Ahora sí. Bueno, pues buenas tardes. Vamos a empezar esta sesión de
física, ¿no? Y hoy nos toca hablar de sólido rígido. Sólido rígido es
un tema amplio y nos da unas singularidades muy interesantes porque podemos
comparar muchos aspectos de la dinámica de traslación con lo que vamos a
introducir ahora de dinámica de la rotación. Y, sobre todo, aplicados en
distintos ejercicios. Voy a intentar hacerlo práctico. Tengo varios
archivos aquí de ejercicios. Voy abriendo, pero me vais a permitir primero
que haga alguna reflexión para la hora de desarrollar los ejercicios y las
actividades. Mirad, vosotros sabéis que cuando trabajamos... Con dinámica
de traslación conocéis perfectamente la ecuación fundamental de
dinámica de traslación que es f igual a m por a o f derivada de la
cantidad de movimiento con respecto del tiempo. ¿No es así? Bien. Pues
ahora, cuando nosotros estamos en dinámica de la rotación, en vez de
utilizar esta expresión de f igual a m por a, ¿no? O si queréis, f igual
a derivada de p con respecto de t. ¿No? Tenemos m, el momento de las
fuerzas, igual a i por alfa. Siendo i el momento de inercia y alfa la
aceleración angular. O también se puede expresar como m igual a derivada
de l con respecto de t. Donde l es el momento angular o momento cinético.
¿Vale? Entonces vemos un paralelismo entre las magnitudes lineales y
angular. De manera que el momento de una fuerza es r vectorial f. ¿No?
Sabemos que... Un momentito, que no veo bien. Ahora sí. ¿No? Sabemos
también la relación que existe entre el espacio y el ángulo. ¿No es
así? Y los principios de conservación. Por ejemplo, sabemos que cuando el
resultante de las fuerzas es i, las fuerzas externas es cero, p es
constante. Pues aquí algo parecido. Cuando el momento de las fuerzas
externas es cero, l es constante. El momento angular o cinético es
constante. ¿Vale? Bueno. El momento de una fuerza es r vectorial f, ¿no?
Como podéis ver. Y evidentemente podemos establecer una relación de
magnitudes lineales y angulares. Porque la l, el momento angular es r
vectorial p. Momento angular, el momento angular, r vectorial p. Pero, ojo,
cuando tenemos un sólido rígido, la l es i por omega. i por omega.
¿Vale? Donde i es el momento de inercia. Y el momento de inercia viene a
representar a la masa cuando tenemos la ecuación dinámica traslación.
Pero es que no es exactamente lo mismo. ¿Por qué? Porque el momento de
inercia no es una constante. Depende del eje de giro y de la forma
geométrica del cuerpo, no sólo del valor de la masa. El momento de
inercia de un cilindro, una esfera o un aro son distintos y de una varilla.
Y el eje de giro en función del eje de giro también será distinto.
Entonces vemos este paralelismo entre la dinámica de traslación y la
dinámica de rotación. Los principios de conservación de la cantidad de
movimiento y principio de conservación del momento. Donde el alumno,
cuando tiene que atacar un problema, puede confundir a la hora de la
estrategia de aplicar el principio de conservación del momento angular o
de la cantidad de movimiento. Eso lo vamos a ver dentro de un ratito.
¿Vale? Pero, como os decía, hasta ahora cuando hemos visto algunos
problemas de dinámica con cuerdas, con tensiones, siempre hemos dicho masa
de la polea despreciable. Ahora es cuando ya la masa de la polea no es
despreciable. Y es ahora cuando la tensión de la cuerda no es la misma en
las dos ramas. ¿Vemos lo que hemos visto hasta ahora y lo que nos lleva
ahora de novedad? ¿No? Bueno, eso es lo que quiero que relacionemos un
poco. Lo que hemos visto hasta ahora y lo nuevo que nos aporta el sólido
rígido. ¿Vale? Es decir, si ahora nos dicen que tenemos una doble polea
con dos masas colgando y queremos calcular la aceleración de cada una de
las masas o hacia dónde se mueve el sistema, no podemos despreciar, no
podemos despreciar la masa despreciable, de esa polea, ni tampoco decir que
las tensiones son las mismas en las dos ramas, como decíamos hasta la
fecha. Cuando teníamos un cuerpo, una polea y dos cuerpos, ya sea en un
plano inquinado o colgando, es decir, ¿me seguís? Vale. Entonces, eso,
bueno, que os ayudará a relacionar y a tener las ideas claras. Que a veces
no es fácil. Entonces, permitidme que os ponga un ejemplo, ahora, de una
doble polea. ¿No? Vamos a ver. Vamos a hacer ya una doble polea, para así
hacerlo un poquito complicado. De la cual, van a pender dos cuerpos. Este
por aquí y este otro por aquí. ¿Vale? Estas doble poleas tienen radios
R1 y R2. ¿Vale? Y aquí tenemos una masa M1 y una masa M2. ¿Qué fuerzas
actúan aquí? Bueno, y esta polea tiene un momento, tiene un momento de
inercia I, ¿vale? Es el momento de inercia de la polea, de esta doble
polea. Que puede ser dos discos acoplados. Claro, si son dos discos
acoplados y yo sé la masa de cada uno de ellos, o me dan el valor del
momento de inercia o me dicen la masa de cada uno de ellos y su radio. Y el
momento de inercia total, evidentemente, sería la suma de los momentos de
inercia de cada uno de ellos. Ahora no me va a preocupar esto. Yo ahora lo
que quiero ver es en este sistema de una doble polea de masa no
despreciable, que tiene un momento de inercia, determinado, ya sea porque
me lo dan o porque me dicen que son dos discos acoplados y cada uno de
ellos tiene este momento de inercia, es ver hacia dónde se va a mover esta
polea y cómo puedo determinar las aceleraciones de cada uno de los cuerpos
o la aceleración angular de la polea. ¿Vale? ¿Sí? ¿Qué fuerzas
actúan aquí? Tenemos los dos pesos ¿Sí? Perdón. P1 y P2 ¿Vale? Y
tenemos aquí una tensión perdón una tensión T1 otra tensión T2 y del
otro lado también la misma tensión. Es decir, aquí tengo T1 y T1 y aquí
T2 y T2 ¿Eh? Son fuerzas de acción y de reacción T2 ¿Vale? Fuerzas de
igual módulo y dirección y sentido contrario aplicados a cuerpos
distintos Entonces, quiero que nos demos cuenta claro, cuál es la
condición para que el sistema gire en un sentido u otro Bueno, vamos a
suponer que se cumple Habrá que mirar el momento inicial ¿Qué valdrá el
momento de uno? El momento de uno sería R1 por M1G porque cuando está en
reposo la fuerza que tira tangencialmente es el peso y M2 sería R2 por M2G
¿Vale? Entonces, si suponemos que M1 es mayor que M2 ¿El sistema hacia
dónde evolucionará? Hacia la derecha. ¿De qué depende? De las masas, de
los valores Pero ahora no queremos hacer un cálculo cuantitativo con
números del sistema Entonces, si el sistema evoluciona hacia la derecha
¿Cuáles serían las ecuaciones que me van a permitir a mí estudiar el
movimiento de este sistema? ¿Vale? Es lo que me estoy planteando ahora
¿Qué ecuaciones tendríamos que tener? Bueno, pues el cuerpo 1 baja El
cuerpo 2 sube Entonces sería M1G menos T1 igual a M1 por A1 T2 igual a M2
por A2 Alguien me puede preguntar ¿Por qué pones diferentes aceleraciones
lineales? ¿No va todo solidario? Sí, va todo solidario Pero al ir todo
solidario todo tendrá una aceleración angular alfa la misma La
aceleración angular es la misma pero la aceleración lineal de cada una de
ellas será distinta porque está a distinta distancia del eje de giro A1
es alfa por R1 y A2 es igual a alfa por R2 Tenemos como veis cuatro
ecuaciones y cinco incógnitas T1, T2, A1, A2 y alfa Me queda la quinta
ecuación La quinta ecuación es aplicar la ecuación de dinámica de
rotación M igual a I por alfa Si el sistema va hacia la derecha estoy
aplicando ahora dinámica de rotación aquí, a la polea esta doble polea
sería T1R1 menos T2R2 igual a I por alfa Y ya tenemos las cinco ecuaciones
con las cinco incógnitas Alguien me puede decir Oye, ¿y esto cómo se
resuelve? Pues mira, el consejo que os doy es ponerlo todo en función de
alfa quitar A1 y A2 ponerlo todo en función de alfa y cuando lo pones todo
en función de alfa te quedan tres ecuaciones con tres incógnitas ¿No? La
última que hemos escrito más las dos primeras de las tensiones Y ya
tenéis un sistema donde podéis despejar T1 y T2 de la primera a la
segunda y sustituir en esta última que hemos escrito ¿Vale? Y así
nosotros podemos determinar la aceleración angular y después las
tensiones y las aceleraciones lineales si conocemos las masas y los radios
¿Vale? Pero esto, una vez que tengo las aceleraciones podría determinar
velocidades cuando he recorrido un espacio determinado o un tiempo dado
¿Sí? ¿De acuerdo? ¿Y cómo sería desde el punto de vista energético?
¿Cómo podríamos hacer? Yo digo, no mira Dígame usted cuando ¿Cuál
sería la energía cinética que adquiere cada partícula? ¿No? Al cabo de
un cierto tiempo ¿No? Se nos podría plantear ¿No es verdad? ¿Sí? Lo
que pasa es que aquí tenemos una dificultad añadida ¿Cuál es? Que el
espacio no es el mismo El ángulo recorre el mismo ángulo cada doble doble
esfera cada cilindro, este doble cilindro acoplado pero el espacio no es el
mismo es un poquito más complicado Vamos a dejar ya este ejemplo aquí y
de esto lo aplicaremos conservación de energía en otro ejemplo, ahora
¿Vale? Este era un planteamiento que quería comentarlo para vosotros
¿Qué pasa si nosotros nos encontramos con otro ejemplo ahora ¿Sí? Con
un plano inclinado ¿Vale? Y una polea de masa no despreciable ¿Sí?
¿Vale? ¿Qué fuerzas tenemos aquí? Otra vez, el peso que ojo, aquí el
peso lo descomponemos en Px, Py ¿No? Aquí tenemos las tensiones la
tensión otra tensión y otra tensión Aquí tendremos por ejemplo P1 T1 T2
Py2 Px2 y aquí alfa Me falta dibujar la normal y la fuerza de rozamientos
si la hubiera, ¿No? Sí, está seleccionada Esto sería la normal ¿No?
¿Vale? Y bueno vamos a suponer que el sistema evoluciona hacia la derecha
¿Vale? ¿Qué quiere decir que el sistema funciona hacia la derecha?
Bueno, pues que el sistema va a subir por lo tanto la fuerza de rozamiento
va a ir hacia abajo Podemos comprobar qué desigualdad tiene que cumplir
Esto sería Fr ¿De acuerdo? Si nosotros afirmamos que este sistema va
hacia la derecha ojo que tenemos una polea de masa M y radio R asimilable a
un disco Un cilindro me va a dar igual porque el movimiento de inercia es
el mismo si lo miráis Si afirmamos que este sistema va hacia la derecha
¿Qué quiere decir? Que las fuerzas que van a favor antes de empezar a
moverse que es P1 tiene que ser igual mayor que Px2 más Fr Voy a poner 2
porque es del cuerpo 2 Si se cumple esto va hacia la derecha ¿Y qué
tendría que cumplirse para que fuese hacia la izquierda? Pues que Px2
Ahora Fr iría hacia arriba más P1 Son las dos desigualdades los dos
condicionantes para que el sistema se mueva hacia un lado o hacia otro
¿Puede ser que el sistema no se mueva? Claro que sí Si no se cumple
ninguno de los dos no se moverá Supongamos que se cumple el primero Aquí
está claro que las dos masas van a tener la misma aceleración y cuentan a
la misma distancia del eje de giro Y las ecuaciones muy brevemente las
podemos escribir con bastante rapidez Por ejemplo el cuerpo 1 P1-T1 igual a
M1 por A El cuerpo 2 T2-Px2 menos Fr2 igual a M2A Donde recordemos que Fr2
es múpula normal es mu por Mg cos 2 Y después la ecuación de la polea M
igual a I por alfa sería T1-T2 por R igual a I por alfa Si queréis T1-T2
por R 1 medio de MR cuadrado y en vez de poner alfa pongo A partido por R
De manera que se me van todas las R's igual a 1 medio de MA Esta ecuación
junto con las otras dos nos permite resolver el problema y nada más desde
el punto de vista dinámico Pero ahora desde el punto de vista energético
Yo con esto puedo calcular la aceleración puedo calcular la velocidad del
arcado de un tiempo o la velocidad cuando ha descendido a una altura h
Pensad que cuando recorre una altura h el espacio que recorre el cuerpo no
es el mismo ¿Estamos de acuerdo? No es el mismo Pero ahora por ejemplo
desde el punto de vista energético ¿Cómo podría calcular yo la
velocidad cuando ha bajado a una altura h? Claro, tú me dices ¿Cómo
calculo la velocidad del cuerpo 1 cuando ha bajado a una altura h? Bueno
pues mira V cuadrado menos V sub cero cuadrado igual a 2 por A Pues yo que
sé, puedo poner I menos I sub 0 ¿No? Esto inicialmente la velocidad
inicial es 0 ¿No? La aceleración es positiva hacia abajo ¿No? ¿Si? Y
hay que ver qué tomamos de origen de coordenadas aunque aquí el espacio
recorrido que sería h ¿No? Es decir que la velocidad sería raíz
cuadrada de 2gh ¿No? 2gh, perdonadme 2as ¿No? Sería raíz cuadrada de
2as Es el espacio recorrido o la h Perdón La h, vamos a escribirlo A ver
Es decir, la V sería raíz cuadrada de 2ah Siendo a la aceleración la que
hubiéramos obtenido y h la altura que hubiera bajado Y por energías
¿Cómo se podría hacer por energías? Aquí tenemos un problema Hay un
trabajo de rozamiento porque hay una fuerza de rozamiento ¿Eh? Teníamos
que decir que el trabajo de rozamiento es igual a la variación de energía
mecánica del sistema ¿Y qué sería el trabajo de rozamiento? Fuerza de
rozamiento por espacio por coseno de 180 ¿Y qué vale el espacio? Es que
el seno de 30 ¿Era 30 o es alfa? Alfa, ¿no? Vale El seno de alfa es h
partido por s Pero si queremos calcular la velocidad cuando ha bajado una
altura h tenemos que saber que esto es menos mu por mg coseno de alfa y la
s es h partido seno de alfa Igual a la energía mecánica final menos la
inicial Vamos con la inicial que es la más fácil ¿Quién va a tener
energía mecánica inicial? Pues será el cuerpo el cuerpo 1 que está en
una altura h ¿Vale? Yo puedo tomar origen de alturas del cuerpo 2 que
encuentro y por lo tanto tendrá una altura h La polea está en reposo no
tiene sentido hablar de variación de energía potencial porque no cambia
la altura Lo de la energía mecánica 1 de la posición 1 de nuestro
sistema sería m1gh ¿Y la energía mecánica 2? Ahí ya sería el cuerpo 1
sería 0 el cuerpo 2 ha subido una altura determinada h que es seno de alfa
y la polea ha adquirido una energía cinética de rotación pero ambos
cuerpos tanto el 1 como el 2 han adquirido una energía cinética Ojo, la
misma velocidad ¿Eh? La misma velocidad Claro, esto es toda la energía
mecánica 2 ¿No? Que no conocemos que la incógnita cuál es la v y la
omega Pero la v y la omega están relacionadas Sabemos que v es igual a
omega por r Luego esta energía cinética sería 1 medio de 1 medio de mr
cuadrado ¿No? En vez de poner omega cuadrado pongo v cuadrado partido por
r cuadrado Y se simplifican las r cuadrados Me queda 1 cuarto de mv
cuadrado Eso sería la energía cinética de rotación del disco Todo esto
en función de v y la v sería nuestra incógnita porque todo lo demás
serían datos de enunciado alfa, las masas, los radios ¿No? Aunque aquí
veis que no es necesario saber los radios de la polea Se simplifica Y el
ángulo del plano inquinado y la altura que desciende Al final tendríamos
la misma velocidad final calculada energéticamente que por métodos
dinámicos ¿Vale? Bueno Bien Hay algún ejercicio por ahí previsto donde
nos habla de la condición de un cuerpo para que baje rodando sin deslizar
y qué pasa cuando rueda deslizando Vamos a ver esto un poquito porque
siempre genera un poco de problemas Porque cuando nosotros estamos en un
cuerpo que rueda como puede ser una esfera, un cilindro o un aro puede
rodar sin deslizar y puede rodar deslizando Que no es lo mismo Entonces
cuál es el condicionamiento para que un cuerpo ruede sin deslizar Es
importante tenerlo claro Podemos pensarlo esto en un plano inquinado o en
un plano horizontal Vamos a pensarlo mejor en un plano inquinado porque nos
da más juego ¿Vale? Permitidme que cambiemos de página ¿No? Y ahora
vamos a considerar que lanzamos un objeto ¿No? Desde la base de un plano
inquinado hacia arriba ¿Vale? Y queremos ver cuál es la condición para
que ruede sin deslizar Bueno, pinta el cuerpo muy grande pero bueno Mejor
así y se ve bien ¿Vale? Vamos a pintar las fuerzas que tenemos aquí
Tenemos el peso que se descompone en un Px y un Pi Y tenemos la normal
¿No? Y una fuerza de rozamiento que nos genera la rotación y que se opone
al movimiento ¿O no? Bueno, el problema Perdonadme que va a ser más
fácil para entenderlo para empezar que el cuerpo cae Lo lanzamos de arriba
abajo ¿Vale? Entonces la fuerza de rozamiento ¿Estáis de acuerdo? Que va
hacia arriba Por lo tanto Si es que si no lo vamos a complicar de entrada
Después lo veremos Peso, Px y la normal ¿Vale? Tiene que rodar sin
deslizar por este plano inclinado de ángulo alfa Una cosa que es
importante siempre, lo primero Para que un cuerpo ruede sin deslizar tiene
que haber rozamiento Si no hay rozamiento no va a rodar sin deslizar y por
lo tanto no tiene sentido que hablemos de esa situación Si no existiera
rozamiento ¿Qué pasa con el hielo? Que las ruedas patinan y no llegan a
rodar o que no hay la suficiente fricción para que empiecen a rodar
Entonces patina Vas con un coche y frenas y te patinan las ruedas Tu
distancia de frenado es mayor que si estuviesen rodando Cuando se bloquean
las ruedas y patinan Tú pierdes ahí digamos distancia de seguridad Se
puede determinar que el espacio que recorres va a detenerse ¿De acuerdo?
Venga Esto sería alfa también Entonces Cuando tenemos esta esfera o este
cuerpo que rueda un cilindro o un aro que baja Tenemos por una parte vamos
a aplicar el movimiento de traslación del centro de masas Es que nosotros
el movimiento rígido que se desplaza nosotros lo podemos desglosar como el
movimiento de traslación del centro de masas más el movimiento de
rotación con respecto al centro de masas Es decir, cuando tenemos un
sólido rígido y vamos a estudiar el movimiento Claro, una cosa es que
tengamos una polea fija. Si tenemos una polea fija tenemos un movimiento de
rotación respecto al centro de masas, punto Pero si tenemos algo que un
sólido rígido que rueda y se traslada el movimiento de ese cuerpo
nosotros lo podemos poner como la composición de un movimiento de
traslación del centro de masas más un movimiento de rotación alrededor
del centro de masas Entonces, ¿cuál sería el movimiento de traslación
del centro de masas? f igual a m por a Tendríamos px menos fr a m por a
¿Vale? mg seno de ángulo menos fr igual a m por a Pero ojo, esto es muy
importante No podéis sustituir aquí fr por mu por a normal Eso sólo
podéis aplicarlo si el cuerpo desliza De hecho, para que un cuerpo ruede
sin deslizar una de las condiciones que hay que establecer es que la fuerza
de rozamiento sea menor o igual que la fuerza de rozamiento máxima que eso
es igual a mu estático por mg por coseno de alfa importante desigualdad
Siempre la condición que debe cumplir el plano inclinado es que la fuerza
de rozamiento sea menor o igual que la fuerza de rozamiento máxima y la
fuerza de rozamiento máxima es la que me determina un deslizamiento
partiendo del reposo con un coeficiente de rozamiento estático Ojo con ese
detalle ¿Vale? Bien, pero es que además aparte de esta ecuación tenemos
que hablar del movimiento de rotación de este sistema alrededor del centro
de masas m igual a i por alfa ¿Y cuál es la fuerza que me genera la
rotación? Tomo momentos con respecto al centro de masas La única fuerza
que me genera una rotación es fr ¿De acuerdo? Porque el peso, la normal
están aplicadas sobre el centro de masas y el momento de esas fuerzas es
nulo con respecto al centro de masas ¿Por qué? Porque la distancia del
centro de masas es cero Mientras que fr genera un par un movimiento de
rotación genera un momento de una fuerza que es el producto de r por f
¿Eh? Y sería r, el radio de este dispositivo por la fuerza de rozamiento
por alfa Bueno, entonces ¿Qué vale el momento de inercia? Pues si
queréis, el momento de inercia lo puedo poner genérico como k por m r
cuadrado Siendo k, pues dependerá es uno si es un aro un medio si es un
cilindro o un disco dos quintos si es una esfera Podemos mirar las tablas
de momentos de inercia Y tenemos r fr k m r cuadrado por alfa ¿Qué
tenemos hasta la fecha? Hasta el momento Dos ecuaciones sin tres
incógnitas No nos va bien de momento Hay que necesitamos algo más Tenemos
fr, la a y la alfa Pero, importante Para que un cuerpo ruede sin deslizar
tiene que cumplir la siguiente relación Que la aceleración del centro de
masas sea alfa por r Ya tenemos la tercera ecuación Entonces el problema
lo vais a poder solucionar Con estas tres ecuaciones a igual alfa por r fr
por r igual a i por alfa y esta otra Con estas tres ecuaciones nosotros
podemos obtener una expresión de la aceleración una expresión de la
fuerza de rozamiento ¿Vale? ¿Correcto? ¿Qué valen estas expresiones?
Podemos operar un poco A ver Un momentito Si no, no pasa nada Tampoco
Tampoco pasaría nada Pero bueno A ver, a ver Lo tengo por aquí Os lo voy
a poner Os lo pongo aquí en la pizarra Voy a tener que cambiar de página
Bueno Como os decía La aceleración será igual a g seno de alfa partido 1
más k y la fuerza de rozamiento será igual a la k por mg seno de alfa
partido por 1 más k Mirad Estos resultados resultan de operar de las tres
ecuaciones anteriores ¿Vale? Donde hemos eliminado el alfa y hemos
trabajado un poquito y operado y detenemos estas expresiones genéricas
para cualquier cuerpo que baja rodando sin deslizar por un plano inclinado
donde cumple, donde hemos hecho cumplir esta igualdad k es igual a alfa por
r Fijaos como al final la aceleración y la fuerza de rozamiento no
dependen del radio ni de la esfera, del cilindro o del halo de lo que
proceda Va a depender de este parámetro k que como hemos dicho antes vale
1 en el caso de un aro vale 1 medio en el caso de un cilindro vale 2
quintos en el caso de una esfera ¿Eh? Ojo con ese detalle Pero también
alguien me podría decir bueno y me sirve cualquier ángulo del plano
inclinado para que la fuerza de rozamiento tiene que ser menor o igual que
la fuerza de rozamiento máxima Si, máxima ¿No? ¿Y cuál es la fuerza de
rozamiento máxima? mu el coeficiente de rozamiento tendríamos voy a
cambiar de color para que se distingue La fuerza de rozamiento máxima
sería mu por mg coseno de alfa mu por mg coseno de alfa Entonces, ¿cuál
es la condición que debe cumplir el ángulo y la tangente perdón, el
ángulo y vamos y el coeficiente de rozamiento daos cuenta que podemos
simplificar mg y mg se van ¿No? el puede pasar el coseno dividiendo al
otro miembro ¿No? ¿Y qué me queda? ¿Qué me queda? Que la tangente de
alfa debe ser menor o igual ¿Que qué? Que uno más k partido por k y por
mu ¿Vale? Esta es la condición del ángulo ¿No? Y el coeficiente de
rozamiento Claro, alguien me dice Bueno, ¿y la k qué vale? Es que la k
depende si es un aro hemos dicho que si es un aro la k es uno si es una
esfera la k es dos quintos si es un cilindro la k es un medio ¿No?
Entonces tenemos la condición, la desigualdad lo digo porque tenéis un
problema de una PEC que va de esto que depide el ángulo a partir del cual
puede tener lugar y si la esfera es hueca o maciza entonces esta es la
desigualdad que tiene que cumplirse para que ruede sin deslizar Y ahora me
vais a permitir que haga un comentario Bueno, ¿y qué pasa si rueda y
desliza? ¿Qué es lo que está pasando? Este cuerpo baja rodando y
deslizando ¿No? ¿Sí? Venga Vamos a verlo Vamos a ver qué es lo que pasa
Bien Veamos ahora que rueda y desliza ¿Vale? Rueda y desliza ¿Qué quiere
decir esto? Si rueda y desliza el rozamiento que tiene ese cuerpo, esa
esfera es Mu Mu dinámica si queréis está en movimiento por la normal Mu
dinámica por Mg coseno de alfa Esa es la fuerza de rozamiento Y además
esta desigualdad no se cumple No podéis aplicar que A es igual a alfa por
R Porque si rueda y desliza no se está cumpliendo la relación ángulo
igual o mejor dicho espacio igual al ángulo por el radio ¿Sí? Bueno,
entonces vamos a aplicar dinámica traslación ¿No? del centro de masas
¿No? Entonces tendría F igual a M por A ¿Cómo sería? F igual a M por A
Vamos a cambiar de color Sería, fuerzas a favor otra vez Mg seno de alfa,
pero la fuerza de rozamiento ya puedo poner Mu dinámica Mg coseno de alfa
igual a M por A Luego esta aceleración del centro de masas sería la
expresión que acabamos de deducir ahora La típica de un cuerpo que baja
deslizando por un plano inclinado Y esa sería la aceleración lineal de mi
cuerpo que está bajando por el plano inclinado Volando y deslizando a la
vez Pero ahora me dice que también rueda Pues aplico dinámica de
rotación M igual a I por alfa Sería la fuerza de rozamiento por R igual a
I por alfa ¿Vale? ¿Sí? ¿Qué vale la fuerza de rozamiento? Pues Mu
dinámica por Mg coseno de alfa por R por el momento de inercia que es Kmr
cuadrado I por alfa Alfa de la aceleración angular No confundamos el alfa
de la aceleración angular con el alfa del ángulo A lo mejor te podría
haber puesto otra letra Pero bueno M y M se van ¿No? ¿Y qué nos queda?
Nos queda que alfa la aceleración angular es G por el coeficiente de
rozamiento dinámico A ver Alfa será G por el coeficiente de rozamiento
dinámico por coseno de alfa ¿No? por coseno de alfa dividido KR K y R
Porque se me va una R con un cuadrado Me queda un poquito aquí abajo muy
pequeñito Lo voy a poner aquí más grande G Mu sub D coseno de alfa
partido la K por R ¿Eh? Eso sería la aceleración angular con que
estaría bajando el cuerpo que rueda y desliza a la vez Esa sería la
aceleración del centro de masas de rotación Y la aceleración lineal de
avance del centro de masas sería lo que hemos obtenido ¿No podemos
relacionarlas entre sí? No, no podemos relacionarlas entre sí No podemos
poner que A es igual a alfa por R Efectivamente ¿Eh? ¿De acuerdo? Bien,
vamos a continuar No No se ha abierto ningún archivo todavía A ver Ahora
también me gustaría hablar un poco de conservación del momento angular
Es interesante siempre A ver Bueno Esta de aquí nos habla de conservación
del momento angular Bueno, cuando aquí nos habla de conservación del
momento angular Conceptualmente Aquí tenéis una serie de ejemplos
resueltos, interesantes Bueno Para que nosotros podamos aplicar el
principio de conservación del momento angular M igual Nosotros sabemos que
la ecuación dinámica de la rotación es momento de las fuerzas externas
igual a I por alfa El vector de aceleración angular alfa, es un vector
axial Que va dirigido perpendicular ¿A quién? Al sistema que está
rotando Al eje de rotación Tiene la misma dirección que omega Que lo
sepáis Omega es un vector Aquí por ejemplo si esto gira Lo que me está
indicando aquí este dibujo Omega tendría esta dirección Muchas veces
veis problemas resueltos en libros Y no os dibujan el vector omega Ni el
vector, perdonad Ni el vector alfa Ese sería el vector omega ¿Vale?
Perpendicular A la rotación Pero bueno Aquí suponemos que esto es cero
Pero claro, esto así no nos dice nada Hay que recordar que esto también
es igual a Derivada de L con respecto de T No es así Y es esto lo que
nosotros relacionamos ¿Eh? Venga Lo borro para no liaros ¿Cuántas
fuerzas externas? Es cero, L es constante El momento angular o cinético es
constante Bueno, ¿y qué es el momento angular? Pues ya lo hemos dicho
antes L es I por omega A veces nos piden calcular el momento angular De
algo que está rotando ¿Qué es el momento angular? El producto de su
momento de inercia Con respecto al eje de rotación Por su velocidad
angular Y el vector velocidad angular El vector velocidad angular es un
vector axial Es decir Que si tenéis Algo que está girando Aquí en un
plano El vector omega Esto sería omega ¿Vale? Y el vector L Estaría
sobre omega Porque tiene la misma dirección y sentido Porque I es un
escalar Esto sería L Por ejemplo Y omega sería este vector ¿Vale? Es
decir Matemáticamente es un producto Pero después vectorialmente Ojo,
escalarmente es muy fácil Vectorialmente hay que recordar un poquito La
dirección y sentido Si giramos el sentido antihorario Irá hacia arriba,
etcétera ¿De acuerdo? Bien Ahora me gustaría Aunque aquí hay varios
ejemplos resueltos Que os invito a que los miréis Aunque este Hay algunos
interesantes Bastante interesantes A mí me gustaría que hiciéramos Pero
bueno, tampoco os compliquéis la vida Con cosas que formen muchos ángulos
Que tampoco Suelen ser las cosas Yo creo que el primero Los de aquí ya
Este de la bala es muy interesante Una bala y una ¿Y cómo se dice? Y esto
es un péndulo Pero demasiado complicado Quizás a veces Por la cuestión
del centro de masas Que puede ser un poquito complicado Por la cuestión
del centro de masas Permitidme que Os hable de este ejemplo Que os voy a
poner ahora Que yo creo que es muy interesante Falta por abrir otros
archivos Que son Como es el de las PEX Que lo tengo ahí Y ahora lo abriré
Un momentito Que veo que ahora no se me cambia aquí la página Voy a tener
que hacer una cosa Un momentito Disculpadme Un momento Se me ha Un instante
Y ahora vamos a verlo Permitidme que os ponga este ejemplo Que sobre todo
tiene su interés Porque tiene su analogía Después con el caso Algún
caso parecido Que hemos visto con conservación de la cantidad de
movimiento ¿No? Y en ese sentido Siempre Tenemos que Ahora sí ¿No? Vale
Si Bien Mirad Una bala Que llega por aquí ¿Eh? Una masa M2 Y velocidad V2
Y resulta Que la bala le pega aquí al extremo ¿Si? Y la bala sale
Después de pegarle al extremo Con una velocidad prima V2 partido por 2
¿Vale? Le da un golpe ¿Vale? A esta varilla La hace Le hace dar una
vuelta ¿No? ¿Vale? Entendemos Le comunica una velocidad angular Para que
le de una vuelta Claro, la pregunta cuál es ¿Qué vale la velocidad de la
bala V2 Para que la varilla De una vuelta Es que supere este punto crítico
O llega al punto más alto Más que dar una vuelta Es llegar al punto más
alto Vamos a poner que llega al punto más alto ¿Vale? Y llegará al punto
más alto ¿No? Y si la velocidad es mayor Podrá llegar a dar la vuelta
Porque tendrá una velocidad finita La varilla ¿Si? Vamos a verlo Primero
la mínima Para que llegue al punto más alto Y cuando sea mayor Podrá dar
la vuelta Porque tendrá una velocidad tangencial Bien, aquí podríamos
pensar Que hemos de aplicar conservación De la cantidad de movimiento Y
eso es un error No podemos aplicarlo Porque este sistema Este choque Genera
un movimiento de rotación Del momento angular El momento angular del
sistema Antes del impacto Ha de ser igual al momento angular Del sistema
después del impacto ¿No? Bien, tenemos que saber ¿Eh? Que el momento de
inercia Nos dan de dato Que el momento de inercia De una varilla Cuyo eje
pasa por el extremo Es un tercio de ML cuadrado Un tercio de ML cuadrado De
la longitud de la varilla ¿Eh? Es un tercio de ML cuadrado Sabemos que
cuando pasa por el centro de masa Es un doceavo Y aplicando el teorema de
Steiner Que también es importante Lo tenéis ahí en la teoría Es
importante que lo consideréis Entonces ¿Cómo podemos determinar nosotros
En realidad aquí Cual debe ser la velocidad de la bala Para que llegue
aquí arriba Hay otra cuestión que hay que tener presente Para conseguir
el movimiento Del centro de masa de la varilla La varilla es un sólido
rígido ¿Y qué movimiento sigo? El extremo, el medio, lo de abajo Siempre
el centro de masas Siempre seguimos el movimiento Del centro de masas La
varilla aquí Es un sólido rígido Que lo que hace es tener un movimiento
de rotación No hay una traslación Porque el eje está fijo No es como
cuando una esfera Cae por un plano inquinado Y el centro de masas de la
varilla Gira Y pasa De un punto determinado A otro punto Cuya altura
Casualmente es L ¿Por qué? Porque está en el centro de masas Que es L
medios DL medios más L medios Pasará a una altura L ¿Vale? A una altura
L ¿De acuerdo? ¿Cuál será el momento angular Antes del impacto? Pues el
momento angular de la bala Que será Bueno, voy a ponerlo Si quieres con
letras primero Y después sustituyo Y vamos a verlo enseguida L de la bala
Es igual a L' de la bala Más L' de la varilla No pongo inicialmente La
varilla porque está en reposo ¿Qué será L de la bala? Pues será, ojo
El momento angular de una masa puntual Es La cantidad de movimiento Por la
distancia del eje de giro Y por el seno del ángulo que forma Voy a poner
aquí la expresión R vectorial P Fijaos que choca tangencialmente R y P
son perpendiculares Entonces sería LM2 Por V2 Igual A LM2 Por V2 partido
por 2 A la mitad de velocidad Más la I de la varilla Que es 1 tercio de
M1L cuadrado Por omega Por la omega Siendo omega La velocidad angular que
tiene la varilla Justo después del impacto ¿Vale? ¿Y qué será esta
velocidad angular? Pues será LM2V2 partido por 2 Igual a 1 tercio De M1L
cuadrado Por omega El cuadrado Y una L se van Esto es V2 Y voy a Escribir
esta omega Que será 3 medios De M2 Partido por M1 Y por L Es por L no,
dividido a L A ver Si, tengo un partido de L De errores Vamos a corregirlos
Venga, vamos a ponerlo bien Allá vamos Será 3 medios Por M2V2 Partido M1
y L Ahora sí 3 medios M2M1L Esto sería la omega La velocidad angular que
tendrá La varilla justo después del impacto ¿No? Sería V2 V2 era
nuestra pregunta ¿Qué tenía que valer V2? ¿No? Es decir, V2 ¿No?
Sería 2 tercios De M1 por L Omega Partido M2 ¿No? ¿Y qué es lo que no
sé? La omega Tengo que saber ¿Qué tiene que valer la omega Justo
después del impacto Para que suba a una altura Para que toda la varilla Su
centro de masa suba a una altura H Entonces Aplicamos conservación de la
energía Energía mecánica A es igual a Energía mecánica B A sería
abajo Exclusivamente La energía cinética de rotación ¿No? ¿De quién?
De la varilla Y arriba Se habría convertido esta energía cinética De
rotación En energía potencial ¿De quién? Del centro de masas Seguimos
el movimiento del centro de masas ¿Vale? Entonces De aquí podemos saber
lo que tiene que valer omega La velocidad angular Esta L y este cuadrado
Luego está omega, será 2 Las masas se van también ¿No? Por lo tanto me
quedan 2 Por G ¿No? Dividido L 2G Dividido L Y la raíz cuadrada ¿Vale?
Esta sería la omega Raíz cuadrada de 2G partido por L En este caso ¿Esto
es verdad? No El movimiento de inercia no es ML cuadrado, es un tercio No
es así Me había dejado en un tercio Pues mal hecho A ver Si lo
solucionamos rápidamente A ver Un medio Venga Vamos a A revisarlo Un medio
por un tercio De ML cuadrado Y omega cuadrado Ahora sí Luego omega Será
Pues 2 por 3 es 6 Será 6 G Este M2 y este M2 se van Me queda abajo Una L
¿No? Y la raíz A ver ahora Lo revisamos Ahí es un tercio De ML cuadrado
Eje pasa por el extremo Omega cuadrado, omega será 6G Partido Un L y un
cuadrado se me han ido Y ahora sí Entonces esta sería la velocidad
angular ¿No? La velocidad angular que debe tener justo después del
impacto Para que llegue arriba del todo Para que al menos llegue arriba del
todo Raíz cuadrada de 6GL Entonces esta omega Tiene que ser Raíz cuadrada
de 6G Partido por L Entonces de aquí ya sacamos V2 Con esta velocidad
mínima De la bala La varilla llegará arriba Pero no dará la vuelta Si la
velocidad es mayor Ya tendrá a partir de esa velocidad mayor La energía
cinética suficiente La varilla Para seguir dando la vuelta ¿Vale? A
partir de esa velocidad ¿Y cuál sería la variación de energía
cinética De nuestro sistema? ¿No? Porque aquí no se conserva la energía
cinética Antes y después del impacto ¿No? La variación de energía
cinética Del sistema con respecto En el impacto sería la energía
cinética Final Menos la energía cinética inicial ¿Cuál es la energía
cinética final? Pues después del impacto 1 medio de I Omega cuadrado más
1 medio de M2 V2 prima cuadrado ¿Y cuál es la energía cinética inicial?
1 medio De M2 V2 cuadrado La diferencia de estas dos expresiones Nos dará
la variación de energía cinética De nuestro sistema Y lo podemos dejar
en función de los datos del enunciado Que es en función de V2 Porque me
pide ¿Qué tiene que valer V2? La omega ya sabemos lo que vale ¿No? Raíz
cuadrada Acabamos de ver G partido por L V2 prima tenemos la expresión Y
la variación de energía cinética Ojo Es distinta de 0 ¿De acuerdo? Da
mucho de sí el sonido rígido Mirad Aquí tengo un archivo Para vosotros
Que no lo he abierto Pero que si queréis trabajar un poquito las PECs Los
problemas que hay Aquí tenéis problemas de las PECs de este año Más las
del año pasado Si tenéis alguna duda o algo Me lo decís Hay cosas
interesantes Que os lo recomiendo Cualquier duda que tengáis Otro también
De sólido rígido Tengo este de aquí También hay unos ejercicios muy
interesantes Para practicar Aunque bueno este fin de semana En el curso
cero voy a hacer cosas De estas también Bueno aquí tenéis Ejemplos Que
os pueden ayudar también a asimilar ¿Qué más? Y Había uno más Que
quería abriros Para que lo podáis descargar Conservación ya está Este
otro también Muy interesante Que bueno Tenéis también para practicar
Este no Bueno Hay algunos un poquito complicados No os compliquéis la vida
tampoco Pero tenéis una masa Hemos hecho cosas parecidas Aquí Pero bueno
tenéis aquí más ejemplos Con los resultados ¿Vale? Bueno pues lo
dejamos por hoy Estoy a vuestra disposición Miraos un poquito las cosas Os
pondré cositas también de exámenes Hechos Para que también podáis
practicar Y también os pondré los temas Que han salido otros años Para
que también sepáis lo que es más frecuente Que salga Estamos en contacto
Cualquier cosa lo que queráis A vosotros Gracias a vosotros Muchas gracias
Hasta la próxima Gracias a vosotros Muchas gracias Nos vemos cuando
podáis Gracias