Muy bien, pues antes de comenzar vamos a dar unos minutos de tiempo para
aquellos compañeros que tengan problemas con el cacharreo, colocar la
tarjeta y sonido. Y para ello les voy a proponer escuchar la siguiente
música que será la sintonía con la cual empezaremos estas tutorías. Lo
que van a escuchar ustedes ahora es la canción que se llama precisamente
La canción de los físicos de partículas, compuesta en 2010 y cantada por
el Coro del CER, el Centro de Física de Partículas Europeo. Para que
escuchen más o menos la canción voy a imponer el vídeo usando la opción
de mostrar escritorio. A ello vamos. Ahora les voy a mostrar mi escritorio.
Unos segundos por favor. Bien, pues vamos allá, unos minutos dedicados.
Antes de empezar a trabajar, a la sintonía de la buena música y la buena
física. Ustedes verán que la letra de la canción está sobreimpresa y
díganme en el chat si se escucha bien o por lo menos. El Coro del CER en
el Centro Neurálgico del CER. Extraordinario, ¿verdad? Pues nada, vamos a
volver a la tutoría. Ok, pues vamos a comenzar. ¿Todo bien? ¿Se escucha?
Los que vayan incorporándose, pues podrían presentarse en el chat. ¿De
acuerdo? Bien, en esta primera tutoría vamos a trabajar con las
oscilaciones libres. Se correspondería básicamente a las lecciones 1 y 3
del texto básico de la asignatura, que es vibraciones y ondas, y que el
autor es French. Sería recomendable para la tutoría que tuvieran a mano
un bolígrafo, lápiz y papel para tomar notas. Pues vamos allá. Ahora, el
documento que están viendo en la pizarra de la aplicación Conferencia
Online, luego comentaré que es posible descargarlo en versión PDF para
que luego ustedes puedan trabajar con él. Pues bien, lo que vamos a ver en
esta tutoría es la cinemática del movimiento armónico simple, la
dinámica del movimiento armónico simple, sistemas físicos modelizables
por movimiento armónico simple, y la resolución de algunos problemas.
Básicamente esto tiene que ver con la lección 3 del texto del French, y
también veremos algo de la lección 1, que es el uso de pasores y la
representación compleja para las funciones que definen el movimiento
armónico simple desde un punto de vista matemático. Algunos objetivos de
la tutoría. Bueno, la referencia básicamente... En la que está el
documento que tienen ustedes, es Vibraciones y ondas, capítulos 1 y 3 del
French. Trabajaremos con algunos problemas propuestos en el volumen 2 de
Ingeniería Mecánica de Ril Sturger, capítulo 21, que es la última
lección del libro. Y desde un punto de vista más físico, el libro de
Mecánica Clásica de Rañada, el capítulo 6. Muy bien. Pues algunos
objetivos. Conocer las características generales de un movimiento
armónico simple, más desde el punto de vista matemático. Estadísticas.
Establecer una analogía entre el movimiento armónico simple y el
movimiento circular uniforme de una partícula material. Conocer el
significado de un fasor. Saber resolver expresiones con fasores. Saber
representar un más mediante fasores. Resolver problemas de oscilaciones
donde intervengan muelles horizontales y verticales. Determinar la
constante de un resorte equivalente a un conjunto de resortes en serie
paralelo. Analizar bajo qué condiciones un péndulo simple se puede
modelizar mediante un más. Obtener frecuencia y periodo. Obtener
frecuencia y periodo de un péndulo simple. Y a partir de la resolución de
la dinámica de un sistema físico con un grado de libertad, deducir la
ecuación diferencial de un oscilador libre. Saber usar la solución del
oscilador libre en función de las condiciones iniciales. Este objetivo es
particularmente importante en la resolución de problemas físicos donde el
grado de libertad del sistema obedezca la ecuación de un movimiento
armónico simple. Ok, ¿se sigue bien? ¿Se sigue bien? ¿Algún mensaje en
el chat? ¿Se sigue bien? ¿Muy rápido? ¿Muy lento? Pensad que estamos
todos probando con esta tecnología por primera vez. Bien, las vibraciones
en el mundo real tienen una naturaleza positiva. La especie humana se
aprovecha de ellas construyendo instrumentos musicales. Construyendo
instrumentos musicales. Diseñando aparatos para medir tiempo. O bien,
microscopio de efecto túnel. Estudio ultrasonidos a partir de las
frecuencias. O escáner por resonancia magnética nuclear. Pero por otro
lado, las vibraciones en el mundo real tienen también un aspecto netamente
negativo. Y un ejemplo del aspecto negativo lo tienen en el ejemplo del
puente de Tacoma. Esta videoanimación la tienen ustedes en el documento
que he preparado en PDF, incrustada. Y si era muy interesante que vieran
cómo el puente de Tacoma bajó un viento. Una intensidad de viento no muy
alta se derrumba. Realmente el por qué se derrumba el puente de Tacoma
sigue siendo hoy en día motivo de polémica. Y volveremos a ello en la
siguiente tutoría en las oscilaciones forzadas. Más ejemplos de
vibraciones negativas pues las tenemos en los terremotos. Aquí algunos
ejemplos en esta transparencia. Y desde un punto de vista físico e
ingeniería. Pues es el... Es evidente la necesidad de controlar y aislar
vibraciones. Y hay toda una rama de la mecánica que se dedica a ese
objetivo. Vibraciones por ejemplo en un disco duro, en bloques sísmicos o
en los controles por vibraciones empotrados en microprocesadores en la
tecnología del automóvil. Muy bien, pues vamos a comenzar la parte de la
lección con un repaso sobre el concepto de cinemática del MAS. Un
movimiento se dice que es oscilatorio o vibratorio si se reproduce
identicamente. Así mismo después de un cierto intervalo de tiempo T
mayúscula al que llamaremos periodo. La inversa del periodo es la
frecuencia y se define como el número de ciclos efectuados por unidad de
tiempo. Frecuencia nu es la inversa de periodo. El movimiento armónico
simple que es el objetivo de esta lección es un caso particular de
movimiento oscilatorio. Muy bien. Pues vamos a definir un movimiento.
Armónico simple de un punto de vista matemático como una función X de T
del tiempo que tiene la forma X de T igual a coseno de omega cero T más
delta. Esta función X de T matemáticamente es así definida y
físicamente representa cualquier sistema físico con un grado de libertad
cuya variación con el tiempo venga dada por el modelo matemático. Bien,
pues ahora si tienen ustedes un bloc de notas delante, sería interesante
que identificáramos cada uno de los términos de la definición del más
con el nombre que lo caracteriza. Por ejemplo, la A que nombre recibe, la W
cero que nombre recibe y la delta que nombre recibe. Sería interesante que
en el chat, por ejemplo, a ver... ¿Qué nombre le darían ustedes a la A?
A la A, ¿qué nombre le daríamos? Correcto. Alguien ha apuntado, J.
Carrasco ha puesto amplitud, amplitud de la oscilación. Correcto. A W
cero, ¿qué nombre le daríamos? Frecuencia natural del sistema. Muy bien,
no solo frecuencia. Como bien ha dicho J. Carrasco, sino frecuencia natural
del sistema. Todo sistema físico, todo sistema físico. Mecánico.
Electrónico, de cualquier rama de la física, tiene una frecuencia natural
que la caracteriza. Y la constante delta, ¿cómo se llamaría? De fasaje.
De fasaje o fase inicial. Muy bien, correcto. En la siguiente transparencia
lo que vamos a ver es, pues cada uno de esos nombres, dada la función más
definida, x de t, pues cada una de esas constantes... ¿En qué unidades,
en qué dimensiones y en qué unidades se mide? La amplitud A, a la
amplitud de oscilación. ¿Cuáles serán las dimensiones de A? A ver
alguien en el chat, ¿cuáles son las dimensiones de A? A apunta un
Carrasco y Pérez metros. La verdad es que algunas veces serán metros,
otras longitud, pero en general no tiene por qué ser metros. Las
dimensiones de A son las mismas que las dimensiones de x. Las dimensiones
de A, entre corchetes, son las mismas que la variable x de t, la función x
de t. Asimismo, las dimensiones de la frecuencia natural, la frecuencia
natural o pulsación, se miden en el sistema internacional en radianes por
segundo. Mu, que es la inversa del periodo, t a la menos uno, se mide en
hercios. Miren ustedes la diferencia entre la frecuencia natural y la
frecuencia natural. La frecuencia natural o pulsación y la frecuencia seca
que se mide en hercios. El significado de la frecuencia mu es el número de
oscilaciones que ocurren por segundo. T, el periodo en segundos, en el
sistema internacional, unidades, tiempo, y el significado físico es el
tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación. Observen que el
argumento del coseno en la función que define el más, el argumento del
coseno, omega cero, omega cero t más d, disculpen porque no estoy muy
dicho en el uso del lápiz óptico, se puede definir como un nuevo ángulo,
phi de t, que depende del tiempo, igual a omega cero t más delta. Justo
eso es lo que tienen señalado aquí. De esta manera podemos visualizar el
más como una función, la función del argumento del coseno, phi de t, que
es la frecuencia natural, omega sub cero por t, más el desfasaje inicial.
A esta phi de t le llamamos fase o ángulo de fase del más, observad que
es una función del tiempo. Y delta sería phi en t igual a cero. Ese es el
significado del desfasaje o ángulo de fase inicial. De esta manera
podríamos expresar el más como x de t igual a la amplitud por el coseno,
de una función del tiempo, phi de t, que es omega cero t, la frecuencia
natural por el tiempo, más delta. Bien, hay dos proposiciones que les dejo
para que las demuestren, dos proposiciones que caracterizan
fundamentalmente el más. Si hay problemas en la demostración me lo
comentan en las tutorías, pues le mandaría unas pequeñas notas con
ellas, pero intenten hacer ustedes la demostración. La primera
proposición, o proposición uno, sería que durante un ciclo completo de
un más la fase aumenta en 2pi. Esa es la propiedad fundamental que
caracteriza un movimiento armónico simple desde un punto de vista
matemático. Luego veremos la caracterización física. La proposición
dos, que es un corolario de la uno, es que en un más, si se cumple la
proposición uno, el periodo es 2pi partido de la frecuencia natural del
sistema fórmula a retener para la resolución de problemas. Bien, ¿alguna
pregunta hasta ahora? ¿Qué podéis comentar en el chat? ¿Alguna duda?
¿Algo que no haya quedado concreto? Muy bien. Pues seguimos. La
representación del más x de t igual a a coseno de omega t ¿Cómo es?
Pues básicamente son las funciones trigonométricas coseno, seno que sea
cual sea el argumento aunque sea una función del tiempo su máximo valor
es 1 multiplicado por a. Luego la señal de un más será la amplitud y
menos la amplitud oscilando en este caso como un coseno. Si lo hubiéramos
definido el más como un seno pues como un seno. Bien. Dado el más en la
forma en la que hemos partido en la definición observar que podéis tener
en distintos problemas diferentes formas de dar el más en función de que
lo demos o como la frecuencia natural o como la frecuencia de inercios o
como el periodo. Un objetivo importante es que sepáis reconocer un más en
cualquiera de estas tres formas. La proposición 3 es la proposición
fundamental para la resolución de los problemas de movimiento armónico
simple desde un punto de vista físico. Establece que el movimiento
armónico simple que todo movimiento armónico simple cuya función x de t
es la amplitud por el coseno de omega cero t más delta la amplitud y delta
se pueden dar en función de las condiciones iniciales del problema. Ahí
es donde está la física. Las condiciones iniciales del problema son en el
instante inicial del movimiento que vale la posición inicial y la
velocidad inicial. Se puede demostrar y lo haremos en un siguiente
ejercicio que la amplitud es la raíz cuadrada de la posición inicial al
cuadrado por la frecuencia natural al cuadrado más la velocidad inicial al
cuadrado partido la frecuencia natural del sistema y que el desfasaje
inicial en función de la velocidad inicial y de la posición vale la
expresión dada. He preferido darles estas expresiones de forma que las
puedan usar ustedes en todos los problemas sino en cada problema donde
tengan que resolver un más habría que aplicar las condiciones iniciales
del problema y obtener estas ecuaciones. Muy bien. Correcto. Bueno, pues
entonces en términos de las condiciones iniciales ahora el más será x de
t igual a la amplitud que es constante en el sentido de que no depende del
tiempo pero sí depende para cada problema físico de la posición y de la
velocidad inicial por el coseno de la frecuencia natural por el tiempo más
un desfasaje que no depende del tiempo la fase inicial pero que sí depende
de la posición y de la velocidad inicial. Pues vamos a intentar ver en
esta diapositiva que las expresiones dadas a la anterior de amplitud y
desfasaje son correctas. Lo que hacemos es a partir de la definición del
más x de t decir cuánto vale x en t igual a cero al que llamaremos
idénticamente x cero y v en t igual a cero que vale v sub cero. Observar
que en t igual a cero pues el coseno ocurre lo que ocurre y en x t nos
queda a por el coseno de delta coseno t y en t igual a cero cero por v
doble cero es cero y la v cero que sería esta derivada pueden ustedes
hacer la derivada y sustituir en t igual a cero y ver que v cero les queda
esta expresión. Pues ahora tenemos dos posibilidades a esto le podemos
llamar la ecuación uno y a esto le podemos llamar la ecuación dos pues
podemos elevar al cuadrado la ecuación dos y sumarle la ecuación uno
elevada al cuadrado y lo que obtenemos es lo que obtenemos es bueno
previamente despejamos coseno de delta de la ecuación uno de la otra
ecuación despejamos seno de delta y ahora elevamos al cuadrado cada
ecuación y sumamos y usamos la relación trigonométrica que seno cuadrado
más coseno cuadrado es uno eso implica una relación para poder despejar
la amplitud en función de las condiciones iniciales pues esta es la
ecuación seno cuadrado más coseno cuadrado igual a a cuadrado por uno de
ahí despejamos la amplitud en función de las condiciones iniciales muy
bien para obtener el desfasaje lo que hacemos es coger dividir seno de
delta partido coseno de delta la división es la tangente y despejar delta
como la inversa de la tangente amplitud con amplitud se nos cancela al
dividir seno partido coseno obsérvese al dividir seno partido coseno la
amplitud se nos cancela y obtenemos delta como la inversa de la tangente
haciendo esto sólo una vez y en forma simbólica pues evitan ustedes el
trabajo a la hora de resolver problemas de tener que hacer este ejercicio
en cada problema físico porque lo que caracteriza un problema físico de
movimiento armónico simple de un problema meramente matemático es que en
un problema físico las condiciones iniciales la posición y la velocidad
del sistema con un grado de libertad entre igual a cero son fundamentales
para que el problema tenga sentido alguna pregunta en el chat sobre lo
dicho hasta ahora alguna duda a la que se pueda responder alguna duda muy
bien pues seguimos bien la cinemática del mas la construimos derivando la
función posición x del sistema derivando una vez velocidad derivando dos
veces aceleración la notación x punto es primera derivada la notación x
dos puntos es segunda derivada todos los alumnos del chat están
familiarizados con esta notación alguien tiene problemas en la notación
punto y dos puntos para las derivadas correcto pues simplemente derivando
una vez de la posición se obtiene la velocidad derivando dos veces la
aceleración observen que al derivar a ver cómo va el lápiz óptico
partiendo de x de t derivamos dos veces y obtenemos la aceleración y cuál
es el resultado que la aceleración es menos la posición esa es la
condición necesaria pero no suficiente que caracteriza físicamente un mas
es una condición necesaria pero no suficiente para que exista un mas que
la resultante neta de las fuerzas que actúan sobre la partícula se oponga
al desplazamiento de la misma alguien me puede decir en el chat un ejemplo
de porque es condición necesaria pero no suficiente que si la aceleración
si la fuerza se opone al desplazamiento es una condición necesaria para
ser mas pero no suficiente es decir hay ejemplos de fuerzas que se opongan
al movimiento al desplazamiento perdón y que no sean un mas alguien puede
poner algún ejemplo en el chat fuerza opuesta al desplazamiento y que esto
no sea un mas eso quiere decir condición necesaria pero no suficiente
correcto j navarro apunta a la fuerza de rozamiento en la fuerza de
rozamiento la aceleración se opone al desplazamiento pero eso no es un mas
muy bien pues seguimos vamos a hacer el primer problema de los que tengo
preparado en la tutoría como observáis la metodología es ir
intercambiando los efectos básicos y fundamentales de la teoría con
resolución de problemas pues voy a comentar el problema y si tienen lápiz
y papel sería interesante que intentaran ustedes hacer un esquema no el
cálculo pero si un esquema de como resolverían el problema el enunciado
consiste que una partícula realiza un mas dado por la expresión x de t
igual a 0,3 coseno de 2t más pi sextos donde x de t se mide en milímetros
y t en segundos piden obtener frecuencia c amplitud d desfasaje h
frecuencia angular y posición del mas y representarlo gráficamente j
velocidad en todo instante y representación de la velocidad y aceleración
en todo instante y representación de la misma es el mas propuesto un mas
físico bien pues les dejo un minuto a ver que intenten ustedes plantearse
el problema y comentamos la resolución bien pues vamos a pasar a la
resolución lo primero que nos preguntan es la frecuencia del sistema muy
bien pues a partir de las definiciones dadas para obtener la frecuencia lo
que hacemos es que la frecuencia natural del sistema hemos visto que es 2pi
por la frecuencia natural esta era la proposición que nos da demostrar que
era 2pi partido por t y 1 partido por t es la frecuencia en hercios por lo
tanto la frecuencia que nos piden es la frecuencia natural partido 2pi lo
que nos queda pi menos 1 hercios es interesante que siempre en los
problemas de esta asignatura y en general en cualquier problema de física
intenten ustedes dar siempre la solución simbólica en este caso pi a la
menos 1 y luego pues si es conveniente la aproximación numérica con el
número de decimales que requiera el experimento o el cálculo muy bien
pues a partir de la frecuencia el periodo el periodo es el inverso de la
frecuencia que es pi a la menos 1 luego el periodo sería pi segundos
alguna duda, algún problema con estas cuestiones básicas seguimos lo
siguiente que nos pedían era la amplitud pues la amplitud es la constante
que multiplica la función trigonométrica si el grado de libertad del
sistema oscila como un más esa amplitud es 0,3 en milímetros en metros 3
por 10 elevado a menos 4 metros el desfasaje que será la forma a coseno de
omega cero t más delta pues la parte de la función angular que no depende
del tiempo en este caso según el enunciado pi sextos radianes recordad que
el sistema internacional de unidades el desfasaje siempre será medido en
radianes la frecuencia angular del sistema frecuencia angular o frecuencia
natural del sistema pues es la w sub 0 que para este problema es 2 radianes
partido segundo mirar que la relación es 2 pi por nu como nu es pi a la
menos 1 nos queda 2 correcto alguna pregunta seguimos entonces no bien
ahora toca representar gráficamente el más pues aquí uno lo puede hacer
desde lápiz a papel o usar las herramientas de cálculo simbólico que
ustedes tienen a disposición en su formación en particular el uso de
máxima el cual tienen ustedes este programa que aprender en la asignatura
también del segundo cuatrimestre de segundo en física computacional o el
uso de programas como el material que les di para la pretutoria y al que
luego volveremos al final como matemática o maple o derive cualquier
aplicación de cálculo simbólico usando matemática que es el software
que yo suelo usar pues uno programaría el más dirías la función le
llamo x entre paréntesis es sintaxis de matemática las variables y con
guión bajo dependiendo de t dependiendo de a dependiendo v2 de 0 y
dependiendo de delta igual daros dos puntos igual sería la asignación
diferida en matemática pues prácticamente como lo escribimos con lápiz y
papel solo que la sintaxis de matemática en vez de paréntesis ponemos
corchete sería un muy buen ejercicio que intentan ustedes definir un más
con máxima que es el programa que están usando en la física
computacional miren que la sintaxis es muy parecida en vez de corchetes
pondríamos paréntesis y usando la interfaz gráfica vx máxima pues vx
máxima hace el mismo uso de celdas que hace matemática de hecho
matemática es el primer programa que inventa el concepto de celdas y vx
máxima lo que hace es copiar la filosofía y estructura de matemática
pues bien definiendo la función usamos las opciones de gráficas en este
caso del programa matemática pues sería plot plot abre escorchete cierra
escorchete de la función x dejamos t como variable y a la amplitud le
damos el valor a la frecuencia natural y al desfasaje que nos represente t
entre 0 y 3pi y lo demás que hay es para que el código sea bonito el
resultado sería x para la oscilación armónica que hemos resuelto insisto
en que les animo a que hagan algo parecido si están ustedes trabajando con
máxima al comienzo de la asignatura de física computacional muy bien pues
para la velocidad sería derivar la x aquí voy a ir un poquito más
rápido derivar la x de t si derivan la x de t lo que nos aparece en vez
del coseno es el seno y con matemática o con vx o con máxima ustedes
pueden usar el código aquí sería definir la función v como la derivada
de x respecto de t con esta sintaxis ustedes obtendrían la velocidad del
más de forma computacional al ejecutar v obtendrían el seno y un mismo
plot ahora de v ahí tienen ustedes el código para repetir el ejercicio si
tienen matemática y si no pues animo con máxima esta sería la velocidad
y ahora nos aparecerá igualmente la aceleración la aceleración con
lápiz y papel sería la primera derivada en rata debería poner
aceleración derivada respecto de t de v y aquí tienen el código en
matemática aceleración dependiendo de t de a variable de v cero de delta
como derivada de v coma respecto a la variable t la opción full
simplification en matemática es interesante barra a barra porque le dice a
matemática que a lo bruto intente simplificar la expresión simbólica de
la manera más más plausible no muy refinado pero como una primera
aproximación funciona en la simplificación bien una vez que hemos
introducido en matemática la aceleración con su definición le pedimos
que nos dé la aceleración de t para los valores del problema y esta
sería la aceleración la función aceleración que ya es función sólo
del tiempo el plot pues igual que los anteriores aquí estaría el plot de
la aceleración en función del tiempo pues seguimos en el primer problema
y ahora la pregunta es ¿es el ejemplo propuesto demás un ejemplo físico?
esta pregunta es importante alguien podría significar en el chat ¿qué
quiere decir? ¿cómo se contestaría? ¿cuál es la diferencia entre un
más matemático una función de una variable que cumple la definición del
más y una función de una variable que represente un grado de libertad
físico cuál es su diferencia en la definición matemática y física por
aquí Carrasco dice condiciones iniciales alguien más apunta algo todo
más matemático va a ser un más físico las dimensiones bueno las
dimensiones también las dimensiones en general yo siempre puedo definir
matemáticamente x de t igual a coseno de omega cero t más delta y verán
ustedes en muchos libros problemas donde el más está así definido pero
ese más definido de forma matemática no es un más físico si la a no se
corresponde con la función x0 y v0 que hemos dado y el delta depende de x0
y v0 como hemos obtenido es decir que para que un más sea un más físico
la posición inicial y la velocidad inicial del sistema deben cumplir la
relación entre a y la posición y la velocidad y delta y la posición y la
velocidad se me entiende de hecho en los libros se pueden encontrar
ejemplos de problemas de física resueltos con los más muy bien a ver si
soy capaz de explicarme mejor quiero decir que yo puedo definir la función
x de t que he definido pero que la a que ponga y la delta que ponga no se
correspondan con los valores de a y delta que deberías de tener en
función de la x0 y la v0 del problema ¿se entiende ahora? debe haber una
correspondencia total entre la x0 y la v0 al sustituir para que te den la a
y la delta hay autores que al resolver los problemas pues no son cuidadosos
con esto y la a y la delta que dan como solución del problema no se
corresponde con la a y delta que obtendrías si sustituyes la x0 y la v0
¿se entiende? vamos a ver con la resolución lo que voy a hacer para saber
si el ejemplo de más propuestos es un ejemplo físico es sustituir la x0 y
la v0 que me dan entonces la teoría nos dice que la amplitud debe cumplir
esta ecuación y la delta debe cumplir esa ecuación si la a y la delta la
cumplen el más dado es un más físico se corresponde a una situación
experimental que yo podría realizar ¿se entiende? bien, para hacer esto
os estoy dando a mano con el código de matemática o les invito a hacerlo
ustedes con el código de máxima en matemática resolver un sistema de
ecuaciones sería solve, abres corchete cierras corchete y entre llaves las
ecuaciones amplitud igual a la función de x0 y v0 dada coma, y aquí entre
llaves ¿quienes son las incógnitas? las incógnitas son x0 y v0 pon el
full simplify el sistema nos da dos ecuaciones posibles en estas dos
situaciones posibles ahora sustituiremos números el más dado sería un
más físico serían situaciones físicas posibles para la amplitud dada y
delta que el problema me diera esta posición y esta velocidad inicial o
esta posición y esta velocidad inicial no sería un más físico si por
ejemplo me dicen que para la amplitud y la delta dada en el enunciado, la
x0 vale 8 y la v0 vale 3 ¿se entiende? ¿correcto? ¿alguna pregunta se
entiende? observad que estamos dando el valor de a y del desfasaje el que
da el enunciado entonces si el problema te hablara de la posición inicial
y la velocidad inicial tendrían que ser estas posibilidades de la amplitud
y del desfasaje este es un detalle yo considero bastante importante que
diferencia las matemáticas y la física de un más y que uno no suele
encontrar en los libros de texto ¿seguimos? esta es la diapositiva
recordad que como estamos hablando con vectores a una gran dimensión signo
menos es moverte a la izquierda aquí sería x0 positivo a la derecha v0
significa a la izquierda la posición de equilibrio o x0 negativo sería a
la izquierda y la velocidad positiva es vector a la derecha de la posición
de equilibrio esos signos más y menos recordad que aunque estemos en una
dimensión los vectores juegan su papel vector posición y vector velocidad
derecha e izquierda de la posición de equilibrio siempre bien, vamos a
hacer el siguiente problema la anotación de los problemas observad que les
he llamado problema tutoría virtual 1 las siguientes ecuaciones
representan la posición de una partícula animada de un movimiento
armónico simple en el caso 1 esto es un más en el caso 2 con el seno es
un más y en el caso 3 con el seno es un más entonces de lo que se trata
es de dadas las expresiones 1,2 y 3 ver cómo pasar de estas expresiones a
la expresión dada por nosotros en la teoría este ejercicio es bastante
matemático pero tiene su importancia porque si ustedes resuelven problemas
propuestos en otros textos donde a lo mejor el más se define como o bien
en la 2 o bien en la 3 pues pasar de una definición a otra ¿qué implica?
pues variar mi elección para los desfasajes y las amplitudes bien, pues
les dejo un minuto a ver cómo plantearían ustedes y si se entiende el
ejercicio cómo pasar de 1 a la definición que tenemos de más cómo pasar
de 2 a la definición que tenemos de más y cómo pasar de 3 a la
definición que tenemos de más a ver cómo plantearían ustedes el
ejercicio básicamente la pista es usar las relaciones que hay entre las
funciones trigonométricas para resolver el problema propuesto por eso les
comentaba que es interesante en estas tutorías pues seguirlas con lápiz y
papel quería preguntarles el material lo observan ustedes se visualiza
relativamente bien en la pantalla se ven los colores las pruebas que he
hecho antes me ha parecido que sí observan ustedes que entre diapositiva y
diapositiva hay una transición larga el problema es que el documento
original está hecho con powerpoint donde puedes definir los eventos de
ratón y controlar el tiempo al subir el documento a la aplicación online
el powerpoint le hace perder todos los eventos entonces he tenido que pasar
el powerpoint original por un programa que lo que me traduce es el
powerpoint original en un fichero powerpoint con un número de diapositivas
uno por evento por eso pueden ustedes comprobar el orden 700 de la
diapositiva no es que haya 700 diapositivas sino que el orden 700 sale de
convertir cada evento de ratón en una diapositiva he preferido hacerlo
así para que entre transición y transición ustedes puedan pensar aunque
quizás se hace un poquito largo ya veremos cómo sale esta primera sesión
y si es preferible pondremos todo el documento con el tocho el punto de
vista docente es menos intuitivo muy bien vamos a intentar ver cómo pasar
de un más dado en la forma d coseno de omega cero t menos phi a nuestra
definición de más a coseno o normalización frecuencia natural más delta
el primer caso es bastante sencillo requiere poco cálculo uno partiría de
nos dan x de t como d coseno y queremos pasar a coseno tenemos coseno y
coseno pues necesariamente las amplitudes tienen que ser iguales y ahora
ver qué relación hay entre el coseno de un ángulo dado en la forma omega
cero t menos phi y el coseno de otro ángulo dado en la forma omega cero t
más phi la relación es pues que menos phi será igual a más delta pues
hemos resuelto el problema si partimos de una expresión x igual a d coseno
de omega t menos phi y queremos identificar con nuestro tratamiento del
más a coseno de omega cero t más delta lo que hay que hacer es la d que
me dan es igual a la a y la menos phi que me dan es igual a delta ¿alguna
pregunta? este caso bien sencillo ¿verdad? veamos el caso 2 ¿alguien dice
no? los que dicen no es que ya lo entienden todo no hay ninguna pregunta,
vale correcto bien pues a igual a delta perdón, a igual a d delta igual a
menos phi en un sentido o en otro bien pues veamos el segundo caso que es
cuando me dan el más como un seno y no como un coseno porque hay que
buscar la relación trigonométrica entre seno y coseno esa relación
trigonométrica es que coseno de cualquier ángulo a es el seno de a más
pi medios y aplicamos esta relación al problema propuesto en términos de
coseno, pues si partimos de coseno de omega cero t más delta, esto sería
el seno de omega cero t más delta más pi medios y a delta más pi medios
le llamo menos phi delta más pi medios menos phi esa es la primera
relación que obtenemos y la segunda será pues que las dos amplitudes son
las mismas la primera delta igual a menos phi más pi medios si quiero
despejar delta en función de sí, no es sí perdón delta en función de
sí y a igual a f parece que se está ralentizando un poquito ah perdón,
me he pasado la diapositiva vale pues a igual a f es una solución y delta
y el otro desfasaje es la segunda relación ¿hay alguna pregunta? ¿se
entiende? estos dos casos no son muy complicados vale pues seguimos el caso
un poquito más complicado es el tercero los textos que expresan o los
libros los documentos donde un más se define como una combinación de
coseno-seno por ejemplo en el libro del Riley el de ingeniería mecánica
muchos problemas el más funciona como una combinación de coseno-seno pues
vamos a ver que relación si dicen algunos compañeros que si se recuerdan
las relaciones seno-coseno es sencillo pues claro esa es la cuestión no
obstante cuando uno hace problemas y usa las relaciones la memoria sobre
todo ustedes que son jóvenes pues la memoria de usarla se suele quedar
archivado si no se resuelve nunca ningún problema desde luego no se
asimilan las fórmulas bien pues digamos quizás en el caso más complicado
es como una combinación de coseno-seno nos da la relación definida para
nosotros como a coseno en el más vamos allá partimos como en el caso
anterior de la relación trigonométrica siguiente porque esta es diferente
coseno de a menos b es coseno de a por coseno de b más seno de a por seno
de b y aplicamos a nuestro problema esta relación lo vamos viendo y no
comento nada vamos a aplicarlo en vez de directamente a x de t a la
relación anterior de coseno de omega t menos phi porque aquí que tengo el
coseno de algo menos algo lo puedo poner de esta manera ¿vale? omega t y b
será phi voy a ir un poquito más lento que a la primera hora bien pues
esta es la relación d por el coseno de la diferencia se nos queda en esta
expresión bien ahora exigimos que se cumpla la igualdad propuesta por lo
tanto lo que exigimos es que esta forma del más que es equivalente a esta
sea igual a la que queremos nosotros obtener ¿se entiende? y ver que
condiciones cumplen b y c y delta vale pues esa es la exigencia exigimos
que se cumpla eso y vamos a ver para que se cumpla esta igualdad ¿que
tiene que ocurrir? pues agrupando factores factor común en coseno de la
frecuencia y seno de la frecuencia natural obtenemos la expresión y ahora
observamos que esta expresión si es cierta lo tiene que ser para todo
instante de tiempo en particular debe ser cierta si es cierta para todo
instante de tiempo en t igual a cero y t igual a pi partido dos frecuencia
natural que son tiempos que eliminan coseno seno y nos dan relaciones
directas entre las amplitudes por lo tanto en t igual a cero en esta
expresión nos queda el coseno de omega cero t igual a uno el seno de omega
cero t igual a cero lo cual implica que este coeficiente es cero lo cual
implica que b es igual a d coseno de fi luego ya ha obtenido una primera
relación entre las amplitudes b y d análogamente lo haremos para t igual
a pi partido dos omega cero pues haciéndolo para t igual a pi partido dos
veces la frecuencia natural del sistema ahora este coeficiente es el que es
igual a cero y lo que nos queda es que c es igual a d seno de fi luego ya
hemos establecido una relación entre las amplitudes b y c con los
coeficientes d por lo tanto hemos resuelto nuestro problema si me dan un
más expresado en la forma de combinación seno coseno la amplitud d es la
suma de b cuadrado más c cuadrado y la tangente de fi es c partido por b
me imagino que en esta transparencia expresamos la solución del tercer
caso que hemos obtenido ¿alguna duda, algún problema en este tercer caso?
pasamos de b más c a la forma de coseno con menos y por el primer problema
a la forma con acoseno ¿correcto? vale, pues seguimos ¿alguna pregunta?
bien, como comentabais en el chat pues el problema de cómo la recuerdo o
no la recuerdo pues uno tiene o las tablas matemáticas o recordar la
wikipedia siempre me ha recordado la wikipedia no sé si sois aficionados a
la ciencia ficción la mejor novela de ciencia ficción de todos los
tiempos la psicohistoria Asimov con la enciclopedia galáctica pues la
enciclopedia galáctica del siglo XXI es la wikipedia en esta dirección
tenéis a mano todas las relaciones trigonométricas viene muy bien si
estáis con internet y trabajando, pues en vez de irte a buscar el libro
que no sé donde lo tengo pues con un punto online a internet podéis
trabajar con las relaciones trigonométricas ¿vale? pues seguimos me
parece una te positiva bien, pues la cinemática del más que es el punto
en el que estamos es recordar, dada la posición derivamos la velocidad
derivamos dos veces la aceleración el gráfico no se ve muy bien bueno,
tenéis todos los textos lo podéis hacer vosotros pero observad que si la
posición va como delta la velocidad está desfasada a pi medios respecto a
la posición y la aceleración pi respecto a pi medios está desfasada a pi
medios respecto a la velocidad y pi respecto a la posición pues aquí una
representación gráfica bien una analogía física entre el concepto de
movimiento armónico simple matemático y un sistema físico de volada
simple es una partícula material m que está dando vueltas con velocidad
angular constante entonces observad que si un instante dado paro en un
sistema de ejes y x la partícula está dando vueltas en un instante dado
hago una foto y proyecto el radio vector en el eje de las x o lo podría
proyectar en el eje de las x la proyección o en el eje x o en el eje y en
el eje x haría esto en el eje y con el tiempo haría esto establece una
analogía entre el movimiento circular las componentes x e y del movimiento
circular de la partícula que se mueve con velocidad angular constante y
por lo tanto el ángulo delta de t puede observar que es la fase del más
¿se entiende no? ¿preguntas? bien, en la actividad pretutorial que os
mande que era un fichero computable de matemática que se podía visualizar
con el visor de matemática había un ejemplo muy bonito muy didáctico que
es el que tenéis aquí en la diapositiva entre la analogía del más y del
movimiento circular observad que la característica fundamental en física
del movimiento armónico simple es que es ubicuo significa que aparece en
todas las ramas de la física en un ejemplo mecánico que es un muelle
oscilando vertical o aquí tenéis un pistón en un fluido en ambos casos
el sistema físico masa-muelle pistón en fluido son equivalentes en su
cinemática a un movimiento circular uniforme con velocidad constante me
imagino que habréis podido ejecutar el programa y luego quizás al final
si tenemos algo de tiempo vamos a hacer una observación sobre cómo usar
los ficheros CDF de matemática aquí debe aparecer la referencia del autor
el fichero es simpleharmonicmotion.cd F recargado del repositorio de
Wolfram aquí tenéis el enlace y aquí el autor y el título correcto
Iteres el movimiento armónico simple va desde la física de partículas
hasta los muelles hasta los fluidos tiene mucho que ver con la canción
inicial de este seminario la canción del bosón de Hitler veremos en la
siguiente lección que básicamente lo que se hace es intentar detectar
resonancias que bajo ciertas condiciones una resonancia es equivalente a
una nueva partícula vamos a mirar el apartado mas y fasores esto se
correspondería con la lección 1 con los contenidos de la lección 1 del
French la relación entre mas y fasores se construye a partir de la
relación de Euler matemático sobre 1700 y pico y posiblemente creo
recordar en memoria que es el matemático que más artículos de
investigación ha escrito nunca la relación de Euler es la relación entre
la función exponencial y la función trigonométrica e elevado a i tecta
mas y seno de tecta bien, nosotros podemos aprovechar lo que se llama el
isomorfismo que hay entre el plano entre R2 y el cuerpo de los complejos de
manera que un vector en R2 es indistinguible o equivalente a un número
complejo o una función compleja z de t donde definimos z de t por el
módulo de z por e elevado a i tecta de t ¿cuál es la relación entre mas
y fasores? cuando tecta de t sea un movimiento armónico simple es decir,
cuando la función ángulo tecta de t esta función geométrica sea omega
cero t más delta donde omega cero, la frecuencia natural del sistema es
constante entonces sustituyendo tecta de t por la definición del mas
tenemos que una función compleja z de t armónica esta es la dependencia
armónica es el módulo de tecta por e elevado a i delta y dejamos la fase
armónica separada ¿correcto? con esta estructura ya podemos definir lo
que es un fasor que nos sirve tanto en esta asignatura como, por ejemplo en
las aplicaciones de electricidad en circuitos ¿cuál es la relación entre
mas y fasores? esto es casi un fasor el mas lo hemos definido como omega
cero delta relacionando esto x de t con z de t pues un mas es la parte real
de un fasor armónico ¿preguntas? un movimiento armónico simple es la
parte real para nosotros que la hemos definido con el coseno la parte real
de un fasor armónico bien ¿por qué son importantes el uso de fasores?
observáis que si derivamos la derivada de x sería esto la velocidad y la
derivada del fasor z de t respecto del tiempo aquí tenéis la derivada y
se puede agrupar como i la unidad imaginaria por w cero z o sea que en
términos de los fasores derivar respecto al tiempo es coger el fasor
original y multiplicarlo por i w cero recordad que la unidad de imaginaria
i se expresa como e elevado a i pi medio porque es coseno de pi medios más
i seno de pi medios que es uno por i esto implica que siempre podemos
reordenar el cálculo anterior de la derivada de z respecto de t por la
frecuencia natural del sistema que multiplica el módulo del fasor por e
elevado a i delta más pi medios y dejamos la dependencia armónica del
fasor factor común así pues la derivada de x respecto de t que es la
velocidad se puede también expresar como la parte real de la derivada
respecto al tiempo del fasor armónico en concreto la equivalencia que
hemos dado para los fasores implica que mientras la frecuencia natural del
sistema sea constante de hecho vamos a llamar a fasores a todo lo que no es
la exponencial armónica de hecho esta sería la definición de fasor y de
la función z de t armónica que no va con la exponencial de la frecuencia
porque podemos hacer todos los cálculos con estas funciones z de t tomar
la parte real y luego multiplicar por la exponencial imaginaria de la
frecuencia natural en función del tiempo tanto en teoría de circuitos
como en las asignaturas de electromagnetismo como en el tratamiento
mecánico mediante números complejos entonces reordenando la información
llamaremos explícitamente fasor a esta parte que tenéis con el cuadrado
rojo de la función compleja z de t observad que con esa definición la
derivada respecto al tiempo de lo que es fasor por e elevado y omega cero t
es coger multiplicar por i veces la frecuencia natural del sistema por el
fasor y por el factor común de la exponencial compleja esa propiedad es
muy interesante porque entonces derivar respecto al tiempo una función
compleja armónica es equivalente a multiplicar la función compleja por i
w cero con lo cual el álgebra de derivar y ahora veremos que de integrar
se simplifica en alto grado equivalentemente integrar respecto al tiempo
una función z de t armónica equivale a multiplicar por uno partido y
veces la frecuencia natural del sistema integrar respecto al tiempo la
función z de t equivale a coger la función z de t y multiplicarla por uno
partido i w cero ¿correcto? ¿preguntas? remito a los alumnos si no
habéis trabajado todavía con el CENCH a la lección 1 del French bien
pues sentadas estas propiedades muchas veces es interesante trabajar con
las funciones z de t armónicas tener en cuenta que la derivada es esto y
que la integral es esto y al final tomar las partes real cuando te vuelves
a la física del más ¿preguntas? bien pues vamos a hacer el problema
parece que no hay preguntas el problema ptv 1 3 que es el problema del
French 1 9 modificado observen ustedes que yo la versión que tengo del
French no es la del año 2000 es más antigua y está en inglés por lo
tanto he tenido que modificar algo el enunciado del problema el problema
sería ¿estaría usted dispuesto a pagar 200 euros por un objeto que ha
sido valorado por un matemático con un valor de i elevado a i euros? les
dejo unos minutos para que intenten plantearse un minuto para que intenten
plantearse el problema no unos minutos alguna opinión, alguna hipótesis
que hay que hacer cuál sería la estructura para resolver el problema
cuál sería la forma lógica de aportarlo alguna sugerencia pues uno
plantearía que la cantidad que me han dado i elevado a i pues si uno tiene
que convertir esa cantidad en euros pues hay que obtener un número real
asociado por eso se trata vamos a verlo ¿alguna sugerencia? correcto, J.
Carrasco nos da la clave dice que hay que jugar con la expresión de i como
la exponencial de pi medios vamos allá i elevado a i es lo mismo que i
elevado a e elevado a pi medios observar que esto es i y la i la base
también la puedo expresar como e elevado a i pi medios por lo tanto esto
es e elevado a i pi medios este exponente multiplica este e elevado a i pi
medios que multiplica a e elevado a i pi medios ¿y eso a qué es igual?
pues sería ae elevado a menos pi medios por lo tanto i elevado a i es e
elevado a i pi medios que es igual a aproximadamente 0,2079 euros entonces,
¿cuál sería la contestación del problema? ¿estaría usted dispuesto a
comprar un objeto valorado por alguien en 200 euros cuando un matemático
le ha dicho que su valor es i elevado a i? ¿qué contestarían ustedes? a
ver, ¿que sí o que no? E. Pérez dice no mal negocio depende, muy bien J.
Carrasco depende yo también estoy con la opción depende vamos a ver cómo
lo expresaría en la época en que el French hizo el libro la solución al
problema sería no porque me quieren cobrar 200 euros por una cosa que vale
0,21 y eso sería un problema en términos estrictamente de lógica
matemática pero el mundo real no es un mundo de lógica matemática el
mundo real es un mundo no lineal y altamente complejo por ejemplo, la
contestación depende de quién compra si usted es un liberal en el sentido
económico del término la respuesta es no por ejemplo, si usted es
socialista en el sentido económico del término depende, si el objeto
está subvencionado por alguna miguete tal vez sí pensar en las
subvenciones a las energías llamadas verdes opino yo y por ejemplo, si
usted es comunista en términos económicos pues lo que diga el líder esta
forma o divertimento lo que quiere es introducir vamos a hacer una pequeña
pausa sobre el más a una nueva rama que se ha desarrollado de la física
en los últimos diez años que se llama sociofísica y econofísica son dos
nuevas ramas de la física que lo que intentan es contentar a estas
preguntas ¿quién compraría? ¿qué grupos de opinión comprarían algo
que en el ejemplo del French nos lo valoraban 500 euros y un matemático
dice que su valor objetivo es 0,21 pues bien ¿puede la física contestar a
este tipo de preguntas? hace diez años este tipo de preguntas no serían
objeto de la física mi opinión hoy en día es que sí porque física es
lo que hacen los físicos y lo que los físicos publican en las revistas de
investigación y en los congresos a los que van sociofísica y econofísica
una pequeña pausa y que tiene mucho que ver con los sistemas oscilantes
muy bien Ipérez, una cosa es el valor y otra es el precio bien, ¿qué es
sociofísica? aquí hay una definición de la sociofísica en el primer
congreso celebrado en mayo de 2008 en Italia el primer congreso
internacional o el primer workshop sobre sociofísica sociofísica, stratus
y perspectivas vamos a ver como los propios organizadores de congresos de
sociofísica definen la sociofísica pues aquí en rojo se ve un poquito
mal casi voy a leerlo lo que debe de poner ahí en rojo es algo así como
el objetivo de la sociofísica consiste en la modelización mediante la
física estadística de una amplia escala de fenómenos sociales como la
formación de opiniones, la difusión cultural, el origen y la evolución
del lenguaje, el comportamiento de multitudes y el contagio social fíjense
ustedes este nuevo campo entre la psicología y la física y los modelos de
la física estadística para explicar y resolver problemas de sociofísica
y econofísica realmente en la contestación en el juego del problema que
hemos resuelto del Frens la contestación es que la física nunca podría
contestar a lo que compraría un individuo la física contestaría a lo que
clases de individuos comprarían la física diría, este clase de
individuos es capaz de comprar algo valorado en 0,21 euros por 200 euros
esta otra clase o no la respuesta siempre sería de colectivos ¿se
entiende la idea? vamos a ver aquí tenéis otro tipo de congresos en 2009
la física de la competición y conflictos o también en 2009 la física de
la complejidad sistemas evolutivos y complejidad digamos que esta física
hoy en día es todavía más un arte que se está formalizando en el
último decenio se basaría en dos tipos para mí dos textos de referencia
los primeros proceden de econofísica y en sociofísica este es el texto
con las contribuciones de los principales autores del campo en 2004 y lo
que sería la sociodinámica que a diferencia de la sociofísica es un
modelo de dinámica social basado en un formalismo proveniente de la
física teórica es la escuela alemana de física teórica haciendo
sociodinámica en cambio la sociofísica y la econofísica no viene de un
modelo teórico sino que viene de modelos particulares que han resuelto
problemas en física estadística como podría ser por ejemplo la
percolación u otros modelos equivalentes que resuelven problemas concretos
sociales o económicos digamos que la sociodinámica tiene un fundamento
teórico y la econofísica detrás y la sociofísica y la econofísica es
fenomenológica aquí tenéis algunas contribuciones en particular si
alguien quiere leerse el origen de la sociofísica su estado actual yo
recomendaría este review sociofísica personal testimonio en física 2004
escrito por uno de los principales autores en este campo que es el físico
francés Serge Galin bueno pues aquí voy a poner alguna lista para que
veáis las referencias y veáis el tipo de intereses que puede haber en las
publicaciones de sociofísica me he pasado vale daros cuenta que por
ejemplo Serge Galin en 2002 publicó un artículo que es el ataque del 11
de septiembre percolación de soporte de individuos pasivos modelo físico
basado en percolación que intenta explicar la geoestrategia del ataque del
11S publicado en la revista Journal Europhysics bien además la
sociofísica la econofísica y la sociodinámica están ampliamente ligadas
con un concepto que ha aparecido en física en los últimos 10 años que es
el concepto de redes complejas el concepto de redes complejas es el
resultado de la tesis que este autor Steven Strogatz matemático de la
no-linealidad aquí tenéis algunos de sus libros le dirige al joven Bart
que era un pues un recién licenciado un grado de 4 años en física
especialidad en mecánica y que le propone estudiar un problema
sociológico que es el problema del cual todos tenemos algún tipo de
evidencia el problema de que el mundo es un pañuelo todos tenemos noticia
o nos ha pasado alguna vez ir en un tren y conocer a un amigo que conoce a
un amigo nuestro que conoce a un amigo del mundo pequeño el estudio
matemático de ese problema dio origen a la tesis de Bart Bart publicó su
tesis fue publicado en la Universidad de Princeton por este libro y este
libro de divulgación que os recomiendo altamente creo que no está
traducido al español es el libro desde mi punto de vista más importante
publicado en lo que va en ciencia de siglo XXI hoy en día Bart que es
físico de origen es catedrático de sociología sí, sí, y Pérez
intentar modelar el comportamiento humano en el sentido como en física se
modela el comportamiento de las moléculas no contestarás a lo que hace
una molécula pero si a un grupo humano por ejemplo si en un cine tienen
mil personas pues cada persona tiene libre albedrío puede hacer lo que
quiera pero si hay un pánico y un fuego podrás predecir que las mil
personas salen o intentan salir por la salida de emergencia en este ejemplo
tan sencillo predicciones de comportamiento colectivo bien el artículo y
resultado de la tesis de Bart y Estroga se publica en Natchar y observar
que este artículo publicado en Natchar fue el artículo más citado sobre
redes entre 1998 y 2008 y el sexto artículo publicado en física
considerando todas las áreas de la física es el nuevo paradigma de redes
complejas entonces el argumento es tres cosas en física ustedes que son
jóvenes estudiantes pues un campo que está abierto no solo la física
tradicional sino la física digamos de los problemas sociales sociofísica,
sociodinámica y redes complejas pues regresemos al oscilador que es en lo
que estamos bueno, sobre gustos volvemos al problema 4 un problema
sobrefasores considerar un vector z definido por la ecuación z igual a z1
por z2 siendo z1 ab en notación cartesiana y z2 cd a demostrar que la
longitud de z es igual al producto de las longitudes z1 y z2 b demostrar
que el ángulo comprendido entre los ejes z y x es la suma de los ángulos
que forman z1 y z2 venga, pues un minuto intenten a ver cómo lo
plantearían muy bien, J. Carrasco nos comenta escribe z en forma
cartesiana y lo multiplica, pues eso es lo que hay que hacer z2, correcto
pues vamos allá si correcto Carrasco la verdad es que el chat está hecho
por gente de letras que se olvidan de nosotros los físicos y los
matemáticos no hay chat de matemáticas por lo menos todavía en la
aplicación esperemos que la UNED lo haga en la mejora de la aplicación
Conferencia Online bueno, pues empezamos por z1 en la forma cartesiana z2
en la forma cartesiana lo importante es mirar que en la cuestión hay una
parte de álgebra y lo importante es la interpretación geométrica del
álgebra que obtenemos, multiplicamos z1 por z2 y ahora pasamos del
álgebra de los números complejos a la representación en R2 de los
números complejos como vectores el isomorfismo R2 después de los
complejos perdón que me he saltado una bien, pues gráficamente esto
sería z1, esto sería z2 y lo que hemos obtenido tendría que tener un
módulo la componente x, la componente y y un ángulo pues bien vamos a ver
esos ángulos y esos módulos cómo están relacionados módulo de z1, la
raíz cuadrada de las componentes x e y lo mismo para z2 y lo mismo para el
producto lo mismo para el producto ese es nuestro producto vale, pues ahora
cogemos nuestro el módulo de nuestro producto lo manipulamos
algebraicamente y obtenemos que es justo el producto de z1 y z2 como
queríamos demostrar la segunda parte de la cuestión tiene que ver con la
representación geométrica de los ángulos que forma con el eje x z1, z2 y
el producto conocemos z1 conocemos z2 y se trata de demostrar que el
ángulo z3 es la suma de z1 la suma de z1 más la suma de z2 módulo de z,
ya hemos visto que es el producto de los módulos, pues ahora escribimos
cada z lo escribimos en la fórmula módulo la fórmula de Euler módulo
del primero por la parte exponencial módulo del segundo por la parte
exponencial el resultado que nos queda es un ángulo z3 y debido a las
propiedades de la función exponencial deduciremos que z3 es la suma de z1
más z2 ¿alguna pregunta? ¿todo bien? observad lo importante que es tener
siempre la representación de números complejos o funciones complejas su
representación geométrica ¿correcto? pues seguimos el problema siguiente
el problema 1.5 es el problema del French de lección 1.6 que nos dice a
partir de la relación de Euler obtener la representación geométrica a, b
y c dadas la de la exponencial sen y coseno pues manejar las relaciones
trigonométricas y la relación de Euler vamos allá a ver, he dejado un
poquito, perdón vamos a dejar un minutito para que lo piensen ustedes
¿cómo se plantearía? a partir de la relación de Euler la relación
entre la exponencial sen y coseno obtener la representación geométrica
propuesta en a, b y c un minuto para que piensen los comentarios en el chat
la primera es como apunta Carrasco coseno más sería más j seno bueno,
algunos usáis j otros usamos i depende de alguna notación i como la raíz
cuadrada de menos uno o j como la raíz cuadrada de menos uno yo suelo usar
la i vale, ¿alguna observación? pasamos a resolverlo vamos al primer caso
esta es la relación de Euler yo le llamo i en otros libros otros autores
le llaman j a la raíz de menos uno lo que nos piden es e elevado a menos i
tecta pues e elevado a i tecta, que en cartesianas es coseno de seno, será
coseno de tecta seno de tecta y módulo uno y lo que nos piden es e elevado
a menos i tecta será coseno de menos tecta más j seno de menos tecta pero
coseno de menos tecta es coseno de tecta y seno de menos tecta es menos
seno de tecta luego, ¿cuál es la representación en R2 del número
complejo que hemos obtenido? momento disculpen, pero parece que he tenido
un problema a ver, ¿se me escucha? se me ha ido un momento la conexión,
¿se me escucha? ¿me pueden decir en el chat si se me escucha? vale
perfecto, había un momento dramático parecía que se me iba la conexión
bien, pues e elevado a i tecta es coseno de tecta más j seno de tecta e
elevado a menos i tecta coseno de tecta menos j seno de tecta y lo que
hacemos con esta raíz estas dos estamos en el caso B, con estas dos
ecuaciones pues sumamos sumo la primera con la segunda me queda 2 coseno y
despejo coseno ya tengo el coseno en función de la exponencial y la
representación gráfica sería un medio de e elevado a i tecta más el
vector e elevado a menos i tecta al sumar nos queda la componente x esa
sería la representación gráfica de lo que hemos obtenido la geometría
asociada bien, pues ahora para el tercer caso que es con el con el seno en
el tercer caso partimos e elevado a i tecta, e elevado a menos i tecta para
obtener el seno lo que haremos será rectar prestamos al rectar se nos va
el coseno y nos queda 1 partido así e elevado a i tecta más e elevado a
menos i tecta y aquí podemos observar la representación geométrica de la
suma que hemos hecho, hemos partido desde este vector lo hemos sumado con
este y ahora sólo sobreviven las componentes verticales ¿correcto?
¿alguna pregunta? ¿alguna duda en la geometría? vale, pues seguimos
bien, pues vamos a hacer el siguiente problema que es aplicar la notación
fasorial para obtener la amplitud de la suma y la fase usar la notación
fasorial para obtener la amplitud de la suma y la fase de la suma de los
dos más dados o sea nos dan un más x de t que es la suma de este más y
de este más y nos piden usar la notación fasorial para obtener la
amplitud suma y fase de x de t que es la suma de los dos lados vamos allá
partimos de lo que nos dan y ponemos el seno como el coseno de la
diferencia con pi medios y en vez de hablar de x de t hablamos de la
función z z de t será z1 más z2 módulo por fase, módulo por fase e
identificamos ocupamos factor común todo con la parte armónica y vemos la
representación geométrica de lo que estamos haciendo 10 coseno de omega t
sería el módulo de este fasor y 17 por el coseno de omega t menos pi
medios sería el módulo de este y este es la suma de los dos este sería
el z que estamos calculando vale pues hacemos el cálculo el módulo de z
sería este módulo más este módulo la suma raíz cuadrada nos da 1972 y
el ángulo fi su tangente vale 17 partido por 10 con lo cual fi es arco
tangente de la fracción obtenida en grados 59,6 grados es 1 partido 0,4
alguna pregunta seguimos vale entramos ahora en la segunda parte del
seminario de la lección de la tutoría que tiene que ver con la dinámica
del más hasta ahora nos hemos centrado en la cinemática del más y la
relación entre la cinemática del más y el uso de la representación
fasorial esta parte de la lección es la que tiene un amplio contenido
físico la dinámica del más vamos a comenzarla analizando el siguiente
diagrama conceptual queremos estudiar la dinámica de sistemas físicos por
lo tanto la dinámica tiene que aparecer aceleración y las fuerzas que
actúan sobre el sistema y nos centraremos en esta lección en sistemas
físicos con un solo grado de libertad entonces en principio habría dos
posibilidades para estudiar la dinámica de un sistema físico escribir la
segunda ley de Newton suma de fuerzas igual a masa por aceleración y
verificar si la segunda ley de Newton suma de fuerzas igual a masa por
aceleración escrita como una ecuación diferencial de segundo orden
obedece la ecuación de un más si es así la solución ya la sabemos es la
que hemos estudiado en la primera parte de esta clase alternativamente en
vez de usar la segunda ley de Newton podríamos usar el principio de
conservación de la energía mecánica para un sistema físico con un grado
de libertad energía mecánica igual a energía cinética más potencial
derivar respecto al tiempo el sistema y ver si la ecuación diferencial de
segundo orden que se deduce que se obtiene a partir de la conservación de
la energía mecánica obedece la ecuación diferencial de un más en ese
caso la solución sería la que hemos estudiado x de t igual a coseno de
omega cero t más delta con las condiciones iniciales un método u otro son
equivalentes y el diagrama se podría poner un tercer método que sería
estudiar los sistemas o el sistema físico con un grado de libertad
propuesto a analizar su dinámica mediante el método de Lagrange o
mediante el método de Hamilton que ustedes lo han visto en las últimas
lecciones de la asignatura de mecánica del primer cuatrimestre en estos
dos casos nuevos Lagrange o Hamilton se llega a la misma ecuación
diferencial que por las leyes de Newton o a partir de derivar la ecuación
de la energía y si esa ecuación diferencial de segundo orden cumple la
ecuación diferencial de un más la solución es la estudiada en el primer
caso este diagrama conceptual es el diagrama que hay que tener en cuenta a
la hora de resolver los problemas de dinámica del más ¿alguna pregunta?
pues vamos allá bien, entonces la ecuación diferencial que caracteriza un
más es derivada segunda de la función grado de libertad más una
constante que es la frecuencia natural del sistema por la posición igual a
cero en términos mecánicos sería, en términos físicos sería
aceleración más constante por posición igual a cero cualquier ecuación
cualquier ecuación diferencial de segunda orden que cumpla aceleración
más constante por posición igual a cero será un más y automáticamente
la solución es la que hemos estudiado en la cinemática del más amplitud
en función de las condiciones iniciales y desfasaje en función de las
condiciones iniciales con una frecuencia natural del sistema que depende de
la elasticidad del sistema a través de la constante k que veremos una
constante elástica y de la masa del sistema además, habrá que tener en
cuenta que si el problema es físico la amplitud y el desfasaje del más
deben cumplir las condiciones iniciales esta transparencia es la
transparencia básica para poder resolver problemas de dinámica de
sistemas físicos con un grado de libertad que oscilan como un más
¿preguntas? seguimos bien, pues vamos a realizar el problema 7 de esta
tutoría virtual obtener la ecuación del movimiento para la masa m aquí
está la masa m y se pregunta ¿oscila? en su caso, obtener la frecuencia y
el periodo c determinar la posición de la masa m en todo instante de
tiempo a ver cómo se plantearían ustedes el problema el esquema lógico
sería a partir de la dinámica que yo use segunda ley de Newton principio
de conservación de energía mecánica o Lagrange o Hamilton obtener la
ecuación diferencial del movimiento para el grado de libertad y verificar
si esa ecuación diferencial cumple la ecuación de un más en las
transparencias he usado siempre el método la segunda ley de Newton, el
principio de conservación de energía considero que es más difícil
hacerlo por análisis de fuerzas y les propongo a ustedes como ejercicio en
casa resolver estos mismos problemas usando Lagrange y Hamilton con un solo
grado de libertad correcto intentemos contestar la primera parte obtener la
ecuación de movimiento de la masa m partimos del problema el método que
les propongo para analizar los sistemas oscilantes es convertir el problema
siempre en dos problemas primero un problema en equilibrio y luego el
problema dinámico verán por qué en equilibrio considero que la masa y el
muelle están quietos pregunta en este sistema físico cuando la masa m
está en equilibrio y el muelle está en equilibrio ¿el muelle está
deformado o no? en otras palabras ¿el muelle tiene energía potencial
inicial? ¿está el muelle deformado en equilibrio o no? la contestación
es sí si en un muelle vertical pones una masa el muelle se habrá estirado
una cierta cantidad y ahí se queda llamaré a las cantidades que están
estiradas los muelles en equilibrio con la letra delta por ejemplo delta
sub e que es es la cantidad de metros o centímetros o milímetros la
longitud que está estirado el muelle en equilibrio ¿y cómo se resuelve
este problema por las leyes de Newton? pues realizando el diagrama de
partícula libre en masa ponemos un cuadrito en rojo y digo y quiere decir
que realiza el diagrama de sólido libre de esta partícula saca esta
partícula de su entorno y aplica la tercera ley de Newton sacamos la
partícula de su entorno aquí la tenemos ¿qué fuerzas actúan sobre la
partícula en equilibrio? la fuerza de contacto que hace el muelle sobre la
partícula pues la he representado en azul y la tracción gravitatoria de
la tierra sobre la partícula de masa m la fuerza que hace el muelle sobre
la partícula le llamo f sub k y la fuerza de tracción gravitatoria de la
tierra sobre la partícula le llamo peso mg ¿cómo está este sistema? en
equilibrio por lo tanto cualquier observador inercial dirá que la masa de
la partícula m es cero segunda ley de Newton que es lo que tengo que
buscar en equilibrio suma de fuerzas igual a cero ¿cuánto vale f ? ahora
aplico la ley de Hooke el módulo de la fuerza elástica vale k por la
longitud que está separado el muelle del equilibrio delta sub e
sustituimos k por delta sub e la segunda ley de Newton y obtenemos lo que
llamo la ecuación de ligadura en equilibrio para que este problema sea
físico dado una constante k de muelle y un alargamiento delta e del muelle
lo que se alarga el muelle delta e no puede ser cantidad tiene que cumplir
esta ligadura estática incluso en este problema se puede calcular cuánto
vale esa delta e delta e sería mg partido por k pero el objetivo no es
calcular delta e sino ser conscientes que delta e cumple esta ecuación a
esa ecuación le llamaremos ligadura de equilibrio o ligadura estática
¿preguntas hasta ahora? una vez obtenida la ligadura estática del sistema
pasamos a la dinámica del problema ¿en qué consiste la dinámica? en
este problema una foto cuando la partícula esté arriba o abajo de su
posición de equilibrio se haya desplazado una cierta cantidad hacemos una
foto y aplicamos a esa foto la segunda ley de Newton por ejemplo voy a
considerar cuando la masa m que la masa m que estará haciendo eso pues
cuando se queda abajo de la posición de equilibrio ¿cuánto ha bajado de
la posición de equilibrio? si la línea horizontal que acaban de ver marca
la posición de equilibrio pues si me estoy moviendo en el eje i le
llamaré i en t igual a cero posición de equilibrio y la partícula en un
instante t se habrá desplazado la cantidad i de t hacia abajo es muy
importante no confundir lo que se desplaza la partícula de lo que se
desplaza en los muelles por eso intento escribir con letras latinas el
desplazamiento de las partículas y con letras griegas el desplazamiento de
los muelles cuando la partícula de masa m se ha desplazado una cantidad i
el muelle estará deformado en una cantidad delta de t en ese instante de
tiempo ¿de acuerdo? delta de t es la longitud en la que está deformada el
muelle cuando la masa m se ha desplazado i de t no hay que confundir nunca
esas dos cantidades y ahora aplicamos la segunda ley de newton a la masa m
pues ¿qué habrá que aplicar? diagrama de sólido libre suma de fuerzas
igual a masa por aceleración aislamos la partícula fuerzas que
intervienen solo hay dos, la de contacto y el peso la de contacto k, la
constante elástica del muelle por delta de t esto será f pero ahora hay
aceleración suma de fuerzas igual a masa por aceleración suma de fuerzas
fk menos mg observar que se me pasó a comentarlo ¿cuánto valdrá delta
de t? en todos los problemas siempre hay que relacionar en la parte
dinámica lo que se deforma el muelle o los muelles con lo que se mueve la
partícula en este caso, en este instante lo que se ha deformado el muelle
es lo que tenía en equilibrio más lo que se ha desplazado la partícula
¿están de acuerdo? bien, pues entonces segunda ley de Newton suma de
fuerzas igual a masa por aceleración ¿de dónde viene este signo menos?
aquí he tomado el diagrama del sólido libre cuando la partícula se
desplaza hacia abajo vector unitario j negativo aceleración negativa
aunque sea un movimiento de una dimensión estamos manejando cantidades
vectoriales ¿alguien tiene problemas con el signo menos? y ley de Hooke fk
en módulo es k por el desplazamiento que hay ahora en el instante del
diagrama de sólido que es delta dt muy bien, pues entonces llevando el
módulo de la ley de Hooke a la segunda ley de Newton obtenemos la
ecuación para la aceleración y esta es la ecuación que hemos obtenido
¿todo el mundo entiende llegar a esta ecuación? ¿hay algún problema?
pero observad siempre en la ecuación dinámica se nos va a colar la
ligadura estática en este problema y en cualquier otro donde en las
condiciones iniciales la energía potencial elástica no sea cero observad
que en esta ecuación tenemos k delta menos mg pero k delta menos mg,
¿qué vale? cero por lo tanto hay que llevar la ligadura estática de la
condición de equilibrio por eso hemos planteado así la metodología de
resolución a la parte dinámica manipulando esta ecuación obtenemos esto
y explícitamente la parte la ligadura estática nos aparece en la
ecuación de la dinámica y se nos anula ¿todo el mundo ve como aparece la
ligadura estática en la ecuación dinámica? y esa es la parte que hacemos
cero ¿correcto? se nos hace cero y obtenemos i2 más ki igual a cero
observad que la aceleración la escritura de la notación, dos puntos esta
es la ecuación diferencial de segundo orden para la partícula m que hemos
obtenido realizando el diagrama de soleo libre intenten hacer ustedes este
mismo problema tomando la foto cuando respecto a la posición de equilibrio
la partícula sube el problema, como es de esperar no depende de si se hace
el diagrama arriba o abajo ¿y qué ecuación diferencial hemos obtenido?
¿están todos de acuerdo que esto es un más? aceleración más constante
por posición igual a cero ¿y cuánto vale la constante? siempre la
constante de la ecuación diferencial de segundo orden es la frecuencia
natural del sistema ¿alguna pregunta? correcto jcv0 cuadrado igual a k
partido por m es importante que observen la metodología de resolución de
los problemas para obtener la ecuación diferencial de movimiento en los
sistemas oscilantes primero si el sistema tiene energía potencia elástica
diferente de cero en la condición inicial se resuelve el problema
estático se obtiene la ligadura estática y luego se realiza el problema
dinámico y siempre la parte de la ligadura estática se nos cuela en la
ecuación dinámica y anula un término ¿correcto? una vez que hemos
obtenido que el coeficiente es la frecuencia natural del sistema al
cuadrado pues obtenemos el periodo como 2pi partido de la frecuencia
natural porque ya el sistema funciona como un más como hemos visto en la
primera parte de la clase ¿y cuál es la solución? no tengo que hacer
nada, ya la sé es la solución de un más ¿qué le falta al problema para
ser físico? las condiciones iniciales si esto fuera un problema físico me
tendrían que dar la posición y la velocidad inicial para ayudar la
amplitud y el delta en función de las condiciones iniciales ¿correcto?
¿alguna pregunta? vale, pues vamos a hacer dos problemas más típicos en
en los contenidos de movimiento armónico simple que es ver que n muelles
en paralelo son equivalentes a 1 solo y n muelles en serie son equivalentes
a 1 solo de la misma manera que se asocian los muelles, se asocian los
condensadores en los circuitos de teoría de circuitos en electricidad
digamos que la demostración rigurosa sería por el principio de inducción
se demuestra que para 2 es cierto se supone para n-1 y se comprueba que
para n se cumplen pues yo les dejo la inducción para ustedes y vamos a
centrarnos en demostrar que es cierto para 2 tanto en el caso paralelo como
en serie el primer problema sería una partícula de masa m la partícula
de masa m se desliza por una superficie horizontal el centro de
arrojamiento