El presente vídeo tiene por objeto introducir los contrastes no
paramétricos de Kolmogorov-Smirnov y de normalidad de Lilliefors para la
asignatura Inferencia Estadística del Grado en Economía de la UNED. A
continuación se muestran las principales referencias en relación con los
contenidos tratados en este vídeo. Comencemos con el contraste de
Kolmogorov-Smirnov. El contraste de Kolmogorov-Smirnov es un contraste no
paramétrico de bondad del ajuste. La idea básica que existe detrás de
este contraste es que un conjunto de datos muestrales puede considerarse
procedente de una determinada distribución, de tipo continua, ya sea
normal, exponencial, gamma, uniforme... Las hipótesis de contraste son las
que se presentan en la diapositiva para los contrastes bilaterales,
unilaterales por la izquierda y unilaterales por la izquierda. Este
contraste se usa como alternativa a la prueba chi-cuadrado cuando el modelo
propuesto bajo la hipótesis nula es de tipo continuo y el tamaño muestral
es pequeño. Este tipo de contrastes no requieren que las observaciones
muestrales se agrupen en intervalos o clases, aunque exige que los
parámetros de las distribuciones teóricas de la hipótesis nula sean
conocidos. Este contraste se lleva a cabo comparando las funciones de la
distribución de la hipótesis nula. La distribución empírica de una
muestra extraída de la población con la función teórica de
distribución que correspondería para esa muestra bajo el supuesto de la
hipótesis nula. Si hay evidencias de que las discrepancias existentes
entre estas dos funciones de distribución medidas por medio de la
diferencia entre las mismas es lo suficientemente grande, entonces se
procederá a rechazar la hipótesis nula. Para la resolución de este
contraste se seguirán los siguientes pasos. En un primer lugar, se obtiene
la función de distribución empírica por medio de la formulación que se
presenta en esta diapositiva, donde nx no es más que el número de
observaciones existentes a la izquierda o iguales a cada valor de nuestra
muestra, ordenada de menor a mayor, dividida por n que sería el número
total de observaciones existentes en nuestra muestra. Por otra parte, en el
segundo paso se calculará... ...la función de distribución teórica bajo
el supuesto de la hipótesis nula para cada uno de los valores de la
muestra de datos que se ha obtenido. A continuación, se calcularán las
magnitudes que se presentan en la diapositiva dependiendo del tipo de
contraste. Estas diferencias en el cálculo de las mismas tienen como
objeto principal evitar que salgan números negativos para el estadístico
de contraste finalmente obtenido. A continuación, y para terminar... ...se
calculará el estadístico de contraste, cuya formulación depende del tipo
de contraste de hipótesis. Esto es bilateral, unilateral por la izquierda
o unilateral por la derecha. De modo que la región crítica vendrá
definida tal y como se presenta en la siguiente tabla, donde lo que se
hará es comprobar el valor del estadístico de contraste con el valor
crítico, de modo que si el estadístico de contraste supera a este valor
crítico, se procederá a rechazar la hipótesis nula. Los valores
críticos de este estadístico de contraste... ...pueden encontrar en las
tablas elaboradas para el test de Kolmogorov-Smirnov, disponible en la
mayoría de los manuales de inferencia estadística. Pasamos ahora a
introducir el contraste de normalidad de Lilly y Sforz. Este contraste es
también un contraste no paramétrico de bondad del ajuste de la
distribución empírica con la distribución normal. Este contraste
pretende testar la hipótesis de que los datos provengan de una familia de
distribución... ...de probabilidad normal. Las hipótesis nula y
alternativas son las que se muestran a continuación... ...y se basan en la
comparación de las funciones de distribución empíricas y teóricas de
una distribución normal, de modo que la hipótesis nula será que las dos
funciones de distribución son iguales, mientras que la alternativa, que
ambas funciones de distribución son diferentes. Este contraste se emplea
cuando la distribución teórica de la hipótesis nula... ...es normal, el
tamaño de la muestra es pequeño y los parámetros de la distribución son
desconocidos. Este contraste, al igual que el de Kolmogorov-Smirnov, no
requiere que las observaciones muestrales se agrupen en intervalos o
clases... ...y se diferencia de este en que no es necesario que los
parámetros de la distribución de probabilidad teórica sean conocidos. Al
igual que ocurría en el contraste de Kolmogorov-Smirnov, habrá evidencias
para rechazar la hipótesis nula cuando la discrepancia... ...medida por
medio de la diferencia entre la función de distribución empírica y la
teórica sea lo suficientemente grande. Los pasos para la resolución del
mismo son muy similares a los del contraste de Kolmogorov-Smirnov. Se
comienza obteniendo la función de distribución empírica de la muestra. A
continuación se obtiene la función de distribución normal para los
distintos valores de la muestra. Se requeriría tipificar la variable y si
se va a ampliar las tablas de la distribución normal tipificada. Esto no
se ha hecho. Esto se hará en el ejemplo que vamos a presentar a
continuación debido a que vamos a utilizar una función de Excel
específica que no requiere esta tipificación. A continuación se
calculará el estadístico de contraste y finalmente se obtendrá la
región crítica, cuyo valor crítico se puede obtener empleando las tablas
de valores críticos del texto de normalidad del IDF-Force, disponibles en
la mayoría de los manuales de inferencia estadística. Veamos un ejemplo.
Compruebe si la edad de los habitantes de un pequeño pueblo se distribuye
de acuerdo con una familia de distribuciones de probabilidad uniforme con
parámetros A igual a 0 y B igual a 100 y normal con parámetros mu-sigma
desconocidos, empleando los contrastes de hipótesis no paramétricos
estudiados. Utilice para ello la muestra aleatoria simple de edades de 40
habitantes del pueblo que se muestra a continuación. Nótese que la
distribución de probabilidad uniforme tiene la siguiente función de
distribución. Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que
utilizaremos los dos contrastes estudiados. ¿Por qué? Porque en el caso
de distribución uniforme conocemos los parámetros de la misma y por tanto
podemos aplicar sin ningún tipo de problemas el contraste de
Kolmogorov-Misnov. Sin embargo, para el caso de la normal, los parámetros
de la distribución son desconocidos, por lo que será necesario
estimarlos. Luego tendremos que utilizar el test de normalidad del
IDF-Force. Vamos a resolver este ejemplo empleando Excel. En la siguiente
tabla de Excel se muestran las edades de los habitantes del pueblo
ordenadas de menor a mayor. Lo primero que vamos a hacer es obtener la
función de distribución empírica. Para ello, sabiendo que tenemos un
total de 40 observaciones, lo que vamos a hacer es determinar las
frecuencias relativas acumuladas de la tabla de frecuencias que presentamos
en el Excel. De modo que la primera frecuencia relativa acumulada será 1
partido 40, mientras que la siguiente será 1 partido 40 más la frecuencia
absoluta acumulada inmediatamente anterior. De esta forma, repetimos esta
última formulación hasta el final de nuestra tabla de frecuencias para
obtener la totalidad de la función de distribución empírica. A
continuación, obtendremos para aplicar el test de Kolmogorov-Misnov con el
objeto de comprobar... ...que mis datos provienen de una distribución
uniforme, los valores de la función de distribución teórica uniforme con
parámetros a igual a cero y b igual a cero. Empleando la formulación que
presentábamos en la presentación, obtendríamos que la función de
distribución teórica sería cada uno de los valores de las edades
dividido por 100. Si arrastramos esta formulación hasta el final,
obtendremos la distribución teórica uniforme. Para los datos de nuestra
muestra. Una vez hecho esto, tendremos que calcular la diferencia entre las
frecuencias relativas empíricas y las frecuencias relativas teóricas de
la distribución uniforme en valor absoluto. Hecho esto, para determinar el
estadístico de Kolmogorov-Misnov, simplemente habrá que buscar el máximo
de esta última columna que hemos elaborado. En nuestro caso será 0,5. A
continuación... Buscará en tablas el valor crítico del test de
Kolmogorov-Misnov de tipo bilateral para un alza igual al 5%. Su valor es
0,21. Como el estadístico de contraste es inferior al valor crítico, se
procederá a aceptar la hipótesis nula. Por lo que se puede concluir que
no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de que la
distribución de la población es uniforme con parámetros a igual a cero y
b igual a cero. Para llevar a cabo... El test de Lillie-Force de normalidad
bastará con determinar los valores de la función de distribución
teórica normal. Para ello emplearemos en un primer lugar la función
distri.norm.n, indicando que se calculará el valor de la función de
distribución para cada una de las edades de nuestra muestra con los
valores de media y desviación típica que se presentan en el Excel, los
cuales han sido calculados por medio de la función. La función de
distribución media aritmética y la cuasi-desviación típica o
desviación típica muestral. En esta función se indica verdadero, puesto
que se pretende obtener el valor de la función de distribución acumulada.
Una vez hecho esto, se calculará la diferencia entre la función de
distribución empírica y la función de distribución teórica, calculando
en todo caso su valor absoluto. Finalmente, se obtendrá el máximo de esta
columna. En este caso concreto es 0,11. Después de buscar el valor
crítico en las tablas del LibreForce, obtenemos que este valor crítico es
0,01. De modo que el estadístico de contraste supera el valor crítico,
por lo que existen evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula
de que la distribución de probabilidad de la población es de tipo normal,
con la parametrización. En la gráfica que se presenta a continuación,
podéis observar cuáles son las diferencias existentes entre la función
de distribución empírica, la función de distribución teórica uniforme
para los datos de la muestra y la función de distribución teórica normal
para los datos de la muestra.