Aquí hay más o menos una parámetros en la geográfica, ¿vale? Vamos a
ver primero, ¿vale? Las asíntotas verticales, o sea, lo que hacemos es
igualar a cero la... o sea, el de unidad, ¿vale? Escribamos al cero de
unidad lo que sería x cuadrado menos cuatro igual a cero, ¿vale? Por
tanto, entonces tendríamos que x igual a menos dos y x igual a dos son las
asíntotas verticales. Después, para las más asíntotas, o sea, cuando
tengo que el grado del numerador y el de unidad son el mismo, ¿vale? Yo
tendrán la asíntota horizontal. Buscamos el límite cuando x tiende a
más o menos infinitos para un lado, porque por otro tendrá la misma. El
límite este sería uno. Esto es claro, cuando el grado es el mismo, lo que
marca la tendencia de infinito es el término de mayoridad. Y aquí,
¿vale? Por tanto, sí. Podríamos límite cuando x tiene más o menos
infinito de x cuadrado menos uno partido por x cuadrado menos cuatro igual
al límite cuando x tiene más o menos infinito de x cuadrado partido por x
cuadrado menos uno. ¿Vale? Por tanto, entonces la asíntota horizontal
sería la recta y igual a uno. Bueno, después otra característica es que
se usa simetría par, ¿vale? Sustituyo x por menos x, tengo que menos x al
cuadrado es igual a x cuadrado. Por tanto, me daría f de menos x igual a f
de x, ¿vale? Por tanto, si sea simétrica respecto al f y, ¿vale? Aquí
está hecho, ¿eh? F de menos x igual a menos x cuadrado menos uno partido
por menos x al cuadrado menos cuatro. Otros elementos que va bien buscar,
¿vale? Por ejemplo, son los puntos de corte con los x, ¿vale? Los puntos
de corte con los x como los hay. Igualo, por ejemplo, para hallar los
puntos de corte con el eje x, ¿vale? Igualo la función a cero, ¿vale?
Igualo la función a cero volando la función a cero me quedaría que el
numerador sería igual a cero. Me quedaría x cuadrado menos 1 igual a 0,
me quedaría x igual a más menos 1, por lo tanto serían los puntos de
corte cuando hay que x, serían el menos 1, 0 y el 1, 0. Después el punto
de corte cuando hay que y solo tendrá 1, en este caso sería para x igual
a 0, que sería menos 1 partido por menos 4, sería el punto 0, 1, 4. O sea
que t sub 1 menos 1, 0, t sub 2, 1, 0, t sub 3, 0, 1, 4. Si hallamos la
derivada, vemos que esta función, la derivada sería la derivada de un
cociente, me daría menos 6x partido por x cuadrado menos 4, 4 al cuadrado.
Entonces esta función, si esto lo igualo a 0, tendría que para x igual a
0 tendría un máximo, en este caso sería... ...parece... ...x menor que
0, la función sería creciente, o sea, aquí solo para ver el crecimiento
y el decrecimiento, fijaros que esto es positivo. x cuadrado menos 4
elevado a 2 cuadrados, por lo tanto me lo marca el numerador que sería
menos 6x, ¿vale? Por lo tanto, si cojo valores menores que 0, ¿vale? La
función me dará creciente, ¿vale? Y para valores mayores que 0, me dará
decreciente, porque la derivada será 0, ¿vale? Por lo tanto, el x igual a
0 tiene un máximo, por lo tanto, es aquí lo que... ...donde es creciente
en los intervalos menos infinito menos 2, y menos 2, 0, y decreciente en 0,
2, y 2 más infinito, ¿vale? Este, para atrás, por lo tanto sería
creciente aquí, ¿vale? Creciente aquí, ¿vale? Aquí en la parte esta
tendría aquí un máximo, ¿vale? Entonces ya se crecería aquí igual,
¿vale? Por lo tanto, al saber que la función, por ejemplo, es... ...que
es creciente... ...¿vale? Si la función fuera creciente, me vendría por
aquí, ¿vale? Aquí habría que soltar algún punto de corte, ¿vale? Como
siempre es decreciente, pues tiene que ser de esta forma. Aquí es
creciente, pues en menos infinito me va de la asíntota horizontal a buscar
la vertical, ¿vale? Después aquí... ...hay un salto porque hay la
asíntota, ¿vale? Entonces aquí sé que es creciente también porque si
fuera decreciente me vendría por aquí, pero como aquí es creciente tiene
que saltar aquí abajo, ¿vale? Entonces aquí hay el máximo, ¿vale?
Entonces aquí crece, va a buscar otro punto de corte y vaya a la otra
asíntota vertical, ¿vale? Aquí podría ser... ...podría ir para arriba
o ir para abajo, ¿vale? Como es decreciente, por tanto, va para abajo.
Más o menos significa respecto al eje anterior, ¿vale? Bueno, aquí hay
resolver esta inequación, ¿vale? Es X más 1, valor absoluto, mayor que X
menos 3, valor absoluto. ¿Vale? Esto la forma de hacerlo es elevar al
cuadrado, ¿vale? A cada lado, ¿vale? Y ir haciendo cálculos, ¿vale?
Vamos al cuadrado, ¿vale? Aquí, X cuadrado, X cuadrado, puedo cambiar de
lado, por lo tanto me marcharía, ¿vale? El 6X, esto es como si resolviera
una ecuación normal, ¿vale? De entrada, si no tengo que dividir por
negativo o multiplicar por negativo, ¿vale? Puedo cambiar de lado, no hay
problema, ¿vale? El problema es cuando tengo que dividir, ¿vale? En este
caso, por cambiar en ecuaciones, puedo cambiar perfectamente los términos
y no pasa nada, ¿vale? Ahora, cuando tengo que dividir, recibiría menos 2
cambios en todo el cuadrado. Aquí todo es positivo, ¿vale? En principio
aquí tengo 2 y 6 son 8X igual a 9 menos 1, ¿vale? Por lo tanto me
quedaría 8X mayor que 8X. Vale, por lo tanto me quedaría que 8X es mayor
que 1. Por lo tanto, como es estrictamente mayor, ¿vale? La solución
será del 1 hacia la derecha, ¿vale? Por lo tanto, sigo que del 1, ¿vale?
Por lo tanto, ya lo tendría dicho, ¿vale? Porque la solución sería la
semirrecta de 1 a más infinito abierto, ¿vale? Abierto quiere decir que
no cojo el extremo. Por decir 1, ¿vale? Y el extremo 1, ¿vale? Sería de
aquí hacia la derecha, ¿eh? Y el 1 a más infinito, ¿vale? Sin coger
el... Bueno, aquí me da otro... Otras funciones, ¿vale? F de X igual a X
más 1 partido por X. Y me dice que la composición FG de X es igual a X,
¿vale? Es igual a la identidad, ¿vale? Por lo tanto, se supone que las
funciones estéticas no me encargan nada. Pero, bueno, en principio, aunque
no lo sepa, lo puedo añadir. Va, fácil. Y dije, ¿cuál es la expresión?
La expresión de G de X, ¿vale? Por lo tanto, yo hago aquí lo que es
composición, ¿vale? F compuesto con G de X, ¿vale? Tengo que sustituir.
Como si buscara... Si yo busco F de 3, sustituyo la X por 3, ¿vale? Si
busco F de G de X, sustituyo la X por G de X, ¿vale? Aquí en la F
sustituyo la X por G de X, ¿vale? Por lo tanto, me de X como G de X. Por
lo tanto, será G de X más 1 partido por G de X, ¿vale? Y entonces...
Entonces, aquí yo tengo esta identidad, ¿vale? Y a partir de aquí tengo
que hallar G de X. Pues sencillamente, ¿qué hago? Paso el G de X aquí,
¿vale? Voy a pasar aquí multiplicando, ¿vale? Será G de X más 1 igual
a X G de X. Después lo pasaré al lado izquierdo y el 1, este cambiado de
signo, al otro lado, ¿vale? Entonces, ya despejaré G de X, ya lo tendré
que decirnos, ¿vale? Por lo tanto, me quedaría... Bueno, sacaría factor
común a g de x, me quedaría 1 menos x por g de x igual a menos 1. Por lo
tanto, me quedaría g de x es igual a menos 1 partido por g de x. Bueno,
aquí tenemos otro ejercicio que es de números con huecos, ¿vale? Me dan
un número con hueco, concretamente un cociente, ¿vale? Con el número con
hueco z igual a pi partido por 1 más i raíz de 3. Dice, hasta, bueno,
simplificar, hasta ponerlo en una forma binómica a menos bi. Por lo tanto,
yo cuando tengo esto, ¿vale? Tengo que multiplicar, o sea, tengo un
cociente, ¿vale? Para ponerlo en forma binómica, ¿vale? Tengo que
multiplicar numerador y denominador por el conculgado del denominador. En
este caso, el conculgado es de a más bi, ¿vale? O más ib, ¿vale?
Concludado de a más ib. O bi es igual, es a menos ib, ¿vale? Por lo
tanto, yo tengo que multiplicar por el conculgado, ¿vale? El conculgado de
1 más i raíz de 3 es 1 menos i raíz de 3, ¿vale? Por lo tanto,
multiplico numerador y denominador por 1 más i raíz de 3, ¿vale? Por lo
tanto, ¿qué me quedaría? Aquí abajo me quedaría una diferencia de
cuadrados, que sería 1 al cuadrado más i raíz de 3 al cuadrado, ¿vale?
Por lo tanto... i raíz de 3 al cuadrado sería 3i cuadrado, ¿vale? Sería
1 menos 3i cuadrado. Y arriba, pues, me quedaría 1i por 1 es i, ¿vale? Y
i por menos i sería menos i cuadrado raíz de 3, ¿vale? Después, i
cuadrado es menos 1, ¿vale? La raíz de menos 1, i cuadrado es menos 1.
Por lo tanto, abajo, ¿qué tendré? Tendré 1 menos 3 por menos 1, será
menos 3 por menos 1. 1 es 3, ¿vale? 1 más 3 es 4, ¿vale? Y arriba me
quedaría a menos i cuadrado es menos 1 por raíz de 3 sería menos raíz
de 3, ¿vale? Bueno, menos i cuadrado es menos 1, pero menos i cuadrado es
menos menos 1, por lo tanto, es 1. Por lo tanto, esto sería, o sea, menos
i cuadrado es menos 1. Por lo tanto, menos fuera, o sea, menos i cuadrado
es esto, ¿eh? Entonces, menos i cuadrado... Es menos 1 por i al cuadrado,
¿vale? Entonces, menos 1. i cuadrado es menos 1, eso es igual a 2, ¿vale?
Bueno, entonces aquí, decirlo de forma binómica, yo tendría raíz de 3
más i partido por 4. Por lo tanto, entonces, todo se pasa. Raíz de 3
partido por 4 más un cuarto de i, ¿vale? Esto. ¿Es que el segundo
número es el cuadrado? No. Si tienes menos i cuadrado... Bueno, con menos
x te pasa igual. Si tengo menos x cuadrado, ¿vale? Menos x cuadrado, esto
es menos 1 por x cuadrado, ¿vale? Con la i es lo mismo, ¿vale? Menos 1,
¿vale? Menos i cuadrado es menos 1 por i cuadrado. ¿Vale? I cuadrado, la
i, es la raíz de menos 1. Por tanto, i cuadrado es igual a menos. Entonces
tengo menos 1 por menos 1 es 1. Si i cuadrado es menos 1 y menos i cuadrado
es 1. ¿Vale? Bueno, esta es un poco teórica, ¿vale? Es decir, la
relación que existe entre los límites ordinarios y los límites por la
derecha, por la izquierda y por la derecha. Bueno, si los límites
laterales, f de x en un punto x igual a existen, quiere decir que tienen un
valor finito, ¿vale? O sea, números. Pero 3, 4, vale, existen, quiere
decir esto, ¿eh? ¿Vale? Y son iguales, entonces también existe el
límite ordinal. O sea, y una función puede ser lo que es, por ejemplo,
que el límite cuando x tiende a por la izquierda de f de x sea r1, ¿eh?
Por ejemplo, y el límite, cuando x tiende a por la derecha de f de x sea
igual a r1. Si r1 es igual que r2, ¿vale? Entonces existe el límite
global, ¿vale? Existe el límite cuando x tiende a de f de x. Es igual, en
este caso, a r1. Si son distintos, el límite no existe, ¿vale? Por tanto,
la propiedad es esta, ¿vale? Que existen los límites laterales y son
iguales, y entonces existe el límite global, ¿vale? O sea, en el límite
sabéis que nosotros, ¿vale? Para el límite, yo tengo a, ¿vale? Para el
límite tengo un intervalo muy cercano, ¿vale? Yo me acerco a por la
derecha y por la izquierda, ¿vale? Para que exista el límite yendo por
esta parte, yendo por esta, tiene que coincidir, ¿vale? Entonces el
límite es una aproximación por ambos lados y la función tiene que tener
al mismo tiempo, ¿vale? Entonces puede pasar que en los límites
laterales, ¿qué pasa? ¿Qué pasa? Yo solo calculo por un lado, ¿vale?
Por la izquierda, aquí sería a, por la izquierda, izquierda, y por aquí
para valores menores, y aquí por la derecha, por el otro lado. Puede ser
una función, ¿vale? Que por ejemplo, aquí tenga un salto, ¿vale? Aquí
tengo a, por ejemplo, y aquí pues hay un salto, ¿vale? O sea, la opción
es saltar y entrar, ¿vale? Si voy por la izquierda, me irá a parar aquí.
Si voy por la derecha, me irá a parar aquí, ¿vale? En este caso no
existiría los límites, habría un salto, ¿vale? Por tanto, el límite no
existe. Por tanto, aquí la propiedad es esta, que si existen los límites
laterales y son iguales, existe el límite ordinario y coincidir con los
límites laterales, ¿vale? Entonces, es una cosa, una propiedad de la
que... O sea, a veces preguntan también, pues, o sea, cosas de estas, son
un poco teóricas, pero sin hacer grandes demostraciones. Pues aquí hay
otro, ¿vale? ¿Quiere poner? ¿Quiere poner esta función y me pide la
composición con ella misma? ¿Vale? que compuesto con que entonces
entonces en este caso pues hacemos que compuesto con el que es que a veces
por la definición ahora en la composición que haríamos si yo tuviera que
buscar por ejemplo que de 3 que de 3 sustituiría la x de g con el número
3 si tengo que buscar que de toda una expresión sustituyo la x por toda
esta expresión o sea toda esta expresión es como si fuera x en g entonces
yo sustituyo hago 1 menos x en vez de poner menos x pondré 1 menos x
partido por 1 más x y abajo 1 más x sería 1 menos x partido por 1 más x
aquí pues hacemos ¿no? el mismo común múltiplo ¿vale? este pasaría
aquí multiplicando ¿vale? me quedaría 1 más x menos 1 menos x ¿vale?
el 1 aquí con el 1 sería y más x y este menos x pasaría más me
quedaría los x aquí por tanto me quedaría arriba 2x partido de 1 más x
aquí también hago el mismo común múltiplo este pasaría aquí
multiplicando 1 más x más 1 menos x 1 más 1 es 2 más x menos x ¿vale?
me quedaría 2 ¿vale? 2 partido por 1 más x este que divide y este que
divido y este pasaría fijaros arriba y este pasaría abajo por tanto os
puedo simplificar ¿vale? me quedaría 2x partido por 2 que es x y entonces
pues bueno ya tengo hecha la composición ¿vale? fijaros que esta función
y su inversa serían la misma ¿vale? porque la composición le da la
identidad pero bueno aquí esto no ¿vale? por tanto aquí solo me dicen
que he hecho la composición y veo que sí después de esta ¿vale?
después del dominio ¿cuál es el dominio de esta función que para todos
los valores ¿vale? de x menos para los que anulen del denominador o sea
aquí solo hay uno que anula el determinador que es el menos 1 ¿vale? esto
será cero para x igual a menos 1 para el dominio de funciones racionales
¿vale? tengo que igualar el denominador a 0 por tanto aquí si igualo 1
más x igual a cero me queda x igual a menos uno por tanto el dominio
están todos números reales menos el menos 1 si hay más de un número,
cuando hay funciones racionales no pongáis paréntesis ni caudatos ni nada
porque si no parece que todos los números reales que es todo el eje X
menos números en este caso hay solo uno pero si por ejemplo hubiera el
menos 2 y el menos 3 tendríamos que poder ir a Aves y Aves quiere decir
que yo excluyo solo aquellos números en cambio si pongo un paréntesis
podría confundir excluimos todo el intervalo por lo tanto siempre que
tenga que indicar que del número de reales saco un conjunto finito de
números y yo los indico 2, 3 números o un número pues tengo que ponerlo
en la llave R menos, en este caso menos 1 Aquí hay otro, si quieres
dibujar la gráfica de la función, igual a seno de x más pi cuartos,
¿vale? Pi cuartos mediante radianes, son 45 grados. Por tanto aquí lo que
quiero es dibujar más o menos tantos valores, vamos a usar unos cuantos
valores y ya está, ¿vale? La gráfica se designa, damos algunos puntos,
¿vale? Para x igual a cero, ¿vale? Si x igual a cero sería uno más seno
de cero más pi cuartos. El seno de pi cuartos es raíz de dos partido por
dos, ¿vale? Para x igual a cero, la ordenada vale uno más raíz de dos
partido por dos, ¿vale? Por ejemplo entonces podemos, nos heramos por
ejemplo cero, pi cuartos, pi medios, tres pi cuartos, tres pi cuartos son
135 grados. Pi, ¿vale? Por ejemplo aquí vamos más de 45, 45. Cinco pi
cuartos, cinco pi cuartos serían 225. Seis pi cuartos es lo mismo que tres
pi medios, que serían 270, siete pi cuartos serían 115, ¿vale? Y dos pi
pues ya 360, ¿vale? Entonces es ir sustituyendo, ¿vale? Por ejemplo para
pi cuartos me quedaría seno de pi cuartos más pi cuartos, que serían pi
medios. El seno de pi medios es uno y uno dos, ¿vale? El seno, por
ejemplo, de pi medios, ¿vale? Sería tres pi cuartos, ¿vale? Tres pi
cuartos serían pi medios más pi cuartos, serían tres pi cuartos. Tres pi
cuartos son 135 grados, que el seno de 135 grados es lo mismo que el seno
de 45, ¿vale? En este caso serían a raíz de dos partidos por dos, por
tanto sería uno a raíz de dos partidos por dos. Para tres pi cuartos, si
sustituyo aquí me quedaría tres pi cuartos más pi cuartos, serían seno
de cuatro pi cuartos, que serían seno de pi, ¿vale? Seno de pi es cero,
¿vale? Por tanto me quedaría uno más cero y es uno, ¿vale? Después,
para pi me quedarían cinco pi cuartos, que sería el seno de 225, que es
el mismo que el seno de 45 pero con el negativo. Por tanto, si el seno de
45 es raíz de dos partidos por dos, entonces el otro sería menos raíz de
dos partidos por dos. Por tanto sería uno menos raíz de dos partidos por
dos. Para cinco pi cuartos, aquí me quedaría el seno de cinco pi cuartos
más pi cuartos, que serían seis pi cuartos, que serían tres pi cuartos,
que sería el seno de tres pi cuartos, que es el menos cero. Uno más menos
uno es cero, ¿vale? Después, para seis pi cuartos, sería el seno de
siete pi cuartos, que sería el de 315. El seno de 315 es lo mismo que el
de menos 45, ¿vale? Que es el negativo, igual que el a menos en seno de
45. El seno de 45 es menos raíz de dos partidos por dos, por tanto sería
uno menos raíz de dos partidos. Después, para siete pi cuartos, sería
siete pi cuartos más pi cuartos, sería ocho pi cuartos, por tanto sería
el seno de dos pi, el seno de dos pi es cero, por tanto uno más cero
sería ocho. Y para 2pi sería, coincide con el de 45, ¿vale? Ya
repetimos, ¿vale? El de 45 sería raíz de 2 más 5. Por tanto, una serie
de valores, pues ya lo... Aquí dice, resolver la inequación. Bueno, esto,
repetimos un poco. Si esto lo hacemos de la forma esta, x menos 1. Digo, o
elevado al cuadrado, ¿vale? ¿Vale? Igual a 1 menos x al cuadrado, ¿vale?
Esto es un poco de trampa, ¿eh? ¿Vale? Es un poco de trampa. Si se hace
así, x al cuadrado menos 2x más 1 igual a 1 menos 2x más x al cuadrado,
¿vale? Yo no encuentro nada, ¿vale? Tengo x al cuadrado y x al cuadrado
se va, menos 2x. Entonces me queda un igual, me queda como indeterminado,
¿vale? Entonces aquí el valor absoluto, ¿vale? Sabéis que es esto,
¿eh? El valor absoluto del... El número es x, si la x es mayor o igual
que 0. Y menos x, si la x es menor que 0, ¿vale? Por tanto, x menos 1,
valor absoluto, será... Será x menos 1, si la x es mayor o igual que 1. Y
menos x menos 1, que es igual a 1 menos x, ¿vale? Si la x es menor que 1,
¿vale? Por tanto, ¿cuál es la solución de esta inequación? Pues sería
x menor que 1, ¿vale? Y ya está, ¿vale? O sea, si aquí la hacéis
normal, como os he dicho, le damos al cuadrado y tal, ¿vale? Para quitar
el valor absoluto, me queda una cosa indeterminada, ¿vale? Un igual, ¿no?
Entonces yo pongo la definición de valor absoluto, ¿vale? Y esto sería
igual, o sea, el valor absoluto sería para valores... Sería la segunda
parte, o sea, sería que el valor absoluto de x menos 1 es menos... Si x
menos 1 es menor que 0, ¿vale? Sería... Sería menos x menos 1, por tanto
sería 1 menos x, ¿vale? Si la x es menor que 1. O sea, que serían todos
los valores de x menores que 1 son de menos infinito a 1 en... Bueno, aquí
es hallar las raíces cuartas... Números... Números de menos 4. El
número real es la raíz cuarta de menos 4, no existe, pero el número es
completo, sí. Entonces, ¿qué hacemos? Números complejos es menos 4,
¿vale? El módulo, evidentemente, es 4, ¿vale? Un módulo de... O sea, el
módulo completo de menos 4 es 4, ¿vale? El argumento, ¿vale? Sería pi,
¿vale? O sea, si tengo un número complejo... Menos 4, sería esto,
¿vale? O sea, el argumento sería pi, que es el ángulo. Y el módulo
sería 4, ¿vale? Entonces, se pondría de esta forma. Se pondría z igual
a 4 pi. Esto es el número completo. Entonces, las raíces, esto podría
poner esto más 2kpi. Entonces, para hallar las raíces, ponemos pi más
2kpi. Si hagamos una vuelta entera. Entonces, para hallar las raíces,
¿vale? Nosotros, pues dividimos a raíz cuarta. Entonces, la raíz cuarta
sería 4, ¿vale? Aquí sería pi más 2kpi partido por 4, ¿vale? Esto
tendría que ser raíz cuarta, ¿eh? Entonces, para acá igual a 0, ¿vale?
Yo tendría que... Esto sería raíz cuarta de 4, ¿vale? Y entonces esto
sería... Para acá igual a 0 me quedaría pi cuartos, ¿vale? Entonces,
esto sería raíz de 2 pi cuartos, ¿vale? Y esto pasando a forma
trigonométrica sería raíz de 2 coseno de pi cuartos más i seno de pi
cuartos. Esto igual, solo que aquí hay igual raíz, ¿vale? Entonces,
esto... Aquí... Aquí tendríamos que poner raíz de 2 coseno de pi
cuartos es raíz de 2 partido por 2 más i seno de pi cuartos, que es raíz
de 2 partido por 2, ¿vale? Aquí me quedaría raíz de 2 por raíz de 2,
me quedaría 2. 2 partido por 2 es 1. Y aquí igual. Por tanto, esto me
quedaría 1 más... ¿Vale? Al ser falta raíz cuarta de esto, ¿eh? O sea,
aquí todo sería... En vez de ser 2 raíz de 2... Aquí sería raíz
cuarta de 4, que es lo mismo que raíz cuadrada de 2. O sea, la raíz
cuarta de 4 es la raíz cuadrada, o sea, la raíz cuarta de 2 a la 2, y por
tanto es la raíz de 2. ¿Vale? Así es. Vamos a escribirlo y vamos a
escribirlo. ¿Vale? Por tanto, aquí me quedaría raíz de 2 en vez de 4.
Sería raíz de 2 y por tanto aquí me quedaría... Pues me quedaría 1
más, ¿vale? El primero. ¿Vale? Los otros serían igual, ¿vale? Para
acá igual a 1 obtendría lo otro, ¿vale? Sería... Seno de 3 pi cuartos,
¿vale? Más y seno de 3 pi cuartos. Por seno de 3 pi cuartos sería menos
raíz de 2 partido por 2. Y el otro sería el seno de 3 pi cuartos sería
lo mismo que el seno de pi cuartos, ¿vale? Por tanto, sería raíz de 2
partido por 2. ¿Vale? Pues en esto si acaso ya lo arreglaría y ya lo he
dicho, ¿eh? Aquí igual, de 5 y cuartos es el de 225. Los dos serían
negativos, ¿vale? Sería menos coseno de 45, menos seno de 45. Vamos a ver
si tenemos... Vamos a ver si esto es 45, aquí tendría esto, ¿vale? Este
sería el seno, ¿vale? De 45, este es de 225. Este sería el coseno y este
sería el coseno de 225. Por tanto, este sería menos este, ¿vale? Y este
sería, bueno, y este sería menos este, ¿vale? Aquí igual de 7 y cuartos
sería el de 315 o menos 45, ¿vale? Y a partir de aquí pues ya las
tendríamos. Esto sería Z1, Z2, Z3, Z4, ¿eh? Entonces aquí sería 2, o
sea, raíz de 2, 7 y cuartos, ¿vale? 7 y cuartos sería coseno de 7 y
cuartos más seno de 5 y cuartos. 7 y cuartos es... 315, ¿vale? El 315,
¿qué me encuentro? El 315 lo tendría aquí, ¿vale? Más o menos sería
el mismo que el menos 45. El seno es negativo, ¿vale? Y el coseno es el
mismo, ¿vale? Por tanto, el coseno sería raíz de 2 partido por 2 y el
seno sería menos raíz de 2 partido por 2. Por tanto, me quedaría pues...
Y me quedaría... Para el tipo A primero, ¿vale? Me quedaría... El
resultado sería, sin este factor, sería 1 más i, hemos dicho, me parece.
Saco 1 más i. Sería menos 1 más i. Aquí sería menos, bueno, menos
delante, o menos 1 menos i. Y aquí sería 1 menos i, sin este factor,
¿vale? O sea, yo que aquí está, bueno, que hay alrededor este que no se
puso la raíz cuarta, ¿eh? La raíz es... Yo pongo un número complejo,
¿vale? Modo argumento, ¿vale? Tengo z igual a 4, la forma escolar, que es
modo argumento, ¿vale? Eso sería pi, ¿vale? Entonces pongo más 2kpi,
¿vale? Y para k igual a... O sea, si busco la raíz cuarta, doy valores. k
igual a 0, k igual a 1, k igual a 2 y k igual a 3, ¿vale? Si buscaba la
raíz tercera, sería 0, 1, 2, ¿vale? Si buscaba la raíz cuadrada, sería
0, 1, ¿vale? Si buscaba la raíz 5, sería k igual a 0, k igual a 1, k
igual a 2, k igual a 3 y k igual a 4, ¿vale? La raíz sexta sería de 0 a
5, ¿vale? Por ejemplo, utilizando la definición formal del límite,
verificar que... O sea, cuando el límite tiende a 2 de x menos 2 partido
por 1 más x cuadrado es igual a 0. O sea, aquí no me dicen que haría
este límite porque evidentemente si como lo haría este límite
sustituyendo por la tendencia, ¿qué riesgo me daría? Pues sería 2 menos
2 partido por 1 más 2 al cuadrado, sería 0 partido por 5, que es 0,
¿vale? Por tanto, la definición del límite, ¿vale? Es decir, para todo
x igual a 1. Es decir, existe un delta. Tal que para x menos 2 menor que
delta, el valor de, o sea, la función menos el límite es menor que
éxito, ¿vale? En este caso sería la función, o sea, la función de
valor absoluto, ¿eh? x menos 2, o sea, esto sería, pues, el siguiente, en
general, ¿eh? El límite de x tiende a f de x igual a r, ¿vale? Entonces
esto equivale que para todo éxito mayor que 0 existe un delta mayor que 0
tal que para todo x que pertenece al valor absoluto de x menos a menor que
delta implica que f de x menos m, el valor absoluto, es menor que 0. Bueno,
esto es más o menos la definición. A veces no lo podéis explicar, pero
si estáis sin boquilla, esto quiere decir que para todo esto existe,
¿vale? Tal que, para todo x que está dentro de este intervalo, ¿vale? De
un pequeño intervalo, ¿vale? O sea, aquí tengo, por ejemplo, el a,
¿vale? Tengo un intervalo muy pequeño, ¿vale? Que es el de longitud
delta, ¿vale? O sea, todos los números que están aquí dentro que es el
intervalo de longitud delta. Entonces f de x menos l también va a parar en
un intervalo muy pequeño de b, ¿vale? Esto es lo que significa, ¿eh?
Pues esto así parece muy raro, pero es lo que significa. Por tanto, lo
aplicamos aquí. ¿Vale? Aplicamos la definición. Para todo esto, menos
que 0, existe un delta mayor que 0 tal que para todo x menos 2 en volado
absoluto menor que delta, ¿vale? Se cumple que x menos 2 partido por 1
más x cuadrado menos 0, pero ya no lo pongo porque menos 0 es tal, es
menor que 0, ¿vale? Por tanto, ¿yo qué veo aquí? Yo cojo esta
desigualdad, x menos 2 partido por 1 más x cuadrado y veo que esto,
¿vale? Si yo, por ejemplo, le saco, yo en vez de dividir por 1 más x
cuadrado divido solo por 1, ¿vale? Porque esto es positivo, porque
pequeño que sea, ¿vale? x será... ser pequeño. Pero si yo le quito 1
más x cuadrado porque esto es positivo, por tanto, será menor, ¿vale?
Pues estoy dividiendo 1 es menor que 1 más x cuadrado. Por tanto, si
divido 1 menos, o sea, x menos 2 en volado absoluto por 1, ¿vale? Esto
es... x menos 2 partido por 1 más x cuadrado es menor que... O sea, esto
es menor que x menos 2 en volado absoluto partido de 1. Esto es igual a x
menos 2, ¿vale? Por tanto, aquí basta tomar, ¿vale? Basta tomar delta
igual a epsilon y ya está, ya se cumple, ¿vale? Ya está, aquí solo
tengo que... Basta tomar epsilon... Ay, perdón, delta igual a epsilon,
¿vale? Y yo ya sería cogiendo un intervalo, ¿no? Y tu epsilon, ¿vale?
Para x menos 2 ya se cumple, ¿vale? Para coger... Para coger epsilon,
¿vale? Esta es la definición de límite, miradlo, porque a veces lo pide,
¿vale? Si el principio es así, que no soy muy difícil, si se sabe, es
verificarlo. Yo no puedo verificar el límite directamente, ¿vale? Si
puedo verificar, sustituir por la tendencia, aquí no es indeterminado ni
nada, y yo ya veo que es cierto, ¿vale? Si el principio lo dice, tienes
que hacer esto, ¿vale? Si aplicas la definición de límite, más o menos
se estructura aquí, ¿vale? Si fuera igual a 1, yo aquí pondría menos 1,
y entonces, pues, hacer arreglos en la inequación correspondiente para
ver, llegar a una cotación, ¿vale? En función de epsilon, y entonces,
pues, ponerlo, por ejemplo, si tomando, decir, basta tomar delta igual a
epsilon, o basta tomar, por ejemplo, delta igual a epsilon cuadrado, o
tomar un delta menor que epsilon cuadrado, pero siempre se debe poner en
función de epsilon, ¿vale? Bueno, aquí hay otro que me parece fácil,
donde se calcula las raíces del polinomio, es decir, un polinomio, ¿vale?
x a la cuarta, 6x al cubo, 9x, si hay raíces repetidas, indicada
multiplicidad. Escribir el polinomio importa de producto de factores
lineales. Quiere decir descomponerlo, ¿vale? Esto, sencillamente, es
intentar descomponer el polinomio. Bueno, por tanto, vamos a ver aquí qué
hay. Bueno, tdx, vemos de entrada, ¿vale? Tengo x a la cuarta, 6x al cubo,
9x cuadrado, pero esto supongo que incluso me incluyó así a rodillas,
para descomponer polinomios de entrada, si no tengo, si tengo, tenemos
dependientes, ya hay este grado mayor que 3, o mayor o igual que 3, y yo ya
tengo que pasar a aplicar aquí, ¿vale? O buscar identidades notables, o
cosas de estas, ¿vale? Pero si tengo solo x, porque cualquier x cuadrado,
el primer paso es sacar factor común de x cuadrado, ¿vale? O sea, si
tuviera x, pero el primer paso sería sacar factor común. Aquí tengo x
cuadrado, por tanto, de entrada saco factor común lo máximo que pueda de
potencias lineales. x que evidentemente es la mínima, ¿vale? Sería x
cuadrado que multiplica x cuadrado más 6x al cuadrado, ¿vale? Esto de
entrada. Después aquí también si veo, ¿vale? Cuadrado del primero, el
doble del primero, o sea, aquí veo que aquí tengo x cuadrado y aquí
tengo 2. Por tanto, pues yo puedo pensar, puedo pensar que esto es un x
más 3 al cuadrado, de entrada tengo x cuadrado y 3 al cuadrado. Entonces,
saco el doble del primero y el doble del segundo, digo 2 por 3x, ¿vale?
Por tanto, veo que ese es, esto es x más 3 al cuadrado, ¿vale? Por tanto,
aquí tiene sencillamente dos raíces dobles, ¿vale? Para x igual a cero,
¿vale? Sería una raíz doble y para x igual a menos 3 sería otra raíz
doble. Ahí está, tiene dos raíces dobles y ya está descompuesto en
producto de factores lineales, ¿vale? x al cuadrado y x más 3 al
cuadrado. Como lo querían, ¿vale? Si pasamos por atrás, ya veis que este
espacio es el ejercicio del bachillerato. Descomposición de polinomios,
después lo digo descompuesto, hallo fácilmente las raíces, o sea, aquí
para resolver esta ecuación más o menos, pues bien, sobre esta ecuación,
pues yo lo primero que haría es descomponer el polinomio, bueno, lo tengo
así, descompongo y después igualo a cero, vale, cuando igualo a cero,
pues digo, tengo un polinomio descompuesto, vale, igualo a cero y veo que
la solución es posible, si igualo a cero, tiene que ser una posibilidad
que x cuadrado sea igual a cero o que otra posibilidad que x más 3 al
cuadrado sea igual a cero. Bueno, el cuadrado de un número es cero cuando
hay un número cero, por tanto, si x cuadrado es igual a cero, x tiene que
ser cero. x más 3 al cuadrado igual a cero es igual, vale, el cuadrado de
un número tiene que ser cero si el número es cero, por tanto, x más 3
tiene que ser igual a cero, por tanto, x tiene que ser igual a cero, vale.
Bueno, aquí vamos a ver una inecuación y aquí este valor absurdo, vale,
por tanto, aquí lo que hemos hecho es que le vamos al cuadrado a cada
lado, vale, x menos 3 al ganoso igual a cuadrado, menor que 2, valor
absurdo, x menos 3 al cuadrado el cuadrado es el primero menos el doble del
primero por el segundo, 2 por x y por menos 3 sería menos 6x 3 al cuadrado
es 9 2 al cuadrado es 4 y x, con la resulta de x al cuadrado x al cuadrado
entonces yo aquí pues lo que lo que hacemos pues me queda, paso al otro
lado aquí paso esto al otro lado podría pasar pero paso todo aquí y me
quedaría paso todo aquí y pasará aquí restando, sería 0 menor que 4x
al cuadrado menos x al cuadrado más 6x menos 9 por tanto me quedaría me
quedaría que 3x al cuadrado más 6x menos 9 mayor que 0 saco factor común
el 3 me quedaría que x al cuadrado más 2x menos 3 mayor que 0 por tanto,
si lo descompongo si yo resolviera esta ecuación vería que la ecuación
me quedaría que menos 1 y 3 serían las soluciones al final de la próxima
segunda grado x al cuadrado menos 2x menos 3 igual a 0 me queda x igual a
menos 2 más menos raíz de 4 más 12 partido por 2 me queda menos 2 más
menos 4 partido por 2 me queda menos 3 y me queda 1 por tanto, me queda x
menos 1 por x más 3 por tanto tengo que resolver esta ecuación a ver,
aquí de aquí ¿eh? de arriba, ¿no? en el tercer paso de la ecuación
sí, sí no se cae, es el tercer paso de la ecuación no, es que por... sí
¿no? es el tercer paso de la ecuación no, ya te he ofrecido yo tengo
esto, ¿eh? si hasta aquí fácil, ¿no? si x al cuadrado menos 6x más 9
menor que 4x cuadrado cuando yo tengo 0, vale, menos que 4x cuadrado menos
x cuadrado, más 6x menos 9 me queda 0, menor que 3x cuadrado más 6x menos
9 es lo mismo que poner 3x cuadrado más 6x menos 9 entonces pues aquí
tenemos que ver las soluciones sería de menos infinito a menos 3 por
ejemplo, si yo cojo un número de este intervalo cualquiera, por ejemplo
menos 4, me quedaría menos 4 menos 1 es menos 5 menos 5 por menos 1 este
sería solución cuando me intervalo este todo este es solución entonces
menos 3, vale, todo esto es solución ¿vale? todo esto es solución de la
equación ojo un número de aquí, por ejemplo menos 4 aquí me quedaría
si menos 4 menos 1 es menos 5 menos 5 por menos 1, vale es más 5, bueno, 3
es positivo, lo que lo marca es por tanto es positivo, por tanto Por lo
tanto, todo ese intervalo es 1. De un suicidio a otro suicidio. Por
ejemplo, si cojo aquí un número de, por ejemplo, 0. ¿Vale? El 0 me
quedaría. Menos 0 menos 1 es menos 1. Por más 3 es negativo esto. ¿Vale?
Por lo tanto, yo veo que no es mayor que 0. Por lo tanto, este intervalo no
es. El 1. Para el 1 me daría 0. Pero como dije, mayor que 0, pues no puede
ser. ¿Vale? Tiene que ser estrictamente mayor que 0. Si fuera mayor o
igual que 0, el 1 no sería también. Y para valores mayores que 1, por lo
tanto, este factor es positivo y este también. ¿Vale? Por lo tanto,
sería 0. La solución sería este. ¿Vale? Sería este intervalo y este.
¿Vale? Pensaba que estaba más cerca ya de nada. Bueno, aquí hay otro.
Aquí no se tiene que hacer capa de definición del límite. ¿Vale? Dice,
si el límite cuando x tiende a 2. f de x menos 5 partido por x menos 2 es
igual a 3. Calcular. Calcular el límite cuando x tiende a 2 de f de x.
¿Vale? Por lo tanto, aquí, si el límite cuando x tiende a 2 de f de x
menos 5 partido por x menos 2 es igual a 3. Se tiene que concluir que el
límite cuando x tiende a 2 de f de x menos 5 partido por x menos 2 menos
3. Esto es igual a 0. ¿Vale? Entonces. ¿A qué son las propiedades de los
límites? Yo puedo aplicar límite cuando x tiende a 2 de f de x menos
límite cuando x tiende a 2 de 3, ¿vale? Por tanto, puedo ponerlo como una
diferencia de factores, ¿vale? Límite cuando x tiende a 2 de f de x menos
5 partido por x menos 2, todo esto, todo esto, ¿vale? Así, cuadrado 0,
¿vale? Entonces, ¿aquí qué hago? Pues hago el mismo con múltiplo, este
pasa aquí multiplicando, por tanto, me quedaría f de x menos 5 menos 3
por x menos 2 partido por x menos 2, ¿vale? Entonces, para que este
límite sea 0, el límite de arriba tiene que ser 0, ¿vale? Por tanto,
sería todo esto, límite cuando x de f de x menos 5 menos 3 por x menos 2
es igual a 0, ¿vale? Entonces, aplicamos otra vez lo mismo, ¿vale? La
diferencia esta de límites. Límite cuando x tiende a 2 de f de x tiene
que ser menos este límite de toda esta expresión igual a 0. Por tanto,
entonces, lo paso al otro lado, sería igual que el límite cuando x tiende
a 2 de 5 más 3 por x menos 2, ¿vale? Por tanto, sustituyo por la
tendencia y me quedará que el límite cuando x tiende a 2 de esta
expresión es 5. Por tanto, el límite cuando x tiende a 2 de f de x es
igual a 5, por tanto, iría a 2 de 5. ¿Vale? pensar el caso y esto tiene
que ser como la indeterminación por tanto el numerador el límite la
infraccionada expresando la solución por intervalo y no hay favor absoluto
este sería de ejercicio de tres cuestiones 3 x más 3 menor que 2 x menos
2 por tanto entonces aquello que hemos dicho cambiar de lado no hay
problema por tanto esto lo paso aquí y el 3 pasa a restar por tanto me
quedará 3 x menos 2 x menor que menos 2 menos 3 por tanto me queda 3 x
menos 2 x es x menos 2 menos 3 es menos 3 por tanto la solución sería y
no dice estrictamente menor por tanto yo me acerco al menos 5 pero no a
multiplicar al lado y al lado por x más 1 y x menos 1 tendrías que tener
en cuenta que puedan ser positivos y negativos para girar o no a x si, yo
he sabido que la camioneta le tiró un montón de pedazos si, se podía
probar, mejor probarlo aquí hemos considerado que son positivos y no hay
problema entonces a ver si aprobamos, si consideramos que pueden ser los
dos negativos si los dos negativos no hay problema por ejemplo si uno es
negativo, el x más 1 es negativo se podría probar parece que se probó en
uno, bueno no sé si es el caso si si consideramos que x si aportamos que x
es menor que 1 a ver qué pasa si consideramos que x por ejemplo, x es
menor que menos 1 si x es menor que menos 1 o sea si x es menor que menos 1
tendríamos que 3 partido por menos 3 partido por ejemplo entonces esto es
negativo el factor este sería negativo y este también es negativo por
tanto no pasa nada si coges el 0 por ejemplo si por ejemplo si está entre
0 y 1 la solución sería menos si está entre 0 y 1 o sea si está entre 0
y 1 el primero el primero es positivo y el segundo es negativo este es
positivo y este sería negativo entonces como multiplico por este que es
positivo y este sería negativo entonces aquí cambiaría me quedaría 3x 3
por x más 1 esto sería mayor que 2 por x menos 2 ¿vale? cambiaría el
sentido sería 3x más 3 mayor que 2x menos 2 aquí quedaría x mayor que
menos 5 que x mayor que menos 5 entonces se tendría que probar si esto
puede ser pero hemos supuesto que la x es el tercer uno tendríamos que
hacer esto yo me parece que lo había probado y hubiera visto que no había
nada pero sí que tendrías que probar ya que no puede ser pero bueno si lo
haces así todo puede estar bien algunos te lo contarían bien porque como
es un ejercicio que es corto pero que está puesto que hay tres pero el
otro dice calcular el centro de la circunferencia yo no sé si en el libro
supongo que está, pero yo por ejemplo tengo la circunferencia de centro AB
y radio R es X menos A elevado al cuadrado más Y menos B elevado al
cuadrado igual a R al cuadrado de la forma agenda si yo desarrollo esto me
quedo con X al cuadrado más Y al cuadrado menos 2AX menos 2DI más A al
cuadrado más D al cuadrado menos F al cuadrado igual a R esto es la manera
de loco que hemos puesto aquí, pero luego tenemos los cuadrados tenemos
los lineales por último los términos entonces esto suele venir una
ecuación de circunferencia se representa así más AX más BI más C igual
a R identificamos menos 2A menos 2A menor igual a R por tanto encuentro que
A sería menos A partido de los dos y menos 2D igual a B el término X lo
podemos A el término en Y y la C sería igual a cuadrado más A más B al
cuadrado menos A al cuadrado entonces aquí me quedaría que la B sería
menos B por 2 y por ejemplo la R sería A al cuadrado más B al cuadrado
menos C entonces yo sustituiría la B por la A partido por 2 y la B por B
partido por 2 ¿eh? fijaros que aquí me da esto ¿vale? entonces tengo que
identificar los factores ¿eh? ¿vale? no sé si está hecho esto entonces
¿vale? por ejemplo hemos visto fijaros que la A ¿vale? la A ¿vale? aquí
tengo tengo la A es igual a B ¿vale? porque no está el término que tiene
el término ¿vale? la B es igual a 4 ¿vale? entonces la A la ordenada
ahí la arcisa del centro es igual a menos A partido por 2 ¿vale? por
tanto sería 0 menos 0 partido por 2 que 0 ¿vale? la B sería menos el
cuadro partido por 2 que es menos ¿vale? por tanto me quedaría que el
centro sería punto 0 menos 2 ¿vale? el centro de la diferencia ¿vale?
ejemplo ¿eh? Después, me quedaría que el radio sería A cuadrado,
¿vale? En este caso sería 0 al cuadrado más B cuadrado menos 4 al
cuadrado menos la C, que la C tampoco está, que es 0. Por tanto, me
quedaría 4, ¿vale? ¿Vale? Por tanto, la ecuación de la circunferencia
sería 0 menos 2 y el radio sería 2. No sé si esto a lo mejor está en el
libro, pero si acaso, si esto está desarrollado, ¿vale? ¿Vale? Esto es
la ecuación de la circunferencia y después, identificando los
parámetros, tenéis que ver el centro y el radio, ¿vale? Si no está
desarrollado, yo encontraría, sería X menos 0 al cuadrado más I menos
menos 2 al cuadrado igual a 2 al cuadrado, que es 4, ¿sí? X menos A al
cuadrado, I menos B al cuadrado igual a F al cuadrado, ¿vale? Por tanto,
el centro es el 0 menos 2 y el radio es 2, ¿sí? Esto es fácil. Quiero,
pues, dibujar la gráfica de una función trigonométrica, ¿vale? Pues,
dando valores. Bueno, por tanto, es igual, ¿vale? ¿El powerpoint está
con claras? ¿Eh? ¿El powerpoint está con claras? Es todo el web, si
acaso, no lo voy a enviar. Va a ser muy deprisa, pero en principio ya os
voy a enviar ahí, ¿vale? Bueno, aquí hay algunos puntos, ¿vale? Pues,
bueno, entonces... Por ejemplo, cogemos, ¿vale? Para X igual a 0, ¿vale?
Sabemos que el coseno de 0 es 1, ¿vale? Sería pi por 0, sería en este
caso, sería 0 partido por 2 es 0. El coseno de 0 es 1, ¿vale? Por
ejemplo, un medio, ¿vale? ¿Por qué podemos un medio? Porque yo busco
ángulos más o menos conocidos, ¿vale? Entonces, para X igual a un medio
sería pi cuartos. Pi cuartos sería 45 grados que es la raíz de 2 partido
por 2. O sea, después... Pues pondré, por ejemplo, para X igual a 1
tendría el coseno de pi medios que es 0, ¿vale? Para X igual a 3 medios
tendría el de 3 pi cuartos que es el de 135. Que el coseno es menos que el
coseno de 45, ¿vale? Porque sería menos 42 partido por 2. Para X igual a
2 tendría 2pi partido por 2, sería el coseno del pi que es el número 1.
¿Vale? Después, por ejemplo, pongo 5 medios, sería 5 pi cuartos que es
el de 229. Sería 180 más 45, ¿vale? O 1000 más pi cuartos. Entonces
sería el de 225 que el coseno es igual que menos el coseno de 45 que es
menos raíz de 2 partido por 2. ¿Vale? Para X igual a 3, tengo el coseno
de 3 pi medios que es el de 270 grados que es 0. ¿Vale? Para 7 medios,
¿vale? Sería el coseno de 7 pi cuartos que 7 pi cuartos es 315 grados.
Por tanto, el coseno de entonces sería sería el de 7 pi cuartos, ¿vale?
Que sería el mismo que el de 45. Sería raíz de 2 partido por 2. ¿Vale?
Para X igual a 4 sería el de 4 pi partido por 2 que sería el coseno de 2
pi que es 1, ¿vale? Que coincide con el para 9 medios sería de 9 pi
cuartos, ¿vale? En este caso sería 9 y cuartos en este caso sería el
mismo que el de 45 que es raíz de 2 partido por 2. Y para 5 sería el de 5
pi medios que sería el coseno de pi medios que es 0, ¿vale? Estamos más
o menos en estos puntos y los hacemos al gráfico y ya está. Por aquí es
parecido a uno que hemos ya visto, ¿vale? Dice, si limite cuando X tiene a
0 de F de X partido por X cuadrado, es igual a menos 2 calcular el limite
cuando X tiene a 0 de F de X y el limite cuando X tiene a 0 de F de X
partido por X, ¿vale? Más o menos esto que hemos hecho en otro ejercicio,
¿vale? Entonces nosotros pasamos al otro lado, ¿vale? O sea, el limite
cuando X tiene a 0 de F de X partido por X cuadrado podemos ponerlo así,
¿eh? ¿Vale? yo lo que puedo poner, ¿vale? Puedo poner de esta forma,
¿eh? Puedo poner límite cuando X de F de X partido por X cuadrado vamos a
compilar estos dos límites menos límite cuando X tiene a 0 de menos 2
igual a 0 ¿vale? La diferencia es la diferencia de los límites. La
diferencia es el límite cuando x tiende a 0 de f de x partido por x al
cuadrado menos menos 2 que es más 2. Igual a 0. Entonces yo os hago lo
mismo que antes. Y aquí, pues bueno, os hago aquí mínimo como múltiplo
y me quedaría el límite cuando x tiende a 0 de f de x más 2x al cuadrado
partido por x al cuadrado igual a 0. Por tanto, esto para que se cumpla
tiene que ser un caso sin determinación. Tiene que ser el límite cuando x
del numerador f de x más 2x al cuadrado sea igual a 0. Por tanto, de aquí
vuelvo a aplicar el límite cuando x tiende a 0 de f de x más 2x al
cuadrado igual al límite cuando x tiende a 0 de f de x más el límite
cuando x tiende a 0 de 2x al cuadrado. Paso al otro lado. Me dicen al
límite cuando x tiende a 0 de menos el límite cuando x tiende a 0 de 2x
al cuadrado. Tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 0 de f de x
tiene que ser igual a 0. Este de aquí, pues también lo hacemos más o
menos con la misma propiedad pero ahora en vez de considerar f de x partido
por x al cuadrado consideramos f de x partido por x y pasamos o sea lo que
quedaría, pues yo pongo f de x partido por x y esto lo pongo así, ¿eh?
en el módulo o sea, ponemos límite cuando x tiende a 0 de f de x partido
por x al cuadrado igual a menos 2 vale, entonces podemos poner límite
cuando x tiende a 0 de f de x partido por x al cuadrado con las mismas
propiedades que antes, ¿vale? más 2 igual a 0, ¿vale? Entonces esto
también lo puedo poner así límite cuando x tiende a 0 de f de x partido
por x y partido por x más 2 igual a 0, ¿vale? Puedo ponerlo así también
límite cuando x tiende a 0 de f de x partido por x más 2x partido por x
igual a 0, ¿vale? Entonces, pues vamos a partir de aquí pues ya tiene que
ser, ¿vale? para que esto se cumpla tiene que ser el límite este del
numerador tiene que ser igual a 0, ¿vale? Por tanto el límite cuando x
tiende a 0 de f de x partido por x más 2x igual a 0 y a partir de aquí,
pues las propiedades de los límites serían el límite de una suma suma de
los límites y el límite de cuando x tiende a 0 de f de x partido por x
más el límite cuando x tiende a 0 de 2x es igual a 0 Paso al otro lado
menos, o sea, el límite de cuando x tiende a 0 de 2x, que es la menos, y
cuando x tiende a 0 de 2x. Por tanto, el límite cuando x tiende a 0 de f
de x partido por x es igual a 0. Bueno, aquí se calculan los límites
laterales, x menos 2 es el valor absoluto, cuando x tiende a 2 por la
derecha, y x tiende a 2 por la izquierda. Bueno, aquí lo que se tiene que
hacer es mirar de descomponer x al cuadrado más x menos 6. Entonces aquí,
por 2, supongo que va bien, es 1, 1, menos 6, ponemos el 2, también queda
1, 2, 2, 2, 3, menos 6, 0. Por tanto, esto me queda x menos 2 por x más 3.
Bueno, entonces supongo que quedaba indeterminado para 2. Bueno, o sea,
ahora me deja levantado. Cuando se echa hacia abajo, vale, es x menos 2 por
x más 3, arriba, si vamos por la izquierda, por la izquierda, son valores
menores que 2, por tanto el valor absoluto de x menos 2, x menos 2 será
negativo, y le quedamos, por ejemplo, 1,99. Si yo me acerco a 2 por la
izquierda para valores menores que 0 sería 1,99. 1,99 menos 2 sería 0,
menos 0,01, vale. Por tanto, me daría negativo. Por tanto, el valor por la
izquierda, vale, para valores menores que 2, y el valor absoluto de x menos
2 es menos x menos 2, vale. Entonces, yo puedo simplificar x menos 2 y x
menos 2 y me queda menos, vale, el límite cuando x tiende a 2 por la
izquierda de 1 partido por x más 3, vale. Por tanto, si yo me acerco por
la izquierda para valores menores que 2, por tanto, el denominador más o
menos tendría a 5 por la izquierda, por tanto, me quedaría menos 1
partido por 5, vale. Arriba, pues bueno, arriba es lo mismo, vale. A 2 por
la derecha, vale, para valores mayores que 2, vale, por tanto, el valor
absoluto, vale, para valores mayores que 2, vale. Será ahora como si yo
sustituyó, por ejemplo, por 2 coma 0, 0, 1, vale, me quedaría 2 coma 0,
0, 1 menos 2, esto es positivo. Por tanto, el valor absoluto sea el mismo,
vale, el valor absoluto de x menos 2 para valores que yo tienda a 2 para
valores mayores que 2, vale, es x menos 2. Vale, entonces ya simplifico x
menos 2 y x menos 2, vale, y entonces me queda el límite cuando x tiende a
2 por la derecha de 1 partido por x más 3, vale. Tendría 5 por la
derecha, ¿vale? Quedaría 1 partido por 5 por la derecha, por lo tanto
sería un quinto, ¿vale? Este supongo que es fácil, ¿no? Más o menos,
¿entendéis? Hay un número muy difícil. Ah, ¿exceso? No, esto lo diría
yo al pdc, en principio esto lo tendréis todo. Si hay alguna cosa que no
sabe aquí, lo uniré a una pizarra, pero en principio todo lo otro os lo
diré al pdc, que es lo de los capos que hay. Bueno, si aquí más o menos,
yo digo para dar un poco de... Tenéis que buscar aquello de la... yo me
encuentro igual, ¿vale? Tiene que ser indeterminado, ¿vale? Caso de
indeterminación. Por tanto, el numerador tiene que ser feo. Y a partir de
aquí, pues todo reestructura esta forma. Para hacer ejercicio tenéis que
pensar eso. Aquí he puesto un tipo de indeterminación, ¿vale? Que va a
producir a x cuadrado... Y aquí he puesto que la interseccional produce x,
¿vale? Aquí, por la derecha a la izquierda, hay la particularidad de esto
del valor absoluto, que cuando es negativo es menos que el número, ¿vale?
Y cuando es positivo es el número, ¿vale? O sea, para valores de x
menores que 2, ¿vale? Esto sería negativo. Por tanto, el valor absoluto
será 2... Será menos x menos 2, por tanto será 2 menos x. ¿Vale? Para
valores de x mayores que 2, ¿vale? Por tanto sería x menos 2, ¿vale? Yo
creo que es más o menos la dificultad de hacer ejercicio. De otro lado es
fácil, ¿no? ¿Cuál es el grado del polinomio? ¿Y cuáles son las
raíces de per x? ¿Y cuál es la multiplicidad de cada raíz? Por tanto,
entrada... Una raíz... El grado sería... Multiplico este, sería un
polinomio de grado 2 elevado a cuadrado. Por tanto, es de grado 4. Un
polinomio de grado 4 por uno de grado 3, aunque sea un módulo, pues es un
polinomio de grado 5. Después dice, bueno, para hallar las soluciones,
pues igualamos el polinomio a cero. ¿Vale? Por tanto... Aquí, ¿qué
sería? Sería el cubo. Este cubo igual a cero. Por tanto, obtengo x al
cubo igual a cero. Por tanto, la x tiene que ser cero. ¿Vale? Después el
otro, que el cuadrado es igual... El cuadro del número es igual a cero.
Por tanto, tiene que ser que el número sea cero. Por tanto, yo... Igualo a
cero, pues aquí encuentro... Me queda aquí una ecuación. ¿Vale? Que
sería una ecuación de segundo grado. Por tanto, aquí me quedaría la
raíz de menos 16. Que la raíz de menos 16 es... Más menos 2i, números
complejos. ¿Vale? Esto sería así. Sería... El cuadrado de más 2i. de
cuadrado, 4 al cuadrado menos 4 por 5 es menos 20, hay menos 4 menos 2 al
cuadrado menos 20 partido por 2 menos 2 más menos la raíz de menos 16
partido por 2 por tanto, menos 2 más menos esto sería la raíz sería 4i
partido por 2 por tanto me quedará menos 1 dividido esto por 2 más menos
2 por tanto la solución una es menos 1 más 2i y la otra menos 1 menos 2
dos cosas complejas o sea, siempre que salen raíces complejas, sale una y
la otra normal y la otra por tanto, bueno, las soluciones son x igual a 0 y
x igual a menos 1 más 2i, menos 1, menos 2i ¿vale? entonces dice cuál
será la multiplicidad pues de 0 será 3 y las otras serán 2 ¿vale?
¿qué es la multiplicidad? es el número de veces que se repite la raíz
¿vale? si está al cuadrado en x al cuadrado sería, por ejemplo, x menos
1 al cuadrado igual a 0 representa aquí el 1 multiplicado por 2 o sea, si
tiene un polinomio por ejemplo, x menos 1 ¿vale? x menos 1 a la 3 por x
más 1 al cuadrado ¿vale? la solución esta sería x igual a 1 tendría
multiplicidad 3 y x igual a menos 1 tendría multiplicidad 2 ¿vale? bueno
aquí pues con el término de ejercicio que se compone de varios ¿vale?
los límites ¿vale? este límite fijaros que este límite lo han puesto
para que se haga por aquello multiplicado por el conjunto ¿vale? no es
diferencia de infinito no tanto, ¿eh? fijaros que si esto fuera más sí
que sería ¿vale? sería menos sería infinito menos infinito pero aquí
este término al cuadrado la tendencia es menos infinito la marca y el
término de este de aquí ¿vale? por tanto esto sería más infinito menos
menos infinito por tanto sería más infinito límite este es infinito
¿vale? que no tengo que multiplicar por el conjugado ni nada ¿vale? tanto
este no sé cuánto valía este vértice pero si no tanto el límite este
sería más infinito y está directamente ¿vale? no tengo que hacer nada
ni multiplicar por el conjugado ni nada porque no es una diferencia de
infinito sino que es una suma de infinitos el primer término tiende a
infinito y el segundo término es menos menos infinito por tanto es más
infinito por tanto sería más infinito igual a más infinito ¿vale? no
hay una diferencia entonces bueno este de aquí que va elástico que nos va
a devolver Bueno, aquí lo que hacemos, ¿vale? Sencillamente es hacer un
múltiplo, ¿vale? Esto sería a, pasa aquí multiplicado, sería a menos x
partido por x menos a, o sea, a menos x partido, bueno, abajo sería a por
x, o sea, un múltiplo es el producto, ¿vale? Por tanto, esto pasa abajo.
¿Vale? A menos x partido por x menos a es menos 1, ¿vale? O sea, a menos
x partido por x menos a es menos 1, ¿vale? Esto es como que se sigue
claro, ¿no? Por a, por a y por x, ¿eh? Por tanto, bueno, aquí es ver
esto, por tanto, aquí me quedaría menos límite cuando x tiende a a,
cuando x tiende a de 1 partido por ax, que es lo que sustituye por la
tendencia, y me queda que es menos 1 partido por a cuadrado. Este de aquí
ya lo había comentado, ¿vale? Esto, menos, en el principio, ¿eh? No es
más, si fuera más infinito sí que sería indeterminado, ¿eh? Pero si
menos infinito, ¿eh? Si fuera más infinito, este sería más largo. Este
de aquí sería infinito menos infinito, sería indeterminado. Entonces
tendría que multiplicar arriba con el conjugado, porque abajo, ¿vale?
Esto sería así, ¿eh? Si fuera, si fuera de esta forma, ¿vale? Si fuera,
esto lo he puesto para, para, para que se caiga, ¿no? O sea, si esto fuera
así, ¿eh? Si fuera límite, cuando x tiende a más infinito por raíz de
x cuadrado, más x menos x, ¿vale? Entonces esto sí que sería infinito
menos infinito. Entonces yo tendría que multiplicar arriba y abajo por x
cuadrado más x menos x raíz de x cuadrado más x menos x partido abajo
por la raíz de x cuadrado más x más x, ¿vale? Entonces arriba me
quedaría esto al cuadrado, o sea, diferencia de cuadrados, raíz de x
cuadrado más x y el valor al cuadrado menos x cuadrado, ¿vale? Y abajo,
pues me quedaría, me quedaría esto, ¿vale? Me quedaría, no pongo
límite, voy a hacer un recalco, arriba hay que diferenciar cuadrados y
abajo me quedaría x cuadrado más x más x, ¿vale? Arriba, la raíz del
cuadrado se va, me quedaría x cuadrado más x menos x cuadrado, partido
este y este se va, abajo me quedaría la raíz de x cuadrado más x, la
tendencia aquí, o la marca este término sería raíz de x cuadrado más
x, ¿vale? Cuando X tiende a infinito, esto siempre es positivo, por tanto,
este me quedaría X partido de la raíz de X cuadrado es X más X, me
quedaría X partido de 2X, por tanto, me queda infinito. Pero aquí no es,
por tanto, esto es menos infinito, por tanto, este al cuadrado, la
tendencia, la marca de este término, que es el de mayor grado, por tanto,
la tendencia irá a más infinito menos, este es menos infinito, por tanto,
será más infinito, más infinito, más infinito es infinito. ¿Vale? Esto
está puesto para que parezca una interminación, pero es directo, ¿eh? No
sé cuánto valía, pero bueno, menos o menos, pues, a lo mejor un punto,
¿eh? Bueno, aparte esta, no sé qué es, no sé qué es, no sé qué es,
no sé qué es, no sé qué es. Sí, para que el valor esté M, es continuo
a la función, le dan una función, ¿vale? La función irá a trozos, X
menos M, si la M, si la X es menor que 3, y... 1 menos el X, y la X es
mayor o igual que 3. ¿Vale? Quiere decir, que si yo tengo que evaluar la
función para valores menores que 3, tengo que evaluar por esta rama. Para
valores mayores o iguales que 3, tengo que evaluar por este M. Por tanto,
¿esta función cuándo será continua? Pues, cuando empalme esta rama con
esta rama. El valor de M que empalme esta rama con esta, la función será
siempre continua. Entonces, el límite por la izquierda del 3, lo tengo que
evaluar... ...por arriba, y el límite por la derecha del 3, lo tengo que
evaluar por abajo. ¿Vale? Entonces igualamos, ¿vale? El límite tiene que
coincidir con el valor de la izquierda del 3, ¿vale? Y entonces, pues como
si aquí fuera definida estrictamente, el límite podría existir, pero la
función no sería definida. Entonces, no sería continuo, ¿vale? Parece
que no quedó con tanta trampa, pero, fijaos en esto, ¿eh? Si aquí
pusiera X menos M, si la X es menor que 3, 1 menos MX, si la X es mayor que
3, evidentemente los límites pueden coincidir o se pueden hacer coincidir,
pero la función no sería continua porque no sería definida para X igual
a 3. Sería una disfuncionalidad equilibrada, ¿vale? Pero aquí no, ¿eh?
Entonces aquí tengo que buscar el límite por la izquierda del 3,
evaluando por arriba, tiene que ser igual que el límite por la derecha del
3, evaluándola por la de abajo, igual a esto, ¿vale? El límite por la
izquierda del 3 es 3 menos M. El límite por la... derecha del 3 es 1 menos
3M, ¿vale? Por tanto, tiene que igualar el límite por la izquierda al
límite por la derecha. Por tanto, 3 menos M igual a 1 menos 3M. Pasando el
3M aquí, me quedaría menos 3M menos M, me quedaría 2M y 1 menos 3 es
menos 2. Pasando 2M igual a menos 2, por tanto, la M es menos 2. Por tanto,
ya, ya, ya se ve. Este ejercicio, bueno, es así. Para que sea el examen,
no sé cuánto valía cada apartado, pero... bastante fácil, o sea este
que lo ha dado tanto, este de aquí pues no veis que hay ejercicios son muy
fáciles otros que son como más difíciles son de examen si, si, son todos
de examen estos han salido todos de examen se han cogido de etapa pero
estos no son para esto no sé, ponemos los puntos cada ejercicio sí que
vale o tres también este dominio y este no, no sé cuánto dices los tres
puntos sobre 10 si, vamos sobre 10 a veces salen ejercicios que no, dices
que hay una pareja de ecuaciones ecuaciones que representen el exterior de
la circunferencia de centro 0,0 y radio 2 que está en el interior de la
circunferencia de centro 1,3 y que pasa por origen de coordenadas la
circunferencia de centro 1,3 y que pasa por origen de coordenadas
evidentemente si el centro es aquí lo que hemos dicho lo hemos dicho antes
la circunferencia de centro a b tiene esta forma x menos centro a b x menos
a elevado al cuadrado más i menos b elevado al cuadrado igual a r cuadrado
de esta forma si el centro es 1,3 x menos 1 al cuadrado más i menos 3 al
cuadrado igual a r cuadrado para hallar el radio aquí yo lo que tengo es
pasar por el punto 0,0 por tanto yo tengo que sustituir la x por 0 y la y
por 0 porque tiene que pasar por este punto por tanto me quedaría x menos
1 sería 1 al cuadrado más 3 al cuadrado esto es igual a 10 por tanto el
radio esto está aquí por tanto sería 1 al cuadrado más 3 al cuadrado
que es 9 igual a r cuadrado por tanto me quedaría 10 igual a r cuadrado
por tanto la r es raíz de 10 por tanto la circunferencia es x menos 1 al
cuadrado más i menos 3 al cuadrado igual a raíz de 10 al cuadrado
después y que esté en el interior de la circunferencia de centro a 0,0 y
radio 2 la circunferencia de centro 0,0 y radio 2 es x cuadrado más i
cuadrado igual a 2 al cuadrado que es 4 vale por tanto entonces sistema de
inecuaciones sería x cuadrado más i cuadrado mayor que 4 y x menos 1 al
cuadrado más i menos 3 al cuadrado menor que 10 vale entonces ya está o
sea una tipo de es centro es x cuadrado sería 1, 3 y sería centro radio
es pasa por el origen sería por aquí y el otro si tiene radio 2 pues
sería el exterior de la circunferencia centro, pero cero el exterior y
además los puntos dentro de la circunferencia es menor por tanto sería
estos de aquí serían x tienen que ser los exteriores a esta
circunferencia marcando así sería esto los puntos que están dentro de
esta circunferencia serían x al cuadrado más y al cuadrado menos que 2
por tanto los de fuera serían x al cuadrado más y al cuadrado menos que 2
los de fuera serían x al cuadrado más y al cuadrado menos que 2 морse
cuadrado más y cuadrado igual a 2, ¿vale? Entonces los de fuera de la
circunferencia esta serían mayor que 2 y los de dentro, son nosotros los
de dentro de la circunferencia esta, por tanto serían x cuadrado, bueno,
sería todo aquello menor que 10, ¿vale? Sería x menos 1 al cuadrado más
y menos 3 al cuadrado mayor que 10, ¿vale? O sea, x cuadrado más y
cuadrado mayor que 4 y el otro ya lo digo yo, el otro está dentro, por
tanto x menos 1 al cuadrado más y menos 3 al cuadrado menor que 10. O sea,
aquí si tenéis tiempo a lo mejor quedaría mejor, digo yo, ¿eh? Pero no,
así dejando así sería importante. Sería, por ejemplo, bueno, pues
desarmar este cuadrado, desarmar este, pasar esto aquí menor que 10, pero
en principio se lo dejáis así de aquí a esta circunferencia Esto serían
los exteriores a estas circunferencias serían mayores que 2, ¿vale? Que
esa es la intersección de todo de fuera, que es la circunferencia esta
pequeña, con lo de dentro de la otra que lo de dentro de la otra es menor
que para aquí, ¿vale? Los cuadrados, los cuadrados de 2 al cuadrado,
¿vale? Serían, serían, serían todos los puntos que, por tanto, la
intersección de estos, ¿vale? Serían esto, ¿vale? Esto es la
intersección, esto es la intersección, la intersección es esto, ¿vale?
es un poco pero sí, es la circunferencia la circunferencia grande que
presenta la circunferencia grande le quitas esta parte o sea, todo los
puntos los puntos exteriores de la circunferencia pequeña son todos los
que están fuera los puntos interiores de la circunferencia grande son los
que es menos que los distantes entonces pues la intersección sería esto
la parte menor está con la parte mayor ya veis que, no sé dificultades
que hayáis encontrado en esto, estos son todos ejercicios que han sido en
el examen esta parte es más fácil que las otras pero la primera parte,
eso debe ser más fácil pero bueno, yo veo más o menos bastante
asequible, importante miraros, bueno, fijaros por ejemplo en esto, que
parece que es lo mínimo que he explicado aquí una diferencia de infinitos
y es indeterminado así que hay que hacer multiplicar siempre por el
cuadrado a cuadrado, si tengo a menos b pues tener a cuadrado menos b
cuadrado quizás la determinación continuidad continuidad aquí pues lo
que impone en la rama es básico que los siguientes parámetros sean los
mismos voy un poco recopilando esto este límite aquí es operar nada más
este acorde mismo con múltiplo entonces este pasa abajo dividiendo puede
ser más complicado no sé puede que sea aquí es un poder común no es una
sola ecuación es fácil no es muy dificultad esto, bueno, la técnica esta
tiene que ser pensar en el tipo de intervención cero partido por cero y
tal cual que da si vais más deprisa ya os saltais pasos pero más o menos
no sería por donde que lo sabéis no sabéis nada gráficas de funciones
de estas trigonométricas pues bueno, saber más o menos los valores de
estos ángulos más conocidos 30, 60, con dificultados las equivalencias en
la pista diferente ya la vez que se subió más o menos a la esquina
bastante si se sabe esto pues prácticamente ¿vale? y negaciones aquí,
pues bueno por ejemplo, probar en el caso de que puede ser pero ya hemos
visto en el caso que no caso general si tengo que multiplicar por un
número negativo cambia el sentido de la desigualdad si yo tengo una
inequación tengo dos ahora yo tengo por ejemplo dos es menor que tres
¿vale? si yo multiplico por cuatro me queda ocho es menor que doce esto es
verdad pero si lo multiplico por menos dos yo tendría menos cuatro menor
que menos seis esto no es verdad ¿vale? multiplico por un número negativo
divido tengo que cambiar el sentido de la desigualdad pero si en lugar de
un número negativo multiplicas es por x menos algo por x menos algo,
bueno, es aquello que ha pasado entonces es aquello que teníamos que mirar
y acotar cuando es negativo el denominador o no es negativo hemos visto que
no podía ser esto va a hacer con frente, vale la pena si os habéis
apuntado a que el centro y el radio se puedan desarrollar vale, pues aquí
lo tengo la circunferencia del centro o sea, la circunferencia si tiene un
centro, vale, es la distancia de todos los puntos, vale al centro es igual
a radio, vale, por tanto me quedaría la distancia sería x menos a elevado
a un cuadrado más y menos b elevado a un cuadrado igual a r la distancia
desde el punto ab, vale, todos los puntos x y y cuya distancia del centro
al punto ab, vale, es r aquí tengo el centro, vale, todos los puntos x y,
vale la distancia ab para buscar la distancia yo hago el vector este que
sería x menos a y menos b hago el módulo, vale, el módulo del vector
sería la raíz cuadrada de esto igual a r si no le digo el cuadrado como
la raíz cuadrada me queda así, vale eso sería la ecuación de la
circunferencia del centro ab vale, entonces a mí me lo dan más o menos
desarrollado vale, me dan, si desarrollo esto me queda x cuadrado cuadrado
del primero con cuadrados el doble del primero por el segundo respecto a la
x, el doble del primero por el segundo respecto a la y después a cuadrado
cuadrado del segundo, b cuadrado cuadrado del segundo igual a r cuadrado
vale, entonces yo este factor, vale, x cuadrado más y cuadrado menos 2 a x
menos 2 de y más a cuadrado más c cuadrado menos r cuadrado igual a cero
a este término le digo c, vale a este le digo b y a esto le digo aa vale,
por lo tanto aquí me quedé x cuadrado más y cuadrado más ax más de y
más c igual a cero entonces a partir de aquí a mí a la circunferencia me
la dan de esta forma entonces a mí si me interesa si me interesa el radio
el centro del radio por lo tanto las coordenadas del centro sean menos 2a
igual a a hago esto y por lo tanto la a me queda menos a partido por dos
vale la b la b me queda menos 2b vale, me quedaría menos 2b vale, menos 2b
igual a b por lo tanto la b me queda menos b partido por dos cuando tengo
la a y la b yo esto lo tendré igual lo tendré independiente si no hay
nada es cero pero si no y entonces a partir de aquí puedo añadir el radio
en función de a y b entonces ya lo tendría entonces esa ya la tendría
cuando aquí me piden por ejemplo el centro vale el centro es el punto cero
menos dos y el radio hemos visto que es por lo tanto la circunferencia la
tengo impuesta de esta forma vale por lo tanto el centro es el cero menos
dos y el radio es el cese filando más para atrás bueno, aquí los
límites también los hemos visto imaginaos en ecuaciones que hay valores
absolutos y esto lo pongo de esta forma elevándolo al cuadrado
descomposición de polinomios igual, vale, que es una descomposición de
polinomios por ejemplo sacamos porque tengo aquí el primer paso saca
después se me sale la de segundo grado vale, si no veis que por ejemplo es
un cuadrado del primero es igual a esta ecuación vale, o aquí inclusive
es igual y encontraréis esto vale, ahora vamos a salir bueno, la
definición de límites este sí que vale la pena esto es un poco más
difícil pero bueno, tampoco pone que sean muy fáciles de acotar, yo
siempre digo que encontrar el delta correspondiente que creamos un valor
absoluto vale, en función del éxito a veces puede ser directo, como es
este caso basta tomar un delta igual a éxito para que se cumpla este el
delta este lo tengo que poner en función del éxito para todo éxito, por
lo tanto tengo que hallar un delta que cumpla las dos es decir, tomando un
intervalo cualquiera de y, vale pequeña yo puedo hallar también un
intervalo de amplitud pequeña de la variable indeterminada vale esta es la
definición de límites aquella para todo éxito, en tal vale tanto acudir
pues y copiando un poco vale aquí sí que vale la pena pues miréis
aquello de la fórmula de moabre vale para un tipo de raíces porque a
veces bueno, he explicado más o menos la técnica ponemos módulo
argumento podemos en la forma polar vale si queréis también podéis
utilizar otras formas la exponencial pero aquí la polar va bastante bien y
entonces todo a veces lo tiene en forma que bueno aquí no lo decía
calcular se suele dar más en forma binómica pero si vais a cursos de
tiempo podéis dejar la forma trigonométrica a lo mejor no sé por qué o
podéis poner por ejemplo aquí pues cada una pues una sería raíz cuarta
de cuatro vale y cuatro o sea ya he dicho que esto te falta aquí que es
raíz cuarta de cuatro que es lo mismo que la raíz cuadrada de dos vale y
sexos treinta y tercios sesenta vale esto vale y bueno se pondrán todos
conocidos Composición de funciones, también miráoslo, que a veces
también ponen, ¿vale? Composición de funciones suelen ser fáciles.
Aquí me ponía una composición, que es el caso de una función que
compuesta, que es, si yo buscara la inversa de esta función, me daría la
misma, ¿vale? Me daría la misma función. Y aquí he compuesto dos veces
la función y me ha dado la inútilidad, ¿vale? Entonces yo aquí, pues
bueno, hago la composición y dice, allá hago la composición, bueno, le
hago la composición y me va bien, ya. No le piden nada más y por tanto le
piden el dominio. El dominio tiene una función racional, ¿cómo lo hay?
Pues son los valores que ha donado el denominador que le daría un número
partido por cero, que esto no existe, ¿vale? Aquí habrá un salto en
pico, una asignatura vertical de la función, pero dice que aquí, pues el
dominio están todos numerados menos los que han donado el denominador.
Bueno, aquí hay que lo de pasar a, tengo una forma cociente de números
complejos, ¿vale? Pasarlo a la forma fenómica, pues yo, yo abajo siempre
lo multiplico por el conjugado y el conjugado siempre, el producto del
número con el conjugado siempre me da un número real, ¿vale? En este
caso sería una suma de cuadrados, ¿vale? Contamos, sería uno al cuadrado
más tres al cuadrado porque hay cuadrados dando los puntos de sección en
la forma fenómica. Bueno, aquí de composición, ¿vale? Aquí de
funciones, ¿vale? O sea, en ecuaciones ya lo hemos dicho antes, funciones,
pues bueno, podéis hacer más o menos estas que quedan cortadas, que son
simétricas, pues más o menos la forma con las asignaturas ya se puede
alinear bastante por donde va, ¿vale? Por donde se calculamos las
asignaturas, puedo ya, y la simetría puedo tener bastantes pistas de cómo
sea más o menos la función, ¿vale? Tiene una asignatura vertical,
siempre tendrá asignatura, hay vertical, horizontal, cuando el grado es
igual, ¿vale? Tendrá una asignatura vertical, hay vertical, horizontal,
¿vale? Porque permite ir al número, ¿vale? Y verticales es cuando hablo
del dominador, ¿vale? Entonces, pues, podéis buscar más cosas, ¿vale?
Con el cien, crecimiento, decrecimiento, por el mejor, ¿vale? Bueno, aquí
he empezado una, buscad un dominio, que esta es una función fácil, que
nos va a dar una expresión lineal, y si me pides el mayor que quiero,
pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues, pues,
pues, pues, Aquí para resolver esta ecuación, si por ejemplo pasáis el
menos 8 al otro lado sería menos 2x mayor o igual que menos 8. La x sería
menor o igual, aquí sí que tendría que cambiar, es el caso de x. Depende
de cómo lo hagas, si hago 8 menos 2x mayor o igual que 0, si paso el 8 al
otro lado me queda menos 2x mayor o igual que menos 8. Ahora divido por
menos 2, por tanto tiene que cambiar esto, sería x menos igual que menos 8
partido por menos. Por ejemplo, si la resuelvo pasando 2x al otro lado, me
quedaría 8, con eso igual que 2x. Y divido, me queda 4 menos igual que 10.
Y ya no tengo que hacer nada. Depende de cómo lo haga. Pues bueno, más o
menos es esto. Esta primera parte no es una cifra. Si habéis hecho
matemáticas en bachillerato, esto más o menos es un poco más difícil.
Hay dos números concretos, pero lo otro es más o menos esto. La
multiplicidad y el riesgo son mismos. Pues bueno, más o menos.