Bien, bueno pues buenas tardes. Vamos a empezar esta sesión y hoy vamos a
trabajar, vamos a seguir trabajando el tema de campo eléctrico, potencial
eléctrico, pero ya vamos a introducir la ley de Gauss. Es muy interesante.
¿Cómo calcular campos eléctricos, potenciales eléctricos con
distribuciones continuas de carga? Vamos a hacer primero una pequeña
introducción teórica y después ya nos podemos hacer casos prácticos. La
semana pasada no tuvimos tiempo de hacer ejemplos. Tenemos ahí un
documento que podemos hacer algunos. Esta semana también tenemos otro
documento de ejemplos que han salido en exámenes, en pruebas, en PECS, de
cálculos de campos eléctricos y potenciales eléctricos de distribuciones
continuas de carga. Cuando hablamos de distribuciones continuas de carga
nos estamos hablando de distribuciones esféricas, distribuciones
cilíndricas y hilos. ¿No? Digamos son los tres, bueno, hilos y los
planos. Cuatro. Estas cuatro distribuciones. Aquellos que después nos
permiten buscar simetrías, porque si no tenemos simetrías tampoco vamos a
poder aplicar después Gauss. Bueno, fijaos aquí. Si tenemos aquí una
distribución continua de carga, aquí tenemos una forma, la que queramos
expresar. Y podemos tener una distribución lineal. ¿Lineal, superficial o
volumétrica? ¿Qué es la densidad volumétrica al diferencial de carga
por unidad de volumen? La superficial, diferencial de carga por diferencial
de superficie. Y la lineal, diferencial de Q con respecto de L. ¿A qué
corresponde en cada uno de ellos? Pues dependerá, ¿no? Dependerá,
digamos, de la forma geométrica, de la distribución geométrica. Si
nosotros lo que tenemos es una distribución esférica, ¿no? Pues... Nos
quedaríamos con esta, con la distribución volumétrica. ¿Vale? Rho.
Perdonad. ¿Vale? Si nosotros tenemos un plano, una distribución plana,
hablaremos de la densidad superficial. Escribiendo fuera, ¿no? Tendremos
una densidad superficial. Mientras que si tenemos un hilo, densidad lineal.
¿No? Está claro, ¿no? Los tres casos. Bien, vamos a ver si nos va bien
el sistema. Tenemos un poquito de paciencia. Bueno, se ve que está un poco
ralentizado. Vamos a ver si tenemos suerte. Bueno, ya estamos, ¿no? Bueno,
pues tenemos... Vamos a ver la definición de flujo de campo eléctrico.
¿No? El flujo de campo eléctrico. Si tenemos una superficie, ¿no? Una
superficie como aquí, una semiesfera, ¿no? Definimos un vector... Un
vector normal a la superficie, ¿no? ¿No? El vector superficie es un
vector por definición perpendicular a la misma y dirigida hacia afuera.
Entonces definimos flujo eléctrico como la integral de diferencial de S. E
es el vector campo y diferencial de S es el vector superficie. Eso también
se puede expresar como... Claro, esto es un producto escalar. Y el producto
escalar es el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno
del ángulo que forman ambos. Y el coseno del ángulo que forman ambos,
evidentemente, esta es una forma de expresarlo. Esto nomás que representa
el coseno que forma... El coseno del ángulo que forma el vector campo y el
vector superficie. ¿Vale? ¿Que puede ser cero grados? Sí. ¿Y si hay
cero grados qué vale el coseno? Uno. Y ya está. ¿Vale? Si forma 90
grados, el coseno de 90, ¿qué vale? Cero. Y por lo tanto el flujo sería
nulo. ¿Qué nos representa un poco este flujo? El número de líneas de
campo que atraviesan una superficie. ¿No? Evidentemente, si el número de
líneas de campo que entran y que salen por la superficie es el mismo, el
flujo neto es nulo. Claro. Porque si el flujo me representa el número de
líneas de campo que salen o que entran en una superficie... ¿No?
Entonces, como si en este caso tenéis una carga que está exterior a esta
superficie... ¿No? El número de líneas de campo que entran en la
superficie es el mismo que salen. Luego, el flujo neto es nulo. Este flujo,
esta integral... ¿No? E diferencial de S es nulo. ¿Por qué es nulo?
Porque el número de líneas de campo que entran y que salen es el mismo.
No existe un flujo neto. ¿De acuerdo? Para que exista un flujo neto, la
carga tiene que estar en el interior de la superficie cerrada. Pero ahora
tenemos, por ejemplo, un dipolo. Un dipolo que está en esta superficie
cerrada. Resulta que aquí también... En el flujo eléctrico es cero. Ya
que entran tantas líneas de campo como las que salen. ¿No? Salen las
líneas de campo de la carga positiva y van a parar a la carga negativa.
¿Vale? Bueno, ese ángulo se define... Si quieres te lo voy a poner aquí
ahora por un ejemplo. ¿Eh? Tú tienes, por ejemplo, esta superficie.
¿Vale? Y el vector superficie, ese vector n... ¿No? Se define como un
vector perpendicular a la misma. Y dirigido hacia afuera. ¿Vale? Esto
sería el vector n, el vector superficie. ¿Sí? Donde ese vector es S por
n. N sería un vector unitario. El vector campo... Pues imaginemos que
tiene esta dirección. Uy, perdón. A ver. No sé si lo veis. Esto puede
ser el vector campo. ¿Eh? Entonces, el ángulo... Tienen que ser
paralelos. ¿Eh? El ángulo que forma el vector campo con el vector
superficie... Tiene un retardo esto. El ángulo que forma el vector campo
con el vector superficie... Sería el ángulo en cuestión. ¿Vale? Sería
el vector campo. ¿Vale? Ahora bien, fijaos. En azul sería el vector
superficie. ¿Eh? Es que yo lo veo aquí, pero en la otra no me sale
correctamente. No sé cómo lo veis. ¿Vale? Bueno. El vector superficie
sería S por n. Bueno. Decía que cuando... Cuando... Las dos cargas...
Tenemos un ejemplo de un dipolo. Un dipolo son dos cargas idénticas y
tienen signo contrario. Daos cuenta que las líneas de campo... Emergen de
la carga positiva y van a parar a la carga negativa. ¿De acuerdo? Bien.
¿Os dais cuenta que el número de líneas de campo que salen y que entran
en la superficie es la misma? La carga neta, ¿cuál es? Cero. ¿No?
Entonces, ¿qué está pasando? Que aquí dentro tengo cargas, sí, pero la
carga total es cero y resulta que el flujo es nulo. ¿Por qué es nulo el
flujo? Porque el número de líneas de campo que salen es el mismo que
entra. Recordemos que el flujo no representaría el número de líneas de
campo que salen. ¿Quiénes son? Los que salen, los que salen en la
superficie. ¿Por qué? en la superficie. ¿De acuerdo? Tenedlo presente.
Venga. Ahora mejor. Veo que va. ¿Eh? Muy bien. ¿Cuál es el flujo del
campo eléctrico para una superficie? Pues fijaos que tenemos aquí una
carga puntual que está situada en el centro de una superficie esférica.
¿Vale? Daos cuenta... Fíjate, Leide! Que aquí... El vector n y el vector
campo son paralelos, ¿vale? El vector n se define como un vector
perpendicular a la superficie y el vector campo es radial, ¿no? Y por lo
tanto va hacia afuera porque repele a la unidad de carga positiva. ¿Qué
ángulo forman estos dos vectores? Cero. Pues uno de cero que vale uno,
¿vale? Entonces el flujo será E por S. Ahora, E tiene un valor
determinado, ¿no? A una distancia constante, a una distancia R, ¿no?
Tendrá un valor ER, un valor E. ¿Qué vale la superficie de una esfera? 4
pi R cuadrado. ¿Y qué vale el campo eléctrico? El campo eléctrico, si
nos acordamos, creado por una carga puntual a una distancia determinada es
la expresión que os estoy indicando ahora. Con R mayúscula, si es el
radio, radio, esta esfera que hemos dicho para mantener la nomenclatura. Si
sustituimos, vemos que se simplifica y nos queda, en definitiva, al final,
Q partido por épsilon. Y Q partido por épsilon, esta expresión que
tenéis aquí es la expresión de la ley de Gauss que nos dice que el flujo
a través de una superficie cerrada, el flujo a través de una superficie
cerrada ¿eh? es igual a la carga neta encerrada en su interior partido de
la constante dieléctrica del medio. ¿Eh? Es igual a la carga neta que hay
en su interior partido de la constante dieléctrica del medio. ¿Sí?
Bueno, aquí la tenemos. El flujo es la carga neta total que hay en el
interior partido de la constante dieléctrica del vacío o aire, depende
del medio en que nos encontremos. ¿Eh? ¿Vale? Esto es importante, este
resultado es muy importante. ¿Eh? ¿De acuerdo? Este producto escalar, E
por S, ya hemos dicho que este coseno es el ángulo que forma... No tiene
por qué hacerse tan explícito esto, ¿eh? Este coseno. Es decir, aquí lo
tenemos muy explícito, como podéis ver, pero en definitiva nos representa
el ángulo que forma el vector campo y el vector superficie. ¿Eh? Ya hemos
visto que puede ser paralelo, pero nos podemos encontrar algún caso de que
sea perpendicular a la superficie. ¿No? Entonces, nosotros, para poder
aplicar el teorema de Gauss, tenemos que tener una distribución continua
de cargas, pero además debemos elegir una superficie que tenga simetría
adecuada para la distribución, para poder calcular el campo eléctrico.
¿Qué tiene que suceder? Pues que el campo eléctrico tiene que ser
perpendicular o paralelo al vector superficie. Y el vector campo eléctrico
ha de ser constante a una distancia determinada. ¿No? Esto es lo que tiene
que cumplirse. ¿Vale? Para la superficie, el vector campo ha de ser
paralelo o perpendicular. Y ha de ser constante. Si no, no vamos a poder
aplicar el teorema de Gauss. Bueno, no vamos a poder. Se nos haría muy,
muy complejo. ¿Eh? ¿Vale? Aquí, veis que está al revés. Si el vector
campo y el vector n son paralelos, ¿no? Si el vector campo y el vector n
son paralelos, claro, decir que es paralelo a la superficie gaussiana, a lo
mejor... A ver, ¿la interpretación cuál es? Lo digo, ¿eh? Porque, la
interpretación es la siguiente. No, no, no es que esté mal puesto. Pues
es que hay que interpretarlo correctamente. Esto es la superficie. ¿Vale?
Por ejemplo... Y si el vector campo es paralelo... ¿Veis? ¿Qué ángulo
forman? El vector superficie y el vector campo. Claro, el vector superficie
será esto. Y el vector campo... ¿Vale? ¿Eh? Esto sería el vector
superficie. Y el vector campo... Sería esto. Formaría 90 grados. Y, por
lo tanto, el flujo sería nulo. Ahora, si el vector campo es perpendicular
a la superficie gaussiana... ¿Veis? Lo entendemos lo que quiere decir,
¿eh? Hay que pillarlo, ¿eh? Esto es la superficie. ¿Vale? Por ejemplo...
Y... N... Sería esto. ¿Veis? Y... ¿Vale? Y el vector campo, si es
perpendicular a la superficie... Esto sería el vector campo... ¿Veis que
es perpendicular? Entonces, es paralelo con n. Por lo tanto, tendríamos
máximo flujo. ¿Vale? Que es lo que intentaremos siempre, ¿eh? Que sea o
el caso primero o el segundo caso. Si no, la cosa se nos va a complicar.
Bueno, un caso de interés muy interesante es... ¿Cuál es el campo
eléctrico creado por un plano infinito? De densidad sigma. Esto es muy
interesante, ¿eh? De hecho, tenéis varias aplicaciones... Varias
aplicaciones... ¿No? En preguntas de exámenes... Ahora después los
veremos... ¿No? Entonces, aquí lo que tenéis es que tenéis una
distribución plana. Con una densidad de carga sigma. Que puede ser
positiva o negativa. ¿Eh? Vamos a considerar que sea positiva. Entonces,
encerramos una parte... De esta superficie en un cilindro. ¿Lo veis aquí
abajo, el cilindro? ¿Sí? Aquí tenéis el cilindro, ¿no? ¿Sí? Bueno,
entonces... Vamos a aplicar el teorema de Gauss... ¿No? A este cilindro.
¿Qué será el flujo? El flujo será la carga encerrada. ¿Y cuál es la
carga encerrada? La densidad superficial de carga por la superficie... A
partir de la constante dieléctrica... ¿No? Del medio. ¿No? La carga que
hay ahí... En este cilindro, lo que hay... El trozo de plano que tengamos.
Que es... La densidad superficial por el valor de la superficie. ¿Vale? Y,
por otra parte... Por otra parte... ¿Qué va a dar el flujo, por
definición? Creo que os dais cuenta que el flujo... ¿No? Va a ser nulo en
las cargas laterales. Porque es perpendicular al campo eléctrico. ¿Lo
veis? Esto sería el vector superficie. La cara lateral... Aquí iría para
arriba. Y aquí iría para abajo. ¿Vale? Entonces... En la cara lateral...
El flujo es cero. Pero tendremos un flujo... Máximo en la cara de arriba y
en la cara de abajo. Por lo tanto, el flujo... Por la definición sería
dos veces e por s. Si igualamos... Nos quedará esta expresión. Del campo.
¿No? Si igualamos y despejamos... Vemos que... Las superficies se van... Y
el 2 pasa dividiendo... Y tendremos el vector campo... ¿No? El vector
campo que es perpendicular a la superficie... Al plano... Que es sigma
partido de 2e sub cero. Fijaos que pone e en función de r. Pero démonos
cuenta... Que el campo eléctrico creado por un plano... ¿No? Infinito, de
densidad de carga sigma... El campo eléctrico en sus proximidades... ¡Es
constante! No depende de r. ¿Lo vemos? Vemos que no aparece nada con
respecto a la distancia. Resultado interesante. Interesante. Veamos
nosotros otro ejemplo. Tenemos una esfera... Cargada uniformemente de radio
r. Tenemos una esfera... ¿Eh? De densidad de carga rho. Densidad
volumétrica. Nos acordamos que lo dijimos al principio. Diferencial de q
partido diferencial de volumen. ¿Eh? Ocupa todo el volumen. ¿Si? ¿De
acuerdo? ¿No? Y queremos ver... Esta carga que se distribuye... ¿Eh? Con
esta simetría esférica. Y queremos calcular el campo eléctrico dentro y
fuera. Queremos calcular el campo eléctrico producido... Por esta
distribución esférica de carga... Dentro de la misma y fuera. Venga.
Vamos a verlo. Bueno... Nos metemos... Fuera, en un punto exterior. ¿No?
En primer lugar... ¿Eh? Donde r... Estamos... Para una distancia r
mayor... Que el radio de la esfera. ¿Vale? Entonces... Por el teorema de
Gauss... El flujo, a través... De esta superficie gaussiana... Que es una
esfera imaginaria... Concéntrica con la distribución esférica de
carga... ¿No? De radio r minúscula mayor que r... Porque estoy calculando
el campo en un punto exterior... Es igual a la carga que hay encerrada...
¿No? q... Toda la carga q... Partido de la constante dieléctrica. Está
claro, ¿no? Partido de la constante dieléctrica. Esto sería el flujo.
¿No? El flujo sería la carga q... Partido de la constante dieléctrica.
¿Sí? Pero después, por la definición de flujo... Sería integral de e
diferencial de s. E por s. E es constante a una distancia determinada. Y s
es la superficie que sería... 4 pi r minúscula al cuadrado. Si igualamos
ambas expresiones... Nos queda esta ecuación... Que nos determina el campo
eléctrico... En un punto exterior de esta distribución volumétrica de
carga. Y daos cuenta como el campo eléctrico es análogo... Al que
crearía una carga puntual... Situada en el centro de esta distribución
esférica de carga. ¿Eh? Siempre y cuando, esto es importante... Estemos
considerando... Una r mayor... Que el radio de esta distribución
esférica. En un punto exterior. Porque si es en un punto interior... Ahora
lo vamos a ver... Las cosas no son iguales. ¿Eh? No son iguales. Vamos a
verlo... Ahora nos metemos dentro. Para r minúscula... Menor que r
mayúscula. ¿Vale? Haríamos lo mismo... La definición de flujo...
¿Vale? Sería e por s... Daos cuenta que el vector n y el vector campo...
Son paralelos en todo momento. Por lo tanto siempre tenemos coseno de cero.
Y será e por 4 pi r al cuadrado. Esto es idéntico a la otra parte. Pero
nos tenemos que dar cuenta... Que la r ahora está... Esa r minúscula
está dentro de la esfera. Y por lo tanto la carga... Que genera el
campo... Esta carga que genera el campo... Ya no es toda la carga. Es parte
de esa carga. La carga que hay encerrada... Será la densidad
volumétrica... Por el volumen... De esa esfera de r r minúscula. ¿Eh?
Que ya no es la carga total. Es una fracción de la carga. ¿Vale?
Entonces, si nosotros sustituimos... ¿No? En la expresión de Gauss...
Donde... El flujo... Es la carga que hay encerrada... A partir de la
constante dieléctrica... ¿No? ¿Si? Entonces... Aplicamos... ¿No? La
expresión... Son paralelos... Ponemos Rho... La carga que sería Rho por
el volumen... A partir de la constante dieléctrica en el vacío. Y de
aquí despejaríamos el campo eléctrico. ¿No? Simplificando... Daos
cuenta... Que se nos va a los pi... ¿Eh? El r cubo y r cuadrado... Me
queda una r... ¿Eh? El 4 también... Y me queda esta expresión... Del
campo... Eléctrico... Creado en un punto interior... Que sería... Rho...
R partido 13 silón sub cero. ¿Vale? Bueno... Eso sería ya el ejemplo
anterior. Ahora tenemos otro ejemplo más. Ahora tenemos un casquete
esférico de radio R. ¿Qué quiere decir un casquete esférico de radio R?
Un casquete esférico es como un casquete metálico... Donde la carga está
distribuida en la superficie. ¿Eh? La carga solo está en la superficie.
Aquí pone más, más por todo... ¿Eh? Mmm... Bueno... Está más, más...
No está dentro. Está en la superficie. Está claro, ¿no? Lo que pasa es
que, claro... Si se está dibujando los más en la superficie... Pues
tampoco no está mal, evidentemente. Entonces aquí tenemos... Vamos a
demostrar que el campo eléctrico en el interior... Es nulo... ¿Por qué
es nulo el campo eléctrico en el interior? Mmm... Porque la carga que hay
encerrada en el interior va a ser nulo. Pero bueno, empecemos por un punto
exterior como antes. Nos movemos para un punto R... Minúscula... ¿No?
Mayor que R. Y nos damos cuenta que el desarrollo es muy similar al de
antes. Es al de antes. ¿Eh? Porque la carga que hay encerrada en esta
superficie gaussiana... De radio R minúscula mayor que R... Vuelve a ser
Q. La carga total. Entonces hacemos el mismo desarrollo que antes... Y,
efectivamente... Ese campo eléctrico es análogo... Al que habíamos
calculado en un punto exterior... Para una distribución volumétrica de
carga. Ahora tenemos... Una distribución de carga superficial... En una
esfera de radio R... Y resulta que el campo eléctrico en un punto
exterior... Es idéntico. Idéntico. En un punto exterior. Es decir...
Tanto la esfera conductora... Como una distribución... Volumétrica de
carga... Se comportan de manera análoga. ¿Eh? Como si la carga toda ella
estuviera en el centro de la esfera... Y sería creada por una carga
puntual... Situada en ese punto. ¿De acuerdo? Bueno... Ahora bien... Si
nos metemos dentro... Ahora... ¿Qué ocurre? Que la carga que hay
encerrada... Para R minúscula menor que R... La carga que hay en el
interior... Es nula. Porque toda la carga está en la superficie. Por lo
tanto... ¿No? E por S... Es igual a Q interior... Partido por S y un sub
cero... Esta Q interior que sería cero. Luego el campo eléctrico... Será
cero. Porque Y y S... Son paralelos. No podemos decir que sean
perpendiculares. Entonces el campo eléctrico... En el interior... De una
esfera conductora... O de un conductor... Cargado en equilibrio... También
va a suceder... Va a ser nulo. ¿Eh? Tengamos una esfera conductora... El
campo eléctrico de su interior... Es cero. ¿Eh? Esto nos va a llevar
después... A que el potencial eléctrico... Sea constante en el interior.
¿Vale? Bueno... Pues aquí hemos terminado esta parte... Y vamos a abrir
otro archivo... Con hacer un poquito de ejercicios. ¿Vale? Bueno... Aquí
tenemos... En pantalla pues una serie de ejercicios... Que han ido
saliendo... En PES... En exámenes... De preguntas de cuestiones... O de
preguntas de problemas... ¿No? Bueno... Eh... Dice aquí... Se dispone de
dos láminas finas... Grandes y circulares... Se colocan horizontales...
Paralelas... Una a la otra... Y separadas a una distancia de... De tal
manera que el centro... De una quede justo... Vertical encima... Del centro
de la otra... Se cargan ambas láminas... Con densidades de carga sigma...
¿No? ¿Vale? Y nos piden cuál es el módulo del campo eléctrico... En un
punto situado entre las dos láminas... ¿No? Y cuál es el módulo del
campo eléctrico... En un punto fuera de las dos láminas... Cerca siempre
del eje de simetría... ¿Vale? Es decir... Lo que tenemos es... Dos
láminas circulares... ¿No? Y queremos saber... Eh... Tienen la misma
densidad de carga... Positiva... ¿No? Y queremos saber... El campo
eléctrico resultante... Afuera y en medio... ¿Vale? Bueno... Positivo y
positivo... En... En medio... Pues aquí... Evidentemente... Aquí lo
tenemos... ¿No? El dibujo... Creo que nos demos cuenta... ¿No? Que... Si
tenemos aquí una carga positiva... Y aquí una carga positiva... ¿No?
¿Vale? Aquí tendremos... Un campo eléctrico hacia arriba... Y un campo
eléctrico hacia abajo... ¿Vale? Hacia arriba... Y hacia abajo... De
manera que... El campo eléctrico resultante... En el interior será
cero... Será cero... Pero... Si nos vamos... Abajo o arriba... Positivo y
positivo se repelen... Y el campo eléctrico... Tendrá... El mismo... La
misma dirección... El mismo sentido... ¿No? ¿Vale? Que... Y será la
suma... De las dos... Sigma partido de 2e0 en sub cero... Por dos... Por lo
tanto... Sigma partido de 2e0 en sub cero... ¿No? Lo vemos... ¿No? Aquí
estamos suponiendo que el... En el punto donde calculamos el campo...
Situamos la unidad de carga positiva... Que es lo que hay... ¿No? Ahora
aquí tenemos otro ejercicio... Otra... Otra pregunta... Dice... Dos
esferas conductoras... De radio 6 y 10... Cada una... Se ponen en
contacto... Hasta alcanzar el equilibrio... Hallar el potencial
eléctrico... De cada una de ellas... Antes de ponerlo en contacto...
Bueno... Vamos a ver... Si hemos visto ya que una esfera conductora... El
campo eléctrico es análogo al creado por una carga puntual en su
centro... Bien es cierto que no hemos hablado del potencial eléctrico...
¿Eh? Pero ahora... Lo podemos comentar si queréis... Bueno... Son dos...
¿No? Una más grande y otra más pequeña... Bueno... Vamos a ver esto...
Eh... El potencial creado por una esfera conductora... Es 1 partido 4pi...
S1 sub cero... Q partido por R... ¿De acuerdo? Esto sería el potencial
creado por una esfera conductora en su superficie... Que es análogo al que
crearía una carga puntual a una distancia determinada... E igual... Esto
sería la expresión del campo eléctrico que crea una esfera conductora...
En su superficie o en un punto exterior... ¿Vale? En el caso de una esfera
conductora de radio R... ¿Eh? De radio R... ¿No? Cada una con su radio...
¿Eh? ¿Cuál sería el potencial de cada una de ellas? Bueno, pues... La
fórmula que tenemos aquí aplicada... V1 y V2... 1 partido 4pi... S1 sub
cero... Q... 1 partido... No... La carga es la misma... R1... ¿De acuerdo?
Y lo mismo con la otra... Ahora bien... ¿Qué pasa cuando se ponen en
contacto? ¿Eh? Vamos a dejarlo planteado... ¿Eh? Si se ponen en
contacto... Ambas... Tienen el mismo potencial... Entonces tenemos... Q sub
1... O... Voy a llamarle... Q sub 1 prima partido R1... Igual a Q sub 2
prima partido R2... ¿No? Llamo 1 y 2 porque las cargas van a ser las
mismas... Pero... La carga total se va a mantener constante... La carga
total antes y después de ponerse en contacto es la misma... 1 prima más
Q2 prima... Y Q total es 2 veces Q... Entonces nos damos cuenta que tenemos
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas... ¿No? ¿Cuáles son las
incógnitas? Ay, perdonad... Q1 prima y Q2 prima... Conocemos R1...
Conocemos R2... ¿No? Y... Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas... Porque Q es conocido... Lo tenemos aquí... ¿Vale? Entonces
podemos calcular... La carga, la nueva carga y el potencial común... ¿No?
V1 prima y V2 prima... Bien... Este no estaba hecho eh... Venga... Ahora
este sí... Dice... Una... Una es... Corteza esférica metálica de radio
R1 y radio exterior R2... Tiene una carga eléctrica neta Q... Eh... Si en
el centro de la cavidad del interior de la corteza... Se coloca una carga
eléctrica menos Q... La carga en la superficie... Exterior... ¿Qué
será? Vamos a ver si lo entendemos... Tenemos... Una... Distribución...
¿No? Una corteza esférica metálica de radio interior R1 y R... Y R
exterior... ¿No? ¿Vale? Y en medio ponemos... Una carga... Menos Q...
¿Vale? Una carga menos Q... Y nos dice que esta esfera... Esta esfera
tiene una carga Q... ¿Vale? Y en medio ponemos una carga menos Q...
Bueno... Entonces... Nos está pidiendo qué vale la carga en la
superficie... ¿Cómo se va a distribuir la carga? En esta esfera... Eh...
Metálica... ¿No? De espesor R1 o R interior y R exterior... Lo primero
que hay que saber es que siempre... Y eso es muy importante... La carga...
En el interior... De una esfera conductora cargada... Va a ser cero... Es
decir... La carga se va a distribuir... Por la superficie... Si no tiene
espesor... Y si tiene espesor... Puede ser por la superficie interior...
Por la superficie exterior... Pero nunca... Nunca dentro... Es decir... Que
aquí dentro... Quede claro... Eh... Aquí dentro... La carga es cero... En
el interior... ¿No? Entre los dos... La carga interior será cero...
¿Sí? Bueno... Entonces... ¿Dónde se va a distribuir esta carga?
Bueno... Es que por inducción... Evidentemente... Si tenemos una carga
negativa... Menos Q... La carga se me va a distribuir aquí... Más Q... En
la superficie interior... Será menos Q y más Q... ¿Vale? Menos Q y más
Q... ¿Vale? Entonces... Si la carga se nos distribuye... De esta manera...
La carga que hay en el exterior... ¿Cuál será? Cero... Ya será cero...
Porque no tenemos más carga... En esta esfera conductora... ¿Vale? En la
carga interior... Tendremos más Q... Pero fuera... Carga cero... ¿Sí?
¿De acuerdo? Si no estuviese esa carga negativa... Esa carga estaría en
la superficie exterior... ¿Vale? Bien... Tenemos ahora... Una lámina
plana infinita... Con densidad de carga sigma... Positiva... Perpendicular
a la lejana... Eje X... Que corta... Ha dicho... Eje con X igual a menos
5... Y una segunda lámina... Con sigma negativa... Menos 2 sigma 1...
¿No? Paralela a la primera... Que corta... En X igual a 5... Y nos dice
que soltamos... Una partícula de masa M1... Desde la lámina 1... Y una
partícula M2... Desde la lámina 2... De doble masa... Y de carga... La
mitad... Y de signo contrario... ¿Vale? ¿Qué relación hay entre los
tiempos... Que tardan en despegarse? Cada una de ellas... En llegar a la
otra lámina... Bueno... Vamos a ver esto un poquito... ¿Eh? Aunque está
aquí hecho... Vamos a verlo un poco... ¿No? Tenemos una relación... De
densidades de carga... Sigma 2... Y menos 2... Sigma 1... ¿No? M2... Es
2M... Y la carga... Es la mitad... ¿Eh? Bueno... Mmm... Entonces...
Claro... La pregunta que nos podemos hacer es... Bueno... ¿Qué
aceleración tiene cada partícula? ¿No? ¿Cuál es el campo eléctrico
que está sujeto a cada una de ellas? ¿No? Cada una de ellas estará
sujeta a un campo eléctrico... ¿No? Vamos a entenderlo... Pero claro...
Habrá que ver cuál es el campo eléctrico resultante entre las
láminas... ¿No? Porque es el debido... Y claro... Inicialmente cada uno
se encuentra en una lámina... Que está sujeta... Que está cargada...
Pero evidentemente... Que el campo eléctrico... Habrá un campo eléctrico
resultante debido a las dos láminas... Tenemos aquí... Positivo... Y
negativo... Por ejemplo... ¿No? Por lo tanto... A partir de aquí...
Nosotros... Tenemos un campo eléctrico en unas líneas de campo... Mmm...
Que van en esta dirección... ¿No? Es el sentido que se movería la unidad
de carga positiva... Ah... Veamos... Nos damos cuenta que los dos campos
eléctricos tienen el mismo sentido... Vamos a ver... Aquí situamos la
unidad de carga positiva... Positivo y positivo se repelen... Luego... E
más va hacia la derecha... Que será... Sigma 1 partido 2 Epsilon sub
cero... Y E menos... También irá hacia la derecha... Sigma 2... ¿No?
Partido 2 Epsilon sub cero... Pero este sigma 2 es dos veces sigma 1...
Estamos en valor absoluto... En valor absoluto... ¿Sí? Bien... Veamos...
Habría que sumar... ¿No? Y el campo eléctrico resultante sería 3 sigma
partido 2 Epsilon sub cero... ¿Vale? Claro... Esto sería... El campo
eléctrico creado... Ojo... El campo eléctrico creado... En las
proximidades... ¿No? En este caso entre las dos... Entre las dos...
Digamos... Estos dos planos conductores... ¿Vale? ¿Sí? Tendríamos este
campo eléctrico resultante... Entonces con este campo eléctrico
resultante... Nosotros sabemos que F... Es igual a E por Q... Igual a M por
A... Y a partir de aquí nosotros... Podríamos calcular la aceleración...
Y una vez que tengo la aceleración... ¿No? Sabemos que el espacio... Es
igual a un medio de la aceleración... Por el tiempo al cuadrado... Y nos
damos cuenta... ¿Eh? Nos damos cuenta... ¿No? Que las partículas tienen
distinta aceleración... Porque tienen distinta masa... ¿Vale? El tiempo
que tardarán en recorrer ese espacio... Va a ser distinto... 2X partido
por A... Raíz cuadrada... Ese sería el tiempo... Habría que poner la
aceleración de cada uno de ellos... Y buscar la relación... ¿Eh? Y
buscar la relación... Aquí si os dais cuenta... De alguna manera... Vemos
que se han dejado el 2 del denominador... ¿Eh? No sé si os habéis dado
cuenta... Se han dejado el 2 del denominador... ¿Eh? Ese 2 tendría que
estar ahí... Porque el campo eléctrico creado por un... Una distribución
plana de carga es... Sin más partido... ¿Eh? Ojo con ese detalle... Pero
va a dar igual... Porque la relación de tiempos... Ese 2 se va a
simplificar... Y no se va a notar... El resultado final será el mismo...
¿Vale? Bueno... Lo vamos a hacer... Bien... Ahora tenemos aquí otro que
dice... A lo largo del eje Z... Tenemos un hilo infinitamente largo... Una
densidad lineal de carga... Rodeado de una... Rodeando al hilo... Y
concéntrico... Tenemos una superficie cilíndrica... ¿No? Y densidad de
carga sigma... ¿Qué relación tiene que haber entre lambda y sigma...
Para que el campo eléctrico en el punto A... ¿No? Sea cero... Bueno...
Este es un ejercicio que también está aquí resuelto... Yo os invito a
que lo miréis... Es bastante tedioso... Si nos dedicamos a él... No vamos
a hacer nada más... Yo creo que es importante que lo trabajéis... Lo
tenéis aquí resuelto... Y si tenéis alguna duda... Me lo preguntéis...
¿Eh? ¿Vale? Aquí tenemos otro de dos láminas... Planos paralelas...
¿No? Donde aquí sí que no comete el error... ¿No? Y pone... Sigma
partido de 2 es hilo en sub cero... Os dais cuenta... ¿Eh? Mmm... La
primera corta en X igual a menos 5... La otra en X igual a 5... Y
consideremos un punto de coordenadas... X igual a... X3 igual a 6... ¿Qué
quiere decir X igual a 6? Que estoy fuera de las dos láminas... ¿No?
porque claro... Ehm.... Ehm... Aquí... ¿Que tenemos?... Veamos...
¿Eh?... Y lo hace bien... Cuidado... Bueno... ¿Sí?... Es decir... Este
está en X igual a menos 5... Y este sería en X igual a 5... Fijaos que
los dos... Una tiene una densidad de carga positiva... y esta negativa,
entonces el campo eléctrico aquí en medio que sería la suma, sigma
partido por el signo sub cero y aquí, ¿qué valdría el campo eléctrico?
cero, porque se contrarrestarían y aquí el campo eléctrico cero, ¿no?
porque aquí sí que los dos tendrían el mismo sentido positivo, pero
aquí tendrían uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda porque las
densidades de carga son las mismas y de signo contrario y por lo tanto,
pues bueno ¿sí? entonces entonces, el campo eléctrico en x igual a 3 es
mayor que en x igual a 4 en x igual a 6 no, porque vale cero ninguna de las
tres soluciones son correctas porque en x igual a 6, que estoy en el lado
exterior, siempre va a ser menor ¿eh? va a ser menor ¿eh? que en medio, o
incluso menor o igual en x igual a menos 6, que también será cero ¿os
dais cuenta, no? las preguntas que hace me piden si el campo aquí en x
igual a 6 es mayor que por el medio, ¿no? o mayor que por el lado
izquierdo, y ninguno de ellas es ¿eh? muy bien, aquí tenemos este otro
ejemplo ¿no? dice, consideremos una superficie conductora no
necesariamente una superficie conductora no necesariamente plana ¿cuáles
de las siguientes afirmaciones son correctas? ¿eh? dice si el potencial V
es constante sobre la superficie la densidad superficial de carga es
constante bueno si el campo eléctrico es constante sobre la superficie la
densidad de carga es constante si el campo eléctrico es constante en la
superficie el potencial es constante ninguna de las anteriores es correcta
¿eh? bueno, vamos a ver con la A dice el potencial V es constante sobre la
superficie de densidad de carga sigma y la densidad de carga sigma es
constante bueno, es que no tiene por qué ser constante lo que... vamos a
ver el potencial siempre es constante sobre la superficie conductora
entonces dice que si el campo eléctrico es constante sobre la superficie
el potencial V es constante no, es que el potencial siempre es constante
¿vale? independientemente de lo que sea o no el campo eléctrico sin
embargo la densidad superficial de carga varía de un punto a otro ¿eh? la
densidad superficial de carga varía de un punto a otro entonces el
potencial sobre la superficie ¿no? dice el potencial V es constante sobre
la superficie la densidad superficial de carga es constante el que tú
tengas un potencial constante no tienes por qué tener una densidad
superficial de carga constante por eso no es correcto ¿vale? el campo
eléctrico sabemos que es sigma partido por el signo sub cero ¿vale? por
lo tanto si el campo eléctrico es constante ¿no? la densidad de carga
también va a ser constante esto sí que es verdad el V ¿vale? la densidad
de carga no tiene por qué ser constante ¿eh? si el potencial es constante
en cada punto dependerá ¿eh? porque la densidad superficial de carga no
tiene por qué ser homogénea también, pero bueno ¿vale? seguimos bueno
aquí tenéis varios que están resueltos más ¿no? hay bastante para
trabajar yo creo y me vais a permitir que os abra también el archivo del
otro día ¿eh? que había problemas de campo eléctrico ¿no? que no
tuvimos tiempo de ver nada ¿eh? o ver muy poquito vamos ¿veis? teníamos
aquí por ejemplo si volvemos a este documento yo creo que los dos
documentos son muy interesantes ¿eh? son bastante densos y bueno ¿por
qué? porque se presta mucho ¿eh? la electrostática se presta mucho a
cuestiones a cuestiones y a problemas y de hecho resulta que sale con una
cierta asiduidad entonces hay que ir hay que irlo viendo ¿eh? tenéis esto
todos estos ejercicios resueltos estas cuestiones resueltas ¿no? y vamos a
ver por ejemplo este otro problema que cayó un año dice dos partículas
cada uno de masa M y cargas Q y 2Q respectivamente están suspendidas por
cuerdas de longitud L ¿eh? o tenga el ángulo que forma cada una de las
cuerdas con la vertical ¿vale? bueno y supongo que para ángulos pequeños
la tangente es igual aproximadamente al seno vamos a explicarlo un poquito
al ejercicio si os parece ¿eh? bueno ¿qué fuerzas tenemos? pues ya las
veis aquí dibujadas ¿no? tenemos el peso ¿vale? y la fuerza eléctrica
repulsiva y la tensión de la cuerda ¿vale? entonces tenemos que mantener
un sistema de equilibrio con respecto al eje X y al eje Y descomponemos las
fuerzas sobre cada eje de coordenadas lo que hay que descomponer es la
tensión la tensión tendrá una componente vertical ¿no? TI y una TX
¿vale? de manera que este ángulo también es Z ¿de acuerdo? y TX es T
seno de Z y TI es T coseno de Z ¿de acuerdo? y a partir de aquí igualamos
¿qué igualamos? la TI con el peso y la TX con la fuerza eléctrica que es
K pues son canales puntuales K por Q por 2Q partido de la distancia al
cuadrado ¿no? claro y tendremos que determinar esa distancia que hay
¿vale? ¿cómo determinamos esa distancia? R se llama aquí R pues en el
dibujo lo vemos ¿no? que la mitad de la distancia es R medios el seno de Z
es R medios partido por L luego R es 2L seno de Z R es 2L seno de Z ¿vale?
bueno y a partir de aquí podéis calcular ¿no? ¿eh? o podemos obtener el
ángulo sin ningún problema ¿vale? bueno pues bueno vamos a buscar alguna
cosita más a ver esta dice la superficie de la Tierra ¿no? está cargada
negativamente con un campo ¿listo? se ha quedado mal se ha bloqueado bueno
un momentito bueno dice la superficie de la Tierra está cargada
negativamente con un campo eléctrico de 100 N partido por Coulombio ¿eh?
entonces la superficie de la Tierra ¿vale? la tenemos cargada
negativamente ¿vale? con un campo eléctrico de 100 N partido por
Coulombio ¿eh? ¿vale? 100 N partido por Coulombio ¿vale? ¿cómo son las
líneas de campo? las líneas de campo irán hacia abajo porque está
cargada negativamente ¿vale? ahora tienes una gota de agua también
cargada negativamente una gota de agua también cargada negativamente
¿sí? entonces ¿qué fuerzas actúan sobre la gota? tenemos el peso hacia
abajo y la fuerza eléctrica hacia arriba ¿por qué hacia arriba? porque
menos por menos da más bueno, menos por menos menos y menos son cargas de
sí mismos si no se repelen ¿no? ¿eh? está claro los que menos por menos
de más la fuerza eléctrica irá hacia arriba el peso irá hacia abajo
entonces la suma de la fuerza eléctrica más el peso será cero luego la
fuerza eléctrica módulo es igual a menos el módulo de P y la fuerza
eléctrica por lo tanto E por Q igual a MG ¿no? y hay que calcular la masa
de la gota ¿eh? ¿vale? pues la masa de la gota será E por Q partido por
G ahí la tenemos la Q también la Q ojo está en electrones hay que
pasarlo a colombios ¿eh? hay que pasarlo a colombios ¿vale? y a partir de
aquí pues se calcula lo tenéis aquí en la página siguiente ¿no?
¿vale? y calculáis la masa este también es un problema que salió el
año pasado dice dos cargas Q y menos Q están separadas a una distancia de
supongamos que las cargas están situadas simétricamente respecto al
origen ¿no? dice en un punto del eje X se sitúa una carga positiva Q a
una distancia X del eje Y ¿vale? o tenga la expresión algebraica de la
fuerza eléctrica que actúa sobre la carga ¿no? si suponemos que la carga
Q se sitúa a una gran distancia ¿cuál es la expresión aproximada? y
aplicación numérica es decir ¿cuál es la expresión algebraica de la
fuerza que actúa sobre la carga Q? ¿vale? bueno aquí lo que tendremos
¿eh? tendremos una fuerza la carga Q que es positiva o negativa bien la
carga Q positiva gracias si gracias la carga Q sería repelida por la carga
más Q pero ojo sería atraída por la carga negativa ¿vale? sería
atraída por la carga negativa de manera que la carga resultante vamos la
carga resultante la fuerza resultante por simetría nos induce a que sería
tendría esta dirección se compensarían las componentes X ¿eh? pero
bueno lo podemos comprobar a esto ¿no? vamos a ver está claro que el
módulo de ambas fuerzas será el mismo a ver ¿dónde estamos? aquí Q por
Q minúscula partido de la distancia ¿qué va a dar la distancia? es la
hipotenusa esto es X y lo otro es D pues será raíz bueno como es la
distancia al cuadrado no hace falta poner la raíz ¿no? sería Q por Q
sería X cuadrado más D cuadrado este sería el módulo de la fuerza pero
claro aquí tendríamos unas componentes X y unas componentes Y este es un
ángulo ¿cómo sacamos este ángulo? el seno y el coseno de este ángulo
el seno sería D partido de la hipotenusa aquí sí que tengo que poner la
raíz de X cuadrado más D cuadrado ¿y el coseno? la detrás contigo X
partido raíz cuadrada de X cuadrado más D cuadrado ¿vale? ¿eh? de
manera que las componentes X se anularían y me quedaría la Y de manera
que la fuerza total sería dos veces F por el seno ¿y qué sería F? la
que tenemos aquí a la izquierda ¿y qué sería el seno? lo que tenemos
aquí ¿no? me quedaría abajo elevado a tres medios ¿no? si queréis
cambio de página a ver ah, que le llama un medio de D ¿por qué? ¿por
qué le llama un medio de D? ah, porque D es todo bueno yo le he llamado D
este trocito de aquí ¿eh? están separados una distancia de a ver, a ver
ah, sí están separados una distancia de el ley de vale, es verdad yo
había entendido que D era del centro arriba por lo tanto esto será un
cuatro aquí será un cuatro aquí será de medios y aquí un cuatro ¿no?
es verdad claro si todo es D este pedacito será de medios ¿no? y esto
también será de medios ¿vale? de medios y de medios entonces donde
había puesto D pongo de medios y si está al cuadrado es D cuadrado
partido por cuatro así está correcto vale bueno vamos a ver bueno pues
tenemos aquí la expresión ¿no? claro el ángulo le llama a otro pero
sigue siendo lo mismo porque su seno y mi coseno va a ser lo mismo ¿vale?
es la misma expresión ¿eh? os dais cuenta ¿no? de medios tal es lo mismo
lo que pasa es que en el ángulo le ha llamado el otro el que está el que
está enfrente le ha llamado Z el ángulo que va de aquí arriba de menos Q
abajo pero da igual el resultado es el mismo ¿eh? bueno tenemos esto ¿no?
y tenemos la expresión esta habrá que sumarlo y multiplicarlo y no
tenemos nada más sale lo mismo de una manera que de otra ¿de acuerdo? eso
está claro ¿eh? que sale lo mismo de una manera que de otra ¿mm? bien
¿mm-hmm? lo teníamos de medios y después un 2 y se simplifica ¿qué
pasa cuando la distancia es muy grande? cuando X es mucho mayor que D ¿eh?
¿qué pasa cuando X es mucho mayor que D? ¿eh? si X es mucho mayor que D
se puede despreciar ¿no? la D con respecto de X si X es mucho mayor que D
¿y qué nos queda? que la fuerza es inversamente proporcional al cubo de
la distancia ¿eh? ¿sí? ¿de acuerdo? ¿mm? y si llega mientras que si D
vamos a ver si D tendiese a 0 que no es lo mismo ¿eh? si D tendiese a 0
¿qué pasaría? que la fuerza sería cero porque el numerador sería cero
¿por qué? porque se contrastarían las dos cargas ¿no? son iguales y de
signo contrario se superpondrían ¿no? la fuerza eléctrica sería nula
¿eh? ¿por qué? porque es el resultado de dos cargas ¿no? superpuestas
del mismo valor lo de signo contrario ¿vale? si fijan cuatro cargas
iguales en las esquinas de una estructura de madera que tiene forma de
cuadrado ¿cuál es el módulo del campo eléctrico en el punto central? y
¿cuál es la dirección de dicho campo? bueno si tenemos cuatro cargas
idénticas en las esquinas ¿no? de un cuadrado el campo eléctrico
resultante en el centro ¿qué será? será nulo ¿no? ¿o no? pensamos que
sí ¿no? por simetría si las cargas son iguales los campos eléctricos
serán iguales serán los mismos ¿eh? tendremos son cargas iguales
positivas pues aquí tendríamos los cuatro vectores ¿no? y la suma de los
cuatro vectores sería cero ¿eh? ¿cuál es el módulo del campo
eléctrico total en el centro? cero ¿y cuál es la dirección de dicho
campo? pues si es cero el módulo es cero y el vector campo eléctrico
también claro que sí ¿no? si tenemos cuatro vectores tenemos cuatro
cargas idénticas ¿eh? pues ya lo dice aquí ¿no? que es cero ¿no? vale
bueno hemos hecho un repaso un poquito de cosas Leire espero que haya
servido de algo hay mucho material también está este archivo muy
interesante el de actividades del equipo docente que también es muy bueno
trabajarlo entonces recomiendo que trabajemos pues un poco todo ello son
actividades muy interesantes muchas gracias