Buenas tardes. Estamos en Lenguaje Matemático Conjuntos y Números. Hoy
vamos a ver el tema 3, la primera parte del tema 3, que es Relaciones entre
Conjuntos. Vemos las propiedades básicas de una relación. Una relación R
definida en un conjunto U es un subconjunto de producto cartesiano U por U
que puede tener las siguientes propiedades. La propiedad reflexiva. La
relación es R es reflexiva si y solo si para todo X que pertenece a U el
par XX está incluido en R. Pues de otra forma, para todo X que pertenece a
U se verifica que X está relacionado con X. Es otra forma de decir lo
mismo. La propiedad simétrica, la relación es simétrica si la relación
inversa está incluida en R. O sea, para todo X, Y que pertenece a U, se
verifica que X, si X está relacionado con Y, también Y está relacionado
con X. O sea, si encontramos el par X, Y, también encontraremos el par Y,
X. La propiedad antisimétrica es que una relación antisimétrica, si la
intersección de la relación inversa y la relación está incluida en el
conjunto de pares X, Y, X. Si X, para todo X, que pertenece a U. Puesta de
otra forma, expresado de otra forma, sería que para todo X. Si X, que
pertenece a U, se verifica que si R está relacionado con Y, y Y está
relacionado con X, entonces X es igual a Y. La propiedad transitiva, si R
es... La relación R es transitiva si y sólo si la composición de la
relación con sí misma está incluida en la relación. O sea, puesta de
otra forma, para toda X y Z que pertenecen a U, se verifica que si X está
relacionado con Y y está relacionado con Z, entonces X está relacionado
con Z. Vemos la relación de equivalencia. Una relación es de
equivalencia, dada una relación en un conjunto U, se denomina relación de
equivalencia si posee las propiedades reflexivas. Para todo X, X está
relacionado con X. La propiedad simétrica para todo XY que pertenece a U,
si X está relacionado con Y, entonces Y también está relacionado con X.
O sea, si encontramos en la relación, si hay el par XY, también hay el
par YX. Y a la propiedad transitiva, para todo X y Z que pertenecen a U, se
cumple que si X está relacionado con Y y Y está relacionado con Z,
entonces X está relacionado con Z. Clases de equivalencia. Dado la
relación de equivalencia en el conjunto U, se denomina clase de
equivalencia al conjunto de todos los elementos de, o sea, X que pertenece
a U, que estén relacionados con él, ¿vale? ¿Vale? Sería, se representa
por XR este conjunto, o sea, todos los conjuntos, todos los elementos del
conjunto U, o sea, todos los elementos Y de U que estén relacionados con X
forman la clase de equivalencia correspondiente a X. Este conjunto se
representa por XR o X claudator. Evidentemente, si X está relacionado con
Y. Entonces, la clase X es igual que la clase Y. Si X no está relacionado
con Y, la intersección de la clase X con la clase Y es el conjunto vacío.
O sea, dos clases distintas no tienen ningún elemento común. Por tanto,
la intersección de estos dos conjuntos es el conjunto vacío. el conjunto
de todas las clases de equivalencia se llama conjunto cociente se hará una
relación de equivalencia en el conjunto 1 el conjunto cociente que se
designa por x barra r como dividido pero barra inclinada hacia la izquierda
al conjunto de todas las clases de equivalencia que genera la relación
entonces vemos la partición de un conjunto la partición de un conjunto es
una familia de subconjuntos o sea, la partición de un conjunto U es una
familia de subconjuntos de U disjuntos 2 a 2 cuya unión es el conjunto U o
sea, expresado formalmente para cualquier par de conjuntos de la familia se
cumple que la intersección es vacía ¿vale? son disjuntos y la unión de
todos los elementos de la familia es igual al conjunto U una relación de
equivalencia r dividida en un conjunto U genera una partición de este
conjunto, ¿vale? O sea, el conjunto de las clases de equivalencia son los
subconjuntos de U, disjuntos 2 a 2 y la unión de todos ellos es U, ¿vale?
Recíprocamente, si tenemos una familia de subconjuntos de U, se puede, una
familia, si tenemos una partición F de un conjunto U, la familia de
subconjuntos que es una partición de U, se puede definir una relación de
equivalencia mediante la siguiente definición. X está relacionado con Y
si sólo sí existe un conjunto de la familia tal que el conjunto formado
por ellos, por X y Y, pertenece a este conjunto. Tenemos que, a partir de
una relación de equivalencia, podemos generar una partícula, una
partición del conjunto y si tenemos una partición también podemos
generar una relación de equivalencia. Vemos la otra tipo de relación
importante que es la relación de orden. Dada una relación R en un
conjunto U, se denomina relación de orden si posee las propiedades
reflexiva, o sea, para todo X que pertenece a U, X está relacionado con X.
Antisimétrica, para todo XY que pertenece a U, si X está relacionado con
Y e Y está relacionado con X, entonces debe ser que X debe ser igual a Y.
La transitiva es que para todo X y Z que pertenecen a U, si X está
relacionado con Y e Y está relacionado con Z, entonces X está relacionado
con Z. O sea, importante, la relación de equivalencia tiene las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. La relación de orden tiene
la propiedad reflexiva, antisimétrica y transitiva. Consigamos las
siguientes observaciones. La relación R se dice que es una relación de
orden total si la relación inversa y la relación R generan todo el
conjunto producto cartesiano U por U. Si entonces se verifica que para todo
X y que pertenece a U, tomando dos elementos cualesquiera, o X está
relacionado con Y o Y está relacionado con X. Para remarcar que una
relación de orden no es total, se indica con el término relación de
orden parcial. O sea, sería una relación de orden que no sería de orden
total. O sea, habría elementos que no todos los elementos del conjunto
estarían relacionados. O sea, al par formado por un conjunto y una
relación de orden definida X, En él se le llama conjunto ordenado. A
medida que las relaciones de orden se representan por este símbolo que
parece un menor o igual, de manera que la expresión A relacionado con B se
lee como A precede a B, o sea, A está antes que B. La relación A sin el
símbolo igual, o B como mayor, pero al revés, también, o sea, puesto a
la derecha, la a la derecha y el símbolo puesto al revés, se indica que A
precede a B y A es distinto de B. Vemos los intervalos en un conjunto
ordenado. Esto se puede asociar... con lo que son los intervalos abiertos
en la ordenación de los números reales. Intervalos abiertos, cerrados,
semiabiertos. Entonces, pero diferente contexto, ¿eh? Pero para asociarlo,
para que quede mejor, se puede asociar porque entonces más o menos es lo
mismo, ¿vale? El intervalo abierto paréntesis A y B es el conjunto de los
elementos de U, tales que A precede a X, pero no puede ser igual, ¿vale? A
X y X precede a B, pero X no puede ser igual a B. El intervalo cerrado
claudator AB es el conjunto de los elementos X que pertenecen a U, tales
que A precede a X y puede ser igual a X y X precede a B, y puede ser igual
a B, ¿vale? Intervalo semiabierto es cada uno de los conjuntos.
Paréntesis A claudator B. El conjunto de los elementos X que pertenecen a
U, tal es que A precede a X y A es distinto de X. Y X precede a B, ¿vale?
Y X puede ser igual a B. El claudator A, B paréntesis, otro intervalo
semiabierto, sería el conjunto de los elementos X que pertenecen a U, tal
es que A precede a X, pero A puede ser igual a X. Y X precede a B, pero X
no puede ser igual a B. ¿Vale? Puede observarse que si la A es igual que
la B, el intervalo... El intervalo abierto A, B, o sea, es igual que el
intervalo semiabierto paréntesis A claudator B y que el intervalo
claudator A, B paréntesis es igual al conjunto vacío, no tiene ningún
elemento. El intervalo cerrado claudator A, B claudator es igual al
conjunto unitario A que es igual al conjunto unitario B porque A es igual
que B. vemos los intervalos iniciales y finales, parecido a aquello de las
semirrectas de números reales. Dados un conjunto ordenado U con una
relación de orden definida de esta forma, que parece menor o igual pero no
es menor o igual, también puede ser menor o igual, evidentemente sería
una relación de orden en el conjunto de los números reales, se denominan
intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos. Intervalo inicial
abierto es el conjunto de los X que pertenecen a U, tal que X precede a
todos los X preceden a A. Se representa parecido a aquello de lo que son
las semirrectas. Paréntesis, flecha a la izquierda, A, paréntesis.
Entonces serían todos los elementos que preceden a sin, contraria a la A.
Intervalo final abierto sería al revés, el conjunto de los elementos X
que... tales que A precede a todos ellos, ¿vale? Entonces, A se representa
A, este símbolo, X, ¿vale? O sea, parecido a aquello para asociar un poco
con lo que son el intervalo a una semirrecta del número hacia el infinito
del número A, ¿vale? Números reales. Intervalo inicial cerrado sería el
mismo que el intervalo inicial abierto, pero aquí sí que puede, se puede,
se entra el número A. O sea, si el conjunto de todos los X que preceden a
U, tal es que X precede A y X puede ser igual a A, ¿vale? El intervalo
final cerrado, clavadator A, flecha, paréntesis, si el conjunto de todos
los elementos de tal, o sea, de todos los elementos X, que son precedidos
por A, ¿vale? Sería A y A puede ser A. Puede ser igual, ¿eh? Se puede
tomar A. Vemos definiciones que esto es importante de cara a hacer
ejercicios. Dice, dados un conjunto ordenado, U, con el símbolo del orden,
y un subconjunto A de U... ... Se denomina cota superior del conjunto A,
una cota superior de A es cualquier elemento U que precede a todos los
elementos, que es precedido por todos los elementos de A, ¿vale? El
elemento este puede también pertenecer a A, pero entonces tiene otro
significado. Cota inferior es de un subconjunto A, de U, es un elemento D
que verifica que para todo X de A, D precede a todos los elementos de este
conjunto. A es un conjunto acotado superiormente. Si existe, o sea, A, el
conjunto A se dice acotado superiormente. Si tiene una cota superior, y se
dice acotado inferiormente, si tiene una cota inferior. Un conjunto que
esté acotado superiormente e inferiormente se dice que está acotado.
Vemos definiciones, más definiciones de esto de Neo. Dado un conjunto
ordenado U y un subconjunto A de U, se denomina máximo del conjunto A es
un elemento del conjunto A tal que está, que es precedido por todos los
elementos X de A. Si lo hubiera puesto en símbolos sería M pertenece a A
tal que para todo X que pertenece a A, X como este símbolo menor o igual
que M. Entonces este sería que X precede, o sea, todos, M está detrás,
representa de todo, es precedido por todos los elementos del conjunto. Y se
denota por max A, ¿vale? Mínimo del conjunto A es un elemento M, tal que
para todo X que pertenece a A, M precede a todos los elementos X del
conjunto A. Y se denomina min A, ¿vale? Sería como una cota... superior,
¿vale?, para el máximo, que forma parte del conjunto A. Y el mínimo
sería como una cota inferior que forma parte del conjunto A. El supremo en
conjunto A sería la menor de las cotas superiores. Y el ínfimo del
conjunto A sería la mayor de las cotas inferiores, ¿vale? O sea, S, que
precede a C1, sería el supremo si S precede a cualquier otra cota superior
de A, ¿vale? Y. Y es una cota inferior si I es precedida por cualquier
otra cota inferior de A, ¿vale? Se nota el supremo por sub de A y el
ínfimo por inf A. bueno, vemos la siguiente proposición, ¿vale? dados un
conjunto ordenado con la relación de orden y un subconjunto se tiene que
si existe el máximo o el mínimo, entonces este es único, o sea, solo hay
un máximo y un mínimo, si existen si existe el supremo o el ínfimo del
conjunto A entonces este es único si existe el supremo del conjunto A y
ese, o sea si existe ese, el supremo del conjunto A y ese pertenece a
entonces este es el máximo de A y si existe el ínfimo del conjunto A y
este pertenece al conjunto A este es el mínimo del conjunto A la propiedad
del buen orden nos dice que si tenemos un conjunto ordenado ¿vale? una U
con una relación de orden, se dice que es un conjunto bien ordenado porque
la relación es una buena ordenación si cualquier subconjunto del conjunto
U tiene un mínimo, ¿vale? El elemento mínimo de cada subconjunto se
denomina primer elemento, ¿vale? O sea, se dice la propiedad de buen orden
si cualquier subconjunto de un, o sea, cualquier subconjunto A de un, tiene
primer elemento. En este caso, un elemento mínimo. En este caso se llama
primer elemento. Vemos la propiedad del supremo, se dice que un conjunto
ordenado verifica la propiedad del supremo si y sólo si todo su conjunto
no vacío está acotado superiormente, todo su conjunto, y posee supremo. O
sea, hay, existe una cuota superior mínima. Otro concepto importante que
es un poco abstracto y a veces difícil de entender es el de maximal
mínimo. y minimal, ¿vale? Dados un conjunto ordenado U y un subconjunto A
de U, se denomina maximal del conjunto A es un elemento M tal que no existe
que no es que no, o sea, un elemento que no es precedido por ningún otro
elemento, ¿vale? del conjunto A, ¿vale? O sea, un elemento maximal,
¿vale? es un elemento del subconjunto A que no es precedido por ningún
otro elemento del conjunto A. Un elemento minimal M es un elemento que no,
o sea, maximal es M no precede a ningún otro elemento, ¿vale? que no
preceda a ningún elemento X, ¿vale? Un elemento minimal es un elemento M,
¿vale? tal que cualquier otro elemento X no precede a M, o sea, no va
delante de M. Y el otro sería cualquier elemento X, no hay ningún otro
elemento que vaya detrás de M, ¿vale? Puesto ya en lenguaje no tan
técnico, pero se entendería más, ¿vale? Si esto puesto ordenado,
¿vale? Yo no podría encontrar ningún elemento que fuera detrás de M. Y
aquí no podría encontrar ningún otro elemento que fuera a la izquierda
de M, ¿vale? Si el orden es total, los conceptos de maximal y máximo y
minimal y mínimo coinciden. Bueno, vemos ejercicios, ¿vale? Tenemos una
relación de equivalencia que define al conjunto de los números enteros,
¿vale? X en este caso sería congruente con Y módulo 5 si 5 divide a X
menos Y, ¿vale? O sea, una relación, ¿vale? X congruente con Y módulo
5, ¿vale? Pues se representa de esta forma. Dice, probar que es una
relación de equivalencia, ¿vale? Se trata de ver si verifica las
propiedades reflexiva, simétrica y transítica. Para la reflexiva tenemos
que tener presente, por ejemplo, que 0 es igual a X menos X. 0 es múltiplo
de cualquier número, evidentemente lo será de 5. Por tanto, tenemos que 5
divide a x menos x. Por tanto, se cumple que x es congruente con x módulo
5. Si vemos la simétrica, ¿vale? Si 5 divide a x menos y, evidentemente 5
también dividirá a y menos x. Por tanto, se cumple que y es congruente
con x módulo 5. La transitiva, si x es congruente con y módulo 5 e y es
congruente con z módulo 5, entonces, por definición, será 5 divide a x
menos y y 5 divide a y menos z. Por tanto, 5 también tiene que dividir a
la suma de ambas, ¿vale? x menos y más y menos z es igual a x menos z.
Por tanto, sería que 5 dividiría a x menos z y, por tanto, sería x
congruente. Con z módulo 5, ¿vale? Dice, formar las clases de
equivalencia. ¿Vale? La clase 0 está formada por todos los números tales
que el residuo de dividir por 5 sea 0. Por tanto, por ejemplo, todos los
enteros, ¿vale? Por ejemplo, menos 15, menos 10, menos 5, 0, 5, 10. La
clase 1, hoy supongo, ¿vale? Sería todos los números divisibles por 5,
¿vale? Que el residuo fuera 1, ¿vale? Menos 9, menos 4, 1, 6, 11, ¿vale?
A la clase 2, es un 2. Todos los números divisibles por 5 cuyo residuo sea
2. Por tanto, menos 8, menos 3, 2, 7, 12. La clase 3 sería a todos los
números enteros que al dividirlos por 5 el residuo fuera 3. Por tanto,
menos 7, menos 2, 3, 8, 13. Es un 4. Todos los números que al dividirlos
por 5 el residuo fuera 3. O sea, 4. Menos 6, menos 1, 4. 4. A 9, ¿vale? 9
partido por 5 sería de cociente 1 y el residuo 4, ¿vale? Por ejemplo,
menos 1 lo podría poner igual a menos 1 por 5 más 4, por tanto el residuo
sería 4. Menos 6 lo podría poner menos 5 por 2 más 4, ¿vale? Por tanto
el residuo sería 4, ¿vale? Después, todos estos conjuntos E0, E1, E2,
E3, E4 constituyen una partición del conjunto Z. Entonces el conjunto
cociente se representa por Z barra 5, ¿vale? Entonces, buscando las
intersecciones de 2 en 2, entonces sería, o sea, EI, EJ serían, si
distinto de J, siempre el conjunto Z. Vemos otro ejercicio, ¿vale? Tenemos
D sub N, el intervalo... cerrado, 0, 1 partido por n. Entonces, Sn es otro
intervalo 0, abierto, 1 partido por n, cerrado. Y Tn es otro intervalo,
cerrado por 0 y abierto en 1 partido por n, donde n pertenece a n este
disco. N este disco es el conjunto de todos los números naturales menos el
0, ¿vale? Quitando el 0, ¿vale? Empezando, por tanto, si yo compro los
números naturales, empezando en el 1, ¿vale? Entonces dice, hallar la
intersección de n, pertenece a n, de d sub n. Evidentemente, la
intersección pues es el conjunto vacío, ¿vale? La intersección de Sn, n
pertenece al conjunto n este disco, también será el conjunto vacío,
¿vale? Y la intersección de t sub n, no, lo digo mal, la intersección,
de d sub n, será n, Como el cero es abierto, ¿vale? Evidentemente será,
no será el conjunto vacío, sino que será el elemento cero, ¿vale? La
intersección de n pertenece a n asterisco. Es en este sí que será el
conjunto vacío. Y la intersección de t sub n, ¿vale? En este caso será
el elemento cero, ¿eh? También, si pasamos a la otra página, la
intersección de t sub n en el pertenece a n asterisco es cero. La
intersección de n pertenece a n es n, que es el conjunto vacío, no hay
ningún elemento. La intersección de n pertenece a n de t sub n es el
elemento cero, el conjunto unitario cero. Y también el conjunto unitario
cero. La otra aquí es el conjunto vacío. Bueno, vemos otro ejercicio. Sea
a el conjunto formado por los números dos, a partir de los dos, tres,
cuatro, cinco, va a ser el conjunto de los números naturales menos el cero
y el uno, ¿vale? Ordenado de la siguiente modo, x divide a y, ¿vale? Dice
hallar todos los elementos minimales. Si P es un número primo, entonces P
divide solamente a P, ¿vale? Porque 1 no pertenece a A, ¿vale? Por tanto,
entonces P se divide solo a sí mismo. Por tanto, todos los números primos
son elementos minimales, ¿vale? Si A no es primo, ¿vale? Si A no es
primo, existiría un número B que dividiría a A, ¿vale? Por tanto, B
estaría antes que A, ¿vale? Y B sería distinto de A. Por tanto, los
únicos elementos minimales, ¿vale? Son los primos, ¿vale? No hay ningún
elemento que esté delante, ¿vale? De estos números primos. De elementos
maximales no hay. Porque, por ejemplo, si A pertenece a A, es un elemento
cualquiera, A siempre dividirá, por ejemplo, a 2A, 3A, 4A, ¿vale? Por
ejemplo, ¿vale? Por tanto, D. Maximalmente. Maximal es 9. Bueno, sea cual
conjunto de los números racionales, ¿vale? Consideramos su subconjunto, o
sea, formado por todos los números racionales, tales que su cubo es menor
de 3, ¿vale? Dice, A está acotado superiormente. O sea, A está acotado
superiormente. Por ejemplo, yo puedo encontrar un número, por ejemplo,
cualquier número racional mayor que 2, ya sería una cota superior,
¿vale? Por tanto, no sé, por ejemplo, 50, que hemos puesto 50, es una
cota superior, ¿vale? A no está acotado inferiormente. Yo no puedo
encontrar, o sea, todos... Este conjunto sería infinito, ¿vale? O sea,
todos los números cuyo cubo, todos los números racionales cuyo cubo
serían... Sería menor que 3, ¿vale? Por tanto, ahí a la izquierda de
este 3, ¿vale? Hay infinitos, ¿vale? Por tanto, no está acotado
inferiormente. El supremo de A no existe, ¿vale? Porque sería un número
racional... ¿Vale? Cuyo cubo fuese menor que 3, pero hay muchos, ¿vale?
Por tanto, no hay uno único, ¿vale? El supremo si existe es único,
¿vale? Por tanto, aquí no existe, ¿vale? ¿Vale? Si esto fuera el
conjunto R, ¿vale? De ser Q fuera R, entonces sí, ¿vale? Entonces aquí,
¿vale? Una cota al supremo sería, por ejemplo, sería raíz tercera de 3,
¿vale? Este sería, no habría ninguna cota superior menor que esta,
¿vale? Esta sería la menor de las cotas superiores. Si fuera en vez de
Q... Si fuera en vez de Q fuera R, ¿vale? Pero en este caso para Q no, no
existe, ¿eh? Porque el supremo si existe es único, ¿eh? Como hemos visto
en la propiedad. Tampoco hay ínfimo, puesto que no hay cotas inferiores.
Si no hay cotas inferiores, no puede haber la mayor de las cotas
inferiores, ¿vale? Por tanto, si no hay cotas inferiores, pues no puede
haber la menor de las cotas o la mayor de las cotas inferiores, ¿eh?
Bueno, aquí dice sea n asterisco n menos del 0, que antes lo hemos puesto
pero no estaba definido así. Bueno, estaba definido así, lo hemos tomado
de esta forma, pero en principio aquí está expresado. Ordenado con x
divide a y. Dice, sea a sub 1, a sub 2, a sub 3, a sub n un subconjunto
finito de n asterisco. n asterisco sería todos los números naturales
menos el 0. Dice, ¿existe el infinito de a y existe el supremo de a?
Entonces, el máximo común divisor de los elementos de a siempre está a
la izquierda, ¿vale? Porque dividirá a todos ellos, ¿vale? Por tanto, en
este caso, ¿vale? El máximo común divisor es el ínfimo y existe
siempre, ¿vale? El mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo
sería el supremo del... ...de los elementos de a. ¿Vale? Porque el
mínimo común múltiplo es dividido por todos los elementos, ¿vale? Es el
menor número, ¿vale? divisible por todos estos. Por tanto, todos estos
estarían a la izquierda según la relación X y Y. Por tanto, el máximo
común divisor estaría a la izquierda y el mínimo común múltiplo
estaría a la derecha. Por tanto, este sería el mínimo común múltiplo
supremo y el máximo común divisor sería el ínfimo. Bueno, otro
ejercicio, dice, sea D, el conjunto este formado por estos números, el 1
no, ¿vale? Hasta el 10, pero entran el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 8, el
9 y el 10. ¿Vale? El 7 tampoco está, ¿eh? Ordenado por X es múltiplo de
Y. Por tanto, si, por ejemplo, el 4, que es múltiplo de 2, el 4 va antes
del 2, ¿vale? Por tanto, dice, hallar los elementos maximales, ¿vale? Los
elementos maximales serán el 2, el 3 y el 5, ¿vale? Porque siempre
serían, o sea, fijaros que, por ejemplo, el 10 es múltiplo de 2 y 5, el 9
lo es de 3, el 8 lo es de... A lo es de 2, ¿vale? El 6 lo es de 2 y 3. El
4 lo es de 2, ¿vale? Por tanto, los elementos maximales serían el 2, el 3
y el 5. Los elementos minimales serían el 8, el 9 y el 10. Y el 6 que me
había dejado, ¿vale? El 9 no está relacionado con el 6, ¿vale? Bueno,
está relacionado con el 8 tampoco con el 6 y el 8 con el 10. Pero, ¿vale?
Hay elementos, ¿vale? Que sí, ¿vale? Por tanto, estos elementos serían
minimales. El 9, el 6 y el 8. El 9 es múltiplo de 3, el 6 es múltiplo de
2 y 3, el 8 es múltiplo de 2. Y el 10 lo es de 2 y 5. No hay ni primer ni
último elemento porque en los maximales y minimales no hay solo uno, sino
que hay varios. Y aquí tampoco esta es una relación de orden total,
porque hay elementos que no están relacionados. En principio esto es todo,
el próximo día contaremos con la segunda parte del tema. A ver si hoy se
ha grabado, que hay un poco mejor, que el día pasado fue un desastre, no
se pudo grabar y a ver si hoy puedo colgarlo. Que os enviaré como el
último día, os enviaré este PDF y lo tendréis. A ver si hay suerte y
también os enviaré el enlace de la grabación. Muchas gracias por vuestra
atención y hasta el próximo día.