Buenas tardes. Bueno, vamos a ver. Supongo que me oís. Veo que hay, a
través del chat, veo que hay un usuario conectado, que es A. González. Es
cierto, A. González. No sé si eres chico o chica. ¿Me oyes? ¿Me oyes
bien? Comunícamelo a través del chat y empezamos ya. Mi Iván también,
también se ha conectado. Estupendo. Yo imagino que me oís. Vale, pues.
Buenas tardes. Estupendo, mi Iván. Vale, tú debes ser Mireia, seguro. Muy
bien. Pues nada, vamos a continuar con esta última sesión que se refiere,
como recordaréis, al tema 10. O sea, concluir, acabar el tema del manual
de la asignatura. Bien. Recordaréis... Bien, que el día pasado estuvimos
viendo una serie de ecuaciones diferenciales, eugenias, en fin, etcétera,
y hoy tocaba ver la ecuación de Bernoulli, continuando con el programa.
Exactamente vamos continuando con el programa y con el manual, con la guía
de... Las ecuaciones diferenciales exactas y las ecuaciones diferenciales
no exactas, que se resuelven mediante un sistema conocido como el método
del factor integrante. Que habéis estado estudiando el manual. Y habéis
empezado ya a resolver algún ejercicio, etcétera. Pues ya habéis visto,
ya sabéis, ya os suena, vamos, ya sabéis de qué va este rollo. ¿Vale?
Bien. Pues bueno, vamos a ver ahora, en definitiva, el tema de la ecuación
de Bernoulli. Bien, la ecuación de Bernoulli es una ecuación que tiene
una configuración general que es esta de aquí. Esta de aquí. Esta que
tenéis en la pizarra. A ver, que yo la señalo. Ahora tenemos una flechita
con el señalador. ¿Vale? ¿No? Ahí tenéis esa flechita y ahí tenéis
la forma general de la ecuación de Bernoulli. Como veréis, la ecuación
de Bernoulli, si lo recordáis, es una extensión, o es un caso parecido a
la ecuación lineal, la ecuación lineal del primer orden, que veíamos. El
día pasado, el miércoles pasado. La ecuación lineal del primer orden era
lineal. En eso se diferenciaba de esa ecuación de Bernoulli. Y sin
embargo, esa ecuación que presentamos hoy, la ecuación de Bernoulli, no
es lineal. No es lineal porque fijaos que es de primer orden y de primer
grado. Es de primer orden porque la derivada está elevada a uno. Y es de
primer grado, bueno, porque es la primera derivada, quiero decir. Y está
elevada a uno. También es de primer grado. Y sin embargo, no es lineal
puesto que aquí la i, ahí donde estoy señalando, está elevado a n.
Está elevada a n, su consecuencia es de orden n. ¿Qué se hace con este
tipo de ecuaciones de Bernoulli? Bueno, aquí vamos a ver lo que hacemos
con ellas. Pues ahora resolveremos algún ejercicio. Que sepáis que en el
manual de la asignatura tenéis también resuelto Bernoulli. Pero, en
definitiva, lo que pasa con ese tipo de ecuaciones es que se pasan a la
situación anterior. O sea, que la ecuación de Bernoulli se resuelve,
mediante un cambio de variable, etc., con una ecuación lineal de primer
orden. Por cierto, que existen otras ecuaciones, que por cierto no vemos
hoy aquí, las veréis en el programa de la asignatura que tenéis este
año, muy parecidas, que son las ecuaciones de Riccati. Las ecuaciones de
Riccati se reducen a las de Bernoulli, que a su vez se reducen a las
lineales de primer orden, aplicando la formulita aquella o el método de
variación de constante, al cual nos referíamos el día pasado. Bien, pero
sigamos con la ecuación de Bernoulli, que es la que nos ocupa hoy. Dice
aquí, en la diapositiva, para su resolución, basta dividir por i elevado
a n, justamente, i elevado a n, que es este término que antes hemos
señalado. Lo vuelvo a señalar otra vez. Si dividimos por i elevado a n y
a continuación efectuamos ese cambio de variable, este de aquí, o sea
que... 1 partido por i elevado a n menos 1, igual a t, si realizamos,
después de dividir toda la ecuación por i elevado a n, realizamos ese
cambio de variable, entonces, al final resultará que nos quedará esta
expresión que tenemos aquí. Que os señalo también, ¿de acuerdo? Nos
quedará esta expresión. Muy bien. Y a raíz de esta expresión, al final
resultará esta otra, que es más práctica. Es como una formulita para
resolver este tipo de ecuaciones. Que es esta que os estoy señalando ahora
y que os he recuadrado también en la diapositiva. Y fijaos que esa
ecuación, esta que tenéis recuadrada ahí, en la diapositiva, esta
última, es en realidad una ecuación lineal de primer orden. O sea, que se
puede resolver por el procedimiento o los procedimientos que señalábamos
el día anterior. Bien, mediante la aplicación directa de la fórmula.
Bien, mediante... ...el método de variación de constante. Aquí he puesto
una pequeña observación y es que en el manual de la asignatura, claro,
ahí podéis tener vosotros cualquier libro, ¿no? Porque ya os dije el
primer día que las ecuaciones diferenciales se ven en muchos programas y
en muchas carreras. Se ven en todas las carreras de ciencia, se ven en
económicas, por supuesto, también, en ADE, tal. Pues bien, en el manual
de la asignatura, la t, esa nueva variable que hemos hecho a raíz del
cambio de variable, ¿eh? La variable nueva, la t, esa que ahí la tenemos
señalada ahí mediante la variable, ¿eh? Uno partido por i elevado a n-1
igual a t. En el manual de la asignatura, esa t le llaman zeta. Lo digo
para que nadie se asuste. O sea, que si os miráis el manual de la
asignatura, cuando veáis la zeta, pues la zeta. Sin embargo, si os cogéis
otros libros de problemas o, en fin, lo que sea, pues a lo mejor otros
libros de teoría encontraréis que le llaman t o le llaman u o le llaman m
o le llaman como quieran. Pero, en definitiva, es exactamente lo mismo.
Pues bueno, visto ya lo que es una ecuación de Bernoulli y cómo se
resuelve, vamos a ver ahora un ejemplo. Vamos a hacer un ejemplo de una
ecuación de Bernoulli y vamos a aplicar justamente los procedimientos que
hemos explicado hasta ahora. Bien, en principio nos presentan aquí una
ecuación, que es esta de aquí, que acabo de subrayaros, que es
evidentemente una ecuación de Bernoulli. Si echamos marcha atrás, veremos
que el 2x... Esta función 2x es precisamente la función x mayúscula. Y
la función x solamente, que es esta de aquí, que está multiplicando a y
a la cuarta, es precisamente la función x sub 1 mayúscula. Y n vale 4,
puesto que la y, en ese ejemplo... Pues han puesto que está elevado, como
habéis visto, a la cuarta potencia. Muy bien. Bueno, pues entonces vamos a
ver cómo se resuelve esta ecuación. Primero, decíamos, hay que dividir
por y elevado a n. Decíamos en la teoría. Bueno, dividir por y elevado a
n es lo mismo, en este caso, que dividir por y elevado a 4. N es 4, es este
de aquí, ¿no?, el que teníamos en el enunciado. Entonces, si dividimos
esta expresión, la expresión de la ecuación diferencial problema, por y
elevado a 4, pues nos sale esta expresión de aquí. Esto que os acabo de
subrayar, ¿eh? Supongo que lo veis. Insisto en que este tipo de
ejercicios, más que para verlos sobre la marcha, son un poco para
meditarlos, ¿eh? Para hacer las comprobaciones adecuadas, pero vamos,
podéis comprobar que efectivamente aquí es muy fácil. Si dividimos el
problema por y elevado a 4, pues nos sale justamente esto que estoy
haciendo ahora con doble subrayado. ¿Eh? Vale. Siguiente paso. Dice... Hay
que hacer el cambio de variable 1 partido por y elevado a n-1 igual a t,
siendo t la nueva variable, ¿no?, la que resulta del cambio de variable.
Bueno. n-1 es 4-1, que es 3. O sea que el cambio que hacemos, en
definitiva, es este que estoy redondeando aquí. Vale. Pues hacemos ese
cambio en la expresión anterior, y si hacemos este cambio, al final nos
resultará una expresión de este tipo. Nos resultará esto de aquí. Esto
que tenemos aquí. ¿Vale? Bien. A partir de aquí se van haciendo una
serie de operaciones, que a ver si iréis siguiendo. Y como resultado de
estas operaciones, al final nos queda una ecuación diferencial cuyas
variables son la t, porque hemos hecho el cambio de variable de la y a la
t, ¿no?, y la x. O sea que al final, en definitiva, después de
multiplicar por menos 3, etcétera, etcétera, aquí y tal, al final nos
resulta esta expresión. Pues esta última que os acabo de subrayar y que
ahora os hago en doble subrayado. ¿Vale? Pues bueno, esa ecuación, si os
fijáis, es lineal y es una lineal de primer orden que se puede resolver
perfectamente por los métodos que explicábamos el día pasado. El método
inmediato que explicábamos, ya lo hemos dicho antes, era el de la fórmula
directa. Pues bueno. En este caso, la x es... La x mayúscula, la función
x mayúscula es precisamente menos 6x. Y la función x sub 1 mayúscula es
justamente la función, como recordaréis, menos 3x. En este ejemplo. Muy
bien. Pues bueno, pues esta función, que es esta de aquí, estamos aquí
en este punto. Muy bien. Esta función tiene la x, que es menos 6x,
pequeña, y la x mayúscula sub 1, que es menos 3x, pequeña. Muy bien.
Entonces, recordad... Recordaréis que para aplicar la fórmula, lo que
hacíamos era, en primer lugar, hacer esta integral, que nos entraba en la
fórmula, la integral de la x mayúscula por diferencial de x, que es
simplemente esta integral de aquí. Y esta integral de aquí, vamos, muy
inmediata, ¿no? Porque eso sería... Lo que estaría dentro de la
integral, la función primitiva de la integral, sería x cuadrado partido
por 2. Entonces eso, por lo cual, multiplicar por menos 6, nos queda menos
3x cuadrado como resultado de la integral. ¿Eh? Olvidémonos por un
momento. Olvidémonos por un momento de las constantes de integración,
aparte. Puesto que, en definitiva, aquí estamos en presencia de una
integral indefinida. Veamos, por otra parte, que el resto de la fórmula,
que es el que os subrayo ahora, que es el que estaba dentro del conchete o
dentro del paréntesis, recordaréis la fórmula del día pasado, nos
obligaba a resolver esta expresión. Esta expresión que ahora estoy
subrayando doble. ¿Eh? Esta expresión de aquí. Muy bien. Pues bueno,
pues sustituís por el valor de x mayúscula sub 1, que es menos 3x, por e
elevado a la integral que hemos calculado antes, que como sabemos es menos
3x cuadrado. Y bueno, resulta que la primitiva de esa integral es que os
estoy señalando aquí mediante esta flecha. ¿De acuerdo? Pues bueno, ya
tenemos resuelto estas dos integrales. Con lo cual, ya podemos entrar en la
fórmula. La t, puesto que fijaos que la ecuación diferencial que estamos
resolviendo lo es en t. La variable... Dependiente es la t, no es la i. O
sea que la t es igual a e elevado a menos esta integral. O sea que será 3x
cuadrado, etc. Esto es lo que resulta ya de la aplicación de la fórmula.
Pero fijaos a su vez que lo que estamos resolviendo aquí es la t. Pues
porque antes hemos hecho el cambio de variable desde la i a la t. Pero
claro, la t es igual, y nos venimos aquí otra vez al principio, aquí
arriba, al cambio de variable que hemos hecho, la t era igual a 1
partido... 1 partido por i al cubo. O sea que en realidad esto es igual a 1
partido por i al cubo. Muy bien. O sea que esto ya sería el resultado
final, la solución general, o como esperáis, la integral general de la
ecuación diferencial. Sería más correcto aquello que siempre os he dicho
yo siempre. Lo bonito es, hasta donde se pueda, despejar la i. O sea,
despejar, hallar, la función que da origen a la ecuación diferencial. Y
esa función es la i. O sea que lo que hemos de hacer es despejar la i, la
pasamos al otro miembro, fijaos que aquí está elevado al cubo, con lo
cual será la raíz cúbica de lo que queda en el otro lado. O sea que eso
que tenéis ahí recuadrado es en realidad la integral general de esta
ecuación diferencial. Muy bien. Bueno. Hemos resuelto una ecuación de...
Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales exactas. Vamos a
ver cómo se resuelven estas ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones
diferenciales exactas son aquellas, eso lo tenéis perfectamente explicado
también en el manual de la asignatura, que tienen una configuración de
este tipo. Del tipo que os estoy señalando. Ahí en la pizarra.
Powerpoint, este que tenéis aquí en la diapositiva. ¿Vale? Vamos a
llamarle a esta expresión 1. Presión 1. O sea que tenemos una función P
de x y, que multiplicada por diferencial de x, más Q de x y, que
multiplicada por diferencial de i, es igual a 0. Esta expresión, esta
ecuación si queréis, se llama diferencial de exacta si su primer miembro
es la diferencial total de una función u de x y. Esto es, que existe una
función tal que se cumple esta de aquí. Os acordáis del concepto de
diferencial total. Si u es función de dos variables x e i, la diferencial
total de u es la derivada parcial de u respecto a x por diferencial total
de x, más la derivada parcial de u con respecto a i por diferencial total
de x. En este caso, si el primer miembro es una diferencial total de una
cierta función, entonces resulta que esto es un tipo de diferencial total
de x. Esto es una diferencial exacta. Es una ecuación diferencial exacta.
Fijaos que en esa expresión, en la expresión que tenéis señalada en la
diapositiva con una flecha, p de x y por diferencial de x, más Q de x y
por diferencial de i, que es la expresión general de la ecuación
diferencial exacta, la función de dos variables p de x y sería en esa
diferencial total justamente la derivada parcial de u con respecto a x. Y
la Q sería la derivada parcial de u con respecto a la otra variable. Bien.
Si nosotros derivamos las igualdades anteriores respecto a las dos
variables independientes, etcétera, y recordamos el teorema de Schwarz de
las derivadas parciales cruzadas, al final nos resulta esta expresión que
yo ahora os redondeo, que es verdaderamente importante para determinar
cuando estamos en presencia de una ecuación diferencial exacta. Para que
nos hallemos en presencia de una ecuación diferencial exacta, aparte de
tener la configuración que os he señalado aquí en la flechita de la
fórmula 1, es necesario que la derivada parcial de p con respecto a i sea
igual a la derivada parcial de Q con respecto a x. Si se cumple esa
condición quiere decir que efectivamente se trata de una ecuación
diferencial exacta. Puede suceder que esto no se cumpla. Entonces sería
una ecuación diferencial no exacta, así de fácil. Que también tiene
manera de resolverse, después veremos cómo. Pero en principio vamos a
ocuparnos de las ecuaciones diferenciales exactas. Bien, si suponemos que
efectivamente nos hallamos en presencia de una ecuación diferencial exacta
porque se cumple esta propiedad aquí con la aplicación del teorema de
Schwarz las derivadas parciales cruzadas a partir de ahí la integración
de esa ecuación diferencial o sea, el hallazgo de su solución general se
realiza mediante la aplicación de esta fórmula. Hay que hacer este paso
que os señalo ahora con la flechita. La función u a la cual nos hemos
referido antes cuya diferencial total nos va a la ecuación diferencial
exacta es igual a la integral de P por diferencial de x más una cierta
función phi de y que si lo ponemos en función no de la p sino de la q
sería la integral de la q por diferencial de y en este caso más phi de x.
Bien, a partir de ahí para resolver la función u en definitiva la estamos
buscando y para resolver además la función phi de y que es esta de aquí
o bien phi de x si lo hacemos hay que hacer este paso que tenéis aquí
marcado. Todo eso parece muy teórico pero luego en la práctica veréis
que no es tan difícil cuando hagamos algún ejercicio. Lo que habéis de
aplicar un poco es esta fórmula al final que es la fórmula que nos
resolverá este tipo de ecuaciones diferenciales exactas. La derivada
parcial de u con respecto a y es igual a q de xy que a su vez es igual a la
derivada parcial con respecto a y de esa expresión de aquí más phi prima
de y entonces se igualan las expresiones y se deduce el valor de phi de y y
por tanto también el valor de u de xy y al final decimos ¿y la integral
general cuál será? Pues la integral general simplemente será una vez
hemos obtenido la función u de xy igual a c cogemos esa función que
habíamos hallado la igualamos a c es una constante cualquiera esto es la
solución general o integral general de ese tipo de ecuaciones
diferenciales Bien, todo eso parece muy teórico pero si se resuelve
mediante un ejercicio veréis que no es tan complicado no tiene tanta
complicación Fijaos que como siempre hay que meditarlos más que
resolverlos sobre la marcha Bien, imaginaos justamente que nos dan esta
ecuación que yo he subrayado ese es el problema que nos pone resolver o
integrar esta ecuación diferencial Muy bien Evidentemente esta de aquí,
la que está dentro del paréntesis es la función p la señalo yo y esa de
aquí la que está dentro del segundo paréntesis es la función q La p es
2x más 1 partido por i y la q es 1 partido por i menos x partido por i
cuadrado Si os fijáis esa expresión es p de xy por diferencial de x más
u de xy por diferencial de i coincide perfectamente con la formulación
teórica de la fórmula 1 que estaba antes y que habla ante una ecuación
que puede ser una ecuación diferencial exacta No tiene por qué serlo
Puede ser ¿Y cómo lo sabemos si lo es o no lo es? Pues ya lo hemos dicho
antes con la aplicación del teorema de las derivadas parciales cruzadas
Vamos a derivar con respecto a i y vamos a derivar con respecto a x la q y
las dos para que sea una ecuación diferencial de exacta los dos resultados
de esas derivaciones parciales tienen que ser iguales ¿Cuál es la
derivada parcial con respecto a i? O sea, permaneciendo la x constante ¿Os
acordáis de cómo se derivaba parcialmente? De la función p o sea, de la
función 2x más 1 partido por i con respecto a i la x es una constante
menos uno partido por i cuadrado que es eso que os estoy redondeando yo
ahora en la diapositiva ¿Vale? Muy bien Pues vamos a ver qué pasa con la
otra La derivada parcial de q con respecto a x La derivada parcial de q con
respecto a x ¿Cuál será? Aquí lo tenemos La derivada parcial de q con
respecto a x será menos uno partido por i cuadrado Claro, porque uno
partido por i es una constante y aquí quedará en definitiva menos uno
partido por i cuadrado O sea, que efectivamente en este ejemplo que estamos
viendo se cumple el lema de Schwarz las derivadas cruzadas Ambas derivadas
cruzadas son iguales a lo mismo a menos uno partido por i cuadrado Esto
quiere decir que efectivamente estamos en presencia de una ecuación
diferencial exacta y que, por lo tanto, existe una cierta función u a la
cual nos referíamos antes Tenemos que hallar tenemos que averiguar cuál
es esa función porque no os olvidéis que al final esa función igualada a
una constante es la que nos da el resultado final la que nos da la
solución general de la ecuación diferencial Muy bien Pues bueno, vamos a
aplicar el procedimiento y las fórmulas que señalábamos anteriormente en
la teoría Ahí en esta flecha os lo señalo Si echáis marcha atrás y os
vais a la diapositiva anterior veréis que esta es la fórmula u igual a
vamos a retroceder así lo veremos claro u aquí lo tenemos venga, aquí os
lo señalo ahora os lo señalo u igual a la integral de p por diferencial
de x Integral de p por diferencial de x Efectivamente Aquí lo tenemos
Estamos aquí Eso de aquí es la p Está ya dentro del integral de la
función subintegral Muy bien Más Vamos atrás otra vez Más qué pone
aquí Más fi de y Es una cierta función fi de y que hemos de averiguar
Muy bien Pues nada, nosotros ni cortos ni perezosos Más fi de y ¿Y eso de
aquí a qué es igual? Bueno, pues eso lo podemos resolver La integral de
dos x más uno partido por y Por diferencial de x En este caso la y actúa
como si fuera una constante No es eso, porque esto sería X cuadrado
partido por dos Como es multiplicado por dos queda x cuadrado Más x
partido por y O sea que la primitiva es esta Más fi de y Esto por un lado
Pero resulta que por otro lado Hemos visto antes en la teoría Que La
derivada parcial Estamos aquí ahora En la penúltima expresión En la
penúltima línea De esta diapositiva 5 Resulta que la derivada parcial De
u con respecto a y Es igual A q de xy La derivada parcial De u con respecto
a y Es igual a q de xy Efectivamente, q de xy es esta Aquí tenéis la q Lo
estáis señalando ahora Con una flechita arriba de todo Esa es la q Y a su
vez Resulta Que esto de aquí Es igual A esta expresión Si ahora en la
Línea anterior Es esta de aquí Esta expresión de aquí Que ahora os
estoy señalando otra vez Esta de aquí Si ahora resulta Que aquí Hacéis
la derivada con respecto a y De este resultado De todo este resultado de
aquí ¿Cuál será la derivada parcial Con respecto a y? Pues será Menos
x partido por y cuadrado Porque la x cuadrada es una constante Estamos
derivando parcialmente con respecto a y Más fi prima de y Y ahora comparar
esas dos expresiones Comparar todo esto que os estoy recuadrando Comparar
esto Con esto Esta igualdad Fijaos que en ambos lados aparece El quebrado
La fracción Menos x partido por y cuadrado Y en el otro aparece uno
partido por y Aquí fi prima de y O sea que fi prima de y En realidad es
uno partido por y Fi prima de y Que es lo mismo que Diferencial de fi de y
Partido por diferencial de y Bueno, pues ya está Si ahora nosotros Tomamos
integrales en esa expresión Esta expresión de aquí Resulta que fi de y
es igual a Logaritmo neperiano de y Y por tanto El u de x y Nos venimos
aquí Es igual a Esto de aquí que hemos calculado antes Es igual a x
cuadrado más x partido por y Más logaritmo neperiano de y Puesto que ya
hemos hallado que la función fi de y Es efectivamente Y aquí se acaba el
invento La función u Como decíamos antes en la explicación teórica Esa
función x cuadrado más x partido por y Más logaritmo neperiano de y Es
igual a c Ese es el resultado final La solución general, la integral
general De la ecuación Diferencial exacta ¿De acuerdo? Bien En el libro
tenéis En fin, varios ejercicios Sobre este particular Y los libros de
problemas Son largos, más o menos complicados Pero en definitiva los
tenéis Bien Vamos a ver si seguimos adelantando En esta materia Por cierto
Que quisiera hacer aquí Un pequeño Paréntesis Y es que Me estuve mirando
La prueba de evaluación continua Que os pusieron Y no me pareció
especialmente difícil Recordar que los dos primeros ejercicios Estaban
resueltos También de alguna manera en el libro O en la web y tal En los
ejercicios propuestos de la web El segundo y en el propio libro
directamente En el manual de la asignatura Quiero recordar la página 258
El primero Después había dos ejercicios De sistemas de ecuaciones
diferenciales Que os recomiendo que estudiéis Puesto que ya veis que
cargan un poco el tema En los sistemas Y había también un ejercicio Muy
sencillo De ecuaciones recurrentes De ecuaciones en diferencias finitas Que
no me pareció ningún ejercicio Excesivamente difícil En absoluto No sé
si lo habéis hecho Si no lo habéis hecho Cómo os ha ido Se corrigen en
Madrid Pero vamos Creo que había algún otro ejercicio Bueno, en total
Creo que eran cinco ejercicios Ya los he mencionado todos El resultado
trigonométrico De senos y cosenos Pero vamos, no era especialmente
difícil Es lástima que este curso No nos dé tiempo A continuar
trabajando esos temas Pero que sepáis en todo caso Que a partir del curso
que viene Pues sí que los trabajaremos Los que hemos colgado en la red
Este año Y el año que viene Proseguiremos con las ecuaciones Recurrentes
Bien Pero no olvidemos Que todavía estamos En las ecuaciones diferenciales
exactas Las ecuaciones diferenciales exactas Ahí os pongo otro ejercicio
Para que no digáis En fin Que no está claro Vamos a poner otro ejercicio
Y vamos a ver si nos sale este ejercicio Vamos a ver Aquí hay una
ecuación diferencial Entonces aquí lo que hemos hecho Es invertir el
orden Y se integra En vez de La p se integra la q En vez de la p de xy por
diferencial de x Se integra la q de xy por diferencial de y Y el resultado
que se obtiene No es la fi de y sino la fi de x El resultado es
prácticamente el mismo Bien Lo primero que hay que hacer Como siempre es
comprobar si se trata De una ecuación diferencial exacta Para lo cual se
deriva parcialmente La p con respecto a y Y la q con respecto A x Y que se
obtiene Pues en ambos casos se obtiene 2x por e elevado a x cuadrado Con lo
cual Se obtiene el mismo resultado Al obtenerse el mismo resultado Resulta
que nos hallamos en presencia De una ecuación diferencial exacta A partir
de ahí Aplicamos el mismo procedimiento Que hemos explicado para el caso
anterior Pero en este caso Lo que se integra insisto No es la p sino que es
la q Tratándose de una función de dos variables Alguno podría preguntar
Y por qué siempre integramos La p Y utilizamos como variable independiente
La x y no la hacemos al revés Si todos somos hermanos Aquí todos somos
iguales Democracia De las dos maneras Empezando por un lado o empezando por
otro Bien Si lo hacéis ya lo meditaréis En casa tranquilamente Veréis
que la cosa no tiene mayor problema Llegaréis a la conclusión De que al
final La función u Que es la que interesa Tiene de valor Y por e elevado a
x cuadrado Menos x cuadrado Entonces en consecuencia Os acordáis Que la
expresión de la solución general Era u igual a c O sea que sería esta
expresión Que tenéis recuadrada ahí Como siempre lo que he hecho aquí
Que sea más bonito Y quede más clara la y Que es igual a c O una cierta
constante Más x cuadrado Partido por e elevado a x cuadrado Muy bien Bueno
pues hasta ahora Hemos estado viendo Las ecuaciones diferenciales Exactas
Aquí lo que pasa O lo que puede suceder Es que al buscar Una ecuación
diferencial exacta Vemos con que no es tan exacta O sea que Al hacer las
derivadas cruzadas Al comprobar La derivada parcial de p con respecto a y
No es igual a la derivada parcial de q con respecto a x Ah, entonces ya no
es exacta Pues bueno, eso no es exacto Lo que pasa es que ese tipo de
ecuaciones diferenciales No exactas Se pueden convertir frecuentemente A
diferenciales exactas Multiplicando por una cierta función Que es esta
función de aquí Mu, nou, mu Por lo nuestro En el abecedario Y entonces al
multiplicarla Por esa mu Automáticamente la convertiremos En exacta Y
entonces la resolveremos como si se tratara efectivamente De una ecuación
diferencial exacta Este es el asunto Entonces Bien, cómo se obtiene ese
factor integrante Cuántos tipos hay de factores integrantes Bueno todo eso
más o menos Lo tenéis sucintamente explicado aquí También en el libro
Es el ejemplo Aquí tenéis efectivamente una ecuación Que en principio
pudiera ser exacta Pero que no lo es Si la multiplicamos Lo tenéis ahí en
el recuadro En ese recuadrito que os señalo ahora con una flechita Si la
multiplicáis Por esa cierta función mu Que es un factor integrante
Entonces sí que la convertimos en exacta O sea el producto Mu por xy por p
Y mu por q Hace que efectivamente Ese producto de funciones de xy Nos den
Ya el cumplimiento del teorema De las derivadas parciales cruzadas Bueno
entonces Se integra por el método expuesto anteriormente Ahí lo que pasa
Es que la determinación Lo explica aquí en la diapositiva De los factores
integrantes Es un tema que se puede En fin complicar Se puede hacer
ciertamente dificultoso Hay Muchas variedades de factores integrantes Pero
básicamente En principio hay tres Aunque aquí prácticamente solamente
vamos a ver uno Existen multiplicadores O factores integrantes Que dependen
de una única variable Ya sea la x o ya sea la y Sería este caso El caso a
También puede ser un factor integrante Que depende de la suma de ambas
variables X más y sería el caso b Y por último del producto de ambas
variables Que sería este de aquí el caso c Bien Aquí vamos a plantear
algún ejemplo Para que veáis un poco la comprensión del método Que se
emplea El método del factor integrante Y os recomiendo que miréis
también El manual de la asignatura Para ver también Como resuelve Se
trata de resolver De integrar esta ecuación diferencial Esta que tenéis
aquí Expuesta en la diapositiva Vale Muy bien La p sea x más y cuadrado Y
la q Sea menos 2xy Vamos a ver si es exacta o no Para esto aquí nos
venimos Aplicamos Las derivadas cruzadas Y observamos con horror Y
desencanto Que efectivamente no es una ecuación diferencial Exacta Puesto
que la derivada parcial de p Con respecto a y Es igual a 2y Y en cambio la
derivada parcial de q Con respecto a x Es igual a menos 2y Cuidado con eso
de los signos Que os acordáis que el día pasado Ya no salían siempre los
problemitas Bien Si vosotros aplicáis esta expresión Que ahora os he
señalado ahí Con un trazo vertical Derivada parcial de p Con respecto a y
Menos derivada parcial de q Con respecto a x partido por q Hallaréis Si se
admite Un factor integrante O un multiplicador integrante Que dependa de un
tipo de variable O de otro tipo de variable Si nosotros resolvemos esta
expresión Derivada parcial de p con respecto a y Menos derivada parcial de
q Con respecto a x partido por q ¿Esto a qué es igual en nuestro caso?
Eso lo tenéis también explicado En la teoría del libro Pues bueno, la
derivada parcial de p Con respecto a y hemos visto que era 2y Y la derivada
parcial de q Con respecto a x hemos visto que era menos 2y O sea, el
numerador de esa fracción Es 2y más 2y Simplemente 2y más 2y partido por
q Que es menos 2xy Muy bien Perfecto Pues esto sería 4y partido por menos
2xy Que en definitiva se van a las y Y nos queda simplemente Menos 2
partido por x O sea que vemos que mediante esta expresión El factor
integrante Depende únicamente De la variable x Aquí solamente aparece la
x Pudiera ser que aquí nos apareciera la y O pudiera ser que nos
aparecieran ambas En cuyo caso habría que buscar Otros factores
integrantes Bien Pues bueno, ya sabemos que el multiplicador O factor
integrante en este caso Depende de la x Luego será del tipo mu de x Si
dependiera de la y sería del tipo mu de y ¿Eso qué quiere decir? Que
multiplicando esa cierta mu de x Por La división de la ecuación inicial
Problema Multiplicando tanto la p Como la q Por el mu de x La tenemos que
hacer diferencial exacta Y luego ya la podemos resolver Lo hemos visto
antes Fijaos que la derivada parcial de p Ahora p es todo esto de aquí
¿Vale? Y q es todo esto de aquí ¿Eh? La derivada parcial de p Con
respecto a y Porque eso es constante Estamos derivando parcialmente con
respecto a y Por 2y Con la q Hacemos exactamente lo mismo ¿Cuál es la
derivada parcial de q con respecto a x? Pues esto de aquí Entonces estas
son las derivadas cruzadas Pero para que sea diferencial de exacta ¿Qué
pasa? Que las derivadas cruzadas tienen que ser iguales Tienen que ser
iguales La derivada parcial de p con respecto a y Tiene que ser igual a la
derivada parcial de q con respecto a x Pues bueno Eso es justamente lo que
hacemos Las igualamos Eso de aquí Igualado a esto de aquí Entonces
llegamos a esa expresión de aquí Si vais simplificando Reduciendo
términos, etc, etc Y simplificando ahí también esa expresión Y al final
del proceso Llegaréis a la conclusión De que Mu prima de x partido por mu
de x Es igual a Menos 2 partido por x Que es la integral Aquí ya tengo Una
ecuación Y una igualdad Que me permite efectuar una integración muy
cómoda Si yo integro En ambos miembros de esa expresión Que os he
señalado últimamente con una flechita Obtendré ¿Cuál es la integral de
u prima mu prima partido por mu? Por logaritmo neperiano ¿Y cuál es la
integral de Menos 2 partido por x? Pues menos 2 por logaritmo neperiano de
x ¿Eh? Es lo mismo que logaritmo neperiano de x elevado a menos 2 Si os
acordáis Por los logaritmos El logaritmo de una potencia es igual Al
exponente multiplicado por el logaritmo de la base ¿De acuerdo? Muy bien
Pues bueno Si resulta Que logaritmo neperiano de mu de x Es igual a
logaritmo neperiano de x Elevado a menos 2 Quiere decir que mu de x es
igual a x elevado a menos 2 Y x elevado a menos 2 Es lo mismo Que 1 partido
por x cuadrado O sea que en definitiva La función que estamos buscando El
factor integrante Que dependa únicamente de la variable x En este caso Que
estamos buscando Es precisamente 1 partido por x cuadrado Podría haber
sido otro Diferente También en función de x Pero no Es justamente 1
partido por x cuadrado Muy bien Pues vamos siguiendo Con la resolución del
ejercicio Y entonces ¿Qué pasa? Que si ahora yo multiplico Vamos a ir a
retroceder un poco Para que lo veamos más claro Si ahora yo multiplico Me
vengo aquí En definitiva Me vengo Veis que estoy colocando aquí Una
flechita Si ahora yo me vengo aquí Ya que he obtenido ahora El valor de mu
de x Que era 1 partido por x cuadrado 1 partido por x cuadrado Aquí estoy
Que multiplica x más y cuadrado Menos 2xy Estamos aquí Por mu de x
Multiplicado por diferencial Esta expresión Si la desarrolláis Es muy
fácil Es justamente la que os he colocado aquí Arriba de todo En la
diapositiva Que teóricamente Ya tiene que ser exacta Porque ya hemos
hallado su factor integrante Multiplicado por el factor integrante Y
teóricamente tiene que ser exacta Pero vamos a comprobarlo Vamos a ver si
es verdad Que se necesita para que una ecuación Sea diferencial exacta Lo
hemos dado de cierre La derivada parcial de p Con respecto a y Sea igual a
la derivada parcial de q Con respecto a x Este es el problema de las
derivadas parciales cruzadas Y efectivamente así es La derivada parcial de
p Con respecto a y Es 2y partido por x cuadrado Pues la derivada parcial de
q Con respecto a x Es también 2y partido por x cuadrado Y esa ya es
diferencial exacta Bueno Entonces una vez la tenemos Pues aplicamos lo de
siempre Explicamos la expresión Aquí hay la completa Aquí ponemos la p
Aquí, más phi de y Integramos La integral de 1 partido por x es logaritmo
neperiano de x Etcétera La integral de y cuadrado Partido por x cuadrado
Será menos y cuadrado partido por x Usando como variable la x Más phi de
y Pero por otra parte Esto de aquí es igual a q Esta es la q Que sale de
las formulitas de la teoría De ahí deducimos en definitiva, en este caso,
curiosamente, la fi' de i nos da igual a cero. ¿Qué quiere decir que la
fi' de i nos dé igual a cero, sea cero? Pues que fi de i es cero, porque
ya sabéis que la derivada de una constante es cero. Cualquier constante,
sea la que sea, no es igual. Desde menos un millón hasta más siete
billones, siempre es cero. Muy bien, pues bueno, ya sabemos que fi de i es
una función constante. Bien, a partir de ahí ya podemos sustituir, ya
podemos hallar el valor de la u, como hacíamos antes. Es este de aquí,
sería logaritmo de periano de x menos i cuadrado partido por x más fi de
i que es c. O sea que la integral general, hemos dicho que era u igual a c.
O sea que sería esta expresión, esto de aquí igual a c. En realidad,
como sería igual a c, igual a c prima, c menos t prima queda c. O sea que
simplemente nos queda esta integral general. Muy bien. Bien, si queréis
profundizar un poco más en el tema, desde el punto de vista analítico, e
intentamos despejar, como siempre, la i, esto que hemos dicho alguna vez,
pues efectivamente, esta expresión última que acabo de redondear es la
misma que esta expresión que tenéis aquí. ¿De acuerdo? Podéis saltar
tranquilamente en casa. Y esta, a su vez, también se puede expresar, como
os estoy señalando ahora, mediante esta última. De ahí vais despejando
de una constante c, pasamos a una constante k, también es otra constante,
y en definitiva, al final, esto nos permite despejar la i, que es lo más
correcto, mediante esta otra, como queráis, cualquiera. Y obtenéis, de
este modo, la integral general. Esto lo meditáis en casa, lo repasáis y
veréis que tampoco tiene... Bien, hay una última que no quisiera entrar
en el tema. Creo recordar que... En el libro, en el manual de la
asignatura, no están explicadas ese tipo de funciones, o sea, de factores
integrantes que dependen de ambas variables. Como ya está explicado,
sería el caso, por ejemplo, de integrar esta ecuación. Este sería el
ejercicio que os propondría, y os lo guardáis a título de ejemplo. El
proceso de resolución es el mismo, lo que pasa es que se complica un poco
más, porque en vez de jugar con una variable, estamos jugando con dos. Si
tenemos este... Si tenemos esta expresión, esto sería la p, esto sería
la q, entonces deriváis con respecto a la p, con respecto a la i, a u, con
respecto a la x, el resultado es 3x cuadrado por i cuadrado más 2 en un
caso, y 2 menos 6x cuadrado por i cuadrado en el otro. Como veréis, se
parece esto como un huevo a una castaña. Eso no lo parece de nada. Se
parece poco. En definitiva, eso quiere decir que hemos de buscar un factor
integrante. Que a veces nos pueden decir, nos pueden señalar, en el propio
enunciado del problema, que depende del producto x por i. O sea, de ambas
variables multiplicándose. O bien sumándose. Z igual a x más i. Bien. En
este caso, pues se resuelve el ejercicio con un método parecido al
anterior. Se obtiene en definitiva la función u, como siempre, y el
resultado es igual a c. En definitiva, se obtiene la integral general o la
solución general de la ecuación diferencial. Bien. Prácticamente ya
hemos llegado. Si no prácticamente, prácticamente ya al tiempo que nos
habíamos propuesto. Y bien, os recomiendo que os repaséis toda la
asignatura, todos los temas. Y especialmente que resolváis los ejercicios,
tanto de las funciones como de las funciones. De las pruebas de
evaluación, que insisto, de la segunda, y de la primera creo recordar que
tampoco era complicado. De la segunda especialmente me pareció sencillo.
No sé si en el momento del examen, tanto la primera semana como la
segunda, os van a poner un examen tan simple como el de la prueba de
evaluación continua. Yo supongo que no. Miraos en todo caso el ejercicio
del año pasado, tanto de febrero como de septiembre, en este caso, y a
partir de ahí tendréis una idea de por dónde van los tiros. Mucha más
experiencia no hay, puesto que esta asignatura se está dando
prácticamente en su nueva versión de grado desde el año pasado. Sí que
podéis mirar esta asignatura en cursos anteriores, que se llamaba
Matemáticas 3 o Matemáticas Superiores Aplicadas a la Economía, etc. Ya
lo veréis. Y entonces ahí los equipos docentes de la Sede Central no creo
que hayan cambiado mucho. En consecuencia, sus intenciones deben ser
prácticamente las mismas. O sea que, aunque no estemos en el grado y
estemos hablando de la licenciatura, prácticamente no hay nada que hacer.
No hay ningún tipo de examen, imagino que será el mismo. Quiero decir que
se supone que pondrán ecuaciones diferenciales parecidas y sistemas de
ecuaciones diferenciales o de ecuaciones en diferencias finitas también
parecidos. Pues muy bien. Muchas gracias por haberme escuchado, por haberme
soportado. No sé si tenéis alguna observación a hacerme. Y en todo caso,
una pregunta, Mivan. Muy bien. Dime, Mivan. A ver qué pregunta me haces,
si nos aclaran. A la página 9, te refieres a la diapositiva 9, ¿no es
eso? Vamos a ver. A la página 9, que es esta de aquí. Ajá. Sí, señora.
Página 9. Muy bien. Menos 2 partido por X, efectivamente. ¿Estamos aquí
donde yo te señalo? ¿Sí? Vale, vale. ¿Con signo menos? Ah, ¿por qué
es con signo menos? Pues muy sencillo. Porque fíjate que el resultado de
este quebrado, el que tienes anterior, es 2Y. Ah, ¿no? ¿No te refieres a
esto? A ver. ¿A qué te refieres? Mire ya. Ajá. Coincide. Por mu derivado
partido por mu. Ajá. Sí, sí. Coincide, coincide. Sí, sí.
Efectivamente. Pues hombre, no te sé responder exactamente ahora a esto.
Debería comprobarlo. En todo caso, en todo caso... A ver, perdón. Podemos
mirar el siguiente ejercicio. Y en este ejercicio... A ver. Si nos
aclaramos. En este ejercicio... Claro, en este ejercicio, en el siguiente
ejercicio no lo he hecho. Ahí, además, no lo hemos hecho. No lo hemos
hecho. Mira. En la página 11, sí, pero en la página 11 es otro tipo
de... Mu prima partido por mu, vale. Mu prima partido por mu es menos 3
partido por XI. ¿No es así? Bien. Y, sin embargo... Vamos a ver. Tú me
estás preguntando esta expresión de aquí. Derivada parcial de P con
respecto a Y, menos tal... Si es igual que la otra. Pues chica, aquí no lo
hemos resuelto. No lo hemos resuelto. Mira tú de resolverlo y a ver qué
es lo que te da. Aquí tendrías que resolverlo. Y tendrías esta
expresión de aquí. A ti te da también. Porque fíjate que, mira, ahí la
tienes. Ahí arriba tienes el resultado. Ahí te lo estoy señalando. De la
derivada parcial de P con respecto a Y. Y ahí tienes la derivada parcial
de Q con respecto a X. Si eso lo metes en las fórmulas, entonces sería
simplemente hacer la diferencia. Pues sí, sí, probablemente. No te digo
yo que no. Dividir por Q, claro, claro. Dividir por Q mayúscula, sí. Sí,
claro, vas a aplicar la fórmula aquella. Se podría resolver así. Sí,
sí. No, no, estoy de acuerdo. O sea que si te sale seguro que lo tienes
bien. Seguro, seguro. No lo había comprobado, pero bueno. Muy probable que
sea así. En todos los casos. Además parece que por teoría ha de ser
así. Muy bien. Pues bueno. Os deseo mucha suerte. Y ánimo. Vista. Y al
toro. Hasta pronto.