Vamos allá. Bueno, vamos a empezar un poquito con la teoría de cálculo.
Entonces he estado mirando los apuntes. En la parte de hoy nos toca hablar
de sucesiones, de límites de sucesiones y de series. Y aparte de mirar los
apuntes, una cosa que hago yo siempre que hago una tutoría es mirar los
exámenes. Y centrarme en hacer ejercicios en la tutoría de cosas que
preguntan en el examen. Y lo que no preguntan en el examen, os lo dejo que
lo miréis vosotros. Que lo pueden preguntar este año, sí, pero si ha
salido menos, pues yo considero que es menos probable que salga. Y entonces
miro más lo que más ha salido. Entonces, os preguntan mucho, no todos los
años, pero muchos años salen límites y algún año ha salido alguna
serie. Entonces vamos a hacer más límites y luego hablaremos de alguna
serie. Límites de sucesiones, que además son iguales casi que los de
funciones, que los veremos el próximo día. O sea, que el siguiente día
seguiremos haciendo límites que son muy parecidos los de sucesiones y los
de funciones. ¿Qué? ¿Qué es una sucesión, para empezar? Una sucesión
es un conjunto de números que están ordenados y tienen una
correspondencia con los números naturales. ¿Qué quiere decir que tienen
una correspondencia con los números naturales? Pues que hay un primer
número, un segundo número, un tercer número. Y a esta una sucesión la
podemos llamar así, a sub n. O también así, a sub n. A veces se usan los
corchetes, os veréis a veces con corchetes y a veces con paréntesis. Este
n es el número de la sucesión. El índice de la sucesión representa los
números naturales. Entonces, si yo pongo a sub 3, este es el tercer
término de la sucesión. El 3 indica el número, el orden del término. Y
el a es el nombre que se da al término generado. Simplemente una letra
para denotar esa sucesión y no otra. Entonces, ejemplos de sucesiones.
Pues, por ejemplo, puede ser... ¿Cómo se le suele usar? Exacto, como con
las matrices, pero ahora tenemos un solo índice porque no tenemos filas y
columnas, sino que solo tenemos... Una diversión, es el primero, el
segundo, el tercero, el cuarto. Y tenemos infinitos términos. Esto es
fundamental. En las sucesiones tenemos infinitos términos, tantos
términos como números naturales. Pues tienes el 500 y tienes el 500
millones y el 500 mil, mil, mil, mil millones. Entonces, por ejemplo, la
sucesión de los números naturales es una sucesión. Y esto no acaba
nunca. También podemos hacer la sucesión de los números pares. Podemos
hacer... El 1, el 2, el 3, el 5... El 5, el 8... Esta es la sucesión de
los números de Fibonacci, así, muy famosa. Y cuando, por ejemplo, esto es
una constante, que a lo mejor es solo n, ¿qué debería decirte? n es
igual a 5. Pues sería la sucesión constante 5, 5, 5, 5, 5... Y si a esta
sucesión la llamo x sub n, pues yo lo que diría es x sub n es igual a 5
para todo n en n. Este signo, en matemáticas, significa para todo, para
cualquier valor. Para cualquier valor, n, este signo significa pertenece a
los naturales. Cualquier número natural. Para cualquier valor natural,
para cualquier orden, cualquier posición... Mi elemento de sucesión vale
5. Entonces, sucesiones hay de muchos tipos. Por ejemplo, el compañero ha
propuesto una sucesión constante. Esta es una sucesión constante porque
todos los términos valen lo mismo. También tenemos sucesiones, estas tres
son sucesiones crecientes. Creciente significa que cada término es mayor o
igual que el anterior. Entonces, una sucesión es creciente si se cumple, y
la manera de escribirlo matemáticamente así correctamente, que el
término siguiente al a sub n es el a sub n más 1 es mayor o igual que el
término. El término siguiente es mayor o igual que el anterior. a sub n
más 1 es mayor o igual que a sub n. Esto es que sea creciente. Para
cualquier n, tiene que... Si tú comparas dos consecutivos, siempre tiene
que ser más grande. No puede ser un ratito creciente y un ratito
decreciente. Entonces, no decimos ni que sea creciente ni que decreciente
la sucesión. De hecho, cuando decimos que es decreciente, lo que pasa es
lo contrario. Que cada término es igual o menor que el anterior. A todas
estas las llamamos monótonas. Porque tienen una tendencia monótona, que
no cambia de ritmo. El ritmo es siempre el mismo. O es un ritmo que crece o
es un ritmo que decrece. Por eso se dice que son monótonas, porque no
cambian de ritmo. ¿Qué más cosas puede hacer una sucesión? Cambio de
página. Una sucesión también puede decirse que está acotada o no
acotada. Entonces, el ejemplo, los números naturales, es una sucesión que
no está acotada. Que no está acotada quiere decir que no tiene un valor
máximo o mínimo. En este caso, la sucesión de los naturales es una
sucesión que no está acotada superiormente. Porque no tiene un valor
máximo. Eso crece y crece y crece y no acaba nunca de crecer. Sin embargo,
sí que está acotada inferiormente. Entonces, decimos que una sucesión o
un conjunto en general está acotada superiormente. Si existe, este es el
símbolo matemático para existe, un cierto número positivo. De manera que
todos los números son iguales. Todos los números no superan ese positivo.
Todos los números de la sucesión son menores o iguales que esa cota. Esa
es una cota superior. A esto le llamamos cota superior. Por ejemplo, si
tenemos la sucesión 1, 1 más 1 medio. Hola. ¿Hola? ¿Pasa el cálculo?
Sí, pasa. Ah. Es que tengo un fallo técnico. Es que hemos tenido un fallo
técnico y nos han tenido que trasladar a esta sucesión. Ah, perdón.
Mirad esta sucesión. Empezamos, voy a empezar en 2 mejor. Empezamos en 2.
1 más 1 medio. 1,5. 3 medios. 1 más 1 tercio. 1,3, 3, 3, 3, 3. 4 tercios.
¿Vale? Estos 2. Estos son 3 medios. Estos son 4 tercios. 5 cuartos. 6
quintos. Esta sucesión, por ejemplo, diríais que es creciente,
decreciente, nada. Es decreciente. Cada término, lo que le añades al 1 es
un poquito más pequeño. Por lo tanto, cada término es un poquito más
pequeño que el anterior. Y además es una sucesión que decimos acotada,
tanto inferiormente como superiormente, porque todos los términos son más
pequeños o iguales que 2. El primero es igual que 2. El resto son todos
más pequeños que 2. Y además resulta que todos los términos son mayores
o iguales que 1. Porque ¿cómo estoy construyendo todos los términos? Los
estoy construyendo como 1 más 1 partido por n, donde n es un número
natural. Entonces siempre son mayores o iguales que 1 y esto es lo que
decimos, que la sucesión está acotada inferiormente. Es que existe un
número, que puede ser en este caso también negativo, da igual. Un número
real, positivo o negativo, de manera que la sucesión, todos los términos
son más grandes que ese número. Entonces podemos tener sucesiones
acotadas, superiormente e inferiormente, y decimos acotadas o solo
superiormente o solo inferiormente, o que hagan lo que quieran y que cada
vez sea... Si tenemos la sucesión 1 menos 1, 2 menos 2, que cada vez va
alternando el signo, entonces crece tanto en los positivos como en los
negativos. No es ni creciente ni decreciente, porque va dando saltos. El 1
es más grande que el menos 1, pero este es más pequeño que el 2. Y el 2
es más grande que el menos 2, pero el menos 2 es más pequeño que el 3.
Entonces va dando saltos. Ni crece ni decrece. Sin embargo no está
acotada. No la puedes meter, si dibujas la recta real, no la puedes meter
en un intervalo en la recta real. ¿Qué más cosas pueden pasar con las
sucesiones? Tenemos que sean crecientes o decrecientes, que a veces las
llamamos monótonas o que no lo sean, que sean acotadas o que no lo sean y
una cosa que nos va a interesar mucho es que sean convergentes o que no lo
sean. Entonces, ¿qué significa esto de convergentes? A veces observamos
en la tendencia de los términos de una sucesión que se van aproximando a
un número. En la de 1, 2, 3, 4, en la sucesión de los números naturales
no hay ningún comportamiento más allá de que eso cada vez se hace más
grande, pero no se va aproximando a algún número. Siempre que tú fijas
un número, en el momento de la sucesión pasa cerca de ese número y lo
pasa. Sin embargo esta sucesión cada vez está más cerca del 1. Estos
términos se van acercando poco a poco al 1. Nunca llegas a alcanzar el 1
porque todos los términos son de la forma 1 más 1 partido por n, entonces
nunca llega ninguno de los términos a ser el 1, pero estamos cada vez más
cerca. ¿Por qué? Porque 1 partido por n cada vez es un número más
pequeño. 1 partido por n es una sucesión que tiende a cero o lo que
decimos también es que existe el límite cuando n tiende a infinito.
Cuando la n se va haciendo cada vez más grande es lo que significa cuando
n tiende a infinito de 1 partido por n y es igual a cero. ¿Vale?
Convergentes. Las sucesiones que tienen límite son las sucesiones
convergentes, entonces una sucesión puede ser convergente, voy a pasar la
página y lo escribo, por ejemplo la 1 partido por n es sucesión
convergente. Y entonces os voy a escribir la definición porque os la
tienen que haber escrito alguna vez en vuestra vida y luego si veis que os
hace falta deberíais saberosla. Pero yo ahí no me voy a meter. Una
sucesión es convergente o tiene límite l, sí, y la definición dice lo
siguiente, para todo epsilon mayor que cero existe, epsilon es la
distancia, ¿qué quiere decir que tenga límite? Que los términos se
aproximan infinitesimalmente a ese valor de límite. Por ejemplo con la
sucesión 1 partido por n que tiende a cero, los términos cada vez están
más cerca de cero. ¿Cómo de cerca? Da igual lo cerca que tú me digas,
ese epsilon quiere decir el zoom que tú hagas, la lupa que tú tengas, lo
cerca que te quieras aproximar a cero, da igual lo que te quieras aproximar
a cero, que existe un lugar, un n cero, una posición en los términos de
la sucesión a partir de la cual, de forma que si estás más allá de esa
posición, existe una posición n cero, mil, a partir del término mil o a
partir del término un millón, el que sea, de manera que si estás más
avanzado en esa posición, tu término dista del límite menos que epsilon.
La distancia entre el término y el límite es menos que epsilon, entonces
esto lo que significa es que da igual la distancia que tú le pongas del
límite, siempre hay un momento a partir del cual los términos están así
de cerca del límite, da igual digas que ese epsilon es cero coma cero cero
cero cero cero cero cero uno, hay un momento a partir del cual los
términos de la sucesión están tan cerca del límite. Esto es lo que
quiere decir la definición de límite, o la definición de sucesión
convergente, que quiere decir que tiene límites. Nosotros en la práctica
lo que vamos a hacer es calcular límites, entonces no vamos a gastar la
definición como tal, lo que vamos a gastar son trucos para cuando nos den
una sucesión averiguar cuál es el límite. También hay sucesiones que se
llaman divergentes, que son las que tienen límite más infinito o menos
infinito. Por ejemplo, tenemos una sucesión que tiene un límite más
infinito y una sucesión que tiene límite más infinito, o la definición
sería que para todo k mayor que cero existe una posición, para todo
número da igual lo grande que sea, existe una posición a partir de la
cual los números son todavía más grandes. Da igual el número, lo grande
que me lo digas, yo puedo encontrar que a partir de ahí todos los
términos que me quedan de la sucesión, que son infinitos porque da igual
que sean los términos de la sucesión a partir de mil millones, es que hay
infinitos términos, todos esos son más grandes. ¿Vale? Por ejemplo,
estamos contando la sucesión de los números pares que es divergente a
más infinito porque cada vez se hacen más grandes, pues yo te digo mil
millones, pues es que el mil millones dos, el mil millones cuatro, el mil
millones seis, a partir del mil millones todos los términos son más
grandes que el mil millones. También podrían ser divergentes a menos
infinito y luego hay otras que no son divergentes ni convergentes. Por
ejemplo, la sucesión uno menos uno, uno menos uno, uno menos uno, dan y
convergen y divergen dando saltitos. No se aproxima a ningún número,
tampoco se escapa a más infinito, tampoco se escapa a menos infinito.
Entonces, ¿cómo vamos a calcular nosotros en la práctica límites? Pues
tenemos diferentes tipos de límites. Lo normal es sustituir. Entonces, si
yo te digo calcula, ejercicio, ¿no? Calcula el límite cuando n tiende a
infinito de uno para tres. Lo vuelvo a decir, a ver cómo lo explico. Lo
normal de los límites es sustituir. El problema es que cuando calculamos
límites de sucesiones la n tiende a infinito, por infinito no se puede
sustituir. Entonces, yo te digo el límite de tres n más cinco, cuando la
n tiende a más infinito, pues esto es más infinito. Aquí estamos más o
menos sustituyendo en el sentido de que... Si los números cada vez son
más grandes, si lo multiplico por tres, pues todavía se hacen cada vez
más grandes. Entonces, el límite de cualquier polinomio, polinomio es,
por ejemplo, que es n al cuadrado menos siete n más dos, es infinito. Si
es este de aquí, es menos infinito el límite, porque aquí hay un menos
seis. Este número cada vez es más grande, pero el menos seis lo cambia de
signo. Siempre manda el que tenga mayor grado, con el menos. Siempre manda
el que tenga... Porque es el número más grande al final. Elevar un
número al cuadrado siempre te va a quedar más grande, un número natural,
porque aquí estamos en la n representa números naturales, siempre te va a
quedar más grande que multiplicarlo por siete simplemente, o el dos, al
menos en un momento dado. Como la n crece sin parar, al final el
coeficiente que manda... Para ver el signo. Para ver el signo del infinito
en los polinomios siempre es el que se llama coeficiente director del
polinomio, el que acompaña al término de mayor grado. Entonces, a
vosotros muchas veces lo que os van a... El primer tipo de ejercicio que os
pueden preguntar ya es un cociente entre polinomios. Cuando hacemos un
cociente entre polinomios llegamos a una cosa que se llama una
indeterminación. ¿Qué significa esto de indeterminación? Por ejemplo,
el límite de dos n más uno partido... Cuando n es menos tres, cuando n
tiende a infinito. Tú te puedes poner aquí, empezar a calcular términos
si quieres. Esto es una sucesión. Entonces tú si quieres puedes empezar a
calcular términos. Pues para n igual a uno, arriba me da tres y abajo
cero. Toma ya. Para n igual a uno no. Para n igual a dos. Arriba me da
cinco. Y abajo me da... Ah, para n igual a dos. Ah, no. Para n igual a uno
está bien. El problema es n igual a tres. No. Y si lo estoy haciendo lo
que voy a hacer, va a ser uno en esto. Si es que me he rayado. Arriba es
tres y abajo es uno menos tres menos dos. ¿No? Tres menos dos. Para n
igual a dos, cinco partido por menos uno. Este no se puede calcular. Lo
quitamos. No existe. No se puede dividir entre cero. Con números no se
puede. No puedes dividir entre cero. No se puede hacer. Es imposible. No
existe. Esto os lo tenéis que meter en la cabeza. No se puede dividir
entre cero. Aunque dentro de un reto vamos a dividir entre cero, pero no se
puede. Para n igual a cuatro. Nueve partido por uno. Nueve. Para n igual a
cinco. Once partido por dos. Once medios. Para n igual a seis. Trece
partido por tres. Esto se va aproximando a un lado. No lo sabemos.
Entonces, ¿qué es lo que podemos hacer? Lo que sí que sabemos es que el
límite de uno partido por n es cero. Y también sabemos que podemos hacer
operaciones entre límites. Podemos sumar límites, como con las derivadas.
Podemos sumar, en vez de calcular el límite de a sub n más bn, lo podemos
obtener haciendo el límite de a sub n y a eso le sumamos el límite de b
sub n. Podemos separar por sumas. Podemos separar por restas. Podemos
separar por productos. Por productos, por un escalar. Todo lo que sea
operaciones, no hace falta que hagamos el límite del tocho. Podemos hacer
el límite en pequeñito. Entonces, el límite del cociente lo podemos
calcular como el límite de lo de arriba partido el límite de lo de abajo.
Siempre podemos ir haciendo operaciones. El problema es que lo de arriba es
un polinomio que tiende a infinito y lo de abajo es un polinomio que tiende
a infinito. Entonces llegamos a infinito partido por infinito, que es una
barbaridad en la escritura porque estás escribiendo cosas que no son
números y las están dividiendo, cosa que no se puede hacer. No son
símbolos. Esto es una indeterminación. Son símbolos que lo que quieren
decir es que tenemos un límite en el que la situación es que hay un
cociente de una cosa que tiende a más infinito arriba y una cosa que
tiende a más infinito abajo. El trabajo en límites para el examen y los
apuntes es resolutivo. Hay que resolver indeterminaciones, comprender cómo
se calculan límites y resolver indeterminaciones. Hay cuatro tipos de
indeterminaciones básicas y otras que se convierten en una de ellas.
Entonces hay una, dos, tres, tres o cuatro estrategias para aprender a
resolver límites y cada una sirve para un tipo de indeterminación. Vamos
a ver la estrategia para la infinito partido por infinito, que es
equivalente a cero partido por cero, la mayor parte de las veces. Entonces
qué es lo que hay que hacer? Hay que aprovecharse de que conocemos. Que el
límite de uno partido por n es cero. Entonces lo que voy a hacer, en vez
de escribir esto de infinito partido por infinito, cuando ya has
identificado que tu indeterminación es del tipo infinito partido por
infinito, lo que vas a hacer es lo siguiente. Divides todo por n o por n al
cuadrado o por n al cubo o por n a la cuarta. Lo normal es dividir si
coinciden en grado por el por el n elevado al grado. En este caso el
polinomio de arriba es un polinomio de grado uno porque tiene solo la n y
el de abajo también. Entonces podemos dividir arriba y abajo por n. Qué
quiere decir esto de dividir arriba y abajo por n? Pues yo escribo lo de
arriba divido por n y lo de abajo divido por n. Me queda igual, no he hecho
nada porque si divido en una fracción arriba y abajo por el mismo número
por las fracciones y me quedo igual. N partido por n es uno. Cambiar no he
cambiado nada, solo voy a hacer truquitos. Es. O sea que esta igualdad es
cierta, no he hecho nada más que escribirlo de otra forma. Y ahora esta n
la voy a separar aquí como esto es una fracción, ¿cómo se suman
fracciones? Pues con denominador común pero aquí en vez de sum juntar lo
que quiero hacer es separar. Pues esto es el límite de dos n partido por n
más uno partido por n y el límite de n partido por n menos tres partido
por n. Lo voy a arreglar un poquito. Esto es el límite. N y n fuera. Se
van. N y n fuera, se van. Dos n partido por n es dos y n partido por n es
uno. Y ahora ¿qué pasa? Que como el límite de uno partido por n es cero
esto tiende a cero. Como límite de uno partido por n es cero, el de tres
partido por n, el de cinco partido por n, algo, un número fijo constante
partido por n o por n al cuadrado o por n a la n por algo que tiene
infinito, algo. algo, partido por algo fijo, constante, partido por algo
que tiene infinito, se va a cero. Porque cada vez se hace más pequeño. Se
va a cero. Cuando yo tengo una constante dividido por algo que tiene
infinito, se va a cero. ¿Por qué? ¿Qué significa dividir por algo que
tiene infinito? Significa dividir por algo que es cada vez más grande,
cada vez más grande. Cuando tú divides por algo muy grande, el resultado
es muy pequeño. Como dividir una pizza entre 100 personas, pues sale solo
de poco. Pues esta es la misma historia. Entonces, las operaciones que
puedes hacer en los límites suma producto división, potencia, te permite,
en vez de hacer el límite grande, hacer estos límites pequeños y este
límite es. Esto puede ser un ejercicio de examen, ¿no? No. Esto es casi
un ejercicio de examen. Esta es la primer tipo de determinación que es la
más fácil. Esto es nunca caer. Pero las siguientes... ¿Qué hablamos en
el picado? ¿Eh? ¿Qué hablamos en el picado? Este es, claro, al final es
lo que hemos hecho sacar factor común de la n de mayor grado, ver si se
cancelaba o no. Esto lo puedes ver de la misma manera. ¿Qué es lo que
hemos hecho? El truquito también lo puedes ver como decir, bueno, pues yo
saco factor común de la n de mayor grado. Imagínate que ahora lo que yo
tengo es que mi límite es 3n-7 partido n al cuadrado más n. Entonces, no
me gusta esto de dividir. No me ha quedado. Pues saca factor común de la n
de mayor grado de cada polinomio. El polinomio de arriba, el mayor grado es
n. ¿Cómo saco factor común de n aquí? No puedo. Aquí no tengo n. No
pasa nada. Divides. Te inventas una n dividiendo, le pones el n partido por
n que es igual a 1 y sacas otra fuera. ¿Veis que esto es lo mismo? Al
multiplicar n por 7 partido por n se queda un 7. Saco del más grande aquí
también. De manera que cuando los polinomios que me queden arriba y abajo
empiecen por numerito. Y todo lo demás sea 1 partido por n, 1 partido por
n al cuadrado, 1 partido por n al cubo, bla, bla, bla, bla, bla, bla, bla.
Y ahora hago las operaciones entre las n. Antes se me han ido. Ahora no se
me van. En el infinito de 1 partido por n por 3 lo pongo abajo que aquí no
sé si me cabe. Bueno, me aprieto un poco. 3 menos 7 partido por n, no sé
si cabe. 1 más 1 partido por n. Entonces 7 partido por n tiende a 0. 1
partido por n tiende a 0. Esto tiende a 3. Por lo mismo que hemos hecho
antes. Eso tiende a 3. ¿Y esto a qué tiende? A 0. 1 partido por n tiende
a 0. Entonces tengo un producto. Una cosa que tiende a 3 y una cosa que
tiende a 0. El resultado final tiende a 3 por 0, que es 0. El límite es 0.
Porque gana el de abajo. Cuando tienes un cociente de polinomios la idea es
¿quién gana? En grado. El de abajo, el límite es 0. El de arriba, el
límite es más o menos infinito en función de los signos como van.
Empatados, hay que mirar los coeficientes de la n de mayor grado. En este
caso teníamos coeficiente 2 y coeficiente 1. El resultado es 2 partido por
1. El coeficiente hubiera sido 7 y 4. El resultado habría sido 7 partido
por 1. Pero el truco es este. Aunque esto no sale en el examen tal cual,
cosas iguales que estas pero más complicadas donde hay que hacer esto todo
el rato, sí. Lo que pasa es que son ejercicios de más pasos. Y consisten
en resolver otro tipo de indeterminaciones. Vamos a ver indeterminación
number 2. Estas son las de infinito partido por infinito. Y ahora vamos a
hacer las de infinito por 0 o 1 elevado a infinito que son equivalentes.
¿De dónde salen estas? Estas salen del número e. No sé si alguna vez os
han presentado el número e pero el número e es un número muy importante,
es un número trascendental lo que significa que es eso da igual. Pero
bueno, es un número irracional con infinitos decimales que no siguen
ningún patrón y surge porque es el límite de esta sucesión. Esta
sucesión que da un número que es 2,7172 no sé qué, no sé cuántos y a
ese número le llaman e. ¿Vale? Esta sucesión es 1 más 1 partido por 1
que es 1 elevado a 1 que es 2 1 más 1 partido por 2 que son 3 medios
elevado a 2 4 tercios elevado a 3 5 cuartos elevado a 2. 4 elevado a 4,
etc. La gracia de esta sucesión es que lo de dentro tiende a 1 Lo de
fuera, el exponente tiende a infinito. ¿Cuánto es 1 elevado a infinito?
Es una indeterminación. Depende del límite, valdrá una cosa u otra. Esta
en concreto vale e. Entonces vamos a aprovecharnos del número e para
calcular este tipo de indeterminaciones. Entonces la idea es y aquí hay
dos maneras de hacerlo. O buscas buscas esto o algo parecido lo que tienes
es por un lado esto y por el otro lado tienes que el límite a ver que no
lo ponga mal de 1 más x partido por n elevado a n es e elevado a x
Entonces o usas la fórmula roja esta que he puesto aquí y te la aprendes
o usas esta. Si el límite de a sub n es igual a 1 y el límite de b sub n
es igual a infinito entonces se puede escribir de dos maneras. No sé cómo
están los apuntes ahora mismo. El límite de a sub n elevado a b sub n 1
elevado a infinito a sub n, 1 tiende a 1. b sub n tiende a infinito 1
elevado a infinito es lo mismo que e elevado al límite de b sub n por a
sub n menos 1. Dos fórmulas diferentes. Podemos usar la que queramos. Ya
las he cascado aquí Esto es casi toda la teoría de sucesiones. Luego
está el tema de las series. Vamos a poner un ejemplo en el que tenemos que
usar esto. Vamos a ver uno sencillo. ¿Qué pasa si a mí me dan este
ejercicio? Calcular el límite de n menos 4 partido de n más 1 elevado a
n. Lo primero, que no cunda el pánico, tú lo miras y dices ¿qué es lo
que tengo? Lo primero que veo es que hay un exponente ahí y el exponente
es una n y la n tiende a infinito o sea que tengo un exponente que tiende a
infinito Vamos a ver a qué tiende la base de la potencia lo que tengo
dentro porque si es 2 por ejemplo 2 elevado a cada vez más grande se va
haciendo cada vez más grande y se tiene infinito. Si es 0,5 cuando 0,5 lo
multiplico por sí mismo muchas y muchas y muchas veces que al final es 0,5
elevado a 2, 0,5 elevado a 3 0,5 elevado a 4 se va haciendo más pequeño
multiplicar por 0,5 es hacer la mitad entonces cuando yo elevo un número a
n si es más grande que 1 se me va haciendo cada vez más grande y va a
infinito. Si es más pequeño que 1 se va haciendo cada vez más pequeño y
va a cero pero si lo que tengo tiende a 1 es donde aparece la
indeterminación entonces lo que hay que mirar es cuál es el límite de la
base de la potencia que es lo que tengo dentro. El tema es que sabemos que
el límite de n es más infinito, el exponente y habría que calcular
quién es el límite de n-4 partido de n-1 ¿Cómo lo hacemos? Esto tiende
a 0 esto se va con esto