Abordaremos a continuación el estudio del cálculo básico de la
transformada Z. Consideraremos los siguientes puntos. La definición y las
propiedades fundamentales de la transformada Z. Posteriormente,
realizaremos una revisión simplificada de una tabla simplificada de
transformadas Z. A continuación, veremos cómo se realiza la transformada,
la conversión en polinomios Z de una ecuación en diferencias.
Consideraremos a continuación la definición de la transformada Z inversa.
Y por último, consideraremos la definición y las propiedades matemáticas
fundamentales de la transformada Z. Aquí los tenemos. Ya conocemos la
definición matemática de la transformada Z, de la función continua X de
T, que se define como X de Z igual a Z de X de T igual a Z de X de KT igual
al sumatorio desde K igual a 0 hasta Y. Esta definición corresponde a una
secuencia temporal. Para una secuencia numérica, tendríamos X de Z igual
a Z de X de K igual al sumatorio desde K igual a 0 hasta infinito. Las
propiedades matemáticas fundamentales de la transformada Z son la
linealidad. La transformada Z de una combinación lineal de funciones es
igual a la combinación lineal de las transformadas. Tenemos la traslación
temporal o corrimiento. La transformada Z de la variable X de T menos NT es
igual a Z, es decir, la transformada del argumento. La transformada Z de la
variable X de T es igual a Z de K igual al sumatorio desde K igual a 0
hasta N menos 1 de X de KT. Luego tenemos el teorema del valor inicial. que
nos permite conocer el término fundamental en el valor x de 0 es igual al
límite cuando z tiende a infinito de x de z. Y luego tenemos, por último,
el valor, mediante el cual podemos conocer el límite cuando k tiende a
infinito de x de k, que es igual al límite cuando z tiende a 1 de k. Bien,
vamos a realizar una revisión de una tabla simplificada de 3D. Aquí lo
tenemos. Para la función parábola unitaria, definida como t cuadrado
partido de 2, tendremos para la transformada de la plaza 1 dividido de s al
cubo y para la transformada z, t cuadrado z paréntesis z más 1 dividido
de 2 z. Para la función exponencial decreciente en el tiempo, e elevado a
menos alfa t, tendremos para la transformada de la plaza 1 dividido de s
más alfa y para la transformada z, z dividido de z menos el de la plaza,
siendo t mayúscula del periodo de nuestro hilo. Bien, y por último vamos
a considerar las dos transformadas correspondientes a las funciones
almónicas en seno y en coseno. Para la función en seno, seno de omega t
tendríamos para la transformada de la plaza omega dividido de s al
cuadrado más omega al cuadrado y para la transformada z tendríamos z seno
de omega t dividido de z al cuadrado menos 2z coseno de omega t más 1. Y
para las transformadas correspondientes a la función coseno, z paréntesis
z menos coseno de omega t dividido de z cuadrado menos 2z coseno de omega t
más 1. Bien, vamos a ver a continuación cómo se realizará la
conversión en polinomio de z, en transformada z, de una ecuación en
diferencias. Bien, aquí lo tenemos. Las ecuaciones en diferencias se
pueden resolver por el método de la transformada z. Para realizar la
conversión de la ecuación en diferencias a la variable z solamente es
necesario convertir cada término de la ecuación en un polinomio de z.
Entonces tendremos una ecuación genérica en diferencias, cuyos términos
son el fundamental x de k y los términos ascendentes x de k más 1, x de k
más 2 y los términos descendentes x de k menos 1, x de k menos 2, etc.
Naturalmente estamos considerando funciones en secuencia numérica, x de k.
Bien, pues cada uno de estos términos tiene un equivalente en transformada
z. Consideremos el término fundamental, x de k. Bien, pues para este
término tendríamos la transformada z de x de k es la propiedad de la
transformada z, x de z. Para el primer término ascendente, x de k más 1,
tendremos la transformada z que valdrá z elevado a 1 por x de z. Para el
segundo término ascendente, x de k más 2, tendremos x de k más 2, la
transformada z será igual a z al cuadrado por x de z. Para los términos
descendentes, x de k menos 1, tendríamos z menos 1 por x de z. Para el
término descendente, x de k menos 2, tendríamos z elevado a menos 2,
potencias decrescentes de z. Bien, siendo esto así, podemos considerar un
ejemplo de resolución o de transformada z de nueve posiciones diferentes.
Tenemos este ejemplo que estamos viendo aquí, que es una combinación
lineal de términos de funciones en secuencia numérica, el término
fundamental y la transformada z. Hay términos ascendentes en este caso.
Una combinación lineal, una función lineal de estos términos. Sería x
de k más 2 más 3 veces x de k más 1 más 2 veces x de k igual a 0. Con
las condiciones iniciales, x de 0 igual a 0 y x de 1 igual a 1. Bien,
entonces tendremos para el término x de k más 2, su transformada z es lo
que tenemos aquí dentro de este corchete. Sería corchete z al cuadrado
por x de z menos z al cuadrado por x de 0, por x de 1. Para el segundo
término, más 3 veces x de k más 1, tendríamos la transformada z, sería
más 3 veces corchete z de z menos z de x de 0. Estoy diciendo este segundo
término. Y para el tercer término, 2 por x de k, tendríamos la
transformada z más 2 por x de z igual a 0. Bien, transformando esta
ecuación, teniendo en cuenta los valores iniciales x de 0 igual a 0 y x de
1 igual a 1, obtenemos el valor, podemos despejar el valor de la x de z,
que nos da que es igual a 1 dividido de 1 más z menos 1, menos 1 dividido
de 1 más 2. Hemos transformado el polinomio, que es una función racional
en z con exponentes crecientes positivos, lo hemos transformado en una suma
de funciones racionales con exponentes negativos. Tomando la transformada z
inversa, de esta última expresión, z menos 1 dividido de 1 más z menos
1, menos 1 dividido de, el segundo término, 1 dividido de 1 más 2 z menos
1, nos da igual a menos 1 elevado a k, menos, con k, 0, 1, 2, 3, etc. Esta
sería la solución, con lo cual tendríamos x de k igual a menos 1 elevado
a k menos 1, 2 elevado a k. Naturalmente se ve la utilidad de la
transformada z en un polinomio en z. Bien, a continuación vamos a ver la
definición y las utilidades de la transformada z inversa. Bien, aquí
tenemos la definición de la transformada z inversa. Conocida la
transformada z de la variable en tiempo discreto x de t igual a x de k, x
de z igual a z de x de, x de t igual a z de x de k, t igual a, sumatorio
desde k igual a 0 hasta infinito de x de k, t por c. Entonces se puede
conocer su transformada z inversa. Es decir, la función original de la
transformada z inversa es igual a x de t, x de k, t es igual a x de k es
igual a z menos 1 de x de z igual a z menos 1 de z de x de k, t. Esta es la
definición de la transformada z inversa. Vamos a ver dos métodos básicos
de cálculo de la transformada z inversa. El primero por división directa
y el segundo en expansión de funciones. Bien, aquí tenemos un primer
ejemplo mediante el cual se obtiene la transformada z en división directa.
Le estamos diciendo este ejemplo que tenemos aquí. x de z sea x de z igual
a esta función racional 10z más 5 Si transformamos esta función racional
de manera que tengamos el numerador y el denominador de z con exponentes
negativos nos quedará esta expresión. x de z va a ser igual al tercer
miembro, igual a 10z menos 1 más 5z menos 2 dividido por z menos 2.
Realizando la división directa, tendremos un cociente que será el valor
de la x de z. Entonces, el resultado permite escribir x de z igual a 10
veces z elevado a menos 1 más 17 veces z elevado a menos 3 más 18,68
veces z elevado a menos 3 Hemos desarrollado la transformada z de esta
función racional en potencias decrecientes con exponentes negativos como,
naturalmente, la definición de la transformada z es el sumatorio desde k
igual a 0 hasta infinito de x de k por z elevado a menos k identificando
los términos de estos dos desarrollos obtendremos los valores de la
secuencia numérica x de k Es decir, para x de 0 tendríamos igual a 0 para
x de 1 tendríamos más 10 para x de 2 sería igual a más 17, para x de 3
sería igual a más 18,4 Y por último, vamos a ver el método de cálculo
de la transformada z inversa mediante la expansión en fracciones parciales
Sea una función racional tal como la que tenemos aquí x de z igual a z
cuadrado menos más z más 2 dividido de z menos 1 paréntesis z cuadrado
menos z más 1 Bien, como bien sabemos cuando tenemos cuyo denominador es
un producto de factores lo podemos desarrollar en este caso tendríamos un
término que corresponde que va a ser igual a a sub 1 dividido de z menos 1
y tendríamos un segundo término cuyo denominador es z cuadrado menos z y
entonces en este caso bien, entonces obtenemos identificando las funciones
la función racional original con la función de las 2 y para las 3 nos dan
x de z igual a 4 dividido de z menos 1 desarrollando en función
desarrollando esta función racional en función de exponentes negativos
exponentes crecientes negativos nos da igual a 4 z elevado a menos 1 por 3
z elevado a menos 1 dividido de 1 menos z elevado a menos 1 más el último
término z elevado a menos 1 por 0,5 z elevado a menos 1 dividido de 1
menos z elevado a menos 1 tomando la transformada inversa obtendremos la
función original en secuencia numérica x de k, en este caso nos da x de k
igual a 4 veces paréntesis 1 elevado a k menos 1 menos 3 veces paréntesis
1 pi dividido de 3 más un tercer término 1 dividido de raíz cuadrada de
3 paréntesis 1 por el seno de k menos 1 pi veces de k menos 1 veces pi
dividido de 3