Vale. Entonces, tengo preparados aquí un montón de ejercicios de
congruencias que hice el otro día. Y que seguro que os van a encantar. A
ver, el asunto con las congruencias es el siguiente. Cuando nosotros
hacemos... Bueno, por cierto, antes, ahora que estoy fresco todavía.
Todavía. La tutoría de la semana que viene no la puedo hacer el jueves
porque soy vocal titular en las elecciones a la Junta de Facultad de mi
facultad. Y entonces, el recuento de votos es a las 7 y no puedo...
Entonces, la haremos el miércoles. Los que podéis asistir, asistís de
forma online o de forma presencial. Será a las 6 y media de la tarde el
miércoles de la semana que viene. Y los que no, pues como siempre, la
tutoría quedará grabada y el que la quiera consultar en diferido, la
puede consultar. Pero los que queráis hacerla de forma... Será online,
será el miércoles que viene a las 6 y media o presencial. También
podéis venir si queréis. Entonces, nos vamos ya al tema de las
congruencias. ¿Qué es eso de las congruencias? Pues las congruencias son
una relación binaria de equivalencia definida sobre los números enteros
en función de cuál es el resto de dividirlo por un cierto número.
Entonces, si no os han dicho en ninguna asignatura lo que es una relación
binaria de equivalencia, ya os lo deberían de haber explicado. ¿Os lo han
explicado? Pues yo lo he visto por el libro y tal, pero básicamente. Una
relación binaria de equivalencia es una relación de pares de números.
Por eso se llama binaria. Y de equivalencia es que, por ejemplo, A está
relacionado con B si y solo si tal. En este caso, A está relacionado con B
si y solo si A y B tienen el mismo resto al dividirlos... Y me he salido ya
de los bordes. Por eso me acordaba. ¿Ves esto en el Teams? Al dividirlos
por un número, vamos a llamarlo M porque se le suele llamar módulo. Y a
esto se le suele llamar congruencia módulo M. Entonces, la relación
binaria de equivalencia tiene tres propiedades fundamentales. Que es
simétrica, reflexiva, simétrica y transitiva. Reflexiva es que todo
número está relacionado consigo mismo. Porque todo número tiene el mismo
resto que el mismo cuando lo divides entre el número que sea. Simétrica
es que si A está relacionado con B, entonces B está relacionado con A. Es
decir, en este caso está claro. Transitiva es que si A está relacionado
con B y B está relacionado con C, entonces A está relacionado con C. Se
pueden comparar las equivalencias. Una equivalencia... Se puede hacer una
equivalencia de tres. ¿Vale? Pero bueno, esto es un poco de cultura
general sobre historias de relaciones binarias de equivalencia. Entonces,
¿de qué van los ejercicios de congruencias? Van de que cuando tú tienes
congruencias, la congruencia es compatible con un montón de operaciones.
Por ejemplo, si A es congruente con B módulo M, esto significa que A y B
tienen el mismo resto. Y por lo tanto, A menos B es divisible por M.
Entonces, si A es congruente con B módulo M y C es congruente con D
módulo M, pues pasan un montón de cosas. A más C es congruente con B
más D módulo M. A por C es congruente con B por D módulo M. Puedes hacer
potencias y puedes... A veces descomponer el módulo en función de
números primos. Vamos a ver diferentes ejemplos. Y luego hay dos teoremas
así bastante importantes. Uno que es el más general, que habla de... Hay
dos categorías de ejercicios así bastante importantes. Uno que tiene que
ver con este teorema. Cuando... El máximo común divisor de A y M es igual
a 1. Entonces, A elevado a fi de M es congruente con 1 módulo M. Y este fi
de M es la fórmula de Euler que cuenta... Es la aplicación que cuenta el
número de coprimos menores que M. De números enteros positivos coprimos
menores que M. Y el 1 cuenta. Entonces... Porque al final coprimos que el
máximo común divisor sea 1. Pues, por ejemplo, fi de 1 es 1. Fi de 2 es
1. Fi de 3 es 2. Porque solo hay dos números coprimos con el 3. Entre el 1
y el 3, el 1 y el 2. Fi de 4 también es 2. Porque el 1 y el 3 son coprimos
con el 4, pero el 2 no. Fi de 5 es 4. Porque hay cuatro números hasta el
5. Son coprimos con el 5 todos. ¿Vale? Fi de cualquier número primo es P
menos 1. Porque un número primo... Pues todos los números son coprimos
con ese número primo. Porque el máximo común divisor de un número primo
y cualquier otro número que sea más pequeño es 1. Un primo no es
divisible por cualquier número más pequeño que él. Porque es primo. No
tiene otros divisores. Entonces... ¿Cuántos coprimos hay con un primo?
¿Que sean menores que él? Todos. Todos los números anteriores de un
primo no se pueden... No tiene factores en común con el primo porque si no
el primo no sería primo. Entonces... Esto tiene una manera concreta de
escribirse para los números primos. Que es que... Si A y P son coprimos,
es decir, si P no divide a A, entonces A elevado a fi de P, que es P menos
1, A elevado a P menos 1 es congruente con 1 módulo P. Me he salido de la
pizarra, pero bueno. Como aquí abajo, por si acaso. No queda grabado. Y
esto es lo que se llama el pequeño teorema de Fermat. Y se usa mogollón.
Tanto en la versión general, que no me acuerdo cómo se llama, como en el
pequeño teorema de Fermat. Se usa... P menos 1. Sí. A elevado a P menos 1
es congruente con 1 módulo... Y se usa una barbaridad en ejercicios. Una
barbaridad. Y luego es el teorema chino del resto. El teorema chino del
resto hablaré después. Haremos un ejercicio del teorema chino del resto
que es para resolver sistemas de congruencias. Vamos a empezar. Ejercicio
1. Voy a hacer una tirada de ejercicios para que veáis las diferentes
cosas que os pueden preguntar sobre congruencias. Entonces el ejercicio 1
dice... Probar que n a la quinta es congruente con n módulo 10. 10 para
todo n entero. Entonces, yo esto lo hice de una manera y luego este es un
ejercicio que creo que está hecho en los ejercicios... No sé si estaba en
los ejercicios resueltos o así. Y ahí está hecho de otra manera. Me
parece que es uno de los primeros de los ejercicios resueltos. Entonces,
una de las maneras de la que está hecha... Creo que se me ha olvidado. Yo
os digo como lo hice yo. Que está bien hecho. No es que sea perfecto, pero
está bien hecho. ¿Qué significa...? Igual no es la manera más elegante,
pero bueno, así si lo encontráis en el libro de ejercicios, pues podéis
comparar las dos resoluciones. ¿Qué significa que dos números sean
congruentes módulo 10? Dos números son congruentes módulo 10 cuando
tienen el mismo resto cuando los divides por 10. ¿Y cuál es el resto de
dividir un número por 10? La cifra de las unidades. El dígito de las
unidades. Entonces, la cifra de las unidades ha de coincidir en n y en n a
la quinta. Pues yo ¿qué hice? Me cogí n y me cogí las posibles cifras
de las unidades. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y ahora, lo bueno que
tienen las congruencias, como os decía, es que funcionan bien con todas
las operaciones. Con las sumas, con los números. Con los productos, con
las potencias. Entonces, si yo ahora hago las potencias 0 al cuadrado, 0. 0
al cubo, 0. 0 a la cuarta, 0. Y 0 a la quinta, 0. Y 1 al cuadrado es 1. 1
al cubo es 1. 1 a la cuarta es 1. Y 1 a la quinta es 1. ¿Para qué pasa
con el 2? Pues 2 al cuadrado es 4. 2 al cubo es 8. Y 2 a la cuarta es 16.
Pero aquí solo estoy apuntando la cifra de las unidades. Entonces, lo que
escribiríamos es que 2 a la cuarta es 16. Y 16 es congruente con 6 módulo
10. Entonces, aquí voy a apuntar un 6. Y 2 a la quinta es 32, que es
congruente con 2 módulo 10. Entonces, aquí apunto un 2. Pero no hace
falta que calculeis el 32. Fíjate que si multiplicas aquí por 2, pasas de
2 a la cuarta a 2 a la quinta. Pero es que si multiplicas 6 por 2, es 12. Y
12 es congruente con 2 módulo 10. Entonces, puedes ir haciendo las
congruencias con estos números ya más pequeñitos. Y no tienes que ir a
las potencias. 3 por 3 es 9. 9 por 3, 27. Pues puedo apuntar solo el 7. No
hace falta que piense en 27, que por 3 es 81. Porque es lo mismo hacer 27
por 3, que es 3 a la cuarta, 81. Y apuntar aquí el 1, quiere decir 7 por 3
es 21. Y apuntar aquí el 1. Al final estoy haciendo congruencias. Aquí lo
que estoy haciendo es este módulo 10. Aquí estoy apuntando solo
congruencias, módulo 10. Y 1 por 3 son 3. 4 por 4, 16. Congruente con 6,
módulo 10. 4 al cubo son 64, que es congruente con 4, módulo 10. O lo que
decíamos, 6 por 4, 24, congruente con 4. 4 por 6, 16, congruente con 6. 6
por 4, 24, congruente con 4. Entonces, el tema de las congruencias. Las
congruencias es que siempre hay patrones. Siempre se repiten. Y esto es lo
más importante que tenéis que aprender de la teoría de hoy. Que las
congruencias siempre se repiten. Siempre producen patrones cuando hacemos
potencias. Incluso cuando hacemos sumas o cuando hacemos multiplicaciones.
Y esto es porque cuando dais estructuras algebraicas, ¿sabes? Hay una
asignatura que tenéis que se llama estructuras algebraicas en la que
tratáis todo esto. Y ahora os diré lo que es. Pero bueno, es que... Aquí
cada grupo, cada elemento que hace un subgrupo generado. Y esos subgrupos
generados son subgrupos cíclicos. Entonces, eso es la idea de que se
repiten. Entonces, si seguís completando esta tabla... Bueno, yo supongo
que tenéis una asignatura que se llama algo así como estructuras
algebraicas. En segundo curso. Pues ahí daréis lo que son los grupos y
los subgrupos y los subgrupos cíclicos generados por un elemento.
Entonces, esos subgrupos cíclicos, como dice la palabra, son cíclicos.
Porque se repiten. Entonces, aquí tenéis ejemplos de subgrupos cíclicos.
Es que tú tienes un elemento y lo vas elevando y al final se repiten. Por
ejemplo, el 5. 5 por 5, 25. Y me quedo igual. 5 por 5, 25. Y me quedo
igual. El 6, lo mismo. 6 por 6, 36. Todas las potencias de 6 acaban en 6.
Todas las potencias de 5 acaban en 5. 7 por 7, 49. Me voy al 9. 9 por 7...
Son 63. Me voy al 3. 3 por 7, 21. Me voy al 2. Y 1 por 7, 7. 8 por 8, 64. 8
por 4, 32. 8 por 2, 16. 8 por 6, 48. Y 9 por 9, 81. 9 por 1, 9. 9 por 9,
81. 9 por 1, 9. Aquí, perdón, que apunta a 48. Entonces, fijaos que en la
quinta llegáis otra vez a hacer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Entonces, esto es una
prueba suficiente y es como lo hice yo. No es la más bonita ni la más
elegante. No es la más elegante que puedes hacer, pero es una prueba
suficiente. Entonces, os queda muy lejos el tema de estructuras
algebraicas. Pero la idea es que aquí tienes un grupo formado por los
restos. Y hay unas operaciones. Este grupo se llama Z10, que son los restos
de dividir entre 10. Y entonces, si te fijas, aquí hay lo que se llama una
serie de subgrupos. ¿Qué es? Que son cíclicos. No hace falta que
tengáis nada de lo que estoy escribiendo aquí, porque ya te digo que lo
daréis en segundo. Me falta el de 0, que no lo he puesto. Pero aquí lo
que tenéis son unos subgrupos que recogen todos los posibles números.
Entonces, tú coges el 2 y empiezas a generar y llegas hasta el 2.
Entonces, coges el 8 y empiezas a generar. Por potencia, si llegas otra vez
hasta el 8. Pero los subgrupos están organizados de esta manera. Tienes un
subgrupo fijo del 1, que está incluido en este del 1 y del 9, que está
incluido en este del 3, el 9, el 7 y el 1. Entonces, estos son los posibles
subgrupos generados que tienes en el Z10, que es un anillo, y cuando lo ves
como un grupo multiplicativo te da esto. Todo esto lo daréis en segundo.
Pero para esto es irrelevante, pero cuando hagáis anillos, todo lo que
vais a hacer son grupos modulares de estos de aritmética modular. ¿Qué
es congruencia? Congruencias, congruencias, congruencias, congruencias,
congruencias. Entonces, en esta asignatura de matemática discreta veis
muchos problemas de numeritos, pero una parte de los numeritos tiene que
ver con el álgebra. Entonces, esto lo daréis en la asignatura de
estructuras algebraicas. ¿Cómo lo hace en el libro? Pues no me acuerdo,
pero tenía que ver con el hecho de que tú quieres ver congruencias
módulo 10. Entonces, era algo así como que si el número es par, entonces
a la quinta sigue siendo par. Y si el número es impar, entonces a la
quinta sigue... Y si el número sigue siendo impar, entonces solo mira
congruencias módulo 5 porque la congruencia módulo 2 la tiene determinada
y entonces en las módulos 5 creo que factorizaba n a la 5 menos n con las
fórmulas estas mágicas de que esto es n más n a la cuarta más n más n
al cuadrado más n al cubo. No lo sé, ¿hay alguna factorización aquí?
Sí, esto es algo así como... Es que no me acuerdo. N a la quinta menos...
N a la cuarta menos n es n por n a la cuarta menos 1 y n a la cuarta menos
1 es n menos 1 por... Y aquí tienes que poner un n al cubo para que esto
por esto te dé n a la cuarta, pero si aquí pones un n al cubo, cuando lo
multipliques por n te va a quedar menos n al cubo. Entonces necesitas
algo... Que cancele con ese n al cubo y entonces aquí pones un n al
cuadrado para que cuando lo multipliques por n te quede un más n al cubo
que cancele con el menos n al cubo que sale de aquí. Pero cuando generas
aquí un n al cuadrado, entonces cuando lo multipliques por eso te va a
cancelar el n al cubo, pero aquí te va a salir otro n al cuadrado,
entonces aquí tienes que meter una n para cuando lo multipliques por eso
te sale algo más n al cuadrado. Y aquí al final acabas poniendo un más 1
y entonces esto creo que sale. Entonces aquí hacía unas operaciones,
consideraba que n... Era 5k más r o 10k más r y veía que siempre salía
lo mismo. Al final le salían siempre igual. No me acuerdo, está en el
libro. Pero bueno, ahí tenéis otra resolución que os dejo y podéis
comprobar en el libro cómo es la resolución. No me acuerdo en cuál de
los dos libros está, pero está en uno de los dos. Vamos a ver este
ejercicio 2. Todos estos están sacados de las diapositivas que tenéis en
el drive. Luego, como ya que dices que n es 0, 1, 5, 6... Que tú tienes un
n en z, a ver si quiero pasar la página. Entonces ese n en z es congruente
con una de las posibilidades que has puesto aquí. Si n es congruente con
0, n a la quinta es congruente con 0. Si n es congruente con 1, n a la
quinta es congruente con 1, porque aquí lo que has escrito son
congruencias. Sí, sí, sí. N es congruente con 8, n a la quinta es
congruente con 8. Y como ya has agotado todas las posibilidades, pues has
comprobado todos los casos posibles. Lo bueno de las congruencias es que
hay una cantidad limitada de posibilidades. Lo malo es que son asquerosas.
A ver, en el siguiente ejercicio te dice que tienes dos primos diferentes y
tienes lo siguiente. Hay que probar que si a elevado a p es congruente con
a módulo q, y a elevado a q es congruente con a módulo p, entonces, a
elevado a pq es congruente con a módulo pq. Esto es lo que hay que probar.
Son muy interrogantes, pero nos dicen que hay que probarlo, que hay que
comprobar si es cierto o es falso. Entonces, la idea es aquí, si tú ves
esto, tú tienes que pensar ya en el pequeño punto de vista. El pequeño
teorema de Fermat te dice esto. Con 1 módulo p, por lo tanto, a p es
congruente con a módulo p. Porque multiplico por a los dos lados las
congruencias, permite hacer todas las operaciones. Entonces, multiplicando
por a, a los dos lados tienes que a elevado a p es congruente con a módulo
p. Es decir, que p divide a p menos a. De esta hipótesis que acabo de
recuadrar en rojo, q divide a p menos a. Entonces, pq divide a p menos a
porque ambos dividen, pues el producto de los dos divide. Por lo tanto, pq
divide a p menos a. Por lo tanto, a p es congruente con a módulo pq. Por
ejemplo. Entonces, el tema es que si a p es congruente con a módulo pq,
análogamente también sacas, por el pequeño teorema de Fermat, a q es
congruente con a módulo q. Esto es por el pequeño teorema. Este es el
pequeño teorema de Fermat, igual que esto de aquí. Entonces, aq es
congruente con a módulo q y por esta hipótesis de aquí, que es que aq es
congruente con a módulo p, aq es congruente con a módulo p y entonces
sacas que aq es congruente con a módulo pq. Esto significa que q divide a
q menos a, p divide a aq menos a. Por lo tanto, pq divide a q menos a. Y
entonces, la idea es que, por ejemplo, aquí tú quieres a pq. a elevado a
pq es, por ejemplo, a elevado a q elevado a p. O a elevado a p elevado a q,
me da igual. Entonces, como a elevado a q elevado a p, como a elevado a q
es congruente con a, pues a elevado a q elevado a p es congruente con a
elevado a p módulo pq. Pero a elevado a p es congruente con a. Pues ya
está. Entonces, la idea es, yo quería llegar, ¿cómo he hecho yo todo
esto? La idea es, yo quiero relacionar a pq con a. Pero, ¿cómo lo hago?
Pues digo, no lo sé, yo lo que puedo relacionar es a p con a. Si pudiera
elevarlos a q, a, pero sí que puedo. Pero eso lo puedo hacer solo módulo
p. Porque he partido de aquí. Lo puedo hacer también módulo q, pues
resulta que sí, porque me lo dice el enunciado. Entonces, lo uno y llego
hasta la... Es un problema teórico un poco más difícil de ver. Os hago
una pequeña reflexión filosófica. Yo estoy haciendo estos problemas en
dos minutos. Con este estuve 15, porque no me aclaraba y no sabía cómo
hacerlo. Y estuve 15 porque copié mal el enunciado. Eso es una cosa que
pasa a menudo en matemáticas. Copié mal el enunciado y me daba con la
cabeza. Porque puse la p y la q al revés. Entonces, no penséis que es
todo tan sencillo. Al final tienes que pelearte un poquito con el problema
y entender qué es lo que está pasando. Y en matemáticas, al final, la
idea es que tienes una cantidad limitada de ingredientes y una cantidad
limitada de técnicas, que son los teoremas. Y tienes que combinarlos. Y
alguna de esas combinaciones sale. Entonces, ¿cuál? Cuestión de
práctica. Yo veo aquí en los p's y pienso en el pequeño teorema de
Fermat. Módulo p, pequeño teorema de Fermat. Fijaos ahora el ejercicio 3.
El ejercicio 3 dice... Comprobar que 2 elevado a 340 es congruente con 1
módulo 341. ¿Qué pasa? Esto es el recíproco del pequeño teorema de
Fermat es falso. Esto también está en el libro. El recíproco del
pequeño teorema de Fermat es falso. El pequeño teorema de Fermat dice si
p es primo y a no divide a p, al revés. P no divide. Si a o a p es 1,
entonces a elevado a p menos 1 es congruente con 1 módulo p. Al revés no
se da. No es que si esto es congruente con 1 módulo p y el máximo común
divisor es 1, entonces p es primo. ¿Por qué? Porque 341 no es primo.
Resulta ser que podéis comprobar que 341 no es... Podéis utilizar el
algoritmo de Fermat este que está en el libro. Puedes hacerlo como lo hago
yo. ¿Cómo comprobó yo que un número es primo? Pues con paciencia. Con
paciencia y una caña. Cojas 341 y haces la raíz cuadrada. La raíz
cuadrada son 18 y pico. Pues coges el 19. ¿Eh? Yo cojo el 19. Entonces, si
hay un número primo que divide a 340... Entonces, si existe un número
primo que divide a 341... Si 341 es compuesto... Entonces existe... Si 341
es compuesto, 341 se puede escribir como a por b donde a no es ni 1 ni 341
y si a no es menor que 19 entonces b es menor que 19 porque 19 por 19 ya es
más que 341. Entonces uno de los dos tiene que ser menor que 19. Y el tema
es que cuando divides 341 entre 11 te da 31. Y podéis utilizar el criterio
de la divisibilidad entre 11. El criterio de la divisibilidad entre 11 es
que la suma de las cifras en posiciones impares y las cifras en
posiciones... Me he equivocado, pero bueno. Y las cifras en posiciones
pares es la misma o la diferencia es un múltiplo de 11. Tienes que hacer
la resta entre la suma de las cifras de las posiciones impares y la suma de
las cifras de las posiciones pares. Y luego la resta entre... Entre esas
dos sumas. Y eso te da un múltiplo de 11. Entonces es un múltiplo de 11.
Entonces resulta que 341 es 11 por 31. Por lo tanto no es cierto que esto
también funcione así. No. Solo funciona en este sentido. ¿Cómo se
comprueba? Pues con paciencia y una caña. Lo que te dice... Lo único que
puedes hacer... Es usar... Puedes hacer varias cosas. Una cosa que puedes
hacer es usar que como A y P... Una cosa que puedes hacer es usar que como
el máximo común divisor de 2 y 341 es igual a 1, entonces 2 elevado a phi
de 341 es... Con 1... Módulo 341. Este es un teorema que está en el
libro, que es el precursor del teorema de Fermat, que se me ha olvidado el
nombre. No sé si es algo de Euler, creo, pero ahora mismo no me acuerdo. Y
no tengo aquí el libro. Entonces, ¿qué es phi de 341? Phi de 341 es el
número de coprimos que hay con 341. Entonces, ¿cómo calculas esto? Yo te
lo explico. Cojas el 341. Lo descompones. Y es... Es 11 por 31. Ah, no,
esto es 340. No, es 341. Ah, pero es que esto es 340. Estoy rayando. No, es
341. Y lo descompones. Entonces es 11 con 31. Entonces cuando... Tienes un
resultado que está bien aprenderse, que te dice que phi de n... Es n por 1
menos 1 partido por p1, por 1 menos 1 partido por p2, por tacatacata, por 1
menos 1 partido por pk. Donde los pesos que aparecen en la descomposición
en factores primos del número. Entonces phi de 341 es 341 por 1 menos 1
partido por 11, por 1 menos 1 partido por 31. Y ahora como 341, esto es 341
por 10 partido por 11, por 30 partido por 31. Y como 341 es 11 por 31. Esto
es 300. Es una barbaridad. Y parece que no te soluciona mucho las cosas.
Pero la conclusión a la que has llegado es que 2 elevado a 3... 300 es
congruente con 1 módulo 341. Pero lo que tú querías saber no era eso.
Quieres saber que 3 elevado a 340 es congruente con 1 módulo 341.
Entonces, tiene que haber un número más pequeñito que sea congruente con
1 módulo 341. ¿No? Los restos se van repitiendo. ¿Cómo resolví yo
esto? Pues probando. Tú sabes que los restos se van repitiendo.
Entonces... El enfoque este no nos ha dado mucha información. Tenemos eso,
pero no es que sea súper valioso. Entonces vamos a hacerlo de la manera
tradicional, que es sacar todos los restos. 2 con 2, módulo 341. 2 al
cuadrado son 4, módulo 341. 2 al cubo son 8. 2 a la cuarta, 16. 2 a la
quinta, 32. 2 a la sexta, 64. 2 a la séptima son 128. 2 a la octava son
256. Ahora, 2 a la quinta. 2 a la 9. 2 a la 9 son 512. 512 entre 341 es a
1. Y me sobran 171. Entonces esto es congruente con 171 módulo 341. Y 2 a
la 10 es 2 por esto. Entonces si hacemos aquí 2 por 171. 2 por 171 son
342, que es congruente con 1 módulo 341. Y ya hemos sacado 1. Entonces,
¿qué pasa? Que 2 elevado a 340 es 2 elevado a 10 elevado a 34, que es
congruente con 1 elevado a 34, que es 1 módulo 341. Gracias. Cuando
encuentras un 1 puedes descomponer esto de manera que te divida el
exponente que has encontrado aquí, pues ya te queda 1 elevado a 34 y ya
está. A veces el teorema que he empleado aquí te acorta la faena y a
veces no. En este caso no te ha cortado la faena. El hecho de que tengas un
1 aquí ya te dice, te da la pista de que el 1 te va a aparecer en un
divisor de 300 porque la idea es que los 1 se van repitiendo. Entonces si
se repite pues hay un bloque y ese bloque termina y llegas al 300 y
multiplicarlos. Claro, pues hacer 2 elevado a 40. 4 elevado a 40, dividir
esto en 341, ver lo que da el resto y multiplicarlo por 1. Esa es otra
opción. Y te tiene que dar 1. 2 elevado a 40 da 1 porque 2 elevado a 10 es
1. Lo que pasa es que 2 elevado a 40 es 1024 elevado a 4, que son 10
elevado a 12 más o menos porque son 10 elevado a 3 elevado a 4, que son 10
elevado a 12 más o menos. Que hay 10 elevado a 4. 10 elevado a 12 es un
millón de millones. O como lo llamamos en España, un billón. Pero al
final es 1 elevado a 4 que es 1 y es 1 por 1. Entonces al final exacto, es
1 elevado a 4 que es 1 y entonces da 1. Lo que pasa es que la manera en la
que yo lo encontré fue haciendo toda la cadena. Lo que te dice la
aritmética modular esta es que las congruencias al final siempre se
repiten. Pero cuando vas a llegar al 1, siempre se repiten porque hay una
cantidad finita. Y entonces en un momento dado o se repite o llegas al 1. Y
si llegas al 1, se repite. Porque estás multiplicando todo el rato por el
mismo número, entonces cuando llegas al 1 vuelves a empezar. Porque ya
estás multiplicando y se vuelve a repetir toda la cadenita. Son un poco
así especialitos estos. Chicos, que me he caído, pero ya me he
recuperado. Ya estoy. Vale. Diego, ¿quieres que hagamos ese? Era así que
no había ningún caso. Pero bueno, es más pequeñito. 7 elevado a 44,
este lo tengo hecho. Buena, Arjun. 7 elevado a 44. Aquí está. El más
corto de todos. De los 14 ejercicios que he hecho es el más corto.
Comprobar. ¿Qué hay que comprobar? ¿Esto? Hay que... Módulo 13, ¿no?
Esto es lo que hay que averiguar. Vale. Pues lo primero que puedes hacer es
darte cuenta de que aquí y aquí tienes dos coprimos. Entonces como el
máximo común divisor de 7 y 13 es igual a 1, entonces 7 elevado a fi de
13 es congruente con 1. Módulo 13. ¿Quién es fi de 13? Fi de 13 es el
número de coprimos con 13 más pequeños que 13, que como 13 es primo, son
12. Con cualquier primo, fi de p es p menos 1. El número de coprimos con
13 más pequeños que 13 son todos los números del 1 al 12, son coprimos
con 13. Entonces 7 elevado a 12 es congruente con 1, módulo 13. ¿Vale? Y
te vas a acercar al 44. 7 elevado a 24 también, 7 elevado a 36 también.
Vamos a quedarnos aquí porque el siguiente es 7 elevado a 48 y me paso.
Vamos a quedarnos aquí. Entonces 7 elevado a 44 es 7 elevado a 36 por 7
elevado a 8. Basta comprobar que 7 elevado a 8 entre 13 da 1. Y entonces...
¿Qué pasa? ¿Qué es más fácil? Todo esto es mucho más fácil de lo
que parece. Esto es lo que te aproxima... Esto es aplicando el teorema.
Pero si te hubieras hecho la cadenita desde el principio, 7 es 7, 7 al
cuadrado es 14 y 14 es congruente con 1, módulo 13. Porque es 14, es 13
más 1. Entonces todos los pares son congruentes con 1, módulo 13. 7
elevado a 44 es 7 al cuadrado elevado a 22, que es 1. Y entonces 7 elevado
a 22 es 1, módulo 13. Pero es porque aquí lo que funcionaba rápido era
hacerse la cadenita. Es que a veces hay que hacerse la cadenita, a veces
hay que utilizar el teorema. No está claro. Depende, hay que ir probando.
Exacto, hay que tener recursos. Voy a hacer uno parecido de estos y
después hago uno del teorema chino y el resto para que no podáis decir
que no he hecho ninguno. Bueno. para que no lo podáis decir, porque me
parecen... Porque son algorítmicos y son un poco... Simplemente a... ¿Por
qué si phi de p es p menos 1? Dime. Phi de 4 es 2. Porque el 2... El 4 no
es primo. El 2 no es coprimo con el 4. El 1 y el 3 sí son coprimos con el
4. Entonces esos dos de la phi de 4 son el 1 y el 3. Y el 2 no cuenta
porque no es coprimo. Phi de p es solo para los primos. Dice el 5 este.
Probar que si el máximo común divisor de a y 35 es 1, entonces a elevado
a 12 es congruente con 1 modulo 35. Eso se lo hice ayer o anteayer y me
pasaba con esos que decían esto tiene que estar mal, esto tiene que ser
mentira. Y luego lo probaba con la calculadora y era verdad y me apagaba.
El problema es que no lo sabía hacer. ¿Por qué no lo sabía hacer? Pues
ya te lo explicaré. Porque yo dije, muy bien, Jaime, ¿esto qué es? La
hipótesis del teorema. Pues a elevado a phi de 35 es congruente con 1
modulo 35. ¿Y cómo calculo phi de 35? Pues dije, bueno, me voy a la
fórmula. Phi de 35 es 35 por... Y ahora como 35 es 5 por 7 pues es 1 menos
1 partido por 5 1 partido por 7 y 5 por 7 la fórmula esta mirarla porque
no sé cuándo se puede aplicar. Cuando es el producto de dos primos,
siempre. Pero no sé si... Entonces creo que se puede aplicar siempre.
Entonces esto es 35 con el 5 con el 7 se va entonces es 4 por 6 que son 24.
Entonces esto lo que te da es que a elevado a 24 es congruente con 1 modulo
3. Módulo 35. Esa es la idea, más o menos, sí. Porque aquí te queda un
6 y aquí te queda un 4. O sea que esa es la idea. Cuando tienes un
producto de primos, pues puedes aplicar los productos de las fis. El
problema es que al llegar aquí no te ha solucionado la fórmula. Porque
tú lo que quieres es un 12. Pero se puede hacer otra cosa. Y con este
camino estuve como 15 minutos devanándome los sesos. Lo que se puede hacer
es en vez de pensar en el 35, pensar en el 5 y en el 7. Al final, ¿qué
quiere decir que a elevado a 12 sea congruente con 1 modulo 35? Esto pasa
así solo si a elevado a 12 menos 1 se puede dividir por 35. Y esto pasa
así solo si tanto 5 como 7 dividen a elevado a 12 menos 1. ¿Estamos de
acuerdo? Es lo mismo que 35 divida porque 35 es un producto de primos.
Entonces, si tienen que tener un 35, este número tiene que tener un 5 y
tiene que tener un 7. Entonces dije, voy a intentar hacerlo con el modulo 5
y con el modulo 7 por separado. Y ahora sí. Como el máximo común divisor
de I35 es 1, entonces el máximo común divisor de I5 es 1 y el máximo
común divisor de I7 es 1. Porque si el máximo común divisor de I35 es 1
ya no tiene ningún factor primo que coincida con los factores primos de
35. Ergo, no tiene ningún 5 ni ningún 7. Y entonces, utilizando este
teorema, pero para el 5 y para el 7 lo que tenemos es que, como decía
Alberto, tenemos fi de 5 que es 4 y fi de 7 que es 6. ... Pero ahora tú lo
que querías era el 12. Entonces, como a elevado a 4 es un congruente con
un modulo 5, si elevo al cubo saco el elevado a 12. Como a elevado a 6 es
congruente con un modulo 7, si elevo al cubo me sale el 12. Y esto es otra
propiedad. Que básicamente es por esto que acabo de escribir aquí. Esto
significa que cuando tu módulo se puede escribir con un producto de
primos, pues lo mismo te da hacer bloco un módulo, esa congruencia, que
llegar a la misma congruencia con todos los primos. Con todos los primos o
todas las potencias de primos. ... Entonces, si tú tienes que comprobar
algo y hay un ejercicio que no me ha salido, porque me pedía comprobar y
no sé cómo se hace. Me siento un poco avergonzado, pero es así. Te
pedía comprobar una cosa, módulo 240. Comprobar no sé qué, módulo 240.
No lo encuentro. Aquí está. Decía, comprobar que si p es un primo mayor
que 5, entonces el máximo común divisor de p y 2, 240. No, no decía eso.
Decía comprobar que si p es mayor que 5 y es un primo, creo que era esto.
Que p decide 240. No. No sé lo que tenía que comprobar. Entonces no lo
puedo decir. Pero había que hacer, había que comprobar esto. Ya lo he
encontrado. ... 2 a la cuarta por 3 por 5, porque hice la rayita. Son 15
por 16. Entonces dije, vale, pues si lo saco módulo 2 a la cuarta, módulo
3 y módulo 5, he acabado. Módulo 5 es p elevado al 5 es congruente con 1,
módulo 5. Y fide 5 es 4. Esto es p elevado a 4, es congruente con 1,
módulo 5. modulo 3, o sea para el 3 que sale también de aquí porque fi
de la 3 es 2 pues pi al cuadrado es congruente con 1 modulo 3 y elevado al
cuadrado pi a la cuarta es congruente con 1 al cuadrado que sumo modulo 3
ahora con el 2 a la cuarta no sé qué hacer no tengo ni la más remota
idea porque si fuera un 2 al cubo pues sí no me acuerdo por qué pero si
fuera un 2 al cubo pues sí que me salía porque y además pensé en
hacerme la tablita de los posibles restos y tal ah, me salía porque fi de
8 es 4 entonces pensé pues si fuera un 2 al cubo pi elevado a fi de 8 es
congruente con 1 modulo 8 y fi de 8 es 4 entonces me salía el fi de 4
menos 1 pero es que fi de 16 es 8 eso no quiere decir que sea mentira igual
fi de 4 es congruente con 1 modulo 16, tiene que salir pero no sabía hacer
esto o sea pi a la cuarta es congruente con 1 modulo 16 pero no sé hacerlo
no sé de dónde sale igual igual se hace con los restos pero a mí no me
salía además me puse a hacer los restos y me rayé porque cogí el 3 en
un primo que al dividirlo entre entre 6 entre 16 te da el resto de 3 como
por ejemplo 19 calcula 19 a la cuarta porfa Diego tienes ahí la
calculadora y eso entre 130.331 130.321 y entonces esto entre 19 6859 6859
por 19 ah no no coño esto entre 16 130.321 entre 16 845 y 8145 por 16 y te
falta el 1 o sea que sí que sale pues yo creía que no pues habré hecho
mal el tema de los restos pero no sé de dónde sale esto si tienes esto
como ya lo tienes para el 16 lo tienes para el 5 y lo tienes para el 3 lo
tienes para el 240 porque es un producto de potencias de primus entonces lo
que quiero decir es que 240 divide a p a la cuarta menos 1 si solo si tanto
el 5 como el 3 como el 2 a la cuarta dividen a p a la cuarta menos 1
¿vale? esta equivalencia está clara al final esa es la idea de separar
módulos entonces me falta el 2 a la cuarta y no sé cómo se hace por eso
no me gustan las congruencias porque me ganan a mí no me importa perder en
la vida cuando estudias matemáticas aprendes a aprender matemáticas que
no te importa perder y luego están los que se dedican a ello
profesionalmente en serio como yo que deciden que quieren seguir ganando y
luego pues equilibran su grado de felicidad en función de eso voy a hacer
no voy a seguir con esto porque me quedan 5 minutos y quiero hacer uno del
teorema chino del resto aunque sea muy cortito y lo voy a hacer a toda
velocidad lo siento el teorema del chino del resto se hace de la siguiente
manera tú tienes un sistema de congruencia por ejemplo este que creo que
están en el libro pero es que están todos en el libro si es que esto no
hay no tiene mucho interés las hipótesis del teorema chino del resto te
dice que todos estos no tienen que tener primos en común y que cada uno de
estos yo había cambiado de color y que cada uno de estos con cada uno de
estos no tiene que tener primos en común coprimos los rojos y coprimos los
pares de azules se dan las hipótesis y entonces lo que dice el algoritmo
de resolución del teorema chino del resto es lo siguiente el teorema te
dice que hay una solución única módulo 5 por 7 por 11 5 por 7 por 11 son
385 es decir que hay una solución y si le sumas 385 es otra solución y si
le sumas 385 es una solución en los primeros 385 números solo hay una
solución ¿cómo se calcula? paso 1 sacar una solución particular de cada
una de estas soluciones por ejemplo x igual a 1 2 o sea x1 2 x2 para que
sea congruente con 1 módulo 7 o si cogemos por ejemplo 4 4 por 2 son 8 que
es congruente con 1 módulo 7 x2 4 y x3 para que sea congruente con 4
módulo 11 pues como 4 más 11 son 15 si cogemos x3 igual a 5 3x son 15 que
es congruente con 4 módulo 11 pues lo primero es coger una solución
particular de cada una lo segundo es escribir otro sistema otras ecuaciones
que son te coges 385 que es el producto de los 3 pues ahora coges solo para
la primera coges solo los otros 2 7 por 11 77 y esto es 77 y 1 congruente
con 1 módulo 5 la siguiente que es módulo 7 pues pones los otros 2 el 5 y
el 11 congruente con 1 módulo 7 y ahora en la del 11 pones los otros 2 que
son el 5 y el 7 35 y 3 congruente con 1 módulo 11 y todas son congruentes
con 1 y es ahora que haces 3 nuevas estas 3 las reduces las simplificas
congruente con módulo 5 pues si de aquí te sacas un 75 77 75 más 2 75
como es divisible por 5 no te aporta nada a la congruencia pues esto se
puede reducir a 2 y sub 1 es congruente con 1 módulo 5 vale esto es porque
75 y sub 1 es congruente con 0 módulo 5 porque es divisible entre 5
entonces no te aporta nada a la congruencia de la misma manera 6 muy bien y
sub 2 es congruente con 1 módulo 7 y hasta el 33 me queda 2 y sub 3 es
congruente con 1 módulo 11 ahora saco soluciones particulares de cada una
de estas por ejemplo y sub 1 si sub 1 es 3 2 y sub 1 es 6 que es congruente
con 1 módulo 5 pero si sub 1 es igual a 3 es una solución particular de
esta de aquí ¿qué número cuando lo multiplico por 6 me da un múltiplo
de 7 más 1? pues 12 no es un múltiplo de 7 más 1 18 no 24 no 30 no 35 no
36 sí es 35 más 1 entonces y sub 3 igual a y sub 2 perdón igual a 6 es
una solución particular de la segunda ecuación vas probando hasta que
encuentres uno que te sale con mucho en el 7 lo consigues porque es módulo
7 y con el 3 lo mismo congruente con 1 módulo 11 ¿qué número cuando lo
multiplico por 2 me da 12? por ejemplo pues el 6 es una solución
particular y ahora lo que dice la respuesta es que la solución particular
del sistema es este por este más este por este más este por este si os
preguntáis ¿por qué? pues es un algoritmo de construcción la
demostración es una demostración constructiva construyes un número y
compruebas que en efecto es una solución y esto da 2832 esta es una
solución particular y como os decía lo que os dice la teoría te dice que
es una solución módulo 385 es decir que si haces la división de 2300 282
entre 385 que resulta ser 7 con resto 137 pues 137 más 385 t con t en z es
la solución completa del sistema para t igual a 7 es la que te ha salido
pero si te preguntan ¿cuál es la menor? o ¿cuál es el módulo cuál es
la solución módulo 385 la solución módulo 385 es 137 ¿vale?
simplemente porque buscamos la menor si nos preguntaran si no 2832 es una
solución particular pero si te preguntan todas lo normal es escribir la
solución general en función de la particular menor y luego el módulo es
un algoritmo hacer dos y ya sabéis hacerlo os lo aprendéis y ya está es
que esto no tiene más historia es como una diofántica al final las
congruencias son unas diofánticas y esto no está en el libro tienes que
resolver una congruencia como esta 2 como 2x 2x es congruente con 1 módulo
7 pues esto es lo mismo que decir 2x más 7 por 1 entero es igual a 1 y lo
que haces es resolver esta diofántica y luego poner solo la solución de
la x porque solo te preguntan la x al final que sea congruente módulo 7 es
que cuando divides entre 7 este es el cociente y este es el resto K te da
igual quien sea el cociente lo que te importa es quien es el resto entonces
para resolver una única se hace una diofántica y para resolver un sistema
el teorema chino lo dejamos aquí nos vemos el miércoles que viene a las 6
y media los que queráis los que no podáis asistir os enviaré el vídeo
de la tutoría grabada ¿vale? vale chicos que paséis buen fin de buena
semana