Vamos a ver el tema 4, que es de estructuras algebraicas, ¿vale? Hay
grupos, ¿vale? Las básicas son grupos, anillos y cuernos, ¿eh? Lo que
tenemos básicamente son grupos y anillos. Aquí, por ejemplo, lo normal es
que si yo tengo por ejemplo una igualdad AX igual a Y, ¿vale? Y A es
distinto de 0, pueda dividir, ¿vale? Esto lo voy a operar, ¿vale? Y
resulta que el pitch es igual. Aquí tenemos un ejemplo de que
multiplicamos, por ejemplo, la matriz 1, 2, 3, 6, o la matriz de orden 2x2,
por esta matriz también de 2x2, 5, 3, menos 1, 1, ¿vale? Entonces, que
teóricamente debería ser igual, ¿vale? O sea, la misma matriz por otro,
¿vale? De aquí, pues yo veo que no se cumple, que el producto este, si
hay un matriz igual, ¿vale? Si hay un matriz igual, ¿vale? Por tanto, yo
no puedo aquí, pues deducir que esta matriz es igual a esta, ¿vale? O
sea, con operación interna, dos elementos de un conjunto, operados,
¿vale? O sea, con operación asterisco, ¿vale? A operado con B me da otro
elemento del conjunto, ¿vale? Entonces, puede cumplir las propiedades
asociativas, ¿vale? A operado con B y el resultado operado con C es lo
mismo que A operado con D y operado con C, ¿vale? La conmutativa A operado
con B igual a B operado con A. Elemento neutro, aquí se cumple la
propiedad conmutativa, ¿vale? A operado con el neutro es igual que el
neutro operado con A es igual que A. Y el neutro es uno, ¿vale? Existe es
uno. Elemento simétrico, evidentemente, tiene que existir el neutro,
¿vale? Y es otro de un elemento A. El simétrico será A' si A operado con
A' es igual a A' operado con A y es igual al elemento C. El simétrico
también de cada elemento, si existe, es uno, ¿vale? O sea, entonces, un
conjunto G y una operación interna definida en G, ¿vale? O sea, una
operación interna quiere decir que dos elementos del conjunto C con la
operación esta me dan otro elemento del conjunto C, ¿vale? ¿Ok?
Entonces, tiene estructura de grupo. Si se satisface... Las propiedades
asociativas, elemento neutro y elemento simétrico. Si además cumple la
propiedad conmutativa, sí es que es un grupo A' ¿no es? La propiedad
asociativa existe el elemento neutro, ¿vale? Para todo A existe el
inverso. Y además, si además es grupo con estas tres condiciones, si
además cumple la propiedad conmutativa, el grupo es conmutativo. Bueno,
aquí en un grupo, ¿vale? Si yo tengo la igualdad A operado con B igual a
A operado con C, ¿vale? Deduzco aquí que B es igual que C. ¿Vale? Para
todo par AB existe un elemento X, ¿vale? Que A operado con X es igual a...
O sea, el tipo de ecuación podría ser, ¿vale? Que A operado con X,
¿vale? Igual a otro número, porque tanto yo podría hallar la X, ¿vale?
El simétrico. De un producto, ¿vale? Es igual al producto de simétricos
pero al revés, ¿vale? El simétrico de A operado con B es el simétrico
de B a la menos... B, ¿vale? Que aplicamos por B a la menos uno, operado
con el simétrico de A a la menos uno, ¿vale? Un subgrupo es un conjunto,
un subconjunto de un grupo, ¿vale? Un grupo más amplio que también es
grupo con unos... Con los... O sea, que los elementos operados, ¿vale?
Entre ellos, pues, me dan elementos de un tipo, ¿vale? O sea, como un
subconjunto que también es un grupo, ¿eh? ¿Vale? Aquí hay una
condición, ¿vale? Que si tenemos un grupo, ¿vale? Y un subconjunto no
vacío, ¿vale? Yo tendría que, por ejemplo, probar que todos los
elementos de este conjunto, ¿vale? De este subconjunto de G, ¿vale? Esto,
pues... El subconjunto H, ¿vale? Tiene estructura de grupo, pues tendría
que verificar que la operación es cerrada, ¿vale? Que al operar dos
elementos de este subconjunto me da también un elemento del subconjunto.
Tendría que buscar después que cumple la propiedad asociativa, que se
cumple la... El que tiene elemento neutro, ¿vale? Que tiene elemento
simétrico, si acá el elemento tiene simétrico. Pero esto es equivalente,
¿vale? Si yo apoco dos elementos... Del subconjunto H para ver que H es un
subgrupo de G, probar que A operado con B a la menos uno pertenece a H,
¿vale? Operando esto, yo ya sé que es un grupo, ¿eh? Bueno, aquí hay...
Más que nada es un grupo conmutativo, ¿vale? O sea, tenemos un grupo G
con la operación este asterisco, ¿vale? O sea, un grupo que es
conmutativo, ¿eh? O sea, que... Que cumple esa propiedad, ¿no? ¿Vale? Un
grupo conmutativo, o sea, que cumple las propiedades de este grupo y
además la... ¿Vale? Y H es un subgrupo de G. ¿Vale? Entonces, la
relación... Estoy diciendo la relación de equivalencia, ¿vale? A está
relacionado... RH, ¿eh? Con B, sí, y solo sí, ¿vale? A operado con B a
la menos uno pertenece a H, ¿vale? Es una relación de equivalencia...
Denomina congruencia módulo H, ¿vale? Entonces, si A pertenece al
conjunto G, ¿vale? Y la clase sería... La clase A, la clase de esta
relación de equivalencia, serían todos las operaciones de A con los
elementos de H en la opción. Entonces, pues tenemos de esta forma, ¿eh?
Bueno, estas son propiedades, ¿vale? Cardinal de G quiere decir el número
de elementos de G, ¿vale? Entonces, cualquier... Cualquier subconjunto,
¿vale? Cualquier subconjunto de G, ¿vale? O sea, H, que sea subgrupo,
¿vale? Es un divisor de cardinal de G, ¿vale? Y se denomina orden del
grupo G, ¿vale? Pero tenemos otra estructura, ¿vale? Que es anillo,
¿vale? O sea, para ser anillo, tiene que ser, ¿vale? O cultural. ¿Vale?
Y tenemos definidas dos operaciones, ¿vale? Que representamos por más y
por... ¿Vale? Se podrían representar de otra forma, pero no se pueden
representar por más y por... ¿Vale? Se dice que este conjunto, ¿vale? A
con estas dos operaciones es un anillo si se satisface que A con la
operación más es un grupo comutativo. O agrandiado, ¿vale? Se cumple,
además, la propiedad asociativa. O sea, para ser anillo, básicamente...
¿Vale? Tenemos A con la primera operación es un grupo agrileano, ¿vale?
Y después, la operación por, evidentemente, cumple que cerrada, ¿vale?
Cuando va operando dos elementos del conjunto A, me da otro elemento del
conjunto A. Y que se cumple la propiedad asociativa, ¿vale? Y la tercera
condición es que se cumple que A por B más C, ¿vale? La distributiva. El
producto, bueno, de la operación por respecto a más, ¿vale? Por la
izquierda, ¿vale? Y por la derecha, ¿vale? O sea, B más C por A igual a
BA más CA, ¿vale? A por B más C igual a A por B más AC. Si además la
operación por es comutativa, se dice que es un anillo comutativo, ¿vale?
O sea, si además se cumple la propiedad comutativa, evidentemente, si o
sea la propiedad comutativa, solo falta... Solo hace falta probar la
propiedad por un... No, no hace falta probar la propiedad comutativa,
¿vale? Si se compró la operación por, se compra la propiedad comutativa,
ya no hace falta probar la distributiva por parámetro. Bueno, si además
es el anillo, ¿vale? Se cumple que tiene elemento neutro del producto,
¿eh? El producto tiene elemento neutro, ¿vale? Entonces se dice que es un
anillo uniforme. Bueno, después A, si A es el anillo, ¿vale? Se tiene que
para todo A, el producto de A por 0 es igual a 0 por A igual a 0, ¿vale? 0
representa que ese elemento neutro de la primera operación, ¿vale? Se
dice que es absorbente para el producto, ¿vale? Otra propiedad es que
menos A por B, ¿vale? Es lo mismo que A por B. A por menos B igual a menos
A por B, ¿vale? Y menos A por menos B es igual a A por B, ¿vale? O sea,
evidentemente menos representa que es A, o sea, A menos B, ¿vale? A menos
B sería A más el simétrico de B respecto a la primera operación, ¿eh?
¿Vale? Y representa que menos A por B... A por menos B es el simétrico de
A respecto a la primera operación por B. A por menos B representa que es A
por el simétrico de B. Y menos AB representa que es el simétrico del
producto, ¿vale? Menos A por menos B representa que es el simétrico de A
por el simétrico de B, ¿vale? Un anillo conmutativo, ¿vale? Entonces se
verifican estas propiedades, ¿eh? Si no es conmutativo, no, ¿eh? A más B
al cuadrado, ¿vale? O sea... La propiedad conocida, por ejemplo, el
número real, ¿vale? A cuadrado más B cuadrado más 2 por A por 3. Si no
es el anillo, no es conmutativo, ¿no? Esta propiedad no se cumple. Tampoco
se cumple que A más B... A menos B sería A más el simétrico de B
respecto a la primera operación, ¿eh? Como hemos dicho, sería A por A
menos B por B, ¿vale? Y aquí también lo que sería básicamente la forma
de un binomio en el cual A por más B elevado a N, ¿vale? El producto de A
más B. A más B N veces sería, o sea, N sobre P, sería el número
factorial, ¿vale? N sobre P, ¿vale? O sea, es un binomio. Esto tiene que
ser el anillo, tiene que ser... A más B para N, la suma. Esto tiene que
ser el anillo común, ¿vale? O sea, N sobre I. No sé qué puedo copiar
sobre T, ¿no? Si es... No sé dónde se lo hice, fuera por el precio. N
factorial, que quiere decir el producto de N estando cada vez en una
unidad, ¿vale? Partido por I factorial. N menos I. Esta propiedad es
importante, ¿vale? Divisores de T. O sea, un anillo, ¿vale? Con... O sea,
con punto A, con las... Con las operaciones internas que hemos dicho,
¿vale? Se dice que el elemento A, distinto del elemento neutro de la
primera operación, ¿vale? Es un divisor de cero si existe otro B, que
también es distinto de cero, ¿vale? Que es distinto del elemento neutro
de la primera operación. Y en cambio el producto es igual a C. Entonces se
dice que A es un divisor de cero, ¿vale? Bueno, aquí tenemos... Uno de
antes, ¿vale? O sea, tenemos un producto. Punto A, con las dos
operaciones. Un subconjunto no vacío de A, ¿vale? Se consideran las
restricciones de S. O sea, sería el subconjunto H, ¿vale? Con las dos
operaciones más A, ¿vale? Y se cumplirían, pues, todas las propiedades,
¿vale? Se cumplen todas las propiedades del conjunto A, ¿vale? Los
elementos, la operación más, era la cerrada, ¿vale? Esta también, y
junto a la propiedad de la más, o sea, que es grupo A. Y el otro, pues,
cumple, pues, la propiedad con menos asociativa, ¿vale? Con las que meten
las propiedades del conjunto este, ¿vale? Entonces, se dice que es un
subconjunto, ¿vale? Aquí hay una caracterización, como hemos visto en
los grupos, para ver que un subconjunto de un anillo, ¿vale? Es un
subconjunto, ¿eh? Antes, probando la propiedad que A pone simétrico de B,
que es, me decía, el conjunto G, ¿vale? Hay un conjunto H, pues aquí se
tendrá que ser probar, por un lado, la operación de grupo, ¿vale? Que es
grupo, y por otro, probar qué es, por la operación de un producto,
también se puede, ¿vale? Por lo tanto, aquí, pues, habría dos
condiciones. Pues de aquí, ¿eh? Sería un subanillo de A, ¿vale? Estoy
cogiendo dos elementos de H, ¿vale? A más el conjunto G. A más el
simétrico de menos B, ¿vale? Esto sería A más el simétrico, A menos B
sería A más el simétrico de menos B. Pertenece H, y entonces el producto
de A por B también pertenece a H, ¿vale? Aquí otra definición, que es
la definición de ideal, ¿vale? Tenemos un anillo, ¿vale? Conmutativo,
¿vale? Y un subconjunto no vacío de A, ¿vale? Se dice que es un ideal si
se cumple, por un lado, ¿eh? ¿vale? Esta propiedad, ¿vale? Como probar
los subanillos. Y por otro, que el producto de A por C también pertenece a
H. O sea, para todo el elemento A de I, ¿vale? Y para todo C de A, ¿vale?
Un segundo ejemplo podría ser los múltiplos B, ¿vale? O Z, ¿vale? Si el
producto es múltiplo, pues 4 menos 2, 0, 2, 4, ¿vale? 6, ¿vale? Aquí si
yo cojo dos elementos por operación, ¿eh? Por operación subanillo resta
normal, ¿eh? ¿Vale? Entonces vería que operando dos elementos, ¿vale?
Restando, ¿vale? Pertenecería al conjunto. Multiplicando cualquier
elemento de Z, ¿vale? Cualquier elemento de Z por un número de estos,
¿vale? Pertenecería al conjunto, ¿vale? Este sería un ejemplo de...
¿vale? Aquí hay otro concepto, que es el concepto de ideal principal,
¿vale? Sería, tenemos un anillo conmutativo, A, un elemento fijo, que el
conjunto sería el conjunto de A de este conjunto. De A por todos los
elementos del anillo. ¿Vale? O sea, ¿veis aquí? O sea, A, ¿vale? Sería
A por K tal que K pertenece a A. Se denota por A paréntesis y este es un
ideal que se denomina ideal máximo. Ahí, fijo, ¿vale? Fijo, ¿vale?
Vale, esto es un resumen más o menos de la teoría, ¿vale? Y ahora
empezamos a hacer eso, ¿vale? O sea, aquí tenemos una operación que
tenemos el conjunto Q, que es el conjunto de los números racionales o
fraccionarios, ¿vale? Tenemos que A operado con B, vamos a decir, a cada
par de elementos, ¿vale? Se le hace corresponder esta operación. A más B
menos A por K, ¿vale? Entonces, donde Q dice el conjunto de los números
racionales, ¿vale? Pide si es conmutativa, si es asociativa, hay algún
elemento neutro, tiene elemento... tiene algún elemento de Q simétrico,
¿cuál es? ¿Vale? Entonces, bueno, aquí es a partir de la definición de
operación, pues, y entiendo si se cumplen las propiedades. A partir de
esta operación, por ejemplo, yo, para la definición de operación, A
operado con B, A más B menos A por K. Entonces, evidentemente, aquí
estamos en números fraccionarios, representa Q, son números racionales,
¿vale? A más B yo puedo poner B más A, ¿vale? Y A por B puedo poner B
por A, ¿vale? Por tanto, esto sería lo mismo, la definición de B operado
con A, ¿vale? La asociativa, la asociativa es un poco más larga, ¿vale?
Partimos y aquí tenemos que llegar aquí, ¿vale? Entonces, bueno, de
entrada, pues, desarrollamos este paréntesis, ¿vale? Por la definición,
sería A más B menos A por B, ¿vale? Y esto operado con C, ¿vale? Ahora
yo vuelvo a aplicar la definición. Yo aquí, este sea un elemento, ¿vale?
Como si fuera un solo elemento, este sea otro, ¿vale? Por tanto, aquí
sería A más B menos AB, ¿vale? Como aquí tengo que verificaros que A
operado con D, es A más B menos A por B, ¿vale? Por tanto, este sería A
y este sería B. En este caso, este sería A más C, ¿vale? O sea, A más
B menos A por B, ¿vale? Lo mismo que podemos hacer, ¿vale? Este sería A,
¿vale? O sea, este sería A y este sería B. Desarrollado, pues, más
largo. Bueno, entonces, pues, yo hago las operaciones, ¿vale? O sea, aquí
lo publico, ¿vale? Me queda así, ¿vale? Entonces, esto lo agrupo,
¿vale? Grupo B más C menos Dc, ¿vale? Aquí saco factor común entre
este, este y este saco factor común la A, ¿vale? Después fijaros que
aquí me quedaría este sería A, ¿vale? Operado, ¿vale? Esto sería A
operado con este factor común, ¿vale? B más C menos Dc, ¿vale?
Entonces, esto sería C menos B por C sería B operado con C. Para la
asociativa, si queréis, a veces pasar y ir a todo, pues, bueno, yo lo que
podría hacer es desarrollar este factor, ¿vale? Yo llegaría
desarrollando todo, llegaría aquí. Por otro lado, desarrollar este,
¿vale? Sería más fácil y llegaría a la misma igualdad. Entonces,
resulta más fácil. O sea, si se quiere estructurar todo, ¿vale? Pasarle
aquí, aquí, a veces es un poco más difícil, pero digo sí. Se prueba
por otro lado, ¿vale? Se prueba por otro y todo el desarrollo da lo mismo,
¿vale? Pues entonces ya se... resulta más fácil de probarlo, ¿eh? Que
antes de desarrollarlo todo, ¿vale? Sé que es más, que era mejor,
¿vale? Más estructurada y tal, pero en principio, para probarlo, sobre
todo en un examen, se va más difícil y se los tienes más difíciles,
¿eh? Vale, ahora tenemos que ver el elemento neutro, ¿eh? Bueno, yo tengo
que buscar, ¿vale? A operado con E, ¿vale? Y que sea igual a A, ¿vale? O
sea, el elemento neutro es un elemento que operado con A operado con el
elemento neutro y que sea igual a A. Esto por un lado. Y por otro lado,
tiene que ser que E operado con A también y que sea igual a A, ¿vale? Si
desarrollo, ¿vale? A más E menos AE, ¿vale? Igual a A. Por tanto, me
quedaría... Aquí me quedaría que sería A... Si esto ahora, son todos
números principales, ¿vale? Tanto es diésel, pero me puedo ya sacar.
Ahora me quedaría E menos... Me quedaría E menos AE igual a A, ¿vale?
Entonces me quedaría un número A por E igual a A. Por tanto, sería E
elemento neutro que tiene que ser E igual a A, ¿vale? Tanto el elemento
neutro sería E igual a A, ¿vale? Para ver si existe el simétrico, yo
tendría que buscar un número racional operado con el simétrico tendría
que ser igual al elemento E que en este caso es C, ¿no? Sería A operado
con A' sería A más A' menos A por A', ¿vale? Y esto tendría que...
Aquí podría sacar factor común A', ¿vale? Esto sería igual a C. Por
tanto, de aquí me resultaría... que A' sería menos A partido por 1 menos
A, ¿eh? Si queréis podemos poner A partido por 1 por tanto, para A
distinto de 1 A tiene simétrico y es A' igual a A partido por 1 menos A
Aquí tenemos el 2 otra operación, ¿vale? definida del conjunto
cartesiano N por N o sea, tomando un elemento, un número natural y otro,
¿vale? Le hacemos corresponder el primero, ¿vale? A operado con B igual a
A es conmutativa, como antes, es asociativa hay un elemento neutro tiene
algún elemento N simétrico, o sea, si os piden esto ¿vale? Aquí me sale
pasará, ¿vale? Probamos las propiedades ¿vale? Se cumple o no se cumple
es igual, ¿vale? Y entonces si no hay un elemento neutro, por ejemplo ya
no hay simétrico ¿vale? O sea, si no tiene neutro, simétrico N puede
existir, ¿vale? Aquí dice, no es conmutativo bueno, vamos a probar tiene
que ser A operado con B ¿vale? Es igual A operado con B es igual al primer
elemento B operado con A es igual a B por tanto, si son distintos no puede
ser A igual a B, por tanto no se cumple la la conmutativa, ¿vale?
Asociativa, ¿vale? Buscamos A operado con B y el resultado operado con C A
operado con B es A ¿vale? A operado con C es A ¿vale? Ahora busco la
operación A operado con A operado con B operado con C, ¿vale? Me
quedaría B operado con C si a primero hago esta operación, B operado con
C es B y A operado con B es A, ¿vale? Por tanto la asociativa sí que la
hace, ¿vale? Por definición de elemento neutro ¿vale? A operado con E
tiene que ser igual a E operado con A ¿vale? Entonces para todo E operado
con A ¿vale? Sería igual a E, ¿vale? Y A operado con S es igual a no
tiene el neutro ¿vale? Al no tener elemento neutro tampoco tendrá el
neutro, ¿vale? Bueno, aquí hay otra, ¿vale? O sea, A operado con B
¿vale? De R, o sea, operación definida, o sea que a cada par de
elementos, el número que hacemos corresponde a otro número real definido
por esta forma A más B más cosa B ¿vale? Y de excomutativa ¿vale?
Supongo A es asociativa tiene elemento neutro por todo, ¿vale?
Básicamente es asociativa y es comutativa bueno, si es comutativa, ¿vale?
Vale, esta es fácil ¿vale? Partimos a la definición ¿vale? Después
vemos que podemos aplicar la propiedad comutativa ¿vale? Como son números
reales A más B puedo poner B más A y A por B puedo poner B A pues la
definición que han dado, que hemos dado pues esto sería igual a B operado
con A para ver que es asociativa pues también aplicamos la ¿vale? Pues
aquí igual, ¿eh? O sea parecido al primero que hemos hecho ¿vale? A
operado con B es esto, ¿vale? A más B más 2 A por B, ¿vale? Ahora
operado con C, ¿vale? aplicamos todo, ¿vale? Este sería A este sería B,
¿vale? La definición este sería 2 por A y por B en este caso sería C
desarrollamos todo ¿vale? Me quedaría esto, ¿vale? Ahora yo tengo que
mirar de agruparlo para ver si llego aquí, ¿vale? Entonces, ¿qué hago?
Por ejemplo yo cojo B más C más 2 de C, ¿vale? Este, este y este de
aquí, ¿vale? ¿vale? Y el otro, pues me queda, aquí saco un factor
común, 2A, ¿vale? B más C más 2B En este caso este sería B operado con
C ¿vale? Y aquí también sería 2A por B operado con C Entonces, aquí
pues también sería la definición este sería A, este sería B y este
sería 2AB, ¿vale? Este sería A, ¿vale? Por tanto, yo veo que esto es la
operación de A operado con E operado con C, ¿vale? Ya digo, esto si hay
más dificultad se puede desarrollar por un lado esto llegaría aquí, por
otro lado aparte desarrollo este, ¿vale? Y desarrollando todo pues
veríamos igual, ¿vale? Aquí ahora para hallar el elemento neutro
aplicamos la definición ¿vale? A operado con E igual A más E más 2A por
E Este tiene que ser igual a A ¿vale? Por tanto, aquí me quedaría que la
A y la A podría se van, ¿vale? No están para todo pasar de lado me
quedaría menos por tanto, me quedaría E más 2A igual a 0 por tanto, E
por 1 más 2A igual a 0, ¿vale? Por tanto, el elemento neutro tiene que
ser E igual a 0 Si lo hago por el otro lado, pues también veo que me
daría lo mismo ¿vale? Por tanto, el elemento neutro sería E Y ahora
supongo que también quería el simétrico ¿vale? Para que tenga
simétrico ¿vale? Por ejemplo, lo designamos por A' ¿vale? Tiene que ser
A operado con A' igual a 0 ¿vale? Por tanto, pues vamos a la definición
de la operación esta, ahí me quedaría A más A' más 2A por A', ¿vale?
Entonces esto tiene que ser, sacando factor común A', ¿vale? Entonces yo
estoy igual a 0 y llegaría que A' sería igual a menos A partido por 1
más 2A ¿vale? O sea, cada A distinto de menos 1 medio A tiene simétrico
y el simétrico es este, sería menos A partido por 1 más 2 ¿vale? Aquí
hay aquello conjunto que representa que es el conjunto de los múltiplos de
2, ¿vale? Dice sea E este conjunto, ¿vale? De los múltiplos de 2,
¿vale? Múltiplos de 2, múltiplos de 6, múltiplos de 4 múltiplos de 0,
múltiplos de 4 ¿vale? O sea, un conjunto de los números enteros pares,
¿vale? Es decir, si E es cerrado respecto a cada una de las operaciones,
¿vale? La adición, ¿vale? Si yo, por ejemplo sumo dos de estos números
me dará otro número o sea, la suma de dos números pares es otro número
par ¿vale? La sustracción que es igual, ¿vale? Si resto dos números
pares ¿vale? La sustracción sería sumar el simétrico del otro, ¿vale?
Me dará también otro número la sustracción también lo es y el producto
también, ¿vale? Si multiplico dos números pares el resultado es un
número par pero la adición ya no es cerrada ¿vale? Si yo divido, por
ejemplo menos 2 y 2, ¿vale? Me da menos 1 que no pertenece al conjunto por
lo tanto aquí ya se ha hecho fácil, ¿vale? Si la suma es cerrada, quiere
decir que operando dos elementos del conjunto sumados en el elemento del
conjunto, en este caso el conjunto de los múltiplos de 2, la sustracción
igual, ¿vale? Que sería sumar el número simétrico del otro, ¿vale? El
producto también, ¿vale? Y en cambio la división cogemos los números
cogemos menos 4 partido por 2 sí, pero si lo cojo un menos 2 y 2, ¿vale?
Evidentemente me da menos 1 que en este caso no pertenece a él, ¿vale?
Aquí nos da una operación en el 5 que dice que es asociativa con el
elemento del conjunto y ve un supuesto subconjunto de elementos unitarios
elementos unitarios son generalmente no quiere decir que son iguales a 1,
¿eh? Quiere decir que tienen simétrico, ¿eh? ¿Vale? O sea, con el
producto o con la operación tienen simétrico es un subconjunto, ¿vale? A
lo mejor no todos, pero los del conjunto este que dice de unitarios quiere
decir que son elementos que tienen simétrico, ¿vale? Bueno, aquí lo
dice, me parece esto es el conjunto de los elementos de A que tienen
simétrico ¿vale? El conjunto B, o sea el conjunto de unitarios, ¿vale?
De unitarios que es decir, los grupos de elementos que tienen simétrico
Probar que B es cerrado respecto a la operación esta, ¿vale? O sea,
tenemos que es cerrado, quiere decir que yo si cojo dos elementos de B,
¿vale? El resultado sería otro elemento de B Por tanto o sea, aquí dice,
sea A que pertenece a B y B que pertenece a B o sea, dos elementos, ¿vale?
que tienen inverso, ¿vale? simétrico, ¿vale? A tiene simétrico al
designarnos para la menos uno y B tiene simétrico B a la menos uno Hay que
demostrar que el producto de A por B también pertenece a B, ¿vale? O sea,
que A por B también tiene simétrico, ¿vale? Tenemos que demostrar esto
dos elementos que tienen simétrico multiplicados, el resultado A operado
con B, ¿vale? multiplicados o A operado con B también tiene simétrico,
¿vale? Bueno sabemos, ¿eh? que B A operado con B el simétrico, si existe
tiene que ser B a la menos uno operado con A a la menos uno Por tanto
nosotros y el producto este nos tendría que dar el elemento nuestro un
elemento multiplicado por el simétrico tiene que ser igual a nuestro,
¿vale? Bueno, entonces aplicamos aquí, ¿vale? de A por B, si existe el
simétrico tiene que ser este tiene que ser B a la menos uno A a la menos
uno ¿vale? Entonces, bueno, aquí pues aplicamos la propiedad asociativa
¿vale? A operado con B este operado con B a la menos uno A a la menos uno
¿vale? Entonces aquí podemos hacer aquí poder aplicar la propiedad
asociativa ¿vale? operamos B de A a la menos uno y esto es el resultado
con A a la menos uno B de A a la menos uno como B a la menos uno es
simétrico de B me da A a la menos uno ¿vale? El neutro operado con el
simétrico de A ¿vale? me da A a la menos uno ¿vale? A operado con A a la
menos uno es igual por tanto está probado ¿vale? resulta que si cogemos
dos elementos que tienen simétrico ¿vale? si los operamos su producto
también tiene el simétrico que sería B a la menos uno A a la menos uno
por tanto sí que es un conjunto cerrado ¿eh? Aquí hay otro esto es que
no lo conseguí mira dice se ha dado un millón de conjuntos ¿vale? ahora
el elemento neutro ¿qué elementos si los hay tienen simétrico y cuáles
son? ¿vale? unión ¿eh? aquí un unión con un conjunto ¿eh? A unión
evidentemente A unión del conjunto vacío es igual a punto vacío uno era
igual a las posibilidades de este momento por tanto el conjunto vacío es
el elemento neutro de la operación de la unión de conjuntos ¿vale? por
tanto sí que vemos que en principio la unión tiene elemento neutro
¿vale? si tiene elemento neutro podría tener simétrico o algunos
tenerlos ¿vale? entonces no tener ninguno ¿vale? entonces si por ejemplo
un conjunto A ¿vale? de un conjunto A subsimétrico es X ¿vale? tendría
que ser A unión X tendría que ser igual a X unión A y esto tendría que
ser el elemento neutro que es el vacío ¿vale? pero esto nosotros sabemos
por las propiedades de los conjuntos que si A unión un conjunto X es igual
al conjunto vacío implica que A tiene que ser el vacío y la X también el
vacío si no no se cumple ¿vale? por tanto el único elemento que tiene
simétrico es el mismo conjunto es el vacío nosotros no hay ningún
elemento neutro ¿vale? aquí tenemos un anillo computativo unitario
¿vale? demuestre que dados dos elementos de A si X por disimulación
entonces X e Y son inversiones ¿vale? o sea aquí me da un anillo ¿vale?
conjunto A con estas dos operaciones ¿vale? anillo computativo unitario
¿vale? quiere decir que el elemento que A cumple la propiedad computativa
¿vale? y además existe el elemento neutro de la operación ¿vale?
demuestre que dados X y si X por Y es invertible entonces X e Y son
invertibles ¿vale? así que X por Y es invertible quiere decir que existe
el inverso de este de X por Y ¿vale? bueno suponemos que X por Y es
invertible ¿vale? por tanto si es invertible ¿vale? esto sería un
elemento del conjunto A ¿vale? si es invertible existirá otro elemento Z
¿vale? este es el elemento ¿vale? que operado con Z si es ya el
simétrico suponemos que este es invertible por tanto se cumple a que X por
Y sea un elemento operado con su simétrico de Z igual a Z multiplicado por
X por Y y tiene que ser igual a 1 que es el elemento neutro ¿vale?
entonces teniendo en cuenta que X ¿vale? además X por Y y por Z es igual
a 1 ¿vale? y como cumple la propiedad se cumple que X por Y es asociativo
¿vale? exacto o sea teniendo en cuenta si yo tengo que X por Y y por Z es
igual a 1 ¿vale? entonces si se cumple la propiedad asociativa también
puede ser Z por X y por Y igual a 1 ¿vale? con el ánimo descomutativo
¿vale? también será a Y por Z y por X ¿vale? igual a 1 ¿vale? y por Z
y por X igual a 1 ¿vale? por tanto Y y Z es el inverso de X ¿vale? así
que Z sería el inverso de X y Z X sería el inverso de X ¿vale? dice
demuestre que si X es invertible entonces X no es un divisor de 0 o sea si
el elemento X es invertible del anino o sea del anino no serían todos los
elementos invertibles ¿vale? menos el 0 de la suba porque si no sería un
cuento ¿vale? esto es bueno entonces aquí lo hacemos por reducción de la
suba ¿vale? supongamos que existe X que es invertible y es divisor de 0
¿vale? entonces si es invertible existirá X a la menos 1 es un inverso
¿vale? y también existirá otro elemento B distinto de 0 ¿vale? tal que
X por B es igual a 0 ¿vale? porque hemos supuesto que es invertible y que
es divisor de 0 ¿vale? para ser divisor de 0 tiene que ser que la X es
distinta de 0 existe otro número que es distinto de 0 cuyo producto X por
B es igual a 0 ¿vale? después yo por tanto tendré ¿vale? si yo supongo
que es invertible y que es divisor de 0 ¿vale? entonces pues tiene que
pasar que por un lado existe X a la menos 1 y por otro que el producto de X
por B siendo B distinto de 0 de la X también que esto es igual a 0 ¿vale?
entonces si yo tengo esta igualdad si multiplico por el inverso de X
¿vale? si yo multiplico esto por el inverso de X X a la menos 1 por X por
B igual a X a la menos 1 por 0 pero X a la menos 1 por 0 con las
propiedades de los almeros esto es igual a 0 ¿vale? por tanto yo tendría
que aplicando la propiedad asociativa si X a la menos 1 por X y por B
¿vale? sería X a la menos 1 por X ¿vale? y por B ¿vale? X a la menos 1
por X es 1 ¿vale? y 1 por B es B ¿vale? si esto tiene que ser igual a 0
la B tiene que ser igual a 0 por tanto esto contradice la elección de que
B es distinto de 0 por tanto si X es invertible entonces no es un divisor
de 0 ¿vale? vale aquí sí había otra cuestión o sea si A ¿vale? A que
precede A ¿vale? es un elemento de A ¿vale? y A por A el ideal generado
por A demuestre que A por A es igual a si A es invertible ¿vale? o sea
había 3 apartados pensaba que había 2 ¿vale? o sea aquí hay otra otra
cuestión ¿eh? bueno ¿vale? el ideal A generado por A ¿vale? sería el
producto de A por todos los elementos del conjunto A ¿vale? por tanto
sería A por I para que I pertenezca a A ¿vale? ahora dice supongamos que
A por A sea igual a ¿vale? en particular por ejemplo si suponemos que A
por A es igual a A por ejemplo el elemento unidad ¿vale? de A es 1 ¿vale?
por tanto será un elemento de A ¿vale? por tanto si existe C que
pertenece a A ¿vale? tendrá que ser tal que 1 es igual a A por C 1 es
igual a A sería aquí en medio ¿vale? teniendo en cuenta que es un anillo
conmutativo se cumpliría que A es invertible ¿vale? por tanto C sería el
inverso de A o sea si se cumple esto que A por A es igual a A ¿vale? en
particular 1 el elemento en el anillo era unitario por tanto el 1 es este
elemento neutro que es el producto de la segunda operación por tanto
existirá un elemento C ¿vale? tal que 1 es igual a A por C ¿vale? el
elemento 1 representa que es un elemento del anillo por tanto existirá un
C tal que multiplicado por A es igual a 1 ¿vale? entonces en este caso
¿vale? al ser el anillo conmutativo se obtiene que A es invertible si 1
por A es igual a A por C ¿vale? al ser conmutativo C por A también es
igual a 1 por tanto C sería el inverso de A ¿vale? es decir purcamente
¿vale? si suponemos que A es invertible y A a la menos 1 es el inverso
¿vale? se tiene que 1 el elemento neutro del producto es igual a A por A
menos 1 ¿vale? para cada X que pertenece a ¿vale? para cada X que
pertenece a tenemos que X es igual a 1 por X ¿vale? el elemento neutro por
X ¿vale? A por A menos 1 ¿vale? es 1 ¿vale? entonces aquí yo aplicando
la propiedad asociativa me queda que A multiplicado por este factor a la
menos 1 resulta que X ¿vale? X lo puedo poner de esta forma o sea producto
de A por otro elemento de conjunto A ¿vale? puede ser X pertenece A por A
¿vale? por tanto A está incluido en A por A ¿vale? la inclusión A
¿vale? es siempre verdadera o sea la inclusión para cualquier elemento de
A invertible o no invertible ¿vale? por tanto en conclusión A es
invertible y en este caso A por A es igual a ¿vale? aquí me da ¿vale? el
conjunto intervalo de números reales ¿vale? que la operación definida
por X operado con Y igual a X más Y partido por 1 más X por 1 ¿vale? y A
es el conjunto si el intervalo abierto entre menos un número ¿eh? bueno
por un lado esto y por otro lado el D ¿vale? el D es el conjunto el
subconjunto de números complejos de módulos ¿vale? dice con el producto
suave ¿vale? por un lado bueno esta es un poco más ¿vale? por tanto
nosotros aquí tenemos que ver que la operación interna ¿vale? hay que
ver que tomando dos elementos del conjunto A ¿vale? o sea que tiene este
de aquí el producto bueno la operación esta ¿vale? el operándolo
también pertenece al conjunto A ¿vale? por tanto si nosotros operamos X
con Y ¿vale? o sea tenemos para ver esto que pertenece a este conjunto
nosotros pues aplicamos la definición que sería X por Y igual a esto
¿vale? tendría que ser esto tendría que ser mayor que menos 1 y menor
que 1 ¿vale? tendría que estar junto si esto pertenece operar tiene que
pertenecer aquí ¿vale? por tanto el desarrollo de esto tiene que ser
mayor que menos 1 y menor que 1 ¿vale? entonces si se cumple esto ¿vale?
yo lo puedo poner ¿vale? sería yo pasaría esto aquí multiplicando y al
otro lado también ¿vale? me quedaría esto me quedaría menos 1 menos X
por Y menor que X más Y 1 más X por Y ¿vale? entonces bueno sería este
o sea por un lado tendría este factor sería menor que este ¿vale? y este
factor sería menor que este ¿vale? entonces aquí operándolo ¿vale? yo
vería si paso todo al otro lado me quedaría a 0 menor o sea paso el 1
aquí con X aquí me quedaría 0 menor que 1 o sea X más Y que ya lo tengo
al otro lado menos X y lo paso aquí ¿vale? más 1 ¿vale? y aquí pues
bueno sacando factor común esto lo puedo poner 1 más X por 1 más Y menor
que 0 aquí igual ¿vale? aquí pasando la X al otro lado y la Y al otro
lado me quedaría 1 más X menos X entonces aquí también veo que lo puedo
poner 1 menos X por 1 menos Y menor que 0 ¿vale? estas desigualdades
¿vale? se cumplen son siempre ciertas ¿vale? o sea si se cumple esto yo
digo que se tiene que cumplir y ahora yo verifico que si tomo dos elementos
que pertenecen a menos 1 1 ¿vale? por ejemplo el primero ¿vale? o sea una
X entre menos 1 y 1 ¿vale? y una Y entre menos 1 y 1 en este sustituyendo
aquí me da un producto mayor que los dos impositivos ¿vale? pues aquí
aquí igual ¿vale? si sustituyo dos elementos que están aquí ¿vale? que
serían entre menos 1 y 1 el producto también es positivo ¿vale? por
tanto vemos que la operación ¿vale? se cumple que hacia atrás ¿vale?
después bueno después se tiene que probar pues esto entonces ya es largo
¿vale? la parte importante la otra es fácil ¿vale? porque es más o
menos lo que habíamos visto antes todo desarrollado así que es asociativa
¿vale? antes asociativa nosotros aplicamos esto ¿vale? aquí está puesto
no está enlazado todo sino que en principio está desarrollado por un lado
se desarrolla esto y se llega aquí ¿vale? por otro lado se desarrolla
esto y llegamos a lo mismo por tanto yo ya he probado que se cumple la
propiedad de asociatividad elemento neutro es el 0 si aplicamos la
definición x operado con 0 es igual a x más 0 partido por 1 más x por 0
me queda 1 partido por x igual a x 0 operado con x pues sería lo mismo
igual a x por lo tanto el neutro es el 0 ¿vale? vale aquí el simétrico
¿vale? sería menos x ¿vale? y por tanto o sea x operado con menos x pues
creo que me da el 0 menos x operado con x pues aquí aplicamos la
definición x más y en este caso menos x más x partido por 1 menos x más
x sería esto y por tanto me da el 0 ¿vale? bueno el otro el otro es más
fácil ¿vale? b no es grupo pues el producto de dos elementos de b ¿vale?
unos números complejos de módulo 2 ¿vale? se multiplica con dos números
complejos de módulo 2 ¿vale? recordad que el producto son el producto de
dos módulos ¿vale? y la suma de los argumentos ¿vale? en este caso el
producto de dos módulos a módulo igual a 2 módulo igual a 2 ¿vale? 2
por 2 son 4 por tanto no sería si el producto de dos módulos es 4 o 2 por
tanto z por z prima no pertenece ¿vale? por tanto este no puede ser
¿vale? aquí hay otro ejemplo con las matrices cuadradas y si acaso no lo
miráis pues que ahora ya es la hora y ya está ¿eh? el próximo día la
parte que queda es cosa de básicamente cuerpos o cuerpos no sé si alguna
otra cosa y esto este sí que vale la pena que os lo miréis porque aquí
se puede hacer eso