Grabación iniciada correctamente. Vale, seguimos, que se había muerto
esto en el tab. ¿Me oís? No sé si me oís. Voy a seguir. Vale, guay. Uno
elevado a infinito, indeterminación. Indeterminación significa que el
resultado está indeterminado. Es decir, que solo con la información que
tenemos no hemos determinado cuál es el resultado. Hay que seguir
trabajando. Entonces aquí es cuando hay que, uno, o buscar el número E, o
dos, aplicar la fórmula. Vamos a hacerlo buscando el número E, que es
más didáctico, y yo soy profe magisterio, y esto de la didáctica me tira
mucho. Entonces, cambio de página. Vamos allá. El límite que tengo es
este. ¿Es menos cuatro? Sí, ¿no? Vale. ¿Qué significa esto de buscar
lo del número E? El límite del número E es este. Uno más uno partido
por N tiende a E. Entonces yo voy a querer escribir esto como uno más
algo. Entonces lo primero que voy a hacer para escribirlo de uno más algo
es, en vez de complicarme la vida, escribir uno más esto menos uno. Esto
lo voy a juntar. Lo junto. Y ya lo voy a tener como uno más algo. Es un
truco. Al sumar y restar uno, no cambio lo que hay dentro. Me quedo igual.
Ah, vale. Y así, en vez de intentar sacar el uno de dentro, así en plan
parto, pues lo que hago es simplemente sumar y restar uno y ver qué pasa.
Vamos a juntar eso. Hacemos mínimo como si hacemos como un denominador. N
más uno. El N menos cuatro que teníamos, ¿cómo hacemos como un
denominador? Este menos uno se multiplica por el N más uno, me queda menos
N menos uno. Este menos uno se multiplica por el denominador para crear una
fracción. Menos uno por N más uno partido por N más uno. Se queda de
esta manera. Lo arreglo. La senes se va a... ¿Dónde se escoge? ¿Dónde
se escoge el N menos cuatro menos N menos uno? La senes se va a... Ah, más
la... Aquí está, se ha juntado. Vale, entonces ahora... El problema de no
aplicar la fórmula. Es que aquí no tenemos lo mismo que aquí. La manera
de hacerlo igual es también un poco a lo bruto. Que tienes un N más uno,
pues aquí pon N más uno. Pero ahora te has inventado un N más uno,
entonces pones uno multiplicando y uno dividiendo. Ahora luego lo hacemos
por la fórmula y lo hacéis de la manera que os guste más. El tema es que
tenéis que tener lo mismo aquí que aquí. Una sucesión que crezca a...
Infinito. Esto es N partido de un N más uno. Sí, porque como he añadido
un N más uno aquí porque quería que fuera lo mismo en el denominador que
en el exponente, pues he tenido que poner uno aquí dividiendo porque
sabéis que las potencias sucesivas, los exponentes se multiplican con las
propiedades de las potencias. Y entonces ¿qué pasa? Que esto... Tiende a
E elevado a menos cinco. Porque el límite de E te dice que si esto tiende
a M es infinito, esto tiende a M es infinito. Y aquí pongo un número A,
esto tiende a E elevado. Y ya he encontrado el número E. Has encontrado el
número E elevado a menos cinco elevado a N dividido por N más uno.
Exacto. ¿Cuál es el límite de N partido de N más uno? ¿Cuál es el
límite de esto? El límite de N partido por N más uno dividido por N
arriba y abajo. Las N se van. El uno partido por N tiende a cinco. Y aquí
me queda un uno. Y aquí un uno. El límite de N partido por N más uno es
uno. Cuando los grados están empatados en un cociente de polinomios, el
límite es el cociente entre los coeficientes de los grados. Coeficiente de
N, uno. Coeficiente de la N abajo, uno. Uno entre uno, uno. Esto es
práctica. Después veréis el límite de 2N partido 3N más cuatro. Dos
tercios. El límite de 4N partido 5N más cinco. Cuatro quintos. Dividir el
coeficiente de arriba entre el coeficiente de abajo cuando los grados
están empatados. Entonces, como este límite es uno, esto es elevado a
menos cinco, elevado a uno, porque lo que hacemos es sustituir, que es
elevado a menos cinco. Pues esto sí que es un ejercicio de examen. Estamos
haciendo todo el rato lo mismo, pero no. ¿Cómo se hace por la fórmula?
La fórmula dice lo siguiente. Y así repetimos para que se vaya fijando. A
ver si os gusta más por la fórmula. En el examen, para ser justos, aquí
hay un menos. Pero bueno, es parecido. Para transformar esto, que es el del
examen, en el que tenemos, hay que darle la vuelta a la fracción. Hay que
recordar que un exponente negativo te invierte una fracción o te hace uno
partido lo que tengas. Y eso ya te lo transforma en el que teníamos antes,
con el exponente infinito, que es lo que quieres para usar el truquito que
hemos hecho. O aplicar la fórmula. Entonces me olvido de esto, me pongo
aquí el más, voy a borrar, que no queda un churro. Bien. ¿Cómo lo hago
por la fórmula? Esto tiende a uno, que lo hemos comprobado antes. Lo
primero es comprobar a qué tiende cada cosa. El exponente y la base de la
potencia. El exponente es esto de aquí y la base es esto de aquí. El
exponente tiende a infinito. La base tiende a uno. Indeterminación del
tipo uno elevado a infinito. La fórmula de Euler dice el límite. Cuando
AN tiende a uno y BN tiende a infinito, de AN elevado a BN,
indeterminación del tipo uno elevado a infinito es igual a E elevado al
límite de B sub N por A sub N menos uno. Si AN tiende a uno, ¿a quién
creéis que tiende a su... A B sub N por entre paréntesis B sub N menos
uno. ¿A B sub N? Si AN tiende a uno, ¿A sub N tiende a uno? ¿A sub N
menos uno a qué tiende? A cero. Es las operaciones con los límites. Puedo
restar y sumar sucesiones y el resultado es la suma y la resta de los
límites. Lo que pasa es que el número también lo puedo sumar y restar
con los límites. Entonces, A sub N menos uno tiende a cero. Lo que quiero
que penséis con esto es que transforma la fórmula indeterminaciones uno
elevado a infinito en indeterminaciones infinito por cero. ¿Vale?
Entonces, ¿cómo aplico la fórmula? ¿Cómo aplico la fórmula? Este
límite es igual... Y ahora aplico la fórmula. ¿Qué tengo? Uno elevado a
infinito. AN. ¿Quién es AN? En mi caso. ¿Quién es BN? N. AN es mi
sucesión que tiende a uno. La identifico. BN es mi sucesión que tiende a
más infinito. Y estoy en este lado de la fórmula, que es el que no sé
hacer. Entonces, con un poco de suerte, si la fórmula funciona, el otro
lado sí que lo sabría hacer. Vamos a intentarlo. ¿Cómo es el otro lado?
El otro lado es E elevado. Y el límite está aquí arriba. BN, N. Por A
sub N, menos uno. Y ahora la límite que hay que calcular es este. Hemos
transformado... Veo unas caras de póker impresionantes. Hemos transformado
este límite en este, utilizando la fórmula. Decidme algo, ¿vale?
Tardísimos, ¿no? Al máximo. Muertos, destruidos, perecidos. Se encuentra
perecido. Pero activamente has cogido la fórmula y... ...te has puesto el
límite activo. El exponente... El exponente es la E elevado al exponente
por la base del límite. La base menos uno. Entonces, el tema es el
siguiente. Aquí tenéis una fórmula que os sirve para resolver
indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito. ¿Cuáles son los pasos?
Primero te ponen un límite. Identifica la indeterminación que tienes. En
este caso es un exponente y una base. Y mirad los límites. Mirad el
límite del exponente porque tu primer intento siempre es sustituir. Esto
te da un dos. Dos elevado a infinito es infinito. Ya se ha acabado. El
problema es que no nos ha dado un dos, sino que nos ha dado la base que
tiende a uno y el exponente que tiende a infinito. Y hemos llegado a la
conclusión de que tenemos una indeterminación del tipo uno elevado a
infinito. Entonces, tú entras a tus apuntes mentales y dices ¿qué tengo
que hacer cuando tengo una indeterminación de uno elevado a infinito?
Aplicar la fórmula de Euler. ¿Y qué tienes que hacer con la fórmula de
Euler? Sabértela de memoria. Si no quieres hacer el truquito que hemos
hecho antes. Sabértela de memoria. Entonces, esta fórmula te la sabes de
memoria. Esta de aquí. Y ahora la de antes. No, no. Bueno, lo único que
tienes que recordar es que... Tienes que saber cómo encontrar, ¿eh? Que
no siempre está... Esta, lo bueno que tiene es que es una fórmula. La
aplicas y sale. No tienes que pensar. No tienes que buscar. No tienes que
hacer trucos. Aplicarla y ya está. Entonces, por eso también explico esta
manera. Esta fórmula te relaciona una indeterminación a uno elevado a
infinito. Te dice hay una sucesión que tiende a uno elevado a uno que
tiende a infinito. No sabes hacer eso, no te preocupes. Eso yo te digo, la
fórmula te dice que lo que tienes que hacer es escribir E elevado al
límite de la que tiende a infinito por, entre paréntesis, la que tiende a
uno menos uno. Y tú lo escribes. Ya sabes la fórmula. Sabes cuál tiende
a uno, sabes cuál tiende a infinito. Lo escribes, ya lo has escrito. Y
ahora tienes que calcular este límite. Pero esto, vamos a hacer
operaciones. ¿Estáis un poquito más centrados otra vez? Vamos a hacer
operaciones. n menos cuatro menos uno lo hemos hecho antes. n menos cuatro
partido de n más uno menos uno es n menos cuatro menos n menos uno partido
de n más uno. Lo hemos hecho antes. Y aquí es una n las n se iban y esto
da menos cinco partido por n más uno. Paso de página. Cuando acabéis de
copiar. Bueno, a ver si hay quedados o me caben. Este menos cinco es útil
pero el n partido por n más uno tal vez tú también lo puedes escribir
así menos cinco por n partido por n más uno. n partido por n más uno
esta fracción ¿a qué tiende? a uno. Entonces, yo hago el límite de lo
que me interesa. El límite de menos cinco por algo que tiende a uno es
menos cinco. Entonces esto es e elevado a menos cinco. Y hemos llegado al
mismo resultado. Mucho más rápido que antes. Pero tienes que saber de la
fórmula. Tienes que saber identificar cuál es cada una de tus opciones.
Tienes que saber reescribirlo. Y luego, el límite que te va a quedar es
arreglar el producto y se te va a ir todo. Te va a quedar muy cociente y ya
está. Entonces, es cuestión de práctica con estos límites. Tenéis
varias indeterminaciones. Y en los diez minutos que me quedan no sé qué
voy a hacer. Voy a hacer otro. De estos sencillitos. Tenéis que miraros un
par de indeterminaciones más. Os digo cuáles son. La más importante es
que que no voy a hacer, porque no me da tiempo de hacer ninguno Si
tenéis... Digo que no y lo voy a hacer. Pero voy a hacerlo muy sencillo.
Es la indeterminación infinito menos infinito. Esto sólo pasa cuando
tienes una resta de raíces. Cuando las raíces tienen un polinomio dentro,
el tema es qué infinito crece más rápido. El problema es cuando los
grados empatan. Si no, siempre gana la de mayor grado. Si la que tiene va
adelante, ¿tiene mayor grado? Pues extenderá infinito más rápido que la
otra. Y cuando tienes una cosa que crece más rápido o más rápidamente,
que es más grande que la que restas, el resultado será positivo. Esto
tenderá a más infinito. Porque esto crece más rápidamente que esto.
Entonces el resultado es positivo y además se va haciendo grande. Porque
esto crece cada vez más rápido, de una forma incomparable a esto si este
grado es más grande que éste. Que no es el caso. Si fuera como un
ejemplo. Lo que quiero decir es que, por ejemplo, el límite de la raíz
cuadrada de 3n al cuadrado más n menos la raíz de n-1 es más infinito.
¿Por qué? Porque gana éste. Y éste se hace grande mucho más rápido.
El límite de la raíz al revés de n más 3 menos la raíz cuadrada de n
al cuadrado menos 1 es menos infinito. ¿Por qué? Porque gana éste. Y el
signo menos te marca que es un menos infinito. ¿Qué pasa cuando tienes
una resta de raíces? El truco es y esta es la manera de resolver las
indeterminaciones infinito partido por infinito multiplicar con lo que se
llama el conjugado. El conjugado de una resta es una suma. Entonces tienes
una resta de raíces que se multiplica por la suma. Pero yo no puedo
multiplicar y quedarme igual. Bueno, multiplica arriba y abajo. Tú siempre
puedes multiplicar arriba y abajo porque estás multiplicando por 1 pero
escrito como una fracción de un denominador y un numerador que son
iguales. Entonces éste es el truco y es un truco tal cual. Arriba pones la
suma de raíces y abajo la suma de raíces. Y te has quedado igual porque
esto lo puedes tachar pero no te interesa tacharlo. ¿Por qué no te
interesa tacharlo? Por lo mismo, arriba y abajo. Pero la suma en vez de la
resta si tengo una resta de raíces lo multiplico por la suma. ¿Os
acordáis de aquello de suma por diferencia a diferencia de cuadrados? Es
la identidad notable a-b por a más b es igual a a al cuadrado menos b al
cuadrado. Esto es simplemente multiplicar si multiplicas el primero por el
primero el primero por el segundo a-b. Pero es que el segundo por el
primero es menos b-a que se cancela con el a-b y al final te queda el menos
b al cuadrado. Una formulita de números de suma por diferencia. Vamos a
aplicarla aquí. Suma por diferencia, diferencia de cuadrados entonces
arriba nos queda esa diferencia de cuadrados ¿Y qué pasa cuando haces el
cuadrado de una raíz? Que se va. La raíz del cuadrado se cancela.
Entonces arriba es lo mismo la resta pero sin las raíces. Y ya vas a poder
hacer operaciones. Mientras que abajo te queda lo de las raíces que bueno,
pues es lo que hace. Haces operaciones arriba. n-2n menos n menos 1 menos 1
menos 1 y aquí tienes tus raíces. Para resolver esto haces lo mismo que
hacíamos cuando teníamos dos polinomios. Dividir arriba y abajo. Cuando
teníamos n más 1 partido por 3n más 2 dividíamos por n arriba y abajo.
O sacábamos factor común de n. Aquí queremos hacer lo mismo. Lo que pasa
es que vamos además a tener que meterlo dentro de las raíces. Esto es lo
que quiero decir. Si divido arriba y abajo por n, al dividir arriba me
queda menos 1 menos 2 partido por n. Estamos de acuerdo ¿no? Divido el
numerador por n. n partido por n menos 1 menos 2 partido por n menos 2n. Y
ahora tengo que dividir también abajo por n para quedarme igual. Y lo voy
a escribir así. Por n. Lo que pasa es que aquí tenía unos menos. Estas n
las puedo meter dentro de la raíz. ¿Cómo puedo meter la n dentro de la
raíz? ¿Cómo entra? n al cuadrado. La raíz de n al cuadrado es n.
Entonces en vez de escribir n voy a escribir la raíz de n al cuadrado.
Entonces ¿qué pasa? Esto de aquí arriba tiende a 1. Y esto de aquí
abajo cada cociente lo podéis hacer en este cociente quien gana numerador
o denominador El denominador gana, tiene más grado que el numerador.
Entonces este tiende a 0. Cuando en un cociente gana el denominador crece
tan rápido que supera al numerador y eso se va a 0. Porque estás
dividiendo por un número cada vez más grande. Lo mismo pasa en este
cociente que este tiende a 0. Entonces ahora para acabar la clase cúmplelo
con lo que os he dicho que nunca hay que dividir por 0. Pero con límites
no estás dividiendo por 0. Estás dividiendo con un número que cada vez
es más pequeño. Entonces cuando en límites dividimos por 0 lo que te da
es infinito. Exacto. Menos 2 partido por n tiende a 0 y solo me queda el
menos 1. Este tiende a 0, este tiende a 0 y abajo me queda un 0. Y en
límites, menos 1 partido por 0 es menos infinito. Porque el 0 no es 0.
Estás dividiendo con un número que cada vez es más pequeño, cada vez es
más pequeño y por tanto el resultado cada vez es más grande. Ojo a los
signos. Como tiene raíces la raíz siempre es positiva. Por eso sé que lo
de abajo es positivo y como lo de arriba es negativo puedo poner menos
infinito. Resumen de 30 segundos de motivación. Mucha tralla. ¿Por qué?
Porque hay muchas indeterminaciones y solo hay un día para ver
indeterminaciones porque es lo primero que se ve y sale poquito. Los
límites son de machacar. En una sesión no tengo suficiente para machacar
todo lo que tengo que machacar. Buscaros vídeos de límites en YouTube que
seguro que hay. Mirad las indeterminaciones que tenéis en los apuntes.
Tenéis explicado que las importantes son infinito partido por infinito
infinito por 0 que se transforma en 1 infinito en 1 elevado a infinito con
la de Euler y infinito menos infinito. Y luego tenéis otras que son las de
elevado a 0 y 0 elevado a 0, infinito elevado a 0 que también se puede
usar lo de Euler. Hacer ejercicios, que seguro que en los apuntes hay o
buscar ejercicios e ir practicando. Esto, cuando sale, sale pero no sale
siempre. Y cuando sale es una cuestión de estar de un puntito o una cosa
así. Entonces, ir haciendo el resto de cosas las veremos con un poquito
más de calma porque no hay tanto tanta variedad de ejemplos que abarcar.
Los ejercicios son más sota, caballo y rey. Mientras que aquí cada
límite es un poco diferente a todos los demás. Y hay que abarcar mucha
tipología. ¿Vale? Entonces en las siguientes intentaremos ir un poquito
más despacio. No me ha dado tiempo a cubrir series. Leos la parte de
series y si tenéis dudas me escribís por el foro o me escribís un correo
y tal. Pero son los criterios muy facilitos. ¿Para entrar a algún de las
clases? Es lo que queremos. Yo os enviaré un correo o un mensaje al foro
diciéndoos cómo porque no sé desde dónde se entra. Entonces cuando sepa
dónde se publica es en Inteka. Pero yo tengo que hacerlas públicas y no
sé dónde sale. Yo os diré, entrar por aquí y tal y cual. Vale chicos,
paro la grabación. Si tenéis dudas me podéis escribir un mensaje al
foro. ¿Vale? O al correo. ¿Vale?