Bueno, vamos a empezar con esta materia fácil, pero no hay ninguna,
porque no es tan abstracta como la otra. Pero aquí vamos a hacer lo más
importante, ¿vale? Entrar a los algónimos de la división de
octetoclidos, el operador moro, que es quien termina el resto, ¿vale?
Entonces, por ejemplo, 3 mod 4 sería 3, ¿vale? Ya que 3 es igual a 4 por
0 más 3, 4 mod 3 es igual a 1, porque 4 lo puede poner 3 por 1 más 1,
¿vale? Esto parece, pero se utiliza bastante. Después, menos 15 dividido
por el resto se considera positivo, ¿vale? Entre si divido A dividido por
B, ¿vale? Siempre lo podemos poner de la forma que el resto sea positivo.
Siempre el resto es inferior a B, al cuadro absoluto. Por ejemplo, esto
menos 15 dividido por 8 es igual a 1, porque menos 15 sería 8 por menos 2
más 1. Siempre tenemos que ver el resto que toma oposición. Entonces,
menos 23 dividido por menos 17, pues el resto sería 11, ya que menos 23 es
igual a menos 17 por 2 más 1, ¿vale? Menos 59 dividido por menos 7 es 4,
porque menos 59 sería menos 7 por 9 es 63 más 4, por lo tanto sería
menos 59. Menos 2 dividido por 7, el resto es 5. Porque menos 2 lo puede
poner 7 por menos 1 más 5. Me he puesto diferentes ejemplos, porque esto
sí que se utiliza bastante para poder... Esto os lo voy a enviar, ¿eh? O
sea, que si queréis, bueno, son las notas, pero... mod menos 7 igual a 5
porque 61 sería menos 7 por el menos 8 aquí n mod dividido por n más 1,
2 restos n porque n es igual a n más 1 por 0 más menos 1 también el
resto, o sea menos 1 mod n más 1 sería n porque menos 1 lo puede poner n
más 1 por menos 1 más a ver, esto sí que es importante también las
propiedades del operador mod a mod m si a mod m es igual a c mod m y b mod
m es igual a d mod m entonces la suma a más b mod m es igual a c más d
mod c el producto igual a por b mod m es igual a c por d mod n por ejemplo
12 mod 5 es igual a 7 mod 5 que el resto es 2 y 14 mod 5 es 4 o sea 14
dividido por 5 el resto sería 4 y lo mismo vale 4 mod 5 es 4 el resto de 4
dividido por 5 evidentemente es 4 entonces aquí pues hay 12 más 14 mod 5
es igual a 7 más 4 mod 5 la diferencia igual 12 menos 14 es igual a 7
menos 4 mod 5 12 por 14 es igual a 7 por 4 mod 5 después aquí el teoría
del máximo divisor es el mayor número que se divide a los dos este es el
concepto básico aquí importante es por ejemplo el algoritmo de Euclides
entonces calcular el máximo común divisor de 3.120 270 y encuentrese dos
números x y tales que D, el máximo condivisor, es igual a 3.120 por X
más 270 por Y. Este es un problema largo que esto se utiliza bastante.
Aquí lo he hecho con bastante detalle. Y entonces tenemos de entrada, o
sea, hacemos la división a 3.120 dividido por 270. Entonces me daría de
cociente 11 y de resto 150. Por tanto, nosotros podemos poner 270 por 11
más 150. El residuo es 150. Después yo divido 270 y 150. Por tanto,
entonces me da de cociente 1 y de resto 120. Por tanto, de 170 lo puedo
poner 150 por 1 más 120. Después divido 150 por 120. Evidentemente el
cociente me da 1 y el resto me da 30. Y finalmente ya divido 120 partido
por 30. Entonces me da el cociente 4 y el resto me da 30. Entonces tengo
que el máximo condivisor de 3.120 y de 270 es el último divisor que me ha
dado el resto. Pero bueno, aquí lo importante es aquello que me pedí
antes. Esto cuando se haga la ecuación de Stiglitz-Fantz y todo esto se
utiliza bastante. Entonces me decía, hallar, o sea, aparte de hallar el
máximo condivisor de 3.120 y de 270 que es 30, aquí lo importante es
encontrar estos dos números que son iguales al máximo condivisor.
Entonces yo cuando tengo esto de entrada, cojo el último, este de aquí,
antes del 0, y pongo el 30 en función de 100, si hago 30 igual, a 150
menos 120 por 1. Entonces tengo que el 150 de la otra igualdad lo pongo en
función de aquí, cojo el 120 de aquí con el resto, pongo igual a 270
menos 150 por 1. Entonces aquí tenía 150 menos 120, pero 120 ahora es
270. Entonces tengo que el 170 menos 150 por 1. ¿Vale? Entonces, junto,
¿vale? Que me entra 150 y 150, por tanto, esto sería 150 por 2 menos 270,
¿vale? El 150, ¿vale? Que tengo aquí en este primer resto de aquí,
¿vale? También lo despejo y me queda que 150 sería igual a 3.120 menos
270 por 11, ¿vale? Lo voy sustituyendo en lo anterior, ¿vale? Lo voy
sustituyendo en los otros, ¿vale? Y haciendo esto, me queda, bueno,
finalmente me va quedando, me queda que 30 es igual a 270 por 11 y por 2
menos 270, ¿vale? Entonces, yo ya tengo, multiplico este por 2, ¿vale?
3.120 por 2 y 270, esto por 2 sería menos 22. Sería menos 22 por 270
menos este, sería menos 23. Por tanto, yo ya he encontrado dos números x
y, ¿vale? Que me pedí antes, que uno es 2, que es la x, y el otro es
menos 23, que es la y. O sea, es lo que me pedía este enunciado, ¿vale?
Esto de momento no lo utilizaremos en este tema, pero en el tema 4, que hay
las ecuaciones biofánticas, esto es importante de tener en cuenta. Quiero
volver para atrás y no... No va, para que veáis lo que pedía. O sea,
antes fijaros que pedía allá dos números x y tales que... voy a ir a la
página para ver vale, aquí impedían de igual a 3120 por x más 270 por y
tanto aquí he encontrado que esto es 2 y la y es menos 23 esto se hace de
esta forma haciendo todo el proceso lo importante era esto bueno, la
definición de número primo es primo si los únicos divisores son el 1 y
el mismo número entonces en otro caso es compuesto, por tanto si es
compuesto lo podré poner por lo menos como producto de dos números que
serían menores que el número p una familia de números primos entre sí
si el máximo divisor de todos ellos es 1, ¿vale? Bueno, este es un
teorema o sea que, bueno, el teorema dice el número de primos es infinito,
¿vale? Si, este es importante que se hace para, se hace servir bastante
para ver si un número es si es un número entero mayor que 1 entonces para
todo número primo p que sea menor o igual que raíz de a si p no divide a
se verifica que a es primo o sea que entonces este es un criterio para
allá ver si un número que tengo, ¿vale? es primo ¿vale? o sea si por
ejemplo, yo lo divido por cualquier número que sea p que sea menor que la
raíz del número ¿vale? si no es divisible por un número de estos, por
tanto no es primo. Bueno, aquí es dos números descompuestos, ¿vale?
entonces para hallar el máximo condivisor, entonces que se cogen, o sea
por ejemplo tengo exponentes, ¿vale? o sea p sub 1 elevado a alfa sub 1 p
sub t elevado a alfa sub t ¿vale? b descompuesto también p sub 1 elevado
a beta 1 p sub t elevado bueno, bastantes más, ¿vale? a beta t, por tanto
con el máximo condivisor se cogen el mínimo de los exponentes. Número de
primos es el mínimo de los exponentes ¿vale? Algunos exponentes este es
importante para si es un número entero mayor que 1, entonces para todo
número primo p que sea menor o igual múltiplo de a, si p es el menor
entero que es múltiplo de a entonces es un criterio para hallar dos
números y cojo el máximo de cada exponente algunos factores de estos,
alfa beta, lo divido por cualquier número que sea p si no es divisible por
el número de estos entero positivo más pequeño que es múltiplo de todos
ellos bueno, aquí Es dos números descompuestos, ¿vale? Entonces, para
hallar el máximo condiviso, que se coquen, si tengo exponentes, ¿vale? El
valor absoluto de A por B es 1, el máximo condiviso de A por B es 1.
Corruptemos los números, el valor absoluto es 1 elevado a beta1, bastante
es más, ¿vale? Si tengo dos números, si coquen el mínimo de los
exponentes, que no son números, si uno es nulo y el otro es 0, en este
caso pueden ser alfa o no. Entonces, el producto de ambos, alfa 2 beta2, el
valor absoluto, porque si ambos son positivos, esto sea positivo, es igual
al máximo condiviso por el mínimo común múltiplo, es el menor entero
que es múltiplo de ambos. Entonces, bueno, aquí igual, ¿vale? Por el
principio de los números, aquí cojo el máximo de cada uno. Nosotros
tenemos... ...una propiedad que es verdad, o sea, una propiedad por un
número natural. Entonces, aquí se trata de probar que esta propiedad es
válida para todo un entero positivo más pequeño que es múltiplo de
todos. Esto vemos en el título. Aquí una propiedad importante, ¿vale? Si
A y B son números enteros no nulos, ¿vale? El valor absoluto de A por B
es igual al máximo condiviso de A por B por el mínimo común múltiplo de
los dos números, ¿vale? es igual al máximo condiviso de ambos por el
mínimo común múltiplo. Sí. Si tengo dos números enteros no nulos,
¿vale? que en valor absoluto, ¿vale? Si uno es nulo y el otro, si no son
cero, tienen que ser distintos de cero. Entonces, el producto de ambos en
valor absoluto, que si ambos son positivos, es igual al máximo condivisor
por el mismo común múltiplo de los dos números. Por el principio de los
números, de inducción, que aquí sea R o más. Nosotros probaremos por 1
y entonces veremos que se cumple la propiedad por un número natural N.
Supongamos que para todo K mayor que 1, esta propiedad es válida para todo
un número natural. Y entonces tenemos que ver que se cumple para K más 1.
O para N más 1, depende. Y entonces, si se cumple para K más 1, nos dice
que se cumple para todo número natural. El principio de inducción fuerte
es que, por ejemplo, la propiedad, tenemos un conjunto de números enteros
positivos, uno pertenece al conjunto y cualquier número K entre 1 y N
también pertenece a algo, o sea, todos los números K entre 1 y N también
pertenecen al conjunto, entonces N pertenece. Y de aquí también, por el
principio de inducción, S, todo el conjunto S es igual a N. Bueno,
entonces esto es un resumen teórico un poco bastante hecho, bastante
deprisa, o sea, mínimo para hacer ejercicios. Principio de inducción, o
sea, el principio, nosotros, por ejemplo, lo probaremos por 1, por ejemplo,
aquí hay F, números naturales, supondremos que para... Ni N cuadrado
mayor que 1, ni N cuadrado más 1, como también se cumple. Y entonces
tenemos que ver que se cumple para todo número natural, N más 1, depende,
en principio. O N cuadrado menos 1, o N cuadrado, o N cuadrado más 1, nos
dice que se cumple para todo número natural. Si te conté números
consecutivos, por ejemplo, uno de ellos es muy fuerte. Por ejemplo, se
cumplía por todos los números naturales positivos que N cuadrado sea
igual a 3K elevado a... Cualquier número K, para K igual a 1, ¿qué
tendría? Tendría 3 por 1, K entre 1 y N, también sería 9. Para K igual
a 2 sería 3. Por 2, 6, S, todo el conjunto S es igual a... Para K igual a
3 tendría 3. Bueno, entonces esto es un resumen teórico un poco
bastante... Por 3 sería 9, al cuadrado sería 8. Para 4 sería 12, al
cuadrado 144. Para 5 sería... Para 5 por 3, 15, 15 al cuadrado, 225. Para
6, 6 por 3, 18, 18 al cuadrado, 324. ¿Vale? Entonces... Por ejemplo, aquí
hay 224. Para 323 y a 325, N, si N cuadrado menos 1, ni N cuadrado más 1
son múltiplos, vemos otro. Dice, demuestre que la diferencia entre dos
números naturales no puede ser múltiplo de K. O N cuadrado menos 1. O N
cuadrado más 1 es múltiplo de 3. E I, N al cubo, tres números
consecutivos, por ejemplo, uno de ellos es múltiplo de 3. ¿Vale? Se
cumplía por todos los números naturales que n al cuadrado sea igual a 3k
elevado al cuadrado. Entonces, por ejemplo, para k igual a 1, ¿qué
tendría? Tendría 3 por 1, desarrollamos, sería 3, n más 1 al cubo es n
al cuadrado, más 3 veces el cuadrado por 2, 6, 6 al cuadrado, 26. Para k
igual a 3 tendría, en este caso es 1, más 3 veces n por el cuadrado del
segundo, que es 1, más 1 al cubo, que es 1, sería 81. n al cubo menos n
al cuadrado es 144. Se va, ¿vale? Me queda 3n al cuadrado más 3n más 1.
Puedo poner 3n al cuadrado más 3n, o puedo poner para 6, 6 más 1, 18, 18
al cuadrado. Este factor sería divisible por 3, pero el 1 no lo es. Por
ejemplo, 324, 323 y 325 no son divisibles por 3, ya que el 1 tendría que
ser divisible por 3. Vemos otro. Este tendría que ser dividido por 3.
Dice, demuestre que la diferencia entre dos cubos consecutivos puede ser
múltiplo de todo un número natural. Entonces yo pongo simplemente 4k, o
4k más 1, n más 1 al cubo, e i, n al cubo. Si k es par, yo pondré poner
n igual a 2k. Por tanto, n cuadrado será 2k elevado al cuadrado, que
sería 4k cuadrado. Esto lo podré poner de la forma 4 por k sub 1, donde k
sub 1 es... Sí, acuérdate, desarrollamos. n más 1 al cubo es n al cubo
más 3, 4, 5, 6, 7, 6 cuadrados. La n será 2k más 1 al cuadrado. Por el
segundo, que en este caso es 1 al cuadrado, será n por el cuadrado del
segundo, que es 1, más 1 al cubo, que es 1. n al cubo menos n al cubo se
va, ¿vale? Por lo tanto me queda 3n al cuadrado más 3n más 1. Puedo
poner 3n al cuadrado más 3n, puedo poner 3n que multiplica n más 1. Por
tanto, este factor sería divisible por 3, pero el 1 no lo es. Por lo
tanto, siempre tendré que x menos 1 no es divisible por 3, y aquí el 1
tendría que ser divisible, 3 tendría que ser dividido por 2. Aquí hay
otro que dice, probar que al cuadrado de todo número, en el caso de 2,
sería 4k o 4k más 1. k por k más 1. Entonces, aquí consideramos los
casos. Si k es par, ahora yo pondré poner n igual a 2k. Por lo tanto, n al
cuadrado será... 2k por k al cuadrado, que sería 4k al cuadrado. Esto lo
podré poner de la forma 4 por k sub 1, donde k sub 1 es k al cuadrado. En
el caso impar, la n será 2k más 1. Ya lo tengo, ¿vale? Entonces, la n
igual al cuadrado será la forma 4k, 2k al cuadrado, y si es par, sería de
la forma 4k más 1. Este aquí... Ya lo tenemos puesto, ¿vale? En el caso
2, sería en este caso par, vamos a decir 4. Ahora sería k por poner n
igual a 3, sería par, 4k al cuadrado, más 1, 4k al cuadrado, 4k al
cuadrado, 4k al cuadrado, más 1. Por lo tanto, esto sería... Y ya está,
por supuesto. K sub 2 sería... Sería k por k más 1, ¿vale? 4k por k
más 1, más 1, ¿vale? Por lo tanto, esto sería k sub 2... Bueno, probar
que si es un número primero mayor que 3, ¿vale? Se puede... Esta forma.
Por lo tanto, ya lo tengo, ¿vale? O sea, por un lado, si es par, será de
la forma 4k, ¿vale? Y si es impar, ¿vale? Sería de la forma 4k.
Escribiendo la forma 4 y aquí, o sea, en el caso 2, sería en este caso k
menos t. Bueno, si ponen esto, entonces, si yo divido el número por 4,
¿vale? ¿Cómo podré poner? Siempre voy a poder poner de la forma t
igual, si divido el número por 4, ¿vale? 4n, ¿vale? Pues n sería el
propósito 100 y r el resto. Si divido el número por 4, t, divido por 4,
pues aquí me quedaría n, ¿vale? Y aquí me quedaría la r, y la r sería
entre 0 y 3. Entonces, si, por ejemplo, si la r es 0, ¿vale? el número
sería divisible por 2 y, por tanto, no sería primo, ¿vale? Si es 2,
pasaría igual, ¿vale? Yo tendría p igual a 4n más 1. Si es un número
primo mayor que 3, ¿vale? Y por tanto, no sería primo. Por tanto, la
única forma que puede ser es que el resto sea 1 o el resto sea 3. Por
tanto, eso puede ser 4n más 1 o 4n más 3. Escribiendo la forma 4, bueno,
vemos otro n más 1. Si p es el enésimo número primo, bueno, si p es un
vale, o sea, entonces si ponen esto, entonces p es el número por 4, p1,
p2, pn, más 1, o sea, p igual n primeros números primos, 4n más 1,
¿vale? Este número de estudiar las condiciones para las que quiere el
resto. Si hago cuadrado. Hemos visto que en el anterior ejercicio, que todo
el número se puede poner de la forma, ¿vale? p lo podemos poner por 4,
¿vale? Sería, puedo poner 4cumas entre r, está entre 0, es menor que la
r, si es 0, dividido por 4, el resto es entre 0 y 3, ¿vale? Si la r es 0,
¿vale? El resto es 0. Los números, por 2, son primos, y si es 2, sería
igual, ¿vale? Yo tendría p igual a 4n más 1. Si pasa esto, ¿vale? Si p1
es 2, es el producto, vale. Si el primer número de primos es 2, ¿vale?
Por tanto, la única forma que puede ser es que el resto sea 1 o el resto
sea 3. P2 a Pn solo puede ser 4n más 1 o 4n más 1. Si no lo multiplico
por 2, porque es un producto de números primos, vale 3. Pues vemos otro, 7
es el enésimo número primo, vale 13, por ejemplo. Entonces el producto de
todos estos sería imparable. Si puede escribir de tal forma, 4q más 1, 4q
más 3. En primeros números primos, más 1. Este número tiene que
estudiar las condiciones para que Pn lo podría escribir de tal forma. O
sea, hemos visto que en el anterior ejercicio, que todo número se puede
poner de tal forma, vale. Desde Pn podemos poner un dividido por 4 aquí,
vale. Podemos poner 4q más 1 o 4q más 3. Entre R está entre, entonces es
menor que la R si el dividido por 4. El resto es menor. O sea, entre 0 y 3,
vale. Por tanto, esto sería de esta forma, vale. Los Pi, por tanto, yo
tendría el 2 en primos y por 4q más 1, esto sería igual a 8q más 2. Si
pasa esto, vale, si P1 es 2, entonces el producto, vale, si el primer
número primo es 2, sería la forma de 4q más 1. Por tanto, sería 2 por
4q más 1. Entonces yo tengo que el producto de 2 a Pn, si es de la forma
4q más 3, será 2 por 4q más 1. Si no lo multiplico por 2. Por tanto, el
producto sería 8q más 3. 3, 5, 7, 11, 13, vale, por ejemplo, Pn más 1,
17, sería 8q más 3. Y si puedo escribir de la forma, sería 4q más 1, 4q
más 3. Si es, por ejemplo, 8q más 6, yo tendría 8q más 6 más 1, vale.
El producto este P2, Pn, lo podría escribir de la forma 2, 4q más 1,
sería 4, vale. Y como lo pone, por 2 q más 1 más aquí, eh. 4. El
cuadrado de la q, vale, es de la forma 4q aquí, vale, sería 4q más 1, se
deduce que Pn no puede ser un cuadrado. Entonces, hemos visto que tenía
que ser de la forma 4q, vale, el cuadrado de un número, vale, o 4q más 1.
Por tanto, se deduce que Pn no puede ser un cuadrado, vale. Por tanto,
porque si es de esta forma, yo tendría el 2, vale, por 4q más 1, esto
sería igual a 8q. Bueno, esto es 3, pero bien, tendría el 2 por 4q más
3, o sea, si el número es de la forma 4q más 1, por tanto, sería 2 por
4q más 1. que esto sería 8Q más 2, o si es de la forma 4Q más 3 será 2
por 4Q más 3, por tanto sería 8Q más 6. Por tanto el producto este, o
sea el PN, que es el producto de P1, P2, PN más 1, sería 8Q en el primer
caso sería 8Q más 2 más 1 sería 8Q más 3. O si es por ejemplo 8Q más
6 sería 8Q más 6 más 1, si por ejemplo es este, sería el 3, el 4, el 5,
puedo poner por 2Q más 1 más 3. Puesto que el cuadrado de todo el número
entero es de la forma 4Q o 4Q más 1 se deduce que PN no puede ser un
cuadrado. Vamos a ver los resultados que hemos obtenido en P1. Cuadrado de
todo el número o 4Q más 1, por tanto se deduce que PN no puede ser un
cuadrado. Por tanto, porque si es de esta forma o es de esta forma yo no
puedo poner de la forma 4Q o 4Q más 1. Por estos tres ejercicios, el
último que hemos resuelto hemos utilizado cosas del 3 y cosas del 4. Bueno
aquí dice, hay la cifra final de esto, 1 factorial, más 2 factorial, más
3 factorial, más 100 factorial. O sea, la cifra final de esta suma. Bueno,
este parece difícil, pero no lo es mucho, ya veréis ahora que no. Bueno,
1 factorial es 1, 2 factorial es 2 por 1 que es 2, 3 factorial es 3 por 2 y
por 1 que es 6, 4 factorial es 4 por 3 por 2 y por 1 que es 24. Entonces, 5
factorial es 120. Y a partir de aquí, a partir de... O sea, resultados que
hemos obtenido en 1. Todas terminadas. Todos terminan en 0, ¿vale? Porque
por ejemplo este sería, el 6 ya sería, ya tengo un 0, por lo tanto 5 por
0 será 0, ¿vale? Por lo tanto todas las cifras a partir del 5, ¿vale?
Todas serán 0. Por lo tanto las que me marcan las cifras, las numerales,
serán la suma esta. 1 factorial, 2 factorial, 3 factorial, 4 factorial. El
último que hemos resuelto hemos utilizado cosas del 3 y cosas del 4. Más
2. Bueno aquí 6. Hay la cifra final de esto, 1 factorial, más 2
factorial, más 3 factorial. Serían las cifras finales, o sea la cifra
final de las cifras finales. Bueno este parece difícil, este parecía muy
muy difícil. Bueno aquí hay un caso de inducción, ¿vale? Dice para cada
número natural impar... consideramos la suma 1 más 3 más 5 1 factorial
es 1 2 factorial es 2 3 factorial es 3 por 2 4 factorial es 4 por 3 por 2 y
por 1 que es 24 entonces 5 factorial es 120 y a partir de aquí a partir
del 5 entonces todos terminan en 0 porque por ejemplo este sería 6 ya
sería, ya tengo un 0 por lo tanto 5 por 0 será 0 por lo tanto todas las
cifras a partir del 5 todas serán 0 por lo tanto la cifra de las unidades
1 factorial pertenece al 1 al cuadrado más 2 más 6 podemos la cifra final
3 más 5 sería junto a menos 1 y el último será 2k más 1 esto suponemos
que es igual a k más 1 aquí hay un caso de añadimos dice por factor cada
número natural impar 2 sustituimos la k por k más 1 n consideramos la
suma 1 más 3 más 5 hasta el término este demuestra que ese es un
cuadrado perfecto que es 3k más 1 al cuadrado cuánto vale es n mod más
2k más 1 este ya cumple que este se cumple igual a k más 1 al cuadrado o
sea probamos para 1 suponemos que se cumple para k entonces ahora tenemos
que probar que se cumple para k más 1 entonces bueno la suma de los
primeros elementos sería k más 1 por tanto yo tendría k más 1 al
cuadrado y añado para que vemos 2k más 2 más 1 será 2k más 1 es igual
a 1 al cuadrado desarrollo del cuadrado vale entonces suponemos que k más
1 sea s 2k más 3 1 más 3 más 2k menos 1 sería k al cuadrado 2k más 1
más 4 esto sería k más 2 al cuadrado suponemos que es igual a k más 1
al cuadrado pero esto cómo lo puedo poner suponemos que es igual a 2 al
cuadrado y entonces añadimos otro factor vale que sería a 2 2,
sustituimos la k por k más 1. Tenemos que ver que k más 1 también
pertenece a este punto. O sea, hasta el término este, nosotros hemos
supuesto que es k más 1 al cuadrado. O sea, hasta el 1 más 3 más 5
más... Ya lo tenemos probado. Por tanto, deducimos que k más 1 pertenece
a este y 2 está más 1. Este ya cumple, que este se cumple esta
hipótesis. Es igual a k más 1. O sea, probamos para 1, suponemos que se
cumple para k. Por tanto, tenemos que probar que se cumple para k más 1.
Entonces, bueno, la suma de los primeros elementos... Es k más 2 al
cuadrado, que es k más 2, lo puedo poner. k más 1 al cuadrado y añado
este factor, que sería 2k más 2 más 1. Por tanto, será 2k más 1 y
cumple eso. El principio de la cuestión siempre es que yo lo pruebo por 1,
veo que se cumple. Entonces, si se cumple por 1... Yo supongo que se cumple
para k. Entonces, tengo que probar que se cumple para k más 4. Que esto
sería k más 2 al cuadrado. O sea, la s, o sea, que k más 1 lo puede
poner al conjunto s. Y por tanto, por el principio de la instrucción,
entonces es igual que... Bueno, entonces, de entrada, la suma esta sería n
al cuadrado. A ver, yo tengo... Esto es una progresión geométrica. 1 más
3 más 5 más 2. ¿Cuántos sucesivos? Más... Ya lo tengo probado. 2.
Decimos que k más 1 pertenece a s, entonces... El primero más el último
sería 4. Porque si lo equivale a 2, va a sumar 1. 2k más 1 más 2k más
3. Sí. Por tanto, tengo k al cuadrado más 4k más 4. Vamos a ver. Sí,
bueno. Es k más 2. El cuadrado, que es k más 2, lo puedo poner. k más 1
más 1, ¿vale? Para que la suma me da n al cuadrado. Sustituido k por k
más 1. Pero esto aquí, en principio de la instrucción, siempre lo pruebo
por 1. Y ahora me dice... Veo que se cumple. Sn, entonces, si se cumple por
1, yo supongo que se cumple para k, ¿vale? Entonces tengo que probar que
se cumple para k más 1 también. Por el principio de la instrucción,
entonces ya se cumple para todo. O sea, la s, o sea, que k más 1 pertenece
al conjunto s. Y, por tanto... Por el principio de la instrucción,
entonces s es igual que n. ¿Vale? Sí. Bueno, entonces, de entrada, la
suma esta sería n cuadrado, ¿vale? A ver, yo tengo, entonces, una
progresión. Se tiene que probar de esta forma. Ya se ve, ya se ve. Yo
tengo n cuadrado. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. Yo tengo que ver si
la suma es igual a n cuadrado. Pero esto aquí pedí aprobarlo, entonces,
aquí no tengo que probar. Y poco a poco, utilizando algunas series de
propiedades. Esto es igual, ¿vale? Es n es igual a n cuadrado. Entonces,
por tanto, tengo que hacer esto, ¿vale? Por propiedades de las
congruencias, probar que el resto esté. Es igual a 1. Vale, dice probar.
¿Cuánto vale? Vale, por tanto, es n mod n más 1 es igual a n cuadrado.
Aquí mod n más 1. Se tiene que probar de esta forma. Ya se ve, ya se ve.
Entonces, yo tengo n cuadrado. ¿Vale? Dividir. Echando el propio. Sí,
sí, el resto es 1, pero lo tengo que probar, pero no haciendo la
división, sino un poco más. ¿Vale? Es que aquí n cuadrado de entre n es
n. Bueno, no sé si lo contarían bien, ¿eh? Pero en principio. En
principio, si no se sabe, no tal, ¿vale? Entonces, está aquí, ¿vale? Yo
tengo una propiedad que hemos visto aquí. N mod n más 1 es igual a menos
1 mod n más 1 por n. Entonces, si multiplico, ¿vale? n por n cuadrado mod
n más 1 sería menos 1 por menos 1. Y todo así, menos 1 por menos 1 es 1.
Vale, entonces, aquí lo tengo que probar un poco. Es igual a 1. Utilizando
alguna serie de propiedades. ¿Vale? Yo he probado que es n. Es igual a la
división. Y aquí lo pruebo un poco más técnicamente. Tengo la teoría
que esta pasa aquí. Hemos utilizado las propiedades de las congruencias,
¿vale? Que os he dicho. Esto es igual a 1. Y el resto, este es igual a 1.
Bueno, aquí hay otro ejercicio que también es por inducción, que este es
un poco más difícil. ¿No? 1 al cubo más 2 al cubo es n, mod n más 1 es
igual a n cuadrado, mod n más 3 y ahora tengo que hallar esto sea ese el
subconjunto de n para el cual se satisfacía el propiedad bueno, esto ya
sería la solución sí, sí, el resto es uno, pero tengo que probar pero
no haciendo la división, sino un poco más entonces nosotros consideramos
un conjunto ¿vale? para el cual se satisfacía bueno, no sé si nos
sentaremos claro vale, uno al cubo no se sabe entonces está aquí, ¿vale?
yo tengo una propiedad que hemos dicho pruebo para n igual a 1 y ahora
menos 1 que se cumple para k entonces si multiplico se cumple n por n
sería n al cuadrado más 2 al cubo sería menos 1 por menos 1 mod n más 3
menos 1 es 1 entonces yo tengo que n al cuadrado mod n más 1 es igual a 1
mod n más 1 ahí lo he probado haciendo la división y aquí lo pruebo un
poco más técnicamente de la teoría que estamos haciendo bueno, entonces
yo aquí lo que sí que hago añado otro factor bueno, aquí hay otro
ejercicio que también es por inducción que este es un poco más difícil
por la propiedad de inducción 1 al cubo más 2 al cubo más 3 al cubo más
n al cubo es igual a 1 más 2 más 3 más n al cuadrado más k más 1 punto
dn vale, entonces aquí sí que utilizamos la suma de los términos de una
progresión 1 más 2 más 3 es los términos de una progresión aritmética
para el cual se satisface nosotros tenemos claro que k más 1 es igual a 1
n por a sub 1 más a sub n para n igual a 1 y ahora tengo yo supondré que
si cumple primero más el último por el número de 3 en el 1 por el sumo
de los términos en la progresión aritmética de diferencia o al 1 más k
al cubo es igual a 1 más 2 más 3 sumando 1 encuentro el 2 sumando 3 por
tanto la razón en este caso o la diferencia es 1 por tanto utilizo la
fórmula esta en vez de poner esto podré k Por K más 1 partido por 2
elevado al cuadrado. Y esto sería K más 1 al cuadrado. Entonces yo aquí,
entonces si hago esto, ¿vale? Añado al cuadrado, K más 1 al cuadrado
partido por esta K, ¿vale? Añado y ya he hecho K más 1. Después hago el
mínimo cúbico, ¿vale? Por la propiedad de inducción se cumple que los K
primeros cubos, el cuadrado y este cuadrado, y este sería 2 al cuadrado
que es 4, por lo tanto el 4 pasaría multiplicando. Vale, entonces aquí
sí que utilizamos, ¿vale? La suma de los términos de una progresión.
Vale, entonces bueno, aquí yo lo que hago es K, pues saco de una
progresión aritmética de razón 1, ¿vale? O sea, K más 1 al cuadrado,
entonces es K, K más 1 es N por A sub 1 más A sub N partido por K más 1.
El último es K, me quedaría K al cuadrado, entonces el cúbico 4 por K
primero más el último por el número de términos y parto. Esto me
quedaría K al cuadrado más 4 al cuadrado. Entonces aquí yo veo que esto
sería, ¿vale? Sería K al cuadrado más 2, K más K es K más 2 al
cuadrado. La razón en este caso o la diferencia es que sería K más 1.
Por lo tanto utilizo la forma esta, ¿vale? En vez de poner, entonces este
sería al cuadrado y este también, ponga K más 1 partido por 2 elevado al
cuadrado. Esto sería K más 1 al cuadrado. Por lo tanto deducimos también
que esto, ¿vale? K más 1 al cuadrado. K más 1 al cuadrado partido por 2
elevado al cuadrado, ¿vale? Y aquí ya más 1 pertenece a este. Después
hago el mínimo cúbico, ¿vale? Si primero he hecho esto, ¿vale? Este es
de inducción, sí que va al cuadrado. A ver, no salen siempre, pero este
sería 2 al cuadrado, que es 4, por lo tanto 4 me pasaría multiplicando y
me quedaría K más 1 al cubo, ¿vale? No es tan poco, también está, pero
no es tan bien nada. Entonces, bueno, aquí yo lo que hago, ¿vale? Pues
saco factor común K más 1, ¿vale? O sea, K más 1 al cuadrado. Bueno,
este sí que aquí ha picado dos cosas de inducción, pero el próximo día
lo haremos de una manera más fácil, ¿vale? Aquí digo, estudie para qué
números enterrados me quedaría K al cuadrado 3 multiplicado a 4N por K
menos 2 al 4N más K. Son divisibles porque me quedaría K al cuadrado más
4K más K. Entonces, bueno, aquí yo veo que esto sería, ¿vale? Veo que
sería 3, o sea, si sustituyo N es 4K más K es K más 2 al cuadrado, N
será 3 a la 4 y 2 a la 4N sería K más 1, ¿vale? Entonces este sería el
cuadrado y este también, y 5 divide al sexto todo al cuadrado. Para N
igual a 2 decimos también que K más 1 menos 2 a la 8. Aquí, bueno, yo
podría calcularlo tal, pero aquí he utilizado suma por diferencia, que
sería... este es de inducción 3 a la 4 al cuadrado no salen siempre pero
en principio si que podría A más B 3 a la 4 por A menos B 3 a la 4 menos
2 a la 4 como este ya he visto que era múltiplo de 5 evidentemente el
producto este yo divido, este es divisible por 5 por lo tanto el resultado
de este aquí no me ha quedado bueno este sí que aquí el próximo día lo
veremos de una manera más fácil entonces hacemos lo mismo que el
principio para que números enteros N no seamos un conjunto S para el cual
se da la propiedad menos 2 a la 4N son divisibles por C a S lo hemos
probado inicialmente y suponemos que K yo pruebo para N igual a 1 veo que
es 3 vemos que N divide 3 a la 4K menos 2 a la 4 y 2 a la 4N será 2 a la 4
entonces sería potencia de inducción 6 y 5 divide al 6 entonces suponemos
que para N igual a 2 3 a la 8 entonces ahora tenemos que probar que se
cumple aquí yo podría calcularlo y tal pero aquí he utilizado suma por
diferencia que sería diferencia de cuadrados o sea 3 a la 4 al cuadrado
menos 2 a la 4 elevado al cuadrado puedo poner A más B 3 a la 4 más 2 a
la 4 por A menos B 3 a la 4 es aquí lo que decimos lo probamos como este
4K más 1 vale para ser A4 el producto es K más 1 menos 2 4 hemos
ejecutado este aquí no me afecta aquí pruebas por 3 a la 8 y 3 a la 8
exponentes esto sería 3 a la 4K entonces hacemos lo mismo que el principio
de inducción los exponentes consideramos un conjunto S para el cual esto
sería 2 a la 4K y hemos probado por 2 a la C a S entonces aquí y
suponemos que K pertenece a S esto sería para K me añado el factor este
es 2 tenemos que a la 5 divide menos 2 a la 4K porque ha puesto aquello de
la hipótesis a la 4K porque yo tendré por un lado hemos probado esto que
1 para 1 se cumple menos 2 a la 4K por 3 a la 4 y por otro lado le sumo el
mismo factor que 5 para K mayor evidentemente igual que 1 también entonces
ahora tengo que probar que se cumple para K más 1 ¿vale? entonces
Entonces, lo que tenemos sería que yo cojo los dos primeros, saco factor
común 3 a la 4 y me queda 3 a la 4k menos 2 a la 4k. Es porque lo he hecho
esto, porque yo por hipótesis de estímulo no he supuesto que este factor
es divisible por 4. Esto será 4, ¿vale? Entonces aquí saco factor común
2 a la 4k y me queda 3 a la 4 menos 2 exponentes. Esto sería 3 a la 4k por
3 a la 4k. Como por hipótesis de estímulo, este factor es 2 a la 4k, esto
sería 2 a la 4k, que es divisible por 5, evidentemente, si está
multiplicado por 3 a la 4k. Entonces aquí yo lo que añado es un factor,
¿vale? Lo tengo por hipótesis de estímulo. Añado el factor. Es 2 a la
4k. A la 4k, esto no sería divisible por 5. Menos 2 a la 4k. ¿Por qué
hago esto? Porque lo he probado antes que es división, ¿vale? Que yo
tendría, tengo que dividir el resto a 3 a la 4k menos 2 a la 4k y por otro
lado le sumo el mismo factor. Y por tanto, tenemos este factor, tengo que
compensar. Por tanto, los números 3 a la 4m menos 2 a la 4k son divisibles
por 5 para todo valor. Lo que tenemos, el siguiente que viene sería que yo
cojo los dos primeros, ¿vale? Saco factor común 3 a la 4k, menos 2 a la
4k. Estudie para qué es porque lo he hecho en números, en hipótesis de
estímulo, los números 3 a la 4m menos 2 a la 4n son divisibles por 5,
¿vale? Entonces aquí saco factor común de entrada a 2 a la 4k y me queda
3 a la 4m menos 2 a la 4n. Por tanto, lo descompongo. Entonces, yo tengo
que, como por hipótesis de instrucción, este factor 2 a la 4k menos 2 a
la 4k es divisible por 5. Evidentemente, si está multiplicado por 3 a la 4
sigue siendo divisible por 5. Por eso, aunque no sea un factor, este ya lo
tengo por hipótesis de instrucción. 2 a la 4k, esto no es divisible por
5, pero el factor 3 a la 4 a la 4 menos 2 a la 4 ya he probado antes que es
divisible por 5. Por tanto, ya tengo que 5 divide... A 3 a la 4k más 1
menos 2 a la 4k más 1, ¿vale? Por tanto, deducimos que k más 1 es 3 y
por tanto, deduimos que s es igual. Por tanto, los números 3 a la 4m menos
2 a la 4n son divisibles por 5 para todo el valor de n, ¿vale? El
siguiente que tengo, este es más para 7, pero esto es... Pues tengo esto
10, ¿para qué? 3 a la n menos 2. A la 2n mayores que 0, los números 3 a
la 4n menos 2 a la 4n son divisibles por 5. 3 a la n menos 2. Entonces,
bueno, aquí de entrada yo descompongo 3 a la 4n. Entonces, comprobamos que
para n igual a 1, ¿vale? Yo tendría para n igual a 1, pues tendría... 3
a la 2n menos 2 a la 4n y esto sería 3 calculadores dejan 2 calculadores
no os lo dejaba vale entonces esto sería 3 a la bueno esto es se ve que
por ejemplo para n igual a 1 es 3 a la 421 menos 2 a la 416 menos 16 es 65
que 65 no es divisible para n igual a 2 pues probaría lo mismo y entonces
me pasaría 3 a la 2n pero si que lo es para n igual a probamos para n
igual a 4 y para n igual a 5 y no es divisible por 7 pero si todo es para n
igual a probamos que para n igual a 1 yo tendría para n igual a 1 pues
tendría 3 a la 4 menos 2 a la 4n esto sería no es divisible por 7 y
tampoco lo es si lo es para n igual a 3 para n igual a 4 y para n igual a 5
no lo es vale por 7 pero si lo es para n igual a 6 entonces yo diría que
no no os lo dejaban vale entonces esto sería 3 a la 4 bueno esto ha salido
para n igual a 3 se ve que por ejemplo para n igual a 1 es 3 a la 481 menos
2 a la 426 la k por 2 quedaría esto me queda esto es 65 65 no es divisible
sería 3 para n igual a 2 sería 2 por 2 3 por 3 9 entonces tengo que ver
me queda el 6 pero si que lo es para n igual a 3 probamos para n igual a 4
y sea ese el conjunto n para el cual se está disminuyendo 7 divide a 3 a
la n entonces hacemos estas comprobaciones entonces nosotros vale para n
igual a 1 para n igual a 2 3 a la 4n menos 2 a la 4n no es divisible por 7
y tampoco lo es y si lo es para n igual a 3 para n igual a 4 y para n igual
a 5 no lo es pero si lo es para n igual a 6 entonces hacemos la hipótesis
de que esto me daría sería 3 a la 3 más 2 a la 3 y sustituyo la k por 2
y por 1 me quedaría 7 dividido, esto me quedaría 2 entonces si para n
igual a 1 3 sería 3 para k igual a 2 supongamos que k es 9 y tenemos que
probarlo para k más 1 me queda el 6 la k por k más 1 si hay ese conjunto
n para el cual se satisface que 7 dividido a 3 a la n más 2 a la n
entonces para n igual a 1 menos 1 y el 2 igual a 2 sería 3 por 2 k más 1
menos 1 entonces haciendo operaciones esto me quedaría 3 por 2k menos 1
más 6 y 2 también por 3 es compuesto a k menos 1 más 6 entonces aquí yo
pongo 3 a la 2k menos 1 por 3 a la 6 y aquí pongo 2 a la 3 2k menos 1 por
2 a la 6 entonces nosotros lo que hacemos es añadimos este factor que es
menos 2 a la 3k menos 1 por 3 a la 6 más 2 a la 3 y por otro lado lo
sumamos 2 a la 3 entonces dice 2k menos 1 por 3 a la 6 y este ya lo tenemos
entonces dice supongamos que k entonces lo que hacemos es probarlo para k
más 1 por tanto sustituimos por tanto queda 3 a la 2k menos 1 por k más 1
entonces es 3 2k menos 1 esto multiplicado por 3 a la 6 y aquí sacamos
factor k más 1 por tanto será 3 por 2 por k más 1 menos factor común y
el 2 sería 3 por 2k más 1 este y este no este y este esto me quedaría 3
por 2k menos 1 más 6 y 2 también por 3 2k menos 1 más 6 entonces aquí
yo pongo 3 a 2k menos 1 y esto por 3 a la 6 y aquí me queda 2 a la 3 2k
menos 1 por 2k entonces nosotros hacemos este 7 divide a este factor por
hipótesis este por un lado y por otro lado sumamos 2 a la 6 es 2k menos 1
por 3 a la 6 y bueno este ya lo teníamos que es este de aquí entonces lo
que hacemos es sacar el factor común de los dos primeros 3 a la 6 por
tanto me queda 3 a la 2k menos 1 es divisible por este factor de x uno es
por hipótesis y el otro 3 a la 6 y aquí sacamos el factor común en este
término y este por tanto yo aquí tengo que si este factor es divisible
por 7 y este de aquí también es divisible por 7 el número este no es
este sino este por tanto decimos que k más 1 pertenece a este y por tanto
ese es igual a n después hacemos otra hipótesis para n igual a 6k k igual
a 1, 2 entonces he cogido este tenemos que ver me queda esto y en este de
aquí me queda entonces tenemos 3 a la 2k menos 1 evidentemente que menos
para k igual a 1 me quedaría 7 divide a este factor por hipótesis 2 a la
6 y este 7 divide a 3 a la 6 y ya hemos visto que los factores es esto por
tanto es divisible por 7 vale entonces o sea bueno esto ya es otro otra
vale otro conjunto vale y que evidentemente es el producto de 5 para n
igual a 6k entonces vemos que para este factor es divisible ahora tenemos
que probar que uno es k y el otro no es porque entonces probaremos yo aquí
tengo que si este factor es divisible por 7 y este de aquí también es
divisible por 7 por tanto es el mismo ejercicio por tanto hemos cogido y
por tanto es igual después hacemos otra hemos cogido este para n igual a 6
y ahora hacemos esta igual a 1, 2 y entonces tenemos que ver que esto se
cumple entonces vemos que evidentemente que para k igual a 1 me quedaría 3
a la 6, 2 a la 6 que ya lo he probado arriba me quedaría 3 a la 6 menos 2
a la 6 que es igual a 665 y ya hemos visto que descompuesto en factores es
esto por tanto es divisible por 7 entonces o sea bueno esto ya es otra
entonces ahora tenemos que sustituir a k por k más 1 me queda 3 a la 6k se
da 3 a la k más 1 menos 2, 6 por k más 1 por tanto aquí hacemos k
parecido a s también aquí sería 3 a la 6k más 6 entonces probaremos 3 a
la 6k por 3 a la 6 2 a la 6k más 6 2 a la 6k por 2 a la 6 por tanto esto
sería de esta forma y añadimos el factor hemos cogido menos 2 a la 6k por
3 a la 6 hemos cogido este más 2 a la 6k por 3 a la 6 por un lado lo resto
de este factor y por otro lado tenemos que sumarlo y al próximo día
veremos otra entonces entre este factor por el principio de inducción y
este factor pues sacamos factor común 3 a la 6 por tanto me queda 3 a la 6
por 3 a la 6k menos 2 a la 6k y aquí sacamos factor común 2 a la 6k me
quedan 3 a la 6 menos 2 a la 6 por tanto este factor de aquí es divisible
por 7 por hipótesis de inducción y el factor común tenemos que sustituir
a la k por k más 1 por lo tanto me queda 3 a la 6k menos 2 6 por k más 1
por lo tanto aquí hacemos parecido antes aquí sería 3 a la 6k más 6 por
lo tanto sería 3 a la 6k por 3 a la 6 2 a la 6k más 6 2 a la 6k por 2 a
la 6 3 a la 6 menos 2 a la 6 entonces esto sería de esta forma y añadimos
el factor y por tanto es divisible menos 2 a la 6k por 3 a la 6 más 2 a la
6k por 3 a la 6 o sea por un lado menos 2 a la 6k lo resto de este factor y
por otro lado tengo que sumar por tanto yo ya pruebo si este factor por
hipótesis lo es y este factor lo hemos probado, por tanto todo el número
este sea divisible por 7 porque este factor sacamos factor común 3 a la 6
y por tanto ya concluimos que 7 menos 2 a la 6 y aquí sacamos factor
común 2 a la 6 me queda 3 a la 6 menos 2 a la 6 y para este factor por
tanto podemos suponer que hemos separado los dos pero en global es
divisible por 7 para n igual a 3k por 1 por 1 o 2 es divisible por 7
números 3k k igual a k sub 1 1, 2, 3 es divisible por 7 ¿eh? ¿vale?
bueno, este es más fácil tenemos que si t a la 2 a la 6 menos 2 a la 6 es
165 que descompuesto en factores 1, 7 y 19 y por tanto eso es divisible en
par o bien k es 2 entonces para k igual a 2 evidentemente pues bueno
sustituimos 2k por tanto yo ya pruebo que si este factor sería p igual y
este a 2 a la 2 lo hemos probado, por tanto todo el número este sea
divisible por 7 porque este factor lo es y este también k es 1 en par o
bien k es 2 y por tanto ya concluimos que es primo si t igual a 2k menos 1
es divisible entonces k es un número n igual a 6k menos 3 o bien k es
igual a 2 para k igual a 2 k menos 1 y para n evidentemente sí por 2k por
tanto podemos suponer ¿vale? que ahora hemos separado los dos podemos
poner que es para n igual a 3k y es par para n igual a 3k tenemos que k es
igual a 2k sub 1 k sub 1 igual a 1,2 distinto de 1 entonces para si q es un
número esta sería la k igual a 2 que lo hemos probado antes ¿vale? 3k
vale k igual a k sub 1 o k 1,2,3 ¿vale? es divisible por por 7 ¿vale?
bueno este es más fácil demuestre que si p a 2 por tanto si p k es igual
a 2q yo puedo poner 2 igual a 2q entonces k es un número impar o bien k es
x ¿vale? no es igual a 2q entonces p 8 9 20 21 23 24 2 elevado a q menos 1
para k igual a 2 suma por 2 2k no es divisible por 3, por tanto será p
igual a 2 menos 1 2q menos 1 o el 2q más 1 o bien casi 2 por tanto aquí
tendría tres números, k es un número impar, 2q o bien k es igual a 2
para k igual a 2, 2q más 1 estos serían dos números consecutivos hay
tres números consecutivos de tres números consecutivos ahora, si k 2
elevado a q es distinto de 2 tenemos que k sea igual a 2q o bien lo será
2q más 1 o bien lo será 2q menos 1, por tanto p evidentemente este factor
es divisible por 3 o este es divisible por 3 p sea divisible por 3 por
tanto, entonces aquí, si k tiene que ser un número impar otra forma de
verlo es tan fácil si k es igual a 2q 2 igual a 2q es producto de dos
números p es producto de este factor 2 elevado a q menos 1 p no puede ser
un número entonces k suma por diferencia y por tanto k tiene que ser impar
como 2q no es divisible por 3, enunciado, ¿vale? el número anterior era
esto 2q menos 1 o el 2q más 1 se ha divisido porque si p es primo entonces
k es un número impar o bien, aquí tendría tres números consecutivos 2q
si suponemos que k es distinto de 2 y es par llegamos a estar por tanto, de
tres números consecutivos en este caso 2 elevado a q no es divisible por 3
llegamos a una contra o bien, lo será 2q más 1 o bien, lo será 2q menos
1 por tanto, p, evidentemente si este factor es divisible por 3 o este es
divisible por 3 p se ha divisible por 3 aquí es de aplicación entonces,
aquí k tiene que ser un número impar otra forma de verlo es más fácil,
¿vale? sería este, ¿vale? igual, ¿vale? y entonces es producto de dos
números 811, p es producto de si este factor puede ser primo, ¿vale? por
tanto, p no puede ser un número primo porque entonces k ¿vale? y por
tanto K tiene que ser impar la raíz de 811 es 28 y pico ¿vale? en el
calculador esto se tendrá que hacer un poco por tantillo ¿vale? entonces
aplicamos aquello demuestre que si P es primo, entonces K es un número
impar o bien K es 2 ¿vale? que K es 2 lo hemos puesto si suponemos que K
es distinto de 2 y que es par ¿vale? ¿vale? llegamos a esta
contradicción ¿vale? y por tanto en este caso en este caso K no puede ser
par ¿vale? que es lo que tiene que ser K tiene que ser un número impar
¿vale? si vemos que si es par, llegamos a una contradicción si A es un
número entero mayor que 1 entonces si para todo aquí es de aplicación de
aquello igual que raíz de A P no divide A significa que A es primo ¿vale?
tanto aquí sí que aplicaremos esto en el teorema este ¿vale? para los
números primos hasta el 811 si no es divisible por uno de estos o sea la
raíz de 811 es 28,46 por tanto el siguiente entero es el 29 la raíz de
811 para números menores directamente menos entonces aplicamos P aquello
de menor que 21 por tanto tengo que probar ¿vale? números primos 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19 o 23 ¿vale? entonces como no es divisible por ninguno de
estos por tanto el número es primo ¿vale? sigue para la calculadora sí,
sí, bueno no sé esto son ejercicios que a ver el examen este el año
pasado cambiaron de profesor bueno bueno este es más fácil que el otro
que hemos hecho o sea si es un número peor que uno entonces si para todo a
veces preguntan también que antes no preguntaban que raíz de A P
preguntan algo de teórica que A es no rebuscada pero vale la pena de
también repasarse un poco la teoría El día 21 me parece que está
programado. La raíz de 811 es 28,46. Pero sí que de teoría a veces no
demostraciones. Y me parece que el año pasado cambiaron de libro y tal.
Porque había gente que no se lo compraba. Hoy hemos hecho, bueno, hemos
hecho los tres primeros, o sea, a veces preguntan también que antes no
preguntaban. Hay tres temas, pero en el tema consta de no rebuscar, pero
vale la pena de también repasarse un poco. Después haremos el día 21. El
próximo día, el lunes que viene, me parece que está programado los tres,
que son ecuaciones biofánticas, son realidades y sistemas de numeración.
Después el tema siguiente es el de teoría de grafos, pero sí que de
teoría a veces pregunta no a demostraciones que hay de grafos, pero algún
teorema o alguna cosa de estas. Y la última parte, otro día haremos el
tema 3. Bueno, estos serían los dos temas básicos. Bueno, todo el libro
más importante de Steele vino a Vionington. Y los dos últimos apartados,
3, 4 y 3, 5, bueno, aquí no preguntan ya mucho. Pero básicamente, bueno,
es esto, ¿eh? O sea, el próximo día haremos cosas grandes. Porque a
veces, o dos revistas, no sé, básicamente. Yo aquí he puesto un poco de
resumen de los autores del libro y me parece que quieren que se compre el
libro y tal, porque había gente que no se lo compraba. Entonces, hoy hemos
hecho, bueno, yo no digo que os miréis, que hemos hecho los tres primeros,
o sea, hay teóricamente tres temas, ¿vale? Sí que hay tres temas, pero
el primer tema consta de seis apartados. No hay ninguna pregunta, ¿eh?
Ningún teorema o alguna cosa. No es muy larga, pero el próximo día sí
que los voy a preguntar. Y el tipo de ejercicios ya veis los otros tres,
que son ecuaciones biofánticas, congruencias y sistemas de numeración.
Aquí había ejercicios que a lo mejor son un poco difíciles, pero hay que
que son fáciles, ¿eh? O sea, bueno, el examen de todas las formas es
bastante sencillo, ¿vale? Y la última parte, que aquí a este algoritmo
lo diaremos, pero más que nada, tema 3, el apartado es 1, técnicas
básicas, permutaciones, variaciones y combinaciones, que es lo más
importante, y el video de Newton, que es lo más importante para las
ecuaciones 3, 4 y 3, 5. El principio de inducción, que esto está en el
tema 3, básicamente es esto, 1, 4, 1, 5 y 1, 6. También es aconsejable
hacer la... Yo aquí he puesto un poco de resumen de teoría, pero con un
ejercicio, déjame ir ahora a un ejercicio, que suele ser aquí. No, esta
materia... Yo no digo que os miréis... Es bastante fácil. Bueno, bastante
fácil. Arraja tabla la teoría, pero en principio... Sí que algunas
cosas, ¿vale? Algunas cosas... Muy probable que pueden entrar alguna
pregunta. Pero la otra sí que... Yo veo mucha gente que no lo hará, pero
que no es matrícula nueva. Y el tipo de exámenes ya veis, no sé si vais
yendo, no sé si van un poco, porque es un examen muy abstracto. Aquí
había ejercicios que eran un poco difíciles. Aparte hemos hecho la
matemática y todo, pero después... El examen de todas formas es bastante
sencillo. Las estructuras y todo esto se cumplen. Un poco. Es importante
que aquí en la otra parte hay un algoritmo de Euclides, pero más que
nada... Casi siempre entra alguna cosa de complejos, que no es fácil, pero
es una cosa que es más asequible, no es tan abstracta. Pero lo que es la
parte de las estructuras y todo esto... Esto es importante para las
ecuaciones de orden y todo esto... El principio de insolución, que esto
está en el tema 3, ¿vale? Pero esta no está en principio... Pero esto
sí que vale la pena ir manejándolo un poco, ¿eh? En principio digo...
También es aconsejable hacer la P... La P... ¿Vale? Hacer una charla de
profesor... Poner un ejercicio, déjame de ahora, déjame de ahora
también. Que suele ser fácil. Pero sí que comparando con el otro año...
No, esta materia... Sí que pregunta a ver si se trabaja, es bastante
fácil. Es bastante fácil. Tanto la materia... Es asequible para... Es
bastante fácil. No hay ninguna materia, ¿eh? Pero es... No sé, yo he
corrido mucho. Muy probable que algún ejercicio que haya quedado un
poco... La otra sí que yo veo mucha gente que hay cada año, ¿vale? Que
no esté en matrícula nueva. Y son exámenes... Exámenes que son... No
sé si cogéis, ya veréis que son exámenes muy abstractos y tal. Y es un
poco difícil. O sea, la parte que hemos hecho hoy de lógica, matemática
y todo, no. Pero después, cuando entran relaciones, entran estructuras y
todo esto, se complica un poco. En la otra parte, bueno, casi siempre entra
alguna cosa de complejos, que no es fácil, pero es una cosa que es más
asequible, no es tan abstracta. Pero lo que es la parte de estructuras y
todo esto, hay ejercicios que relacionan. Bueno, este primero es un poco
fácil de entender. El segundo también. La asignatura, ¿no? Bueno, en
principio no es que sea fácil, pero es la diferencia de estos juegos. El
día 21, que me parece que es el lunes que viene, hará una charla del
profesor y vale la pena que la escuchéis a ver qué dice. Pero sí que,
comparando con el otro año, sí que pregunta a veces alguna demostración
muy complicada de qué es el libro. Este, por ejemplo, a veces si te ponen
esto un poco... Se ha corrido mucho, pero a veces se lo ponen así. Un
ejercicio que haya quedado un poco... ¿Va bien utilizar esto de
elaboración? La división por 4, cuando te ponen esto. Y aquí llego
fácilmente de esta forma a la condición, ¿vale? O sea, yo sé que el
residuo puede estar entre 0 y 3, ¿vale? Entonces, si es 0, evidentemente,
el número este 0, por tanto, P no es primo, porque sería 4N, ¿vale? Si
es 2, esto sería 4N más 2, por tanto, podría sacar factor común del 2 y
el 2 tendría que dividir al P. Por tanto, el P no sería... Sería primo.
Por tanto, solo puede ser de la forma 4N más 1, ¿vale? O 4N más 3.
Bueno, este primero es fácil de entender por lo que... El segundo
también, ¿no? Bueno, digo, no sé. Este, ¿vale? De la diferencia de
aquí, como es que no puede ser muy bien de 3. Y revisando un poco lo que
hemos visto antes, ¿vale? También ponemos que P es 4Q más R. Residuo, en
este caso, en vez de poner 4N, ponemos esto Q. Pues lo mismo. Está entre 0
y menor que 4, o sea, siempre el resto... Este, por ejemplo, a veces, si te
ponen esto... Entonces, si P, el primer número primo es 2, así... 2 es...
Quieren utilizar esto de la división por 4. Cuando puedo poner un número
de entrada aquí, llevo exactamente de esta forma a la condición de los
otros. O sea, vale. O sea, que el residuo puede estar entre 0 y 3. A 3.
Entonces, si es 0, el número de primos son impares. Por tanto, P no es
primo. Por tanto, sería 4N. Como que lo hemos visto en el ejercicio 4. Si
es 2, ¿vale? Esto sería 4N más 2. Así que se va a sacar la forma. 4Q
más 1. Por tanto, el P no sería primo. Por tanto, solo puede ser de la
forma 4N más 1. ¿Vale? O 4N más 3. 3 no es divisible ni por 2 ni por 4.
Por tanto, yo si tengo 2 por 4Q más 1 esto será 8Q más 2. También si
tengo 2 por 4Q más 3 podemos que P es 4. Si resumo 1, si a este factor
sumo 1 me quedaría 8Q más 3 Si a este factor y menor que 4 resumo 1 me
quedaría 8Q más 7. Entonces si P, el primer número primo es 2 más 1,
más 3 no puede ser ni de la forma 4Q ni de la forma 4Q más 1. Sacando el
2 yo sé que el producto de los otros PN no es un 3 cuadrado para ser un
cuadrado tendría que tener la forma 4Q más 1 o 4 impares, por tanto el
producto es impar. Aquí este, por lo que hemos visto en el ejercicio 1, 2,
3 factorial al ser impar tiene que ser de la forma 4Q más 1 o 4Q más 3
Entonces las otras ya terminan en 0. Por tanto, lo que me marca la cifra de
las unidades por tanto, yo si tengo 2 es la suma de 4Q más 1 yo tendré
que eso será 8Q más 2 o bien si tengo 2 al menos más 3 será 8Q más 3
todos ya terminan en 0. Por tanto, en principio a este factor de aquí, el
7 me quedaría 8Q más 3 y a este factor de inducción le sumo 1, me
quedaría después 8Q más 7 que podría poner si quiero la suma de esto de
esta forma, 4Q más 1 más 3 este es lo denunciado no puede ser ni de la
forma 4Q ni de la forma 4Q más 1 no es error esto es PN2O 2N más 1
cuadrado la suma de 2 impares es un cuadrado 4N más 1 o 4Q aquí este es
fácil yo sé que es N cuadrado por tanto, N cuadrado me da 1 entonces
aquí lo que hay es que probarlo por las propiedades de las congruencias
que hemos visto por tanto, entonces aquí pues Que veo que las otras ya
terminan en 0, ¿vale? Por tanto, lo que me marca la cifra de las unidades,
¿vale? Que es en lo que termina, es la suma esta. 1 más 2 más 6 más 24.
Para el problema de 5 factoriales, todos tienen... Entonces, esto sería
muy bien. Exacto. En el cuadrado, todos ya terminan en 0, ¿vale? Por
tanto, en principio, pues, no lo pruebo, ¿vale? Yo sé que la... Aquí, el
7 es 1 clásico de estos de inducción. N, ¿vale? Después, nosotros
probamos que la suma de esto, de 1 a n cuadrado... Este es lo enunciado,
¿eh? Pero este tenía que haber puesto... Como 2n más 1 es menos 1,
¿vale? Este tiene el mismo de enunciado. No es error, ¿eh? Y entonces,
por tanto, yo creo que... 2n menos 1, 2n más 1. n por n es n cuadrado. La
suma de los impares es un cuadrado. n cuadrado está n. Esto es un
cuadrado. Pero este es el enunciado, ¿eh? n más 1. Por tanto, si lo
multiplico aquí, ¿vale? Yo sé que es n cuadrado. Por tanto, n cuadrado,
si lo divido por n más 1, me da 1. Me queda n cuadrado. Entonces, aquí,
lo que hay es que probar cuál es la suma de n más 1. Es menos 1 al
cuadrado. Eso, entonces, aquí, por tanto, tengo que el residuo, en este
caso, es 1, ¿vale? Aquí lo hemos visto raramente, ¿vale? En principio.
Aquí, el de inducción, pues, bueno, aquí igual, ¿vale? Es el clásico
que hay de inducción. La inducción, ¿vale? Que aquí, 1 al cubo más 2
al cubo más 3 al cubo más 4. Entonces, esto sería 1 más 2 más 3 más k
elevado al cuadrado. El resto, ¿vale? Yo lo pruebo para 1, ¿vale? Veo que
como el cubo es igual a 1 al cuadrado, ¿vale? Entonces, supongo que es
verdad para n. Vemos que es verdad para tal. Suponemos que para k es
verdad. Entonces, probamos que para k más 1 también es igual. Es menos 1,
¿vale? Este tiene el mismo residuo. Esto, ¿vale? Utilizando que va a
sumar. Y entonces, por tanto, y que multiplico k por k más 1 partido de
cuadrados, menos 1 porque damos a la que k más 1 también pertenece a s,
por tanto, es lo mismo que la s es menos 1. Pues nosotros, que hay de
inducción, por sí mismos, el próximo día, tiene que ser más
fácilmente. Para el examen, aquí lo he puesto en cuadrado, porque aquí
no es más 1, pero igual a menos 1 al cuadrado, no podemos volver de
entrada si no te piden, pues, lo que quieras, ¿vale? Este es 1. Tengo que
el residuo rebuscado para hacerlo por inducción. Y os he visto claramente,
¿vale? Pues, ya veremos que esto es mucho más fácil. Aquí hay de
inducción. Pues, bueno, aquí igual. Bueno, aquí pues lo hacemos lo
mismo, ¿vale? Entonces, nosotros probamos que de entrada para n igual a 1,
o más 4 al cubo, 3 a la 4 igual a 1 más 2 más 3 más k elevado a 4. Me
da 65 para 1, ¿vale? Veo que 1 al cubo es igual. Entonces, pues, probo
para n igual a 2. Como puedo descomponer 3 a la 4 más 3 a la 4, ¿vale?
Entonces, pues, bueno, entonces vemos que si este ya es divisible por 5 lo
otro, evidentemente, es verdad para tal, suponemos que para K es verdad,
vale, entonces probamos que para K más 1 también lo es este ya hemos
probado esto va aquí pues digo que la suma hemos probado para 1 suponemos
que se cumple para K entonces llegamos a K más 1 también pertenece a S
por tanto, la S después los otros que hay de inducción que veremos el
próximo día que lo resolveremos más fácilmente, en el examen aquí lo
he puesto en inducción porque hacíamos inducción, pero en principio en
un examen lo puedes resolver de entrada si no te piden por el método que
quieras este es un poco rebuscado para hacerlo por inducción, o sea no es
el mejor método, el próximo día veremos que esto es mucho más fácil de
encontrar bueno, aquí pues lo hacemos lo mismo, vale, entonces nosotros
probamos que de entrada para N igual a 1 vale, tenemos que 3 a la 4 2 a la
4 es 65 que es divisible por 5 entonces pues pruebo para N igual a 2 como
lo puedo descomponer 3 a la 4 más 2 a la 4 vale, entonces pues entonces
vemos eso es que hemos hablado eso es eso este ya es divisible por 5 el
otro evidentemente ya no tengo que probar nada por tanto, si tengo dos
factores de un número y uno ya es divisible por 5 este ya hemos probado
que antes o era por tanto ya lo es entonces aquí pues igual hemos probado
para 1 suponemos que se cumple para K entonces probamos que para K más 1
también se cumple ah bueno, eso es lo que habíamos hecho aquí está en Q
a ver cómo se llega a K más 1 de la forma 8K más 1 igual a 4Q y aquí en
el ejercicio y ahora esto vamos a 1 pero no sé si claro vale bueno Bueno,
es que yo el tío ahora no sé si encena, es que lo único que me encena
ahora. Sí, sí, sí, ya lo veo, ya lo veo. Eleva al cuadrado. Ah bueno,
eso es lo que habíamos hecho aquí. Aquí estamos, creo que se ha
desconectado la conexión. Bueno, es que yo el tío ahora no sé si encena,
es que lo único que me encena ahora. Bueno, eleva al cuadrado. Bueno, eso
sí, por caso yo habría de escribirlo bien como se ve en los juegos. Me
parece que se ha desconectado la conexión. Gracias. Bueno, aquí vais más
o menos las técnicas, esto, lo veis, esto de la introducción, ya se lo he
contestado. Bueno, o sea, aquí, por ejemplo, bueno, lo que pedía él, a
veces un número, ¿vale? Por ejemplo, yo encuentro que es 8, yo qué sé.
entonces yo tengo que poner esto como un número si fuera un número
entonces como me tiene que poner aquí vais más o menos las técnicas ¿lo
veis? ya se ve o sea aquí por ejemplo lo que pedía él a veces es un
número yo encuentro que es 8 esto no es como el tema hoy que hemos hecho
de simbología matemática que sí que había, hemos hecho algunos
ejercicios pero hoy con el teorema aquello de lo que implica y las leyes de
Morgan y las definiciones de la doble negación prácticamente es un poco
de eso aquí a ver un principio importante principio de una división
aquello de la división que hemos visto de propiedades de lo operado el
teorema de la división de Euclides de ir cogiendo cada vez los restos no
la teoría el ejemplo este es el ejemplo de la epidemia para el apartado 4
el tema 1 que se utiliza ¿eh? bueno, esto de el teorema es es bien lo
mismo ¿vale? bueno, y los ejercicios estos sí que vale la pena mirarlos
porque a veces no es como el tema hoy que hemos hecho de simbología
matemática que sí que había que estos me parece hoy están resueltos
aquello de lo que implica y las leyes de Morgan más pero los ejercicios
que están aquí están todos resueltos prácticamente es un poco de
soltura y luego lo tienes ya hecho ¿no? bueno, esto sí que es ir
preparándolo poco a poco ¿vale? mirándolo ¿vale? el tipo de inducción
aquello de la división o si hemos visto de las propiedades de lo que era
normal hacer cuatro cosas dar cuatro ideas pero bueno no es lo básico
¿vale? esto del del teorema de la división de Euclides, ¿vale? De ir
cogiendo cada vez los restos, ¿vale? Bueno, esto no es la descomposición
de números, bueno, aquí poniendo estos números primos y tal, el teorema,
pero esto es una cosa que es con la necesidad de... para el tema 1 no es
nada más que aquello en principio. Bueno, esto de lo de principio, pues lo
más importante, bueno, un poco básico, si lo hemos hecho bueno, esto de
test de primalidad números primos grandes, esto más que nada con los
ejercicios, esto sí que vale la pena mirarlos, porque a veces no lo
pedirán, ¿vale? A veces los mirar, pero no los preguntan principio de
inducción, esto es importante para que hay distintos ejemplos que están
más soltos en el... el principio y tal y estos que van aquí están
todos... Esto yo no creo que lo pregunte porque la demostración es...
Bueno, esto sí que es ir preparándolo poco a poco, ¿vale? Y mirar las
demostraciones con cada... Aquí damos cuatro ejemplos y tal o sea que...
Saber, por ejemplo, que esta suma de 1 puede ser una progresión
aritmética en esta forma, ¿vale? Porque a veces se puede salir en otro
ejercicio para hacerlo por inducción, ¿vale? Probar o algo Esto sí Esto
de la descomposición de números en principio fuerte imponiendo, bueno, si
acaso sabes los primiados del teorema pero esto es una cosa que es conocida
ya de cuando uno va descomponiendo que está puesto un poco más formado
pero no es nada más que aquello Esto de poder descomponer números por
ejemplo, bueno, aquí lo más importante es que A a la n-1 Bueno, esto de
test de primalidad A n-1, A n-2 Más que nada como una cuotilla, ¿vale?
Para uno, ¿vale? Pero también aquí lo hace por inducción ¿Vale? Cosas,
cosas Esto es importante Bueno, aquí hay distintos ejemplos pero más que
empollarse el principio y tal Por ejemplo, aquí Esto de la demostración
No, esto yo no creo que No es error mío de copiarlo sino que en un enciado
de examen tampoco va a mirar las demostraciones Y después ya, al próximo
día haremos ejemplos y tal Saber, por ejemplo, que la suma de la
demostración y sobre todo lo que pregunta bastante de aritmética en esta
forma es lo de congruente y a salir en otro ejercicio para hacerlo por
inducción, ¿vale? Es importante esto de RSA y todo esto como un principio
fuerte también esto, bueno, si acaso saber un enunciado pero tampoco la
demostración, la dictografía y tal que bueno, esto no básicamente es
aquí para un tiempo esto de poder descomponer números sistemas de
inundaciones que haremos aquí y después a menos uno por N-1 casi casi un
ejercicio generalmente de cada ejercicio para uno de cada tema con
distintos apartados y a veces alguna cuestión con esas cosas listas vale
la pena mirar sobre todo esto de grafos o de poner a veces el año pasado
por ejemplo años anteriores bueno, el año pasado es cuando se ponía esta
materia que dice apuesto N y es N no es error mío de copiarlo sino que en
un enunciado no había hasta puesto N y después ya al próximo día
haremos ecuaciones biofánticas y no está bien y sobre todo lo que
pregunta bastante de esta parte es lo de congruencias y si te vale la pena
escucharlo primero las orientaciones que da es importante de mirar esto de
RSA y todo esto como también vemos en la familia y tal está bien bueno,
de mirarse no sé si tenéis alguna otra duda o algo de criptografía y tal
que bueno esto más básicamente es está aquí para notebook notebook por
curiosidad sistemas de innovación es un programa fácil muy bien y
después bueno, ya lo otro bueno, yo tengo me parece que ese grafo suele
entrar casi siempre casi un ejercicio generalmente de cada tema pone tres
ejercicios y suele poner uno de cada tema con distintos apartados y a veces
alguna cuestión teórica pues de alguna demostración sobre todo esto de
grafos o esto suele poner a veces el año pasado puso una demostración, o
sea años anteriores bueno yo el año pasado es cuando cogí esta materia
también y vi que en exámenes no no habían puesto problemas más
difíciles que los que ponía el nivel de problemas no es tan difícil,
solo que ahora pregunta y antes me preguntaban teoría, ahora preguntan
algo de teoría a ver qué dice el próximo lunes en la de esto y si vale
la pena escucharlo porque las orientaciones que da las sigue bastante, o
sea si dice mirar tal y entonces sí, mira esto vale la pena las
orientaciones del profesor no sé si tenéis alguna otra duda o algo ¿esto
es un pdf? sí esto es un pdf ¿con qué lo escribes? con notebook ¿con el
notebook? es un programa para escribir ¿pero es gratis o hay que pagar?
bueno yo tengo, me parece que sí que hay que pagar