las estoy grabando cuando me dejan ah, ya va, vale, continuamos chicos que
no se estaba grabando antes que no me dejaba seguir grabando entonces,
segunda parte matrices, vamos a ver cómo hacer operaciones elementales
fila y para qué sirve todo esto entonces una de las cosas muy importantes
en las matrices es conocer su rango el rango es un invariante para las
matrices, un invariante significa que es algo que no cambia aunque a la
matriz le hagamos algunas transformaciones que hará que consideramos que
la matriz que obtenemos es equivalente a la anterior entonces, el rango es
algo muy importante en las matrices y es un número la matriz puede tener
rango 2 puede tener rango 3 y esto va a depender luego cuando demos teoría
de espacios vectoriales también definiremos el rango de una matriz como el
número máximo de vectores generalmente independientes que están por
columnas dentro de la matriz pero ahora hablaremos del rango como algo que
tiene que ver con la operación de hacer operaciones elementales sobre una
matriz entonces ¿qué es esto de las operaciones elementales? son cosas
que yo puedo hacer con la matriz para que se me transforme en otra que
considero que es equivalente y hay tres tres operaciones elementales uno
intercambiar dos filas operaciones elementales fila también se puede hacer
operaciones de fila hacer todo por columnas, nosotros lo vamos a hacer todo
con filas. De hecho se puede hacer todo por columnas también. Intercambiar
dos filas. Dos. Multiplicar una fila entera por un número voy a poner
aquí lambda, un número lambda distinto de cero, un escalar distinto de
cero, tiene que ser. O tres a una fila sumarle otra multiplicada por un
número lambda. ¿Vale? A veces cuando haga esto diré que la fila uno la
intercambio por la fila dos y lo pondría así. O diré que la fila uno la
transformo en la fila uno multiplicada por tres y quizás lo ponga así. O
también puedo usar la notación que la fila tres lo que hago es que le
sumo dos por la fila dos y lo pondría así. Todas estas operaciones se
utilizan en el proceso de obtener lo que se llama la forma escalonada de
una matriz. ¿Qué es esto de la forma escalonada de una matriz? Pues la
idea es intentar conseguir una matriz que sea triangular superior. Yo tengo
mi matriz y quiero conseguir una matriz que sea triangular superior
haciendo estas operaciones. Entonces vamos a ver un ejemplo. Imaginaos que
yo tengo la matriz uno, dos, menos uno menos uno, dos, tres tres, menos uno
menos dos. Y yo voy a hacer operaciones fila para intentar transformar esta
matriz en una matriz triangular superior. Entonces mi primer objetivo es
convertir estos números en cero. Porque quiero que sea triangular superior
y eso me va a dar lo que se llama la forma escalonada. Luego veremos por
qué se llama así. Entonces la mejor manera de hacerlo o una manera que es
muy conveniente es intentar tener aquí arriba un número, un uno a ser
posible. Pero bueno, vamos a trabajar con este que tenemos que de momento
es un uno, o sea que está bastante bien. Y a este número ahora veréis
después por qué le vamos a llamar pivote. Esto será el pivote de la
primera fila. Entonces vamos a empezar por el que debajo de los supuestos
estos pivotes que vamos a obtener hay que hacer ceros. ¿Cómo podemos
hacer un cero en el menos uno que hay debajo del uno? Pues lo primero que
podemos hacer Eso lo podemos hacer para quitarnos el tres. Vamos a
quitarnos primero el menos uno y luego nos quitamos el tres. Entonces para
quitar este menos uno de aquí lo que quería hacer era decir que a la fila
dos le voy a sumar la fila uno, multiplicada por uno. Yo puedo hacer cosas
entre filas, filas completas. Entonces la fila uno no la toco. La fila dos
sin embargo, le sumo la fila uno y entonces hago la suma menos uno más uno
cero. Y la fila dos es la que se transforma. Por eso supongo que la fila
dos la transformo en la fila dos más la fila uno. Dos y dos cuatro y tres
y menos uno ¿Esto lo he copiado bien o lo he copiado mal? Quería empezar
con esta matriz. Entonces esto es un menos cuatro. Tres menos uno y menos
dos. Y ahora decía vuestro compañero, ¿qué puede ser? ¿Qué puedes
hacer para quitarte el siguiente número que es este tres que tienes aquí?
Vamos a seguir haciendo ceros. Quiero este tres se transforme en un cero.
Bueno, ¿qué es lo bueno de tener un uno en la posición que hemos dicho
de pivote? Que es el pivote de la primera fila, que es este de aquí. Que
yo puedo multiplicarlo por el número que tenga que hacer un cero y restar.
Puedo decir lo multiplico por tres y resto. Entonces si la fila tres la
transformo en que a la fila tres le resto tres por la fila uno la uno y la
dos no las estoy tocando y la tres, hago tres menos uno por tres. O sea,
tres menos tres, cero. Menos uno menos dos por tres. Dos por tres son seis.
Menos uno menos seis, menos siete. Menos dos menos tres por menos uno. Tres
por menos uno es menos tres. Menos dos menos menos tres. Es menos dos más
tres, que es uno. ¿Vale? Ya me he hecho dos ceros. Me falta este. Ahora
aquí la cosa se complica un poquito. Porque ya no tengo un uno para
trabajar. Este era el pivote de la primera fila y ahora hemos conseguido lo
que sería el pivote de la segunda fila. El pivote de una fila es el primer
elemento que es diferente de cero en este proceso de conseguir una matriz
triangular superior. Lo que pasa es que es posible que por el ejemplo de la
matriz que nos diera, este cuatro de aquí nos hubiera salido cero.
Entonces el pivote no tiene por qué estar precisamente en la diagonal.
Puede estar un poquito más a la derecha. Por eso la matriz que nos quede
se va a llamar escalonada. Porque la idea es que vaya haciendo
escaloncitos. Lo que pasa es que los escaloncitos no tienen por qué ser de
a uno. A veces el pivote está más a la derecha que en la diagonal. Esa
opción del número cuatro, en este caso sí, porque podrías deshacerte,
este sería tu pivote, y podrías deshacerte de todos los términos de
aquí abajo. O si aquí no te queda un cero, tendrías que hacer el cambio
entre la dos y la tres. Entonces tu pivote de la segunda columna lo
tendrías en la fila tres. Siempre tienes que ir reorganizando. Si te van
saliendo ceros pero hay algún término que no es cero, que te puede valer
de pivote, lo tienes que subir. En este caso sí que nos ha salido aquí un
pivote. Entonces, ¿cómo nos deshacemos de ese menos siete? Pues hay que
utilizar fracciones. Hay que decir, como mi pivote es un cuatro pues a la
fila tres yo lo voy a transformar en la fila tres menos esto lo quiero que
se convierta en un siete o en un menos siete para restar o en un siete para
sumar. ¿Cómo convierto un cuatro en un siete? Lo tengo que multiplicar
por siete partido por cuatro. Si multiplico cuatro por siete partido por
cuatro, y ahora en este caso tengo que sumar cuatro por siete partido por
cuatro, aquí me queda que es la fila dos. Esto no se ve pero es un siete.
Cuatro por siete partido por cuatro son siete. Entonces ya está ese siete
que hace que cuando sume cuatro por siete partido por cuatro son siete
siete más menos siete es cero. Este de aquí los nueve el resultado no es
menos cuatro sino siete. Pero no la multiplicas tú solo cambias la que
transformas y la que transformas es la fila tres. La fila tres la
transformas en la fila tres más tal por la fila dos. Tú solo cambias la
que transformas. La que transformas es esta, el menos siete se transforma
en un cero y el uno es uno más siete partido por cuatro por menos cuatro.
Siete partido por cuatro por menos cuatro son menos siete porque los cuatro
se van es siete por menos uno. Menos siete más uno menos seis. Y nos ha
parecido lo que sería el tercer pivote. El número de pivotes que tiene la
forma escalonada de una matriz que es el resultado final de todas estas
operaciones es lo que se llama el rango. Esta matriz tiene rango tres y
esto se llama la forma escalonada de la matriz. Porque hace escaloncitos.
La forma escalonada de una matriz necesita que en cada o que tengas en cada
fila un primer elemento distinto de cero que es el pivote o todos ceros.
Las filas de todos ceros van abajo del todo. Las ponemos abajo del todo. Y
debajo de cada pivote en la columna tiene que haber todos ceros. Debajo de
cada pivote todos ceros. Entonces al final esas exigencias hacen que la
forma que va teniendo esta forma de escalonada. Pero ya os digo que una
matriz como esta también es escalonada y no tiene sus pivotes en la
diagonal sino que el escalón hace así. También es una forma escalonada
esta matriz. Hay diferentes tipos. Esta tiene rango dos porque solo tiene
dos pivotes. Y el rango es un invariante. Un invariante por esta
equivalencia las matrices, las operaciones elementales fila son una
equivalencia. Significa que si yo calculara el rango de otra manera ¿qué
se puede hacer? Las matrices tienen el mismo rango. El rango es invariante
para la operación elemental fila. Pues esto es un problema de examen. El
problema de examen no te pedía que calcularas el rango ni la forma
escalonada pero te hablaba de una cosa que es la factorización LU. La
factorización LU de una matriz paso página factorización LU y con esto
voy a acabar. Es escribir una matriz como un producto de una L por una U.
¿De dónde vienen la L y la U? L viene de Lower. En inglés Lower viene de
triangular inferior. Lower, inferior. Y la U viene de Upper, triangular
superior. Upper, triangular superior. Entonces es escribir una matriz como
un producto de una triangular inferior con una triangular superior. Y esto
se hace mediante el proceso de matrices elementales. Lo que pasa es que
cada operación elemental fila se puede corresponder con una matriz. Y la
matriz a la que corresponde cada operación elemental es el resultado de
aplicarle la misma operación a la matriz identidad, lo vuelvo a decir.
Cada operación elemental se puede corresponder con una matriz y esa matriz
es el resultado de aplicarle esa operación a la identidad. Por ejemplo en
una matriz 3x3 si yo considero la operación cambiarla a fila 1 por la fila
2 esta operación tiene asociada una matriz y es el resultado de hacerle
esta operación a la identidad. Si la identidad es esta ¿qué pasa si
aquí cambio la fila 1 por la fila 2? Pues que aquí me queda la fila 2 y
aquí me queda la fila 1. Entonces esta es la matriz elemental que yo la
llamo 1-2 no sé la notación que usa en el libro porque todavía no tengo
el libro, lo voy a recoger ahora en la biblioteca, que es el resultado de
cambiar la fila 1 por la fila 2 si la fila lo que estoy haciendo es
multiplicarla por un número la matriz correspondiente la llamo a la fila 1
la multiplico por un número y yo la denoto así, ya os digo que no me
acuerdo no sé la notación que usa en el libro porque aún no lo he mirado
y es el resultado de la matriz identidad multiplicarle la fila 1 por 3 es
lo mismo si lo que hago es que a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada
por 2 pues la a la identidad la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por
2, aquí en la identidad doy un 0 cuando le pongo aquí un 2 esta es la E a
la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por 2 entonces lo que dice la
teoría es lo siguiente hacer una operación elemental fila es lo mismo que
multiplicar por una matriz elemental por la izquierda hacer una operación
elemental fila es lo mismo que multiplicar por la matriz correspondiente
elemental por la izquierda entonces yo a la matriz A, en el ejercicio
anterior lo primero que le he hecho lo primero que le he hecho era sumarle
la fila 2 más la fila 1 entonces esa sería a la fila 2 le sumo la fila 1
multiplicada por 1 a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicada por 1 esta
matriz que es el resultado de multiplicar la E por la A, es esta matriz y
si hacéis los cálculos sale vale entonces la idea está en que tu puedes
ir haciendo todas estas operaciones pero pensando en las matrices y cada
vez que haces una operación vas escribiendo una multiplicación a la
izquierda, la siguiente es la E3 1-3 y la última es la E3 2 7 cuartos la
E3 1-3 y la E3 2 7 cuartos, estas son todas las operaciones que hemos hecho
para llegar hasta la matriz escalonada que es triangular superior pues
resulta y ya lo veremos el próximo, o sea lo veremos yo luego subiré un
vídeo donde haré más ejercicios de estos porque no hemos podido hacer la
clase entera entonces si yo a esta matriz la llamo B resulta que las
matrices elementales son todas regulares, tienen todas una inversa cuando
las multiplicas matrices regulares también obtienes una matriz regular o
sea que esta matriz tiene inversa cuando una matriz tiene inversa la puedes
pasar al otro lado con la inversa esta igualdad U es igual a la igualdad U
es igual a B por A la puedo transformar en B-1 por U es igual a
multiplicando por la inversa a los dos lados la izquierda esta B-1 resulta
que es triangular inferior y por lo tanto esta es la L entonces lo he hecho
a toda velocidad pero esta es la manera de sacar la factorización el EU,
con lo que quiero que os quedéis es que se pueden hacer una cosa que son
operaciones elementales y eso nos permite sacar una matriz que se llama
escalonada que resulta que es triangular superior y que nos sirve en la
factorización el EU entonces ahora cuando suba el vídeo haremos más
ejercicios de esto y esto es un ejercicio de examen, más ejercicios de
exámenes parecidos y ya dejamos para el próximo día determinantes y
sistemas de ecuaciones y haremos un repaso, si también vemos que no da
tiempo porque quería empezar hoy con determinantes pues también os
subiré un vídeo y ya en estas dos tutorías hacemos toda la parte de
determinantes y de sistemas de ecuaciones vale, porque lo dejamos aquí si
tenéis alguna duda como voy un poquito tarde para la de cálculo me
escribís un correo y lo solucionamos vale no es que le gusta un examen por
eso lo he puesto