificamos por x o por la que sea, según el grado, pues
entonces obtendremos esta otra expresión. Bien, todo esto me lo salto un
poco porque no se trata de comentarlo paso por paso, sino simplemente para
que lo tengáis. Pero al final, ¿dónde vamos a llegar? Pues vamos a
llegar a obtener una formulita, que es esa que tenéis aquí recuadrada. Y
a mí me gusta mucho esta formulita, y la considero muy práctica para
resolver este tipo de ecuaciones homogéneas, porque aplicando simplemente
esa formulita, pues resolvéis la ecuación. Y no os hace falta hacer nada
más. ... mecánico y rápido. Lo único que, claro, os obliga a memorizar
un poco esta formulita. ¿Y esta formulita qué facilidades tiene? Pues
hombre, aplicamos la formulita y nos encontramos con una ecuación de
variables separables, que es justamente la que habíamos visto con
anterioridad. Cuya integración no os es conocida, porque se resolvía,
como recordaréis, mediante una cuadratura. Bien, hasta aquí la teoría de
las ecuaciones homogéneas. Ahora lo que conviene es ver algún ejemplo de
resolución para acabarlo y aclararlo. Por ejemplo, fijaos, eso sí, que
los ejercicios que os pongo no son precisamente los que hay en el libro. En
el libro hay otros muchos y están muy bien resueltos y tal. Aquí he
buscado que fueran ejercicios un poco diferentes, porque para... Aquí
tenéis esta ecuación. En todo caso son muy parecidos. Es una ecuación
homogénea y de grado 1. Y eso lo podéis comprobar. Podéis comprobarlo
perfectamente y veréis que es una ecuación homogénea y de grado 1. Bien.
¿Cómo se puede ver en primer lugar si es una ecuación homogénea? Pues
hombre, la primera manera de verlo es pura y simplemente colocando esta
expresión, o haciendo esta expresión. Fijaos que si yo divido por X el
numerador y denominador, con lo cual la expresión no varía, obtendré
esta expresión de aquí. El E' como siempre es el diferencial de Y partido
por el diferencial de X y dividiendo el numerador y el denominador por X
obtengo esa expresión. Que en definitiva no es más que una función de Y
partido por X. Condición sine qua non para tratarse, por definición, de
una ecuación diferencial homogénea como hemos visto al principio. Esto se
puede representar así. Evidentemente es una función homogénea porque
está en función Y' . O también, tal como lo hemos dicho en la
diapositiva anterior, exponiéndolo de esta manera, X más 2Y sería la
función M, si recordáis. Y menos 2X menos Y sería la función N, que son
dos funciones homogéneas de dos variables y de grado 1, ambas, como
podéis comprobar. Bien, a partir de aquí se hace el cambio en cuestión y
una vez se ha hecho el cambio, pues entonces se llegaría, y vamos a ir
adelantando, a esta expresión de aquí, que ahora os recuadro. Esta de
aquí. Diferencial de X partido por X igual a 2 menos T partido por 1 más
T cuadrado por diferencial de T. Esta expresión no es ni más ni menos que
la formulita que os he puesto en la diapositiva anterior y que ahora vamos
a volver a ver. Es esta formulita de aquí. O sea, que esta formulita de
aquí la aplicáis en este ejemplo y automáticamente os sale esta
expresión que os he recuadrado aquí. Esta de aquí. ¿Vale? Muy bien,
pues ya lo tenemos. Y hemos dicho también, hemos dicho también que esta
formulita nos da una ecuación diferencial de variables separables, con lo
cual su resolución era prácticamente inmediata. Se trata de resolverla
mediante una cuadratura. Pues bien, esto es justamente lo que vamos a ver.
Si integramos ambos miembros de esta ecuación, las integramos, la integral
del primer miembro, sería logaritmo neperiano de X más una constante de
integración que vamos a ponerla también en forma logarítmica, logaritmo
neperiano de C para simplificar los cálculos. ¿Y cuál sería la integral
del segundo miembro? Pues bueno, ahí se descompone, de hecho esa
fracción, como veis, es por descomposición de fracciones esta
integración. Sería 2 partido por 1 más T cuadrado, que es justamente su
función primitiva, 2 arco tangente de T, como recordaréis, menos T
partido por 1 más T cuadrado, que es justamente un medio por el logaritmo
neperiano de 1 más T cuadrado. Lo podéis comprobar, ¿vale? O sea que ya
lo tenemos. Ya tenemos esto de aquí, el logaritmo neperiano de X más
logaritmo neperiano de C, como sabéis, es logaritmo neperiano de CX, y
esta expresión del segundo miembro evidentemente está en función de la
nueva variable T, pero la variable T, como hemos visto antes, era la
variable I partido por X, que es lo mismo, igual a T por X. O sea que
nosotros, claro, en la solución final, en la integral general, lo que
tenemos que hacer es sustituir T por su valor, que es I partido por X,
sustituimos aquí, arco tangente de I partido por X, más o menos un medio
logaritmo neperiano, etc., y partido por X. Y obtenéis, en definitiva, la
integral general. Fijaos que en esta resolución no hemos llegado a
despejar completamente la I. Hemos dicho, esta ya es la integral general,
esta ya es la solución general y aquí hemos acabado, pero en realidad no
hemos llegado a despejar completamente la I, porque es muy difícil de
despejar. Si os fijáis está aquí de arco tangente, o sea que esto sería
muy complicado. Es suficiente con dejarlo así. Ahora, lo que sí que
recomiendo siempre yo particularmente es que se intente despejar la I,
porque hay muchas veces que pudiendo despejarse muy fácilmente no se
despeja. En eso veremos algún ejemplo también. De cualquier manera, ¿se
despeja la I? Pues no. O sea que al final, ya lo hemos dicho al principio,
lo que hay que hacer es despejar la I, hallar la función que da origen a
la ecuación diferencial, a ellas, sus derivadas, etc., etc. Pues bien, hay
que intentar despejar la I siempre que se pueda, siempre que resulte
relativamente sencillo y rápido. Vamos a ver otro ejemplo de una ecuación
que no es exactamente homogénea, vamos siguiendo el libro de texto en este
sentido, el libro manual recomendado, pero que se puede reducir a
homogénea. Sería el caso de esta ecuación. Esta ecuación, si os
fijáis, esta ecuación, ahora en vez de I', colocamos como siempre el
diferencial de I partido por diferencial de X, que hacemos aquello de
producto de medios igual a producto de extremos, etc., al final nos
saldrá, muy bien, eso es lo mismo que esto de aquí. Esta sería la
función M, esta sería la función N, ¿vale? Bueno, pero resulta que esta
función no es homogénea en principio. Si buscáis aquí sustituir X por
CX, I por TI, etc., y veis lo que pasa, os dais cuenta que no es
homogénea. Lo que pasa es que este tipo de ecuaciones, mediante un cambio
de ejes, mediante una traslación de ejes, se pueden reducir a homogéneos,
efectuando este cambio. La X se convierte en una X mayúscula más A, una
cierta constante A, y la I minúscula se convierte en una I mayúscula más
una cierta constante B. Evidentemente, si tomamos diferenciales, tanto en
la X como en la I, obtendremos esto de aquí. La diferencial de una
constante es cero. Entonces, ¿qué pasa aquí? Que nosotros podemos
escribir esta ecuación X más 2I más A más 2B más 4 y aquí lo mismo
menos 2X menos I más 2A menos B más 3 por diferencial D. Si nosotros,
para pasar de esta ecuación a esta de aquí, consideramos que A más 2B, o
sea, para hacer esa función en definitiva, para que fuera homogénea,
hacemos A más 2B más 4 igual a cero y más 2A menos B más 3 igual a
cero. Entonces, aquí obtendríamos un sistema de ecuaciones cuya
resolución es A, sencilla, ¿no?, incógnitas. A sería igual a menos 2, B
igual a menos 1 y resultaría, como resultado de esto de aquí, esta
ecuación de aquí. Esta sí que es homogénea. Si nosotros estudiamos la
homogeneidad de esta función y la homogeneidad de esta función, veremos
que son ambas homogéneas y del mismo grado. Bien. Hemos puesto este
ejemplo, en este caso concreto, para que veáis que, para simplificar,
justamente esta ecuación es precisamente x más 2y por diferencial de x
menos 2x menos y por diferencial de y es justamente la ecuación del
ejercicio anterior. El ejercicio anterior, vamos a proceder ahora, a ver,
es esta de aquí, si os recordáis, que salía de aquí. O sea, que en
realidad es, hemos cogido como ejemplo la ecuación del ejercicio anterior,
puesto que ya hemos obtenido su resolución, y su resolución, su integral
general, nos ha dado esto de aquí. Claro, ¿qué pasa? Que nosotros ahora
resulta que la x mayúscula la hemos convertido en x minúscula menos a y
la y mayúscula la hemos convertido en y minúscula menos b. Con lo cual,
en realidad, en la solución que nosotros damos tendremos que sustituir el
valor de x mayúscula por x pequeña o x minúscula más 2, puesto que
será x menos menos 2, y con la y exactamente igual, será y más 1, en
definitiva, que nos quedará esta integral general. O sea, que aquí lo que
hemos hecho es un artilugio, un cambio de ejes. Yo os pido que repaséis
este ejemplo tranquilamente en casa para que veáis cómo se resuelven las
ecuaciones que se pueden reducir a homogéneas pero que en principio no lo
son. En el libro tenéis algunos ejemplos resueltos de este tipo de
ecuaciones. Y bueno, nos vamos ya acercando al final del tema, al final de
lo que queríamos ver hoy. Mira, os pongo como ejemplo justamente el
problema que salió en el examen de la segunda semana de la convocatoria de
febrero justamente del año pasado, o sea, del curso pasado, en febrero del
2011. Ahí se puso este ejercicio. Se trataba de obtener la solución
general de esta ecuación diferencial. Este era el enunciado del ejercicio
para que os deis una idea de si ponen ejercicios de ese tipo más o menos
como son. Ahí lo tenéis. Bien, lo primero que hay que investigar cuando
veáis esto y empezáis a sospechar por su propia configuración analítica
que se trata de una función homogénea que tiene muchos puntos para ser
una función homogénea. Vamos a ver si realmente lo es. ¿Qué hacemos
para ello? Dividimos por x al cubo tanto el numerador como el denominador.
Si dividís por x al cubo obtendréis esta expresión, ¿no es así? Esta
expresión, evidentemente, la podéis colocar en función tanto en el
numerador como en el denominador de y partido por x. O sea que, en
definitiva, la i prima es función del cociente y partido por x. Luego,
evidentemente, se trata de una función homogénea. Otra manera de saber si
se trata de una función homogénea. Bueno, pues la que ya hemos explicado.
Esta función homogénea que sustituimos el i prima como siempre por
diferencial de y partido por diferencial de x puede expresarse también de
esta forma haciendo producto de medios y producto de extremos y pasarlo
todo al primer miembro igualando a cero os quedará esta expresión
general. Bien, ¿cómo se sabe si la función n que es x cubo más y cubo y
la función n que es la menos tres por x y cuadrado son homogéneas y del
mismo grado? Pues bueno, haciéndolo de ese curso pasado, ¿no? Sustituimos
la x por tx la i por ti intentamos despejar la t sacando factor común t al
cubo y evidentemente nos sale que se trata efectivamente la primera, la m
es una función homogénea de grado 3. ¿Eh? Muy bien. Vamos a ver la
segunda vamos a ver la n la n es esta de aquí vamos a sustituir como
siempre la x por tx y la i por ti despejamos la t con su grado
correspondiente al cubo que multiplica menos tres x por i cuadrado
evidentemente menos tres x por i cuadrado es la función n luego ambas
funciones la m y la n son homogéneas de grado 3 presencia de una ecuación
diferencial homogénea. Bien, para aplicar la formulita ¿os acordáis de
la célebre formulita? vamos atrás para que nos acordemos por aquí aquí
tenéis la formulita la formulita que sirve que hace milagros esta de aquí
¿vale? Vamos a aplicar esta formulita diferencial de x partido por x raya
de quebrado denominador menos n de uno t diferencial de t denominador m de
uno t más t por n de uno t ¿vale? Muy bien se trata de saber exactamente
en el ejemplo que nos han puesto ¿cuáles son las funciones m y n? y a
partir de ahí aplicar la formulita en cuestión vamos a ver estamos aquí
muy bien la función m m de uno t sabemos sustituir la x por uno y la i por
t la función m es la función x cubo más i cubo la función m de x y es
la función x cubo más i cubo la función m de uno t será tomando x uno y
tomando la i el valor de t o sea que el resultado evidentemente es uno más
t al cubo ¿y cuál es la función n de uno t? pues es como la función n
de x y es la función menos tres x y cuadrado la función n de uno t
sustituyendo x por uno y la i por t será menos tres t cuadrado
evidentemente tenemos la m de uno t y la n de uno t ¿vale? y ahora ya
podemos perfectamente aplicar la formulita diferencial de x partido por x
igual a esta expresión en este caso menos n de uno t sería tres t
cuadrado diferencial de t pues esto está aquí el n de uno t con signo
menos el m de uno t es uno más t al cubo y el t por n de uno t será menos
tres t al cubo evidentemente simplificáis el denominador y os queda esta
expresión ya está evidentemente se trata de una ecuación de variables
separables aquí tenemos la x en el primer miembro de esta igualdad y ahí
tenemos la t en el segundo miembro de esta igualdad tomamos integrales en
ambos miembros de esta igualdad la integral del primer miembro
evidentemente es inmediata el logaritmo neperiano de f como siempre y la
integral del segundo miembro sería también inmediata menos un medio de
logaritmo neperiano de uno menos dos t al cubo muy bien pues bien ya lo
tenemos todo o sea que logaritmo neperiano de cx igual a menos un medio
logaritmo neperiano de uno menos dos i cubo partido por x cubo porque hemos
sustituido la t por i partido por x la t no es más que una variable
digamos artificiosa que nosotros hemos introducido para poder resolver esta
ecuación pero en realidad la t la gente no sabe nada y luego las variables
que nos han dado eran x y la i cuando nos han dado el problema también en
x y en i muy bien pues esta sería la integral general también resulta
como veréis un poco difícil de de despejar la i en esta solución general
de hecho fijaos que menos un medio logaritmo neperiano esto sería el
logaritmo neperiano de una raíz bien pero no vale la pena continuar por
este camino en definitiva que sepáis esta podría ser una solución ¿de
acuerdo? muy bien ya estamos acabando porque además llevamos ya tres
cuartos de hora lo cual algunos de vosotros ya debéis empezar a tener la
cabeza un poco llena aquí pasa una cosa que es la siguiente ya sabéis que
está muy de moda están diciendo ahora en todos los niveles de enseñanza
que hay que estudiar inglés que nuestros jóvenes, que nuestros chicos que
los niños tienen que empezar a estudiar inglés y cuando antes empiecen a
estudiar inglés pues bueno como segunda lengua o como tercera lengua en
aquellas comunidades autónomas que tienen una lengua propia como es el
caso del País Vasco, de Galicia, de Cataluña etcétera bien, pues
entonces se me ha ocurrido para que veáis que no tiene ninguna dificultad
especial en el caso de las matemáticas si se trata de un libro de
filosofía o de teología la cosa sería mucho más complicada que el
resolver un problema de ecuaciones diferenciales en inglés con lo cual
vamos a hacer un favor a los del QUIT que me lo están pidiendo introducir
al inglés a veces en vuestras clases o en vuestras charlas y veréis que
no tiene ninguna dificultad porque además justamente en matemáticas es
muy facilito el inglés con esas cuatro palabritas que no tienen mayor
dificultad ahí lo tenéis se trata de resolver esta ecuación diferencial
y por supuesto estamos dentro de las ecuaciones diferenciales homogéneas
por cierto, la manera de saber si son ecuaciones diferenciales homogéneas
es verlo comprobando o sea que lo primero que hemos de hacer es coger la
ecuación M como hemos hecho antes y ver si realmente es homogénea y la
ecuación N o sea menos 2XY ver si es homogénea que también lo es de
grado 2 ambas son homogéneas del mismo grado y efectivamente tal como dice
aquí las dos ecuaciones son homogéneas de grado 2 entonces ya se realiza
la transformación de siempre que nos lleva en definitiva a la formulita
ahí tenéis la formulita bien, si aplicáis la formulita pues resultará
que obtenéis esta expresión de aquí diferencial de X partido por X igual
a 2T partido por 1 menos 3T cuadrado muy bien vale, ya tenemos por
aplicación de la formulita la ecuación de variables separadas ya hemos
separado las variables y consecuentemente lo que hemos de hacer es integrar
esta ecuación al integrar esta ecuación mediante una cuadratura obtenemos
como integral del segundo miembro este de aquí y como integral del primer
miembro aquí lo han cambiado, este de aquí bien una vez pasamos todo eso
al primer miembro y lo que hemos hecho aquí es dividir más que dividir,
multiplicar por menos 3 multiplicar por menos 3 y pasarlo todo al primer
miembro de esta igualdad con lo cual se nos han ido estas constantes nos ha
cambiado la constante también y nos ha quedado en vez de logaritmo
neperiano de C' logaritmo neperiano de C' nos queda en definitiva esta
expresión que tenéis aquí esta expresión que tenéis aquí que también
la podéis poner de este modo y realizando el cambio t igual a i partido
por x siempre en todos los casos obtenéis esta otra expresión y esta sí
que realmente la podéis despejar la i, aquí sí que es fácil de despejar
pero que se da como solución esta de aquí 3t por x i cuadrado igual a Cx
cubo menos 1 esto sería la solución general, la integral general pero es
que realmente la i se puede despejar o sea que si yo paso el 3tx al segundo
miembro y entonces le saco la raíz cuadrada pues automáticamente obtengo
ya la i despejada esta sería la integral general bueno, como estamos en
inglés sería la general integral muy bien pues nada, ya hemos visto aquí
hemos visto las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de
variables separadas y homogéneas el próximo día está previsto verlas y
continuar con el tema 10 que las tenéis directamente en el libro en el
manual del día 18 daremos la segunda parte y el próximo día 25, el
último miércoles de este año yo no sé si tenéis alguna duda alguna
dificultad, alguna cosa que se pueda resolver sino ahora más adelante lo
que la verdad no sé exactamente cómo entrar para que vosotros habléis
porque además hoy nuevo en este entierro, o sea que entonces hay que
apretar ahí aquí ¿vosotros me oís? bien ¿yo cómo puedo oiros a
vosotros? este es el problema muy bien bien, Mimbanu estás diciendo algo
de la página 9 eh vamos a ver, vamos a retroceder a la página 9 y a ver
qué pasa en la página 9 bien, supongo que tienes delante igual que yo la
página 9 ¿no es así? muy bien, vamos a ver vale, aquí parece que he
visto algo en la página 9 dices en la M1T menos 3 T elevado al cuadrado
¿de dónde sale esto? te preguntas ah, muy bien, bueno, vamos a verlo,
hombre, no te preocupes pues sí, fíjate que va vamos, si he entendido
¿no? Mimbanu no si he entendido lo que me preguntas es por qué M de 1T es
menos 3 por T cuadrado ¿por qué está elevado al cuadrado? ¿no es así?
eso va a parecer lo que me estás preguntando bueno pues bien, pues muy
sencillo porque esto de aquí que te estoy señalando en estos momentos en
el powerpoint es la función N de XI si tú sustituyes aquí la X por 1 y
la Y por T obtienes como resultado menos 3T cuadrado o sea, no menos 3T
sino menos 3T que es esto lo que me preguntabas no sé si era alguna otra
cosa aquí parece que me pones alguna otra cosa, me dices no, no pero es
que yo no te oigo no sé qué hacer para oírte vale bien dice ¿no da 3T
elevado al cuadrado? ¿y por qué no da 3T elevado al cuadrado? a ver, tú
fíjate que X es 1 vale y T es T o sea que esto sería si sustituyo X por 1
y sustituyo la Y por T me sale efectivamente menos 3T cuadrado ¿lo
entiendes? ahora parece que sí ¿no? me pones que sí, vale tío bueno yo
digo tío, tía ya no sé si eres chico o chica pero bueno, a veces nos
pasan estas cosas porque está un poco guiado Mireia, estupendo Mireia ¿de
verdad lo has entendido ahora o no? si no nos volvemos a mirar confírmame
que lo has entendido yo te estoy viendo por la pantalla del chat
confírmame que lo has entendido dime sí, ¿lo he entendido? pues sí, con
tal de que me digas eso ya quedo tranquilo sigo ¿qué pones ahí? sigo ver
3T cuadrado ¿por qué? vale, te lo vuelvo a explicar si quieres fíjate
mira yo supongo que tienes la función efectivamente la función es menos
3XY elevado al cuadrado ¿vale? si sustituyo X igual a 1 muy bien ¿eh? sí
y Y igual a T, ¿qué te da? pues menos 3T cuadrado ¿no? bueno pero es que
tiene el signo menos delante o sea que en realidad la función la función
no es 3XY cuadrado es menos 3XY cuadrado ¿eh? eso es lo que hay que tener
en cuenta la función es menos la función N es menos 3XY cuadrado entonces
si tú sustituyes X por 1 y por T te da menos 3T cuadrado cuidado vale,
vale ahora veo que lo has entendido eso es muy importante que me lo hayas
dicho porque hay gente que no lo hace bien y efectivamente se confunde no
es lo mismo poner el menos que poner el más eso es muy diferente o sea la
función N cuando si aquí por ejemplo hubiera un signo más si eso fuera X
cubo más Y cubo por diferencial de X más 3XY cuadrado por diferencial de
Y sería pues 3XY cuadrado si hubiera el signo más pero si hay el signo
menos es menos la función N tal como está en la formulita expresada
habéis de tomar con el signo menos o sea hay que tomarlo con su signo vale
aquí aparece también en el chat el amigo o amiga C. Fernández 1081 vale
gracias tampoco lo había visto bueno pues que ahí está el lío hacéis
bien en preguntármelo ahí está el lío eh, o sea vuelvo a insistir la
función N es es la segunda con su signo si es más es más y si es menos
es menos a ver vamos a retroceder un poco y vamos a colocar la expresión
general si colocamos la expresión general eh que la tenéis en la
diapositiva anterior la expresión general ahí tenéis vamos a verla que
la función homogénea es esta de aquí vale esta que os estoy señalando
en este momento en la pizarra o en la diapositiva fijaos que es N por
diferencial de X más N diferencial de Y si aquí hubiera un signo menos la
N tendríais que cogerla entera o sea que hay que cogerla entera con sus
signos si es más es más vale tenéis en principio alguna pega más porque
si no lo tenéis ya nos hemos pasado un poquito del tiempo reglamentario ya
vamos casi por la hora muy bien muchachos o muchachas muy bien estupendo
vale pues venga que tengáis suerte que no se os atraganten y si no pasa
nada el próximo miércoles a la misma hora a las cinco y media nos
volvemos a ver vale Iván Díaz Fernández nos vemos todos un abrazo hala
adiós