Bueno, vamos a empezar el tema 3. Hoy haremos la primera parte, que es
relaciones de equivalente y orden, ¿vale? Y, bueno, en principio, pues es
un tema que sí que ya pueden tener cosas en el examen, ¿vale? Bueno, las
propiedades básicas de una relación, ¿vale? Tenemos una relación,
representa que es un subconjunto del producto cartesiano U por U. O sea,
tenemos un conjunto y una relación es un subconjunto del producto
cartesiano U por U, ¿vale? La propiedad reflexiva es que pertenecen los
pares XX, ¿vale? Pertenecen, o sea, tal que X pertenece a U. O sea, se
indica que para todo X que pertenece a U, X está relacionado. Quiere decir
que hay el par XX, ¿vale? La propiedad simétrica es que pertenece el par
XY y también pertenece el par IX, ¿vale? Entonces se pone de esta forma,
R a menos 1, ¿vale? Incluida en R a menos 1 en el sentido de la relación
inversa si hay el par XY y también el par IX, ¿vale? Se indica de esta
forma. Para todo XY que pertenece al conjunto U se verifica que si X está
relacionado con Y, entonces se prueba que Y también está relacionado.
Está la propiedad simétrica, ¿vale? La antisimétrica representa que hay
la relación inversa, ¿vale? Hay intersección entre la relación inversa
y la relación normal, ¿vale? O sea, entonces están todos los pares XX. O
sea, todos los pares XX están tal que X pertenece a U, ¿vale? O sea, se
prueba que si X está relacionado con Y y Y relacionado con X, entonces a
la fuerza se tiene que cumplir. Que X y Y tienen que ser iguales, ¿vale?
Vamos aquí, ¿eh? Lo que estaba puesto aquí, ¿eh? Entonces, la relación
transitiva, ¿vale? Si la composición de ambas relaciones está incluida
en R, ¿vale? Con una composición de aplicaciones que lo veremos el
próximo día, ¿vale? Si tenemos tres elementos cualesquiera del conjunto
U, tales que se verifica que si X está relacionado con Y e Y está
relacionado con Z, entonces se puede... Se prueba que X tiene que estar
relacionado con Z, ¿vale? Relación de equivalencia es una relación que
cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, ¿vale?
Reflexiva hemos visto que para todo X que pertenece al conjunto U, ¿vale?
X está relacionado con X. La simétrica que para todo par de elementos de
U que estén relacionados entonces, o sea, X relacionado con Y, entonces
también Y está relacionado con X. Y transitiva es que dadas, dados tres
elementos cualesquiera de U, si X está relacionado con Y e Y está
relacionado con Z, entonces X también está relacionado con Z, ¿vale? Las
relaciones de equivalencia me definen como una partición en el conjunto,
¿vale? O sea, todos los elementos que están relacionados entre sí,
¿vale? Entonces forman lo que se llama una clase de equivalencia. Eso es
lo que dice aquí, ¿eh? O sea, da una relación de equivalencia, en el
conjunto U se denomina clase de equivalencia al conjunto de todos, clase de
equivalencia de todos los elementos relacionados con X. O sea, todo el
conjunto de los elementos que están relacionados con X, ¿vale? Formarían
un subconjunto, ¿vale? Y entonces aquí pues el conjunto queda dividido en
estos subconjuntos, ¿vale? Todo de elementos que están relacionados,
¿vale? Entonces sería como una partición. Dos clases de equivalencia
serían, no siendo la misma, serían de intersección vacía, ¿vale?
Serían disjuntas, serían como dos conjuntos. Y la unión de todas ellas
sería el conjunto U, ¿vale? Entonces lo que dice aquí es, si X está
relacionado con Y, ¿vale? La clase X se va a la clase Y. Estos son
propiedades, ¿eh? Es importante. Reflexiva, simétrica, transitiva.
Entonces se puede formar lo que se llama distintas clases de equivalencia,
después veremos un ejercicio, ¿vale? Y todos estos subconjuntos serían,
de las clases de equivalencia, ¿vale? Son conjuntos disjuntos que cuya
unión en conjunto es el conjunto U, ¿vale? Aquí es lo que decimos. El
conjunto de todos estos subconjuntos que forman la partición se llama
conjunto cociente, ¿vale? O sea, se agrupan los conjuntos y se suele poner
U barra R, ¿vale? Conjunto de todas las clases de equivalencia. Bueno,
aquí recordamos también lo que es la partición de un conjunto, pero esto
ya en general, ¿no? Aquí, ¿vale? O sea, tenemos un conjunto U, una
familia de subconjuntos que son disjuntos, ¿vale? Dos a dos, cuya unión
es U, ¿vale? Esto es una partición. O sea, conjuntos disjuntos, lo que
salió el otro día, es que no tienen la intersección vacía, que no
tienen elementos comunes, ¿vale? Por ejemplo, yo podría coger, ¿vale? Y
dividirlo en distintas partes y la unión de todas estas partes que no
tienen elementos comunes, entre sí, me daría el conjunto U, ¿vale? Esto
es lo que es una partición. O sea, por un lado tenemos que toda relación
de equivalencia en un conjunto genera una partición de este conjunto,
¿vale? Lo que son las clases que se presentan aquí en este conjunto U
barra R, ¿vale? Son subconjuntos disjuntos dos a dos y la unión de todos
ellos es el conjunto U, recíprocamente, ¿vale? Si nosotros tenemos una
partición de un conjunto, esto nos permite definir una relación de
equivalencia, ¿vale? Mediante esta relación. O sea, tenemos una
partición de un conjunto y podemos relacionar distintos elementos, ¿vale?
Que serían los conjuntos estos formarían las clases de equivalencia,
¿vale? De esta forma. X está relacionado con Y solo si existe algún
conjunto de la familia que forma la partición tal que el conjunto XY
pertenece a Y. Entonces, yo podría ir formando conjuntos de estos
elementos, ¿vale? Y todos ellos serían disjuntos. Por tanto, esto serían
las clases de equivalencia de esta relación, ¿vale? Pero bueno, esto en
los ejercicios no se utiliza mucho, ¿eh? Son propiedades. Bueno, relación
de orden. Una relación de orden, ¿vale? Tenemos una relación definida en
un conjunto. Si posee las propiedades reflexiva, ¿vale? Para todo X que
pertenece al conjunto 1, X está relacionado con X. Antisimétrica, aquella
que decíamos si suponemos que, o sea, si X está relacionado con Y e Y
está relacionado con X, entonces a la fuerza tiene que ser X igual a Y,
¿vale? Y transitiva como con las de equivalencia, ¿vale? Para todo X y Z
que pertenecen al conjunto 1, si X está relacionado con Y e Y está
relacionado con Z, entonces X está relacionado con Z. ¿Vale? Una
relación se dice que es de orden total si la relación inversa y la
relación normal me da todo el conjunto producto cartesiano de U por sí
mismo. ¿Vale? O sea, ¿qué quiere decir esto básicamente? O sea, que
cogiendo dos elementos cualesquiera, o se cumple que X está relacionado
con Y o Y relacionado con X. O sea, se cumple una de estas dos, ¿vale? O
sea, una relación que cumple este, ¿vale? Se dice que es de orden total,
¿vale? O sea, si X está relacionado con Y, o sea, cogiendo dos pares de
elementos, siempre yo, o sea, del conjunto U, siempre yo puedo probar que o
X está relacionado con Y o Y está relacionado con X, ¿vale? O sea, a
veces la relación puede ser que X esté relacionado con Y, ¿vale? En las
relaciones de orden, pero la Y al revés no esté relacionada con X,
¿vale? Una relación que cumple esto, ¿vale? Se llama relación de orden
total. El conjunto U se dice que está totalmente ordenado con esta
relación, ¿vale? O sea, si no se cumple, se dice que la relación es de
orden parcial, ¿vale? O sea, la relación es de orden parcial. En el libro
me parece que no sale, pero a veces también se define una relación de
preorden, ¿vale? Preorden es una relación que cumple la propiedad
reflexiva y transitiva, pero no la antisimétrica, ¿eh? ¿Vale? Pero en
principio es que ahora no sé si sale en el libro, pero en principio
también hay la de preorden. Esta sí, esta sale. O sea, lo que es orden
total y lo que es orden parcial. Orden parcial es una relación de orden
normal, pero que no verifica que para cualquier par de elementos o X está
relacionado con Y o Y relacionado con X no se verifica. La relación solo
es en un sentido. O X relacionado con Y o Y relacionado con X. Bueno, va
formado por un conjunto y una relación de orden se dice que es un conjunto
ordenado. Bueno, a menudo las relaciones de orden se representan de esta
forma que parece menor o igual. Más o menos tiene relación, ¿eh? Pero
claro, en principio no es solo un número menor o igual, ¿vale? O sea, las
relaciones de orden se suele representar de esta forma, ¿vale? Este
símbolo que parece un número igual no es un símbolo menor estrictamente,
¿vale? Sino que es un símbolo que hace un poco de curva así, ¿vale?
Entonces esto, ¿vale? Entonces la expresión A relacionado con B, ¿vale?
Se lee como A precede a B, o sea A va antes que B, ¿vale? O A puede ser
igual a B, ¿vale? O sea, en principio la relación B como menor pero no es
menor, ¿vale? Que A o lo que es lo mismo B, a veces se pone B mayor. Se
utiliza para indicar que A está relacionado con B, ¿vale? Pero es
estrictamente, ¿vale? B no es diferente de A, o sea, A es diferente de B.
O sea, A menos o igual que B, ¿vale? Y A distinto de B. Se pone A
distísimo, como si fuera A menor que B, ¿vale? O B mayor que A, ¿vale?
Aquí más o menos dice intervalo es un conjunto ordenado, ¿vale? Esto es
importante y es tener muy presente por ejemplo aquellos intervalos abiertos
y cerrados. No es lo mismo pero sí que es bastante parecido, ¿vale? Si se
tiene presente aquello pues se entiende bien esto, ¿eh? ¿Vale? Intervalo
abierto, ¿vale? Fijaros que más o menos es parecido igual, ¿eh? ¿Vale?
O sea, es el conjunto de todos los elementos X del conjunto tal que A está
relacionado con X y X está relacionado con B, ¿vale? Pero no el símbolo
como aquello también que pueda ser A igual a B. O sea, que puede ser X
igual a A o que puede ser X igual a B, sino estrictamente, ¿vale? O sea,
esto de aquí, ¿eh? Pero sí que tiene mucha similitud con lo que son los
intervalos cerrados, ¿vale? Aquí, intervalo cerrado en esta relación,
¿vale? Es el conjunto AB, ¿vale? Tales que A está relacionado con X,
¿vale? Y X está relacionado con B, ¿vale? O sea, esto parece... Y aquí
sí que no es estrictamente sino que la X puede ser igual a A y la X puede
ser igual a B. Intervalo semiabierto, o sea, parecido a aquello que
decíamos, ¿vale? En este caso sería, en este caso, ¿eh? A paréntesis A
coma B al claudator, ¿vale? Sería el conjunto de los elementos X, tales
que A está relacionado con X, pero A no puede ser igual... X no puede ser
igual a A y X está relacionado con B, pero X puede ser igual a B, ¿vale?
Este otro claudator A coma B, ¿vale? Paréntesis, es el conjunto de los
elementos X que pertenece a U, tales que A está relacionado con X y puede
ser igual a A y la X puede ser igual a X, A puede ser igual a X, y la X
está relacionada con B, pero la X no puede ser B, ¿vale? Bueno, entonces
aquí, pues aquello parecido a los intervalos, ¿vale? Si tengo este AB en
paréntesis y el otro, el semiabierto A coma B claudator o el A coma B,
¿vale? Aquí, si la A es igual que la B no puede ser, ¿vale? Entonces
puede ser el conjunto vacío, ¿vale? En el caso de que sea en claudatos,
¿vale? Que la X pueda tomar el valor A y pueda tomar el valor B si A es
igual a B, ¿vale? Este conjunto se reduce a un conjunto unitario, conjunto
de un solo elemento A o B, ¿vale? Lo mismo, ¿eh? Bueno, intervalos
iniciales y finales, más o menos también es lo mismo, ¿vale? O sea,
aquello, bueno lo digo para asociarlo con lo que son los conjuntos de
intervalos o semirrectas de números reales, ¿vale? Entonces aquí
tenemos, bueno, un conjunto ordenado un conjunto, ¿vale? Con la relación
esta, ¿vale? Que a veces puede ser menor o igual, ¿eh? También sería
una relación de orden, pero la mayoría de veces no la pondrán así tan
fácil, ¿vale? Se ven intervalos cada uno de los siguientes conjuntos
Intervalo inicial sería todos los elementos X que están relacionados con
el A, ¿vale? O sea que serían ¿vale? Parecido, ¿eh? O sea, para
asociarlo con una semirrecta, ¿vale? O sea, hacía menos infinito ¿eh?
Por ejemplo, por tanto, serían todos los elementos X que están
relacionados con A estrictamente pero la X no puede tomar el valor ¿vale?
Entonces sería intervalo inicial abierto, se llama Intervalo final
cerrado, pues sería al revés, ¿vale? O sea A sería todos los elementos
o sea, A relacionado con todo todos los elementos X ¿vale? Pero la A, la X
no puede ser igual a A, ¿vale? Sería una relación como estricta sería
como una semirrecta o sea, con origen en A sin coger el A, ¿vale? Y hacia
la derecha y esta es una semirrecta con origen en A, hacia menos infinito
hacia la izquierda Intervalo inicial cerrado es lo mismo que el intervalo
inicial abierto, pero X sí que puede tomar el valor A ¿vale? Y el
intervalo final cerrado, ¿vale? Pues sería lo mismo que el intervalo
final abierto, pero en este caso la esta la X sí que puede tomar el valor
A. Bueno, más definiciones igual siempre tenemos un conjunto ordenado y un
subconjunto ¿vale? Un subconjunto A de 1 ¿vale? Se dice cota superior de
un conjunto ¿vale? O sea, esto es importante que esto a veces sí que lo
preguntan bueno, puesto en un ejercicio una cota superior del subconjunto A
es cualquier elemento que pertenece a U o sea, al conjunto U que para todo
X que pertenece a A, X está relacionado con U o X puede ser igual a U.
Aquí puede ser no relacionado estrictamente, sino que podría ser igual a
U, ¿vale? O sea, después veremos que aquí si es igual a U tiene otro
nombre también esto, ¿eh? O sea, pero una cota por ejemplo, no sé, si
estoy en menor o igual yo qué sé, si tengo números menores que 50,
parece una cosa una cota superior puede ser 1000, ¿vale? Hay muchas cotas
superiores. Cota inferior ¿vale? Es cualquier elemento de U que verifica
que para todo X del conjunto A D está relacionado con X. En este caso
sería D que puede ser A estrictamente o puede ser, la D también puede
pertenecer al conjunto A, ¿vale? O sea, para D puede ser igual a X,
¿vale? Un conjunto se llama acotado superiormente si tiene al menos una
cota superior, ¿vale? Y se llama acotado inferiormente si tiene al menos
una cota inferior, ¿vale? ¿Vale? A, un conjunto acotado inferiormente si
A es un conjunto acotado el conjunto es acotado inferiormente si existe una
cota inferior de A ¿vale? Un conjunto que está acotado el conjunto A
¿vale? Que está acotado superiormente e inferiormente se llama acotado,
¿vale? O sea, más definiciones también es lo mismo, ¿eh? Tenemos un
conjunto U, ¿vale? Y un subconjunto A de U Entonces se llama máximo del
conjunto A ¿vale? Un elemento M, ¿vale? De A ¿vale? O sea, un elemento M
que forma parte ahora del conjunto A, ¿eh? ¿Vale? O sea, que pertenece al
conjunto, ¿vale? Tal que para todo otro X que pertenece a A, la X está
relacionada con M ¿vale? O sea, todo, o sea, sería X para asociarlo con
menor o igual, pues sería X puede ser menor o igual que M, ¿vale?
Entonces se pone, se denota por máximo de A En este caso, si sería esta
sería la menor de las cotas sería la menor de las cotas superiores,
¿vale? O sea, todos los números a la derecha de M, ¿vale? También
serían cotas superiores del conjunto A pero en este caso la M sería el
que es mayor pero está dentro del conjunto, ¿vale? Mínimo de un
conjunto, pues es al revés ¿vale? Es cualquier elemento M, ¿vale? El
conjunto o sea, puede ser, es un elemento bueno, esto se representa por
máximo A, ¿vale? ¿vale? Mínimo del conjunto A es un elemento M que
pertenece al conjunto A tal que para todo otro elemento representa que M
estaría a la izquierda de este elemento, ¿vale? Evidentemente la X puede
tomar el valor E, ¿vale? No es estricto sino que puede tomar el valor C
¿vale? Se pone mínimo A, ¿vale? Supremo de un conjunto A es una cota se
representa por S es un elemento que pertenece al conjunto U, ¿vale? Tal
que S es menor o igual que U ¿vale? Representa que el supremo no pertenece
al conjunto A, ¿vale? Supremo, ¿vale? No es como el máximo que pertenece
al conjunto A, esto es parecido o sea, sería la menor, ¿vale? Hablando de
las cotas superiores de A o sea, sería la menor de las cotas superiores.
Por ejemplo, en números reales, ¿vale? Si yo tengo un intervalo abierto,
¿vale? Yo digo para asociar un poco más a lo que conocemos, ¿eh? O sea,
si yo tengo un conjunto abierto a B o en números 3, 6 abiertos, ¿vale? El
supremo del conjunto A, ¿vale? En este caso es, digamos, el conjunto A
existe intervalo abierto y el supremo en este caso, ¿eh? La relación de
no igual, ¿eh? O sea, los números A, ¿vale? Entonces, aquí yo tendría
el supremo que sería 6 6 lo perdé de a este conjunto ¿vale? Y lo que
viene después del íntimo, ¿vale? Esto que dijimos, ¿eh? El íntimo es
una cota inferior bueno, se pone I ¿vale? Sería la mayor de las cotas
inferiores, ¿vale? O sea, el íntimo ¿vale? En este caso sería I que
pertenece a U, tal que cualquier otra cota inferior, ¿vale? Siempre es
menor o igual que I, ¿vale? En este caso se pone íntimo A ¿vale? En este
caso, poniendo un ejemplo fácil, ¿vale? Aquí sería el supremo supremo
de A sería 6, ¿vale? Y el íntimo en este caso sería 3, ¿vale? Ni el 6
ni el 3 pertenece al conjunto A ¿vale? Y por ejemplo poniendo el mismo
ejemplo, ¿vale? Vemos que el conjunto, si el conjunto D fuera a 3 36,
¿vale? En este caso, el máximo de A sí existe el máximo de B, ¿vale?
En este caso sería 6 pero no existe no existe el mínimo, ¿vale? Porque
el 3 ¿vale? Esto sería la cota inferior ¿vale? El íntimo el íntimo de
B sería 3, pero no hay el mínimo, ¿eh? ¿vale? Porque el 3 no pertenece
al conjunto, ¿eh? ¿vale? Bueno, aquí lo que dice si tenemos un conjunto
ordenado y un subconjunto se tiene que, si existe el máximo o el mínimo
del conjunto A, entonces este es el único bueno, no hay dos mínimos,
¿vale? Otro, si existe el supremo o el íntimo del conjunto A entonces
este también es único ¿vale? Si existe el supremo del conjunto A y ese
este supremo pertenece a bueno, esto lo hemos visto, entonces este es el
máximo de A, ¿vale? Si existe el íntimo del conjunto A y I pertenece a
entonces I es el mínimo de A ¿vale? Con aquello se ve que el ejemplo se
ve propiedad del buen orden ¿vale? Es otra, que estos son resúmenes
teóricos que sí que vale la pena que es saberlo, ¿vale? Si tenemos un
conjunto ordenado ¿vale? Se dice que es un conjunto bien ordenado o que la
relación esta, ¿vale? Es una buena ordenación si cualquier subconjunto
no vacío posee mínimo o sea, cualquier subconjunto no vacío o sea, que
yo coja de este de aquí, ¿vale? O sea, pueden coger los primeros
elementos, puedo coger elementos del medio, ¿vale? Pero cogiendo esto
siempre hay un mínimo en este subconjunto siempre hay un mínimo ¿vale?
Esto es lo que se llama mínimo o primer elemento, ¿eh? Mínimo o primer
elemento es lo mismo el elemento mínimo de cada subconjunto A se domina
primer elemento de A ¿vale? O sea, cogiendo el conjunto A distintos
subconjuntos ¿vale? Yo siempre encuentro un número que es en el efecto,
siempre estaría a la izquierda, ¿vale? En la ordenada acción
correspondiente, ¿eh? Esto es lo que es la propiedad del bueno Entonces,
¿y quién quiere la propiedad del bueno de una propiedad en el cota
inferior? Cota inferior, bueno un cota inferior ya representa que sería
esto el primer elemento Propiedad del supremo si dice que un conjunto a
bueno, que está, que hay definida una relación de orden, ¿vale? Si, y
solo si cualquier subconjunto no vacío, ¿vale? O sea, está acotado
superiormente a ver si así y esta ya es un poco más así, ¿vale? Que no,
en los intervalos y todo esto esto no se cumple. Maximal de un conjunto,
después lo veremos en otro tipo de relaciones a maximal y minimal de un
conjunto o sea, es un elemento M que pertenece a A ¿vale? Pero maximal, o
sea, como máximo y mínimo solo puede haber uno maximales puede haber
varios y minimales también, ¿vale? O sea, es un elemento M que pertenece
a A, ¿vale? Tal que no existe ningún otro X de A, X distinto de M que
esté relacionado con X o sea, a veces hay elementos que no se relacionan
con ningún otro ¿vale? Entonces son, ya después saldrá un ejemplo en
los ejercicios son maximales todos no hay uno sino que puede haber varios
¿vale? Y minimal pues es igual pues al revés, ¿vale? Es un elemento M
que pertenece a A tal que no existe otro elemento X que pertenece a A, tal
que X esté relacionado con M pero, ya digo, puede haber varios si el orden
es total los conceptos de maximal y máximo y minimal y mínimo coinciden,
¿vale? Entonces sí que habría un elemento, ¿vale? Entonces habría solo
un maximal que sería un máximo y habría un minimal que sería mínimo.
Si el orden es total si no es total, pues no, ¿vale? La relación de esto
menor o igual se ve muy clara pero cuando hay otro tipo de relación ya no
se ve tan claro. Bueno, ya en ejercicios, ¿vale? Bueno, aquí tenemos una
relación definida del conjunto de dos números enteros, Z es el conjunto
se representan los números enteros veremos más adelante, ¿vale? Dice X
es congruente con Y módulo 5 si 5 divide a X menos Y, ¿vale? O sea, nos
dicen la relación de esta forma si, si, solo si, ¿vale? A veces ponen
equivale pero aquí ¿vale? X la relación es esta, es congruente ¿vale?
Con Y módulo 5 si 5 divide a X menos Y ¿vale? Probar que es una relación
de equivalencia. Yo tengo que probar que se cumple las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva, ¿vale? Pues yo lo que hago pues es
aplicar la definición de relación, ¿vale? O sea, como 0 ¿vale? Para 0
es igual a X menos X ¿vale? O sea, cualquier par de elementos X menos X
¿vale? Tendré que 5 dividirá a X menos X, que 0, o sea, 5 divide a 0,
¿vale? Siempre o cualquier número, ¿eh? Pero en este caso estamos en el
5, pues el 5 divide a X menos X, ¿vale? Por tanto aquí, por la
definición de la relación ¿vale? 5 divide a X menos X, pues X que es
congruente con X, módulo 5 Esta es la relación que estamos diciendo,
¿vale? Simétrica, ¿vale? Si X está relacionado con Y, ¿qué quiere
decir? O sea, o si X es congruente con Y, módulo si X es congruente con Y,
módulo 5, quiere decir que 5 divide a X menos Y, ¿vale? Evidentemente si
5 divide a X menos Y, 5 también divide a Y menos X, ¿vale? Y por tanto se
cumple que Y es congruente con X, módulo 5. Por tanto tenemos que la
relación hemos probado la propiedad reflexiva y la simétrica, ¿vale?
Vamos a probar la transitiva o sea, partimos de que X es congruente con Y,
módulo 5 y que Y es congruente con Z, módulo 5. Entonces por la
definición que hemos dado quiere decir que X divide a X menos Y, que 5
divide a X menos Y y que 5 divide a Y menos Z, ¿vale? Por tanto también
si dividir el 5 divide a X menos Y y divide a Y menos Z también dividirá
a la suma, ¿vale? O sea, también dividirá a la suma de ambos, ¿vale?
Entonces 5 divide a X menos Y más Y menos Z, ¿vale? Por tanto, haciendo
operaciones, las Y se van y me queda X menos Z. Por tanto deducimos que 5
divide a X menos Z, que es el resultado de esta suma y por tanto tenemos
que X es congruente con Z, módulo 5. Por tanto ya hemos probado las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, ¿vale? Deformar las clases
de equivalencia. O sea, aquí tendré todos los números cuyo resto de
dividirlos por 5 sea 0, ¿vale? Esta sería una clase de equivalencia. Por
tanto, bueno, pues tendría infinitos, ¿no? Pero entonces pues serían
menos 15, menos 10, menos 5, etc. 0, el 5, el 10, el 15, ¿vale? Todo esto
sería una clase de equivalencia, ¿vale? Después, todos los números que
al dividirlos por a 5 el residuo es 1, ¿vale? Por ejemplo, el menos 9,
¿vale? El menos 4, el 1, el 6, el 11, ¿vale? Después, que el residuo sea
2, pues tendría el menos 8, el menos 3, el, bueno, tendría antes, ¿eh?
Tendría, por ejemplo, el menos 13, ¿vale? El menos 8, el menos 3, el 2,
el 7, el 12, ¿vale? Y así. Que al dividirlos por 5, el residuo es 3. Pues
sería el menos 7, el menos 2, el 3, el 8, el 13, ¿vale? Que al dividirlos
por 5, el resto es 4. Sería el menos 6, el menos 1, el de equivalencia que
el resto es 4, ¿vale? Por tanto, esto ya estaría. Miramos para atrás.
Primero, probar qué es una relación de equivalencia, o sea, tenemos que
probar las propiedades, ¿vale? Después, formar las clases de
equivalencia, ¿vale? Y, por último, pues sencillamente cuando tengo las
distintas clases, pues ponerlo en conjunto cociente, que sería zeta barra
5, ¿vale? Igual, ¿vale? O sea, 0, es sub 0, es sub 1, es sub 2, es sub 3,
es sub 4, que quiere decir todos los números que el resto es 0, todos los
números que el resto divide 2 por 5 es 1, todos los números que el resto
es 2, todos los números que el resto es 3 y todos los números que el
resto es 4. ¿Vale? Bueno, el siguiente ejercicio es un poco diferente,
¿vale? Bueno, aquí tenemos el conjunto de sub n, ¿vale? Serían todos
los intervalos cerrados, ¿vale? De 0 y 1 partido por n, ¿vale? n
pertenece a n asterisco, n asterisco es el conjunto aquí, si habéis
cogido un libro, hay otros libros que los números naturales los cogen del
1 hacia la derecha, 1, 2, 3, 4, ¿vale? Y aquí, bueno, y otros libros los
cogen a partir del 0, ¿vale? Entonces ellos distinguen n de n asterisco, n
asterisco, n asterisco representa que son a partir del 1, ¿vale? No sé si
habéis cogido el libro, ¿vale? Más o menos ya os habrá salido esto,
¿vale? Más adelante salen los temas que hablan de números naturales y
enteros, más, pero aquí, ¿eh? ¿Vale? n asterisco quiere decir los
números naturales a partir del 1. n es los números naturales a partir del
0, ¿vale? Hay libros que los conceden los números naturales a partir del
1, ¿vale? Bueno, aquí me dan intervalo, ¿vale? 0, ¿vale? abierto y 1
partido por n con n, evidentemente a partir de 1, ¿vale? Después aquí,
ese n sería otro intervalo 0 que aquí no me coge, ¿vale? No me coge el
extremo, ¿vale? Representa que no me coge el 0, o sea, aquí sí, porque
hay un clau dato y aquí no, ¿vale? Yo me acerco a 0, pero y está y
cerrado, ¿vale? En 1 partido por n, ¿vale? Por ejemplo 0, 1 medio, 0, 1
tercio, 0, 1 cuarto, ¿vale? 0, 1 partido por 1000, ¿vale? Después aquí
tenemos otro, tn, ¿vale? Que coge el 0, ¿vale? Y 1 partido por n no lo
coge el extremo, ¿eh? ¿Vale? Aquí donde n pertenece a n, ¿vale? Me pide
que haya la intersección de todos los dn, la intersección de todos los sn
y la intersección de todos los tn, o sea, ¿qué resultado da? ¿Vale? O
sea, la intersección de todos los dn, ¿vale? Yo tendría, tal como está
definido, dn, ¿vale? Aquí, por tanto, o sea, fijaros que aquí sería,
esta es la intersección de 0, 1 medio, 0, 1 tercio, 0, 1 cuarto, 0, por
ejemplo, 1 partido por 1000, evidentemente, cuando la n va creciendo, esto
me va a parar a 0, ¿vale? Por tanto, la intersección de todo me quedaría
reducido al número 0, ¿vale? Me quedaría reducido al número 0, ¿eh? O
sea, un conjunto unitario, ¿vale? Aquí quiere decir conjunto, ¿vale? Se
representa entre llaves, quiere decir el conjunto formado solamente por el
número 0. Si buscamos la intersección de sn, ¿vale? Aquí, en este caso,
¿vale? ¿Qué pasará? Aquí me quedaría, pues, 0 sería que no se cojo
el 0, ¿vale? Por ejemplo, sería 0 abierto y 1 partido por n cerrado. Por
ejemplo, sería 0 medio sin tomar 0, 0 un tercio, 0 un cuarto, 0 1 partido
por un millón, ¿vale? 0, 1 partido por 10 a la 60.000, por ejemplo,
¿vale? Que sería un número prácticamente 0, ¿vale? Por tanto, todo
esto, ¿vale? No hay ningún elemento en común, por tanto, aquí la
intersección de todo esto sería el conjunto vacío. La intersección de
todo esto sería el conjunto vacío. Después, la intersección de todos
los conjuntos, ¿vale? Que cogen el 0 y 1 partido por n, ¿vale? En este
caso, pues, me quedaría, sería, finalmente, sería yo tuviera 0, ¿vale?
Un conjunto sería 0 y este también sería 0, pero aquí no cojo el 0,
¿vale? Por tanto, ¿qué me pasaría? Me pasaría como aquí. Yo tendría
un intervalo que sería 0 cerrado y 0 abierto, ¿vale? Imposible, ¿vale?
Por tanto, también es el conjunto vacío. 0 abierto y 1 partido por n
tiene que ser no, cerrado y 1 partido por n abierto. Este tiene que ser el
vacío también, ¿eh? Ya lo arregla esto, tiene que ser. ¿Por qué no tal
y como está? No, porque sería 0 El 0 siempre está incluido por la
izquierda. El 0 está a la izquierda y aquí incluido siempre. Y el 0
aquí, vale, sí. Este está bien, el que no está bien es este otro,
¿vale? Sí, el 0 estaría ahí, porque esto tiende a 0. ¿Esto tiende a 0?
Aquí el 0 es por la derecha. ¿Vale? Si buscamos, por ejemplo, con
límites es por la derecha. Este no, ¿vale? Este sería, este aquí sería
por la derecha. Por tanto, 0 y aquí sería un número muy cercano a 0,
¿vale? Por tanto, siempre será 0 porque sea mayor que 0, ¿eh? Este sí,
este sí que es 0. ¿Vale? Por tanto, no. Ya está bien, ¿eh? Ya está
bien. Bueno, aquí me dice 2, 3, 4 y 5, ¿vale? Me dan números naturales a
partir del 2, ¿vale? Y el ordenado por x divide a y, ¿vale? Entonces
dice, hallar todos elementos minimales, ¿vale? Aquí, fijaros que el 1 no
está, ¿vale? Por tanto, si p es un número primo, ¿vale? P divide a p
pero solamente, a p, ¿vale? O sea, p divide a p y aquí tendría, por
ejemplo, si estuviera el 1, 1 dividiría a p pero 1 aquí no pertenece a a.
Por tanto, todos los números primos son elementos minimales, ¿vale? O
sea, no hay ningún otro, ¿vale? Si a no es primo, ¿vale? Yo encontraré
a cualquier otro número b, ¿vale? Tal que b divida a, ¿vale? Por tanto,
tendríamos que b estaría relacionado con a, ¿vale? Pero b sería
distinto de a. Por tanto, aquí, en este caso, los únicos números
minimales son los números primos, ¿vale? O sea, que no hay ningún otro,
¿vale? Que sea divisible, ¿vale? Hallar todos los elementos maximales.
Maximales no habrá. ¿Por qué? Por ejemplo, si a pertenece a, a divide
por ejemplo, o sea, si a cualquier elemento a que genera el conjunto a, a
dividirá por ejemplo, a 2a, a 3a, a 4a. Por tanto, aquí no habrá
elementos maximales. Aquí hay otro, ¿vale? Otro ejercicio, ¿vale? Dice
si q es el conjunto de los racionales, el subconjunto, ¿vale? A es los
números racionales tales que el cubo es menor que 3, ¿vale? Dice a está
acotado superiormente, ¿vale? En este caso, sí que está acotado
superiormente porque, por ejemplo, yo cojo el 50, ¿vale? Que es un número
real y, por tanto, todos los números del conjunto a, ¿vale? Evidentemente
con esta, con serían menores que esta cota, ¿vale? Hay infinitas de cotas
a la derecha, pero en principio, por ejemplo, el 50 sería una, ¿vale? ¿A
esta acotado inferiormente? Pues no, porque por ejemplo, yo podría ir
buscando números a números negativos, ¿vale? ¿Vale? Por tanto, a no
está acotado inferiormente, ¿vale? No puede encontrar un número, ¿vale?
Que el cubo, ¿vale? Por ejemplo, no sé, menos 1000, ¿vale? No es menor
que 3, ¿vale? Pues es menor que 3, quiere decir, ¿vale? Por tanto, en
principio, inferiormente no está acotado, ¿vale? Al supremo de a no
existe, ¿vale? ¿Por qué? Porque en principio yo no puedo encontrar un
número, ¿vale? Número se entiende fraccionario, ¿vale? Aquí sí que lo
que se ha puesto, ¿vale? Por ejemplo, considerando a con su conjunto de
números reales, ¿vale? Si a fuera un el número raíz tercera de 3 sería
un extremo superior de a, ¿vale? Sería la mínima de las cotas
superiores, pero en números racionales esto no es posible. ¿Vale? Tampoco
hay ínfimo porque como no hay cotas inferiores, no puede haber una que sea
mayor que las otras, ¿vale? Por tanto, tampoco hay, si no hay cotas
inferiores, evidentemente, no hay ínfimo, ¿vale? Bueno, y otro, ¿eh?
Otro ejercicio, ¿vale? N, ¿vale? Aquí lo ponen, ¿eh? N asterisco es n
barra cero, quiere decir todos los números naturales menos del cero
ordenado por x divide a y, ¿vale? Entonces, a se considera un subconjunto
de n, ¿vale? O sea, de, se puede decir, ¿vale? Dice, existe el ínfimo de
a, existe el supremo, ¿vale? O sea, aquí para cualquier subconjunto de
números naturales, ¿vale? Sin tomar el cero, ¿vale? El máximo común
divisor, ¿vale? Es el número mayor que divide, ¿vale? A todos los
elementos, o sea, el máximo común divisor de este subconjunto de
números, ¿vale? Es el mayor número que divide a todos estos elementos,
por tanto, será el ínfimo, ¿vale? Existe siempre, ¿vale? Al igual,
¿vale? El supremo, ¿vale? Será, evidentemente, no pertenecerá a este
conjunto, pero será el, o podría ser, bueno, o sea, el supremo existirá
que en según qué casos puede ser el máximo, igual el mínimo común
multiplicador también se pertenece al conjunto, puede pertenecer o no
pertenecer, ¿vale? Depende del subconjunto este, ¿vale? El mínimo común
múltiplo, ¿vale? Es el menor número, ¿vale? Que es dividido por todos
los subconjuntos, ¿vale? Por tanto, será el supremo, ¿vale? Que en
algunos subconjuntos puede ser el máximo, no en todos, ¿eh? ¿Vale?
Después aquí tenemos otro, ¿eh? Otro ejercicio de, ¿vale? Los números
son 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 10, ¿vale? de I, ¿vale? Es decir, hallar los
elementos maximales de B. Hallar los elementos minimales de B y si B tiene
un primero o un último elemento, ¿vale? Los elementos maximales son el 3,
el 2 y el 5, ¿vale? O sea, aquí hay estos elementos, ¿vale? Tal como
definía la relación, 3, 2 y 5, ¿vale? O sea, 3, 2 y 5, o sea, X es
múltiplo de I, ¿vale? El 2 no es múltiplo del 8, ¿vale? Sino que es un
divisor, ¿vale? El 3 no es múltiplo del 9, ¿vale? Sino que es,
evidentemente, un divisor, ¿vale? El 4, ¿vale? Que es múltiplo el 8 es
múltiplo de 4, ¿vale? El 9 es múltiplo de 3 y el 10 es múltiplo de 5,
¿vale? Por tanto, hallar los maximales los maximales serán el 2, el 3 y
el 5, ¿vale? Los elementos minimales serán el 6, el 8, el 9 y el 10. El 4
no, ¿vale? Dice, ¿tiene un primer o un último elemento? Pues no, ¿vale?
Porque de maximales, por ejemplo, hay 3 y de minimales, ¿vale? Hay 4,
¿vale? Por tanto, no hay ni primero ni último elemento, ¿vale? No hay
uno que sea la menor de las cuotas inferiores o la mayor, o sea, la menor
de las cuotas superiores o la mayor de las cuotas inferiores, ¿vale?
Bueno, pues esto más o menos, a ver, aquí que es importante yo digo de
cara al examen sobre todo fijaros en ejercicios que sean básicamente de
relaciones de orden, ¿eh? O sea, más que de equivalencia. Relaciones de
orden, a veces suelen preguntar ejercicios parecidos a estos, o sea, un
poco más largos, en el libro hay, supongo, ejemplos, pero básicamente
relaciones de orden. Piden esto de las cuotas superiores, inferiores,
¿vale? Maximal, minimal, todo esto. Esto es lo poco importante de mirarse
de cara al examen, ¿vale? Lo otro de las relaciones de equivalencia,
bueno, evidentemente lo pueden preguntar todo, pero no están probados,
¿vale? Evidentemente, no sé, la profesora que lo lleva da muy poca
información de exámenes y tal y no suele preguntar de un año a otro, lo
mismo, ¿eh? Pero sí que a veces algún tipo de ejercicios, sobre todo
estas relaciones de orden y esto, suele poder, ¿vale? No quiere decir que
vaya a entrar este año, ¿eh? Pero en principio sí que aquí de esta
parte que hemos hecho hoy, lo más de cara al examen que yo insistiría,
¿eh? No quiere decir que vaya a entrar, ¿eh? Porque esto sería esta
parte, ¿eh? ¿Vale? Esta parte de cuotas superiores, cuotas inferiores,
sobre todo mirando cómo está definida la relación, ¿vale? Y esto. A
veces pueden también aquello, ¿eh? Pueden poner intervalos, ¿vale? Pero
en principio aquellos intervalos también se asocia, ¿vale? Pero como es
muy fácil, en principio pues no creo que tenga tanta posibilidad de
ponerlo, ¿eh? ¿Vale? A ver si hoy ha ido bien esto.