Hola chicos, a ver, eh, tutoría 4, inducción. Eh, ya sabéis que yo las
voy grabando y las voy subiendo. A veces las subo antes y os aviso tres
días más tarde y ya están subidas cuando sabéis. Y estas suelo subirlas
rápido además porque, porque sí. Pero intentaré ser más eficiente con
el tema de los correos. La teoría de la parte de inducción es más o
menos imposible porque es todo igual. Aquí el antiguo tutor ha recogido
cuatro teoremas pero son todos el mismo en realidad. Y lo que dicen es lo
siguiente. ¿Qué es esto de la inducción? La inducción tiene que ver con
el principio de buena ordenación. Y el principio de buena ordenación es
una cosa de matemáticas que es que los naturales están bien ordenados.
¿Y qué significa que están bien ordenados? Bien ordenados significa dos
cosas. Uno, que hay un primer número natural, que es el 1. Para mí es el
1. Hay otros que empiezan por el 0. Y yo estoy en el departamento de
didáctica de las matemáticas de la Universidad de Valencia y he tenido
discusiones sobre esto con algunos otros profesores y luego también en el
departamento de análisis matemático al que pertenecía en la Universidad
de Valencia. Y me parecen todas las discusiones tremendamente absurdas. Tú
cuando empiezas a contar, ¿empiezas por el 0 o por el 1? Entonces,
¿cuántos tontos hay en clase? ¿0, 1, 2? No. Empieza por el 1. Pues para
mí el primer número natural es el 1. Que es verdad que lo que tú
quieras, que a veces hay algunas propiedades que si valen para 1 también
suelen valer para 0 y tal, pero bueno. Esto ya es según gusto. Pero el
tema es que hay un primer número natural y luego, después de un número,
todos los números naturales tienen una cosa que se llama el sucesor. El
sucesor del número natural es el siguiente. Entonces, todo número natural
tiene un único sucesor. El sucesor del 2 es el 3. Y el sucesor del 7 es el
8. Y solo hay uno. Entonces, esto es genial porque puedes hacer todos los
números naturales solo con estas dos propiedades. Que hay uno que es el
primero y que todo su número tiene su sucesor. Porque como es el primero,
y haces el sucesor, y es el segundo. Y haces el sucesor del segundo, que es
el tercero. Y haces el sucesor del tercero, que es el 4. Y el sucesor del 4
es el 5. Y así haces todos los números naturales. Entonces, la idea es
aplicar esto a propiedades. Y ver que si tú puedes probar que la propiedad
se verifica para tu primer número y que la propiedad se verifica, y se
verifica para 1, se verifica para el siguiente, pues se verifica para 1, se
verifica para el 2. Si se verifica para el 2, utilizando que si se verifica
para 1, se verifica para el siguiente, también se verifica para el 3. Si
se verifica para el 3, utilizando que si se verifica para 1, se verifica
para el siguiente, se verifica para el 4. Entonces, se verifica para todos.
Porque si quieres probar que se verifica para 1, hay una cantidad finita de
saltos que te llevan hasta ese 1. Por lo tanto, se puede hacer. Un señor
podría sentarse y hacerlo. Por lo tanto, es cierto. ¿Vale? Ya está. Esta
es toda la teoría de inducción. Os voy a leer los 8 teoremas, pero es
todo esto. La idea es que, si tú puedes probar que la vamos a utilizar
para resolver problemas que tienen la forma, prueba esto para todo n. Y
entonces, ¿cuál es la teoría? La teoría es que un conjunto es inductivo
si tiene estas propiedades. Si el 1 está en s y si un número está en s,
el número siguiente también está en s. Entonces, s es n. Si n es un
subconjunto de s. Lo vuelvo a decir. Lo he dicho muy rápido y un poco mal.
Sea s un subconjunto de números naturales que satisface las dos
condiciones siguientes. Entonces, s es un subconjunto de los naturales. Es
un conjunto hecho de números naturales. Es una colección. No sabemos si
es finita o infinita. Pero sabemos que el 1 está en s. Y sabemos que si
tenemos un número natural, cualquiera, que está en s, entonces su
siguiente también está en s, su sucesor. Entonces, ¿qué pasa? Pues esto
es lo de la inducción. Como está el 1 y tenemos la propiedad 2, y está
el 1, está el 2. Porque k más 1 es 1 más 1. Pero como está el 2, está
el 3. Pero como está el 3, está el 4. Entonces están todos los naturales
en s. Pero como s es un conjunto hecho de números naturales, pues s es los
naturales. Esto es todo. ¿Cuál es la segunda modalidad de la inducción?
Que puedes hacer lo mismo, pero en vez de empezar... Esto es lo que os he
explicado antes de la inducción. Puedes hacer lo mismo, pero en vez de
empezar en el 1, empezando en el 40. Da igual. Lo que pasa es que al 40 lo
llamas el primer término y haces todo lo mismo. Pero el primero es el
segundo término. El primer término es el 40 y el segundo es el 41 y el
tercero es el 42. Pero como sigues teniendo esta propiedad que te permite
pasar al siguiente, pues todos los números desde el 40 hasta el infinito,
todos los naturales están dentro de tu s. Eso es lo mismo. Y lo mismo con
las propiedades. Puedes empezar por la propiedad en el 40 y luego pruebas
que todos los números a partir del 40 cumplen esa propiedad. Entonces hay
algunas propiedades que no la cumplen todos los números. Por ejemplo,
cuando yo estaba en primero de carrera hace ahora mismo exactamente 11
años... Yo de inducción en octubre, o sea que hace 11 años. Nos pusieron
un problema, que era probar que cualquier cantidad de dinero mayor o igual
a 80 euros, que sea múltiplo de 10, 90 euros, 100 euros, 110 euros, se
puede poner con billetes de 20 y de 50. Eso era un problema típico de
inducción. No era a partir de 1, era a partir de 80 y solo era para los
80, 90... Pero se podía probar con inducción con 10n a partir de n igual
a 8. ¿Vale? Y entonces estos son los típicos problemas que vamos a tener
en inducción. Esta sesión en realidad no da mucho de sí porque los
problemas... Al final es cogerle el truco y ya está. Vale. Como sabéis,
yo modelo el foro. Como me ha costado mucho conseguir los libros y luego
además encontrar tiempo para leerlo el foro, me ha costado un poco
contestar. Entonces me disculpo de antemano. Pero si alguno de vosotros ha
participado en el foro, pues ahí Sí, creo que sí porque antes he
saludado así vocalmente y me han saludado. Guay. No, sí parece que lo
oyen. Allí en el foro podéis participar. De hecho, yo como os dije, os
recomiendo que participéis en un momento dado porque yo luego os puedo
sugerir si participáis moderadamente para que os suban un 0,5. Entonces,
si os ha gustado el foro, os lo dejo en la descripción. Si alguien sube un
problema y no entiende cómo hacerlo, y hace una resolución y la cuelga y
dice, ¿me puedes ayudar, Jaime? No sé muy bien qué hacer en el tema que
modelo yo, que es el tema de inducción y luego es el tema de ecuaciones
biofánticas, pues yo luego lo sugeriré. Vale. Si alguien sube un problema
y luego llega otra persona y dice, ¿qué problema más interesante? Pues
eso no lo voy a contar con contribución. Tiene que ser que tú intentes
resolverlo, que intentes resolver la duda del compañero o que propongas
una duda que a ti no te sale y que veamos cómo lo hacemos. Vale. Bueno.
Alguien preguntaba, ¿cuándo uso el principio de inducción y cuándo uso
el principio fuerte de inducción? Este es el principio fuerte de
inducción, que lo que te dice es que puedes utilizar inducción no sólo
con la idea esta de que si se cumple para uno se cumple para el siguiente,
sino que le pides más. Si se cumple para todos los anteriores se cumple
para el siguiente. Si quieres probar que se cumple para n, no hace falta
que supongas que se cumple para n-1. Puedes suponer que se cumpla para
todos los anteriores a n-1 y luego probar que se cumple para el siguiente.
Y había una compañera que decía, no sé cuándo tengo que usar el
principio fuerte de inducción y cuándo tengo que usar el fuerte. Y hubo
un compañero que le contestó y le contestó correctamente. Entonces yo se
lo llegué para decir, muy bien, lo que ha dicho el compañero es verdad. Y
lo que dijo el compañero es, pues lo ves. Y esa es la idea. Al final
estás haciendo demostraciones por inducción y normalmente aplicas
inducción normal y vas haciéndolo. Y luego en un momento dado si te das
cuenta de que tienes que suponerlo para más que para el n-1 o para el n,
tienes que tirar también para atrás. O subes arriba en la hoja y pones,
supongamos que es cierto para todos los anteriores. Y ya está. Y es la
misma demostración pero suponiendo que es cierto para todos los
anteriores. Entonces yo estaba haciendo memoria antes y yo creo que en toda
la carrera, que me han hecho unas cuantas pruebas por inducción en
teoría, que aquí de normal veis menos teoría. Yo, claro, yo iba a una
universidad particular y entonces era todo el día en la pizarra, dando
teoría, pim, pam, pim, pam. Y le hacían muchas demostraciones que
vosotros tenéis en los libros. Y en las asignaturas de álgebra, por
ejemplo, hay mucha demostración por inducción. Porque muchas veces en
espacios vectoriales haces demostraciones sobre la inducción del espacio o
en los grupos haces demostraciones sobre el tamaño del grupo. Entonces yo
creo que solo ha habido una demostración en toda la carrera que hayamos
usado el principio de inducción fuerte. Una. Y la idea siempre es la
misma. Que en vez de partir entre n-1 y n, pues partes como en... n lo
partes en la mitad y el doble. Entonces tienes que suponerlo para n igual a
2 y para n partido por 2. Porque en vez de partir, digamos, de forma
aditiva, a partir n en n-1 y n, por la forma en la que se construye el
problema, tienes que partirlo en 2, en n igual a 2 y en n igual a n
menos... o sea, en k igual a 2 y en k igual a n partido por 2 o en k igual
a n menos 1. Entonces para juntar el caso 2 con el caso o k igual a n menos
1 o k igual a n partido por 2, necesitas inducción fuerte porque tienes
que suponerlo también para k igual a 2. No sé si lo he explicado, pero
bueno. Lo que quiero decir es que a veces, tal cual, cuando vas haciendo la
demostración te das cuenta de que necesitas también casos anteriores.
Pero no es un problema. Simplemente añades en la hipótesis que lo puedes
suponer también para cualquier... de hecho podríamos usar siempre,
podríamos usar siempre al principio de inducción fuerte. Porque como es
cierto y es más fuerte que al principio de inducción, pues es un poco
matar moscas a cañonazos, pero se puede usar. Entonces, no sé si os ha
quedado claro lo que os he pedido contar. Yo creo que es muy difícil.
¿Qué es la diferencia? La diferencia es que, si yo quiero probar que
todas las cantidades de estas de euros múltiplos de 10 se pueden pagar con
billetes de 20 y de 50, yo supongo que yo puedo pagar 10n con billetes de
20 y de 50 y ahora quiero probar que 10n más 10, que es 10 por n más 1,
lo puedo pagar con billetes de n y de 50. De hecho, vamos a ver... ¿Qué
quiero hacer? Un poquito esto. Pizarra, por favor. Entonces, si yo quiero
probar esto, pues entonces yo tengo que... yo puedo escribir al final 10n
con... como, uy, este no me lo he preparado, ahora verás que divertido,
50k más 20 por x. Donde k y x son enteros y yo supongo, entonces ¿qué
hago? Esto es lo que quiero probar. Entonces lo primero que hago es n igual
a 1. Pero en este caso habíamos dicho que era n igual a 8 porque es a
partir de 80. Entonces lo primero que hace es probar con n igual a 8. ¿Por
qué no con n igual a 7? Igual era n igual a 7, que son 50 más 20. n igual
a 7. 70 son 50 más 20. Ya has probado el primer caso. Y ahora sigues.
Entonces ¿qué es lo que tienes que probar? Que si la propiedad es cierta
para n, entonces la propiedad es cierta para n menos 1. Entonces yo
escribía siempre, supongamos que existen... La propiedad es cierta, que
existen k y z de forma que 10. Y n es 50k más 20. Y yo creo que esto no se
hacía así, o sea que creo que no me va a salir. Pero bueno, vamos a
intentarlo. Entonces la pregunta es, ¿lo puedo hacer para n más 1? Y
entonces ahora me pongo 10n más 1. 10n más 1 es 10n más 10. Entonces,
¿cómo se hacen los ejercicios de inducción? En los foros se habla mucho
del motor de inducción. Yo lo llamo hipótesis de inducción, pero es lo
mismo. Yo lo llamo hipótesis porque tú has dicho supongamos, entonces es
una hipótesis. Pero bueno, también es lo que... Lo que hace es que la
inducción funcione después, entonces le puedes llamar motor. Entonces lo
que haces es aplicar lo que has supuesto. ¿Qué has supuesto? Que 10n es
igual a 50k más 20x. Lo bueno que tienen los problemas de inducción es
que no hace falta que sepas lo que estás haciendo. Simplemente tienes que
buscar el hueco donde puedes aplicar la hipótesis y aplicarlo ahí. Porque
solo sale más o menos una... O sea, solo sale donde lo puedes aplicar.
Entonces aquí, ¿dónde está? Aquí. Entonces lo puedes aplicar aquí. Y
10n es 50k. 50k más 20x más 10. Y ahora tienes que transformar esto en 50
por algo más 20 por algo. Entonces lo que se me ocurre a mí hacer ahora
es decir lo siguiente. Imagínate que estos son billetes de verdad. Y tú
quieres que te cambien. Quieres deshacerte del billete de 10. Tienes una
serie de billetes de 50, una serie de billetes de 20 y un billete de 10. Y
quieres que te cambien y tener solo billetes de 50 y billetes de 20.
Imagínatelo. ¿Qué podemos hacer, por ejemplo? A ver a quién se le
ocurre algo. Tienes dos billetes de 20 y uno de 50. ¿Vale? Dice 3 de 20 y
uno de 50. ¿Vale? Tenemos dos posibilidades. Si x es mayor o igual que 2,
podemos decir que esto es 50k más 20 por x menos 2 más 20 por 2 más 10.
Que estos son... 50 por k más 1 más 20 por x menos 2. ¡Din, din, din,
din! Otra opción. ¿Vale? Entonces hemos quitado dos billetes de 20 del
montón. Lo hemos juntado con el billete de 10 y hemos hecho un nuevo
billete de 50. Entonces por eso lo he añadido a los 50k más 1. Otra
opción es coger un billete de 20... De 50, perdón. Y el billete de 10 y
convertirlo en 3 de 20. Entonces es hacer 50 por k. 50k menos 1 más 20x
más 50 más 10. Que es lo mismo que 50k menos 1 más 20 por x más 3.
Cambio un billete de 50 y uno de 10 por 3 de 20. A ver, ¿qué más habéis
dicho? 3 de 20 y uno de 50 creo que es lo que he hecho. Ah, 4 de 20. 4 de
20 y uno de 50. No lo entiendo. No lo entiendo, Lorena. A mí se me
ocurrían estas dos. Si no, ¿cuáles son las posibilidades? Que k valga 0.
O sea, ¿cuáles son las posibilidades que no están cubiertas aquí?
¿Cuáles son las posibilidades que no están cubiertas aquí? En total,
¿no podrían quedar 4 de 20? ¿Podrían quedar 4 de 20? O sea, ¿cuál es
el cambio que quieres hacer de billetes? ¿Coger uno de 50? Claro, yo
pensaba que era ese 50 y de 10 por 3 de 20. Ahí te coges uno de 50 y uno
de 10 y coges 3 de 20. ¿Puedes repartir la segunda? Ah, ¿repetir la
segunda? Claro. Fijaos, lo repito las dos. Si tengo más 2 o más billetes
de 20, puedo coger 2 de los billetes de 20 del montoncito, coger mi billete
de 10, hacer mis camusca Mickey Mouse y sacar un billete de 50. Entonces lo
meto, el billete de 50 me lo cambian en el estanco y lo meto con mis
billetes de 50 y me desecho de mi billete de 10. Ese sería el 1. Bueno,
entonces cojo dos de mis billetes de 20, los junto con mi billete de 10 y
esto me da 50 y este 50 lo pongo aquí. ¿Qué pasa si ahora estoy en la
circunstancia que ha sido otra de las propuestas de que tengo al menos un
billete de 50? Como tengo al menos un billete de 50, me puedo ir al
estanco. No vayáis al estanco, no coméis. Y entonces cojo el billete de
50 y el billete de 10, lo transformo en 60 euritos y me lo dan en 3
billetes de 20 y estos 3 billetes de 20 están aquí camuflados. Entonces
sigo teniendo aquí unos enteros no negativos que me cumplen la fórmula.
¿Cuáles son los casos que no estoy considerando? Pues tendría que ser x
menor que 2 y k menor que 1, porque son los opuestos. Porque yo he dicho o
este o este funcionan. Pues cuando no... Yo no he probado nada cuando no
ocurre este y no ocurre este. Cuando estamos en el opuesto de las dos,
¿vale? Las propiedades estas de... ¿Cómo se llama este señor? Mors,
Mers, Morsi, Mor... Bueno, que la unión de los complementarios es la
intersección. La unión de los complementarios es el complementario de la
intersección. Bueno, la idea es que si x es mayor o igual que 2, funciona.
Si k es mayor o igual que 1, funciona. O sea que el único caso en el que
no funciona es cuando k es menor o igual... ...que 1 y x es menor que 2.
Cuando ahora k es menor que 1, no tenemos ningún billete de 50. Pero la x
es menor que 2, entonces tenemos un billete de 20. O cero billetes de 20,
porque la x es el número de billetes de 20 que tenemos. Pues no puede ser
que estemos en n igual a 7 o más. Entonces hemos cubierto todos los casos
posibles para n mayor o igual que 7. ¿Vale? Este era un problema
curiosín. Es decir, la inducción que tiene, que es más didáctico y más
de mi facultad que de lo que estamos haciendo aquí en la UNED de
magisterio. De tal, que ahora además estoy haciendo valor numérico con
los de geometría y es muy divertido. Pero en esto consiste más o menos lo
que es la inducción. Lo que pasa es que este era un poco más creativo.
Vamos a ver uno que sea un poquito más de sota caballo y rey de toda la
vida de la inducción. El de toda la vida. ¿Queréis que hagamos el de
toda la vida? 1 más 2 más 3 más... ...más n es igual a n por n más 1
partido por 2. Entonces, ¿cómo se hace un problema de inducción?
Primero, se comprueba para n igual a 1. ¿Qué pasa en n igual a 1? Pues 1
a un lado del igual y esto es 1 por 1 más 1 partido por 2. 1 por 2, 2
partido por 2 es igual a 1. Ok. Y luego hay que probar que si la propiedad
se cumple para n, entonces la propiedad se cumple para n más 1. Entonces
suponemos que es cierto para n y lo podéis escoger. Supongamos...
...que... Y aquí copiáis esto. 1 más 2 más 3 más... ...más n es igual
a n por n más 1 partido por 2. Y entonces... Bueno, un inciso. También
podéis hacer n menos 1 implica n. Esto es lo que más os gusta. O n
implica n más 1 o n menos 1 implica n, además. Entonces ahora, cuando
tenéis que probar una igualdad en inducción, lo más fácil es coger...
Cuando tenéis que probar una igualdad en matemáticas... ...y si no os
habéis acostumbrado ya, ya os tenéis que acostumbrar... ...es empiezas
por un lado y llegas al otro. No vas haciendo cadenas de equivalencia a
saber dónde llegas. Eso también funciona. Pero la mejor manera de probar
una igualdad en matemáticas es que empiezas por un lado y llegas al otro
lado encadenando iguales. A veces no puedes y tienes que hacer cadenas de
desigualdades, pero bueno. La manera más elegante de probarlo es empezar
por un lado y acabar en el otro. Y en inducción muchas veces se puede
hacer. Lo que tenéis que hacer es elegir el lado bien. Hay un lado con el
que es fácil y un lado con el que es difícil. ¿Cuál es el lado más
fácil? ¿Cuál es el lado fácil? Aquel lado en el que se ve más
fácilmente el motor de inducción. Tú tienes que probar esto ahora. Esto
es cierto para n más 1. Entonces sustituyes... Esto era la suma hasta n,
entonces ahora tienes la suma hasta n más 1. Escribes tu ladito para n
más 1. Y escribes tu ladito para n más 1. ¿Vale? Estamos de acuerdo que
lo que yo he escrito es lo mismo que tenía arriba pero con n más 1. Cada
n la he cambiado por un n más 1. Lo que pasa es que aquí tenía una
suma... Hasta n. Entonces he hecho la suma hasta n más 1. Aquí tenía un
n y he puesto un n más 1. Y aquí tenía un n más 1. Entonces he puesto n
más 1 más 1, que es n más 2. ¿Vale? ¿Estoy yendo demasiado rápido?
No, si usted deja este problema... ¿Ya te estoy yendo demasiado rápido?
Si estoy yendo demasiado rápido me lo decís que voy a ir. Sí, no. ¿Qué
va? Sí, va. ¿No? Vale, guay. Yo creo que el siguiente es el primero que
hay que hacer. El primero que hay que hacer. Ah, vale, vale. Muy bien.
¿Cómo lo hacemos? Pues hay que identificar el lado en el que es más
fácil aplicar el motor de inducción. ¿Qué pasa? Míralo. Aquí ya
está. Entonces solo tienes que meterlo. Si coges este lado, tendrías que
transformarlo en esto para poder después aplicar el motor de inducción.
Más difícil. Al final tienes que, en tu cosa de n más 1, encontrar el de
n para poder meterlo y sustituir. Entonces, ¿qué pasa? Que esto de
aquí... Entonces empezamos con este lado. Uno más dos más tres...
Más... Más n más n más 1 es... Y ahora todo esto es igual por la
hipótesis de inducción o el motor de inducción a n por n más 1 partido
por 2. Entonces lo cambias. Esto es n por n más 1 partido por 2 más n
más 1. Entonces ahora haces denominador común, aquí le metes un 2 y esto
es n por n más 1 más 2 por n más 1. Y ahora, gracias a la magia de sacar
factor común... O si quieres, a la propiedad conmutativa del producto de
números reales... Pues esto es exactamente... Entonces aquí algunos
compañeros míos que eran así como muy redichos, pues ponían esto de
cómo queríamos demostrar. La abreviatura es ACQD o QED, es como en...
Cómo queríamos demostrar. Que era lo que queríamos hacer, ¿no? Cómo
queríamos demostrar. Y entonces esto es esto. Es simplemente... Pones una
señal para que dices, ya he acabado. Fíjate que ya he... Ya he acabado.
Entonces yo ponía un OK, o también hace mucha gente... Muchas veces la
gente coge un cuadradito y lo rellena. O coge un cuadradito y lo pone. O
pone como queríamos demostrar. O pone QED. QED también era algo de esto.
No sé si es en inglés, en latín, en Klingon... No lo tengo claro. En
éxito. Pero bueno. Es en latín. Si tenía más que una, debe ser en
latín. Eh... Todos los ejercicios de inducción. Iguales. Algunos son más
difíciles, otros son más fáciles. Y... Vamos a hacer otro. Que sea un
poquito más chungo. A ver qué tengo por aquí. No, había uno. Sí, dime.
Que todos los cuadrados eran 3K o 3K más 1. ¿Por inducción? No sé. Que
todos los cuadrados es 3K o 3K más 1... Es porque si tú haces... Son
módulos. Tú coges un número. Y el número... N. Y este número... Cuando
lo divides entre 3, ¿en qué acaba? ¿Cuál es el resto de dividir entre
3? 1. 0, 1 o 2. El resto de dividir un número entre 3, tienes 3
posibilidades. 0, 1 o 2. Si elevas al cuadrado, 0 al cuadrado. Si elevas al
cuadrado, es 0. Si elevas al cuadrado, 1. 1 al cuadrado, es 1. Y si elevas
2 al cuadrado, 2 al cuadrado es 4. Y 4 es congruente con 1. Esto significa
que... N al cuadrado es 3K más 1. Esto significa que N al cuadrado es 3K
más 1. Y esto significa que N al cuadrado es 3K. Cuando tienes... Cuando
un problema de estos de mierda no sale nunca, es de congruencia. Yo estuve
con el del primo más 1 y el primo menos 1 al cuadrado del otro día. En el
metro, mirándolo y remirándolo y volviéndome loco. Y luego lo busqué
en... Luego lo buscas y están todos los problemas hechos. Hay páginas de
estas que te resuelven los problemas porque la gente los pregunta en foros
y tal. Están todos hechos. Y son de congruencia siempre. Y es porque
cuando trabajas con aritmética modular, que es el nombre que recibe esto
de las congruencias, al final las cifras, los restos, se van cayendo como
digamos en puntos estables. Y de ahí ya no salen. Entonces hay algunos que
se pierden por el camino. Y siempre llegas a eso. O sea, el del P al
cuadrado menos 1 y el P al cuadrado más 1 era parecido. Era porque era un
primo impar diferente de 5 que lo elevabas al cuadrado y o era menos 1
divisible por 10 o era P al cuadrado más 1 divisible por 10. Y al final
era porque cogías la última cifra, era 1, 3, 7 o 9. Y al elevar al
cuadrado el 1 te daba 1. 9 por 9, 81 te daba 1. 3 por 3, 9 te daba 9. 7 por
7, 49 te daba 9. Entonces eran congruente con 1, 9. 9 módulo 10 y te
salía lo mismo que eso. Entonces al final era de congruencias. Ahí está
la tutoría hecha, la del último día que está hecho. Vamos a hacer otro
de inducción. Dime. Son todos iguales. Vamos a demostrar que la suma de
cuadrados impares es n por 2n menos 1 por 2n más 1. ¿La suma de dos
cuadrados impares? 2n menos 1 al cuadrado. 2n menos 1 al cuadrado más 2n
más 1. Ah, de todos. Vale, voy a dejarlo un segundito. Vale. 1 al cuadrado
más 3 al cuadrado más 5 al cuadrado más 2n menos 1 al cuadrado es n por
2n menos 1 por 2n más 1 partido por 3. n por 2n menos 1 por 2n más 1
partido por 3. Y luego cuando lo hacía en la fácula... A veces tenías
que sacar... Tú la fórmula, ya no me has jodido todavía. A ver. n igual
a 1. n igual a 1, que no se os olvide porque si os lo corrigiera yo os
quitaría la mitad del ejercicio y es una línea. Es simplemente poner 1 es
igual a 1 por 2 por 1 menos 1 por 2 por 1 más 1 partido por 3. Y esto es 1
por 1 por 3 partido por 3 que es 1. Y entonces pones, ok. O un tic, o una
carita sonriente, o que guapo eres profe, lo que quieras. Y entonces,
básicamente lo que hay que probar es esto. Ya os digo que podéis empezar
con el n más 1 si lo preferís. Pero bueno, supongamos que... 1 al
cuadrado más 3 al cuadrado más 5 al cuadrado más etcétera más 2n menos
1 al cuadrado. Entonces yo me escribo el término hasta n y cuando tienes
una suma sucesiva... Bueno, aquí ya he... Estoy en la suposición,
perdón. Entonces ya he llegado hasta aquí. Pero ahora cuando escriba el
término de n más 1, queremos probar. Y esto yo me lo escribía cuando
tenía vuestra edad. Me escribía, queremos probar que 1 al cuadrado más 3
al cuadrado más etcétera más 2n menos 1 al cuadrado. Me escribía la
suma hasta n. Luego escribía el término 2n. ¿Qué pasa cuando aquí esto
técnicamente es 2 por n más 1? Bueno, a ver. Tú aquí puedes sustituir
por n y ya está. Y te queda 2 por n más 1 menos... 2 por n más 1 menos
1. O puedes simplemente ver que es el siguiente impar. Pero es lo mismo. Es
lo mismo poner 2 por paréntesis n menos 1. Cierro paréntesis más 1. Y
ahora es n más 1. Como queráis. Y ahora el otro término tenemos que
sustituir toda n por un n más 1. La primera n por n más 1. La segunda n,
al sustituirla por n más 1, no lo escribo dos veces. Me queda 2n. 2n más
n más 1. Porque es 2n menos 2 más 1. 2n más 2 menos 1, perdón. Al
sustituir esta n por n más 1 me queda 2 por n más 2 por 1. 2 por n más 2
menos 1. 2n más 1. Y 2n más 1 al sustituir por n más 1 me queda 2n más
3. Esta es la forma que tiene tu propiedad en n más 1. Que es lo primero
que has de saber escribir. Tu propiedad para n más 1. Y luego lo que
estábamos hablando antes. Tienes que saber... Creo que tengo el
cacharrito. ¿Dónde vas a aplicar el término de deducción? Llevo el
botón, la hipótesis. ¿A la izquierda o a la derecha? ¿Dónde es más
fácil? A la izquierda es más fácil porque lo ves. Lo que tienes que
aplicar se ve... A ver si puedo por esto. ¡Oh! Ya estoy. Entonces. En el
término de la izquierda empezamos por el de la izquierda. Está bien que
os hayáis escrito el término de la izquierda. Y os hayáis escrito tanto
el término n como el término n más 1. Porque veis fácil cómo aplicar
el motor. Entonces el motor o hipótesis de inducción está aquí.
Escondidito. Entonces esto lo vamos a añadir. n por 2n menos 1. Por 2n
más 1. Partido por 3. Más 2n más 1. Y ahora. Vamos a mirar esto con un
poco de cariño. Tú quieres llegar aquí. ¿Vale? Entonces. Yo cosas que
se me ocurren. Aquí hay un 3. Si hago mínimo como múltiplo 3. Como un
denominador 3. Pues está bien. Es una cosa que puede estar bien. Porque al
final quiero tener un 3 en el denominador. Entonces puedo poner un 3 en el
denominador común. Otras cosas que veo. Que aquí hay un 2n más 1. Aquí
hay un 2n más 1. Y aquí hay 2n más 1. Puedo sacar factor común de 2n
más 1 y me va a simplificar los cálculos. Voy a hacer ambas cosas. Voy a
sacar factor común de 2n más 1. Entonces me quedaría n por 2n menos 1
partido por 3. Y luego voy a poner también el otro 2n más 1. Pues ya que
estoy lo meto dentro de la fracción con un 3ito. ¿Vale? Lo podéis hacer
en dos pasos si queréis. Yo lo hago en uno porque me estoy quedando sin
pizarra. Pero lo podéis hacer en dos pasos. Primero sacáis factor común,
el 2n más 1 y luego metéis el 2n más 1 dentro de la fracción.
Introduciendo un 3 en el numerador y un 3 en el denominador. ¿Qué vamos a
hacer ahora? Pues yo creo que lo mejor que podemos hacer en este caso,
desgraciadamente, es multiplicarlo todo. n por 2n más 1 es 2n al cuadrado
menos n. Esto es más 6n más 3. Entonces ¿qué te tiene que quedar? Lo
que te tiene que quedar son los términos que te faltan arriba. Vamos a
arreglar esto. Lo escribo arriba porque me estoy quedando sin espacio. Y no
quiero pasar de página que perderemos todo. ¿Cómo se ve el
contemporáneo de la fracción? Se ve... Pero la grabación no se ve. La
grabación la corta. Entonces como luego es igual hay gente que solo lo
había grabado, pues puede ser un desastre. Entonces 2n más 1 por... Esto
es 2n al cuadrado más 5n más 3 partido por 3. ¿Vale? Todo esto ahora
puede ser un poco pillo. Y tú ya sabes que lo que te quiere dar es esto.
No te lo tienes que inventar. Sabes que te quedan esos dos. ¿Vale? Esto
que te queda aquí tiene que ser el producto de esos dos. Porque te tiene
que dar eso. Entonces puedes factorizar esto utilizando una fórmula de
segundo grado, pero no hace falta. ¿Qué es n más 1 por 2n más 3? Es 2n
al cuadrado, 2n, 3n y 3. Pues separate este 5. Lo voy a hacer así a ver si
lo veis. 2n al cuadrado, 2n, 3n y 3. Partido por 3. Entonces fijaos que yo
aquí puedo sacar factor común. Yo veo fácil que aquí puedo sacar factor
común de n más 1. Aquí hay un 2n que multiplica a n más 1. Aquí hay un
3 que multiplica a n más 1. ¿Veis? Aquí este n más 1 y aquí este n
más 1. Dividido por 3. Y este n más 1 sale fuera. Entonces este es
dividido por 3 que teníamos. Y el n más 1 si queréis lo ponemos al
primero. El 2n más 1. Y el 2n más 1 lo ponemos al segundo y nos queda un
2n. Y ya hemos acabado. ¿Vale? Y entonces, vale, hay acta esta. Como
queríamos demostrar. Entonces, lo bueno que tienen los ejercicios de
inducción es que si coges el lado bueno y encuentras donde aplicar el
motor de inducción, sabes a dónde tienes que llegar. Entonces tienes que
arreglártelo de una manera fácil. Y este está hecho de una forma
elegante. En el sentido de que no has hecho un parón. No has dicho, y voy
a comprobar que ahora si factorizo este polinomio me da lo que yo quería.
Estaría bien hecho. Sería perfecto. Pero no. No es tan bonito como una
única igualdad a la que llegas hasta el final. Que bueno, esto de la
belleza de las matemáticas al final es subjetivo y cada uno hace las cosas
como quiere. Pero que es mi opinión que si empezáis a hacer cadenas de
equivalencias os vais a liar más. Es mejor empezar con un lado en estos de
inducción e intentar arreglar las cosas hasta llegar al otro. Igual, a
veces no te queda más remedio. Luego hay otros problemas típicos de los
que sí que me acuerdo que es, no tiene nada que ver con esto. Porque no lo
vamos a hacer nunca yo creo que aquí en matemática discreta. Pero cuando
yo daba análisis 1 y dábamos sucesiones, y dábamos límites a
sucesiones, sucesiones convergentes, sucesiones acotadas, sucesiones
monótonas y todas estas cosas. Que supongo que las dais en primero
también en un momento dado. En análisis, en la asignatura de análisis,
había unos ejercicios que se llamaban sucesiones por recurrencia. Entonces
decían a sub n más 2 es igual a a sub n más 1 más 2 a sub n. Es posible
que lo veamos aquí también. Ahí sí que teníais que hacer al final
equivalencias para saber si esa sucesión estaba acotada o no porque era
imposible sin hacer las equivalencias. Estas que os digo de, porque te
querías probar que era todo menor o igual que 2. Y entonces decías, si a
sub n es menor o igual que 2, si solo sí, no sé qué es menor o igual que
2. Y aquí hacéis una estilización. ¿Qué quiero decir? Que hablo muy
rápido. Que el sí solo sí no está mal. Pero aquí en los enunciados
estos de inducción, igual es más fácil que hagáis una única cadena de
igualdades. Vamos a hacer otro. Y luego hay muchos de divisibilidad que se
pueden hacer por inducción. Vamos a hacer uno fácil, por favor. Porque
hay un... No estoy haciendo... No estoy haciendo los ejercicios del señor
Paco porque había algunos que eran un poco rarosos. No me gustan. Voy a
hacer dos. Que son muy parecidos. Demostrar que 4 elevado a 2n más 1 más
3 elevado a n más 3 es múltiplo de 13. Para todo n. Vamos a probar y
entonces tú dirías, si a ti te ponen esto en un examen y no te pone
inducción por ningún lado, tú tienes que informarte. Tú tienes que
informar al lector de lo que vas a hacer. Entonces tú dirías, voy a
probarlo por inducción. Vamos a probarlo por inducción. Lo probamos por
inducción. O por lo menos pondría inducción. Vamos a probarlo por
inducción. Y entonces dirías, n igual a 1. ¿Qué pasa en n igual a 1?
¿Qué tienes? 4 elevado. ¿Cuándo debemos saber lo que tenemos que hacer
por inducción? Pues es jodido. Puedes probar y si no sabes intentar otros
métodos. Es que al final... Es lo que dice el compañero. Que reducción
al absurdo sale muchas veces. Pero al final lo que sale por inducción,
muchas veces solo sale por inducción. En divisibilidad hay algunos que
salen por inducción y otros que salen a pelo. Depende. Estos de las
propiedades de las igualdades casi siempre salen por inducción. Probar que
no sé qué es igual a no sé qué para todo n. Y luego hay muchas
desigualdades que también, si son de n's, también salen por inducción.
Pero al final es cuestión de práctica. Cuando has hecho 20 ejercicios de
inducción ya sabes si uno que te ponen es de los que has hecho o no.
Porque al final no hay muchos ejercicios muy diferentes. Aquí tienes, en
la n igual a 1 es 4 al cubo. Y en la n igual a 1 aquí... ¿Esto lo he
escrito bien? No, lo he escrito mal. 3 al cubo. 4 al cubo son 64. 3 al cubo
son 27. 64 más 27 son 91. Y 91 suena a 13 por 7, ¿no? 70 más 21. He
hecho 3 por 7 y 7 por 10. O sea, n1... Ok. Y ahora, si se cumple para n, se
cumple para n más 1. Entonces, supongamos que 13 divide a 4 elevado a 2n
más 1 más 3 elevado a n más 2. Y ahora queremos probar que 13 divide a 4
elevado a 2n más 1 más 3 elevado a n más 2. Perdón. Lo he escrito mal.
4 elevado a 2 por n más 1 más 3 elevado a n más 1 más 2. Es decir,
queremos probar que 13 divide a 2 elevado a n más 3 más 3 elevado a n
más 3. Entonces, ¿qué hacemos? Buscar la hipótesis de inducción o el
motor. Buscarlo, buscarlo, buscarlo. Entonces lo voy a buscar. A ver si os
gusta como lo busco. Yo tengo esta cantidad de numerito. Entonces, yo
quiero buscar esto. Pues yo lo que he hecho cuando estaba haciendo los
ejercicios estos... Es decir, pues bueno... Voy a intentar escribir eso.
Pues de aquí tengo que sacar 2 para quedarme en el 2n más 1. 4 al
cuadrado por 4 elevado a 2n más 1. Es 4 elevado a 2n más 3. Y luego 3 por
3 elevado a n más 2 es 3 elevado a n más 3. Pues yo he puesto esto.
Entonces, estaba haciendo mal los cálculos porque he puesto 4 al cuadrado
igual a 8. Entonces estaba dando una idea de ostias en la cabeza pensando
cómo se haga esto. Es porque había puesto 4 al cuadrado igual a 8. He
utilizado las propiedades de las potencias, Lorena. ¿Qué pasa? Que 3
elevado a n más 2... A n más 3 es 3 elevado a n más 2 más 1. Y ese 3
elevado a 1 puedes sacarlo multiplicando. A ver, ¿es quien es el que tiene
una intuición? Solo queda un paso. ¿Qué hago cuando estoy aquí? Quiero
probar que 13 divide a este número. A ver si a alguien se le ocurre algo.
¿Identidad de Bezout? ¿Cuál es la identidad de Bezout? Yo tampoco lo
sé. No debería reconocer mis lagunas de esta manera. Es muy fácil.
¿Qué es divisibilidad? Divisibilidad es buscar el factor... 13 es primo.
No tienes que buscar muchos factores, tienes que buscar el 13. ¿Dónde
puedes encontrar el 13? Podrías intentar sacar factor común de 4 elevado
a 2n más 1 más 3 elevado a n más 2. Pero para poder sacar factor común
tienen que estar multiplicados por el mismo número. Entonces, ¿qué 13 es
un factor aquí? En 4 elevado a 2n más 1 más 3 elevado a n más 2. Pero
aquí no tienes 4 elevado a 2n más 1 más 3 elevado a n más 2. Tienes
unos coeficientes. Si pudieras sacar factor común de los coeficientes
sería ideal. Pero aquí tienes un 3. Y aquí tienes un 16. ¿Qué hacemos?
Tienes que buscar un 13. ¿De dónde te puedes sacar un 13 de la manga
aquí? 13 más 3, exacto. 16 es 13 más 3. Y entonces esto es 13 por 4
elevado a 2n más 1 más 3 por 4 elevado a 2n más 1 más 3 elevado a n
más 2. El 13 divide aquí y el 13 divide aquí. El 13 divide en la suma,
el 13 divide. Lo vuelvo a decir. El 13 divide aquí, por lo tanto divide
este término. Cuando el 13 divide en 2, divide a la suma. ¿Lo veis? La
idea es que... Aquí he separado este 13. F16 como 13 más 3. Entonces
multiplico, ¿no? 13 por esto y 3 por esto. Entonces me queda el término
del 13 y el término del 3. Y este 3 lo saco factor común con este 3
aquí. Y este término tiene un 13 dentro. Y este también tiene un 13
dentro porque está aquí. Entonces ese 13 digamos que lo saco factor
común. Lo que es lo mismo. Esto es 13 por tal y esto es 13 por k. Entonces
cuando escribes esto como 13 por k puedes sacar factor común del 13 y ahí
está. ¿Vale? Otro de estos. Así rapidito. Este es el más rápido, creo
que lo voy a hacer. Si lo encuentro. A ver... Tenemos un número impar. Y
hay que probar que 8 divide a 7n más 1. Este es del libro, puede ser. No
lo sé, creo que este lo he buscado en Google. O sea que puede ser que sea
del libro, puede ser que no. Lo he buscado en Google. Porque no me gustaban
los de las tutorías y he buscado ejercicios de inducción. A ver qué
salía. Pues esto es muy fácil. El tema es el siguiente. La inducción te
vale para todos los números naturales. Y aquí tienes los impares. Puedes
empezar a partir de un término, pero no puede haber huecos. ¿Vale?
Entonces tú no puedes aplicar inducción en la n. Porque la n no es un
conjunto inductivo. Un conjunto inductivo es un conjunto en el que si está
un número está su siguiente. Aquí está el 3 pero no está el 4. Porque
el 4 no es impar. Entonces tienes que probarlo para un conjunto inductivo.
Porque estás haciendo inducción. Entonces tienes que reescribir esto. Es
decir, tienes que escribir todos los impares indizados o indexados en los
naturales. Entonces en vez de escribir n vamos a escribir 2k más 1. O 2k
menos 1. Esto siempre es impar para todos los valores de k. Y ahora k sí
que está en los naturales. Vamos a poner 2k menos 1 para que sean todos
los naturales. Entonces lo que vamos a probar es que 8 divide a 7 elevado a
2k menos 1 más 1 para todo k en n. Y ahora como aquí pone para todo k en
n ya podemos aplicar inducción. ¿Vale? Ese es el primer click que tenéis
que hacer, el primer switch. No podemos hacer esto porque no es para todo
n. Es para n sin pares. Entonces hay que transformar la notación para que
sea para todos los naturales. Y ahora que lo tenemos para todos los
naturales pues nada. k igual a 1 ¿qué pasa? Que esto es 7 elevado a 1
más 1. 8 divide a 7 más 1. ¿Y qué pasa con k implica k más 1? Pues que
ahora tú coges 7 elevado a 2k más 1 menos 1 más 1. Y esto es 7 elevado a
2k más 1 menos 1. 7 elevado a 2k más 2 menos 1. 7 elevado a 2k más 1
menos 1. Lo de antes, lo de antes. Hay que buscar el motor de inducción.
Porque es 2k menos 1 y entonces es 2 por k más 1 menos 1. Y aquí puesto
2k menos 1. Porque he indicado así para que el primer, para que k igual a
1 me dé n igual a 1. k igual a 2 me dé n igual a 3 para empezar por el 2.
Entonces hay que buscar es más 1. Sí, es que parece un, esto es un más.
Esto es un menos. Y esto es un más. Entonces hay que buscar el motor de
inducción. ¿Cuál es el motor de inducción? Este. Entonces aquí esto lo
tengo que transformar en 2k menos 1. Porque aquí pone 2k menos 1. ¿Cómo
lo transformo en 2k menos 1? Pues sacando 7 al cuadrado. 7. Ahora 2k menos
1 más 1. ¿Vale? ¿Cómo me transformo este 2k más 1 en este 2k menos 1?
Que es lo que yo quiero porque yo quiero mi motor de inducción. Saco un 7
al cuadrado fuera. ¿Tiene 7 al cuadrado? 49. Y entonces tú aquí tienes
un 49 y tú lo que sabes es que sin el 49 sí que es divisible por 8.
¿Qué tengo que hacer? A ver quién lo saca. Exacto. Entonces esto es 48
por 7 elevado a 2k más 1. 48 es 6 por 8. Aquí hay un 8 más 1 por 7
elevado a 2k menos 1 más 1. Y aquí hay otro 8 porque te lo dice la
hipótesis de inducción o el motor de inducción. Entonces ya tienes un 8
en cada uno. Tienes un 8 que puedes sacar factor común. ¿Vale? ¿Está
claro este? Vale. Pues lo vamos a dejar aquí porque para qué seguir si
son todos tan parecidos. Entonces, tenéis la suerte o la desgracia de que
soy yo el que lleva el foro de inducción. Si tenéis dudas de inducción.
Oye Jaime, este no lo hiciste en la tutoría y te quiero matar. No me sale.
¿Cómo se hace? Y yo te lo explico. ¿Vale? Me podéis escribir por el
foro o por correo. Lo que queráis. Nos vemos el jueves que viene. El
jueves que viene, ecuaciones biofánticas que también llevo yo al foro. Ir
mirándolo. Me podéis escribir por ahí si queréis algo. Chao.