Buenas tardes, vamos a iniciar la quinta sesión de tutoría de lenguaje
matemático con puntos y números. Ahorita trataremos la primera parte del
tema 4 que es operaciones internas y estructuras algebraicas. En algunos
casos vemos que no pueden aplicarse deducciones del tipo ax igual a y y a
distinto de 0 deducimos que x es igual a y. Esto no es válido por ejemplo
para el producto de matrices cuadradas. Basta observar el siguiente
ejemplo, si así multiplicamos la matriz de orden 2x2, la primera fila 1,
2, la segunda fila 3, 6 con la matriz del mismo orden. a la primera fila 5,
3, la segunda fila menos 1, 1. Este producto es igual al producto de las
matrices, la primera fila también del mismo orden, a 1, 2, la segunda fila
3, 6, la segunda matriz, la primera fila 3, 1 y la segunda fila 0, 2. En
este caso vemos que multiplicamos la matriz 5, 3 menos 1, 1 por la matriz
1, 2, 3, 6 y multiplicamos la matriz 3, 1, 0, 2 por la matriz 1, 2, 3, 6.
De aquí estos productos son iguales y las matrices 5, 3 y menos 1, 1 la
matriz 3, 1 y 0, 2 no son iguales. Entonces vemos operaciones internas. Una
operación interna o ley de composición interna en el computador No. Una
operación interna o ley de composición interna en E es una aplicación de
producto cartesiano, E por E, N. Es una ley que asocia a cada par AB un
elemento de E, un elemento único de E que notaremos por A estrella B. Las
propiedades son asociativa, A estrella B operado con C es lo mismo que A
estrella operado con el resultado de D, C. La propiedad connotativa, A
operado con B es lo mismo que B operado con A, o sea, A estrella B es lo
mismo que B estrella A. La propiedad asociativa, A estrella B. Y el
resultado con estrella C es lo mismo que A con el resultado de B estrella
C. Elemento neutro. Es un elemento E tal que A operado con E es igual a E
operado con A igual a A. El elemento neutro, si existe, es único. Elemento
simétrico. El elemento simétrico exige la existencia de elemento neutro
previamente. El elemento simétrico de un elemento A es un elemento A', tal
que A operado con A' es igual a A' operado con A igual al elemento neutro.
El elemento simétrico de cada elemento es único. Vemos la estructura de
grupo. G es un conjunto y estrella es una operación interna en G. Se dice
que el par G estrella tiene estructura de grupo. O que G estrella... O sea,
es un grupo si se satisfacen las siguientes propiedades. Asociativa. O sea,
la operación... O sea, de entrada la operación tiene que ser... que tiene
que ser una operación interna, o sea, que al operar dos elementos de G el
resultado sea un elemento de G, ¿vale? Que la operación es cerrada,
¿vale? Después que verifica las siguientes propiedades. La operación es
asociativa, o sea, cumple la propiedad asociativa. Existe elemento neutro
con la operación estrella que para todo elemento A de G exista un elemento
simétrico de A respecto a esta operación. Con esto se dice que tiene la
estructura con estas tres propiedades, o sea, con cerrada operación se
compra la propiedad asociativa que exista el elemento neutro y que para
cada elemento existe el simétrico. Entonces se dice que tiene estructura
de grupo. Si además la operación cumple la propiedad conmutativa se dice
que el grupo es conmutativo o abeliano. Vemos las propiedades derivadas de
un grupo. Si G estrella es un grupo se tiene, verifica la propiedad
cancelativa, o sea, si A operado con B es igual a A operado con C,
deducimos que B es igual que C. Para todo par AB de G existe un único
elemento X tal que A operado con X sea igual a B. Si A a la menos 1 y B a
la menos 1 son los elementos simétricos de A y B, el producto de A operado
con B, o sea, A estrella B, tiene simétrico y es igual a D a la menos 1
estrella A a la menos 1, o sea, B a la menos 1 operado con A a la menos 1.
O sea, el simétrico de AB es la operatoria de los simétricos pero en
orden inverso. Primero B y después A. Primero el inverso de B operado con
el inverso de A. Vemos subgrupos. Un subgrupo es un subconjunto H no vacío
de G que sus elementos cumplen las propiedades del grupo. O sea, sería un
grupo dentro de un grupo más amplio. Consideramos la operación estrella
restringida a los elementos de H. Se dice que H es un subgrupo de G si H
estrella es a su vez un grupo, lo que he dicho antes. O sea, un subconjunto
cuyos elementos en sí es un grupo dentro de un grupo mayor. Evidentemente
el elemento neutro será de ambos el mismo. Es decir, un elemento, todos
los elementos de H tendrán simétrico dentro de H. Cumplirán la propiedad
asociativa, cumplirán la propiedad de elemento neutro que sea el mismo que
en G. Vemos la proposición siguiente. Si G estrella es un grupo y el
subconjunto no vacío H de G es la caracterización de los subgrupos. H es
un subgrupo de G. Si sólo sí, para todo par AB de elementos de H, A
operado con B a la menos uno pertenece a H. O sea, si cumple esta propiedad
y H es un subconjunto de G, deducimos que... H es un subgrupo de G, una
estructura de grupo dentro de un grupo más amplio. Vemos el concepto de
congruencia módulo un subgrupo. Si G estrella es un grupo conmutativo, la
característica es que el grupo tiene que ser conmutativo y H es un
subgrupo de G, la relación RH definida para todo AB de G por A relacionado
RH con B, o sea, A relacionado con B, equivale, si sólo si A operado con B
a la menos uno pertenece a H. Esta es una relación de equivalencia que
cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. ¿Vale? Como es
una relación de equivalencia, esta congruencia se denomina congruencia, o
sea, esta relación de equivalencia se denomina congruencia módulo H. Si A
pertenece a G, la clase de A se representa por lo normal que se presentan
las clases dos corchetes A, ¿vale? Que es igual a A operado con todos los
elementos de H, ¿vale? O sea, conjunto A operado con H, ¿vale? Elemento A
de G operado con H con un elemento, con todos los elementos de H. O sea, A
va siendo, se opera con todos los elementos de H. Se cumple que toda clase
de equivalencia de la relación es equipotente con H. Que significa que
tiene los mismos elementos que el subconjunto H, ¿vale? El subgrupo H. Si
el cardinal de G, o sea, el número de elementos que tiene G es finito,
entonces se cumple que el cardinal de H, o sea, es un divisor del cardinal
de G. O sea, por ejemplo, puede ser que el cardinal de G tenga 10 elementos
y el cardinal de H tenga 10 elementos. O sea, que el cardinal de H tenga 5,
¿vale? O el cardinal de H tenga, el cardinal de G tenga 2 y el cardinal de
G tenga 10, ¿vale? Al cardinal de G se elimina orden del subgrupo, del
grupo, ¿eh? O sea, al cardinal de G se elimina orden del grupo. Vemos otra
estructura más amplia, que es la de anillo, ¿vale? A es un conjunto y
tenemos ahora dos operaciones, más, que indicamos por más y por. Dos
operaciones internas, quiere decir que operando dos elementos del conjunto
A, el resultado es otro elemento del conjunto A, ¿vale? O sea, aquí hay
dos operaciones, más, ¿vale?, que indicamos por más y por. Podría ser
estrella y asterisco, por ejemplo, ¿eh? Es igual, ¿eh? Entonces, se dice
que es A más por, es un anillo, ¿vale? Si se satisfacen las siguientes
condiciones, ¿vale? O sea, A con la operación más es un grupo
conmutativo, ¿vale? O sea, grupo además conmutativo. La operación por,
¿vale?, es asociativa, ¿vale? O sea, la operación por más, o sea, A con
la operación más es un grupo conmutativo. A con la operación por es una
operación interna cerrada. O sea, quiere decir que operando con por dos
elementos de A, el resultado es otro elemento de A. Y la operación... Por,
¿vale? Además cumple la propiedad asociativa. Además, la operación por
es distributiva respecto a la suma, por ambos lados, ¿vale? A por B más C
es igual a A por B más A por C. Y A B más C por A, o sea, multiplicando
primero A por la izquierda y A por la derecha, ¿vale? Sería igual a B por
A más C por A, ¿vale? Si además la operación por cumple la propiedad
conmutativa, se dice que el anillo es conmutativo. O sea, si además de
cumplir estas propiedades básicas, ¿vale? De ser un grupo conmutativo con
más, la operación ser cerrada respecto al por y cumplir la propiedad
asociativa, cumple, aparte de la distributiva, ¿eh? La distributiva que
hemos visto por ambos lados, por izquierda y por la derecha. Si esta
operación... Si esta operación por es conmutativa, se dice que el anillo
es conmutativo. Si A... Más por, ¿vale? Es un anillo con elemento neutro
en el producto. Si el elemento neutro en la suma ya tiene, pues tiene
estructura de grupo. Si tiene estructura de, tiene elemento neutro en el
producto, ¿vale? Siendo distinto del elemento neutro de la suma, el
elemento neutro de la suma sí que lo tiene porque hemos dicho que era
grupo, se dice que es un anillo unitario, ¿vale? Si tiene elemento con el
producto, se dice que el anillo es unitario, ¿vale? Las propiedades de un
anillo son, que se deducen a partir de la definición, ¿vale? Y las
condiciones de anillo, ¿vale? Para todo A, elemento del anillo, A por 0,
¿vale? Por el 0, que es el elemento neutro de la suma, es igual a 0 por A,
¿vale? Aquí se cumple la propiedad conmutativa, igual a 0, ¿vale? O sea,
A por 0, ¿vale? Estos números reales lo tenemos bien fácil, ¿vale? Un
número por 0, igual a 0 por un número, igual a 0, ¿vale? Por tanto, la
equivalencia, pues sería en los anillos, pues sería parecido, ¿vale? A
por 0, igual a 0 por A, igual a 0. Se dice que 0 es absorbente para el
producto. Entonces, también parecido a la regla de los signos, ¿vale? De
los signos del producto, por ejemplo, de números enteros, ¿vale? O sea,
yo digo para asociar un poco con lo que conocemos más, ¿vale? Menos A por
B es lo mismo que A por menos B igual a menos AB, ¿vale? Menos B por menos
B es igual a AB, ¿vale? Se entiende que menos A es el simétrico de la
suma, el simétrico de A de la suma, y menos B es el simétrico de B de la
suma, ¿vale? O sea, si multiplicamos el simétrico de A por B es igual que
multiplicar A por el simétrico de B y es igual al simétrico del producto,
¿vale? El simétrico de A por el simétrico de B es igual al producto de A
por B. Si además el anillo cumple las propiedades computacionales, se
satisfacen las igualdades, ¿vale? O sea, tiene que cumplirse la propiedad
computativa. Como el cuadrado de una suma, ¿vale? A más B por A más B, o
sea, A más B al cuadrado, A al cuadrado más B al cuadrado más 2AB. Suma
por diferencia, o la diferencia de cuadrados, para asociarlo. A más B por
A menos B. A menos B se entiende que es A más menos B. O sea, A más el
simétrico de B. Es igual a A por A menos B por B. Y aquello del binomio de
Newton. La potencia de A más B es la suma N sobre P. O sea, la suma de 0 a
N. N sobre P. P, A elevado a N menos P. O sea, el producto de A, N menos P
veces por el producto de B, P veces. O sea, va variando, empezando en 0 y
terminando en N. La P pues va variando. Divisores de 0 en un anillo.
¿Vale? En un anillo tenemos A más 4. Se dice que un elemento A distinto
de 0 es un divisor de 0 si existe otro elemento B distinto de 0, tal que A
por B sea igual a 0. ¿Vale? O sea, si tenemos un elemento, un elemento A
que no es 0, ¿vale? Que no es igual al elemento neutro de la operación
suma. Y otro elemento, o sea, para este elemento podemos encontrar otro
elemento B, también distinto de 0, tal que el producto... De a por b se
iguala a cero. Vemos otros conceptos de subanillos e ideales. Un subanillo,
tenemos un anillo, un subconjunto no vacío de a, consideramos las
operaciones restringidas, las operaciones más y por restringidas al
subconjunto h de a y que cumplen las mismas propiedades que a. Entonces se
dice que a es un subanillo de a. Se indica por h, más, por. O sea, este
subconjunto de a con estas operaciones tiene estructura dentro. O sea,
sería un anillo incluido en otro anillo más amplio. Evidentemente el
elemento neutro de la suma, si es unitario del producto, coincidirían con
el del anillo a. ¿Vale? Sí. El anillo, si es solo anillo en el momento en
que el producto no tiene que existir, si es un anillo unitario sí. ¿Vale?
Vemos la proposición 4.3.3.1, que es la caracterización. ¿Vale? de un
subconjunto de A, no vacío, para que sea un subpanillo. Entonces, no hace
falta demostrar todas las propiedades, sino demostrando estas ya es
suficiente. O sea, un subconjunto H sería un subpanillo si y solo si, para
todo AB de H se cumple que A menos B sería A menos B pertenece a H. O sea,
que A menos B es el resultado de la operación A sumada con el simétrico
de B. Aquí os lo he puesto teniendo en cuenta que A menos B es A más el
simétrico de B y que el producto de A por B pertenece a H. O sea, para
probar que es un subpanillo, esto a veces puede salir en ejercicios, te dan
un conjunto, entonces te dan un subconjunto y dicen probar qué es un
subpanillo. Pues bueno, yo tendría que probar estas dos propiedades. Que A
sumado con el simétrico de B pertenece a H. Y que el producto de A por B
pertenece a H. Vemos la definición de ideal. A ver, si A... más por, es
un anillo conmutativo se exige que el anillo sea conmutativo, o sea que
tenga la propiedad conmutativa y es un subconjunto no vacío de A ¿vale?
Se dice que es un ideal si se cumple que A más el simétrico de B sería A
menos B, pertenece a I y que A por C ¿vale? Para todo A de I y para todo C
de A ¿vale? No, tiene que ser como antes que era el subanillo, o sea A es
un elemento de I y C es un elemento de A ¿vale? Se cumple que el producto
de A por C pertenece a I vemos otra definición ¿vale? Si A más por es un
anillo conmutativo y A un elemento fijo un elemento fijo de A ¿vale? El
conjunto AA que es el conjunto de A multiplicado por todos los elementos o
sea de A multiplicado por todos los elementos de A ¿vale? Que se indica
por A entre paréntesis es un ideal que se denomina ideal principal, o sea
A más un elemento de A y multiplica todos los productos de A con todos los
otros elementos de A, que representamos de esta forma, A por K, tal que K
recorre todos los elementos de A, y se denota por A paréntesis, es un
ideal que se denomina ideal principal. Aquí, aparte de las propiedades,
esto es un resumen teórico de lo que se considera necesario para resolver
ejercicios. Entonces, claro, demostraciones de todas estas propiedades
están en el texto base, entonces aquí, más que esto es un resumen, está
puesto todo, pero en principio esto se considera básico para hacer
ejercicios. Entonces, bueno, esto es como un recopilatorio de teoría, pero
en principio las demostraciones las tendréis que mirar. Demostraciones
directamente no suelen preguntar, o sea, lo que preguntan son ejercicios,
por tanto, de entrada, para prepararos la materia, considero que es
interesante saber las propiedades, las definiciones, y después aplicarlas.
Vamos a ver unos cuantos ejercicios. Dice, dada la operación de Q, del
producto cartesiano de Q por Q sobre Q, definida por A estrella B igual a A
más B menos AB, donde Q es el conjunto de los números racionales, ¿vale?
Esto ya lo sabemos, ¿vale? Pero nos lo indican, ¿vale? Dice, pide si es
conmutativa, ¿vale? Si es asociativa, si tiene elemento neutro y si tiene
algún elemento de Q, un simétrico, ¿y cuál es, vale? O sea, no dice si
tiene estructura de grupo, sino sólo significa estas propiedades, ¿vale?
Si algún elemento o algunos elementos, si hay elemento neutro, entonces
existe algún elemento que tenga simétrico, ¿vale? ¿Y cuál es este
referido, vale? Bueno, pues vamos a empezar para ver si es conmutativa,
¿vale? Bueno, A estrella B es A más B menos AB, ¿vale? Que podemos poner
en números fraccionarios, podemos poner B. A estrella B es A más A menos
B. Por tanto, A estrella B es lo mismo que B estrella A. Por tanto, se
cumple la propiedad connotativa, ¿vale? Si es asociativa, pues bueno,
empezamos A estrella B y operado con C pues empezamos, ¿vale? De entrada,
A estrella B por definición de la operación es A más B menos AB estrella
C, ¿vale? Entonces ahora tomamos esto como un elemento estrella C, ¿vale?
Por tanto será A más B menos AB, ¿vale? Más C menos sería A más B
menos AB por C, ¿vale? Entonces pues bueno, pues hacemos las operaciones,
multiplicamos, ¿vale? Multiplicamos aquí A más B menos AB por C, pues
bueno, y ordenando, ¿vale? Me quedaría A más B más C menos AB menos AC
menos BC más ABC, ¿vale? Entonces, bueno, miramos de agrupar, ¿vale? A
ponemos B más C menos BC, ¿vale? Menos A, ¿vale? Menos A que multiplica
AB más C menos BC, ¿vale? Entonces aplicando la definición sería A,
¿vale? Operado con este elemento de aquí, ¿vale? Y este elemento,
¿vale? Por tanto, sería A estrella B más C menos BC, ¿vale? Por tanto,
aplicando la definición de la operación B más C menos BC, que aquí es
igual, ¿vale? Sería A estrella paréntesis B estrella C. O sea, aquí
vemos que cumple la propiedad asociativa. A veces va mejor, ¿vale?
Desarrollar un miembro, ¿vale? Por ejemplo, este, ¿vale? Y terminar
aquí, ¿vale? Después, desarrollar el otro por otro. Por el otro lado. Y
veríamos que llegaríamos al mismo resultado, ¿vale? Quizás es más
fácil de demostrar, ¿vale? Que irlo reconstruyendo. Así queda mejor,
¿vale? Pero, de la otra forma, ¿vale? Yo cojo por un lado el lado
izquierdo, desarrollo y llego a este resultado. Cojo el mismo del lado
derecho, voy aplicando las definiciones y llego al mismo resultado. Como
llego al mismo resultado, pues se cumple la propiedad. Asociativa, ¿vale?
Bueno. Vemos si A es simétrico, ¿vale? Simétrico tendría que ser A
operado con E tiene que ser igual a A, ¿vale? Por ambos lados, ¿vale? A
operado con E es A más E menos AE. Esto tiene que ser igual a A. E operado
con A tiene que ser E más A menos AE, ¿vale? Entonces de aquí
resultaría, ¿vale? Que AE en este caso sería igual a E por 1 menos A
igual a 0. Por tanto la E tendría que ser 0, ¿vale? Si el neutro será el
0, ¿vale? Como habéis visto que tiene el elemento neutro vamos a probar
si hay simétrico, ¿vale? Por tanto tiene que ser un elemento A para que
tenga simétrico A', ¿vale? Ha de ser que A estrella A' sea igual a 0,
¿vale? A estrella A' sería A más A' menos A por A', ¿vale? Por tanto
sería A más A' puedo sacar factor común por 1 menos A igual a 0, ¿vale?
Por tanto sería que A' sería igual a A, sería igual a menos A partido
por 1 menos A, ¿vale? Por tanto aquí tendríamos que para A. Instinto de
1, ¿vale? Todo elemento de A tiene simétrico, ¿vale? En este caso
sería, pues, sí. Aquí nos piden que sea grupo o nada. Por ejemplo, aquí
este no sería grupo porque habría un elemento, que sería concretamente
el 1, que no tendría simétrico, ¿vale? Pero aquí solo nos piden si hay
algunos elementos que tengan simétrico. Pues bueno, si hay muchos, la
mayoría menos A igual a 1. Bueno, aquí tenemos otra operación, ejercicio
2, ¿eh? Dice, sea la operación de producto cartesiano N por N, ¿vale?
Que a cada par le hacemos corresponder N, ¿vale? Definida por A estrella B
igual a A, ¿vale? Pide si es conmutativa, asociativa, si hay elemento
neutro y si hay algún elemento que tenga un simétrico, ¿vale? O más de
uno, ¿vale? Bueno, probamos, ¿vale? De entrada, si operamos A estrella B
es igual a A, B estrella B es igual a B. Por tanto, no cumple la propiedad
conmutativa, ¿vale? Ahora vamos a probar la asociativa. A estrella B, o
sea, paréntesis, A estrella B, paréntesis, estrella C, ¿vale? A estrella
B es A por definición. A estrella C es A, ¿vale? Ahora vamos por, a ver,
A estrella paréntesis B C, B estrella C, ¿vale? Subiendo este
paréntesis, B estrella C es B, ¿vale? A estrella B es A. Por tanto, en
este caso sí que cumple la propiedad asociativa, ¿vale? Por tanto, la
asociativa sí que la cumple, ¿vale? Para el simétrico tiene que ser que
A estrella E sea igual a E estrella A igual a A, ¿vale? A estrella S igual
a E estrella A sería igual a E, ¿vale? Por tanto, en este caso no puede
ser, ¿vale? Por tanto, o sea, por un lado nos da que sería A estrella E
igual a A, ¿vale? Y por el otro nos da E, ¿vale? Por tanto, cada
operación es diferente. O sea, aquí el simétrico además tiene que ser
único, bueno, neutro en este caso. ¿Vale? Neutro. Si existe es único, o
sea, tiene que ser uno por todos. Por tanto, aquí no existe el elemento
neutro. ¿Simétrico? Si no hay neutro, ya no hay simétrico, ¿vale? Por
tanto, aquí, pues ya no tiene sentido hablar de elemento simétrico cuando
ni siquiera existe el elemento neutro, ¿vale? Bueno, vemos otro, ¿vale?
Dice, sea la operación del producto cartesiano R por R sobre R, ¿vale?
Que a cada par de números reales se le asocia otro número real, ¿vale? A
estrella B igual a A más B más 2AB. Pide, si es conmutativa, si es
asociativa, elemento neutro, tiene elemento simétrico. Bueno, ¿tiene
algún elemento R un simétrico y cuál es? Entonces, si es conmutativa,
pues, ¿vale? Aplicamos la definición A estrella B es igual a A más B
más 2AB, ¿vale? Que podemos poner B más A más 2BA. Por tanto, aquí se
cumple, ¿vale? Por B que A operado con B, ¿vale? Es igual a B operado con
A, ¿vale? Vemos si es asociativa, pues, bueno, esta sería un poco más
farragosa que sería como... Como hemos dicho antes, ¿vale? A operado con
B y el resultado con C, pues de entrada A operado con B es A más B más
2AB. Y ahora este elemento operado con C. Por tanto aquí será A más B
más 2AB más C más 2A por B. En este caso A sería A más B más 2AB por
C. Por tanto aquí ahora multiplicamos todo. Me queda A más B más 2AB,
aquí nada, C. C y ahora 2A por C, 2B por C y 4ABC. Entonces aquí ponemos
un poco ordenado A más B más C más 2AB más 2AC más 2BC más 4ABC.
Entonces agrupamos A, B más C más 2BC y sacamos factor común 2A de B
más C más 2BC. En este caso A, B más C más 2BC sería B estrella C. B
operado con C. Por tanto me queda A más B estrella C más 2B estrella C. Y
ahora ya más fácil, ¿vale? Clicamos otra vez la definición y sería A
operado con B estrella C. Por tanto, aquí vemos que sí que cumple la
propiedad asociativa, ¿vale? Igual que he dicho antes, ¿vale? Sería más
fácil si acaso desarrollar el miembro izquierdo y llegaríamos aquí,
¿vale? Después desarrollar el miembro derecho, ¿vale? Este y
llegaríamos aquí, ¿vale? Entonces comparando resultados sería más
fácil de probar, ¿vale? Vean si existe neutro, ¿vale? Si existe tiene
que ser que A operado con E. A sea igual a A y E operado con A sea igual a
A, ¿vale? Por tanto aquí E operado con A aplicando la definición es A
más E más 2AE, ¿vale? Esto tiene que ser igual a A, ¿vale? E operado
con A es E más A más 2EA, ¿vale? Igual a A, ¿vale? Por tanto aquí en
ambos deducimos podemos, llegamos al resultado es E por 1 más 2A. E por 1
más 2A, ¿vale? Por tanto, la E tiene que ser cero. Este es el elemento
neutro, sea o cero. Vemos qué elementos tienen simétrico. Para que el
elemento A tenga simétrico, A' tiene que ser A operado con A' igual a
neutro, en este caso el cero, ¿vale? Por tanto, sería A operado con A', o
sea, A estrella prima es A más A' más 2A por A'. En este caso, bueno,
podemos sacar factor común A' para aislarlo, ¿vale? Me quedaría que A
más A' por 1 más 2A igual a cero. Por tanto, A' sería igual a A menos A
partido por 1 más 2A, ¿vale? Todo elemento, todo número real distinto de
menos un medio tiene simétrico. En este caso, menos un medio no tiene
simétrico. Por tanto, este tampoco tendría estructura de grupo. Porque
este elemento no tendría simétrico. Pero aquí nos lo piden solo si hay
elementos que tengan elemento neutro, ¿vale? Bueno, vemos otro ejercicio.
Dice, sea E conjunto de dos números enteros pares, ¿vale? O sea, menos 6,
menos 4, menos 2, 0, 2, 4, 6, 8, ¿vale? Dice, decir si he cerrado respecto
a operación. Cerrado quiere decir que operando dos elementos del conjunto
me da otro elemento del conjunto. Adición, sustracción, multiplicación,
¿vale? Bueno, por tanto, y división, ¿vale? Excepto por cero, bueno. He
cerrado, ¿vale? La suma de dos números pares es un número par. La
sustracción de dos números pares, o sea, sería sumar a uno, sumarle el
simétrico de otro, ¿vale? Por tanto, en este caso, pues, por ejemplo, a
menos dos sumarlo más dos. Nos da otro número real. O menos cuatro
sumarle el dos, ¿vale? Por tanto, aquí nos daría también un número
real. La multiplicación también es cerrada. El producto de números pares
es par. En cambio, la división no es cerrada, ¿vale? Por ejemplo, si yo
divido menos dos por dos, me da menos uno, que no pertenece al conjunto E,
¿vale? Porque solo entran los números pares, ¿vale? Bueno, vemos otra...
Otro ejercicio, dice, sea estrella una operación de A, por lo que lo que
hace es si A no leía por A sobre A, que es asociativa con el elemento
neutro E. Y B, un conjunto de elementos unitarios, elementos unitarios
quiere decir que tienen inverso, ¿vale? O sea, un subconjunto B de
elementos de A que tienen, bueno, en este caso dice simétrico, ¿eh?,
¿vale? A probar que B es cerrado respecto a la operación, ¿vale? O sea,
si tomamos A que pertenece a B y B que pertenece a B, entonces A tiene un
simétrico que es menos A y B es un simétrico que es menos B. Pues yo
tengo que probar que A por B pertenece a B. Para pertenecer a B es la
condición que tiene que existir el simétrico de A operado con B.
Entonces, bueno, nosotros probamos A operado con B y operado con B a la
menos uno, A a la menos uno. A ver qué pasa, ¿vale? Entonces, bueno,
aquí aplicamos la propiedad asociativa varias veces, ¿vale? Me queda A
operado con, puedo poner A operado con D, con paréntesis, D operado con D
menos 1, A menos 1, paréntesis, cerrar paréntesis, ¿vale? Entonces,
aquí vuelvo a aplicar, aquí vuelvo a aplicar la propiedad asociativa,
¿vale? Me queda A operado con paréntesis, paréntesis, D, D a la menos 1,
operado con A a la menos 1, cerrar paréntesis, cerrar paréntesis.
Entonces, B operado con B a la menos 1 es el neutro porque B es el B a la
menos 1 simétrico de B, ¿vale? Entonces, E operado con el simétrico de
A, que es a la menos 1, evidentemente es a la menos 1. A operado con su
simétrico es Y, ¿vale? Por tanto, resulta que A operado con B, su
simétrico es D a la menos 1, A a la menos 1, también pertenece al
conjunto B, ¿vale? Por tanto, esta operación sí que es cerrada, ¿vale?
Dice, sea una operación unión de conjuntos. Allá el elemento neutro,
¿qué elementos, si los hay, tienen simétrico y cuáles son? Entonces,
operación unión de conjuntos. Bueno, evidentemente, si yo tengo A unido
con el conjunto vacío, es igual que con las propiedades de los conjuntos.
A unido con el conjunto vacío es lo mismo que el conjunto vacío unido con
el A igual a A. Por tanto, en este caso, el conjunto vacío sería elemento
neutro de la operación unión. Para que un conjunto A tenga simétrico X,
se tiene que cumplir que A unión U sea igual a X unión A, que esto sí
que se cumple, y sea igual al conjunto vacío. Este es el problema, ¿vale?
O sea, A unión X y X unión A, evidentemente, cumple la propiedad
conmutativa. Pero, que sea igual al conjunto vacío, ya hay pocos casos.
¿Qué se tiene que cumplir para que A unión X sea igual al conjunto
vacío? Pues bueno, que ambos A y X tienen que ser el conjunto vacío. Por
tanto, el único elemento... que tiene un simétrico, es el conjunto
vacío, que es a su vez su propio simétrico, ¿vale? Vemos otro ejercicio,
¿vale? El 7 dice, sea A con las operaciones más y por un anillo
conmutativo unitario, ¿vale? Quiere decir que cumple la propiedad
conmutativa del producto, ¿vale? O sea, que es anillo, ¿vale? Recordad
que el anillo A tiene que ser grupo averiado respecto a la operación suma.
Tiene que ser la operación cerrada por, ¿vale? Tiene que cumplir la
propiedad asociativa. Tiene que existir el elemento neutro del producto y
tiene que ser conmutativo en ese caso, ¿eh? Un anillo conmutativo
unitario, ¿vale? Es una estructura bastante ya compleja. Dice, demuestre
que dados X y que pertenece a, si X y es invertible, entonces, entonces, X
e Y son invertibles. O sea, yo tengo dos elementos que sé que su producto
es invertible. Entonces, tanto X como Y son invertibles. O sea, existe X a
la menos uno e Y a la menos uno. Vamos a hacerlo por partes. Sería un poco
más complicado, ¿vale? Suponemos que x y es invertible, ¿vale? Entonces,
si es invertible, existirá un zeta, ¿vale? De a, tal que x por y por zeta
será igual a 1, ¿vale? Como se cumple la propiedad asociativa, ¿vale?
Hemos dicho 1. 1, entonces sería a x por y por zeta sería a, y además la
conmutativa, ¿vale? O sea, x por y por zeta, bueno, más que la asociativa
en este caso aquí, la conmutativa, ¿vale? x por y por zeta es igual a 1,
¿vale? Z por x y por y igual a 1, ¿vale? Pero además, aquí ya si x y es
el simétrico de zeta ya se cumple esto, ¿vale? Aún ni sin ser. Un anillo
conmutativo, ¿vale? En este caso, el simétrico es un elemento operado por
el simétrico, o sea, el simétrico operado por el elemento igual al
elemento neutro, ¿vale? En este caso, al elemento neutro del producto,
¿vale? Teniendo en cuenta que en un anillo el producto es asociativo,
entonces x por y por z podemos poner x por y y por z y x a y z podemos
poner z x y. Como el anillo es conmutativo y z por x también es 1, o sea
si x por y z es 1 y z por x también es 1 y lo mismo el z x y por y y z x
también es 1. Por tanto se verifica que y z es el elemento neutro de x,
hay el elemento inverso de x y z x es el elemento inverso de y. Por tanto.
Y hemos probado lo que nos pedían. Tenemos el b que pide, demuestre que si
x es un elemento invercible entonces x no es un divisor de 0. Por
reducción al absurdo, supongamos que exista x que pertenece a que es
invertible y que es divisor de 0. O sea, que es invertible y divisor de 0 a
la b, suponemos. En este caso, al ser invertible, existe el inverso o el
simétrico, x a la menos 1. Y b, existe b, o sea, x supongamos que es
distinto de 0. Por tanto, y que si es divisor de 0, pues existirá otro
número b de a, que es distinto de 0, tal que x por b es igual a 0. Que es
la definición de divisores de 0. Para que si x es un divisor de 0, existe
otro elemento b distinto de 0, tal que x por b es igual a 0. Dice b existe,
pues x es un divisor de 0. Pues lo que hemos supuesto, suponemos que es
distinto de 0, que es invertible. Y que es divisor de 0. Por tanto, se
tiene que cumplir todo esto. Si se cumple esto, se cumple que x por b es
igual a 0. Multiplicamos por x a la menos 1 y tenemos que x a la menos 1
por x y por b tiene que ser igual a x a la menos 1 por 0. x a la menos 1
por 0, o sea, un elemento distinto de 0 multiplicado por 0 en un anillo es
0, ¿vale? Por las propiedades que hemos visto antes, ¿vale? Por tanto,
podemos poner x a la menos 1 por x, podemos ponerlo aplicando la propiedad
asociativa, x a la menos 1 por x y por b, ¿vale? x a la menos 1 por x, al
ser x a la menos 1 el simétrico de x o el inverso, que es en este caso lo
mismo, o sea, generalmente en producto se llama inverso y en suma, ¿vale?,
se llama simétrico, ¿vale? Entonces, x a la menos 1 por x es 1, que es el
elemento neutro del producto, ¿vale? 1 por b es b, por tanto, tenemos que
el resultado de... Esta operación es b, ¿vale? Por tanto, la b tiene que
ser 0. Lo que contradice la elección de b. Por tanto, si x pertenece a ese
invertible, entonces no es un divisor de 0, ¿vale? Tenemos el c... ¿Vale?
Dice, si A, que es la definición de A, y A, el ideal generado por A,
¿vale?, demuestre que si A por A es igual a A, ¿vale?, o sea, A,
recordamos la definición de ideal generado por A, que es el producto de
los elementos de A, de A por todos los elementos de A, ¿vale?, demuestre
que si A por A es igual a A, si y solo si A es invertible, ¿vale?, si
cumple que el ideal este, es igual al anillo, si y solo si el elemento A es
invertible, ¿vale? Bueno, dice, se recuerda que un anillo A, el ideal
generado por A, es A por A igual a A por I, tal que I pertenece a A,
¿vale?, o sea, I recorre todos los elementos de A, ¿vale? A, ¿vale? El
elemento neutro del producto de A1 será un elemento de A, ¿vale? Por
tanto, existirá un C, ¿vale? Un elemento C de A tal que A por C que 1 sea
igual a A por C, ¿vale? Teniendo en cuenta que A es un anillo conmutativo,
¿vale? Si 1 es igual a A por C, 1 sea igual a C por A, ¿vale? Por tanto,
en este caso se obtiene que A es invertible. Y C es el inverso, ¿vale? Por
tanto, E íbamos planteado por un lado, ¿eh? Ahora, o sea, tal como
preguntaba, ¿vale? Dice, demuestre que sea sí, sólo sí. Es decir,
suponemos esto y llegamos al lado izquierdo. Ahora supondremos que es
invertible y llegaremos al lado, o sea, partiendo del izquierdo. Suponemos
cierto el izquierdo y llegamos al derecho. Suponemos ahora cierto el
derecho. Y llegamos al izquierdo, ¿vale? Que es esta condición, sí,
sólo sí. ¿Vale? Precíprocamente dice, si A es invertible. y a a la
menos 1 es el inverso, se tiene que 1, ¿vale? Es igual a a por a la menos
1, ¿vale? Como para cada x que pertenece a, se cumple que x es igual a 1
por x, ¿vale? Entonces 1 es a por a la menos 1, ¿vale? Entonces sería a,
¿vale? A la menos 1 aplicando a por a la menos 1 y por x, aplicando la
propiedad asociativa es y la conmutativa, ¿vale? A, a por a la menos 1 es
lo mismo que a la menos 1 por a, ¿vale? Bueno, conmutativa o aquí como es
el simetrio, por tanto es a por a la menos 1 como a la menos 1 por a. No
hace falta que sea conmutativo, ¿eh? No sé si ponía la condición que
hubiera ahora, pero aquí tampoco hace falta, ¿eh? Conmutativo, sí. Por
tanto, por inverso y por propiedad conmutativa se cumple. Vale, entonces
resulta que x pertenece a a por a, ¿vale? Porque a la menos 1 por x... x
es un elemento de a, por tanto... Para cada, deducimos que X pertenece a A
por A, ¿vale? Al ideal, ¿vale? O sea, en la entrada tenemos que A,
tomando el elemento de A, vemos que está incluido en, o sea, que A está
incluido en A por A, en el ideal A, ¿vale? La inclusión inversa es
verdadera siempre, ¿vale? O sea, A por A, el ideal está incluido en A,
¿vale? Para cualquier elemento de A, invertible o no invertible, ¿vale?
Este ya se cumple siempre. O sea, un ideal siempre es un subconjunto,
¿vale? De A, ¿vale? Por tanto, A por A y A siempre se cumplen, ¿vale?
Por tanto, A incluido en A por A y A por A incluido en A y A por evidencia,
por tanto, deducimos que si es invertible, el ideal A por A es igual a A,
¿vale? Bueno, vemos si acaso otro ejercicio del 8, a ver si nos da tiempo.
Ah, dice... determina razonablemente si los siguientes conjuntos con la
operación considerada forman grupo. Entonces tendré que ver la operación
y si se cumplen las propiedades, si es cerrada, si tiene elemento neutro,
elemento asociativa, elemento neutro, elemento simétrico. Entonces, de
entrada, el conjunto A es el intervalo menos 1, 1 abierto. La operación
definida por X operado con Y, estrella Y, igual a X más Y partido por 1
más X. Bueno, B es otro caso. De entrada, empecemos por el A. Dice la
operación, es una operación interna, hay que demostrar que X, para ver
que es una operación interna, X operado con Y también pertenece a, si X y
pertenece a, esto es lo general. Observamos que si, en primer lugar, que si
X y pertenecen a menos 1, 1, entonces 1 más X, X por Y siempre es la mayor
que sea. A ver si se abre. Si multiplico a elementos que están entre menos
1 y 1, ¿vale? Entonces, ni que el producto sea negativo sumado con 1,
¿vale? Siempre me dará positivo, ¿vale? Porque el menos 1 y el 1 no
entran, ¿vale? Por tanto, tendremos que x operado con y sería x más y
partido por 1 más xy, ¿vale? Entonces, esto sería entre 1 y menos 1,
¿vale? Entonces, se cumpliría que menos 1 menos xy, x más y menor que x
más y. Esto equivale a dos desigualdades. Por un lado, menos 1 menos xy
menor que x más y, x más y menor que 1 más xy, ¿vale? Entonces, bueno,
operando esto, ¿vale? Pasamos todo al lado derecho, la primera, me queda x
más y más xy más 1, esto mayor que 0. Y al otro lado igual, pasamos al
lado derecho, pasamos xy, me quedaría. 1 más xy menos x menos y, mayor
que 0. Entonces, sacando factor común esto lo puedo poner, este primero,
este de aquí, lo puedo poner de esta forma. Puedo poner 1 más x por 1
más y, esto mayor que 0. Aquí puedo poner 1 menos x por 1 menos y, mayor
que 0. Las dos últimas desigualdades, estas, siempre se cumplen para
cualquier valor de menos 1,1. Esto lo planteamos de esta forma. Partimos de
ver a ver si se cumple x operado con y, sea, tiene que estar entre menos 1
y 1, estrictamente. Entonces, pues bueno, vamos operando y llegamos aquí.
Digamos que... Si se cumple que x operado con y es mayor que menos 1 y
menor que 1, ¿vale? Si se cumple, entonces llegamos aquí. Y ahora tenemos
que ver si se cumplen estas desigualdades que hemos llegado, ¿vale? Para
cualquier xy... siempre sería el producto de 1 más x, si la x es
negativa, esto es positivo, si la y es negativa, por ejemplo, esto es
positivo, ¿vale? Como el menos 1 y el 1 no los cogeré nunca, por tanto,
este primer producto es positivo. Lo mismo pasa con el otro, ¿vale? Si es
positivo, por ejemplo, 1 menos x, pues como no llegaré al 1, este 1 menos
x será positivo y lo mismo pasa con 1 menos y, ¿vale? Por tanto, parto de
una desigualdad más complicada, llego a dos otras más simples y pruebo
que efectivamente x operado con y está entre menos 1, siempre me dará un
número entre menos 1 y 1. Aquí está explicado. Vemos que la operación
es asociativa, tenemos que hacer el tipo de operaciones, aquí sí lo he
hecho de la forma que he dicho antes, yo cojo x y operado con z, ¿vale?
Pues voy haciéndolo por partes, aplico la definición y llego a esta
expresión. Después hago al otro lado, ¿vale? Hago el otro lado y, por
tanto, pues bueno, o sea, x operado con y y con z es lo mismo que x operado
con y y operado con z. Por tanto, aquí lo desarrollo, aplicando la
definición de la operación y llego por aquello que decía, es más fácil
probarlo de esta forma. Por un lado desarrollo este y me da esto, por otro
lado desarrollo el lado derecho de la igualdad, tendría que ser este igual
a este. Desarrollo primero el izquierdo, llego aquí, desarrollo el derecho
y llego aquí, que es lo mismo. Por tanto, se cumple la propiedad. ¿Cero
es el elemento neutro? Pues sí. x operado con cero es x más cero partido
por uno más x por cero. Por tanto, me queda x partido por uno. Que es x.
Por el lado cero operado con x también lo mismo, ¿vale? Por tanto, el
elemento neutro es cero. El simétrico, ¿vale? Si x pertenece a menos uno
uno... Es menos x, ¿vale? En este caso, x operado con menos x es x más
menos x partido por 1 por x y por menos x, que sería 1 menos x cuadrado.
Evidentemente, esto de aquí no será nunca 0 porque la x varía entre
menos 1 y 1, por tanto, su cuadrado será menor, ahora me quedará 0
partido por un número mayor que 0. Por el otro lado, igual, ¿vale? B es
el conjunto de los números complejos de módulo igual a 2, con el producto
usual de los números complejos, ¿vale? Por tanto, entonces, de entrada
aquí ya veo que la operación ya no es cerrada, ¿vale? No es un grupo,
pues ni siquiera el producto de dos elementos de D es un elemento de D. O
sea, ya no hace falta probar. ¿Por qué? Si tomamos 1 módulo 2, Z módulo
2 y Z prima módulo 2, por las propiedades del producto de los números
complejos, el módulo del producto, Z por Z prima es igual a 4, por ser el
producto de los módulos. Por tanto, ya Z por Z prima no presencia B. Por
tanto, aquí ya no hace falta probar más. El ejercicio 9 es bastante
fácil. Si tenéis alguna duda o algo, si me tengo que conectar para otra
tutoría, me lo enviáis. Esto yo os envío el PDF, como siempre, y la
dirección de la grabación. Supongo que habrá quedado grabado. Y en
principio, hasta la próxima semana. Muchas gracias por vuestra atención y
si tenéis alguna duda me enviáis un correo. Gracias.