Bueno, pues vamos a comenzar la segunda parte de la tutoría donde nos
vamos a centrar ahora en forzamientos inducidos por movimientos relativos o
bien de traslación o bien de rotación a diferencia con el caso anterior
que hemos contemplado no tendremos directamente una fuerza actuando sino
tendremos partes móviles de un mecanismo Bien, el mecanismo más sencillo
para estudiar el forzamiento inducido por traslación pues sería una pared
fija, como veis aquí conectada a un amortiguador conectado a una masa
conectado a un muelle y el muelle lo conectamos a una pared móvil ¿Qué
significa una pared móvil? Pues significa que la pared o el apoyo al que
está conectado el muelle, oscila de forma armónica. Por eso en la
fórmula podéis leer x sub p igual a p por seno de omega mayúscula t.
¿Qué es p? Una longitud. ¿Qué es omega mayúscula? Una frecuencia, la
frecuencia con la que está oscilando la pared. Pues vamos a ver que la
ecuación diferencial de esta situación física es la misma que la que nos
aparecía en el oscilador forzado con una fuerza de forzamiento dada. Bien,
pues hacemos en un instante una foto de lo que está, de las fuerzas que
actúan sobre el sistema. Es decir, cojo una foto. Aquí he cogido una
foto, como veis, cuando la masa M está separada una frecuencia. Hay una
cierta cantidad x de su posición de equilibrio hacia la derecha. Entonces,
¿qué fuerzas actúan? Verticalmente no hay dinámica, la normal y el peso
porque no hay rozamiento. Si la partícula va hacia la derecha, el
amortiguador, la fuerza del amortiguador y la fuerza elástica que hace el
muelle sobre la masa. ¿Cuánto valdrá esa fuerza elástica? Esa fuerza
elástica vale la constante K en módulo por delta de T, lo que está
deformado el muelle. Pero, ¿qué estará deformado el muelle? Si la masa M
se ha desplazado X de T a la derecha y justo en ese instante la pared se ha
desplazado hacia la derecha, lo que está deformado el muelle delta de T es
lo que se desplaza hacia la derecha la partícula, perdón, lo que se
desplaza hacia la derecha la pared X de P menos lo que se desplaza hacia la
derecha la masa. ¿Está bien? ¿Estáis de acuerdo? ¿Me decís en el
chat? Lo que se ha deformado el muelle es lo que se ha desplazado la pared
menos lo que se ha desplazado porque contrae la masa. ¿Todos tenéis
claro? ¿Eso está claro en el chat? ¿Vale? ¿Está claro? ¿Lo repito o
no? Decidme algo. ¿Se entiende? Tienes que calcular lo que está deformado
en el instante de la foto del muelle. Si en el instante de la foto la masa
se ha desplazado X a la derecha y la pared X de P, la pared estira, la masa
comprime la diferencia. Observar que matemáticamente hay cuatro
soluciones. A ver si las pinto bien. Voy a poner los desplazamientos de la
pared en azul. Bueno, en rojo. En rojo los desplazamientos de la pared.
Entonces la pared puede moverse hacia la derecha en un instante de la foto
o hacia la izquierda. ¿Estáis de acuerdo? Esa sería la X de P. Vamos a
poner aquí X de P. Si me deja poner el lápiz, algo parecido a X de P. X
de P. Y aquí la otra posibilidad, X de P. Ahora, para cada una de esas dos
X de P, voy a poner en negro. El desplazamiento X de la masa, para esta X
de P, la masa M puede ir a la derecha en el instante de la foto o la masa M
puede ir a la izquierda. Y cuando la X de P va hacia la izquierda, la masa
M también puede ir hacia la derecha, que me dice que me salgo de trazo,
puede ir hacia la derecha o puede ir hacia la izquierda. De esas cuatro
soluciones, ¿cuáles son las únicas soluciones físicas realizables a la
hora de hacer el diagrama de sólido libre? ¿Entendéis la pregunta? Los
cuatro posibles escenarios que nos aparecen en el diagrama de sólido libre
de la masa M sujeto a la fuerza del amortiguador y del muelle es que la
pared vaya a la derecha y la masa a la izquierda. Que la pared vaya a la
izquierda, masa derecha, pared izquierda, masa izquierda. De esas cuatro,
¿son todas físicamente realizables? O hay dos que mejor no intentar
porque el cachivache no funcionaría. Pues cuando la pared se oponga a la
masa M, ese mecanismo no funciona. Conceptualmente realizable, pero en el
ejercicio práctico no. Eso que implica que haré solo dos diagramas de
sólido libre físicos. Siempre la pared en rojo y la masa M deben de estar
en paralelo. Luego de las cuatro situaciones posibles, pues dos que no se
van a cumplir nunca, esta, esta por ejemplo, y esta con esta. Luego siempre
tengo paralelo, paralelo, paralelo, paralelo. ¿Se entiende? Decidme en el
chat un pequeño detalle, ¿no? Luego dado este diagrama de sólido libre
que veis ahí, solo tengo uno más, que es que tanto la pared como la masa
vaya a la izquierda y el delta de T va a ser el mismo. Estoy viendo que la
ecuación diferencial que obtengo para todos los casos físicamente
realizables es el mismo. Pues dividís por la masa y esta es la ecuación
diferencial que obtengo. Y ahora la pregunta es, ¿verdad que esto es como
en la ecuación de una oscilación forzada? Porque P era una longitud y K
es constante, que es fuerza partido longitud. Pues fuerza partido longitud
por longitud es fuerza. Esto es como una oscilación forzada. Solo que en
el patrón de oscilaciones forzadas poníamos o hacíamos funcionar la
fuerza externa como un coseno y aquí un seno. Pues ¿qué habrá que hacer
para usar las soluciones del apartado anterior? Poner el seno en función
del coseno. Bueno, pues hacemos eso y esta es una ecuación diferencial de
una oscilación forzada donde en vez de poner seno, para identificar con lo
de antes, pondré coseno. Luego entonces coseno de omega T menos pi medios.
La frecuencia del forzamiento es la frecuencia de la pared y el alfa cero
de la teoría general anterior es el menos pi medios, que era el desfasaje
de la fuerza. Bueno, pues la solución para esta ecuación diferencial...
La solución para esta ecuación diferencial es esto. ¿Preguntas?
¿Observaciones? Muy bien, pues seguimos. Vale, pues vamos a hacer un
problema con forzamiento inducido por movimientos de partes del mecanismo,
en este caso por traslación. Este problema dice un bloque de 20 kilos
desliza por una superficie exenta de rozamiento según se indica en la
figura. El resorte K va de 50 N por metro, la constante B del amortiguador
40 N segundo metro y esos elementos están unidos a una pared que oscila
como un más, es decir, esta pared de aquí está oscilando como un más.
¿Cómo oscila? Con la ley que pone aquí Z0 por seno de una frecuencia
omega mayúscula T milímetros donde lo que pone aquí Zp. Z de pared es 5.
El Z0 de la pared es 5, que es 5 milímetros por el seno de 5T. Para
determinar la ecuación diferencial del movimiento a la vista de la
ecuación oscila el sistema. En caso de que oscile la amplitud de la
oscilación... mucho tiempo después de iniciado el movimiento nos están
pidiendo la amplitud oscilatoria, perdón, la amplitud de la oscilación
estacionaria y establecer un entorno de seguridad para el diseño del
mecanismo referido a la frecuencia de la oscilación de la pared, es decir,
busca un margen de seguridad por si se produce el fenómeno de resonancia
que las amplitudes estén acotadas. Realiza una representación gráfica
apartado E de la amplitud de la oscilación en función de la frecuencia.
Bien, pues por la aplicación directa de lo que hemos visto hacemos una
foto, estas son las fuerzas que actúan. Estoy haciendo una foto, observar
la raya azul cuando la masa M se mueve a la derecha y cuando la pared se
mueve a la derecha. Podría repetir este ejercicio haciendo que la masa se
mueva a la izquierda y la pared a la izquierda y comprobar que se obtiene
el mismo resultado e intentar hacer ese ejercicio en casa para comprobar
que entiende esto y hacer mano. Bien, módulos, la F de K vale K por delta
T. ¿Qué es delta T? Delta T es lo que está deformado el muelle en el
instante de la foto del diagrama de sólido. Pues bien, si la masa M se ha
desplazado X a la derecha, habrá estirado en esa cantidad el muelle. Pero
si la pared se ha desplazado Z hacia la derecha, habrá comprimido al
muelle en esa cantidad. Por lo tanto, lo que está deformado el muelle es
X, lo que se ha estirado a la derecha, menos Z, lo que se ha desplazado
hacia la derecha, la pared. Pues eso es K por X menos Z0 seno de omega T.
Ojo con el cálculo de la fuerza de viscosidad, porque aquí hay movimiento
relativo. La fuerza F sub B es B por la velocidad, y ya vimos en la
lección, en la tutoría anterior de amortiguadores, que esta velocidad
siempre será la derivada respecto al tiempo de delta. En los problemas con
paredes fijas, delta no depende del tiempo, pero observar que aquí delta
depende del tiempo. Luego hay que hacer esta derivada respecto al tiempo,
ojo con este detalle. ¿Se me entiende? Decidme en el chat. ¿Veis la
diferencia de cálculo de la fuerza de amortiguación cuando la pared es
fija y móvil? Detalle importante, ¿eh? Muy importante, ¿vale? Pues hay
que hacer esta derivada, que será derivada del primero menos la derivada
del segundo. La derivada del segundo es, como es la derivada del seno, te
aparece el coseno por Z0. Hasta aquí todo el mundo sabe llegar, ¿lo veis
claro? Bien, dividimos por la masa y reordenamos. Y nos preguntamos, ¿es
esta ecuación diferencial para el grado de libertad que he obtenido la
ecuación diferencial de un forzamiento? Bueno, pues la primera parte a la
izquierda parece que sí, pero ojo, que parece que no. Porque yo he visto
el forzamiento como una amplitud por seno por coseno. Y aquí aparece una
amplitud seno más otro cacho por coseno. A la vista de eso, ¿creéis que
eso es una oscilación forzada? ¿Sí o no? ¿Por qué? ¿Alguien en el
chat? ¿Alguna observación? ¿Será una oscilación forzada desde el punto
de vista estrictamente matemático si soy capaz de poner esa suma como un
número por un seno o por un coseno? ¿Estáis de acuerdo? Y eso se puede.
Aprendimos a hacerlo en la primera tutoría, cuando definimos el más de
distintas maneras, con aquellas identidades trigonométricas. Voy a
repasarlo. Vamos a ver que Km0Z0 seno de omega t más BmZ0 omega por coseno
de omega t, como este argumento es el mismo, lo puedo poner como un solo
seno o como un solo coseno, por lo tanto tengo un forzamiento. ¿Vale? Pues
la forma de verlo, que esto, se trata de ver que esto sigue este patrón.
¿Vale? Pues es una propiedad que ya vimos en la primera tutoría, A seno
de X más B coseno de X siempre es la raíz de A cuadrado más B cuadrado
seno de X más fi. Pues eso te permite poner la ecuación diferencial de
este problema, me la permite poner como un solo coseno. Por lo tanto este
es el patrón de la oscilación forzada. ¿Se entiende? Estoy usando esta
propiedad trigonométrica. ¿Vale? Pues introduciendo los términos, aquí
tenéis todo el cacharreo, vamos rápido a repasar que esté bien. Se trata
de identificar. Pues ahora el g sub cero para esta ecuación diferencial es
esto, la masa es m, k es 50, gamma vale esto, z cero me lo dan 5
milímetros, pues puedo sacar la frecuencia natural del sistema, la
frecuencia del forzamiento, b, la frecuencia de amortiguamiento, w sub
gamma, el desfasaje alfa cero, bueno, esos son los números. De forma que
entonces la solución estacionaria, la solución que me piden para tiempos
suficientemente grandes es esta, vale, daros cuenta que mido la amplitud y
he sustituido números, comprobar a ver si no hay ningún error que os da
esto, os da la suma de estos dos números, a mí me da esto, hacer
números, no solo hay que entender los problemas sino ver qué cacharrear
con ellos con lápiz y papel. Bien, pues me voy a matemática y hago la
representación gráfica. Y me doy cuenta que la frecuencia natural del
sistema es 1, 58 y la frecuencia que está dominando aquí es 8 radianes
por segundo, ¿vale? Pues esta sería la frecuencia natural y yo estoy
lejos de la condición de resonancia. Aquí estoy representando esta
amplitud, esto sería la amplitud en función de la frecuencia externa. Mi
solución es igual a 8 y aquí que estoy representando, aquí no estoy
representando toda la solución estacionaria que es un seno, bueno, aquí
estoy representando la amplitud. En vez de poner aquí un numerito pongo la
amplitud, ¿vale? Entonces para 8 radianes por segundo estoy lejos de 1,58.
Pues si veo que la frecuencia natural es 1,58 pues ponte un margen, cógete
frecuencias que estén a la izquierda de 0,5 y frecuencias que estén a la
derecha de 2. Tomando frecuencias por debajo de 0,5 y por encima de 2, pues
te aseguras que estás... Estás lejos de 1,58 independientemente del valor
del amortiguamiento. ¿Alguna pregunta o observación? ¿Vale? Bien, pues
aquí tenéis en la información que os he subido, tenéis una Apple Java
donde si lo hacéis funcionar, pues tenéis arriba un techo. Aquí en rojo
es un techo que se mueve. Significa que este techo está oscilando. Yo os
he hecho aquí un dibujito del techo oscilando. Y sostiene una masa M que
también oscila. Pues como el techo tiene una traslación relativa, hará
que sobre el sistema aparezcan oscilaciones forzadas de las peligrosas
porque el sistema no tiene amortiguamiento. Como veis. Hacéis el Apple
Java y lo que hay en la siguiente transparencia, el Apple Java lo tenéis
en este fichero. En la siguiente transparencia tenéis la resolución del
Apple Java como un problema. Vale. Pues voy rápido porque es como el otro
problema pero horizontal. Este techo se mueve. Oscila esta pared y su cero
es milímetros por un seno de omega T. Esta es la frecuencia. Con la que
oscila la pared. Bien, pues hacemos el problema. Como siempre, aquí hay
una condición de equilibrio porque inicialmente el muelle está deformado.
Luego la ecuación de equilibrio en delta T, estoy haciendo la foto cuando
la masa M está por debajo de la posición de equilibrio una cierta
cantidad X. Como resulta que entonces en ese instante de la foto he cogido
que el techo también está hacia abajo una cantidad delta, una cantidad
IDT, pues ¿cuánto está deformado el muelle cuando el techo está IDT
hacia abajo y la masa M ha bajado X? Pues será lo que estaba deformado en
equilibrio más lo que se mueve la partícula menos lo que ha bajado el
techo. ¿Estáis de acuerdo que este es el delta de T? A ver, echarle un
vistazo. Que digamos que es el único detalle del problema, lo que está
deformado el muelle en el instante de la foto teniendo en cuenta el
movimiento de la masa X y el movimiento del techo Y. ¿Alguien no lo ve? Lo
repito, decidme algo en el chat. ¿Se observa? ¿Se ve o no? ¿Sí? Lo
repito, pero repito el argumento. Voy a repetirlo porque no me decís nada.
Vamos a ver. Dice de A se ve, vale. ¿Los demás lo veis? Vale, muy bien.
Pues entonces, eso me convence que esta ecuación diferencial la voy a
identificar como una oscilación forzada. Lo único que he hecho ha sido
pasar de seno a coseno añadiendo el factor pi medios para identificar con
el patrón que tengo de solución. Pues he observado que esto es la
ecuación diferencial de una oscilación forzada. Ya puedo tomar toda la
información que tengo de la solución. Observar que aquí, como no hay
amortiguador, cuando entro en resonancia, cuando la frecuencia con la que
oscile el techo coincida con la frecuencia natural del sistema, que es la
raíz de k partido por m, esto me da infinito. Y ahí sí que tendría una
catástrofe resonante y significaría... O sea, que el sistema se me rompe.
Luego aquí de todas, todas, todas, tengo que tener frecuencias lejanas.
Aquí tenéis la gráfica. Frecuencias lejanas a la W0. Bien, aquí tenéis
el mismo problema, techo que se mueve, pero una forma de diseño para
evitar el problema de la catástrofe resonante es meterle un amortiguador.
Entonces ya tenemos un diseta actuando, un gamma partido omega cero y nunca
puedo tener infinito. Bueno, pues aquí voy rápido porque es la misma
física pero con matemáticas un poquito más complicadas. Observar que
aquí en lo que se deforma el muelle, si queréis vamos a ver un poquito la
foto, en el instante de la foto cuando el techo se ha desplazado y dete
hacia abajo y la masa X como antes, ¿cuánto se ha deformado? ¿Cuánto se
ha deformado el muelle? El muelle se habrá deformado en delta de T, el
muelle aquí estará deformado en delta de T que será lo que tenía en
equilibrio más lo que tira la masa menos lo que comprime el techo. Pero
ojo que lo que tira la masa y lo que tira el techo depende del tiempo,
entonces al calcular la velocidad para el amortiguador, que es la derivada
respecto al tiempo de delta, tendréis dos derivadas. Esta derivada es
cero, pero la derivada de x es x punto y menos la derivada de y es y punto.
Luego aquí la fuerza del amortiguador será proporcional a x punto menos y
punto, que no deja de ser una velocidad relativa. ¿Se entiende? Entonces
la ecuación va a ser más aparatosa porque hay dos derivadas. Vale, al
haber las dos derivadas, esta es la ecuación diferencial que nos queda.
Pero ya hemos visto que con el truco de a seno de x más b coseno de x que
hemos gastado antes, pues un seno multiplicado por algo más otro algo por
un coseno, eso se puede poner como un solo seno o coseno. Eso ya lo hemos
hecho en otro problema. Y aquí tenéis todo el aparataje matemático.
¿Vale? Es esta propiedad otra vez. Voy rapidito porque lo tenéis resuelto
y tenemos todo el curso para trabajar con ello. En este problema también
voy rapidito porque, bueno, aquí lo que tenéis son dos muelles en serie,
un amortiguador y un amortiguador. Y una pared que está en contacto con el
primer muelle que es móvil, pared móvil, dos muelles en serie. Ahora por
aquí tenemos una cuerda ideal que llega a una polea fija, la cuerda baja,
la cuerda sube y acaba en un techo fijo. Y de esta cuerda pues hay una masa
M. Bueno, pues nos preguntan cómo oscila esto, pues tiene su... este es el
sistema bien visto. Y aunque aquí veáis dos masas, hay un solo grado de
libertad porque el grado de libertad de la masa M1 que le vamos a llamar X.
Esto va a ser X. X en cada instante de tiempo. Y el grado de libertad de la
masa 2 le vamos a llamar Y. En la física del problema a esto le vamos a
llamar Y que son funciones del tiempo. Pero hay una ligadura entre X de T.
Entre X de T e Y de T. La ligadura es que la longitud de esta cuerda es
constante. Entonces, una Y es X medios. Lo tenéis en la siguiente
transparencia. Pero entonces aquí, para hacer la dinámica, tendré que
hacer una foto cuando la M1, por ejemplo, esté hacia la derecha una
cantidad de X de T, entonces la M2 habrá bajado Y de T y la pared se
habrá movido hacia arriba en una cantidad Z. Y aquí el amortiguador como
la derivada respecto al tiempo. Bueno, pues tiene su... Como siempre,
hacemos primero el equilibrio. La condición de equilibrio se nos mete en
la dinámica. Aquí tenéis la relación de ligadura Y partido X medios que
se convierte en aceleración del bloque 2 en módulo igual a la
aceleración de X partido por 2. Se mete todo esto en la ecuación
diferencial, se elimina la tensión y tras un poco de álgebra, se llega a
este mogollón. Pero vuelve a ser lo que hemos visto en los otros casos.
Vuelve a ser una combinación de seno... ...de seno... del coseno del mismo
argumento usando la relación a seno de x más b seno coseno de x igual a
esto pues obtiene una ecuación diferencial que con numeritos es esto y la
solución a largo tiempo es la estacionaria ¿vale? bien, esto solo lo voy
a comentar es lo mismo que para la traslación pero con rotación entonces
en el mundo real tenéis los equilibrados por ejemplo cuando llegas al
coche a revisión cogen las ruedas y hacen el equilibrado de eje ¿no? se
van poniendo unas plaquitas de masa m sobre las ruedas y en una máquina
nos dicen que ha equilibrado eso, pues un equilibrado de eje sería
equivalente a lo que hemos visto antes como un mecanismo muy sencillo de
lavadora donde sobre una masa m grande que puede oscilar verticalmente esas
oscilaciones verticales no las induce una fuerza sino las induce una bolita
de masa m que se pone a girar ¿vale? cuando partes de un mecanismo no
están en equilibradas aparecen traslaciones y rotaciones Este sería el
modelo más sencillo de un no equilibrio con rotación. Pues aquí tenéis
resuelto, este sería mi sistema, un amortiguador, una masa M y la
excéntrica pegando vueltas. Me pongo en centro de masas porque tengo un
sistema de dos masas, M mayúscula y M minúscula. Calculo la posición del
centro de masas y ahí establezco las ecuaciones de la dinámica de ese
sistema. Recordar que respecto al centro de masas, no, pero respecto a este
origen, estas son las ecuaciones paramétricas de la excéntrica. Pongo M
minúscula, M minúscula es la masa de la excéntrica, M minúscula sería
M, M mayúscula, la M1 sería M mayúscula. Luego el sistema de dos masas
es M mayúscula y M minúscula. En general habrá que calcular la posición
del centro de masas del sistema y calculada esa posición del centro de
masas, sacamos las aceleraciones. Ojo que aquí se me ha olvidado, aquí
están la posición centro de masas y hay que derivarlo dos veces para
obtener la coordenada Y del centro de masas, la aceleración centro de
masas de la coordenada Y, donde no hay dinámica, y la aceleración centro
de masas de la coordenada X. La dinámica está en este eje. Menos la
fuerza de amortiguamiento, menos la fuerza elástica, igual a la suma de
las masas, por la derivada segunda de X centro de masas. Entonces al
calcular el centro de masas tendrás quien es X centro de masas y tendrás
que calcular aquí su segunda derivada. Eso está hecho en la siguiente
transparencia. Bueno, pues al final la ecuación diferencial a la que se
obtiene es esta. Y esa ecuación diferencial sigue el patrón de una
ecuación diferencial asociada a la oscilación forzada. ¿Vale? Pues
identificamos los parámetros de la solución como en los otros casos.
Bien, pues el siguiente problema nos dice determinar la amplitud de la
oscilación en el estado estacionario de la masa de 10 kilos La constante
de amortiguamiento B tiene un valor de 500 newton y segundo caso si tiene B
igual a cero. determinar la posición de la masa M en ambos casos, pues mi
sistema es un techo fijo, en este caso un techo fijo un muelle, un
amortiguador una masa M y aquí hay una fuerza explícita que está
actuando, 100 por coseno de una fuerza armónica 1000 N por coseno de 120 T
vale, pues entonces hacemos el análisis de la dinámica el equilibrio y
luego la dinámica cuando la masa M, hago la foto se ha desplazado una
cantidad Y de T pues hacéis el análisis de las fuerzas que actúan
¿cuánto valdrá la deformación en el instante de esta foto? lo que
tenía en equilibrio más I de T y que es la V de T, necesito la V de T
para calcular la fuerza del amortiguador la V de T siempre es la derivada
de delta de T que aquí solamente es la derivada de Y de T que es la
velocidad de la masa es como en los casos que no tienes pared móvil Vale,
pues esta es la ecuación diferencial que nos queda y se observa que es la
ecuación diferencial de un forzamiento. Luego la solución estacionaria
aproximadamente es el factor constante, que no depende del tiempo, pero sí
depende de la frecuencia que esté actuando, por un seno. Con el desfasaje
que introduce, se introduce la solución, desfasaje entre la solución y
estacionaria de Y estacionaria de T y el forzamiento que estaba actuando,
que era este. ¿Vale? Pues ahora vamos a volver a aquellas curvas de antes.
Si este era el patrón de la solución estacionaria, pues calculo la
frecuencia natural del sistema, el diseta que vale 1,2, la G0 y voy a las
fórmulas que me daban. La amplitud de oscilación dinámica, que era 1
partido esta raíz cuadrada con el valor de diseta. Y la expresión que me
daba. El desfasaje en función de diseta. Pues aquí sustituyo en estas
ecuaciones del cuadro azul, en la ecuación de la amplitud. Los números
que he obtenido y obtengo esta ecuación, que la amplitud de deformación
valga 0,0134, pues tengo para esta frecuencia y para esta frecuencia
natural, ese cociente, si los números me dan 1,2, pues sustituyo G0, en
fin, aquí sustituye G0, omega 0 y lo que te da es 0,027. La A, la amplitud
de oscilación es 0,0227 metros en el sistema internacional. Bien, pues
entonces tengo dos situaciones posibles, una es con beta igual, perdón,
con beta no, con B, con el parámetro de amortiguamiento igual a 500 en el
sistema internacional y sin amortiguamiento. Con amortiguamiento esta es la
amplitud, con amortiguamiento beta tibia. Tiene un valor que no es 0, pero
recordar que si no había amortiguamiento, la beta valía 0. Sin parámetro
de amortiguamiento, la beta vale cero. Pues aquí solo tengo omega t menos
alfa cero. Pero beta vale cero, pues sumado cero no aparece. Pregunta,
observaciones. Muy bien. Pues como estamos cansados, quedamos ya ahora en
media. Bueno, vamos a ver este problema. Este problema es interesante.
Quiero ver solo dos problemas de los que me quedan. Uno es este y otro es
el último. Los demás los tenéis resueltos. Tienen que ver con los
márgenes de seguridad para que escoger frecuencia o resolver en ecuaciones
o leer curvas para que no se dé estar lejos de la condición de
resonancia. Pero este problema puede ser interesante. Dice, un automóvil
que pesa esta cantidad de newton se desplaza sobre una carretera con perfil
sinusoidal. Aquí tenéis en azul. Voy a coger una flechita. Aquí tenéis
el perfil de la carretera. Esa carretera me dice que tiene 33 pies, está
en unidades anglosajonas, de longitud. Una altura de 16, estos son
pulgadas, dos comillitas, pulgadas. Una pequeña, pues nunca nada en
ingeniería, en el mundo real es recto, pues lo que nos parece una recta
tiene ciertas ondulaciones, definido por esa longitud y esa altura. Pues
dice un automóvil que pesa, esa cantidad se desplaza sobre la carretera
con un perfil sinusoidal como se muestra en la figura. Diseñar una
suspensión, ¿y qué es diseñar una suspensión? Y por lo tanto elegir un
amortiguador B y un muelle K, tal que la amplitud de la vibración del
coche sea menor que 14 pulgadas para todas las velocidades. Y B, que la
amplitud de vibración del coche sea menor que 4 pulgadas a una velocidad
dada. Es decir, el coche será la masa M que me den, algo que medie la
elasticidad del coche, que es una constante, y el amortiguador que yo tengo
que poner. O sea, yo tengo que diseñar, que es dar un número para K y
para B, dada esta M, para que cuando el coche... se mueva por el perfil que
me han dado, en los dos casos las amplitudes en el primero independiente
para cualquier velocidad sea menor que 14 pulgadas y en el segundo para que
una velocidad fija en millas por hora sea 4 pulgadas. Pues vamos a ver qué
se hace aquí. En fin, voy a convertir la ecuación del perfil de la
carretera en algo, en un oscilador armónico. ¿Cómo hacer eso? A la
velocidad v, la distancia que yo recorrería en una carretera a velocidad
constante, ese es v por t. Y como me han dicho que este perfil tiene una
altura de 16 pulgadas, pues cojo 16 pulgadas para arriba y para abajo,
sería la amplitud de una oscilación, divido por 2 y me queda 8 pulgadas.
Y tengo que tener siempre la relación de que 0,0254 metros es una pulgada
para el cambio de unidad. Pues entonces diré que el perfil de la carretera
es una y griega minúscula que depende del tiempo, un oscilador. Que tiene
una I mayúscula, que son las 8 pulgadas, 16 partido por 2, por el seno, es
una sinusoide, de 2 pi partido L, la longitud total, sobre S, que es lo que
recorre el coche. Y ese es V por T, aquí se nos mete la dependencia del
tiempo. A ver, ¿se entiende esto? Convertimos la información del perfil
sinusoidal de la carretera en un oscilador armónico. Entonces, esa
carretera, esta carretera, se puede ver como una frecuencia de forzamiento.
La carretera va a hacer, como la carretera no es completamente recta, va a
forzar al coche a tener oscilaciones. Y yo tendré entonces que diseñar un
amortiguador y una constante K de elasticidad, pues para no ir pegando
botes en el coche todo el tiempo, ¿se entiende? Luego entonces, la
frecuencia de forzamiento. La frecuencia de forzamiento será 2 pi por la
velocidad partido 10 con 1. Decidme en el chat, ¿se ve la analogía que
hemos establecido? ¿Eh? Un problema un tanto rebuscado, claro. ¿Vale?
Pero entendible, ¿no? Ahora el problema es que un perfil de carretera que
no es recto induce oscilaciones forzadas sobre un coche y un coche es una
masa y un amortiguador que le tengo que poner. ¿Vale? ¿Vale? Pues bien,
me voy a la amplitud dinámica que se ha partido a la deformación
estática. Ha partido a la deformación estática. Este era el factor de
amplitud. Y diré que el factor de amplitud que yo quiero es tal que sea el
cociente de dos longitudes x partido por y. La x que me dan, que son las 14
pulgadas. Las 14 pulgadas es 0,36 metros. Si no pongo el oritima de 0,36. Y
la amplitud máxima del forzamiento de la curva es este 0,20. Este 0,20
¿de dónde viene? Son las 8 pulgadas. 16 partido por 2 es 0,20. Este
cociente me da 1,75. Pues ahora tú tendrás que poner aquí una K y una B.
Para que el factor de amplificación nunca supere 1.75. Ahora el problema
se ha convertido en resolver esta inequación. ¿Qué frecuencias me puedo
permitir? Para las frecuencias, en este caso las sabes, no. Lo que tienes
que resolver es qué frecuencia natural puedo poner, que es coger un
muelle, y qué diseta puedo poner, que es coger un amortiguador, para que
uno partido la raíz cuadrada no exceda 1.75. Pues o haces números o coges
curvas. El diseta de este problema es 0.375, pues me voy a, si cojo curvas
de libros, cojo esta curva, y aquí tengo factor de amplificación. Si
aquí está el 2, esto es 1.75. Sigo la curva de diseta hasta aquí. Pues
entonces, como aquí tengo el máximo lo tengo aquí, pues cógete muelles
con frecuencia natural K y amortiguador. Amortiguadores que hagan que
estés o a la izquierda, o a la derecha. ¿Se entiende? O intentar resolver
el ejercicio numéricamente resolviendo la inequación en casa. ¿Vale?
Pues aquí tenéis más información. Solo con argumentos de seguir las
curvas saco este B y saco este K. Este es el segundo caso, perdón. Se me
olvidó decir que estoy en el caso dependiendo de la velocidad. Ahora me
dan una velocidad que pongo aquí y en este caso sí que puedo sacar
explícitamente de las curvas, me imagino un B y un K que cumplen la
condición que quiero. Intentar hacer el ejercicio sin la lectura de
curvas. Primero comprender la lectura de curvas con este ejemplo y luego
intentar repetir este ejercicio resolviendo en ecuaciones. ¿Vale? Como
este ejercicio es de calcular intentar ver que no haya alguna rata y si hay
alguna rata o algún comentario me lo decís durante. Tenemos todo el curso
en el foro. Aunque se acabe el admin tutorial, no, yo estaré de tutor con
vosotros todo el curso. ¿Vale? ¿Alguna pregunta o observación? Vale,
pues entonces quiero pasar al siguiente problema. Aquí tenéis varios
decotas. Algo ocurre, este es de movimiento relativo, es interesante, pero
quisiera ver el último, que es de circuitos. Aquí tenéis otro, un
péndulo que oscila. Este péndulo también, echarle interesante, os hago
un comentario, porque es un péndulo que se mueve. La vertical del péndulo
se desplaza de forma que oscila. Entonces hay que hacer una aproximación,
hay que hacer siempre seno de testa igual a testa y coseno de testa igual a
1 para obtener una aproximación lineal de las oscilaciones y os sale un
oscilador forzado. Lo he resuelto con detalle. Este también es
interesante, este os dice cómo modelizar una masa M cogida a un cordón
elástico. Esto sería lo que a veces hemos visto por televisión o en
algunos anuncios. La masa M es un señor muy aguerrido y que quiere poco su
vida, muy valiente. que se ata a un cordón y se tira desde un puente,
¿no? Decidme en el chat, ¿habéis visto eso, no? ¿Habéis visto esas
imágenes? Señor que se ata a un cordón y se tira de un puente. Pues así
podríamos modelizar eso, ¿no? Diríamos que este sistema, este sistema
que es el que me dan, tiene que ser equivalente a un muelle de constante K.
Aquí está establecida cuál es esa equivalencia. Y lo que está haciendo
este sistema, además, es que la pared a la que está sujeta el cordón,
que lo voy a modelizar por un muelle, oye, pues esa pared vertical oscila
de forma armónica. Pues ya sabemos que induce unas oscilaciones forzadas.
Esta es la solución de las oscilaciones forzadas. Y ahora hay que buscar
un margen de seguridad. Pues aquí, la máxima amplitud con un cierto
margen de seguridad, pues estos son los números que salen en el problema
para diversas condiciones que te pide. Echarle un vistazo a la resolución
y me decís. Vale, pues ahora vamos a ver la analogía entre circuitos
helípticos. Y circuitos mecánicos. Aquí no hay un problema, no. El
problema está luego. En el circuito más sencillo de corriente alterna,
que es un generador de alterna, en serie con una bobina de autoinducción
L, en serie con una resistencia y en serie con un condensador, la ecuación
diferencial en la carga, que es derivada de segunda de la carga almacenada
o suministrada en el condensador por unidad de tiempo, más R partido por
L, por la derivada de la carga respecto al tiempo, más la carga en cada
instante de tiempo partido L por C, igual a V0 partido L por seno de la
frecuencia omega, y que es la frecuencia omega, la frecuencia del generador
de alterna. Esta ecuación es básicamente esta. Por lo tanto, es la misma
ecuación que nos ha salido en las oscilaciones forzadas de la mecánica.
Por lo tanto, este circuito eléctrico es equivalente a este circuito
mecánico. Donde el papel de la bobina lo hace en mecánica la masa, la
resistencia en un circuito eléctrico lo hace el coeficiente de
amortiguamiento, el inverso de la capacidad lo hace la constante del
muelle, el grado de libertad de desplazamiento es la QdT, la carga en cada
instante de tiempo, La velocidad es la derivada de Q, que es la intensidad,
y el forzamiento, que en el circuito es el voltaje que depende del tiempo
de alterna, es equivalente de la fuerza mecánica armónica. Pues vamos a
verlo en este problema. Se conecta en serie un generador de fuerza
electromotriz Vt igual a V0 coseno de omega t con una resistencia de 50
ohmios, una bobina de 100 milienrios y un condensador de una centésima de
microfaradio. Determinar la carga en el condensador y una gráfica de su
variación en función de la frecuencia angular, la intensidad de corriente
que circula por el circuito y una gráfica de su variación y el valor de
la frecuencia angular de la fuerza electromotriz para la cual la amplitud
de la corriente es máxima. D. Determinar el factor de calidad del
circuito. Y. El valor de la frecuencia angular de la fuerza electromotriz
para la cual la caída de tensión a través del condensador es máxima.
¿Vale? Pues planteamos un circuito de una sola malla, usamos la ley de
Kirchhoff, la suma de caída de tensión es nula a través del circuito
cerrado, del camino cerrado, y esto teniendo en cuenta que vale muy bien J.
Oliva, muchas gracias, pues el valor de la fuerza electromotriz nos queda
en la caída de la bobina, V sub B menos V sub A, donde si esto es A y esto
es B, pues tiene este signo. Bien, hacéis análisis que habéis visto que
os han enseñado en circuitos, os queda esta ecuación para la intensidad y
ahora expresáis que la intensidad es la derivada de Q aquí con signo
positivo respecto al tiempo. Por lo tanto me queda esta ecuación
diferencial y identificamos en esta ecuación diferencial lo que multiplica
a la derivada de Q respecto de T es el 2γ, luego el 2γ mecánico en
nuestras normalizaciones es R partido de la bobina, y lo que multiplicaba a
Q era ω0 cuadrado, por lo tanto la frecuencia natural de este sistema es 1
partido de la raíz cuadrada de LC. Luego esta ecuación y esta son la
misma. Y es la ecuación de oscilaciones forzadas. Bien, pues entonces,
haciendo estas consideraciones, vamos a usar las soluciones de la
mecánica. Entonces pasamos las soluciones de la mecánica al problema
eléctrico y observar qué cosas nos ocurren. Si la x de t estacionaria
valía esto, esto se convierte en la q de t. Y la tangente de beta del
desfasaje, nos queda 1 partido LC menos la frecuencia omega cuadrado. Esta
frecuencia, recordad que era la frecuencia de la fuente de voltaje. Partido
de R, partido de L por W. Pero, ojo, que este numerador se convierte en la
reactancia capacitiva menos la reactancia inductiva. ¿Os acordáis de
circuitos de física 1 para un circuito de alterna? Es que al identificar
el oscilador mecánico, con el oscilador eléctrico nos sale cómo lo
hacíais en alternar el problema. ¿Recordáis? Reactancia inductiva y
capacitiva partido por R. Pues fíjate qué gran cosa hemos obtenido, ¿no?
Entonces uno observa que las técnicas que te han dado para resolver los
circuitos de corriente alterna en régimen estacionario con números
complejos es para no tener que hacer para cada problema de alterna tener
que obtener la ecuación diferencial y la solución. Mucho más rápido el
método de resolución de circuitos, pero por lo menos ver en la vida un
ejemplo donde el oscilador forzado mecánico te da lo mismo que harías en
el problema de este circuito tan sencillo que todo está en serie con los
números complejos. Es que aparece de forma natural, se ve muy bien aquí
en la tangente. ¿Se me entiende lo que estoy intentando hacer con este
problema? ¿Sí? ¿Veis la analogía? Ah, muy bien, pues no lo sabía, no
sabía esa versión. No lo recordaba, García, muy bien, no lo sabía.
Vale, es que Joel Tipler no es un libro que uso mucho. Bien, Q0 sobre V,
pues es la amplitud esta, pues esa amplitud ¿qué es? Es la amplitud de la
oscilación forzada tal como la hemos visto. pues la puedes poner en forma
de la reactancia inductiva y de la reactancia capacitiva. Pues muy bien, si
lo veis en el tiple es genial. Bien, entonces ahora si dibujo esto, está
en la típica forma de la resonancia. El problema ya lo tenéis hecho y el
límite cuando esto va a cero y cuando las frecuencias van a infinito y la
frecuencia de resonancia. Bien, lo demás del problema es lo tenemos
resuelto, lo podemos consultar porque ya es cárcel al 2 menos cuarto, pero
quería haceros una observación de un tipo de problemas que, uy, que se me
va esto, que no he hecho todavía, que no he puesto como ejemplo, pero
claro, que estamos en segundo cuatrimestre del primero. Pero leeros con
muchísima atención en el French cuando habla de la aplicación de
resonancias a física de partículas. Cuando en un sistema de detección de
partículas, por ejemplo, de los muchos que hay en el CERN, se dice que se
ha detectado una partícula, ¿qué significa detectar experimentalmente
una partícula? ¿Qué significa? Se cree una resonancia. Entonces,
detectar una partícula en física de partículas es detectar una
resonancia, medir la anchura de la resonancia y la inversa. de esa anchura
es la vida media con las mismas fórmulas de la exponencial decreciente que
visteis del DECAI en la desintegración de nucleidos para preparar el
examen de la PAE. Entonces ese concepto es muy importante y son las
vibraciones en la detección de partículas, ¿de acuerdo? ¿Os lo habéis
leído en el French? El que no lo haya leído es descriptivo, no se puede
hacer todavía, has tenido el problema de esos, pero es interesante saber
qué será detectar una partícula nueva. Detectar una partícula nueva es
detectar una resonancia y medir una anchura de resonancia y la inversa de
esa anchura de resonancia es una estimación de la vida media con las
mismas fórmulas que os he dado para la vida media en la normalización que
vimos para oscilaciones amortiguadas. Hacer ese comentario es importante,
pues yo no lo había leído en el French. Bien, pues entonces el problema
derivamos y pasamos a la corriente, no tiene mucho más, está ahí en los
números y le echáis un vistazo, pues la resonancia, la resonancia para la
intensidad y ya estoy bastante cansado, ¿de acuerdo? Y me imagino que
vosotros también. Está la grabación a vuestra disposición, tenéis las
notas de la tutoría. Y yo solo me despido de las tutorías del tema 1, la
semana que viene empezáis con el tema 2. Pensad que en el tema 2 van a ser
oscilaciones discretas de más de un grado de libertad. ¿En qué se va a
convertir ahora el problema? En oscilaciones representadas no por una
ecuación diferencial, sino por un sistema de ecuaciones diferenciales
acoplados. Y para introducir lo que vais a ver en circuitos, y con esto
acabo, pues pensar la analogía de circuitos mecánicos y circuitos
eléctricos. Yo puedo tener este sistema mecánico, aquí sí que hay dos
grados de libertad acoplados. Pues esto, ¿en qué se va a traducir? Esto
se va a traducir, este sistema mecánico sería análogo a este circuito,
que en vez de tener una malla, ¿cuántas tengo? Dos. Pues esto ya no tiene
un grado de libertad, esto es resolver un sistema de dos ecuaciones
diferenciales acopladas. Eso es con lo que comenzaréis la siguiente
lección del French con el siguiente tutor virtual que os atenderá. en ese
tema, en el tema 2 yo me despido deciros que para mi siempre es un placer
dar este tema con los alumnos de la asignatura de vibraciones y física que
para cualquier cosa que necesitéis pues me podéis consultar en el chat a
lo largo del curso que deje de dar las tutorías no significa que no deje
de atenderos y subiré las dos grabaciones, el material ya lo tenéis yo os
despido con la sintonía de estas tutorías que es la canción del físico
de partículas cantada por el Código del CER, como me gusta decirlo desde
el centro del CER podéis buscar el vídeo en internet y como siempre todas
estas tutorías han estado bajo la invocación del maestro Yoda que la
fuerza os acompañe que os va a hacer mucha falta en el segundo
cuatrimestre de estudios en la licenciatura en este caso en el grado en
física muy buenos días que la fuerza os acompañe y muy buena suerte en
el curso seguimos en contacto ¡Gracias!