Tema 3 De la integración a secciones 7.5, 7.6 y 7.8 son optativas y no
entran las secciones 7.7 y 7.9. Bueno, un ejercicio, dice, enunciar el
teorema fundamental del cálculo. Esto lo podemos consultar en las páginas
351 y 352 del texto base. Por tanto, suponemos una función para ser
integrable al ser continua en el intervalo y que contiene el punto a.
Entonces definimos una función f de x igual a la integral entre a y x de f
de t diferencial de t. Entonces f de x es diferenciable en el intervalo y y
f' de x es igual a f de x en este intervalo. Por tanto... Si f de x es una
primitiva, entonces lo que he dicho antes, la derivada respecto a x de la
integral entre x y a de f de t diferencial de t será f de x. Si g de x es
cualquier otra primitiva de f de x en y, de forma que g' de x es igual a f
de x, si es una primitiva, sus derivadas... Entonces para cada b que
pertenece a y se cumplirá que la integral entre a, y b de f de x
diferencial de x será igual a g de b menos g de a. O sea, esto no deja de
ser lo que es renunciado de la regla de Barrow. Entonces esto lo tenéis en
las páginas 351 y 352. Teorema fundamental del cálculo. Aquí está
demostrado, pero en principio aquí no pide la demostración, pero está
demostrado esto concretamente en la página 352. ¿Vale? O sea, a veces no
preguntan mucho teoría, pero aquí pues más o menos preguntaron esto.
Este es un ejercicio de examen, enunciar el teorema fundamental del
cálculo, no demostrarlo, ¿vale? Por tanto con este contenido ya es
correcto. Bueno, dice calcular la integral x3 más 2 partido por x3 menos x
diferencial de x. ¿Vale? Esto las técnicas de integración... ...de este
tipo de funciones racionales está en las páginas 391 a la 399. ¿Vale? De
texto base, ¿eh? ¿Vale? Aquí lo primero que tenemos que hacer es si
tenemos un polinomio en el numerador de grado mayor o igual que el del
denominador dividir. Hacemos la división, ¿vale? Y la división de x3
más 2 partido por... ...x3 menos x me quedaría de cociente 1 y de residuo
x más 2. Entonces nosotros lo podemos dividiendo, dividido por divisor,
igual a cociente que es 1 más residuo partido por el divisor. ¿Vale?
Entonces ya tengo que el polinomio del numerador es de grado menor que el
del denominador. Y entonces tengo que ir a proceder a descomponer la
fracción en fracciones simples, ¿vale? De entrada descomponemos el
polinomio del denominador x3 menos x que sería x, factor común, de x
cuadrado menos 1. Por tanto me quedaría x por x más 1 y por x menos 1.
Por tanto planteamos la descomposición en fracciones simples. Las tres
raíces del polinomio del denominador son distintas, ¿vale? Serían x
igual a 1, x igual a menos 1 y x igual a 0. Por tanto podemos x más 2
partido por x3 menos x igual a un coeficiente indeterminado a partido por x
menos 1 más otro coeficiente indeterminado b partido por x más 1 más
otro coeficiente indeterminado c partido por x, ¿vale? O sea, x menos 1
sería una raíz de este polinomio que sería... O sea, descompuesto
habíamos dicho que quedaba x por... x más 1 y por x menos 1, ¿vale?
Entonces aquí sacamos denominadores, ¿vale? Para el primer tendría que
el mismo común múltiplo sería el producto de los tres, x menos 1 por x
más 1 y por x, ¿vale? Y me quedaría a multiplicado por x más 1 y por x,
¿vale? O sea, si está dividido la a por x menos 1 pasaría multiplicando,
haciendo el mismo común múltiplo y dividiendo por x menos 1, me quedaría
x más 1 por x multiplicado por a. Después el b, el b sería a b
multiplicado por x menos 1 y por x, que no están dividiendo al b, ¿vale?
Por tanto sería... Vale, entonces el b sería multiplicado por x menos 1 y
x, ¿vale? Que no está dividiendo. Y el c sería multiplicado por x menos
1, x más 1, ¿vale? Esto todo quedaría en el numerador. Entonces
identificamos el numerador de x más 2 con el numerador este a, x más 1
por x, más b, x. menos 1 por x, más c, x menos 1 por x más 1. Entonces
pasamos otra vez de página. Entonces, aquí lo que hemos dicho, identifico
entonces para hallar los coeficientes indeterminados a, b y c, por ejemplo
si hago x igual a menos 1 a ambos lados, me quedaría menos 1 más 2 en el
lado izquierdo sería igual a 1 y poniendo a menos 1 más 1 sería 0, por
tanto la a me marcha la b me quedaría menos 1, menos 1 sería menos 2 por
menos 1 me quedaría 2, me quedaría 2b y aquí tengo c por x menos 1 y x
más 1 sustituyendo menos 1 en x más 1 me quedaría 0, por tanto también
me marcha el c y encontraría que la b por tanto sería un medio. Después
hago x igual a 0, sustituyo en el lado izquierdo sería 0 más 2 que es 2
¿vale? El primer factor a marcha porque hay x multiplicado, o sea 0 por a
por 0 más 1 sería 0 entonces b por x menos 1 y por x sustituyendo a x por
0 también marcha y me quedaría c por 0 menos 1 y multiplicado por 0 más
1, por tanto me quedaría menos c, por tanto me queda 2 igual a menos c,
por tanto la c sería menos 2. Y para x igual a 1 hallaremos la a ¿vale?
Porque se anulará a nosotros, para x igual a 1 me queda b me quedaría 1
menos 1 que es 0, por tanto se va y en la c también me quedaría 1 menos 1
que es 0, 0 por el otro producto pues sería 0 ¿vale? Por tanto me
quedaría en el lado izquierdo me quedaría 1 más 2 que es 3 igual a a por
1 más 1 igual a 2a, por tanto me quedaría que la a sería 3 medios por
tanto sustituyendo la a, la b y la c ¿vale? Y el 1 me quedaría la
integral ¿vale? la integral de 1 más este cociente que se queda x más 2
partido por x cubo menos x, que este cociente hemos visto que queda
descompuesto de esta forma, la a es 3 medios la b es 1 medio y la c es
menos 2 ¿vale? Por tanto me quedaría la integral de 1 más 3 dividido por
2 x menos 1 más 1 partido por 2 x más 1 menos 2 partido por x ¿vale? La
primera integral de 1 diferencial de x esto es x ¿vale? La integral de 3
medios, pues acá 3 medios fuera y me quedaría la integral de diferencial
de x partido por x menos 1, que es logaritmo de periano de x menos 1.
Después, la otra me quedaría un medio de diferencial de x, integral,
partido por x más 1. Por tanto, sería también el logaritmo de periano de
x más 1. La otra me quedaría 2, integral de diferencial de x partido por
x, que es logaritmo de periano de x, más la constante. Por tanto, aquí ya
lo puedo dejar de esta forma. Podría, si quiero agrupar, me podría poner
x más logaritmo de periano, aquí sería x menos 1 elevado a 3 medios por
x más 1 elevado a un medio y partido por x cuadrado. Pero en principio lo
puedo dejar de esta forma que ya es correcto. Bueno, vemos otro cálculo de
integral. Dice, calcular la integración de la integral de e a la x raíz
de 1 más e a la x, diferencial de x. Esta es una integral cuasi inmediata,
¿vale? Fijaros que la derivada de 1 más e a la x es e a la x, ¿vale? Por
tanto, aplicaremos lo siguiente. Esto está en las páginas 358 a 362 del
texto base. Aplicamos la fórmula esta, la integral de e a la x, f de x
elevado a n por f' de x, diferencial de x, ¿vale? Es igual a f de x
elevado a n más 1 partido por n más 1. Esta fórmula es válida para
cualquier n distinto de menos 1, ¿vale? Ya se ve que si es menos 1 yo
tendría, arriba tendría 1 partido por 0, que no existe, ¿vale? Por
tanto, aquí lo que hacemos, de entrada, la integral de e a la x raíz de 1
más e a la x, podemos 1 más e a la x como potencia, ¿vale? Que sería 1
más e a la x elevado a 1 medio porque está la raíz cuadrada e a la x.
Por tanto, ya puedo aplicar la fórmula, en este caso, la n sería 1 medio,
¿vale? Y f' de x sería la derivada de 1 más e a la x, que es la derivada
de 1 es 0, la derivada de e a la x es e a la x, ¿vale? Por tanto, me
quedaría pues esta integral, ¿vale? Entonces ya puedo, ya lo tengo
puesto, que puedo aplicar. Aplicar la fórmula sería f de x a la n más 1,
en este caso, 1 más e a la x elevado a 1 medio más 1 partido por 1 medio
más 1. 1 medio más 1 es 3 medios, ¿vale? Entonces, esto puedo sacarlo
fuera porque en principio esto es positivo siempre, 1 más e a la x es una
función que siempre es positiva, por tanto, abajo me queda 1 medio más 1
es 3 medios, o sea, partido por 3 medios puedo pasar el 2 arriba
multiplicando y me quedaría finalmente, sería 2 raíz de 1 más e a la x
elevado a 3, puedo sacar fuera 1 más e a la x, por tanto, me queda 2 por 1
más e a la x raíz cuadrada de 1 más e a la x partido todo por 3 más la
constante. Bueno, la siguiente integral también está, o sea, esto en la
página, en las páginas 358 a 362 del texto base, ¿vale? Por tanto, aquí
completamos la derivada, o sea, buscamos, aplicamos el método de completar
la derivada, pero aquí es un poco más complicado, ¿vale? Aquí yo
aplicaría la fórmula esta, la integral de f' de x partido por raíz
cuadrada de 1 menos f de x elevado al cuadrado igual a arco seno menos f de
x, ¿vale? Entonces, aquí arriba no tengo de entrada ni a la derivada,
¿vale? Vemos que se puede hacer, ¿vale? Para tener esto, observamos que
si multiplico arriba y abajo por e a la menos x, ¿vale? Tengo la integral
de diferencial de x partido por raíz cuadrada de e a la 2x menos 1,
multiplico por e a la menos x arriba y abajo, ¿vale? Y por tanto, puedo
poner e a la menos x diferencial de x, e a la menos x elevado al cuadrado
igual a arco seno menos f de x, raíz cuadrada de e a la 2x menos 1,
¿vale? Entonces, entro dentro de la raíz e a la menos x que entrará como
e a la menos 2x, ¿vale? Por tanto, me quedaría e a la menos 2x que
multiplica a e a la 2x menos 1, ¿vale? Entonces, e a la menos 2x por e a
la 2x es 1 y e a la menos 2x por menos 1 sería menos e a la menos 2x,
¿vale? Por tanto, aquí observamos con la fórmula anterior que yo tengo
la derivada de e a la, sería e a la menos x elevado a 2, ¿vale? Para
aplicar la fórmula, ¿eh? ¿vale? Fijaros que es esto, ¿eh? Tengo que
tener al cuadrado, ¿vale? Por tanto, sería e a la menos x elevado al
cuadrado, ¿vale? Por tanto, arriba tengo e a la menos x y para completar
la derivada me falta multiplicarlo por menos 1, ¿vale? ¿Vale? Por tanto,
yo para completar la derivada arriba tendría que tener menos e a la menos
x porque la derivada de e a la menos x es menos e a la menos x. Por tanto,
multiplico por menos 1 y multiplico aquí por menos 1 o divido por menos 1,
que sería lo mismo en este caso, ¿eh? Por tanto, ahora sí que ya lo
tengo completado. Multiplico por menos 1 aquí y fuera, multiplico por
menos 1. Por tanto, ahora esto será menos arcoseno e a la menos x más c,
¿vale? Por tanto, ahora... Ya lo tenemos, ¿eh? ¿Vale? Dice, calcular el
valor medio para integrales de la función e f de x igual a e a la menos x
más coseno de x en el intervalo menos pi medio 0, ¿vale? Entonces, esto
vamos a la página 349, ¿vale? Que hay definición de valor medio de una
función. La definición 4 dice, sea f integrable en el intervalo a b,
entonces el valor medio de f en a b... f barra es igual a 1 partido por b
menos a la integral entre a y b de f de x diferencial de x, ¿vale? Por
tanto, aquí nosotros pues vamos a aplicar esto en el intervalo, o sea, de
esta función e a la menos x coseno x en el intervalo menos pi medio 0,
¿vale? Por tanto, este ejercicio es fácil sabiendo la fórmula esta del
valor medio y hasta la integral también es fácil. En este caso no hay
complicación, ¿vale? Por tanto, sería f barra, sería 1... 1 partido por
b menos a, ¿vale? Sería 0, o sea, va de pi medios a 0, ¿vale? Por tanto,
sería 0 menos menos pi medios la integral entre menos pi medios y 0 de la
función e a la menos x coseno x, ¿vale? Por tanto, 0 menos menos pi
medios sería 1 partido por pi medios positivo. El 2 puede pasar
multiplicando arriba, ¿vale? Y me quedaría 2 partido por pi... Integral
entre menos pi medios y 0 de e a la menos x más coseno x, ¿vale?
Entonces, la integral de e a la menos x es menos e a la menos x, ¿vale? Y
la integral de coseno de x es seno de x, ¿vale? Por tanto, ahora ya solo
tengo que sustituir por los límites de integración que son el 0 y el
menos pi medios. Por tanto, sustituyendo por el primero me queda 2. Partido
por pi, entonces, menos e a la 0 más seno de 0, ¿vale? Menos e a la menos
pi medios más seno de menos pi medios. e a la 0 es 1, menos e será menos
1. Entonces, me queda seno de 0 es 0, ¿vale? Por tanto, entonces, menos e
a la menos pi medios será e a la pi medios. El seno de menos pi medios es
menos 1, con el menos cambia y me queda 1, ¿vale? Por tanto, me quedaría
menos 1 más 1, que se va, y me quedaría, que sería finalmente, 2 por e a
la pi medios y partido por pi, ¿vale? Este sería el resultado de esto,
¿eh? ¿Vale? Bueno, dice calcular el área de la región limitada por esta
función. Igual a raíz de 2, coseno de pi x partido por 4 y igual valor
absoluto de x. La teoría está en las páginas 367 a 371, ¿vale? Y
entonces, el dibujo de la gráfica de esta función es, ¿vale? Es esta,
¿vale? Es esta. Tenemos que el área, esta sería la función valor
absoluto de x. ¿Vale? Y el área que me piden es la que está encerrada
aquí, aquí dentro, ¿vale? Todo esto, ¿vale? Por tanto, las abcisas de
los puntos de intersección de las gráficas de igual a raíz cuadrada de 2
por coseno de pi x partido por 4 e igual a valor absoluto de x, pues,
igualando, sería raíz de 2, coseno de pi x partido por 4 igual a valor
absoluto de x. Por tanto, pasando a raíz de 2, dividiendo, me quedaría
coseno de pi x partido por 4 igual a valor absoluto de x partido por raíz
de 2, ¿vale? Por tanto, aquí observamos que para x igual a 1 tendría yo
el coseno de pi cuartos, que es 1 partido por raíz de 2, ¿vale? Y para x
igual a menos 1 tendría el coseno de menos pi cuartos, que también es
igual que el coseno de pi cuartos, que es 1 partido por raíz de 2, ¿vale?
Por tanto, las soluciones son x igual a menos 1 y x igual a 1, ¿vale? Por
tanto, aquí, pues, para buscar el área tendría que hacer la integral de
menos 1 a 1 de la función que me han dado menos el valor absoluto de x,
¿vale? Por tanto, el planteamiento es este. La integral entre menos 1... 1
y 1 de raíz de 2 coseno de pi x partido por 4 menos el cuadro absoluto de
x. Pero podemos observar lo siguiente, ¿vale? Podría ser este recinto,
este lado es simétrico, ¿vale? Por tanto puede hacer el doble de la
integral entre 0 y 1 de raíz de 2 coseno de pi x partido por 4 menos x,
¿vale? Por tanto es más fácil, ¿vale? Por tanto la integral será 2 por
la integral entre 0 y 1 de raíz de 2 coseno de pi x partido por 4 menos x.
Entonces, la integral de raíz de 2 coseno de pi x partido por 4 sería la
integral de coseno es seno y entonces tendré que multiplicar por pi. A pi
por 4 partido por pi, ¿vale? Por tanto sería la integral de raíz de 2
coseno de pi x partido por 4 es 4 raíz de 2 partido por pi seno de pi x
partido por 4. La integral de x es x a la 1 más 1 partido por 1 más 1 que
es x cuadrado partido por 2. Sustituyendo por los límites de integración.
Entonces, sustituyo. Sustituyo a seno de pi por 1 es pi, sería seno de pi
cuartos, sería 4 raíz de 2 partido por pi por el seno de pi cuartos que
es 1 partido por raíz de 2, ¿vale? Bueno, aquí lo he puesto más
desarrollado, ¿vale? Me quedaría sustituyendo por 1, me quedaría, bueno,
2 por 4, 8, ¿vale? 8 raíz de 2 partido. 2 partido por pi multiplicado por
2, ¿vale? Seno de pi cuartos, ¿vale? Menos 1, ¿vale? Por tanto menos 1
que he multiplicado por 2, ¿eh? 2 por 4, 8. Entonces aquí me quedaría
menos un medio multiplicado por 2 es 1, ¿vale? Entonces los otros
sustituyendo por 0 ya no se ha puesto porque sería el seno de 0. Sería pi
por 0 sería 0, ¿vale? Por tanto el seno de 0 es 0. Y 0 al cuadrado
también es 0. Por tanto el sustituir por 0 todo se hace 0, ¿vale? Por
tanto aquí me quedaría 8 raíz de 2 partido por pi. El seno de pi cuartos
es 1 partido por raíz de 2. Por tanto me quedaría 8 raíz de 2 partido
por raíz de 2 sería 8 partido por pi menos 1, ¿vale? Por tanto esto
sería, pues bueno, unidades cuadradas, ¿vale? Dice, demuestre que f de x
igual a x es igual a 1. Y que f de x al cuadrado es integrable en 0a, a
mayor que 0, ¿vale? Y calcular la integral entre 0 y a de x al cuadrado
diferencial de x. Comprobar que los límites de las sumas superiores e
inferiores de f en dicho intervalo coinciden, ¿vale? Tengo que aplicar la
definición de la integral de rima, ¿vale? Entonces, esto está en las
páginas 339 a 342. El texto va a ser, ¿vale? Por tanto aquí tenemos el
concepto de sumas superiores, ¿vale? Particiones y sumas de rima, ¿vale?
Entonces, pues bueno, tengo que buscar el límite de las sumas superiores.
Tiene que ser igual al límite de las sumas inferiores, ¿vale? Primero
calcular uno, después calcular el otro y veré que son iguales, ¿vale? Un
poco largo esto, pero bueno, en principio, ¿vale? Por tanto, bueno, aquí
hemos dibujado la gráfica, pero bueno. Es la parábola, es lo normal,
¿vale? Entonces, utilizamos la partición del intervalo 0a, sería en
subintervalos, ¿vale? Sería un subintervalo, sería de 0 a partido por n.
Otro de a partido por n a 2a partido por n. En general, i menos a partido
por n y a partido por n. Hasta el último, que sería n menos a, n menos 1
por a partido por n. N a partido por n, que en este caso, pues sería a,
¿vale? Bueno, entonces, las sumas inferiores, utilizamos el teorema 1c de
la página 330, ¿vale? La página 330, la página 330, utilizamos el
teorema 1c, que nos dice que la suma de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado
más 3 al cuadrado más n al cuadrado, esta suma, ¿vale? Es igual. Sería
a n por n más 1, por 2n más 1 y partido por 6, ¿vale? Entonces, bueno,
nosotros formamos las sumas superiores e inferiores. Entrada, las
inferiores. Bueno, tanto es empezar por unas como por otras, ¿vale? Las
sumas inferiores sería coger el extremo de la partición, ¿vale? Por
tanto, nosotros, cuando se da el intervalo general, sería de i igual a 0
hasta n menos, por la amplitud del intervalo, que es a partido por n. Por
tanto, aquí puedo sacar fuera del sumatorio a partido por n, o sea, al
cubo partido por n al cubo, ¿vale? a cuadrado por a sería al cubo, n
cuadrado por n sería n al cubo, lo puedo sacar fuera del sumatorio y me
queda de la suma de i igual a cero hasta n menos uno de i menos uno al
cuadrado, ¿vale? Por tanto, sustituimos en la fórmula, sustituimos la n
por n menos uno, ¿vale? Por tanto, me queda al cubo partido por n al cubo
que multiplica a n, ¿vale? Que sería, en este caso, n menos uno. Vale,
pues ya lo tenemos aquí, ¿eh? Vale, o sea, la fórmula es esta.
Sustituimos n por n menos uno, por tanto, me quedará n menos uno, n menos
uno más uno me queda n, y dos n menos uno, o sea, dos por n menos uno, me
quedará dos n menos uno, partido todo por seis, ¿vale? ¿Vale? Vale, esta
sería la suma inferior, ¿vale? Utilizamos ahora las sumas superiores, o
sea, coger el otro extremo del intervalo, o sea, lo mismo, pero coger el
extremo del intervalo que en este caso será i y a partido por n, ¿vale?
Por tanto, será i cuadrado a cuadrado partido por n cuadrado por la
amplitud del intervalo que es a partido por n, ¿vale? Por tanto, aquí,
pues tenemos algo que había dicho i cuadrado a cuadrado partido por n
cuadrado, ¿vale? a partido por n, pues aquí igual a cuadrado por a, que
es al cubo, que sale fuera del sumatorio, n cuadrado por n es n al cubo,
por tanto, me queda al cubo partido por n al cubo y sale fuera. Y ahora
aquí, pues sí, que aplico directamente la fórmula, ¿vale? Por tanto,
sería n por n más uno por dos n más uno, partido por seis, ¿vale? Por
tanto, aquí esto lo podría poner la n y la n al cubo lo puedo simplificar
y me queda n al cuadrado, ¿vale? Por tanto, me queda al cubo por n más
uno por dos n más uno, ¿vale? Entonces, a ver, pongo para atrás aquí
igual, o sea, aquí tenía n, n al cubo, por tanto, me queda la n con la n
al cubo, me queda seis n al cubo. Me queda al cubo n menos uno por dos n
más menos uno partido por seis n al cuadrado. Entonces, calculamos el
límite cuando n tiende a infinito de las sumas inferiores que será el
límite cuando n tiende a infinito de al cubo por n menos uno y por dos n
menos uno. Bueno, entonces, la tendencia a infinito, la marca del n menos
uno, la marca n y la tendencia a infinito de dos n menos uno la marca dos
n, ¿vale? Por tanto, la tendencia a infinito la marcará n por dos n que
será dos n al cuadrado y abajo seis n al cuadrado. Al cubo lo puedo sacar
fuera del límite porque no está afectado, será el límite este será al
cubo por el límite cuando n tiende a infinito de dos n al cuadrado partido
por seis n al cuadrado. Simplificando las n me queda al cubo partido por
tres, dos partido por seis simplificado es un tercio. Por tanto, el límite
este es un tercio multiplicado por al cubo será al cubo partido por tres.
Para las sumas superiores calculamos el límite de al cubo por n más uno
multiplicado por dos n más uno partido por seis n al cuadrado. La
tendencia a infinito la marca de n más uno la marca n y la tendencia a
infinito de dos n más uno la marca dos n. Por tanto, n por dos n será dos
n al cuadrado. Al cubo lo puedo sacar fuera del límite y en el denominador
evidentemente no hay ningún número por tanto será seis n al cuadrado.
Como antes simplificamos n al cuadrado y n al cuadrado me queda dos partido
por seis que es un tercio por tanto vemos que me da la suma, el límite
cuando n tiende a infinito en el número de divisiones me queda al cubo
partido por tres. Como ambos límites coinciden la función es integral. La
integral sería a tres partido por tres. Aquí lo que decíamos la integral
entre cero y a de x al cuadrado diferencial de x es igual al límite a las
sumas inferiores igual al límite a las sumas superiores igual a tres
partido por tres. Dice calcular el volumen del sólido s utilizando el
método de las rodajas siendo s está generado rotando alrededor del eje x
la región limitada por la parábola igual a x cuadrado la recta y igual a
cero que es el eje x y la recta vertical x igual a uno por tanto sería
este trozo girando hacia aquí. Por tanto aplicando este método que esto
está en las páginas 348 a 441 o sea 438 a 441 entonces la integral es el
volumen pi por integral entre a y b en este caso 0 y 1 de f cuadrado de x
diferencial de x. En este caso es x cuadrado o sea x cuadrado elevado al
cuadrado o sea x a la cuarta. Por tanto me queda la integral entre 0 y 1 de
x a la cuarta diferencial de x esto por pi. La integral de x a la cuarta es
x a la 4 más 1 partido por 4 más 1. Por tanto, x a la 5 partido por 5.
Sustituimos por 1 y por 0. 1 a 5 es 1, es un quinto. Por pi, sería pi
partido por 5, porque el otro 0 a la 5 es 0, ¿vale? Por tanto, ya lo
tendríamos hecho, ¿vale? El volumen sería pi partido por 5 unidades
cúbicas. Dice, se perfora un agujero cilíndrico a través del centro de
una bola de radio R si la longitud del agujero es L, demuéstrase que el
volumen de la parte restante de la bola depende sólo de L y no de R,
¿vale? Bueno, vamos a calcular el volumen. Bueno, o sea, aquí
tendríamos, esto sería, bueno, sería x cuadrado más i cuadrado igual a
R cuadrado, una circunferencia de radio R. ¿Vale? Y, en una circunferencia
de radio R, que es la ecuación es x cuadrado más i cuadrado igual a R
cuadrado. Por tanto, f de x, pues sería, despejando i cuadrado, sería
igual a R cuadrado menos x cuadrado. Por tanto, f de x sería la raíz
cuadrada de R cuadrado menos x cuadrado. Y la otra función sería g de x.
g de x, que sería una recta paralela al eje y de la longitud L partido por
2. ¿Vale? O sea, de longitud esto es L. ¿Vale? Por tanto, esto sería L
partido por 2. ¿Vale? O sea, aquí sería L partido por 2. ¿Vale? Por
tanto, g de x sería f de L partido por 2. ¿Vale? Por tanto, sería la
raíz cuadrada de R cuadrado menos L cuadrado partido por 4. ¿Vale? Por
tanto, el volumen en este caso sería pi por la integral entre menos L
partido por 2 y L partido por 2. ¿Vale? De f cuadrado de x, que es R
cuadrado menos x cuadrado, o sea, la raíz elevada al cuadrado, o sea, R
cuadrado menos x cuadrado menos g de x elevado al cuadrado también. Por
tanto, como g de x es raíz cuadrada... ...de r cuadrado partido por L
cuadrado partido por 4, ¿vale? Entonces esto, pues, sería de esta forma.
¿Vale? Por tanto, bueno, haciendo operaciones, ¿vale? Por simetría puedo
poner 2 por la integral, en vez de menos L partido por 2 a L partido por 2,
puedo poner de 0 a L partido por 2. ¿Vale? También llegaremos al
resultado, pero es más rápido porque al sustituir por 0 la x, pues, ya un
término no... ...tendré que evaluar, ¿vale? Por tanto, si hay simetría
va bien de hacerlo esto, ¿vale? Si tengo la integral de la función
simétrica, pues va bien tomar de 0 hasta el límite de integración,
¿vale? Por tanto, ahora tendré que hacer... Bueno, aquí arreglo un poco
esto, ¿vale? R cuadrado menos R cuadrado se va. Me quedaría menos L
cuadrado partido por 4, porque este menos pasa a ser más, menos x
cuadrado, ¿vale? Esta sería la función, ¿vale? Por tanto, ahora tengo
que integrar esta función. Fuera, ¿vale? La integral de L cuadrado
partido por 4 será L cuadrado partido por 4, que esto es... Bueno, L
cuadrado x partido por 4, porque esto es como un número, ¿vale? Y x
cuadrado, la integral, es x2 más 1 partido por 2 más 1. Es x3 partido por
3, ¿vale? Entonces me queda 2pi... ...claudator L cuadrado x partido por 4
menos x3 partido por 3. Por tanto, esta sería una... Primitiva de la
función L cuadrado partido por 4 menos x cuadrado entre 0 y L partido por
2. Por tanto, sustituyo L partido por 2 por x, me quedaría L al cuadrado
por L partido por 2, será L al cubo partido por 2 y partido por 4, que
será L al cubo partido por 8. L partido por 2 elevado a 3 será L elevado
a 3. Partido por 2 elevado a 3, que es 8. Y partido por 3, que será 8 por
3, 24. L al cubo partido por 24. ¿Vale? Por tanto, bueno, haciendo
operaciones, al sustituir por 0 la x de L cuadrado x partido por 4 será 0.
Y 0 al cubo será 0, ¿vale? Por tanto, esto ya será 0. Por tanto, ahora
aquí, pues ya hago el mismo común múltiplo, que es 24, ¿vale? Y me
quedaría 8 partido... 24 partido por 8 es 3. Por... L al cubo, 3L al cubo.
24 partido por 24 es 1. Por tanto, me quedaría L al cubo. Por tanto,
tendré 3L al cubo menos L al cubo será 2L al cubo partido por 24. Sería
2L al cubo partido por 24. Simplificando, me quedaría L al cubo partido
por 12 multiplicado por 2. Me quedaría 2pi. L al cubo partido por 12. Y
simplificando por 2 me quedaría, finalmente, pi L al cubo partido por 6.
¿Vale? Bueno, si acaso paro la grabación y entonces voy a iniciar otra.
¿Vale? Y seguimos la...