Bien, vamos ya con esta segunda sesión Vamos a ver cómo podemos
desarrollar esta segunda sesión Y en este otro ejercicio que tenemos aquí
Nos dice lo siguiente Desde 2014 dice Supongamos que lanzamos verticalmente
un proyectil desde la superficie de la Tierra Dirigido hacia la Luna
Especial de la influencia del resto de astros ¿En qué punto de su
trayectoria la aceleración será luna? Bueno ¿En qué punto la
aceleración será luna? Es que si nosotros tenemos por una parte la Tierra
Y aquí la Luna Y buscamos un punto Donde ambas fuerzas la aceleración sea
nula ¿Qué quiere decir que la aceleración sea nula? Pues Que la fuerza
de atracción Que ejerce la Tierra Es la fuerza de atracción vectorial
más la fuerza de atracción que ejerce la Luna, vectorial sea igual a
cero. O lo que es lo mismo, que ambos módulos sean iguales. ¿Qué es lo
que aplicamos aquí? El módulo de la fuerza de atracción de la Tierra sea
igual al módulo de la fuerza de atracción de la Luna. Si nos da la
distancia centro-centro, porque siempre las distancias, no lo olvidéis
nunca, siempre se consideran centro-centro, nunca superficie-superficie, no
os olvidéis. Siempre las distancias centro-centro. Pues vienen fallos.
¿De acuerdo? Las distancias centro-centro. ¿Sí? Bueno, pues si nos da la
distancia Terra-Luna, centro-centro, eso implicará de alguna manera que a
una distancia le vamos a llamar R, por ejemplo a la Tierra, y a la otra
distancia Terra-Luna, y lo que tenéis aquí, ¿no? Aquí simplemente
estamos igualando los módulos, simplificamos, ponemos la relación que hay
entre la masa de la Tierra en función de la masa de la Luna, que es 81,4
veces, y operando, eso se puede obtener directamente sacando la raíz
cuadrada sin necesidad de resolver una ecuación de segundo grado, lo
podemos hacer, nos sale esta distancia que tenéis aquí. ¿No? Una
distancia, pues que evidentemente tiene que ser mucho más lejana de la
Tierra que de la Luna, porque la masa de la Tierra es 81 veces mayor. Y por
lo tanto para que se equilibren ambas fuerzas, ¿no? La distancia... la
distancia a la Luna debe ser significativamente menor que la distancia a la
Tierra para que ese cociente sea el mismo ¿de acuerdo? conceptualmente,
¿qué hemos dicho? ¿qué hemos hecho? bueno, pues simplemente para que
haya un equilibrio y no tenga aceleración ambas fuerzas deben equilibrarse
la suma de ambas fuerzas gravitatorias debe ser cero y por lo tanto ahí la
intensidad del tramo gravitatorio será cero si una vez que está en esa
posición un objeto que sale de la Tierra lo separamos ligeramente hacia la
Luna, ya caería hacia la Luna, ¿sí? evidentemente que habría un efecto
de atracción del campo gravitatorio terrestre, pero el efecto de la
atracción lunar sería mayor y se especificaría en la Luna ¿eh? ¿de
acuerdo? bueno vamos con el siguiente, ¿qué os parece? dice supongamos
que lanzamos verticalmente un proyectil desde la superficie de la Tierra
dirigido hacia la Luna y despreciamos cualquier tipo de rozamiento en la
influencia de otros astros sabemos que hay un punto intermedio M donde la
aceleración es nula, lo acabamos de ver ahora porque la fuerza neta que
los dos astros ejercen sobre el mismo se anularía suponiendo que conocemos
ese punto como conocemos del ejercicio anterior y las bases en los radios
de los astros y las distancias entre sus centros obtener la velocidad
inicial mínima con la que debemos lanzar el proyectil para que le llegue a
la Luna bueno, ¿eso qué quiere decir? nos está diciendo la velocidad
mínima con que debemos lanzar el objeto desde la superficie de la Tierra
para que alcance ese punto porque una vez que alcance ese punto con una
velocidad mayor se precipitará sobre la Luna Entonces tenemos que pensar
en la energía cinética, en la energía cinética inicial, ¿no? En la
superficie de la Tierra, ¿no? Pero que esta energía cinética después
irá acompañada por dos energías potenciales. La energía potencial que
posee el objeto debido a la Tierra, más la energía potencial que posee el
objeto debido a la Luna en la superficie terrestre. De ahí estos dos
términos. ¿Eh? ¿Veis? La Luna y la Tierra. La Luna y la Tierra al final.
¿Sí? Aquí simplemente, como me piden que llegue a ese punto, ¿eh? No
nos olvidemos aquí hay un signo menos, aquí hay un signo menos. Tenemos
que calcular con qué velocidad mínima se ha de lanzar, esta sería la
velocidad mínima, ¿no? V sub cero, para que llegue a precipitarse, que
alcance ese punto, ese punto de distancia r. Que hemos calculado en el...
...el ejercicio anterior. Y, fijaos, esa distancia r es la distancia del
centro de la Tierra a ese punto y la Luna, la Luna será distancia
Tierra-Luna menos r, ahí arriba. Mientras que en la superficie terrestre,
la superficie terrestre, la distancia que hay del centro de la Luna a la
superficie terrestre, ¿qué será? Pues la distancia Tierra-Luna menos el
radio de la Tierra. No entendemos, ¿eh? Fijaos en esos detalles. ¿Eh?
¿De acuerdo? Este punto, si estamos en la superficie, la distancia que hay
de la luna, del centro de la luna a este punto es la distancia Tierra-Luna
menos el radio de la Tierra. ¿De acuerdo? Bueno, vamos a seguir. De aquí
habría que despejar V0. Vamos a ver la siguiente página, donde nos quedan
claros los signos, voy a aclararlo, aquí le corresponde un más. Y aquí
también le corresponde un más, y aquí un menos. Aquí un menos. ¿De
acuerdo? De esta expresión que tenemos aquí, introduciendo los datos
numéricos, nos sale una velocidad de 11,08 km por segundo. Que es menor
que la velocidad de escape de la Tierra. Alguien puede decir, ¿y esto por
qué es menor? ¿Por qué evidentemente es menor? ¿Por qué? Es decir, no
estamos planteando que alcance el infinito. Lo que estamos planteando es
que alcance ese punto de equilibrio entre la fuerza de gravitación de la
Tierra y la fuerza de gravitación de la Luna. Una vez que alcance ese
punto, que no es el infinito, sino que es esa distancia R calculada,
recordad, en el ejercicio anterior, podremos determinar, podremos
determinar, ¿no? ¿No? Podremos determinar, ¿no? Esa, esa velocidad,
¿no? Que es ligeramente inferior a la velocidad de escape. Ojo que
también tenemos que tener en cuenta, pues, la acción del campo
gravitatorio, del campo gravitatorio de la Luna, ¿eh? ¿De acuerdo? Bueno.
Muy bien. Bueno, pues vamos a continuar, ¿eh? Con el siguiente. Con el
siguiente ejercicio. Dice lo siguiente. Un satélite de 100 kilos describe
una órbita circular estacionaria de una hora que radia 5.000 kilómetros
alrededor del planeta. Pensad, radia 5.000 kilómetros quiere decir que la
distancia centro del planeta al satélite es de 5.000 kilómetros. No es la
altura, ¿eh? Y debido a la acción del campo gravitatorio calculada, la
inercia cinética potencial y la inercia total utilizando exclusivamente
los datos del enunciado nos dan el periodo, nos dan el radio de la órbita,
¿eh? ¿Vale? Tomar como incidencia potencial un punto infinitamente
alejado. No tiene que ser un problema esto, ¿no? Pero no tenemos la
velocidad, ¿no? No tenemos la velocidad. Evidentemente, bueno, aquí, para
que esto se entienda, porque hay alguna cosa que no ha quedado bien, aquí
lo tenemos, ¿no? Aquí el import, que no está puesto, bueno. A ver, la
energía cinética, evidentemente, a ver, claro, podemos dejarlo así como
nos lo indican, o, bueno, es que si lo dejamos así, claro, nosotros la
energía cinética, la energía cinética no tenemos ningún problema para
calcularlo, tal como nos lo indica aquí. Un medio de mv cuadrado, donde la
velocidad es omega por r, es 2pi partido por el periodo y por r. Se pone en
el sistema internacional y nos salen los cubrios equiindicados. Pero, para
calcular la incidencia potencial tenemos un problema. Es que no tenemos la
masa del planeta. Y dice que lo dejemos en función de datos denunciados.
Entonces, recordemos que en la sesión anterior hemos deducido la energía
cinética como un medio, en un ejercicio, de gmm partido por r. ¿De dónde
venía esta expresión? Pues venía simplemente de aplicar la segunda ley
de Newton, gmm partido por r al cuadrado igual a mv al cuadrado partido por
r. Y de aquí la v al cuadrado, ¿no? Podemos dejarlo como gm partido por
r, ¿vale? Y de aquí tenemos esta energía cinética. Claro, me dicen, es
que aquí ya tengo la energía cinética en función de g y de la masa del
planeta, ¿no? Pero la energía potencial, ¿a qué será igual? A menos
gmm partido por r, ¿no? Mayúscula o minúscula, como queráis. Si
queréis seguimos el mismo criterio y le ponemos todo mayúscula, ¿vale?
Entonces nos damos cuenta que la energía cinética y la energía potencial
son muy parecidas. Y bastaría decir que la energía potencial, como veis,
es... La energía cinética... ¿Sí? Multiplicada por dos y con el cambio
de signo. ¿No? Exactamente, ¿no? Si multiplicamos por dos esa expresión
y le cambiamos el signo, le ponemos la expresión de la energía potencial.
¿Y la energía mecánica? Pues la energía mecánica... ¿Eh? Nos
acordamos que la energía mecánica... En órbita, eso lo hemos visto en
otro ejercicio, lo podéis revisar. Es menos gmm partido por r. Si esto es
la energía cinética, pues sería menos la energía cinética partido por
dos. La energía mecánica, no. No, porque la energía mecánica tiene un 2
aquí. Luego este 2 no es necesario. ¿Vale? Es menos la energía
cinética. Efectivamente. Es menos la energía cinética. La energía
mecánica es menos la energía cinética. Si sustituimos, está claro,
menos 3,81 por 10 elevado a 9 julios. Menos 3,81 por 10 elevado a 9 julios.
¿De acuerdo? Bueno, aquí tenemos estas expresiones. ¿No? Aquí tenemos
el signo menos. Vamos a revisarlo. Aquí tenemos un signo menos. La
energía potencial lleva aquí este signo menos. Es dos veces la energía
cinética. Menos igual a menos. La energía mecánica sería igual a menos
la energía cinética. Por lo tanto, con un signo igual y aquí un por. Lo
hemos visto antes, ¿no? Energía mecánica igual a menos energía
cinética. Energía potencial u es menos dos veces la energía cinética.
Empavamos los datos. ¿Vale? Vamos a seguir. ¿Vale? dice el siguiente
ejercicio dice, sabiendo que la luna tiene una masa de 7,35 por 10 elevado
a 22 kilos y que el campo obligatorio de la tierra en la superficie es 3600
veces mayor del campo obligatorio terrestre en el centro de la luna calcule
el módulo del momento angular de la luna respecto de la tierra vamos a
calcular el módulo del momento angular de la luna respecto de la tierra lo
primero sería ver ¿y qué es el momento angular? aquí tenéis la
descripción del módulo pero el vector sería la distancia tierra-luna
vectorial m de la luna por v y la distancia tierra-luna y suponiendo una
órbita circular como es en este caso el módulo sería módulo primero por
el módulo segundo por el seno de 90 y el seno de 90 es 1 luego l sería la
expresión que tenéis allí ¿vale? Bien, ahora bien, ¿cuál es la
velocidad de órbita de la luna? Pues apliquemos la segunda ley de Newton,
aquí lo tenéis. Igual a la masa por la aceleración normal, ha quedado
bien, aquí. Y la V, que ya no ha quedado bien, la voy a volver a escribir,
sería raíz cuadrada de GMT partido la distancia Tierra-luna, raíz
cuadrada. Vale, pues sería la velocidad. ¿Eh? Raíz cuadrada de GMT
partido la distancia Tierra-luna. Si tenemos esa velocidad, ¿no?, y
tenemos la distancia Tierra-luna, podemos tener ya el momento angular. Este
momento angular es un vector perpendicular a la órbita. ¿Eh? De manera
que, si está girando la luna, consideramos un movimiento de rotación en
sentido antihorario, irá hacia arriba. ¿No? Si esto fuese una órbita.
Por ejemplo, ¿no? Esto sería L. ¿De acuerdo? ¿Mm? Un vector situado en
el centro de la Tierra, perpendicular al plano de la órbita. Muchas veces
nos olvidamos de dibujar los vectores, ¿eh? Es importante, ¿eh? Pensad
que la aceleración normal no es una fuerza, ¿eh? La aceleración que va a
dirigir hacia el centro, ¿eh? Bien, ya tenemos aquí este otro ejercicio
también. Aquí para poder hacer el cálculo, ¿no? No, no, tenemos que
dejar en función, ¿no? Que la gravedad, ¿no? Nos dice que es, que el
campo gravitatorio de la Tierra es 3.600 veces mayor que el campo
gravitatorio terrestre en el centro de la Luna. ¿Qué quiere decir esto?
Es decir, la Tierra, la Tierra genera un campo gravitatorio, claro, es que
aquí... Si lo hacemos con los datos del enunciado, ¿qué nos falta? Nos
faltaría la masa de la Tierra y la G mayúscula. ¿Eh? No la tenemos. Y
hay que hacerlo con los datos del enunciado. Pero nos está diciendo que la
intensidad del campo gravitatorio que genera la Tierra... ...donde en la
superficie de la Luna es 3.600 veces menor que en la superficie terrestre.
Pues de aquí nosotros podemos hacer el cambio de GMT. Por la distancia
Tierra-Luna, por G0 y partido por 3.600. Esto sería GMT, ¿no? Y es lo que
tenemos ahí, lo sustituiríamos... Ya, como ya teníamos una distancia
entre la luna, ¿no? Pues ahora tendremos otra distancia entre la luna,
¿no? Al cuadrado para meterlo dentro de la raíz, etc. ¿Eh? De acuerdo.
Bien. Pues a partir de aquí ya tendríamos ese momento angular o
cinético, ¿no? En función de los datos del enunciado. ¿Eh? En función
de los datos del enunciado. A ver. Bueno, GMT, el GMT, ¿no? Lo sustituimos
ahí dentro como distancia integral a la luna al cuadrado por G0 partido
por 3600. Como tengo DT al cuadrado y tengo un DTL, ¿no? DTL ya, DTL al
cubo. ¿Eh? De acuerdo. Y multiplicado por G0 partido por 3600. Y con la
raíz porque estaba dentro de la raíz. Tenemos más problema. ¿Eh? Las
unidades de momento angular, cuidado, la masa, ¿no? Está claro. Pues la
distancia y la velocidad. ¿Eh? A ver. Fijaos. Cuidado con las unidades.
¿Eh? La masa, distancia y velocidad. ¿Eh? kilos, metros, metros por
segundo ¿eh? aquí tenéis las unidades ¿de acuerdo? no hay una magnitud
física fundamental para una magnitud que se llama el momento angular o
cinético después en otros en otro tipo de ejercicios donde podemos
relacionar esto con el sólido rígido puede haber una relación por el
momento de una fuerza, la L pero aquí no es el caso ¿eh? ¿de acuerdo?
vamos con el siguiente dice aquí ¿cuál sería el periodo de revolución
de la Tierra en torno a su eje si su velocidad de rotación se incrementara
hasta que un objeto situado en el ecuador no tuviese peso? es decir ¿cuál
debería ser el periodo de rotación de la Tierra en torno a su eje si su
velocidad de rotación se incrementara en torno a su eje hasta que un
objeto situado en el ecuador no tuviera peso? exprese la solución en
función de eje sub cero aquí nos plantea la solución de diferentes
maneras y vamos a pensarlo un poco una de ellas es una de ellas podría ser
bueno, yo lo que veo claro es que bueno, una de ellas podría ser no, yo
quiero poner en órbita un satélite que es el caso A, ¿no? ¿no? Que de
vueltas alrededor de la Tierra, pero a ras de Tierra. A una altura cero. Un
radio igual a RT, claro. Es un caso hipotético, ¿eh? O digamos a una
altura de especial vez con respecto al radio de la Tierra. Para que nos
entendamos. Entonces ahí, claro, si estamos a una altura cero en un
principio, esa aceleración normal, ¿no? Esa aceleración normal va a ser
igual a la gravedad. Y por lo tanto, ¿no? No va a sentir ningún peso, va
a estar en un estado de incriavidez. Aplicamos la segunda ley de Newton,
¿no? GMTM partido de R al cuadrado igual a la masa por la fracción
normal, que es U al cuadrado partido por R. Pero claro, me interesa dejarlo
en función del periodo. En función del periodo me interesa. Entonces,
¿cómo lo hacemos? Pues hay que dejarlo en función del periodo, ¿eh?
Dejamos V en función de omega por R. Y de aquí despejaríamos el periodo,
que es 2pi, ¿eh? Aquí está igual, no es este igual, aquí sería la
flecha y este sería el igual, ¿eh? Se ha desplazado, aquí no hay nada,
es un por. Vale, ahora otra forma de hacerlo. Oye, pues aplicar la segunda
ley de Newton. ¿Vale? ¿No? Bueno, la segunda forma lo que hace es
considerar la Tierra como un sistema no inercial. Si estamos considerando
la Tierra como un sistema no inercial, estamos considerando fuerzas de
inercia. ¿No? Me explico. Vamos a verlo. Extendíamos la Tierra, que tiene
una aceleración a su pene hacia el centro. Tenemos una a su pene, ¿no? Y
por lo tanto, una fuerza de inercia dirigida hacia afuera. Esa fuerza de
inercia que tradicionalmente se llama fuerza centrífuga. ¿No? Entonces,
para este sistema en equilibrio, ¿no? ¿No? En un estado de gravidez,
¿qué tiene que pasar? Pues que, evidentemente, que el peso más la fuerza
de inercia, vectorialmente ha de ser igual a cero. O lo que es lo mismo. El
módulo. El módulo del peso ha de ser igual al módulo de la fuerza de
inercia. He salido fuera, tengo que volverlo a escribir aquí abajo. mg
igual a m, o me ha cuadrado por RT. ¿Vale? Y llegaríamos a la misma
deducción de antes. Y el último caso, ¿no? Esto es lo mismo, ¿no? No
hace falta tampoco darle más vueltas. Aquí nos ponen los tres casos
posibles, ¿eh? Y el último caso, es decir, dentro de un sistema de
referencia, ¿no? Inercial, exterior a la Tierra y plantear la segunda vida
de Newton, ¿no? Para un cuerpo que estaría apoyado en la Tierra, ¿no?
Este de aquí no lo vais a ver, lo voy a volver a escribir. Sería el peso
menos la normal igual a la masa por la aceleración. Normal. Pero claro, si
tiene que estar flotando, la normal ha de ser cero. Por lo tanto, el peso,
la masa, el módulo, GMT partido RT cuadrado, otra vez, ha de ser igual. Ha
de ser igual a m omega cuadrado por RT. Claro, esto viene a ser como un
poco reiterativo, ¿no? En cada momento. Bastante reiterativo. Al final
llegamos al mismo resultado, ¿eh? No nos aporta nada nuevo. Podéis coger
el sistema que consideréis más oportuno. Aquí en este caso, como ya os
dije aquí, el sistema estaríamos tomando la aceleración centrípeta, la
aceleración normal, ¿no? Hacia el centro. ¿Cuál es la diferencia? Pues,
¿qué método utilizar? Yo creo que, si aplicamos la segunda de Newton,
¿no? Simplemente... Y, en este caso, si resulta que tiene que estar en un
estado de gravidez, es que la aceleración normal ha de ser igual a la
gravedad. Y ya está. Que es lo que hemos comentado al principio. ¿De
acuerdo? Bien, vamos con este otro ejercicio. Dice que se quiere poner en
un satélite de mil kilos en órbita circular alrededor de la Tierra. Para
ello se lanza desde la superior tierra con una velocidad de 5 km por
segundo. Cuando el satélite alcanza la altura máxima, se le impulsa para
que describa una órbita circular. Determinar la velocidad con que se debe
impulsar para que tenga ese movimiento circular. Claro, aquí son dos
cosas. Uno. Lanzo un objeto, ¿no? En este caso un satélite, pero desde la
superior tierra, una velocidad de 5 km por segundo. 5 km por segundo. Y
queremos que en el punto más alto que alcance este satélite, el punto
más alto, ¿no? Después ponerlo en órbita. ¿Qué tenemos que hacer?
Pues en primer lugar habrá que determinar qué vale ese punto más alto.
¿Qué vale ese punto más alto? Ese punto más alto, ¿no? Tendremos, por
una parte, que considerar que abajo del todo, en la suficiente resta,
tenemos una energía acelerada. Una energía cinética, y aquí la tenemos,
y una energía potencial en la superficie. ¿No? Una energía cinética y
una energía potencial. Y en el punto más alto... Solo una energía
potencial. Ya no hay energía cinética, ¿no? ¿Por qué no hay energía
cinética? Ya no hay energía cinética. Esta velocidad es nula. Es nula.
Entonces, si queremos calcular el radio, ¿no? El radio lo despejamos de
aquí. ¿Vale? El radio, la distancia centro de la Tierra al punto en
cuestión. Como me dan de dato G0 y RT, no nos olvidemos de este cambio muy
habitual, que nos permite sustituir el producto GMT por G0 RT cuadrado. Y
de aquí, 2. Y nos damos cuenta que esta es la energía cinética inicial,
esto sería la energía potencial inicial, esto sería la energía
potencial final. Y de aquí habría que despejar R. Y R, operando, nos sale
7.965 kilómetros, ¿no? Ahora bien, una vez que está a esa altura, ¿eh?
Una vez que está a esa altura y sabemos esa altura, nosotros podemos
aplicar la segunda ley de Newton. F. F igual a m por a sub n. Y determinar
qué velocidad tiene que tener para que esté en órbita a esa altura. G
mtm partido r cuadrado igual a m v cuadrado partido por r. Luego v será
igual a raíz cuadrada de gmt partido por r. Donde gmt es g sub 0 rt
cuadrado. ¿De acuerdo? Y aquí tendríamos la velocidad que sale unos 7
kilómetros por segundo. ¿De acuerdo? Unos 7 kilómetros por segundo.
Vamos a continuar y vamos con este otro ejercicio. Dice lo siguiente. La
velocidad angular por la que un satélite de masa m describe una órbita
circular en torno a la Tierra es omega sub 0. ¿Qué energía sería
necesaria para poner el satélite en otra órbita circular de mayor radio y
con velocidad angular omega sub 1? Expresar la solución. En función de
los datos proporcionados en el enunciado y g. ¿Vale? Bueno, es decir,
ahora dice, ¿cuánta energía habría que comunicar para situarla a una
órbita de mayor radio y con una velocidad angular o mera sub 1? Claro,
aquí lo que nos interesa es, bueno, ¿cuál es la expresión de la
energía mecánica? ¿No? ¿Eh? Vemos que la expresión de la energía
mecánica, como hemos visto en ejercicios anteriores, es menos un medio de
GMM partido por R, siendo R el radio de la órbita. Siendo R el radio de la
órbita. ¿De acuerdo? ¿Cómo lo hemos sacado? Pues lo hemos obtenido
fácilmente, ¿no? ¿No? Igualando, aplicando la secundaria de Newton otra
vez, F igual a M por A. ¿No? ¿De acuerdo? Pero, ojo, ¿cómo sería esa
energía mecánica, no? En función de omega. Claro, en función de omega.
Porque nos dice qué energía sería necesaria para ponerla en una órbita
de mayor radio y velocidad angular omega sub 1. No me dan el radio. Me
dicen la nueva velocidad angular. Yo así no puedo resolver el ejercicio.
Porque yo no tengo ni el radio inicial ni el radio final. Lo que tengo es
la velocidad angular inicial y la velocidad angular final. Es decir,
debería dejar el radio de esta órbita en función de parámetros del
enunciado. Y los parámetros del enunciado son la masa, ¿no? La masa del
satélite, la masa de la causa que genera el campo o el habitatorio, ¿no?
Y esa velocidad angular inicial y final. Entonces, ¿qué hacemos?
Aplicamos la segunda ley de Newton otra vez, F igual a m por a, pero
ahora... Lo dejamos en función de omega. Sería m omega cuadrado por r.
Luego, omega, o si queréis, despejando r, ¿no? r, despejando r, sería la
raíz cúbica, ¿no? De gm mayúscula partido por omega cuadrado. ¿Sí?
Entonces, vamos a sustituir esta expresión. Aquí tenéis el denominador.
Aquí lo tenéis. r cubo, ¿no? Igual a gm partido por omega cuadrado.
Sustituyo aquí en el denominador y podemos operar, cuidado con esta
operación porque tenemos un tercio. ¿Cómo simplificamos esto? ¿Cómo
podemos simplificar esto? No es tan sencillo. Si queréis, un consejo. El
menos está aquí delante. Lo que tenemos común es la g, la m y la omega.
Es decir, esto sería menos un medio de g mayúscula mn por omega al
cuadrado con raíz cúbica por m elevado a menos un tercio y por g elevado
a menos un tercio. ¿No? Esto podría ser igual a menos un medio de g
mayúscula, uno menos un tercio sería dos tercios. Uno menos un tercio. g
dos tercios y omega dos tercios. ¿Eh? Y por la m minúscula, que no lleva
nada. ¿No? Eso quiere decir que podría agrupar este mg omega, como veis
aquí, está agrupado, ¿no? Como elevado a dos tercios. Y vemos como la
energía mecánica la podemos dejar en función de la velocidad angular.
Entonces, ojo, que lleva un signo menos delante, ¿eh? Entonces, ¿cuál
sería la energía que habría que añadir? ¿Cuál sería la energía que
habría que añadir? Pues sería la energía final, pero no sería la
energía inicial. Claro, aquí lo tenéis, pero no nos engañemos. Sería
el incremento de energía, el incremento de energía mecánica, sería la
energía mecánica final, que es menos un medio de MGM omega elevado todo a
dos tercios, menos, menos por menos más, lo mismo, pero con omega sub
cero. Se puede sacar factor común, ¿no? Y tenéis la expresión que
tenéis. ¿Veis aquí este resultado? Aquí lo tenemos el resultado, ¿eh?
La variación de energía mecánica. Esta es la energía mecánica que
habría que comunicar. El hecho de que aparezca velocidad angular inicial
menos final es por el signo menos que lleva la energía mecánica. ¿De
acuerdo? Bueno. Vamos a nuestro otro ejercicio, que es muy parecido, o
tiene la misma línea. que el ejercicio con el cual empecemos la sesión
anterior. Dice aquí, supongamos que una masa puntual m se encuentra en el
origen, otra masa m2 se encuentra a una distancia d del origen, colocamos
una tercera masa y representamos gráficamente la energía potencial, ¿no?
Como podéis ver. Tenemos esta gráfica que tenéis aquí donde se
simplifica, ¿no? Donde g, m, md es 1. Y se ha considerado el origen de
energías el infinito. ¿Qué nos pide? Dice, obtener el valor de x en el
que la energía potencial de la masa m tiene un máximo relativo en
función de m y el valor de la fuerza gravitatoria ejercida por las dos
masas fijas sobre la masa en dicho punto. Bueno, recordemos que estábamos
con esta expresión efectivamente, ¿no? Un signo menos delante y un signo
menos delante porque ya hemos dicho reiterativamente que tenemos aquí la
energía potencial lleva un signo menos, origen de energía potencial es el
infinito. Claro, nos dice que deduzcamos el máximo relativo. Eso que
estábamos comentando en aquel momento es lo que nos pide ahora. ¿Y qué
vale la fuerza en ese máximo relativo? Ojo, lo tenemos claro. Porque la
fuerza, ¿no? Es menos el gradiente de la energía potencial. Aquí
faltaría el signo menos, evidentemente aunque se ha comido aquí por el
quebrado, ¿eh? Y si es un máximo como la derivada primera es igual a cero
la fuerza será nula. Ya sabéis que tanto en los máximos como en los
mínimos la fuerza es nula, son situaciones de equilibrio. En este caso al
ser un máximo, si volvemos a la página anterior, este máximo que tenemos
aquí, será un punto de equilibrio inestable. ¿Por qué es inestable?
Porque un pequeño desplazamiento a un otro lado nos separaremos, nos
separaremos indefinidamente de esta posición. Bien, vamos allá, tenemos
aquí, vamos a ver cómo lo hacemos, tenemos la energía potencial,
volvemos a poner aquí los signos menos, derivamos e igualamos a cero.
Aquí tenemos un signo menos. Aquí tenemos un signo igual, ¿no? Y lo que
hacemos es igualar a cero y, bueno, al igualar se nos van las g, se nos van
las m minúsculas, ¿eh?, y tomando raíces, ¿no?, sin necesidad de
resolver ninguna ecuación de segundo grado tenemos este resultado. ¿Vale?
Lo vais a ver con bastante facilidad, ¿eh?, o sea, tomando las raíces,
¿eh? Es decir, sería lo más fácil, ¿eh? Y lo más rápido, ¿eh?
Tomando raíces. Y si no, con esta otra solución, ¿no? Pero ojo, piensa
que ese máximo tiene que estar en T0 y D. Y por lo tanto, ya más fácil
es tomar las raíces, ¿no? Si tienes que resolver la ecuación de segundo
grado, ¿no? Ahí tendríamos la posición, ¿no? Que fijaos, que si M1 es
igual a M2, este cociente es 1. Y ese máximo estaría entre medios, a la
mitad. Justo a la mitad. Si las masas no fuesen iguales, pues dependería,
¿eh? Sería a la mitad, ¿eh? Tendría esa simetría si las masas fuesen
iguales. ¿No? La fuerza que valdría, 0. ¿De acuerdo? Fijaos como
también nos podríamos haber dado cuenta que esta fuerza es 0. Porque la
derivada, que es... ¿Eh? Bueno, la derivada... Bueno, menos f sería la
derivada de esto, ¿no? Sería la fuerza, ¿no? De interacción entre M1 y
M. Y la fuerza de interacción entre M2 y M. En ese punto. ¿No? ¿Vale? Y
en ese punto, ¿no? Lo que es que se equilibran las fuerzas porque tiene
que ser igual a 0. ¿No? Ya ponemos esa condición. Ya. También se puede
ver directamente así, ¿eh? Como queráis, ¿eh? ¿De acuerdo? Venga, un
poquito más. Tenemos aquí, se pone en órbita un satélite artificial que
describe una órbita elíptica, ¿eh? Una órbita elíptica alrededor de la
Tierra, de masa MT, que ocupa uno de los focos. El perigeo de la órbita,
punto de máximo acercamiento, está en RP, y el satélite lo transita a
una velocidad UVP. Calcular la distancia de la Tierra en la que se produce
el apogeo y la velocidad del satélite en ese punto, en función de los
datos del problema. Bueno, aquí tenemos que recordar que una órbita
elíptica, al igual que una órbita circular, se conserva en un momento
angular. Pues que el momento angular o momento cinético en el apogeo
sería, y esto es igual al momento angular o cinético en el perigeo, que
es y coincide con ambos módulos, y de ahí la expresión que tenemos aquí
al sustituir las masas. Recordad que en estas órbitas elípticas, la
velocidad IR forma 90 grados, y de ahí que viene que el módulo es RMV,
por el seno de 90, tanto en el apogeo como en el perigeo. Y no nos
olvidemos también que se conserva la energía mecánica, la energía
mecánica en el apogeo como en el perigeo es el mismo, ¿vale? Bueno, es
que el momento angular y la energía mecánica se conservan en todos los
puntos de la trayectoria, lo que pasa es que el perigeo y el apogeo tienen
la ventaja de que el seno del ángulo que forma R y P es de 90 grados y nos
ayuda a simplificar. Además es el punto más cercano, más lejano y esos
son dos puntos muy interesantes a la hora de estudiar el movimiento de los
satélites en una órbita elíptica, en este caso alrededor de la Tierra.
Aplicar conservación del momento angular y aplicar conservación de la
energía mecánica nos va a permitir con una cierta facilidad, con una
cierta facilidad, despejar y obtener. Bien. Este sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, ¿no? Determinar la velocidad en el apogeo y el R del
apogeo. Aquí lo tenemos, ¿eh? R apogeo, ¿no? Y en la otra le falta aquí
el seno menos, ¿no? Que ha desaparecido y por eso se lo pongo, ¿eh?
Claro, si la órbita fuese circular, ¿no? La R apogeo sería el perigeo y
la velocidad del apogeo igual a R. Y la velocidad del perigeo. Este
ejercicio, más o menos, tiene una cierta dificultad de operar. De operar a
la hora de despejar. Pero conceptualmente, pensad que siempre las órbitas
elípticas, conservación del momento angular, conservación del momento
cinético... Y conservación de la energía mecánica. Conservación de la
energía mecánica. Esos son los dos conceptos. Y recordad que siempre nos
movemos apogeo-perigeo, porque punto de mayor proximidad del perigeo, punto
de mayor lejanía, el apogeo, y siempre en esos dos puntos el ángulo que
forma R y P es de 90 grados. R y P es de 90 grados. No os olvidéis.
Seguimos. Poco más. Dice, a distancias de la superficie de tierra muy
pequeñas comparadas con el radio terrestre, considerad que la gravedad es
constante. Calcular el error que se comete al aproximar la aceleración
real de la gravedad a una altura h de la superficie terrestre, sabiendo que
h es lambda RT. Expresar este error únicamente en función de lambda.
Bueno, esto es una cuestión de decir, bueno, ¿qué pasa? ¿Cuál es el
error? ¿De qué va a depender el error? Está claro que dependerá del
valor de lambda. Bueno, a una altura h, ¿no? g a una altura h, tenéis la
expresión que tenéis aquí, ¿no? RT más h. Bien, donde hemos vuelto a
hacer el cambio de gmt por g sub 0 RT cuadrado. ¿De acuerdo? Bien. Si
nosotros ahora, nosotros, ¿no? Operamos y aplicamos la fórmula del error
relativo, gh menos g sub 0 partido gh, y operamos y lo dejamos en función
de lambda, ¿no? Porque hemos dicho que h es lambda RT. h es lambda RT.
Bien. Nos queda que esta expresión es igual a lambda dos más landas. Me
salgo fuera, ¿eh? El error sería lambda dos veces más landa. Si
sustituyo h por lambda rt, ¿vale? Pues este sería el error, ¿no? El
error, digamos, en este caso, claro. Bueno, si lambda es pequeño, ¿no? Si
lambda es mucho menor que la unidad, pues ese error relativo va a ser
pequeño. Pero si lambda, ¿no? Es, por ejemplo, uno. Fijaos que puede ser
un error grandioso, muy grande, ¿eh? Pero bueno, estamos hablando de
pequeñas alturas en un principio, ¿eh? Ya para acabar, vamos a acabar
aquí, por ejemplo. Por ejemplo, quedaron algunos, pero ya tenemos que ir
acabando por el tiempo. Dice un satélite de masa m, es decir, de órbitas
circulares, ¿no? Y otro satélite de masa 2m también orbita la Tierra y
posee además la misma energía mecánica que el primero. Calcular el
periodo de la órbita del segundo satélite en función del periodo del
primero. Claro, aquí lo importante es darse cuenta de que tiene la misma
energía mecánica, aunque tiene dos veces la masa. ¿Lo veis? La energía
mecánica, ya sabemos, la energía mecánica, la energía mecánica... Le
falta aquí un 2 aquí abajo, ¿eh? Cuidado. ¿Eh? Me falta un 2. La
región mecanica lleva un 2, ¿eh? Como tiene el ronce aquí arriba
indicado, ¿no? De radio R1, ¿eh? ¿Vale? Y aquí tenemos un signo menos.
¿De acuerdo? Si las dos son iguales, me va a dar igual porque que no haya
puesto esos dos doses, ¿no? Tenemos la relación de radios. ¿No? R2 es
dos veces R1. Y por lo tanto, a partir de aquí, con la tercera ley de
Kepler, vemos la relación que hay de los periodos. Y vemos que el periodo
2 es raíz de 8 veces el T1. ¿De acuerdo? Bueno. Pues yo creo que hasta
aquí hemos llegado, ¿no? Pero nos quedan un par de ejercicios más. Uno o
dos, yo creo. ¿Eh? Y yo creo que los dos últimos que quedan los podéis
mirar vosotros. Si tenéis alguna duda, por favor, no dudéis en plantearlo
en el foro en el foro de tutoría. ¿Eh? En el foro de tutoría, sin
ningún problema, ¿eh? Os lo atenderé. O mejor dicho, en el foro del
grupo. ¿Eh? Del grupo, digamos, de estas grabaciones. ¿Eh? Del campo
laboratorio. ¿Eh? Pero no creo que tengáis, que vayáis a tener problemas
porque ya lo que nos queda pues es muy parecido, ¿no? A lo que ya hemos
visto. ¿Eh? ¿De acuerdo? Venga, pues muchas gracias. Gracias.