Bien, buenas tardes. Vamos a iniciar esta tercera sesión de la tutoría
de la asignatura de bases físicas de medio ambiente del grado en ciencias
ambientales. Bien, hemos estado repasando distintas actividades de las dos
primeras sesiones que abarcan temas dentro de la cinemática, de la
dinámica, trabajo y energía. Nos faltaría por ver también algunas que
os tienes relacionadas con campos conservativos, un poco de sólido
rígido, para ya pasar a las oscilaciones en la siguiente sesión. Les he
puesto aquí un examen en el cual se nos pide determinar... determinar la
cantidad de movimiento, el momento lineal, la fuerza que actúa sobre un
cuerpo y el momento de una fuerza. Y nos dan como dato la trayectoria de la
partícula en unas ecuaciones paramétricas de X, Y y Z en función de T.
Bueno, si a nosotros nos piden la cantidad de movimiento, que es P, sabemos
que es la masa por la velocidad. ¿De acuerdo? Ahora bien, ¿nosotros
podemos saber cuál es el vector de posición? Sí, porque nos dan las
ecuaciones de X, Y y Z en función del tiempo. R de T sería igual...
Perdón, a ver si lo veo un poquito más grande... vosotros también lo
podéis intentar de ver más grande, sería t cubo por i más t menos 2t
cuadrado j más t a la cuarta partido por 2k. Bien, pues a partir de aquí
nosotros derivando podemos sacar el vector velocidad, la derivada del
vector de posición es el vector velocidad y fácilmente sacaríais la
cantidad de movimiento o momento lineal. La fuerza, la fuerza sabemos que
es masa por aceleración, la aceleración sería la derivada del vector
velocidad constante. Respecto del tiempo se deriva la anterior ecuación
sin haber sustituido previamente, no se puede derivar saliendo sustituido
previamente, nos dará todo cero. Y por último nos pide el momento de la
fuerza, ojo, esto es más novedoso, el momento de la fuerza es r vectorial
f, es un determinante de 3 por 3 y jk, la primera fila será x y z y aquí
fx. Y se resuelve por sarrus, sabéis desarrollar un determinante de 3 por
3 de álgebra y debéis saberlo resolver sin problemas. Bueno, pues este es
un ejemplo de un ejercicio que entró en una prueba. Como tenemos la
ecuación de la trayectoria, la ecuación del movimiento, no es un problema
el que veamos nosotros, podamos ver nosotros tranquilamente el cálculo de
todas las magnitudes que tenemos aquí. Vamos a cambiar ahora a otro
documento, vamos a ver este. Vamos a ver la velocidad de traslación a la
que puede moverse la masa sin que se rompa la cuerda. La tensión de rotura
es de 40 newtons, nos dice. Bueno, vamos a dibujar las fuerzas que tenemos
aquí. Por una parte tenemos la tensión, que es una fuerza que va del
cuerpo hacia la cuerda. ¿Qué más tenemos aquí? El peso vertical, que va
hacia abajo. Aquí lo tenemos, ¿no? El peso. ¿Qué más tenemos aquí? La
aceleración normal, porque tenemos un movimiento circular. Esta
aceleración normal que va hacia adentro. Y en un principio no tenemos más
fuerza, no nos habla nada de fricción, estamos en un plano horizontal.
Fijaos que el movimiento es perpendicular, el peso es perpendicular a la
tensión, estamos en un plano horizontal. Si aplicamos la segunda ley de
Newton, F igual a M por A tendremos la tensión igual a M por A sub N. Por
lo tanto, la tensión sería la masa por V cuadrado partido por R. Nos da
la longitud de la cuerda, sabemos la tensión, lo que tenemos que hacer es
despejar V. V será T por R partido por M. La raíz cuadrada, ¿no? Y
sabremos la máxima velocidad. 40, 200, 100, pues saldrá 10, ¿no? Sale
10, ¿no? Si sustituimos. Bueno, pues ya tenemos este ejercicio, ¿vale?
Esto es, cayó como una cuestión, ¿eh? El año pasado, venga. Vamos con
el siguiente ejercicio. Vamos con este otro. Dice, se suelta un péndulo,
una lenteja de masa M colgada en una cuerda inextensible y sin peso, que
estaba separado a un cierto ángulo de la vertical. Cuando pasa por la
vertical, la tensión es igual al peso, la tensión es mayor, la energía
cinética de la lenteja es igual al trabajo que sobre ella ha realizado la
tensión. Vamos a ver todo esto. ¿Les parece? Vamos a dibujar un péndulo.
Lo voy a dibujar aquí en medio. Y vamos a ver las fuerzas cuando pasa por
la posición más baja. Vamos a ver qué fuerzas tenemos. Vamos a
dibujarlas. El peso hacia abajo. La tensión va a ir hacia arriba. Siempre
del cuerpo hacia la cuerda. Pues será la tensión. Y no nos olvidemos de
la aceleración normal, porque estamos describiendo un arco de
circunferencia. Si nosotros aplicamos la segunda ley de Newton... F igual a
M por A, ¿no? ¿Qué tendremos aquí? Pues tensión menos el peso igual a
M por A sub N. Luego la tensión será igual al peso más M por A sub N,
¿no? ¿La tensión es igual al peso? No. ¿La tensión es mayor que el
peso de la lenteja? Sí, la tensión es mayor que el peso. ¿La energía
cinética de la lenteja es igual al trabajo realizado sobre ella realizado
la tensión? No. Porque el trabajo realizado por la tensión, el trabajo
que realiza la tensión es cero, porque es una fuerza perpendicular al
desplazamiento. Recordemos que el trabajo es... Fuerza por desplazamiento
por coseno del ángulo que forma. La fuerza y el desplazamiento. Entonces,
la correcta solo puede ser esta. Siempre la tensión es máxima en la
posición más baja. En la posición más baja es máxima. ¿De acuerdo?
Bien. Pues vamos a cambiar de página. Vamos a ver otro, ¿no? Vamos a ver
este ejercicio que nos pone aquí. También es una cuestión que nos
dice... Un bloque de masa M desliza hacia abajo con una velocidad constante
por un plano inquinado de ángulo Z. Durante un intervalo de tiempo,
¿cuál es la magnitud de la energía disipada por el rozamiento? Vamos a
ver esto. ¿Cómo podemos calcular la energía disipada por el rozamiento?
¿No? Nos dan la masa, va a velocidad constante, ¿no? ¿Vale? Vamos a
dibujar el plano inquinado y las fuerzas. A ver cómo lo vemos. Después
que nos pide la magnitud de la energía, ¿no? Vamos a cambiar, si os
parece, a la pizarra. Así lo tenemos más fácil. A ver, bueno, lo voy a
cambiar aquí. Bien, vamos a verlo. Dibujemos el plano inquinado y sobre
él dibujamos un cuerpo y las fuerzas que actúan. ¿No? Tenemos el peso. Y
el peso. Px, Pi, la normal y la fuerza de rozamiento. ¿De acuerdo? Peso,
Pi, Px, la normal y la fuerza de rozamiento. Este ángulo también es alfa
y esto es alfa. ¿De acuerdo? Dice que baja a velocidad constante.
Entonces, si aplicamos F igual a M por A, ¿vale? Tenemos fuerzas a favor,
Px, en contra de Fr, igual a cero. Luego Px es igual a Fr. Luego Mg seno de
alfa es igual a Mu Mg coseno de alfa. Con todo, la tangente de alfa es
igual... La tangente de alfa es igual a Mu, ¿vale? Donde Mu es el
coeficiente de rozamiento. Entonces nos pide el trabajo, la energía
disipada, ¿no? En un tiempo dado. El trabajo de rozamiento será igual a
fuerza de rozamiento por espacio y por coseno de 180. ¿Mmm? ¿qué será
la fuerza de rozamiento? mu por la normal mu por mg coseno de alfa por d
¿qué será d? el espacio recorrido bueno, es que la velocidad será el
espacio partido del intervalo de tiempo ¿no? pues podemos cambiar el
espacio por v incremento de t y por menos uno ya no nos entra el menos uno
entonces el trabajo de rozamiento será igual a mu que es la tangente de
alfa por mg coseno de alfa por v incremento de t y con un signo menos
delante como la tangente es seno partido por coseno esto nos puede quedar
menos seno de alfa mg v incremento de t donde hemos sustituido la tangente
seno partido por coseno y los cosenos se han simplificado era este, ¿no?
el archivo bueno y nos sale esto, ¿no? aquí tenéis la solución también
pero fijaos que debe aparecer el signo menos el trabajo es negativo la
energía disipada aunque bueno lo está dando él en valor absoluto de
acuerdo vamos con otro dice se lanza una bola y se lanza una bola hacia
arriba con velocidad inicial v sub 1 en presencia del aire que ofrece un
rozamiento la bola alcanza una altura máxima y vuelve a caer al suelo ¿y
qué nos dice? el tiempo de subida es mayor o menor la bola alcanza el
tiempo de subida es mayor o menor que el de bajada vamos a ver dice que
actúa una fuerza de rozamiento ¿Eh? Siempre hay un rozamiento, ¿vale?
¿Cómo lo podríamos hacer a esto? Vamos a pensarlo un poquito, ¿eh?
Vamos a ver, aquí hay que hacer un razonamiento teórico. Podríamos ver
cuáles son las aceleraciones, si os parece. Vamos a la pizarra, pues.
Venga, vamos a ver qué aceleraciones tendríamos aquí. Tenemos el cuerpo,
que es lanzado con una velocidad inicial, ¿no? Hacia arriba, ¿vale? Y
llegará a una altura máxima, ¿vale? Y después va a caer. El rozamiento
siempre se opone al movimiento, ¿vale? ¿Qué fuerzas actúan aquí?
Bueno, tenemos la gravedad, ¿no? Que va hacia abajo cuando está subiendo.
La gravedad siempre va hacia abajo. Eso hay que tenerlo presente. Vamos a
verlo, pues. La gravedad que va hacia abajo siempre, y cuando el cuerpo
sube, hay una fuerza de rozamiento, ¿no?, en sentido contrario, ¿vale?,
que va hacia abajo. Entonces, si aplicamos la segunda ley de Newton, cuando
está subiendo, F igual a M por A, a fuerzas a favor no hay ninguna
constante, y en contra va FR, MG, igual a MA. Luego, la aceleración de
subida es menos G más FR partido por M. Esto es cuando sube. Entonces, la
aceleración... La aceleración de subida, ¿vale?, y cuando baja, cuando
baja, cuando el cuerpo baja, ojo, ¿qué ocurre cuando el cuerpo baja? La
gravedad va hacia abajo, pero la fuerza de rozamiento, efectivamente, va a
ir hacia arriba ahora, porque la fuerza de rozamiento siempre se opone al
movimiento, ¿eh?, ¿vale? Entonces, cuando está bajando, FR igual a M por
A. Ahora, tendremos el peso menos FR. Igual m por a. ¿Y la aceleración a
qué será igual? A g menos fr partido por m. ¿Es una aceleración más
grande o más pequeña? Es más pequeña, ¿no? En valor absoluto. Porque
aquí está restando y aquí está sumando. ¿No? Sí, ¿no? Lo vemos que
no es la misma. Es como si para subir tuvieses una aceleración de menos 12
y para bajar tuvieses una aceleración, yo qué sé, de menos 6, por
ejemplo, ¿no? Si tomas de referencia, bueno, 3 unidades más y 3 unidades
menos. ¿Eh? ¿Vale? ¿Eso qué quiere decir? Que si la aceleración de
bajada es más pequeña, quiere decir que tardará más tiempo en bajar que
en subir. ¿No? Tardará más tiempo en bajar que en subir. Porque piensa
que para estar arriba, como decía, cero, ¿no? Entonces, y arriba... Es
decir, el tiro, evidentemente, es un tiro simétrico, ¿no? Arriba-abajo,
pero el tiempo no va a ser el mismo. La aceleración no es la misma. El
tiempo de subida va a ser menor porque tiene una aceleración más grande
en valor absoluto que lo frena. Sin embargo, cuando baja, la aceleración
que ya es positiva para él, para el cuerpo, porque lo acelera, es más
pequeña en valor absoluto que en la subida. Por eso tardaría más tiempo.
¿Vale? Bueno, siempre hay cosas que nos pueden llamar la atención, ¿no?
Aquí lo hace con otro razonamiento teórico, pero bueno, yo creo que el
que hemos hecho nos ayuda bastante a entender las cosas, ¿no? Vamos aquí
con otro ejemplo, si os parece. Dice, Desde una altura h se lanza un cuerpo
de masa m con velocidad horizontal v. ¿Con qué velocidad habría que
lanzar el cuerpo? Un cuerpo de masa 2m a una altura 2h para que llegue al
mismo lugar. Para que llegue al mismo lugar. Vamos a verlo. También vamos
a pasar ahora otra vez a la pizarra. Altura 2h. Vamos a pintar unos ejes de
coordenadas. A una altura h lanzo un objeto con una velocidad v. A una
altura h. Ahora, a una altura 2h, se pone el doble, tengo que lanzar el
objeto a una velocidad que voy a llamar v'. Con la peculiaridad de que esto
está a una altura 2h. ¿Y qué queremos nosotros? Lo que queremos es que,
si esto es la trayectoria... Que el primero, el segundo, tenga esta
trayectoria, que llegue al mismo punto, que el alcance sea el mismo, que el
alcance sea el mismo. ¿De qué depende el alcance? El alcance en un tiro
horizontal, x máxima es igual a v por t, siendo t el tiempo de vuelo. ¿De
acuerdo? Bueno, vamos a ver. ¿Cuál es la ecuación de la y, de la altura
en función del tiempo? Pues sabemos que la y es igual a y sub cero menos
un medio de gt cuadrado. ¿No? Aquí no hay componente inicial de la
velocidad sobre el eje y, perdón, exactamente, solo hay sobre el eje x,
¿no? Y lo que nosotros tenemos que plantear aquí... ...es ver, tenemos
que ver, ¿cuál es el tiempo de caída, de llegada al suelo? Y después
vemos la relación de velocidades. Veamos con el primero, que era el azul,
¿no? A ver, está en una altura h, pues, tiene que llegar al suelo, ¿eh?
Vale, será cero igual a h menos un medio de gt cuadrado. ¿De acuerdo? Y
el tiempo que tarda en llegar al suelo, el primero, sería dos h partido
por g raíz cuadrada. Entonces, la x máxima... Del primero sería v por
2h, raíz cuadrada de 2h, partido por g. Y queremos que ese tiempo sea el
mismo que el otro, que es rojo, que está a una altura 2h. Entonces sería
v prima, claro, la altura ya no sería h, sería 2h, 2 por 2, 4, 4h partido
por g. Y de aquí que sacamos, que v prima, pensar que tiene que tener la
misma x máxima, por eso lo he igualado, v prima sería v partido raíz de
2, que es lo mismo que multiplicado raíz de 2 partido por 2. v prima
sería v partido raíz de 2 o raíz de 2 partido por 2. Vamos a ver el
documento. Pues lo mismo, ¿no? v prima. v partido raíz de 2 o raíz de 2
partido por 2, como queráis. ¿Vale? Bueno, hemos justificado. Vamos a
seguir. Dice, una persona se encuentra de pie en el piso de un ascensor. La
fuerza que ejerce el piso del ascensor sobre la persona es la reacción al
peso de la misma. La fuerza que ejerce el piso no es la fuerza de
reacción, pero siempre es igual al peso. La fuerza que ejerce el piso del
ascensor no tiene que ver... Bueno. La fuerza que ejerce el piso del
ascensor sobre la persona es la reacción al peso de la misma. Vamos a ver
si esto es verdad o no es verdad. Depende cómo esté el este. ¿Vale? El
ascensor. Es que es lo que hace el ascensor. Si está en reposo, si está
en movimiento, ¿eh? Claro. Es que no lo especifica. Vamos a dibujarlo.
Vamos a dibujar un ascensor, ¿no? Una persona adentro, ¿vale? Y veamos
las fuerzas que actúan. Esto es el peso y la fuerza de reacción que está
citando sería la normal, ¿vale? ¿Vale? Ahora bien, ¿esta normal siempre
es igual al peso, la fuerza de reacción? No. ¿De qué depende? Depende si
el ascensor tiene aceleración o no. A ver, si la aceleración tiene una
aceleración, es posible, porque para eso es un ascensor, cuando arranca,
¿no? Imaginaos que tiene una aceleración hacia arriba, ¿vale? Entonces,
si tiene una aceleración hacia arriba, ¿cómo aplicaríamos la segunda
ley de Newton? Normal menos el peso, igual a MA. Luego la normal es el peso
más MA. ¿Y si la aceleración es hacia abajo? Pues lo positivo será el
peso, peso menos la normal, igual a MA. Luego la normal será igual al peso
menos MA. ¿Vale? Porque si baja con una aceleración A, sería peso menos
la normal, igual a MA. Luego la normal es peso menos MA. Bien, entonces
¿qué podemos decir? Que la normal no tiene por qué ser el peso. Claro,
si fuese a velocidad constante o estuviese en reposo, sí. Pero no es el
caso. Bueno, no es el caso, no lo concreta. Si dejamos las cosas claras.
Vale. Entonces... Entonces, efectivamente lo que dice aquí, que sólo
será igual cuando el ascensor esté en reposo o tenga un movimiento
rectilíneo uniforme. ¿Eh? Un movimiento rectilíneo uniforme. ¿Vale?
Bien. Vamos con la siguiente. Dice, un cuerpo se mueve en una dimensión.
Esta es la ecuación de X en función de T. Y nos pide la aceleración.
Bueno, la aceleración es la derivada. ¿No? Derivamos dos veces. ¿No? Y
nos damos cuenta al derivar, pues que la aceleración depende de la... Es
proporcional a X. ¿No? Es a exponente menos alfa t. Bueno, vamos a verlo.
Es decir, tenemos x de t igual a a por e elevado a menos alfa t. ¿De qué
depende la aceleración? Bueno, la velocidad será derivada, esto es menos
alfa por a por e elevado a menos alfa t. Si volvemos a derivar, que es la
derivada de la velocidad, vuelvo a derivar, ¿no? Menos por menos da más,
sería alfa cuadrado por, perdón, alfa cuadrado por a por e elevado a
menos alfa t. Entonces, ¿qué nos queda? Alfa cuadrado por x de t. Vemos
que la aceleración es proporcional a qué? A la elongación, ¿no? Bien,
aquí lo tenemos, ¿no? Bueno, directamente proporcional a la elongación.
Seguimos. Dice, un cuerpo parte del origen x igual a cero y se mueve hasta
x igual a d con aceleración constante. Cuando está en mitad del pseudo
recorrido, su velocidad instantánea, que es mayor o menor que su velocidad
media, ¿no? Bueno, pues vamos a verlo, ¿eh? Vamos a verlo, ¿no? Vamos a
cambiar y vamos a ver a mitad del recorrido si su velocidad es mayor o
menor que la media, ¿vale? Bien. Vamos a cambiar de página. Entonces
tenemos parte del reposo, ¿no? Tiene una aceleración A, velocidad inicial
nula, una velocidad V al recorrer una distancia D, ¿no? La velocidad media
que es igual al espacio recorrido partido el tiempo invertido en recorrer
ese espacio. ¿Y cuál será ese tiempo invertido en recorrer ese espacio?
Sabemos que el espacio es velocidad inicial por tiempo más un medio de AT
cuadrado, ¿no? Aquí el espacio es D, no hay velocidad inicial, es un
medio de AT cuadrado. Luego el tiempo en recorrido. Recorrer ese espacio
sería 2D partido por A raíz cuadrada, ¿vale? Entonces la velocidad media
sería D partido raíz, bueno, raíz de A quedaría arriba y abajo
quedaría raíz de 2D. Por lo tanto sería raíz cuadrada de A por D
partido raíz de 2. Sería la velocidad media. ¿Vale? Ahora bien, ¿cuál
sería la velocidad a la mitad de ese tramo? ¿No? Pues V cuadrado menos V
sub 0 cuadrado es igual a 2AD. ¿Cuál será la velocidad cuando ha
recorrido la mitad? Pues raíz cuadrada de A por D. Pues será la velocidad
cuando ha recorrido la mitad. ¿Y esto qué es? ¿Más grande o más
pequeño que la velocidad media? Es más grande porque la velocidad media
está dividida por raíz de 2. Por lo tanto, la velocidad instantánea que
tiene la partícula cuando está a la mitad, ¿no?, de recorrido, es mayor
que la velocidad media. ¿De acuerdo? Vamos a continuar. Volvamos al
documento. Dice, el gradiente de un escalar en un punto, ¿qué le pasa al
gradiente de escalar en un punto? Es perpendicular a las curvas de niveles.
¿Para verlo? Las curvas de nivel. El ángulo que forma con las curvas de
nivel depende del punto. Bueno, el gradiente, ¿no? Bueno, el gradiente de
un escalar, de un campo escalar en un punto, si estamos en un campo de
fuerzas, ¿no? Vamos a estar en un campo de fuerzas, no sabemos que F es
menos el gradiente de la energía potencial, por ejemplo, ¿no? Claro, si
tenemos una fuerza, si tenemos una función que solo depende de una
coordenada, ¿no? Podemos decir que el módulo F es menos la derivada de la
energía potencial con respecto de X, ¿no? Si estamos solo con una
componente. Bueno, ¿qué hay que saber? Bueno, el gradiente es un vector
perpendicular a las líneas de campo, a las curvas de nivel, como queramos
llamarle. Siempre perpendicular. Y va siempre... En sentido creciente.
Creciente, ¿no? El gradiente es un incremento donde crece el campo, hacia
donde crece el campo, ¿no? Me indica el gradiente. Otra cosa es que la
fuerza sea menos el gradiente. Es otra cuestión. Pero que el gradiente
como tal es perpendicular a las líneas de campo, nos indica la línea, la
dirección de máxima variación del campo. Y va dirigido siempre hacia
puntos crecientes. El vector campo correspondiente, en este caso la fuerza,
tiene la misma dirección que el gradiente, pero sentido contrario. Es
decir, tiene sentido decreciente del gradiente. A puntos de menor energía
potencial, en este caso. De todas formas, aquí la pregunta es mucho más
sencilla. Basta con contestar que es perpendicular a las curvas de nivel.
Pero ya que estamos... Estamos razonando. Estamos razonando. Pensadlo esto
que es importante también. Vamos con el siguiente, donde nos dan que la
energía potencial de un cuerpo viene dado por esta ecuación y nos piden
los puntos de equilibrio. Bueno, los puntos de equilibrio. Tenéis una
función potencial, ¿no? Como veis aquí, en función de x, que es 2x cubo
menos 3x cuadrado. 2x menos 3 por x cuadrado, ¿no? Entonces esta función,
¿vale? Entonces, ¿qué son los puntos de equilibrio? ¿Cuáles son los
puntos de equilibrio? Bueno, es que hemos visto que la fuerza es menos la
derivada, ¿no?, de la energía potencial con respecto de x. Podemos
trabajar con el módulo, pues solo tenemos una componente, más que el
módulo, una componente, la componente x, la coordenada x, ¿vale? Bien,
¿cuáles serán los puntos de equilibrio? Los puntos de equilibrio son los
que hacen que la fuerza se anula. Son los que hacen que la fuerza se anula.
¿Y cuándo la fuerza es nula? Pues aquellos puntos cuya derivada de la
energía potencial se igualan a cero, ¿vale? Entonces, la derivada, ¿no?,
lo tenéis aquí, sería 6x cuadrado... Bueno, 6x igual a cero. Y tenemos
estas dos soluciones. Para x igual a cero y para x igual a uno. Pero
después, claro, estos son los puntos de equilibrio. Que son los que hacen
que la fuerza, que la fuerza que actúa sobre la partícula es nula. Pero
saber si son puntos de equilibrio estable o inestable. Habrá que hacer,
habrá que ver si son máximos o mínimos. ¿Cuál sería la segunda
derivada? 12x menos 6. Si la derivada es positiva, la segunda derivada es
positiva, se trata de un mínimo. Y por lo tanto es un equilibrio estable.
Y si es, la derivada es negativa, se trata de un máximo. Y por lo tanto es
un equilibrio inestable. Daos cuenta que para x. Para x igual a cero,
¿qué pasa? Para x igual a cero. La segunda derivada es negativa. Se trata
de un máximo. Y para x igual a uno es positiva, se trata de un mínimo.
¿Veis? Para x igual a cero, la segunda derivada es negativa, se trata de
un máximo. Acordaos de mates. ¿Veis? x igual a 1 la segunda derivada es
positiva se trata de un mínimo entonces fijaos ahora yo me invento una
gráfica donde tenemos un máximo en x igual a 0 y un mínimo aquí. Pues
aquí, por ejemplo, tenemos un máximo y aquí tenemos un mínimo. Esto es
nx igual a 0 y aquí es nx igual a 1. ¿Vale? Entonces, en el mínimo
tenemos un punto de equilibrio estable. ¿Por qué? Porque se llama
estable. Porque pequeñas variaciones de esta posición en torno al x igual
a 1, la partícula tiende a volver a ese punto. Por eso se llama un punto
de equilibrio estable. Pequeñas variaciones de posición nos tiende a
volver a este pozo de potencial. Sin embargo, para x igual a 0, no,
pequeñas variaciones a la derecha o a la izquierda me hacen perder ese
punto. Enseguida ya no estará en ese punto de equilibrio. Por eso se llama
inestable. Un punto de equilibrio inestable. Estable e inestable. ¿De
acuerdo? Bueno, no tenemos más aquí de estos. ¿No? Bien. Vamos ahora a
trabajar, nos queda un ratito, otras actividades que tenemos aquí para
practicar. Vamos allá. Vamos a ver este ejemplo. Tenemos un muelle de
constante elástica K, un plano inclinado de altura h, y aquí tenemos un
coeficiente de rozamiento en esta superficie. Pero el coeficiente de
rozamiento está limitado. Está limitado... aquí, ¿vale? Un espacio S,
¿vale? ¿Vale? Tenemos un cuerpo que se deja caer desde una altura
determinada, ¿vale? Un cuerpo de masa m por un plano inclinado alfa,
¿vale? Solo hay rozamiento en el tramo horizontal. ¿Qué hace este
cuerpo? Cuerpo choca con el muelle y se comprime una distancia X. Una
distancia X. ¿Qué vale mu? Todo es dato. La H es un dato. La masa es un
dato. S es un dato. La K es un dato. La X es un dato. Pero no sabemos la
mu. ¿Podemos calcular la mu? Dice que choca. Choca y se comprime una
distancia X. No nos dice que aquí tenga una masa determinada. Hay que
pensar que en ese choque, hay que suponerlo perfectamente elástico, lo que
hace es comprimir al muelle. Y toda la energía cinética que tiene el
bloque, toda la energía cinética que tiene el bloque, se la transfiere al
muelle y se comprime. ¿Vale? No nos hablan de una masa, de una masa de
esa, de lo que tenemos delante del muelle, que va a incidir el bloque. No.
Es una masa despreciable. Entonces, queremos saber qué valdría mu. Mirad.
Pues, por ejemplo, podríamos aplicar que el trabajo de rozamiento es igual
a la variación de energía mecánica de nuestro sistema. ¿Y cuál es la
variación de energía mecánica? ¿Y cuál es el trabajo de rozamiento? Si
estamos en un plano horizontal, Tenemos el peso, la normal, ¿vale? El
trabajo de rozamiento es fuerza de rozamiento por espacio y por coseno de
180 que es menos 1. Menos mu, mg por S. ¿Y cuál es la variación de
energía mecánica? La energía mecánica final menos la inicial. La final,
la del muelle comprimido y la inicial, la potencial del cuerpo ahí arriba.
Y ya está. Igualamos todo desconocido menos la mu y de aquí sacaríamos
la mu, el coeficiente de rozamiento que tendríamos en ese espacio
recorrido donde hay rozamiento. ¿De acuerdo? Bueno, pues hemos hecho esto
de otro. Ejemplo, ¿eh? Vamos a conocer otro ejemplo, si os parece. Tenemos
un péndulo balístico de longitud L masa M, ¿vale? Y tenemos una bala de
masa M' que incide a una velocidad v. Y esa bala, perdonad, esa bala incide
sobre este bloque y sale a una velocidad v', que es v tercios, que es v
tercios, ¿no? La pregunta ¿cuál es? ¿Cuál es la velocidad de la bala
para que el cuerpo dé una vuelta completa, el péndulo dé una vuelta? El
péndulo. ¿Cuál debe ser la velocidad de la bala para que el péndulo dé
una vuelta completa? ¿Vale? ¿Qué quiere decir que dé una vuelta
completa? Pues que llegue a la posición de arriba y no se caiga por
relación del peso, ¿no? Esto es el peso, esto es la tensión, esto es la
tensión, ¿no? Entonces, si queremos que dé la vuelta arriba, ¿eh?,
¿qué tiene que suceder? Ojo, esto es la aceleración normal, ¿eh? Pues
aplicamos la segunda ley de Newton, F igual a m por a sub n, y tenemos que
la tensión más el peso es igual a m por a sub n. Pero la mínima
velocidad para que dé la vuelta va a estar que la tensión sea cero.
Luego, Mg es igual a Mv cuadrado partido por L. Luego, la velocidad que
tiene que tener arriba la bala, perdón, la bala, el péndulo, disculpad,
sería raíz cuadrada de Lg. Esta es la velocidad que tendría que tener
arriba. Ahora bien, para que arriba el péndulo tenga esta velocidad, hay
que ver qué velocidad tiene que tener abajo. Por energías, ¿no? La
energía mecánica abajo igual a la energía mecánica arriba. Abajo sería
un medio de Mv sub a cuadrado. Y arriba sería Mgh, que es 2L, más la
energía cinética arriba, V sub b cuadrado, que es Lg, ¿no? Un medio de V
sub a cuadrado, es igual a 2Lg más un medio de Lg. Con todo, me queda que
la velocidad que tiene que tener abajo, después del impacto, el péndulo,
es raíz cuadrada de 5Lg. Raíz cuadrada de 5Lg. ¿De acuerdo? Ahora bien,
si esta es la velocidad que tiene que tener el péndulo después del
impacto, ¿cuál ha de ser la velocidad de la bala? Bueno, como es un
choque, ojo, la resultante de las fuerzas externas es cero, ojo, que no es
un choque elástico, ¿eh? Esto no es un choque elástico. ¿De acuerdo?
Entonces... La cantidad de movimiento de la bala antes del choque más la
del bloque, que está en reposo, ha de ser igual a la cantidad de
movimiento de la bala después del choque, que es V tercios, más la masa,
que hemos dicho que le corresponde una velocidad de raíz cuadrada de 5Lg.
¿Vale? A partir de aquí podemos calcular nosotros la velocidad de la
bala, que tiene que tener la bala, ¿no? Entonces, 1 menos un tercio son
dos tercios. Dos tercios de M' por V es igual a M raíz cuadrada de 5Lg.
Por lo tanto, la velocidad de la bala tiene que ser... Tres medios de M
partido por M' raíz cuadrada de 5Lg. Salvo error u omisión, ¿no? Que nos
puede haber pasado. Pero vamos a revisarlo un momento, ¿eh? Voy a
revisarlo un momento, ya que estamos aquí y con esto acabamos, ¿no? Hemos
dicho que nos pide la velocidad de la bala para que salga con V tercios,
¿eh? Hemos visto que arriba del todo, para que dé la vuelta, la tensión
basta que sea cero, la tensión más el peso es M por A, las dos van hacia
abajo positivas, y Mg, por lo tanto, la velocidad basta que sea raíz
cuadrada de Lg, arriba del todo. Para que arriba tenga esta velocidad de
raíz cuadrada de Lg, pues tenemos que abajo tiene que tener una energía
cinética... El péndulo, arriba del todo una energía potencial, sube una
altura 2L, más 1 medio de M por V cuadrado. ¿Dónde está V cuadrado?
Efectivamente, este V cuadrado es LG, que lo hemos calculado previamente.
Por lo tanto, V sub A, si multiplico esto por 2, me queda 4 y 1, 5 raíz
cuadrada de 5LG. Entonces, como tenemos previamente un choque, el choque,
la resultante de las fuerzas externas es cero. La cantidad de movimiento
antes del choque, la cantidad de movimiento de la bala, M'V, más la
cantidad de movimiento del péndulo, que es cero porque está en reposo,
será igual a la cantidad de movimiento de la bala, que su velocidad es la
tercera parte, es menos, más la cantidad de movimiento del bloque, que ha
de tener el bloque justo después, del choque, para que llegue arriba en
esas condiciones. Vale, 1 menos un tercio son dos tercios, y esta velocidad
de la bala, pues sería 3 medios de M partido de M', donde M es la masa del
bloque y M' es la masa de la bala. En función de esa relación de masas,
pues esa velocidad tendrá que ser mayor o menor. ¿De acuerdo? Bueno, pues
yo creo que hemos hecho este repaso, hasta aquí hemos llegado. Muchas
gracias. Mucho interés, yo creo que nos ha ido bastante bien la
plataforma, al hacerlo en estos momentos. Pues nada, muchas gracias.