Hola chicos, como os dije el otro día, como habíamos tenido algunos
problemas técnicos, vamos a hacer un vídeo cortito y repasamos el tema de
las matrices, sus formas escalonadas y cómo obtenerlas a través de
operaciones elementales de matrices. Nosotros teníamos, y lo vimos el otro
día, tres operaciones diferentes que podíamos hacer con matrices y a las
que llamábamos operaciones elementales de matrices y cada una tenía
asociada Una matriz elemental, que las tenía en la página 6. Exacto.
¿Vale? Tenemos intercambiar dos filas, era una de las posibles operaciones
elementales, y las matrices elementales siempre son la matriz identidad a
la que le hemos hecho la transformación elemental. Entonces, en este
ejemplo, la operación es intercambiar la fila 1 y la fila 2, y la matriz
elemental sería la matriz identidad a la cual le hemos intercambiado la
fila 1 y la fila 2. Tenemos otra posible operación que es multiplicar una
fila entera por un número diferente de cero. Esta operación elemental,
multiplicar una fila entera por un número diferente de cero, su matriz
elemental correspondiente es aquella en la que la fila queda multiplicada
por ese número, la identidad multiplicada por ese número. Y aquí
teníamos la última operación que es a una fila, en este caso la fila 3,
le sumamos el múltiplo de otra fila, le sumamos una fila multiplicada por
otro número diferente de cero. Y como os decía, tu cuadro es la
identidad, le haces esa operación y eso os da la matriz elemental. Y yo
aquí os he puesto esta anotación, todavía no he tenido acceso al libro,
mañana lo recogeré. Todavía no sé si esta es exactamente la notación
que utiliza en el libro o no, pero como os vamos a seguir haciendo esto
constantemente, pues en la próxima tutoría haré un comentario sobre
esto. Entonces, vamos a ver otro ejemplo de cómo podemos calcular una
forma escalonada de una matriz utilizando operaciones elementales. Pues
supongamos que tenemos la matriz 1, 2, 0, 3, menos 1, 1, 4, 1, 1. Entonces
queremos calcular su forma escalonada. Entonces, la forma escalonada se
caracteriza entre otras cosas porque por debajo de la diagonal tenemos que
hacer ceros. Entonces lo primero que hacemos es localizar si el primer
elemento de la primera fila es un 0 o no y si no es un 0 lo podemos tomar
como un pivote. El pivote es muy útil que sea un 1 porque nos va a
permitir no tener que trabajar con fracciones, ya lo estuvimos diciendo el
otro día. ¿Qué es lo que vamos a hacer ahora? El primer elemento que
vamos a coger es el que está debajo del pivote, este 2, y vamos a querer
que se convierta en un 0. Entonces yo lo que quiero es la fila 2
transformarla y la fila 2 lo que quiero hacer es restarle algo que tenga
que ver con la fila 1. Entonces yo a este 2 le quiero restar un 2 para que
se me quede un 0. ¿Cómo puedo obtener este 2? Pues como aquí tengo un 1,
le resto dos veces la fila 1. Y ahora os lo estoy fijando en los ceros.
Pues la fila 1 no la transformo, la fila 3 no la transformo y la fila 2 sí
que cambia. Entonces 2 menos 2 por 1, 0. Menos 1 menos 3 por 2, menos 7.
¿Vale? La fila 2 le quito dos veces la fila 1. Le quito 2 por 6, menos 1
menos 6, menos 7. Y 1 menos 2 por 4, menos 7. ¿Vale? Entonces en este caso
tenemos que hacer ceros por debajo de la diagonal. En este caso, como os
decía, ya tenemos... Un 0 extra que nos venía en la batiz, un 0 que no
teníamos que trabajar y lo que tenemos aquí es diferente de 0 y por lo
tanto puede ser nuestro segundo pivote. Podemos tomar ese como segundo
pivote y fijarnos en cómo podemos hacer aquí un 0. Entonces podemos hacer
directamente, si yo tengo que transformar, tengo que restarle a este 1 otro
1. Entonces he tenido que transformar este menos 7 en un 1 para luego poder
restarlo. Entonces tengo que quitarle a la fila 3 la fila 2 multiplicada
por un coeficiente que me transforme este menos 7 en un 1 para poder
restarlo. Entonces ¿cómo se me transforma el menos 7 en un 1? Pues el
menos 7 lo tendría que multiplicar por menos un séptimo. Como yo puedo
multiplicar filas por números diferentes de cero, yo puedo multiplicar la
fila 2 por menos un séptimo y restarse a la fila 3. Entonces, la 1 y la 3
no las estoy transformando. Esto parece que no... La fila 1 y la fila 2 no
las estoy transformando, así que se quedan iguales. Y a la fila 3, menos 7
por menos un séptimo, sol, más 1. Menos por menos más, 7 por un
séptimo, 1. Fila 3. 1 menos el menos 7 por menos un séptimo, que es más
1, 1 menos 1, 0. Y aquí fijaos que es la misma operación. Menos 7 por
menos un séptimo, 1 menos menos 7 por menos un séptimo, es 1 menos 1, 0.
Entonces nos ha aparecido una fila de ceros. Siempre que aparece una fila
de ceros en la... El proceso de obtener las formas escalonadas de una
matriz la vamos a poner al bajo del todo. Entonces esta es una matriz que
solo tiene dos pivotes. No nos ha salido un tercer término diferente de
cero en la fila de abajo, por lo tanto solo hay dos pivotes. Entonces
diríamos que el rango de esta matriz es 2. porque el rango va a ser, entre
otras cosas, el número de pivotes. Encontraremos otras maneras diferentes
de calcularla que a veces serán más sencillas, pero el rango se puede
definir como el número de pivotes de la forma escalonada de una matriz. Y
esto es una forma escalonada porque hace escalones. El primer elemento
diferente de cero de una fila está más a la derecha que el de la fila
anterior. ¿Vale? El primer elemento diferente de cero de la fila 2 está
más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila 1.
Las filas todo ceros están todas abajo y debajo de cada pivote hay ceros.
Esas son las tres condiciones que requiere... una forma escalonada. ¿Qué
más podemos obtener? Pues podemos obtener una cosa que se llama la forma
escalonada reducida. La forma escalonada reducida va más allá todavía
que la forma escalonada y lo que hacemos es que todos los pivotes tienen
que ser 1, todos los pivotes tienen que ser 1 y encima de los pivotes
tampoco puede haber términos que no sean 0, todo lo que haya encima de los
pivotes también tiene que ser 0. ¿Cómo podemos hacer que esto se
transforme? Esto es la forma escalonada, pero ahora lo queremos transformar
en la forma escalonada reducida. Entonces para hacer eso tenemos que hacer
que todos los pivotes sean 1, eso es lo primero que hay que hacer. Eso se
hace fácil dividiendo cada fila. por el pivote. La fila 1 la tendríamos
que dividir por 1 y se queda igual y la fila 2 la tenemos que dividir por
menos 7. Fila 2 es fila 2 por menos un 7. Dividir por menos 7. Entonces me
queda 1, 3, 4, 0, 1, 1, 0, 0, 0. Y ahora el objetivo es, ya tenemos todos
los pivotes igual a 1 que es una de las características de la forma
extremada reducida y ahora hay que hacer encima de los pivotes también
ceros. O sea que esto lo tenemos que transformar en un cero. Para ello,
como ya tenemos que todos los pivotes son unos, podemos ayudarnos de eso.
Tenemos que restarle 3 a la primera, le restamos, la transformamos y le
restamos 3 veces la segunda. Fijaos que como ya hemos hecho ceros por
debajo de los pivotes, los pivotes no van a cambiar aunque estemos
reciclando filas. Como vamos a ir de abajo hacia arriba, las filas de abajo
no van a afectar a las de arriba en los pivotes. Porque los pivotes tienen
cero debajo y por lo tanto no les afectan las filas de abajo cuando hagamos
operaciones. Primero vamos a ir desde los pivotes hacia abajo y luego
iremos hacia arriba para hacer operaciones. ceros encima de los pivotes que
ya hemos transformado en nudos. De la forma escalonada vamos hacia abajo,
tenemos cero debajo de los pivotes, cuando ya tenemos la forma escalonada y
queremos la forma escalonada reducida, vamos desde los pivotes hacia
arriba. Entonces al hacer esta operación, 1 menos 3 por 0, 1, 3 menos 3
por 1, 0, y 4 menos 3 por 1, 4 menos 3, que es 1, 0, 1, 0, 0, 0. Esto de
aquí es la forma escalonada donde los pivotes... No han cambiado, están
en la misma posición, pero son números ahora. Entonces, fijaos que tú
puedes tener una matriz cuadrada con filas de cero. Es cuadrada, tiene
rango máximo, por ejemplo. Cuando tienes una matriz 3x3 que tiene rango 3,
es cuadrada porque es 3x3, la forma escalonada reducida coincide con la
identidad. En este caso, nuestra matriz tiene rango 2, entonces no
coincide. Pero, si nuestra matriz tuviera rango 3, la forma escalonada
reducida sería la identidad. ¿Por qué? Tendríamos que hacer ceros por
encima de los pivotes, estos serían los pivotes, los que están en la
diagonal, tendríamos tres pivotes. Si hubiera salido tres pivotes, al
después hacer ceros por encima de la diagonal, tendríamos que al final
nos queda la matriz identidad. Entonces, la forma escalonada reducida de
una matriz 3x3 cuadrada siempre es la identidad 3x3, y 4x4 cuadrada es la
identidad 4x4. Pero cuando el ramo no es máximo o cuando la matriz es
cuadrada, podemos tener diferentes posibilidades para matrices que sean la
forma escalonada reducida de una matriz. Entonces decíamos que todas las
matrices que tienen la misma forma escalonada reducida son matrices
equivalentes por filas porque podemos llegar a través de operaciones fila
de unas a otras. Si podemos desde una matriz llegar a su forma escalonada
haciendo operaciones fila o su forma escalonada reducida, también podemos
volver haciendo las operaciones fila contrarias. Tenemos otra matriz que
resulta que tiene la misma forma escalonada o la misma forma reducida.
Podemos ir hacia ahí haciendo operaciones filas, pero también podemos
hacer operaciones filas para volver a obtener la otra. Porque lo contrario
de hacer la operación inversa de una operación fila también es una
operación elemental fila. Son operaciones elementales, pero a veces las
llamo operaciones elementales fila porque las hacemos actuar sobre las
filas. Entonces fijaos que tú puedes ir de la B a la A solo a través de
operaciones elementales fila pasando por la forma escalonada o la forma
escalonada reducida en el caso en el que ambas tengan la misma. Entonces
decimos en este caso que la A y la B son matrices equivalentes. por filas.
Sin embargo, aunque decimos que yo os decía el otro día en clase que el
rango que tiene mucho que ver con la forma estronada y la forma estronada
reducida es un invariante porque todas las matrices que son equivalentes
por filas y que puedes pasar de unas a otras haciendo operaciones
elementales filas tienen el mismo rango. Eso es muy importante. Dos
matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango. El rango es un
invariante Para la relación de equivalencia por filas de matrices, es un
invariante para esa relación. Significa que para matrices que están
relacionadas por filas, por equivalencias por filas, el rango nunca cambia,
porque es invariante. Eso es lo que significa ser un invariante. Sin
embargo, esta proposición lógica, su opuesto, esta proposición es dos
matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango. Si son equivalentes
por filas, entonces tienen el mismo rango. El opuesto de esto es, si tienen
el mismo rango, son equivalentes por filas. Y eso es falso. Aquí os voy a
dar, y esto además es una pregunta que salió en un examen, es una
cuestión. Fijaos en estas dos matrices. Estas dos matrices son dos formas
escalonadas reducidas posibles porque hacen escalones, tienen dos pivotes,
hay ceros que está abajo, debajo de los pivotes solo hay ceros. Pero no
son iguales y no se puede pasar de una a otra sin mover las columnas, por
lo tanto no son equivalentes por filas. No hay ninguna operación que pueda
hacer entre las filas que me transforme una a otra. Entonces estas dos de
aquí no son equivalentes por filas. Sin embargo las dos tienen rango 2
porque el rango es el número de pivotes. Entonces, tenéis que entender
que el rango es un invariante de la relación de equivalencia por filas y
matrices que sean equivalentes por filas tienen el mismo rango, pero al
revés no es cierto siempre. Ahí puede haber matrices que tengan el mismo
rango pero no sean equivalentes por filas. En la siguiente tutoría
hablaremos de cómo calcular el rango también haciendo determinantes.
Entonces recordaremos lo que es el determinante y veremos que podemos
calcular el rango solo trabajando con determinantes. Y a veces va a ser
más práctico que acudir al método de Gauss, que es el método que
utilizamos para obtener la forma escolar y la forma escolar reducida de una
matriz utilizando operaciones segmentales. Un último ejercicio que quería
hacer. Es el siguiente. En febrero de 2007 tenéis un ejercicio como este.
Nos daban muchas operaciones entre matrices, escritas de esta manera. Y la
idea era resolver qué daba este producto y te daban varias opciones. Vamos
a ver qué propiedades de matrices y de operaciones entre matrices se
pueden utilizar aquí. Fijaos, una de las cosas que tenemos aquí es la
inversa de un producto. La inversa de un producto es el producto de las
inversas pero cambiado de orden. ¿Vale? La inversa del producto es el
producto de las inversas cambiado de orden. ¿Por qué es eso? La inversa,
si os acordáis, el otro día os explicaba que la inversa es una matriz que
se escribe con el menos uno de forma que cuando yo la multiplico por mi
matriz tienen que ser cuadradas siempre, y estas las llamamos regulares,
las que tienen inversa, y cuando multiplico una matriz por su inversa
vuelvo a la identidad, tanto por un lado como por el otro. La inversa de
una matriz cuando existe es aquella matriz, cuando la multiplico por mi
matriz original me da la identidad. Entonces, ¿qué pasa que si yo tengo
ahora la inversa de un producto? Yo quiero saber cuál es la inversa de BC.
Pues será aquella matriz que cuando yo la multiplique por BC, tanto por la
derecha como por la izquierda, me dé la identidad. Por eso tengo que
multiplicar una matriz por BC y me tiene que dar la identidad. Entonces yo
puedo aprovecharme de que en el caso en el que la B y la C tengan inversas
las puedo utilizar, las puedo meter aquí para intentar conseguir la
identidad buscando la inversa del producto BC. Pero claro, si pongo la
inversa de B y la inversa de C, el producto de matrices no siempre es
conmutativo. Yo no puedo cambiar los términos de orden con matrices
siempre que quiera. Entonces lo que voy a hacer es poner primero... La b-1
y luego la c-1. Pongo primero la b-1, esto es la identidad. Pues esto de
aquí me queda c-1 por la identidad por c, que es c-1 por c. Y c-1 por c es
la identidad, porque c-1 es la inversa de c, por definición de inversa.
Por eso hay que escribirlas al revés. Si lo escribes en el orden opuesto,
c-1 por b-1 sigue siendo la inversa de b por c. Porque ahora se van las c's
y luego se van las b's. Entonces la inversa siempre, cuando hago la inversa
del producto, he de cambiar el orden. Entonces aquí lo que tendríamos es
A por C menos 1 por B menos 1. Hemos resuelto el paréntesis, vamos de
dentro a fuera siempre con los paréntesis. La traspuesta. La traspuesta,
que también está aquí dentro de este corchete, en este paréntesis,
tiene otra propiedad, la misma que con la inversa. Pasa lo mismo. ¿Qué
pasa con los productos de las traspuestas? Pues que hay que darles la
vuelta también. ¿Y qué pasa con tanto la inversa de la inversa como la
traspuesta de la traspuesta? Porque te quedas igual. Para hacer la
traspuesta de una matriz es cambiar filas por columnas. ¿Y qué pasa si yo
cojo una matriz y en vez de escribir las filas escribo las columnas y luego
vuelvo a hacer lo mismo? Pues que las filas vuelven a las filas y las
columnas vuelven a las columnas. Entonces la traspuesta de la traspuesta es
la propia matriz. La inversa de la inversa es la propia matriz. Cuando yo
hago aquí la traspuesta de este producto cambio el orden. Y ahora me queda
B, traspuesta, traspuesta. Pero B, traspuesta, traspuesta lo voy a escribir
y luego lo quitaremos. Es la propia matriz, es la B y esta va a ser la A. Y
aquí tenemos B por A a la menos uno que también cambian de orden porque
es un producto a la inversa. Vale, entonces aquí fijaos lo mismo, cambia
de orden, es un producto a la inversa. Pues todo cambia de orden, esto es
la inversa de la inversa de B, la inversa de la inversa de C y la inversa
de A. Y aquí tenemos la traspuesta de la traspuesta que ya os he dicho que
se cancela y se queda igual. La traspuesta de la traspuesta que se cancela
y se queda igual. Aquí teníamos la inversa y la inversa. Entonces siempre
que tenemos un producto y una matriz con su inversa obtenemos la identidad.
Aquí teníamos, seguimos, la inversa de la inversa, la inversa de la
inversa se queda igual. Y ahora es la identidad en los productos es como el
1, entonces puedo no volverlo a escribir porque desaparece. Y esto se me va
y es la identidad, porque es la matriz por su inversa. Ahora, la propiedad
asociativa del producto de matrices me permite quitar paréntesis siempre.
Yo cuando tengo un paréntesis tengo que ir de dentro a fuera, pero ahora
que ya no tengo más paréntesis más que los que me separan esto, no me
marcan ninguna prioridad, yo puedo quitar los paréntesis. Lo que tengo son
productos ya de matrices, ya no tengo que hacer inversas ni traspuestas ni
nada. Todo lo que me queda son productos. Entonces la propiedad asociativa
del producto me permite quitar los paréntesis. Me quedas B por C por A
menos 1 por A. A menos 1 por A es la inversa. Es la identidad, perdón, a
menos 1 por a es la identidad. Entonces al final la identidad es como el 1,
multiplicando, se queda igual. Al final el resultado es b. ¿Vale? Entonces
también tenéis que aprender a manejar las propiedades de las matrices o
recordarlas, ya las habéis visto alguna vez. La propiedad asociativa
significa que si solo tienes productos puedes quitar los paréntesis.
Cuando ya has hecho todas las inversas y todas las traspuestas, te puedes
quitar los paréntesis si lo único que te quedan son productos. La inversa
de la inversa es la propia matriz. La traspuesta de la traspuesta es la
propia matriz. Y la inversa y la traspuesta cuando actúan sobre productos
les cambian el orden. Creo que esas son todas las propiedades que hemos
utilizado aquí. Bueno, y que la inversa por la propia matriz es la
identidad. La identidad cuando multiplica es como el 1. Nada, si tenéis
dudas ya sabéis, me podéis escribir. Y con esto termino el vídeo de
apoyo de la tutoría del otro día. Empezamos con determinantes el próximo
día, seguimos hablando de rangos y también hablaremos de sistemas de
fronteras. Aquí lo dejo. Hasta luego chicos.