Buenas tardes. La sesión de hoy va a ser eminentemente práctica, con
siete ejercicios relacionados con los números racionales y reales, y dos
ejercicios últimos que son de temas anteriores pero que se consideran
interesantes para preparar el examen final. La mayoría de estos ejercicios
han salido en las pruebas presenciales de años anteriores. El primer
ejercicio dice sea EA que denota la parte entera de cualquier número A
real. Demuestre que para todo x y que pertenecen a R se cumple que EDX más
EDI es menor o igual que EDX más Y, menor o igual que EDX más EDI más 1.
Sabemos que la parte entera EDA de un número entero es por definición el
número entero que cumple EDA menor o igual que A, menor que EDA más 1,
según la preposición 6.11 de la página 221 del texto base. Aplicando lo
anterior se tiene que la parte entera de X es menor o igual que X, menor
que EDX. Igualmente pasa con la parte entera de Y, que es menor o igual que
Y, y menor que la parte entera de Y sumando 1. En consecuencia si sumamos
EDX más EDI es menor o igual que X más Y, menor que EDX, la parte entera
de X, más la parte entera de Y más 2. Por otro lado tenemos que la parte
entera de Y es un número entero y la parte entera de X más la parte
entera de Y es menor o igual que X más Y. Aplicando que la parte entera de
X más Y es el máximo de los números enteros K, tales que K es menor o
igual que X más Y, se obtiene que EDX más EDI es menor o igual que K,
menor o igual que X más Y. También EDX más Y es menor o igual que X más
Y. Si aplicamos lo que hemos visto anteriormente, que X más Y es menor que
EDX más EDI más 2, se obtiene que EDX más Y menor que EDX más EDI más
2. En consecuencia EDX más Y será menor o igual que EDX más EDI más 1.
Para mejor entenderlo ponemos un ejemplo numérico. Consideramos X, 2,52 e
Y, 3,49. EDX será igual a 2, EDI será igual a 3. EDX más EDI es 2 más 3
que 5. EDX más Y es E de 2,52 más E de 3,49, por tanto es E de 6,01 es
igual a 6, que es menor que 5. En este caso vemos que EDX más EDI es menor
que EDX más Y, o sea EDX más EDI, es 5. EDX más Y es 6, y es menor o
igual que EDX más EDI más 1. EDX es 2 y EDI es 3. 2 más 3 más 1, que
son 6. Aquí dice solución. Sabemos que la parte entera EDA de un número
entero no es de un número real, A es, o sea la parte entera EDA de un
número real, A pertenece a R, es por definición el número entero que
cumple. EDA menos que EDA más 1. Ya lo rectificaré para que quede más
claro. El segundo ejercicio dice, se define por recurrencia la sucesión U
sub N mediante U0 igual a 0 y UN más 1 igual a la raíz cuadrada de 1 más
U sub N partido por 2, para todo N que pertenece a N. Demuestre por
inducción que para todo N que pertenece a N asterisco, o sea el conjunto
de los números naturales, sin incluir el 0, se cumple que 1 partido por
raíz de 2, menor o igual que U sub N, menor o igual que 1. Vemos la
solución. O sea, las desigualdades 1 partido por raíz de 2, menor o igual
que U sub N, menor o igual que 1, son ciertas para N igual a 1. Por tanto,
U sub 1 sería igual a 1 más U sub 0 partido por 2. U sub 0 por dimensión
era 0. Por tanto, sería 1 más 0 partido por 2, Sería 1 raíz de 1 medio,
que es 1 partido por raíz de 2. Por tanto, 1 partido por raíz de 2 es
menor o igual que U sub 1 y es menor o igual que 1. Por tanto, se cumple
para N igual a 1. Supongamos que las desigualdades 1 partido por raíz de
2, menor o igual que U sub N, menor o igual que 1, son ciertas para N.
Teniendo en cuenta la definición de la recurrencia, U sub N más 1 es
igual a la raíz de 1 más U sub N partido por 2. Y las desigualdades 1
más 1 partido por raíz de 2, menor o igual que 1 más U sub N, menor o
igual que 1 más 1. O sea, hemos sumado 1 a la cadena de desigualdades 1
partido por raíz de 2, menor o igual que 1. Por tanto, sumamos 1 más
raíz de 2, tiene que ser menor o igual que 1 más U sub N, menor o igual
que 1 más 1, por las propiedades de lo que es la relación de menor o
igual en el conjunto de los números reales. Entonces, dividimos por 2,
dividir por un número positivo, se sigue cumpliendo la cadena de
desigualdades. O sea, hemos primero sumado 1 y dividido por 2, cada uno de
los miembros de la desigualdad 1 partido por raíz de 2, menor o igual que
U sub N, menor o igual que 1. Aplicando, por un lado, que raíz de A es
menor que raíz de B, si A es positivo o cero y menor que B. La función f
de x igual a raíz de x es una función creciente para todo x menor o igual
que cero, ya que la derivada es positiva. ¿Vale? La derivada de raíz de
x. Es 1 partido por 2 raíz cuadrada de x, que evidentemente es creciente
en todo su dominio. ¿Vale? Para el dominio de la función igual a raíz de
x es x mayor, x cero, mayor o igual que cero. ¿Vale? Por otro lado,
tenemos que cero menor que es menor, cero es menor que un medio y menor que
1. O sea, 1 partido por raíz de 2 partido por 2. Por tanto, de aquí
obtenemos que la raíz de un medio es menor que la raíz de 1 más U sub N
partido por 2, menor o igual que la raíz de 1 más 1 partido por 2, que es
1. En consecuencia, tenemos que 1 partido por raíz de 2, menor o igual que
U N más 1, menor o igual que 1, que es lo que queríamos demostrar. O sea,
aquí hemos aplicado el principio de inducción. O sea, probamos que para N
igual a 1 se cumple que 1 partido por raíz de 2 menor o igual que U sub 1,
menor o igual que 1. Después suponemos cierto para N y probamos que se
cumple para N más 1, teniendo presente las propiedades de la
compatibilidad de la relación de orden menor o igual con la suma y la
división o producto de números enteros, números reales positivos. Bueno,
vemos otro, el ejercicio 3, dice, sea el conjunto de los números
fraccionarios tales que existe un par M que pertenece al conjunto de los
enteros y N que pertenece al conjunto de los números naturales sin el
cero, tal que N es impar. El número que pertenece al conjunto N asterisco
es impar y X, el número racional, es M partido por N. Demuestre que A con
las operaciones de Q restringidas a A es un anillo unitario. Determine en
el anillo A los elementos que son inversibles. Vamos a la primera parte.
Primero tenemos que ver que no es un conjunto vacío. Dice, veamos que A,
este subconjunto de Q, con las operaciones... Más y por, es un subanillo
de Q con las operaciones más y por. Es decir, que A, de momento, no es el
conjunto vacío. Para todo X, X' que pertenece en A, tenemos que ver que X
menos X' pertenece a A y X por X' pertenece a A. Esto será para demostrar
que es subanillo. Primero vemos que no es vacío. Por ejemplo, el 1
pertenece... A este conjunto A. O sea, 1 lo podemos poner en números
racionales, 1 partido por 1. 1 pertenece a Z y 1 pertenece a N' y es impar,
además, en toda condición. Por tanto, 1 pertenece a A y, por tanto, A es
distinto del vacío. Ahora tomamos dos elementos de A, X y X', entonces, si
X pertenece a A, tiene que existir un par MN y si X' pertenece a A, tiene
que existir un par M' N', que pertenecen a Z, estos dos pares, a ZN'. Tal
es que X es igual a M partido por N, X' es igual a M' partido por N' y N y
N' son impares. Teniendo en cuenta que el producto de números impares es
impar, entonces, X menos X' será M partido por N menos M' partido por N'.
Por tanto, será M por N' menos N por M'. Y entonces, esto pertenece a A,
¿vale? Pues, M por N' es el producto de estos dos números enteros y N por
M' también es el producto de los números enteros. Entonces, su
diferencia, evidentemente... La diferencia de dos números enteros es un
número entero. Y N por N', que es el denominador, también pertenece a N'
y además, ese producto de dos será impar porque es el producto de los
números impares y el producto de los números impares es impar. Entonces,
hemos probado que X menos X' pertenece al conjunto A. Veamos el producto. X
por X' será M partido por N por M' partido por... Por tanto, será M por
M' el producto y N por N'. Esto también pertenece al conjunto A. O sea, M,
M' pertenece a Z y N por N' pertenece a N' y es impar, además. Por tanto,
A es un subanillo, es un anillo unitario ya que hemos visto que uno
pertenece a A. Por tanto, A es un subanillo del anillo unitario. Q. Vemos
la parte B. Dice, determine en el anillo los elementos que son inversibles.
Caracterizaremos los elementos que son inversibles. Sabemos que 0 no es
inversible. Por tanto, buscamos elementos distintos de 0 que pertenecen a A
tales que el inverso 1 partido por X pertenezca a A. Si X es distinto de 0
y X pertenece a A, entonces existe un par MN con M pertenece a Z y N
pertenece a N' y además, N es impar. Por tanto, 1 partido por X será N
partido por N. Así, si 1 partido por X tiene que pertenecer a A tendrá
que existir un par PQ con T pertenece a Z y Q pertenece a N' tal que N
partido por M sea igual a P partido por Q y Q sea impar. Por tanto, se
tendrá que concluir que N por Q tendrá que ser igual a M por T. Como N y
Q son impares N por Q es impar y hemos visto que el producto de dos
números impares es impar. Por tanto, si N por Q tiene que ser igual a M
por P entonces M por P también es impar y en consecuencia tendrá que ser
M impar. Luego, los elementos de A que tienen inversos son de la forma o
sea, E son los X que pertenecen a Q tales que existen M y N M pertenece a Z
N pertenece a N' tal que N y M son impares. Y X es igual a M partido por N.
Por tanto, caracterizamos que tienen que ser N y M tienen que ser ambos
impares. Entonces, estos elementos de A que cumplen esta condición serán
inversibles. Demostrar por inducción que para todo N que pertenece al
conjunto de los números naturales aquí se incluye el 0 menos el 3 se
cumple que 2 a la N es mayor o igual que N cuadrado. Veamos, por un lado la
desigualdad es cierta para N igual a 0 N igual a 1 y N igual a 2 que para N
igual a 3 no lo es. Si sustituimos o sea, para N igual a 0 tendremos que
tenemos que 2 a la 0 es 1 que es mayor que 0 al cuadrado que 0 ya que 1 es
mayor que 0. Para N igual a 1 tenemos que 2 a la 1 es mayor o igual que 1
al cuadrado pues 2 es mayor que 1. Para N igual a 2 tenemos que 2 a la 2 es
mayor o igual que 2 a la 2 4 es igual a 4. Para N igual a 3 no se cumple
porque 2 a la 3 es 8 y 3 a la 2 es 9. Por inducción probaremos que la
desigualdad es cierta para N mayor o igual que 4. Para N igual a 4 tenemos
que 2 a la 4 es 16 mayor o igual que 4 al cuadrado que es 16. Por tanto es
igual en este caso. Por tanto aquí a partir de aquí suponemos que la
desigualdad es cierta para N mayor o igual que 4. O sea que se cumple que 2
a la n es mayor o igual que n al cuadrado para N mayor o igual que 4.
Tenemos que ver que es cierta para n más 1 o sea que 2 a la n más 1 es
mayor o igual que n más 1 al cuadrado. A 2 aplicando la hipótesis de
inducción que 2 a la n es mayor que n al cuadrado 2 a la n es igual a 2 2
a la n más 1 es igual a 2 por 2 a la n. Por tanto esto será como 2 a la n
es mayor que n al cuadrado 2 a la n más 1 será mayor o igual que 2 a la n
más 1 al cuadrado. Consideramos la función f de r sobre r definida por f
de x igual a 2x cuadrado menos x más 1 al cuadrado que desarrollada queda
x cuadrado menos 2x menos 1. Su derivada es 2x menos 2 es 2 que multiplica
x menos 1. Esta se anula para x igual a 1 por tanto para x igual a 1 tiene
un mínimo que valdrá 0 y f de 1 sería 0. Para x mayor que 1 la derivada
es positiva por tanto f de x es estrictamente creciente para x mayor que 1.
Por tanto para n mayor o igual que 4 2 a la n más 1 será mayor o igual
que 2 n cuadrado y es mayor o igual que n más 1 al cuadrado. Vemos otro
ejercicio dice sea f de 0,1 en 0,1 una aplicación creciente es decir
definiendo la siguiente forma creciente si x x' pertenecen a 0,1 intervalo
cerrado 0,1 si x es menor que x' f de x es menor o igual que f de x' dice
sea a el conjunto de los que pertenecen al conjunto de los números reales
que pertenecen al intervalo 0,1 tales que f de x es menor o igual que x
dice demuestre que a es distinto del vacío o sea para x igual a 1 se tiene
que f de 1 al ser aplicación tiene que pertenecer a 0,1 y en consecuencia
f de 1 sea menor o igual que 1 por tanto 1 pertenece a por lo menos el 1
vale pertenecerá a este conjunto vale por tanto la es distinto del vacío
la segunda parte es la b dice demuestre que f de a está incluido en a vale
entonces si i pertenece a f de a existe un x que tiene por imagen i es un x
de a que tiene por imagen i vale entonces como x pertenece a y será igual
i igual a f de x será f de x menor o igual que x ya que x pertenece a por
tanto f de i al ser la aplicación creciente será menor o igual que f de x
por tanto f de x f de i será menor o igual que f de x que es igual a i por
tanto en este caso i pertenece a y por tanto f de a está incluido en a
vale la el apartado c dice sea a igual al ínfimo de a demuestre que f de a
es una cota inferior de a y deduzca que f de a es igual a a si a sea si
considera si designamos por a igual al ínfimo de a a es un conjunto no
vacío y está acotado el ínfimo existe pues a es un conjunto no vacío y
está acotado inferiormente por el cero al ser a el ínfimo cero es una
cuota inferior de a por tanto se tiene que cero es menor o igual que a
resulta que cualquier x que pertenece a será mayor o igual que a o sea
para todo x que pertenece a se cumplirá que x es mayor o igual que a
aplicando que f es creciente obtenemos que f de a es menor o igual que f de
x menor o igual que x por tanto f de a será una cuota inferior de a al ser
f de a una cuota inferior de a y a será el ínfimo entonces f de a será
menor o igual que a por tanto a pertenecerá a aplicando al apartado b se
tiene que f de a que pertenece a f de a por tanto a será menor o igual que
f de a pues es una cuota inferior de a en consecuencia tenemos que por un
lado f de a es menor o igual que a y por otro a es menor o igual que f de a
por tanto deducimos que a tiene que ser igual a f de a veamos otro
ejercicio el seis dice sea la sucesión definida por recurrencia mediante a
sub cero igual a cuatro a n más uno igual a dos a n al cuadrado menos tres
partido por a n más dos demuestre que a n menos tres es mayor que cero
para todo n que pertenece a n bueno después vemos los otros apartados la
propiedad a sub n menos tres mayor que cero es cierta para n igual a cero o
sea a sub cero es cuatro por tanto a sub cero menos tres es igual a cuatro
menos tres que es mayor que es igual a uno que es mayor que cero por tanto
suponemos cierta que a n menos tres es mayor que cero para para n vale por
tanto lo tenemos que probar para n más uno ya tenemos que probar que a n
más uno menos tres es mayor que cero por tanto a n más uno menos tres es
por definición de a n más uno a n más uno es dos a n cuadrado menos tres
partido por a n más dos tenemos aquí a n más uno es igual a dos por
definición a cuadrado n menos tres partido por a n más dos por tanto
sustituyendo vale entonces haciendo operaciones a n más dos pasa
multiplicando por menos tres y quedará menos tres a sub n menos seis en el
denominador quedará dos a cuadrado n menos tres a sub n menos seis partido
por a n más dos reduciendo términos y agrupando queda dos a sub n
cuadrado menos tres a sub n menos nueve partido por a sub n más dos
teniendo en cuenta las soluciones de la ecuación dos a cuadrado n menos
tres a n menos nueve que son tres y menos tres medios podemos poner que dos
a cuadrado n menos tres a n menos nueve descompuesto en factores sería dos
por a n menos tres porque tres es solución y más tres medios porque menos
tres medios es solución de la ecuación dos a n cuadrado menos tres a n
menos nueve igual a cero por hipótesis de inducción hemos supuesto que a
sub n menos tres es mayor que cero y de a sub n mayor que tres deducimos
que a sub n más tres medios también es positivo o sea que a sub n es
mayor que tres por tanto a sub n más tres medios será será mayor que
tres más tres medios por tanto y evidentemente también a sub n más dos
por lo mismo vale por tanto aquí deducimos que a sub n más uno menos tres
es mayor que cero vemos el apartado b el apartado b dice demuestre que a
sub n más uno menos tres menos tres medios de a sub n menos tres es mayor
que cero para todo n que pertenece a n vale se incluye el cero usando que a
sub n es mayor que tres para todo n que hemos visto en el apartado anterior
vale tenemos que a sub n más uno menos tres menos tres medios de a sub n
menos tres a sub n más uno por definiciones dos a cuadrado sub n menos
tres partido por a sub n más dos menos entonces menos tres menos tres
medios de a sub n menos tres haciendo operaciones el mínimo con múltiplo
es dos por a sub n más dos por tanto el primer factor lo tenemos que
multiplicar por dos dos por dos a cuadrado sub n menos tres el otro será
dos por tres será seis que multiplica a sub n más dos el segundo factor
el tercero será tres que multiplica a a sub n más dos por a sub n menos
tres es haciendo el producto y reduciendo términos desarrollando todo esto
este producto nos queda a cuadrado n menos tres a sub n partido por dos que
multiplica a sub n más dos entonces sacando factor común entre a cuadrado
sub n y tres a sub n podemos poder expresar este esta esto de la forma a
sub n menos tres por a sub n partido por dos a sub n más dos que como a
sub n menos tres hemos probado que ya es mayor que cero y a sub n también
vale por tanto nos queda que es todo positivo o sea a sub n es mayor que
tres ya lo hemos probado por tanto a a sub n menos tres es positivo por
tanto a sub n también lo será vale por tanto ya probamos que a sub n más
uno menos tres menos tres medios de que multiplica a sub n menos tres esto
es mayor que cero que es lo que nos pedía el apartado b vale y demuestre
por la inducción que a sub n es mayor o igual que tres medios elevado a n
más tres para todo n que pertenece a n vale por tanto aquí incluye
también el cero bueno la propiedad para n igual a cero tenemos que a sub
cero es cuatro que es mayor o igual que tres medios elevado a cero más
tres o sea tenemos que cuatro tres medios elevado a cero es uno uno más
tres es cuatro por tanto tenemos que a sub cero igual a cuatro es mayor o
igual que cuatro evidentemente es mayor que tres medios elevado a cero más
tres vale por tanto se cumple para n igual a cero vale suponemos que a sub
n es mayor o igual que tres medios elevado a n más tres por inducción por
hipótesis de inducción y tenemos que probar que tres medios elevado a n
más uno más tres por el apartado b hemos probado que a sub n más uno es
mayor que tres más tres medios a sub n menos tres vale mayor que cero vale
utilizando la hipótesis de inducción vale tres más tres medios de a sub
n menos tres esto es mayor o igual vale que tres medios por a sub n vale
por tanto en vez de a sub n ponemos a la hipótesis de inducción es mayor
o sea a sub n es mayor que tres medios elevado a n más tres por tanto
será tres por tres medios a sub n por tanto será mayor que tres medios
tres medios multiplican a sub n menos tres es mayor o igual que tres medios
elevado a n más uno más tres en consecuencia tenemos que a sub n más uno
es mayor que tres medios elevado a n más uno más tres por tanto a sub n
más uno es mayor o igual que tres medios elevado a n más uno más tres
que es lo que queríamos probar o sea sería de probar esto bueno pasamos a
otro ejercicio el ejercicio 7 dice sea que pertenece a r a es mayor o igual
que cero demuestre por inducción que para todo n que pertenece a n se
cumple que uno más a elevado a n es mayor o igual que uno más n por a la
desigualdad es cierta para n igual a cero o sea uno más a elevado a cero
es igual a uno que es mayor o igual que uno más cero por a suponemos
supongamos la desigualdad que es cierta para n esto es que uno más a
elevado a n es mayor o igual que uno más n por a veamos que es cierta para
n más uno entonces tenemos que probar que uno más a elevado a n más uno
es mayor o igual que uno más n más uno por a vale y uno más a elevado a
n más uno es uno más a elevado a n por uno más a vale por hipótesis de
inducción uno más a elevado a n es mayor o igual que uno más n por a por
tanto tendremos que uno más a elevado a n más uno será mayor o igual que
uno más n por a por uno más a vale desarrollando este producto nos queda
que es igual a uno más a más n por a más n por a cuadrado entonces
podemos sacar factor común esto entonces sería uno más a más n por a
más n por a cuadrado por tanto suprimiendo este término tenemos que esto
es mayor o igual que uno más a más n por a sacando factor común a nos
queda que uno más a elevado a n más uno es mayor o igual que uno más n
más uno por a vale ahora vamos a ver ejercicios de otros temas que se
consideren interesantes para preparar el examen vale dice sea a con las
operaciones más y por un anillo conmutativo dado x que pertenece a se dice
que x es muy potente si existe un n que pertenece a n asterisco o sea el
conjunto de los números naturales vale dice sean x e y elementos de a
tales que x e y son n potentes demuestre que el producto es n potente
demuestre que la suma es n potente y demuestre que uno menos x no es nil
potente entonces la indicación dice calcule uno menos x por uno más x
más puntos suspensivos x a la k menos uno siendo k un número natural vale
distinto de cero y suponga además que a es unitaria esto será para probar
el apartado c vale de momento el apartado a si x y son nil potentes por
definición existen dos números naturales n y m que pertenecen a n
asterisco que no son cero tales que x elevado a n es igual a y elevado a n
a m es igual a cero entonces el producto de x por y es nil potente pues
teniendo en cuenta por ejemplo que x por y elevado a n sería el producto
de n veces x por y por tanto sería x a la n por y a la n por tanto si x a
la n cero el producto ya es nil potente o si y es nil potente el producto
también es nil potente se ha probado para n pero se podría haber probado
para m lo mismo vemos que si x y son nil potentes la suma también es nil
potente vale x más y elevado a n más m por el binomio nilton es suma de
cero a n más n de n más m sobre t de estos números combinatorios x
elevado a n más m menos p y a la p vale si t es mayor o igual que m vale
tendremos que y a la p será igual a y a la m por y a la p menos m observar
que lo puedo poner de esta forma vale por tanto si multiplico sería y a la
p lo puedo poner y a la m por y a la p menos m evidentemente sumando me
queda los exponentes me queda y a la p vale por tanto en este caso si y a
la m es cero por tanto este factor esto sería cero vale a si t es menor
que m si multiplicamos por menos uno me queda que menos m es menor que
menos p si sumamos a esta desigualdad n más m me queda n más m menos m
que sería n es menor que n más m menos p vale entonces x elevado a n más
m menos p lo puedo poner x elevado a n por x elevado a m menos p como x es
neopotente y n es el número natural que lo verifica lo que que es x
elevado a n es igual a cero por tanto tendría cero por x elevado a m menos
c por tanto es cero vale por tanto vemos que dados dos elementos
neopotentes la suma también es neopotente en este caso se supone en el
apartado c se supone que uno menos x tenemos que probar que no es
neopotente vale y se supone que el a es unitario vale conjunto a es
unitario entonces uno menos x por uno más x más puntos suspensivos x a la
k esto es igual desarrollando esto me queda que es igual a uno menos x
elevado a k más uno si n es igual a uno vale tendríamos que x tendría
que ser igual a cero entonces uno menos x sería igual a uno y este es
invertible vale o sea uno es invertible y el inverso sería el mismo uno
uno por uno es uno vale si para k más uno igual a n tenemos que uno menos
x por uno más x más puntos suspensivos x a la n menos uno sería uno
menos x a la n y esto sería igual a uno por tanto el inverso de uno menos
x es uno más x más puntos suspensivos x a la n menos uno vale si el
inverso de uno menos x a la x es distinto de cero es uno más x más puntos
suspensivos x a la n menos uno en cualquiera de los casos se cumple que uno
menos x por z es igual a uno por tanto para todo p que pertenece a n
asterisco se tiene que uno menos x a la p por z a la p tiene que ser igual
a uno a la p de donde se deduce que uno menos x elevado a p esto es
distinto de cero por tanto para todo p que pertenece a n por tanto se ve
que no puede ser uno menos x neopotente otra forma más rápida de verlo
sería lo siguiente si suponemos que uno menos x no es neopotente por
reducción al absurdo utilizando el apartado b que hemos visto que dos
elementos neopotentes la suma es neopotente por tanto si uno menos x es
neopotente y x es neopotente la suma tiene que ser neopotente vale por
tanto suponemos que uno menos x es neopotente y la x es neopotente por
tanto la suma sería uno menos x más x igual a uno por tanto uno tendría
que ser neopotente por tanto tendría que existir un q que pertenece a n
asterisco vale tal que uno a la q es igual a cero que esto es una
contradicción vale o sea uno a la q es igual a uno que es distinto de cero
por tanto aquí es otra forma más rápida de probar el apartado a el
apartado a c vale pero tal como lo ha hecho lo ponía el enunciado vale que
en el enunciado ponían esto bueno indicación calcule que uno menos x por
uno más x más con suspensivos x a la q menos uno siendo k pertenece a n
asterisco y suponga que además a es unitario por tanto es muy rápido
aplicar la propiedad b vale pero supongo con esta indicación se pretendía
que se demostrara por el primer método bueno vemos otro dice sea en n
asterisco la relación esto como menor o igual vale x relacionado con y si
sólo si existe un k que pertenece a n asterisco tal que i es igual a x a
la k que pertenece a n asterisco asterisco bueno vemos que esta relación
es reflexiva vale para todo x que pertenece a n asterisco x está
relacionado con x basta tomar k igual a uno y x es igual a x elevado a uno
vale vemos que se cumple la propiedad antisimétrica si x pertenece a n
asterisco si x está relacionado con y y está relacionado con x entonces
existen k y p tales que i es igual a x a la k y x es igual a y a la p en
consecuencia x es igual a y a la p por tanto será i igual a i elevado a p
y elevado a k por tanto y sea igual a y a la pk vale entonces se tiene que
cumplir que o y es igual a uno o pk es igual a uno si es igual a uno
entonces x es igual a i p por tanto será uno elevado a p igual a uno y en
consecuencia x es igual a i si pk es igual a uno tanto k como p por
pertenecer a n asterisco tiene que ser igual a uno por tanto sería x igual
a i a la 1 igual p que pertenecen a n asterisco tales que i es igual a x a
la k y z es igual a i a la p en consecuencia la z es igual a i a la p y
como i es igual a x a la k tendríamos que z sea igual a x elevado a k y
elevado a p por tanto sería igual a x elevado a kp por tanto llamando q
igual a kp existiría un q que pertenece a n asterisco tal que z sea igual
a x a la q por tanto la x estaría relacionada con z esta relación es de
orden parcial porque pues existen elementos que no están relacionados
entre sí por ejemplo el 2 y el 5 no existe ningún k ni ningún p tal que
5 sea igual a 2 a la k o 2 sea igual a 5 a la p vemos el apartado b en el
que dice sea si a es igual al subconjunto 2 8 y b al subconjunto 3 5
estudie la existencia y en su caso explicítelos de cotas superiores e
inferiores supremo ínfimo máximo y mínimo maximales y minimales de los
conjuntos a y b vale si observamos 8 es igual a 2 a la 3 por tanto el 2
está relacionado con el 8 y se tiene que el 2 es el mínimo de a igual al
ínfimo vale también es minimal y 8 es el máximo de a y es el supremo de
a por tanto también es maximal además 2 es la única cuota inferior de a
pues no hay ningún número natural n en n asterisco tal que no sea 2 tal
que x esté relacionado con 2 los elementos de la forma potencias de 2 vale
2 a la 3 n con n pertenece a n asterisco son cotas superiores de a el
conjunto b es el conjunto 35 las cotas superiores de b serían por ejemplo
i relacionada 3 este relacionado con i y el 5 esté relacionado con i vale
tendrían que existir dos números naturales distintos de 0 tales que i sea
igual a 3 k i igual a 5 p vale pero esta igualdad sólo se cumple para k
igual a p igual a 0 que no es un elemento de n asterisco por tanto no hay
cotas superiores de b y en consecuencia no hay ni supremo ni máximo vale
además 3 y 5 son maximales pues no existe ningún elemento z distinto de 3
tal que 3 esté relacionado con z ni ningún elemento distinto de 5 tal que
5 esté relacionado con m para las cotas inferiores pues pasa algo parecido
vale las cotas inferiores de b son los elementos i tales que i está
relacionado con 3 e i está relacionado con 5 es decir tienen que existir
dos números naturales k y b que pertenecen en este disco que no pueden ser
cero tales que 3 sea igual a i elevado a k y 5 sea igual a i elevado a p
por tanto 3 a la p sería igual a i a la kp y 3 y i a la kp 5 a la k sea
igual a i a la pi elevado a k por tanto 3 a la p tendría que ser igual a 5
a la k que no es posible en n asterisco o sea no existe ningún número
natural distinto de 0 tales que 3 a la p sea igual que 5 a la k por tanto
no hay cuotas inferiores de a y en consecuencia ni infinito ni mínimo
además el 3 y el 5 son maximales pues no existe ningún z prima distinto
de 3 tales que z prima sea esté relacionado con el 3 ni ningún elemento m
prima distinto del 5 esté relacionado con el 5 vale por tanto hasta aquí
la exposición de estos ejercicios vale y bueno animaros a seguir
preparando el próximo día veremos la primera parte de los números
complejos que también sean resolución de ejercicios la parte teórica ya
está expuesta en el libro y pues nada más muchas gracias por vuestra
atención y hasta el próximo día que sería el día 14 de diciembre
muchas gracias