Cálculo diferencial Capítulo 3 Funciones trascendentes No entra la
sección 3-7 Capítulo 4 Aplicación de las derivadas La sección 4-5 es
optativa Aquí he puesto lo que trae la guía Diferenciación todas del
capítulo 2 menos la 12-11 es optativa Al capítulo 3, funciones
trascendentes No entra la sección 3-7 ¿Vale? Y en el capítulo 4 la
aplicación de las derivadas La sección 4-5 es optativa Bueno, dice Tiene
la gráfica de la función y igual a valor absoluto de x recta tangente en
x igual a 0 Razón en la respuesta La función valor absoluto por
definición es si la x es 0 o positiva es el mismo x Si la x es negativa es
el contrario Por ejemplo, el valor absoluto de menos 2 sería menos menos 2
que es 2 Entonces, si derivamos la derivada de x es 1 o sea, para x mayor o
igual que 0 sería 1 ¿Vale? Y la derivada de x para valores menores que 0
es menos 1 Por tanto, por la derecha del 0 tendría que ser la recta
tangente sería dependiente de 45 grados ¿Vale? Y por el lado izquierdo en
el mismo punto pues la pendiente a la recta tangente sería de 135 grados
Por tanto, en principio pues no es derivable Sería continua esta función
es un ejemplo de función continua pero que no es derivable O sea, recordad
que una función que sea derivable es continuada pero puede ser continua y
no ser derivable que es este caso ¿Vale? Este caso es un ejemplo de una
función que por la izquierda tiene una derivada por la derecha tiene otra
¿Vale? En cambio, en el punto x igual a 0 en este caso es continua ¿Vale?
Pero no es derivable Bueno, vemos otro ejercicio Dice Toda función
diferenciada en un punto es continua en dicho punto Razón en la respuesta
Ya lo hemos dicho antes ¿Ya? En principio sí ya que si es diferenciable
en a existe la derivada así por tanto si es derivable ¿Vale? En x igual a
pues aplicando la definición de derivada f' da igual al límite cuando h
tiende a 0 ¿Vale? Tanto por la derecha como por la izquierda el límite se
toma en global ¿Vale? Intervalo centrado en h igual a 0 por tanto estaría
en el punto estaría a la izquierda del punto y a la derecha ¿Vale? El
límite de f menos f partido por h ¿Vale? Entonces esto también lo
podemos poner multiplicando o por h sería el límite cuando h tiende a 0
de f' de a por h igual al límite cuando h tiende a 0 de f de a más h
menos f de a partido por h ¿Vale? Entonces este lado izquierdo
evidentemente el límite cuando h tiende a 0 de f' de a por h es igual a 0
¿Vale? Y el otro sería por tanto me quedaría que el límite cuando
simplificando las h el límite cuando h tiende a 0 de f de a más h menos f
de a es igual a 0 ¿Vale? Por tanto de aquí deduzco que el límite cuando
h tiende a 0 de f de a más h igual a f de a que es la definición de
continuidad en un punto continuidad en un punto es el existe el límite
cuando cuando x cuando en este caso poniendo a más h en vez de f de x el
límite cuando cuando x tiende a de f de x es igual a f de a que es lo
mismo que el límite cuando h tiende a 0 de f de a más h es igual a f de a
¿Vale? Cuando yo cojo puntos cercanos al a la función se acerca a f de a
¿Vale? Bueno otro ejercicio ¿Vale? Dice demostrar que f de x igual a x
cubo es creciente en cualquier intervalo ¿Vale? Estos son ejercicios que
han salido en diferentes exámenes ¿Eh? O sea no ejercicio a lo mejor de
de estos más cortos de puntuación alta sino de un punto un punto de 25 no
sé estoy hablando creo de años atrás ¿Vale? Por este mismo es es
sencillo ¿Eh? Demostrar que f de x igual a x cubo es creciente en
cualquier intervalo ¿Vale? Entonces sencillamente tengo que hallar la
derivada y f prima de x es 3x cuadrado que para todo x distinto de cero
¿Vale? Por tanto la función es creciente en todo intervalo o semirrecta
¿Vale? Esta esta función es siempre creciente y la derivada primera se
anularía en x igual a cero pero aquí tendría un ataque de horizontal
¿Vale? No no no escritura ni un máximo ni un mínimo ¿Vale? Porque
porque en cero si voy por la izquierda la función es positiva la derivada
es posible si voy por la derecha también es positiva ¿Vale? Por tanto la
función es siempre creciente aquí tendría un punto de inflexión una
inflexión pero aquí como no lo pide ¿Vale? Por tanto la función f de x
es creciente en todo intervalo o semirrecta de r ¿Vale? Bueno aquí dice
utilizar la diferenciación logarítmica ¿Vale? Aquí a veces no lo dice
pero este tipo de ejercicios casi casi es mejor hacerlo porque si no te
saldría una cosa muy larga o si no se utiliza la denominación
logarítmica casi siempre ¿Vale? Si no se utiliza la denominación
logarítmica sería mejor multiplicarlo todo que no escribiera un polinomio
de sexto grado arriba y de sexto grado abajo ¿Vale? Porque si no aún es
más complicado ¿Vale? Entonces aplicando la definición logarítmica
tenemos que el logaritmo de periano del valor absoluto de f de x es igual
al logaritmo de periano del valor absoluto de esto ¿Vale? Entonces bueno
aplicando las propiedades de los logaritmos los factores del numerador son
todos sumados por tanto sería logaritmo de periano Entonces, aquí me pide
f' de 2, ¿vale? Por tanto, yo aquí, en vez de hacer reducción y sentado,
ya sustituyo directamente, ¿vale? Me quedaría f' de 2 partido por f de 2
y sustituyo ya la x por 2, ¿vale? Por tanto, el primero sería 2x, sería
2 por 2, partido x cuadrado menos 1 sería 2 al cuadrado menos 1. El
segundo sería 2x partido... 2 por x cuadrado menos 2 sería 2 por 2
partido por 2 al cuadrado menos 2, ¿vale? El tercero, 2x partido por x
cuadrado menos 3 sería 2 por 2 dividido por 2 al cuadrado menos 3. 2x,
¿vale? Entonces, el otro igual, ¿vale?, sustituyendo, ¿vale? Y el otro
sería 2x partido por x cuadrado más 1 sería 2 por 2 partido... partido
por 2 al cuadrado más 1. Y el otro, 2x partido por x cuadrado más 2
sería 2 por 2 partido por 2 al cuadrado más 2. Y el otro sería 2x
partido por x cuadrado más 3 sería 2 por 2 partido por 2 al cuadrado más
3, ¿vale? Entonces, bueno, pasamos a la otra página. Ahora ya es
cálculo, ¿vale? Ya es cálculo simple. Entonces, bueno, haciendo
operaciones, f de... f'2 partido por f de 2, ¿vale? Entonces, bueno,
haciendo operaciones, ya es hacer operaciones abajo. Aquí sería, por
ejemplo, el primer factor sería, bueno, todo... Vemos que tengo 2 por 2
por 2 por 2 todo. Puedo sacar factor 1 del 2, ¿vale? Me quedaría f' de 2
partido por f de 2. Me quedaría 4 por f de 2, ¿vale? F de 2 lo he pasado
multiplicando. Por tanto, me quedaría un tercio más un medio más 1 menos
un quinto menos un sexto menos un séptimo. Bueno, tengo operaciones
buscando el mismo múltiplo de 3 por 2 por 5 y por 7, que son todos menos
el 3 por 2, 6. Bueno, menos el 6, entonces da 210. Y, por tanto, pues al
final f de 2 es 1 partido por 35, sustituyendo en la función. Y entonces,
pues bueno, el resultado final es este. Vale, ya está. Aquí otro,
calcular la derivada de esta función, ¿vale? Sería x igual a x que más
paréntesis 1 partido por 1 partido por 1. O sea, sería igual a
paréntesis x más paréntesis 1 partido por x menos 1. Cerrar paréntesis.
Elevado a menos... Menos 5 tercios, ¿vale? Entonces, bueno, aquí se puede
hacer bastantes cosas. Se podría también... Pero como está todo elevado
a menos 5 tercios, casi casi es mejor, pues, poner 1 partido por x menos 1,
poner x menos 1 a la menos 1 y elevado todo a menos 5 tercios. Y ahora que
me he arreglado la función, pues aplicar la derivada de una función
potencial y después a la regla de la cadena, ¿vale? Bueno, por tanto,
aquí... Pues sería menos 5 tercios por la función elevada a menos 5
tercios menos 1 por la derivada de 1, que es de x, ¿eh? De x, que es 1. Y
la derivada de x menos 1 elevado a menos 1, que sería menos 1, por x menos
1 a la menos 1 menos 1, que es menos 2, ¿vale? Bueno, entonces aquí, pues
ya nada, ¿vale? Me queda 5. Esto sería a menos 5 tercios menos... Menos 1
serían 8 tercios, menos 8 tercios que puedo pasarlo dividiendo al
denominador, ¿vale? Por lo tanto me queda 5 por... Multiplica 1, menos x
menos 1 elevado a menos 2, partido por 3, x por x menos 1 elevado a menos 1
y todo elevado a 8 tercios. Entonces aquí, bueno, para operar un poco
más, por ejemplo, los exponentes negativos los paso dividiendo al
denominador. Por lo tanto, por ejemplo, x menos 1 elevado a menos 2 pongo,
bueno, también el numerador, 5, bueno, menos, menos delante, 5 por 1 menos
paréntesis, entonces x menos 1 elevado a menos 2 pongo 1 partido por x
menos 1 elevado al cuadrado, ¿vale? Y abajo igual, ¿vale? Pongo 3x1
partido por x menos 1 y elevado todo a 8 tercios. ¿Vale? Bueno, aquí
podría, se podría seguir haciendo operatoria, pero no se reduciría
prácticamente nada, ¿vale? Entonces, pues bueno, en principio aquí
podría, por ejemplo, en el primer factor, pues podría poner en vez de 1
partido por x menos 1, podría poner 1 partido por x menos 1 al cuadrado,
sacar denominadores, me quedaría x menos 1 al cuadrado menos 1 partido por
x menos 1, esto arriba, ¿vale? Y abajo podría pasar multiplicando dentro
la raíz, que sería raíz tercera, de todo esto, de x más 1 partido por x
menos 1 elevado a 8, ¿vale? Entonces podría hacer el mismo con múltiplo,
x menos 1 por x más 1 elevado todo a 8, en el numerador y abajo x menos 1
elevado a 8, que lo podría sacar fuera, me saldría x menos 1 elevado al
cuadrado, me quedaría dentro x menos 1 también elevado al cuadrado,
¿vale? Entonces podría simplificar este x menos 1 con este otro, ¿vale?
Pero me quedaría un carro más largo que esto, ¿vale? En principio,
además si es un examen y tal, a veces pues te estás mucho rato haciendo
simplificaciones y cosas que tampoco llegas a ninguna parte. Entonces más
que nada es aconsejado dejarlo así, ¿vale? Dice, ¿en qué porcentaje
disminuirá el 6, eh? ¿En qué porcentaje disminuirá la longitud de la
diagonal de un cubo de hielo si el cubo pierde el 6%? El 6% de su volumen,
¿vale? Entonces, la diagonal de un cubo a la relación, la diagonal de un
cubo D en relación a la arista viene dada por D es la raíz, sería la
raíz cúbica, sería la raíz, la diagonal sería la raíz, el A raíz de
3, ¿vale? Si busco, por ejemplo, de un cubo de lado A, la diagonal de la
base me dará, sería A cuadrado más A cuadrado, raíz cuadrada de A
cuadrado más A cuadrado, que sería A raíz de 2, ¿vale? Entonces, con
esta y el otro lado, hago otro triángulo rectángulo, explico el teorema
de Pitágoras, sería A raíz de 2 al cuadrado, sería 2A cuadrado más A
cuadrado, por tanto, sería la raíz de 3 al cuadrado, por tanto, sería A
raíz de 3. ¿Vale? Por tanto, el volumen, que es el lado elevado al cubo,
por tanto, si la diagonal es A raíz de 3, A será D partido por raíz de
3, ¿vale? Por tanto, elevado al cubo será D al cubo partido por 3 raíz
de 3, ¿vale? Si el volumen disminuye un 6%, ¿vale? Volumen, le ponemos
V1, que será el valor de la nueva diagonal partido por 3 raíz de 3,
¿vale? O sea, el volumen, hemos visto que quedaba V igual a D a la 3
partido por 3 raíz de 3, ¿vale? Entonces, sería A raíz de 3 elevado al
cubo, puedo sacar fuera, ¿vale? Por tanto, me quedaría, o sea, la
diagonal sería, la A sería D partido por raíz de 3, ¿vale? Al cubo
sería D al cubo partido por... raíz de 3 elevado a 3, que puedo poner,
sacar un 3 fuera y un 3 dejarlo adentro. O sea, me quedaría raíz cuadrada
de 3 al cubo, ¿vale? Bueno, entonces, el nuevo volumen, pues sería V1
igual a D3 partido por 3 raíz de 3, diciendo, siendo D1 la diagonal del
nuevo cubo. Entonces, se cumple que V1 sea igual a 1 menos el 6%, por
tanto, 1 menos 0,06V, ¿vale? Por tanto... Sería V1 sería igual a 0,96V,
¿vale? Por tanto, sería 0,96, la V es D cubo partido por 3 raíz de 3,
igual a D sub 1 al cubo partido por 3 raíz de 3. Por tanto, de aquí
deduzco que D sub 1 es raíz cúbica de 0,96 por D, ¿vale? 0,96 es raíz
cúbica de 24 partido por 25. Vale, entonces, D sub 1 partido por D sería
raíz cúbica de 24 partido por 25D y partido por D. Por tanto, esto me
queda raíz cúbica de 24 partido por 25. Por tanto, ¿cuánto habrá
disminuido? Por tanto, habrá disminuido 1 menos la diagonal de 1 menos
este valor, ¿vale? El nuevo valor es este, por tanto, la disminución era
de 1 a este valor, ¿vale? Por tanto, restando esto, bueno, se puede dejar
ya de esta manera, ¿vale? Y haciendo cálculos, pues en principio, pues
aproximadamente es 1,3515%, la diagonal, ¿eh? Bueno, vemos otro ejercicio.
Calcular la derivada de la función. Aquí, fijaros que en el otro, en el
ejercicio que hemos visto, aquí dice aplicando la definición
logarítmica. Por tanto, aquí te marca cómo lo debes hacer, ¿vale? O
sea, aquí te dice aplicando la definición logarítmica, ¿qué podría
hacer también? Podría haber multiplicado arriba todo, multiplicado todo
abajo, me quedaría la derivada de un cociente y haberlo buscado, ¿vale?
Entonces, hayo la derivada de un cociente, sustituyo por 2 y hayo la
derivada. Pero aquí te dice lo que tienes que hacer. Por tanto, tienes que
hacer como te lo dicen, ¿vale? Si te lo dice aplicando la definición
logarítmica, lo tienes que hacer así, ¿vale? Bueno, en este otro, aquí
no lo dice, ¿vale? Aquí no lo dice, pero, claro, esto es bastante...
Bastante complicado. Si tengo que derivar arriba un producto, la derivada
de x5 o entrar adentro de x5 y tal, pues me queda bastante complicado. En
cambio, si aplico la definición, la diferenciación logarítmica o la
derivación logarítmica, pues me queda más fácil, ¿vale? Yo aplico el
logaritmo de periano de y es igual a logaritmo de periano de x a la 5, que
es 5 logaritmo de periano de x, más el logaritmo de periano porque está
multiplicado de 3 más x, a la 6, por tanto, será un medio del logaritmo
de periano de 3 más x a la 6, menos logaritmo de periano de 4 más x
cuadrado elevado al cubo, que puedo poner 3 logaritmo de periano de 4 más
x cuadrado, ¿vale? Entonces aquí, pues, derivo término a término
logarítmicamente, ¿vale? La derivada logarítmica de y, del logaritmo de
periano de y, es y' partido por y, ¿vale? La derivada de 5 logaritmo de
periano de x es 5 partido por x. La derivada de un medio logaritmo de
periano de 3 más x a la 6 es un medio que no se deriva. La derivada de
logaritmo de periano de 3 más x a la 6 es el denominador 3 más x a la 6 y
en el numerador la derivada de 3 más x a la 6, que sería 6x a la 5,
¿vale? Menos 3 por la derivada del logaritmo de periano de 4, más x
cuadrado, ¿vale? En este caso, la derivada del logaritmo de periano de 4
más x cuadrado es 4 más x cuadrado en el denominador y en el numerador la
derivada de 4 más x cuadrado. La derivada de 4 es 0 y la derivada de x
cuadrado es 2x. 2x por 3 serían 6x. Bueno, entonces aquí, pues, nada,
haciendo operaciones, ¿vale? Multiplicando, haciendo el mismo común tipo
de x por x más 3, 3 más x, 6, 4 más x cuadrado, todo esto multiplicado
es el mismo común tipo. Pues aquí, pues, haciendo lo de siempre, ¿vale?
El 5 lo multiplicaré por 3 más x a la 6 por 4 más x cuadrado. El otro,
el 3x a la 5 lo multiplicaré por x y por 4 más x cuadrado y el 6x lo
multiplicaré por x y por 3 más x a la sexta, haciendo operaciones.
Operaciones en un número, el denominador se deja igual, ¿vale? Me queda,
finalmente, reduciendo, ¿vale? Me queda 60 menos 3x cuadrado más 8x a la
6 menos 4x a la 8, ¿vale? Partido por esto. Entonces, la derivada y prima
sería todo este factor multiplicado por y que sería esto de aquí,
¿vale? Entonces, pues, poniendo de esta forma, ¿vale? Pues me quedaría,
¿vale? Y prima igual todo lo que he encontrado, ¿vale? La y es esto,
¿vale? Es la función. Y entonces, bueno, puedo aquí, tengo aquí x a la
5, ¿vale? Bajo tengo x, puedo simplificar x a la 5 con x, ¿vale?
Después, bueno, pues aquí tengo 4 más x cuadrado elevado a 3 por 4 más
x cuadrado, me queda 4 más x cuadrado a la cuarta, ¿vale? Raíz cuadrada
de, me queda raíz cuadrada de 3 más x cuadrado a la 6 y abajo tengo 3
más x a la 6. Por tanto, esta de aquí la puedo simplificar con esta de
aquí que sería esto elevado, la raíz elevada al cuadrado y me quedaría
así. Y entonces, pues ya el resultado sería esto, ¿vale? Bueno, otro, un
poco que parece que no es muy de poner en un examen, pero bueno. Dice,
¿cuál es la velocidad de cambio de área de un cuadrado con respecto a la
longitud L de su diagonal? Bueno, si el cuadrado es, el lado del cuadrado
es A, ¿vale? El área es lado por lado, lado al cuadrado, ¿vale? La
diagonal, ¿vale? La diagonal, por tanto, aplicando el teorema de
Pitágoras sería L cuadrado igual a cuadrado más al cuadrado. Por tanto,
L cuadrado igual a 2 al cuadrado. Por tanto, la L sería la raíz de 2 al
cuadrado. Por tanto, sería A raíz de 2, ¿vale? Por tanto. El área en
función de la longitud L de la diagonal sería L, o sea, la, el lado A,
sería si L es igual a raíz de 2, el lado A sería L partido por raíz de
2, ¿vale? Al cuadrado, al cuadrado será L partido por raíz de 2 al
cuadrado, que será L cuadrado partido por 2. Por tanto, el área sería L
cuadrado partido por 2. La velocidad con respecto a la longitud L de la
diagonal, pues sería la derivada, ¿vale? La derivada del área respecto a
la diagonal. Esta sería la velocidad, la derivada del área respecto a la
diagonal. El área es L cuadrado partido por 2. Por tanto, sería la
derivada de L cuadrado, eso es L, partido por 2 es L. Por tanto, ya tenemos
la velocidad, ¿vale? Sería igual a la diagonal. Bueno, otro. Dice CF de
X. X, la función definida por X cuadrado, sería un definir a trozos, X
cuadrado si la X es mayor o igual que 0. Menos X cuadrado si la X es menor
que 0. Dice, ¿es el punto, es 0 un punto crítico? Punto crítico quiere
decir un punto que anule la derivada, ¿vale? En principio, para hallar
máximos y mínimos, primero buscamos los puntos si es punto crítico, y
colando la derivada a 0, ¿vale? O a infinito, ¿eh? En este caso, sería a
0, ¿vale? Por tanto, en este caso, aquí tenemos que 0, evidentemente, X
igual a 0 es un punto crítico porque la derivada, evidentemente, F prima
de 0 es 0, ¿vale? Si derivo por arriba, ¿vale? Me queda 2X, la derivada,
y menos 2X. En ambos casos, la derivada en 0 es una función que es
continua, ¿vale? 2X, sería 2X si la X es mayor o igual que 0 y menos 2X
si la X es menor. Por tanto, aquí, ambas curvas empalman con la misma
pendiente, ¿vale? Sería continua, ¿vale? Y además, la pendiente sería
la misma. Entonces, el punto, evidentemente, es un punto crítico porque F
prima de 0 es 0. En X igual a 0, la función tiene un punto de inflexión,
¿vale? Si yo derivo dos veces, ¿vale? F segunda sería 2 si la X es mayor
que 0 y menos 2 si la X es menor que 0, ¿vale? O sea, si la X es mayor que
0, la derivada segunda es 2. Y si es menor que 0, es 0. Por tanto, aquí,
en 0, ¿vale? En pasa, ¿vale? En 0, que no está definida la derivada
segunda, pero sí que hay un cambio, ¿vale? A la derecha sería una
función que a la derivada segunda es positiva, sería una función
convexa, y a la izquierda del 0 sería, que es negativa, sería una
función poco, ¿vale? Por tanto, en 0, pero pasa de cóncava a convexa.
Por tanto, aquí hay un punto de inflexión. Dice, ¿es F segunda de 0
igual a 0? Pues no, no existe la derivada segunda porque a la izquierda, a
la derecha, es 2 y por la izquierda es menos 2. La derivada segunda,
¿vale? La primera sí, ¿vale? Por tanto, aquí sería un ejemplo de una
función que a la derivada segunda, por la derecha, sería 2 y por la
izquierda, menos 2. Por tanto, no existiría la derivada segunda, pero la
derivada primera sí que existe y la función convexa. La función es
derivable, ¿vale? Y además, evidentemente, como consecuencia de ser
derivable, es continua. O sea, recordad lo que hemos visto.
Diferenciabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica
diferenciabilidad, ¿vale? Un ejemplo claro, si quiero, de valor absoluto,
¿eh? Que hemos visto antes. Vemos el 10, ¿vale? Dice, calcular la
derivada de F de X igual a 1 partido por X más 1 partido por X. Bueno,
aquí... Se puede hacer de bastantes formas, ¿eh? O sea, yo aquí lo que
he hecho... Se podría operar esto y me quedaría X partido por X cuadrado
más 1 y buscar la derivada. Buscar la derivada, por cierto. Aquí no dice
que se haga nada especial. ¿Qué he hecho yo? Pues bueno, he puesto... He
puesto en el numerador X más 1 partido por X elevado a menos 1. Que X más
1 partido por X elevado a menos 1 es X más X elevado a menos 1 elevado a
menos 1. Bueno, aplicando... Derivando esto, pues, es menos 1, ¿vale? Por
X más X menos 1 elevado a menos 1 menos 1, ¿vale? O sea, N por la
función elevada a N menos 1. En este caso, la N es menos 1. Por lo tanto,
sea menos 1 menos 1. Por la derivada de X más X menos 1. La derivada de X
es 1 y la derivada de X a la menos 1 es menos 1 por X a la menos 1 menos 1,
¿vale? Bueno, aquí haciendo operaciones me queda X más X a la menos 1
elevado a menos 2 más multiplicado por 1 menos X a la menos 2. Bueno,
entonces ya X más X menos 1 elevado a menos 2 lo paso dividiendo en el
denominador y me queda X más X menos 1 elevado al cuadrado. ¿Vale? Queda
1 menos 1 partido por X elevado al cuadrado. X menos 2 pongo 1 partido por
X cuadrado. ¿Vale? Entonces, X más X a la menos 1 pongo X más 1 partido
por X elevado al cuadrado. ¿Vale? Entonces, aquí me quedaría sacando
denominadores del... Bueno, en el numerador me quedaría X cuadrado menos 1
partido por X cuadrado. En el denominador me quedaría... Me quedaría X
cuadrado más 1 partido por X elevado a 2 al cuadrado. Puedo poner X
cuadrado más 1 elevado al cuadrado partido por X cuadrado. Por tanto, el X
cuadrado del numerador que está dividiendo y el exhalador del numerador
que está dividiendo pues puedo simplificar. Y me quedaría X menos X
cuadrado menos 1 partido por X cuadrado más 1 al cuadrado. Este menos
puedo ponerlo girando multiplicando por menos 1 el numerador me quedaría
menos 1 por menos 1 es 1 y menos 1 es 2 1 por x cuadrado es x cuadrado.
Esta sería una forma de hacerlo, ¿vale? Otra forma ya es lo que he dicho,
¿vale? Aquí, por ejemplo, podría sacar inicialmente ya que aún sería
más fácil, ¿eh? Sería haciendo x por x, sería x cuadrado más 1
partido por x. La x pasaría arriba y me quedaría x partido por x al
cuadrado más 1 todo elevado al cuadrado, ¿vale? Y derivar esto, ¿vale?
No, elevado al cuadrado no, sin el cuadrado, ¿eh? Si me quedaría así, me
quedaría x, derivar esto que aún sería más fácil, ¿eh? Y el resultado
pues sería este, ¿vale? Bueno, vemos otro ejercicio. Dice, calcular la
recta y tangente y normal, ¿vale? A la curva igual a tangente de pi x
partido por 4 en el punto 1,1, ¿vale? Entonces, si nos dicen el punto, a
veces te dicen el punto de artista 1, ¿vale? Por tanto, lo que tengo que
hallar es el punto, sustituyendo por x igual a 1 en este caso, que aquí ya
se ve, si sustituyo por x igual a 1 me queda igual a tangente de pi
cuartos, que es la de 45 grados, que sería 1, ¿vale? Tangente de 45 es 1,
¿vale? Por tanto, aquí ya te dan el punto, por tanto, ya te lo dan.
Bueno, entonces, pues, ¿qué hago? Pues, bueno, busco la derivada, ¿vale?
La derivada de tangente de pi x partido por 4, la derivada de tangente es 1
partido por coseno cuadrado de pi x partido por 4 y la derivada de pi x
partido por 4 es pi cuartos, ¿vale? Por tanto, me quedará la derivada pi
cuartos partido por coseno cuadrado de pi x partido por 4. Por tanto, la
derivada y prima de 1, ¿vale? Para x igual a 1 busco, sería pi cuartos
partido por coseno cuadrado de pi cuartos. Coseno de pi cuartos es raíz de
2 partido por 2 o 1 partido por raíz de 2, eso es de 45 grados. Por tanto,
al cuadrado será 1 partido por raíz de 2 al cuadrado, será un medio,
¿vale? Por tanto, me queda pi cuartos partido por un medio y me quedan pi
medios, ¿vale? Por tanto, la recta tangente será i menos f de a igual a f
prima de a por x menos a. En este caso es el punto 1. Por tanto, es i menos
1 igual a la derivada, ¿vale? f prima de 1 en este caso que sería pi
medios por x menos 1. Bueno, por tanto aquí ya lo tengo, puedo ponerlo en
forma explícita y vale, por tanto, multiplico pi medios por x y sería
igual y paso el 1 al otro, al lado derecho y por tanto me quedaría la
recta igual a pi medios de x más con ordenada en el origen 1 menos pi
medios. Entonces, la recta normal es la perpendicular a la tangente,
¿vale? Por tanto, que pasa por el mismo punto, ¿vale? Por tanto, en este
caso yo tengo que hallar la ecuación de una recta pues como la anterior,
¿vale? Pasa por el mismo punto y la pendiente, ¿vale? En vez de ser pi
medios sería menos 1 partido por pi medios. Menos 1 partido por pi medios
1 partido por menos 1 partido por pi medios sería menos 2 partido por pi.
Por tanto, igual, ¿vale? Pongo y menos y supono igual a m x menos 1. La
ecuación de una recta que pasa por el punto 1, 1 y la pendiente es, en
este caso, m menos 2 partido por pi. Por tanto, bueno, pues pongo y menos 1
y menos y sub 0 igual la fórmula a m, en este caso, por x menos x sub 0.
Por tanto, 1, 1. Es el punto, mismo que antes. Y ahora la pendiente pues es
la inversa de la anterior cambiada de signo para 0 porque es perpendicular
a la tangente, ¿vale? Por tanto, ya está. Por tanto, aquí pues bueno,
pasando un poco a forma explícita más claramente sería menos 2 partido
por pi que multiplica x. Menos 2 partido por pi menos 1 sería 2 partido
por pi y el nudo ha pasado aquí. Por tanto, sería una recta. La ecuación
a recta sería dependiente menos 2 partido por pi y ordenada del origen, 1
más 2 partido por pi. Vale. Dice dar la definición de logaritmo base a
bueno, esto es ya de nivel de casi de primero de bachillerato, ¿vale? Pues
bueno, logaritmo base a de x, ¿vale? Por tanto, aquí la condición es que
x tiene que ser mayor que 0 y la base tiene que ser mayor que 0 y distinta
de 1. Esto sí que se tiene que hacer constar, ¿vale? Por tanto, logaritmo
base a x igual a t, ¿vale? Es el logaritmo que es un exponente la
definición es la base elevada al logaritmo igual a x, ¿vale? El número
que buscamos en logaritmo, ¿vale? a elevado a t igual a x. Esta sería la
definición. ¿Vale? Bueno. Dice calcular la derivada de respecto a t de t
multiplicada por paréntesis 1 más raíz de t cerrar paréntesis, dividido
por 5 menos t. Para t igual a 4, ¿vale? Por tanto, bueno, aquí de entrada
yo lo que hago, bueno, aquí es la derivada de un cociente, ¿vale? Aquí
podría también aplicar la división logarítmica, pero bueno, en
principio aquí con la raíz de t, pues en principio bueno, casi casi es
mejor hacerlo del cociente, ¿eh? También se podría hacer, ¿eh? De la
forma aquella, pero bueno. En principio, ¿qué hago? Pues multiplico la t
por 1 que sería t. La t por raíz de t sería raíz de t al cubo, ¿vale?
O sea, sería t raíz de t, que ahora tengo que entrar dentro. Por tanto,
sería raíz de t cuadrado por t, t al cubo. Que poniendo la de exponente
fraccionario, sería t a la 3 medios. Y abajo igual, ¿vale? Ahora aplico
la derivada del cociente. Es la derivada del numerador, que es la derivada
de t es 1, la derivada de t elevada a 3 medios es 3 medios, t elevada a 3
medios menos 1, que es un medio, ¿eh? 3 medios menos 1 sería un medio.
Multiplicada por ¿vale? Toda esta derivada, ¿vale? La derivada del
numerador, que es esta ¿vale? Esta. Multiplicada por el denominador sin
derivar, que es 5 menos t. Menos el numerador sin derivar que es t más t
elevada a 3 medios por la derivada del denominador, que es la derivada de 5
es 0 y la derivada de menos t es menos 1. ¿Vale? Por tanto, partido por el
denominador al cuadrado. Lo dejo igual. Finalmente, cuando hago esto, no
desaduro nunca el denominador ¿vale? Solo, si acaso tengo elevado al
cuadrado, elevado al cuadrado o elevo a la cuarta, pero en principio aquí
tengo al cuadrado, lo dejo igual. Solo trabajo con el numerador, ¿vale?
Entonces, aquí se puede reducir términos o algo, ¿vale? Pues bueno aquí
me quedaría multiplicada 1 por 5 sería 5 1 por menos t es menos t 3
medios por 5 sería 15 partido por 2 t a la 1 medio y 3 medios por menos t
sería 3 medios t a la 1 medio por t sería menos 3 medios de t hay menos 3
medios ya lo digo bien, de t a la 1 medio por t que es t elevado a 3
medios, ¿vale? Y aquí menos 1 y el menos me queda más, ¿vale? Por
tanto, me queda más t, más t elevado a 3 medios. Por tanto, aquí lo que
podemos hacer es menos 3 medios de t a la 3 medios más t elevado a 3
medios me queda menos 3 medios más 1 me queda menos 1 medio, ¿vale? Por
tanto, arriba me queda de esta forma, ¿vale? Por tanto, aquí ahora
podría ponerlo con tipo notación de raíz pero aquí no me pide el
resultado exacto, ¿vale? Podría poner 5 más 15 medios raíz de t menos 1
medio raíz de t al cubo, ¿vale? Pero bueno, ya directamente como ya me
pide para t igual a 4 pues todo que es a 1 medio, 1 medio y 3 medios ya me
va a salir un resultado entero, ¿vale? Ya sustituyo directamente y ya
está, ¿vale? Sustituyo la t por 4 que es el resultado que me pide ¿vale?
Pues ya me piden pues yo sustituyo en vez de t pongo el 4, ¿vale? Me queda
4 a 1 medio menos 1 medio, 4 a la 3 medios, ¿vale? Y entonces, bueno 4 a 1
medio es 2 2 partido por 2 aquí me queda 15 aquí 4 igual, ¿vale? 1 medio
sería 2, ¿vale? Y partido, y entonces pues me queda aquí, al final me
queda 4, ¿vale? Por tanto me queda, y abajo me queda 5 menos 4 al cuadrado
me queda 1 al cuadrado, ¿vale? Por tanto me queda 5 y 15 me queda 20 menos
4 16 partido por 1, 16 y aquí ya lo tengo. Bueno, vemos dice, calcular la
pendiente de la curva a 3 raíz de 2 por x seno de pi y más 8y coseno de
px igual a 2, ¿vale? Esta me la dan en forma explícita en el punto 1
tercio, 1 cuarto, ¿vale? Quiere decir que para x igual a 1 tercio la y
vale 1 cuarto, o sea la función esta pasa por la, el punto 1 tercio, 1
cuarto, ¿vale? Por tanto aquí tengo que hallar la derivada ¿vale? Pero
la pendiente, por tanto tengo que hallar la derivada en este punto ¿vale?
Por tanto, ¿qué hago aquí? Derivo implícitamente esta función. Aquí
despejar la y es como imposible, ¿vale? Por un lado entra aquí, ¿vale?
Está aquí y por otro lado está dentro del seno. Por tanto aquí veo que
aquí estar a despejar la y pues es una cosa que es imposible, ¿vale? Por
tanto aquí ¿qué tengo que hacer? Pues bueno derivar todo, ¿vale? Por
tanto derivo esto, la x como variable independiente y la y como variable
dependiente, ¿vale? Por tanto 3 raíz de 2 que multiplica a x por esto,
pues pongo 3 raíz de 2 y aquí hago la derivada en un producto. La
derivada de x es 1, ¿vale? Por tanto sería 1 por seno de pi, por tanto me
queda seno de pi más x sin derivar por la derivada de seno de pi que es el
coseno de pi ¿vale? Coseno de pi por la derivada de pi que es pi y prima,
¿vale? Si fuera x esto sería pi solo, ¿vale? Si fuera pi x pero como es
i, ¿vale? Por tanto es pi por la derivada de pi es pi por la derivada de i
que es i prima ¿vale? Igualmente el otro factor, ¿vale? Que sería 8 y
coseno de pi x, ¿vale? Por tanto sería 8, lo dejo delante multiplicando y
aquí hago la derivada en un producto. La derivada de i es i prima, la
derivada de coseno de pi x no se deriva, de momento, ¿eh? Coseno de pi x
lo dejo igual, ¿vale? Era i prima coseno de pi x más sería i, ¿vale?
sin derivar por la derivada de coseno de pi x la derivada de coseno es
menos seno, por lo tanto hemos puesto menos aquí, ¿eh? Sería i o sea
más i por menos seno y por menos seno sería menos seno, ¿vale? Seno de
pi x por la derivada de pi x que en este caso sí que es pi porque x es la
variable independiente ¿vale? Si fuera pi sería como antes que sería pi
i prima, ¿vale? Por tanto igual a la derivada de 2 que 0, o sea la
derivada de un lado igual a la derivada del otro, ¿vale? Entonces aquí yo
ya lo que puedo hacer es ya lo que hago es sustituir la x por un tercio,
¿vale? Por tanto me queda 3 raíz de 2 que multiplica a la i por un
cuarto, por tanto me queda seno de pi partido por 4, ¿vale? Me queda pi
por un cuarto sería pi partido por 4 más x un tercio, coseno de pi i, la
i es un cuarto, por tanto sería coseno de pi partido por 4 por pi i prima,
y prima es lo que estoy buscando, ¿vale? Más 8 ¿vale? Que multiplica a i
prima sustituyo la x por un tercio, me queda coseno de pi tercios. Menos la
i que es menos un cuarto seno de pi x es pi por un tercio es pi partido por
3 y igual a 0. Y ahora aquí tengo que dar valores, los valores
correspondientes al seno de pi cuartos coseno de pi cuartos, coseno de pi
tercios, o sea el seno de pi cuartos es raíz de 2 partido por 2, el coseno
también el coseno de pi tercios es un medio, que es el de 60 grados, y el
coseno de y el seno de pi tercios es pi tercios es 60 grados, que sería
raíz de 3 partido por 2 ¿vale? Entonces, bueno, en la otra página pues
estará esto ¿vale? Me queda 3 raíz de 2 raíz de 2 partido por 2, un
tercio raíz de 2 partido por 2 pi i, ¿vale? Entonces 8 i prima por
¿vale? Aquí tenía el coseno de pi tercios, que es el coseno de 60, que
es un medio por lo tanto me queda un medio y el otro es el seno de pi
tercios, que sería raíz de 3 partido por 2 por pi, ¿vale? Bueno,
haciendo operaciones, ¿vale? Multiplicando por raíz de 2, ¿vale? Y aquí
tal, pues bueno, me va quedando de esta forma ¿vale? Voy agrupando dejo a
un lado los factores que está i prima para poderlo despejar, ¿vale? Al
lado derecho paso los valores numéricos ¿vale? Por tanto me queda que i
prima es igual a 4 raíz de 3 por pi menos 3 partido por 4 más pi entonces
la pendiente, por tanto, es 4 raíz de 3 por pi menos 3 partido por 4 más
i, ¿vale? Si acaso, ahora voy a cerrar la grabación porque más de una
hora a veces la problema, entonces voy a rediciar otra vez, ¿vale? Te voy
a conectar otra vez