Bueno pues, buenas tardes. Vamos a iniciar esta sesión correspondiente a
una clase intercampus de la titulación del grado en matemáticas y de la
asignatura de física. Y en concreto relacionada con el tema de campo
gravitatorio. El equipo docente ha facilitado exámenes resueltos de otros
años de grado donde se han seleccionado los problemas, los ejercicios que
han ido saliendo del tema de campo gravitatorio. Y el objetivo de esta
clase es... Perdón, el objetivo de esta clase es explicar la resolución
de estos ejercicios basándonos en los conceptos ya explicados,
introducidos en grabaciones anteriores. Recordad que también disponéis de
grabaciones de ejercicios prácticos de este tema y con esta grabación que
ponemos en marcha se pretende completar un conjunto de actividades para
facilitar la asimilación de los conceptos, de los contenidos dentro del
tema, del bloque temático de campo gravitatorio. Bien, pues ahora voy a
poner en pantalla el archivo, este archivo PDF donde están los enunciados
y la resolución de estos ejercicios. Bien, es cierto que hay algunos...
Los signos, algunas igualdades... No han quedado bien al pasar a PDF, no al
pasar a PDF, sino al subirlo aquí en la plataforma de Inteka. Pero bueno,
como ese archivo lo vais a poder descargar, no tiene que ser un problema y
yo sobre la marcha voy a ir corrigiendo o voy a ir indicando esos
detallitos, esos signos menos que no aparecen bien claros en este... En
aquí, en esta plataforma, pero que no tiene que causar problema. ¿De
acuerdo? Bueno, aquí tenemos... Aquí tenemos el primero, el primer
ejercicio y me vais a permitir, antes que nada... Un momentito, ¿eh? Que
ponga aquí bien los dos signos menos que han quedado escondidos. Bueno,
ahí estamos. Bueno, este primer ejercicio dice, supongamos una masa
puntual M1 que se encuentra fija en el origen de nuestro sistema de
referencia y otra M2 que está, pues, de mayor que cero, ¿no? Supongamos y
colocamos una tercera masa, ¿no? En un punto del eje X. Calcular la
expresión de la energía potencial gravitatoria de esta tercera masa
debido a los campos gravitatorios de las dos masas fijas, ¿no? En función
de X y representar gráficamente, de forma cualitativa, pues, el
comportamiento de esta función, ¿no? Y considerar que el origen de
energía potencial es a separación infinita. Es decir... En definitiva, lo
que estamos planteando... Aquí tenemos la masa, la segunda masa y la
tercera masa estaría por aquí, ¿eh? ¿Vale? Es decir, M1, M2 y M3 sería
la tercera masa. ¿Vale? Bueno, ¿cuál es la expresión de la energía
potencial gravitatoria de interacción entre dos masas puntuales? ¿Lo
conocéis? Es una expresión que se obtiene a partir de la ley de
gravitación universal y no tenemos que olvidar que la ley de gravitación
universal nos representa una fuerza central, una fuerza newtoniana, una
fuerza conservativa y de toda fuerza conservativa lleva asociada una
energía potencial. ¿Esto qué quiere decir? Revisando conceptos, que el
trabajo realizado por esta fuerza newtoniana al trasladar un cuerpo entre
dos puntos no depende del camino seguido, sólo depende del punto inicial y
del punto final. ¿De acuerdo? Sólo depende del punto inicial y del punto
final. Eso facilita mucho los cálculos a la hora de determinar el trabajo,
¿no? Para trasladar cualquier masa entre dos puntos determinados. Y
recordaremos que ese trabajo es igual a menos la variación de energía
potencial. Uy, perdón. El trabajo de A a B es igual a menos la variación
de energía potencial. ¿De acuerdo? Muy bien. Entonces, la energía
potencial debido a la masa M1, ¿no? Respecto a M, pues sería... Aquí
tendríamos X, sería la distancia, ¿no? X con respecto al origen, ¿no? Y
la distancia... De la masa M2 a M, pues sería X menos D. ¿Estamos de
acuerdo? Porque D era la separación que había. ¿Eh? D es la separación
que hay entre ambas masas. ¿Vale? Por lo tanto, la distancia en un caso
sería X y el otro X menos D. Es una energía potencial negativa.
Recordemos que se toma origen de energía potenciales en infinito. Y de
dónde viene este signo menos, acordaos. Viene de la integración. Es que
la fuerza, la fuerza de la ley de gravitación universal tiene un carácter
atractivo y aparecía en esa ecuación vectorial. Si os acordáis, ¿eh?
Bueno, estaba intentando quitar esta raya, pero veo que no puedo. Decía
que la fuerza tiene un carácter atractivo, si os acordáis, ¿no? Y por lo
tanto, este trabajo... Entre dos puntos, de RA a RB, ¿no? Era F,
diferencial de R, ¿no? Estamos saliendo bien fuera del trazo. Y esta
fuerza F es menos GMM partido R cuadrado por R vector unitario, ¿eh? Voy a
poner U sub R si queréis. Y de ahí nos aparece, digamos, ese signo menos
que grabas, ¿eh? Y identificamos la energía potencial en el infinito como
cero, ¿no? Y nos queda menos GMM. ¿De eso qué quiere decir? Que en
cualquier otro punto la energía potencial es menor. Como es cero en el
infinito, a una distancia menor tiene que ser negativa. Y cuando más cerca
estén las partículas, más negativa será y menos energía potencial
tendrá la partícula. ¿Vale? Bien, si nosotros queremos representar estas
dos ecuaciones, ¿no? Que tenemos aquí. Cuidado. No os olvidemos aquí.
Tenemos un signo menos y aquí otro signo menos, ¿eh? ¿Vale? Tenemos que
pensar que vamos a tener unos puntos de discontinuidad. Estas funciones.
¿Cuáles? Pues uno para X igual a cero y otro para X igual a D. ¿Por
qué? Porque ese cociente tenderá a infinito. ¿No? A infinito o a menos
infinito. ¿No? En concreto, para X igual a cero tenderá a menos infinito.
Y para X igual a D ¿No? También tenderá hacia menos infinito. ¿Eh?
Pero, para X igual ¿No? Para X igual a infinito ¿Eh? Cuando X tienda a
infinito evidentemente este cociente va a tender a cero. ¿Eh? Y cuando X
tienda a menos infinito también. De manera que si pasamos a la siguiente
página tenemos aquí esta curva que nos pide el ejercicio que salga de
manera cualitativa donde efectivamente podemos ver que tenemos dos
asíntotas donde aquí se ha tomado G igual a M1 igual a M2 igual a la
distancia igual a 1 ¿Eh? Y aquí tendremos una asíntota aquí tendremos
otra asíntota ¿Eh? De manera que ahí no va a estar definida la función.
Y, entre esta zona intermedia esta zona intermedia podemos decir tenemos un
máximo. Veremos en otro ejercicio que nos van a pedir cómo determinar ese
máximo en otro ejercicio más adelante. ¿Eh? Evidentemente que ese
máximo ¿Cómo se va a obtener? ¿Cómo se puede obtener ese máximo? Este
máximo va a depender de la relación de masas M1 y M2 la suposición y
evidentemente este máximo ¿Este máximo cómo se puede obtener? Pues
derivando derivamos la función energía potencial ¿No? ¿Vale? La
derivada de la energía potencial ¿No? Con respecto de X ¿No? E igualamos
a cero. Y ojo. Esto sabemos que es igual a menos la fuerza. ¿Eh? ¿Eso
qué quiere decir? Que en ese punto la fuerza será nula. Aquí tenemos un
punto de fuerza nula. ¿No? En este punto la fuerza será nula. Si nosotros
hacemos la segunda derivada e igualamos ¿No? Si hacemos la segunda
derivada ¿Eh? Con el valor de X que hemos obtenido aquí veremos que la
segunda derivada a sustituir la función sale un número negativo luego eso
quiere decir que es un máximo. Pero ahora tampoco es objeno. ¿Eh? Es el
objeto. ¿Eh? Es el objeto. Eh... Digamos del ejercicio. Simplemente es
darse cuenta cualitativamente de cómo varía. Tenemos esas dos ramas que
cuando tienden al infinito la X tienden a cero la energía potencial que
tenemos aquí dos asíntotas ¿No? Una para X igual a cero y otra para X
igual a D que aquí hemos llamado 1 ¿No? Y en medio nos encontramos con un
máximo ¿Eh? Un máximo fácilmente previsible ¿Eh? Fácilmente
previsible ¿Mmm? ¿De acuerdo? Y que va a determinar y que está
condicionado por el valor relativo de las masas M1 y M2 ¿Eh? Bien. Pues
vamos a continuar si os parece y vamos con este otro ejercicio ¿No? Donde
nos dice que un satélite artificial de masa M realiza una órbita circular
estable de radio R en torno a la Tierra que tiene masa MT ¿Mmm? En un
momento dado se produce un fallo en el sistema de conducción de manera que
la energía total del satélite disminuye en X julios cada vuelta ¿No? Y
tenemos otra vez este signo menos que se nos desplaza ¿Eh? Aquí lo
tenemos ¿Eh? Vamos a colocarlo aquí que se vea bien ¿Eh? Si suponemos
que a lo largo de su descenso el satélite pasa por trayectorias circulares
de modo que después de cada vuelta su energía disminuye en una cantidad X
¿Eh? ¿Cuánto habrá disminuido el radio de la órbita después de haber
dado N vueltas? Se disminuye una cantidad X ¿Sí? Bueno Es decir Nosotros
tenemos que la energía final de este satélite va a ser igual a la
energía inicial menos N veces X Siendo X la energía que perdemos ¿No?
Que perdemos en cada vuelta ¿De acuerdo? La energía que perdemos en cada
vuelta X Siendo N el número de vueltas ¿Vale? Entonces ¿Cuál es la
energía de un satélite que está en órbita? Cuando un satélite está en
órbita dispone de una energía cinética y de una energía potenciada
¿No? La suma de ambas energías Pero que esta energía mecánica que es la
suma de la energía cinética y la energía potencial la podemos poner en
función de la distancia al centro ¿Eh? De la distancia al centro ¿Por
qué? Bueno Si pensemos que tenemos aquí la Tierra ¿No? Aquí tenemos un
punto ¿No? Y aquí este punto que está en órbita ¿Qué se cumple? Bueno
La segunda ley de Newton F igual a M por A sub N ¿De acuerdo? ¿Eso qué
quiere decir? Pues GMM partido por R cuadrado es igual a M V cuadrado
partido por R De manera que la energía mecánica que es la energía
cinética más la energía potencial La energía cinética yo la puedo
expresar ¿Eh? Simplificando cuadrado una R como un medio de GM partido por
R Y la energía potencial ya lo sabemos menos GMM partido por R En
definitiva la energía mecánica es menos GMM partido 2R No sé si se ve
¿Eh? Creo que sí ¿No? Menos GMM partido 2R Esta expresión de la
energía mecánica es válida para cualquier satélite en órbita circular
con respecto a cualquier planeta ¿Por qué? la energía mecánica ¿Vale?
Cualquier planeta o cualquier otro satélite digamos que tengamos como la
luna etcétera ¿Eh? Entonces esta expresión de la energía mecánica
¿Eh? es válida siempre que tengamos una órbita circular Y R
recordémoslo nos indica siempre la distancia centro-centro La distancia
del centro de la Tierra al punto en cuestión al punto en cuestión
Entonces si nosotros ahora vamos a pasar a la siguiente página A ver cómo
se ve Bueno Bien ¿No? Nos faltan los signos buenos ¿Eh? Venga Cambiar de
color Ah Pues tenemos que la energía mecánica Uy Perdón La energía
mecánica inicial cuando está en una órbita de radio RF será igual a la
energía mecánica final ¿Eh? Ojo con este sino menos NX ¿Qué es NX?
Bueno pues el número de vueltas que hayamos dado Entonces siendo X la
energía que perdemos en cada vuelta Y ahora ¿Qué tendríamos que hacer?
Pues operar ¿No? Está claro Es decir tenemos que despejar Tenemos que
despejar RF ¿Qué es RF? Es radio final ¿No? El radio final sería menos
GMT M partido 2R menos NX ¿No? No Así no es Un momentito ¿Eh? A ver Un
momentito A ver Vamos a ponerlo bien ¿Eh? Lo tenéis aquí ya despejado
pero solo simplemente un poquito lo vamos a ver ¿Eh? RF sería por lo
tanto menos GMT M ¿Eh? RF dividido menos GMT M partido 2R menos NX ¿Vale?
Ahora sí ¿No? Bueno Operando ¿Eh? Operando llegamos a esta expresión
que tenéis aquí ¿Cómo? Pues operando podemos poner dividimos todo por
GMT M ¿No? ¿Lo veis? Hemos dividido todo por GMTM la R pasa arriba
multiplicando ¿Eh? Hay que trabajarlo un poquito ¿Eh? Pero eso no tiene
que generaros ningún problema ¿Eh? Tampoco dice el enunciado que se
exprese de una manera concreta ¿Eh? Este sería el signo igual ¿Eh? Y ya
estaría ¿Eh? El concepto aquí que hay que tener claro es que aquí
tenéis el resultado ¿Eh? ¿No? Como ese radio final depende del número
de vueltas que tengamos que es N ¿No? Sabiendo que en cada vuelta se
pierde X energía ¿Eh? X energía Siendo R esta R el radio inicial de la
órbita ¿Eh? El radio inicial de la órbita ¿Cómo? ¿No? A medida que
aumente N a medida que aumente N evidentemente ¿Eh? Evidentemente a medida
que aumente N el radio final será menor a mayor número de vueltas
tendremos menos radio y fijaos con esta expresión para N igual a 0 para N
igual a 0 obtendríamos el radio inicial ¿No? Es una forma de comprobar
que está bien hecho ¿De acuerdo? ¿Eh? Bueno Vamos a seguir pues
Siguiente ejercicio es de junio de 2017 y dice Consideremos un sistema
estelar binario completamente aislado compuesto por dos estrellas de la
misma masa separadas a una distancia D Ahora tenemos un sistema binario
aislado ¿Eh? Son dos estrellas que dicen que son de la misma masa ¿Vale?
Separadas con una distancia D constante Ambas estrellas orbitan alrededor
de su punto medio de un punto medio de la recta imaginaria que les une
debido a la interacción gravitatoria G Pide calcular primero el periodo Es
decir si no quédase claro Vamos a ir a dibujar esta órbita ¿Eh? Y aquí
tendríamos las dos estrellas ¿No? Que dan vueltas y siempre se encuentran
en la misma distancia ¿Eh? De masa M ¿Eh? Esto es circular ¿Eh? De
acuerdo Me da un poco balado ¿Eh? Pero es es circular ¿Eh? De acuerdo de
radio AR ¿Vale? ¿Qué quiere decir esto? Que la distancia que hay Que la
distancia que hay ¿No? Eh Es dos veces el radio ¿No? De la órbita Es
así Están separadas una distancia D Y el radio Será de medios El radio
de cada una de ellas Y esto gira solidariamente con el mismo periodo ¿Eh?
Eso quiere decir que siempre se encuentran una enfrente de la otra ¿Eh?
Tenerlo presente siempre en los sistemas binarios ¿Eh? Siempre se
encuentra una enfrente de la otra ¿Eh? Órbita circular Entonces ¿Qué
tenemos aquí? Bueno Si queremos acudir al periodo Tenemos que recordar con
la segunda ley de Newton A ver Queremos tener otro color Aquí Que F es
igual a M por A sub N ¿Eh? F es igual que ahora aquí tendríamos G M
cuadrado partido D cuadrado que es la distancia Porque la distancia es D
Dos veces el radio Partido por M ¿No? Estamos aplicando a una de ellas la
segunda ley de Newton ¿No? La aceleración normal La aceleración normal
tanto podemos poner V cuadrado partido por R Que R es de medios ¿Eh? No
nos olvidemos O como ya podríamos poner que A sub N que es V cuadrado
partido por R o bien omega cuadrado multiplicado por R donde omega cuadrado
es cuatro pi cuadrado partido T cuadrado Y por R ¿Y qué es R? D medios
¿Eh? Aquí Efectivamente Esta fórmula que tenemos aquí Los iguales
están un poquito desplazados Vamos a A revisarlos ¿Eh? Aquí tenemos un
igual Aquí tenemos otro igual ¿Eh? No tenemos ningún sinónimo ¿Eh?
Vale Bueno Pues de aquí si nosotros relacionamos Ay perdón Esta fuerza
gravitatoria con la masa por aceleración normal podemos determinar podemos
determinar el periodo despejando ¿No? Y el periodo lo tenemos aquí Esta
ecuación nos nos recuerda mucho ¿No? A una de las leyes de Kepler donde
el cuadrado del periodo ¿No? Es proporcional a la distancia al cubo ¿Si?
Mmm Bueno Vamos allá Ahora lo que nos plantea después el ejercicio este
sería el periodo de rotación ¿Eh? Vale Ahora el apartado B dice
Supongamos un momento dado las estrellas dejan de orbitar y se paran Si
dejan de orbitar y se paran su energía cinética será cero Solo tendrán
energía potencial ¿No? Quedando en reposo y separados de una distancia de
describir que ocurrirá y calcular su velocidad cuando la distancia de
ellas sea de medios Claro Si resulta que no orbitan es el movimiento
circular si no orbitan están en reposo la fuerza de gravitación universal
hará que se precipite una sobre la otra en un principio ¿Vale? Entonces
nos dice ¿Qué ocurrirá? Pues que se van a precipitar evidentemente una
sobre la otra Y ¿Qué velocidad tendrán cuando la distancia sea de
medios? Pues está claro que la energía mecánica inicial que tenían las
dos estrellas este sistema binario en reposo es solamente la energía
potencial será igual a la energía cinética que tiene cada una de ellas
más la energía potencial que posee al estar a una distancia de medios Y
vamos a verlo en la siguiente página Aquí estamos Energía mecánica
inicial igual a energía mecánica final Aquí lo tenemos y aquí lo
tenemos Y ¿Qué tenemos además? Pues que aquí la fórmula no hay errores
vamos a ponerlo bien aquí hay un más energía cinética más energía
potencial inicial igual energía cinética más energía potencial final
¿Qué tenemos inicialmente? Pues tenemos evidentemente energía cinética
que es cero una energía potencial fijaos ¿eh? una energía potencial
donde D es la distancia después ojo una energía cinética de cada una de
las dos estrellas del sistema binario y por eso está multiplicado por dos
más que aquí sería con menos porque recordad que la energía potencial
tiene un signo menos ¿eh? la energía potencial de interacción entre las
dos dos ¿eh? dos estrellas ¿no? cuando se encuentran a una distancia
igual a D medios cuando se encuentran a una distancia igual a D medios es
decir la energía potencial inicial ¿eh? será igual a la energía
cinética final la suma de ambas ¿no? más la energía potencial de
interacción cuando están a una distancia D medios ¿de acuerdo? bueno de
aquí nosotros podemos calcular esa velocidad que van a tener ¿cómo?
despejando dejamos podemos tachar una M mayúscula ¿no? está claro y si
operamos ¿no? fácilmente podemos ver fácilmente podemos ver sería menos
G M partido por D vamos al otro lado como más más G 2 M partido por D
igual a V cuadrado tengo dos menos uno uno sería la raíz cuadrada de G M
partido por D aquí lo tenéis ¿no? lo que hemos dicho hace un momento
¿no? esta sería la velocidad que tendría cada una de ellas a una
distancia de medios ¿eh? a una distancia de medios ¿de acuerdo? es al 2
menos 1 y V la raíz cuadrada muy bien vamos con el siguiente ejercicio
dice lo siguiente una nave espacial de masa M describe una órbita circular
de radio R en torno a la Tierra bajo la acción de su campo gravitatorio en
cuanto se ha de incrementar su velocidad al menos para conseguir escapar de
la acción gravitatoria terrestre expresará el resultado únicamente en
función de G M T y R es decir una nave espacial describe una órbita
circular de radio R en torno a la Tierra ¿no? y dice en cuanto se ha de
incrementar su velocidad bueno vamos a ver si está en órbita ¿eh? si
está en órbita bueno de momento lo que sí podemos decir es que la
energía que posee la energía que posee es la suma de la energía
cinética más la energía potencia ¿no? ¿sí? pero ahora queremos que se
escape de la acción terrestre ¿por qué? ¿no? entonces vamos a llamar X
el incremento de la velocidad ojo vuelve a estar el signo aquí confuso
esto sería más X es decir más X es lo que habría que sumar a la
velocidad que tiene este satélite en órbita a una distancia R para que se
escapase de la atracción terrestre para que se escapase de la acción del
campo gravitatorio sería un medio de M de V más X que le doy al cuadrado
y la energía potencial menos G MTM partido por R ¿no? es decir está en
esa órbita y nos dice oiga cuánta velocidad he de añadir para que se
escape ¿qué quiere decir que se escape de la atracción terrestre? pues
eso quiere decir alcance el infinito con velocidad nula basta que alcance
el infinito con velocidad nula acordaos del concepto de velocidad de escape
mínima velocidad con que se alcanza un objeto desde un lugar determinado
para que llegue al infinito con velocidad nula para que se escape de la
atracción de ese campo gravitatorio entonces la energía mecánica que
debe poseer este satélite ¿no? esa nave espacial ¿no? que está en torno
a la tierra será cero ¿por qué? porque en ese punto basta que llegue con
velocidad cero y como tiene que llegar al infinito la energía potencial
será cero ¿eh? vale y por eso igualamos esta expresión a cero cuidado
que aquí otra vez queda esto raro voy a poner aquí más ¿eh? más x
¿no? ¿vale? y ojo aquí otra vez este será con un signo menos ¿eh? con
un signo menos de manera que operando ¿eh? operando si nosotros hacemos
tachamos la masa ¿no? ¿qué tendríamos? a ver fijaos ¿qué tendríamos?
fijaos como queda bueno sería si sacamos la raíz cuadrada será v mas x
raíz cuadrada de dos g m t partido por r por lo tanto la x despejando
sería dos g m t partido por r menos v ¿eh? menos v Sí. Creo que nos
saldría aquí, que no queda claro, ¿no? Está claro que no. Menos v da x
igual, ¿no? A esta expresión. g no se mete partido por r, ¿eh? Ya os he
dicho que este archivo lo podéis descargar y no tendréis estos problemas
que tenéis aquí. ¿Eh? Vale. Bien. Ahora bien, ¿qué vale esta v que
resta? Será la velocidad orbital. Esa velocidad orbital, ¿cómo la
podemos deducir? Pues aplicando la segunda de Newton, la fuerza de
gravitación universal gmm partido por r al cuadrado igual a la masa por la
aceleración normal. En este caso nos interesa poner la aceleración normal
en función de la velocidad. Por lo tanto, esta velocidad orbital que
tenéis aquí, ¿eh? ¿De dónde viene? Pues de igual a la fuerza de
gravitación universal con la masa por la aceleración normal. ¿Eh? ¿De
acuerdo? r al cuadrado se va, ¿no? Y me queda esta v que ya hemos visto
antes. Entonces, esta sería la expresión, ¿no? Fijaos, ¿no? Como es muy
similar y simplemente sería, si sacamos factor común... gmt partido por
r, tendríamos esta expresión, ¿no? Esta expresión de gmt partido por r,
que es la expresión de la velocidad de escape, ¿no? ¿De acuerdo? Lo que
tendríamos que hacer es incrementar, ¿en qué? En un valor raíz de 2.
Tendríamos que incrementar en un valor raíz de 2 esa velocidad, ¿no? En
definitiva. Porque este raíz cuadrada de gmt partido por r es v. Entonces,
tendríamos que incrementar, ¿eh? En un valor raíz de 2. Incrementar,
¿no? El incremento, ¿no? Lo que habría que sumarle, ¿eh? Bueno, raíz
de 2 menos 1 por v. ¿De acuerdo? Bueno, aquí nos faltaría poner aquí el
signo menos. ¿También, no? ¿Vale? Vale. Se sale fuera de la pizarra,
¿eh? ¿De acuerdo? No sé si lo entendéis o queréis que se quede claro.
Bien. Yo creo que no hay ningún problema, ¿no? Fijaos porque esta
deducción que acabamos de hacer ahora es general para cualquier nave
espacial en cualquier planeta, ¿no? ¿No? En cualquier nave espacial, en
cualquier satélite, ¿no? ¿Qué velocidad habría que incrementar en
órbita para que se escapase de la atracción? ¿Eh? ¿De acuerdo? Venga.
Vamos con el siguiente ejercicio. Nos dice lo siguiente. Dice, supongamos
que realizamos el mismo experimento en diferentes planetas. Aquí ya, antes
de seguir, ¿eh? Permitidme que ponga esto porque... A ver. Dice, el
experimento consiste en situarnos a una distancia r del centro del planeta,
la misma en todos los planetas, cuidado, ¿eh? Y medir la distancia
vertical recorrida durante un segundo por un cuerpo que se suelta en caída
libre. Y después representamos gráficamente el valor obtenido en función
de la masa del planeta. Describir lo más precisamente posible la función
que obtendremos. ¿Y qué va a llegar en esa representación gráfica si
cambiamos la distancia r? Bueno. Es decir, estamos hablando que en un
segundo, evidentemente, nosotros podemos considerar que la intensidad del
campo gravitatorio que crea ese planeta a una distancia r es constante.
Porque en un segundo, la distancia que va a recorrer es muy poca. Y vamos a
considerar que esa distancia es constante. ¿Por qué? Porque la variación
de altura que va a haber, ¿no? En ese segundo, va a ser despreciable.
Despreciable con el radio del planeta. Solo pensemos en la Tierra, que
tiene 6.370 kilómetros. Y si dejamos caer un objeto durante un segundo,
los momentos que va a recorrer, comparado con el radio, no tiene, ¿eh?
Digamos, no tiene, digamos, comparación alguna. ¿Eh? Entonces, la
expresión, ¿no? De esta G, perdón. G sub i sería G mayúscula por M sub
i. G sub i partido por r cuadrado, ¿no? Donde M sub i es la masa del
planeta. Fijaos que el enunciado nos habla de distintos planetas, ¿no?
Pero la misma distancia para todos ellos. Por lo tanto, cambiará la masa,
¿no? La gravedad, la intensidad del campo gravitatorio va a depender de la
masa de cada planeta, ya que dice aquí que fijemos la distancia al centro
en todos ellos la misma. ¿No? Eso quiere decir que estará... Está de
distinta altura, evidentemente. ¿Eh? Aquí lo tenemos, ¿no? Y si seguimos
un poquito más, la distancia recorrida, ¿no? Sería... Aquí nos ha
quedado un poco mal, ya lo veis, ¿no? Sería un medio de G. Sería G M sub
i partido 2 r cuadrado, ¿no? Si nosotros representásemos... La distancia
recorrida S sub i en función de M sub i, de la masa, obtendríamos una
recta que pasaría por el origen de coordenadas y de pendiente G partido 2
r cuadrado. Es decir, la pendiente... Bueno. A ver, un momentito, ¿eh? Un
momentito atrás. Me he quedado aquí. Aquí estamos. Vamos a poner la
otra, la gráfica. Aquí sería esto. Aquí nos va a dar... Sería la
pendiente M, si queréis. M sería G partido 2 r cuadrado. ¿Qué pasa si
cambia R? Cambiaría la pendiente, ¿no? A mayor R, menos pendiente, ¿no?
Está claro. Si nos alejamos, a medida que nos alejemos, ¿no? La pendiente
sería menor. ¿Qué quiere decir que la pendiente sea menor? Pues el
significado de que la pendiente sea menor. Se aumenta la R y la pendiente
es menor. Hay menos variación del espacio, ¿no? ¿No? Variación del
espacio, ¿no? Con la masa. ¿No? Lo vemos. ¿No? Varía menos. ¿Eh? A
medida que aumenta R. ¿Mmm? A medida que aumenta ese R. ¿Mmm? Pero el
resultado sería el mismo. ¿Lo entendemos? Bueno. Vamos a seguir. Vamos
con otro. Vamos a cambiar de página. Bueno, eso ya lo hemos comentado.
Vamos con el siguiente. ¿Qué nos dice? Dice que un proyectil se dispara
hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial que
tenéis aquí 2 raíz cuadrada de g m t partido por r t, siendo m t y r t
la masa y el radio terrestre, respectivamente, y g la constante de
gravitación universal. Dice que obtener la expresión de la velocidad del
proyectil en función de la altura h. Sobre la superficie de la Tierra. Y
calcular la velocidad que eso tiene en el límite, cuando h tiende a
infinito. Es decir, que nos piden que calculemos la expresión, ¿no? De la
velocidad del proyectil en función de la altura. Es decir, nosotros lo que
hacemos es, un proyectil se lanza desde la superficie terrestre. ¿Vale?
Bueno. Se nos ha ido fuera de trazo. ¿Eh? Y se lanza desde una altura h.
¿Vale? Desde una altura h. Con una velocidad, ¿no? Inicial de 2 veces
raíz cuadrada de g m t partido por r t. ¿Vale? ¿Y cómo podemos calcular
esa velocidad en función de la altura? Pues, bueno, pues, ¿cuál sería
la energía mecánica? La energía mecánica inicial. ¿La energía
mecánica? La energía mecánica inicial, ojo, sería la suma de la
energía cinética, donde esto sería v sub cero, más la energía
potencial, que no nos olvidemos que lleva un signo menos delante. ¿Eh?
Más la energía potencial. Y no nos olvidamos en toda la sesión de que
lleva un signo menos delante, ¿eh? La energía potencial. ¿De acuerdo?
Bueno. Pero ahora queremos saber, bueno, ¿qué valdrá la velocidad? No
cuando llegue a una altura h. ¿Vale? Cuando llegue a una altura h, la
distancia al centro, ¿no? Pensemos que inicialmente, ¿dónde estamos
aquí? Esto sería la v sub cero abajo, ¿no? Y aquí tendríamos una v,
que no sabemos lo que vale. La v sub cero vale esta. La v cuando estemos en
la altura h. Otra vez, la suma de la energía cinética, donde esta v
evidentemente va a ser menor que v sub cero. ¿Por qué? Porque aumenta la
energía potencial. Esta energía potencial va aumentando a medida que nos
alejamos de la superficie de la energía. ¿Por qué aumenta la energía
potencial? Porque aumenta la energía potencial. Tiene que disminuir la
energía cinética. ¿De acuerdo? ¿No? Donde esta velocidad, a medida que
vamos subiendo, es menor. ¿Por qué? Porque aumenta la energía potencial.
Se hace cada vez menos negativa. ¿No? Entonces, de esta expresión podemos
simplificar la masa del objeto, evidentemente, del proyectil, ¿no? ¿Por
qué aumenta la energía potencial? Y sustituimos v sub cero por esta
expresión, y se trata de despejar esa velocidad en función de h. Esa
velocidad en función de h. Bueno, aquí, para que nos entendamos bien,
vamos a ver, a poner los signos bien, esta expresión que ha despejado,
¿no? Aquí tenemos un signo menos. Ay, perdón. Aquí otro signo menos.
¿No? Aquí toca un signo más. ¿Eh? ¿Vale? Menos, el otro está bien.
Bueno, aquí no hay ningún signo, ¿eh? Que quede claro. Aquí no hay
ningún signo. ¿Eh? Esto está factorizado, esto es la masa de la Tierra.
¿Eh? Sino menos está aquí en medio. ¿Vale? Aquí veis que no hay
ningún signo. Bueno, si vamos operando, ¿no? Nos queda esta expresión.
Esta es la expresión que tenéis aquí. Esta sería la expresión de la
velocidad en función de la altura. Daos cuenta que si h es igual a cero,
¿eh? Si h es igual a cero, nos tiene que salir la misma expresión que
teníamos antes, ¿no? A ver. Era 2gmt partido de mt. Fuera, ¿no? El 2
fuera. Fuera. Y efectivamente, porque si h es igual a cero, ¿qué nos
quedaría? Si h es igual a cero, ¿no? Esta velocidad sería raíz cuadrada
de 4gmt partido por rt. Es decir, 2 raíz cuadrada de gmt partido por rt,
¿no? Y cuando h tiende a infinito, algo partido por infinito es cero. Por
lo tanto, si algo partido por infinito es cero, ¿no? Esto significará que
nos quedará simplemente, este segundo sumando se nos va a ir, ¿no? Y por
lo tanto, me quedará la expresión que tenéis aquí. Esa velocidad
límite, ¿no? Cuando h tiende a infinito, ¿no? Es la raíz cuadrada,
¿no? De 2gmt partido de rt. ¿Eh? Esta sería la velocidad del límite
cuando h tiende a infinito. Bien, vamos a hacer un ejercicio más. Vamos
con el siguiente. Junio de 2015. Nos dice, bueno aquí. Consideremos el
sistema binario, otro sistema binario, aislado, compuesto por dos
estrellas, cuyas masas suman cuatro veces la masa del Sol. Bueno, esto es
diferente al anterior, ¿eh? Estamos diciendo que m1. M1 más m2 es cuatro
veces la masa del Sol. Las estrellas se encuentran separadas por una
distancia d, que es constante. Ambas estrellas describen órbitas
circulares alrededor del mismo punto, que se encuentran en una línea
imaginaria que las sume, debido al campo vibratorio entre ellas. Calcular
en función de los datos del enunciado la distancia d que separa las dos
estrellas, sabiendo que ambas órbitas tienen el mismo periodo. Esto es
importante. Ambas tienen el mismo periodo. Pero igual que antes, cuando
habíamos citado el sistema binario, ¿no? Ahora nos sale un poquito mejor
el dibujo, ¿eh? No nos olvidemos, bueno, tiene el mismo periodo, m1, m2.
Pero el centro de masas ya no va a estar igual. El centro de masas ya no
está a la mitad, ¿no? El centro de masas va a estar en otro sitio,
diferente, ¿eh? De acuerdo, ¿eh? Entonces, ese centro de masas, vamos a
ver cómo verlo. Bien, lo primero de todo, vamos a ver. Vamos a estas
ecuaciones que tenemos aquí, ¿no? Que quede claro que se vea bien. Otra
vez aplicamos la segunda ley de Newton para estas estrellas. F igual a la
masa por la aceleración normal. La aceleración normal de una de ellas
puede ser m1, es su masa, por v cuadrado. Cuadrado partido por r. O bien,
su masa por omega cuadrado por r. Siendo r el radio, ¿no? El radio
respecto al centro de masas. Entonces le puedo llamar r, ¿eh? De 1. Y eso
hace que sea igual a la fuerza gravitatoria que interacciona, que ejerce
ambas masas. La fuerza gravitatoria que ejerce, que interacciona ambas
masas. ¿Sí? Bien. Si lo hacemos para el otro, para la otra masa, ¿no?
Tendremos m2, v cuadrado, ya sea d menos r. Porque esta distancia será d
menos r. ¿Vale? Igual también a m2 por omega cuadrado por r. Donde r es d
menos r. Y esto será igual a esta expresión. G mayúscula por m1 por m2
partido de d cuadrado. ¿Eh? G mayúscula por m1 por m2 partido de d
cuadrado. Ambas expresiones. Las podríamos igualar. ¿Eh? Las podríamos
igualar. Y de hecho, aplicando esa igualación y simplificando, ¿no?
Llegamos a esta ecuación que tenéis aquí. Evidentemente, falta el signo
menos. Que la podríamos haber obtenido antes, previamente. Este resultado
estará... A ver. No sé por qué hay aquí un más cuando es un menos. Es
d menos r. Aquí. Un menos, ¿eh? Perfecto. Decía que esa ecuación la
podríamos obtener nosotros también a partir de la definición de la
ecuación del centro de masas. ¿No? A partir del centro de masas. Acordaos
que r es dm si yo tomo origen. ¿No? Por ejemplo, donde está la masa 1. La
masa 1, la posición sería 0 de la masa 1. Sería m2 por... Por d, partido
de la suma de las masas. r de cdm, recordando... ¿A qué sería igual? A
sumatorio de m sub pi por r sub pi, partido de sumatorio de m sub pi. Aquí
m1 estaría en el extremo, en el origen, 0. ¿No? Entonces, r de cdm sería
m2 por d, partido m1 más m2. ¿Eh? Donde tendríamos la misma, el mismo
resultado de antes. Donde r de cdm, r de cdm sería r. ¿Eh? R. ¿Vale?
Sería la distancia al centro de la masa 1. ¿Eh? ¿De acuerdo? Tanto de
una manera como de otra, y sabiendo esta relación que tenemos aquí, que
m1, ¿no? Más m2 es 4 veces, ¿no? Podemos obtener la siguiente ecuación,
¿no? Aquí la tenemos, ¿no? Que nos permite obtener la masa, la masa 1,
en función de la distancia, ¿no? Y de la masa del sol. ¿Eh? Pensemos que
nos piden que calculemos esto en función de los datos de la denunciada.
¿De acuerdo? Fijaos que al tener esta masa m1 en función de la masa del
sol, y aplicamos... Y aplicándola en esta ecuación que tenemos aquí,
¿no? Podemos sustituir, ¿no? M2 y m2 se nos va, nos quedaría m1. M1
ponemos toda esa expresión que tenemos aquí. D-r y d-r se nos va, nos
quedaría d³, etcétera, etcétera, ¿no? Y operando tendríamos esta
ecuación. No voy a... No voy a hacer esa operación, solo deciros que
evidentemente esto es lo que es la flecha, ¿eh? Evidentemente. Y esta d
sería igual a toda esta expresión, ¿eh? Que tenemos aquí. Y nos damos
cuenta, ¿eh? Que esta distancia d, ¿no? ¿Cómo la podemos obtener? En
función, ¿no? De periodo de la masa del sol. ¿No? Y de la constancia de
la habitación universal. ¿Eh? ¿De acuerdo? También podríamos haber
obtenido esas ecuaciones y nos lo indica aquí. Si las dos ecuaciones que
hemos planteado de la habitación universal y... Y... Ojo. De la segunda
ley de Newton, ¿no? F igual a m por a sub n las hubiéramos sumado. Si
nosotros las hubiéramos sumado, esas dos ecuaciones, llegaríamos a un
resultado análogo. ¿Eh? Sencillamente, análogo. ¿Eh? Sacamos factor
común omega al cuadrado. ¿Eh? Ahí sacamos factor común g partido de
cuadrado. Y después aquí cambiaríamos omega al cuadrado por 4pi al
cuadrado partido de t al cuadrado. Y obtendríamos una ecuación análoga a
la que hemos obtenido antes. ¿Eh? Sin necesidad de ese otro desarrollo.
¿De acuerdo? Bien. Por eso. Muchas gracias. Y vamos a hacer un
paréntesis.